Відкрити дужки коштує число. Розкриття дужок - Гіпермаркет знань

Дужки використовуються для вказівки на порядок виконання дій у числових та літерних виразах, а також у виразах зі змінними. Від висловлювання зі дужками зручно перейти до тотожно рівному виразубез дужок. Цей прийом називається розкриття дужок.

Розкрити дужки означає позбавити вираз цих дужок.

На окрему увагу заслуговує ще один момент, який стосується особливостей запису рішень при розкритті дужок. Ми можемо записати початковий вираз зі дужками та отриманий після розкриття дужок результат як рівність. Наприклад, після розкриття дужок замість виразу
3−(5−7) ми отримуємо вираз 3−5+7. Обидва ці вирази ми можемо записати як рівності 3−(5−7)=3−5+7.

І ще один важливий момент. У математиці для скорочення записів прийнято не писати знак плюс, якщо він стоїть у виразі або у дужках першим. Наприклад, якщо ми складаємо два позитивні числа, наприклад, сім і три, то пишемо не +7+3, а просто 7+3, незважаючи на те, що сімка теж позитивне число. Аналогічно, якщо ви бачите, наприклад, вираз (5+x) – знайте, що і перед дужкою стоїть плюс, який не пишуть, і перед п'ятіркою стоїть плюс +(+5+x).

Правило розкриття дужок під час додавання

При розкритті дужок, якщо перед дужками стоїть плюс, цей плюс опускається разом із дужками.

приклад. Розкрити дужки у виразі 2+ (7+3) Перед дужками плюс, значить знаки перед числами у дужках не міняємо.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Правило розкриття дужок при відніманні

Якщо перед дужками стоїть мінус, цей мінус опускається разом із дужками, але доданки, які були в дужках, змінюють свій знак на протилежний. Відсутність знака перед першим доданком у дужках має на увазі знак +.

приклад. Розкрити дужки у виразі 2 − (7 + 3)

Перед дужками стоїть мінус, отже, потрібно поміняти знаки перед числами з дужок. У дужках перед цифрою 7 знака немає, це означає, що сімка позитивна, вважається, що перед нею знак +.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

При розкритті дужок прибираємо з прикладу мінус, що був перед дужками, і самі дужки 2 − (+ 7 + 3) , а знаки, що були у дужках, міняємо протилежні.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Розкриття дужок під час множення

Якщо перед дужками стоїть знак множення, то кожне число, що стоїть усередині дужок, множиться на множник, що стоїть перед дужками. При цьому множення мінусу на мінус дає плюс, а множення мінусу на плюс, як і множення плюсу на мінус дає мінус.

Таким чином, дужки у творах розкриваються відповідно до розподільної властивості множення.

приклад. 2 · (9 - 7) = 2 · 9 - 2 · 7

При множенні дужки на дужку кожен член першої дужки перемножується з кожним членом другої дужки.

(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5

Насправді немає необхідності запам'ятовувати всі правила, досить пам'ятати тільки одне, ось це: c(a−b)=ca−cb. Чому? Тому що якщо в нього замість з підставити одиницю, вийде правило (a-b)=a-b. Якщо ж підставити мінус одиницю, отримаємо правило −(a−b)=−a+b. Ну а якщо замість c підставити іншу дужку – можна отримати останнє правило.

Розкриваємо дужки при розподілі

Якщо після дужок стоїть знак поділу, то кожне число, що стоїть усередині дужок, ділиться на дільник, що стоїть після дужок, і навпаки.

приклад. (9 + 6): 3 = 9: 3 + 6: 3

Як розкрити вкладені дужки

Якщо у вираженні присутні вкладені дужки, їх розкривають по порядку, починаючи із зовнішніх чи внутрішніх.

При цьому важливо при розкритті однієї з дужок не чіпати решту дужок, просто переписуючи їх як є.

приклад. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

сформувати здатність до розкриття дужок з урахуванням знака, що стоїть перед дужками;

розвиваючі:

розвивати логічне мислення, увага, математичну мову, вміння аналізувати, порівнювати, узагальнювати, робити висновки;

що виховують:

формування відповідальності, пізнавального інтересу до предмету

Хід уроку

I. Організаційний момент.

Перевір дружок
Ти готовий на урок?
Чи все на місці? Все гаразд?
Ручка, книжка та зошит.
Чи правильно сидять?
Чи все уважно дивляться?

Почати урок я хочу з питання до вас:

Як ви вважаєте, що найцінніше на Землі? (Відповіді дітей.)

Це питання хвилювало людство не одну тисячу років. Ось яку відповідь дав відомий учений Аль-Біруні: “Знання – найчудовіше з володінь. Всі прагнуть до нього, саме воно не приходить”.

Нехай ці слова стануть гаслом нашого уроку.

ІІ. Актуалізація колишніх знань, умінь, навичок:

Усний рахунок:

1.1. Яке сьогодні число?

2. Розкажіть, що ви знаєте про число 20?

3. А де розташоване це число на координатній прямій?

4. Назвіть число зворотне.

5. Назвіть йому протилежне число.

6. Як називається число - 20?

7. Які числа називаються протилежними?

8. Які числа називаються негативними?

9. Чим дорівнює модуль числа 20? - 20?

10. Чому дорівнює сума протилежних чисел?

2. Поясніть такі записи:

а) Геніальний математик давнини Архімед народився 0287 р.

б) Геніальний російський математик Н.І.Лобачеський народився 1792 р.

в) Перші Олімпійські ігривідбулися у Греції – 776 р.

г) Перші Міжнародні олімпійські ігри відбулися 1896 р.

д) XXII Олімпійські зимові ігри відбулися у 2014 році.

3. Дізнайтеся, які числа крутяться на “математичній каруселі” (усі дії виконуються усно).

ІІ. Формування нових знань, умінь, навичок.

Ви навчилися виконувати різні дії з цілими числами. Чим будемо займатися далі? Як вирішуватимемо приклади та рівняння?

Давайте знайдемо значення цих виразів

7 + (3 + 4) = -7 + 7 = 0
-7 + 3 + 4 = 0

Який порядок дій у 1 прикладі? Скільки вийшло у дужках? Порядок дій у другому прикладі? Результат першої дії? Що можна сказати про ці вирази?

Звичайно результати першого і другого виразів однакові, отже, між ними можна поставити знак рівності: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4

Що ми зробили з дужками? (Опустили.)

Як ви думаєте чим ми займатимемося сьогодні на уроці? (Діти формулюють тему уроку.) У прикладі, який знак стоїть перед дужками. (Плюс.)

І так ми підійшли до наступного правила:

Якщо перед дужками стоїть знак +, можна опустити дужки і цей знак +, зберігаючи знаки доданків, які у дужках. Якщо перший доданок у дужках записано без знака, його треба записати зі знаком +.

А що робити, якщо перед дужками стоїть знак мінус?

В цьому випадку потрібно міркувати так само як при відніманні: необхідно додати число протилежне віднімається:

7 – (3 + 4) = -7 + (-7) = -7 + (-3) + (-4) = -7 – 3 – 4 = -14

– Отже, ми розкрили дужки, коли перед ними стояв мінус.

Правило розкриття дужок, коли перед дужками стоїть знак “-“.

Щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак, треба замінити цей знак на +, помінявши знаки всіх доданків у дужках на протилежні, а потім розкрити дужки.

Давайте послухаємо правила розкриття дужок у віршах:

Перед дужкою плюс стоїть.
Він про те й каже
Що ти дужки опускай
Та всі знаки випускай!
Перед дужