Спрощення алгебраїчних дробів онлайн калькулятор. Як спрощувати вирази алгебри
Алгебраїчне вираз у запису якого поряд з діями складання, віднімання та множення використовують також розподіл на буквені вирази, називається дробовим виразом алгебри. Такі, наприклад, вирази
Алгебраїчним дробом ми називаємо алгебраїчне вираз, що має вигляд приватного від розподілу двох цілих алгебраїчних виразів (наприклад, одночленів або багаточленів). Такі, наприклад, вирази
Третій вираз ).
Тотожні перетворення дробових алгебраїчних виразів мають здебільшого своєю метою представити їх у вигляді алгебраїчного дробу. Для відшукання загального знаменника використовується розкладання на множники знаменників дробів - доданків з метою віднайдення їх найменшого загального кратного. При скороченні алгебраїчних дробівможе порушуватися строга тотожність виразів: необхідно виключати значення величин, у яких множник, який виробляється скорочення, перетворюється на нуль.
Наведемо приклади тотожних перетвореньдробових алгебраїчних виразів.
Приклад 1. Спростити вираз
Всі доданки можна привести до спільного знаменника (зручно при цьому змінити знак у знаменнику останнього доданку та знак перед ним):
Наше вираз одно одиниці при всіх значеннях крім цих значеннях воно не визначено і скорочення дробу незаконно).
Приклад 2. Подати у вигляді алгебраїчного дробу вираз
Рішення. За загальний знаменник можна прийняти вираз. Знаходимо послідовно:
Вправи
1. Знайти значення виразів алгебри при вказаних значеннях параметрів:
2. Розкласти на множники.
Математичний-Калькулятор-Онлайн v.1.0
Калькулятор виконує такі операції: додавання, віднімання, множення, розподіл, робота з десятковими, вилучення кореня, зведення в ступінь, обчислення відсотків та ін. Операції.
Рішення:
Як працювати з математичним калькулятором
| Клавіша | Позначення | Пояснення |
|---|---|---|
| 5 | цифри 0-9 | Арабські цифри. Уведення натуральних цілих чисел, нуля. Для отримання негативного цілого числа потрібно натиснути клавішу +/- |
| . | крапка кома) | Розділювач для позначення десяткового дробу. За відсутності цифри перед точкою (комою) калькулятор автоматично підставить нуль перед точкою. Наприклад: .5 – буде записано 0.5 |
| + | знак плюс | Додавання чисел (цілі, десяткові дроби) |
| - | знак мінус | Віднімання чисел (цілі, десяткові дроби) |
| ÷ | знак розподілу | Розподіл чисел (цілі, десяткові дроби) |
| х | знак множення | Розмноження чисел (цілі, десяткові дроби) |
| √ | корінь | Вилучення кореня з числа. При повторному натисканні на кнопку "кореня" проводиться обчислення з результату. Наприклад: корінь із 16 = 4; корінь із 4 = 2 |
| x 2 | зведення у квадрат | Зведення числа квадрат. При повторному натисканні на кнопку "зведення в квадрат" проводиться зведення у квадрат результату. Наприклад: квадрат 2 = 4; квадрат 4 = 16 |
| 1/х | дріб | Виведення у десяткові дроби. У чисельнику 1 в знаменнику вводиться число |
| % | відсоток | Отримання відсотка від числа. Для роботи необхідно ввести: число з якого вираховуватиметься відсоток, знак (плюс, мінус, ділити, помножити), скільки відсотків у чисельному вигляді, кнопка "%" |
| ( | відкрита дужка | Відкрита дужка для визначення пріоритету обчислення. Обов'язково наявність закритої дужки. Приклад: (2+3)*2=10 |
| ) | закрита дужка | Закрита дужка для визначення пріоритету обчислення. Обов'язкова наявність відкритої дужки |
| ± | плюс мінус | Змінює знак на протилежний |
| = | одно | Виводить результат рішення. Також над калькулятором у полі "Рішення" виводиться проміжні обчислення та результат. |
| ← | видалення символу | Видаляє останній символ |
| З | скидання | Кнопка скидання. Повністю скидає калькулятор у положення "0" |
Алгоритм роботи онлайн-калькулятора на прикладах
Додавання.
Складання цілих натуральних чисел { 5 + 7 = 12 }
Додавання цілих натуральних і негативних чисел ( 5 + (-2) = 3 )
Додавання десяткових дробових чисел { 0,3 + 5,2 = 5,5 }
Віднімання.
Віднімання цілих натуральних чисел ( 7 - 5 = 2 )
Віднімання цілих натуральних і негативних чисел ( 5 - (-2) = 7 )
Віднімання десяткових дробових чисел (6,5 - 1,2 = 4,3)
Множення.
Добуток цілих натуральних чисел ( 3 * 7 = 21 )
Добуток цілих натуральних і негативних чисел ( 5 * (-3) = -15 )
Добуток десяткових дробових чисел ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )
Поділ.
Розподіл цілих натуральних чисел ( 27 / 3 = 9 )
Поділ цілих натуральних та негативних чисел ( 15 / (-3) = -5 )
Поділ десяткових дробових чисел (6,2/2 = 3,1)
Вилучення кореня з числа.
Вилучення кореня з цілого числа ( корінь(9) = 3 )
Вилучення кореня з десяткових дробів ( корінь (2,5) = 1,58)
Вилучення кореня із суми чисел ( корінь(56 + 25) = 9 )
Вилучення кореня з різниці чисел ( корінь (32 – 7) = 5 )
Зведення числа квадрат.
Зведення у квадрат цілого числа ( (3) 2 = 9 )
Зведення в квадрат десяткових дробів ((2,2) 2 = 4,84)
Переклад у десяткові дроби.
Обчислення відсотків від числа
Збільшити на 15% число 230 (230 + 230 * 0,15 = 264,5)
Зменшити на 35% число 510 (510 - 510 * 0,35 = 331,5)
18% від числа 140 це (140 * 0,18 = 25,2)
Деякі приклади алгебриодним видом здатні наводити жах на школярів. Довгі висловлювання як лякають, а й дуже ускладнюють обчислення. Намагаючись відразу зрозуміти, що і за чим слід, недовго заплутатися. Саме з цієї причини математики завжди намагаються максимально спростити «жахливе» завдання і лише потім приступають до його вирішення. Хоч як дивно, такий трюк значно прискорює процес роботи.
Спрощення є одним із фундаментальних моментів в алгебрі. Якщо в простих задачахбез нього ще можна обійтися, більш складні для обчислення приклади можуть виявитися «не по зубах». Отут і знадобляться ці навички! Тим більше що складних математичних знань не потрібно: достатньо буде лише запам'ятати і навчитися застосовувати на практиці кілька базових прийомів і формул.
Незалежно від складності обчислень при вирішенні будь-якого виразу важливо дотримуватись порядку виконання операцій з числами:
- дужки;
- зведення в ступінь;
- множення;
- розподіл;
- додавання;
- віднімання.
Останні два пункти можна спокійно поміняти місцями і це ніяк не вплине на результат. Але складати два сусідні числа, коли поруч із одним із них стоїть знак множення категорично не можна! Відповідь якщо і вийде, то неправильна. Тому слід запам'ятати послідовність.
Застосування таких
До таких елементів відносяться числа зі змінною одного порядку або однакового ступеня. Існують і звані вільні члени, які мають поруч із собою літерного позначення невідомого.
Суть у тому, що за відсутності дужок можна спростити вираз, складаючи або віднімаючи між собою подібні.
Декілька наочних прикладів:
- 8x 2 і 3x 2 - обидва числа мають ту саму змінну другого порядку, тому вони подібні і при додаванні спрощуються до (8+3)x 2 =11x 2 , тоді як при відніманні виходить (8-3)x 2 =5x 2;
- 4x 3 і 6x - а тут "х" має різний ступінь;
- 2y 7 і 33x 7 містять різні змінні, тому, як і в попередньому випадку, не відносяться до подібних.
Розкладання числа на множники
Ця маленька математична хитрість, якщо навчитися її правильно використовувати, у майбутньому неодноразово допоможе впоратися з каверзним завданням. Та й зрозуміти, як працює «система», нескладно: розкладанням називають твір кількох елементів, обчислення якого дає вихідне значення. Таким чином, 20 можна як на 20×1, 2×10, 5×4, 2×5×2 або іншим способом.
На замітку: множники завжди збігаються з дільниками Тож шукати робочу «пару» для розкладання потрібно серед чисел, на які вихідне ділиться без залишку.
Робити таку операцію можна як із вільними членами, так і з цифрами за змінної. Головне, не втратити останню під час обчислень – навіть після розкладання невідома не може взяти і піти в нікуди. Вона залишається при одному з множників:
- 15x = 3 (5x);
- 60у 2 = (15y 2)4.
Прості числа, які можна розділити лише на себе або 1, ніколи не розкладаються – у цьому немає сенсу.
Основні способи спрощення
Перше, за що чіпляється погляд:
- наявність дужок;
- дроби;
- коріння.
Алгебраїчні приклади в шкільній програмічасто складаються з урахуванням того, що їх можна красиво спростити.
Обчислення у дужках
Уважно стежте за знаком, що стоїть перед дужками!Множення або розподіл застосовується до кожного елемента всередині, а мінус - змінює наявні знаки "+" або "-" на протилежні.
Дужки обчислюються за правилами або за формулами скороченого множення, після чого наводяться такі.
Скорочення дробів
Скорочувати дробитеж нескладно. Вони самі через раз «охоче тікають», варто зробити операції з приведенням таких членів. Але спростити приклад можна ще раніше: звертайте увагу на чисельник та знаменник. Вони часто містять явні або приховані елементи, які можна взаємно скоротити. Правда, якщо в першому випадку потрібно лише викреслити зайве, у другому доведеться подумати, наводячи частину виразу для спрощення. Методи, що використовуються:
- пошук та винесення за дужки найбільшого загального дільника у чисельника та знаменника;
- розподіл кожного верхнього елемента на знаменник.
Коли вираз або його частина знаходиться під коренем, Першорядне завдання спрощення практично аналогічна випадку з дробами. Необхідно шукати способи повністю його позбутися або, якщо це неможливо, максимально скоротити знак, що заважає обчисленням. Наприклад, до ненав'язливого √(3) чи √(7).
Вірний спосібспростити підкорене вираз - спробувати розкласти його на множники, частина у тому числі виноситься межі знака. Наочний приклад: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).
Інші маленькі хитрощі та нюанси:
- цю операцію спрощення можна проводити з дробами, виносячи її за знак як цілком, і окремо чисельник чи знаменник;
- розкладати та виносити за межі кореня частину суми чи різниці не можна;
- при роботі зі змінними обов'язково враховуйте її ступінь, він повинен бути рівним або кратним кореню для можливості винесення: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)=√(x 2 ×x)=x√( x);
- іноді допускається звільнення від підкореної змінної шляхом зведення їх у дробовий ступінь: √(y 3)=y 3/2 .
Спрощення статевого виразу
Якщо у разі простих обчислень на мінус або плюс приклади спрощуються за рахунок приведення подібних, то як бути при множенні чи розподілі змінних з різними ступенями? Їх можна легко спростити, запам'ятавши два основні моменти:
- Якщо між змінними стоїть знак множення – ступеня складаються.
- Коли вони діляться один на одного - зі ступеня чисельника віднімається вона ж знаменника.
Єдина умова для такого спрощення – однакова основав обох членів. Приклади для наочності:
- 5x 2 ×4x 7 +(y 13 /y 11)=(5×4)x 2+7 +y 13-11 =20x 9 +y 2 ;
- 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.
Зазначаємо, що операції з числовими значеннями, що стоять перед змінними, відбуваються за звичайними математичними правилами. І якщо придивитися, то стає зрозуміло, що статечні елементи вираження «працюють» аналогічно:
- зведення члена в ступінь позначає множення його на себе певну кількість разів, тобто x 2 = x×x;
- розподіл аналогічно: якщо розкласти ступінь чисельника і знаменника, то частина змінних скоротиться, тоді як ті, що залишилися «збираються», що рівносильне віднімання.
Як і в будь-якій справі, при спрощенні виразів алгебри необхідно не тільки знання основ, але і практика. Вже через кілька занять приклади, що колись здаються складними, скорочуватимуться без особливої праці, перетворюючись на короткі та легко розв'язувані.
Відео
Це відео допоможе вам розібратися та запам'ятати, як спрощуються вирази.
Чи не отримали відповідь на своє запитання? Запропонуйте авторам тему.
Loading...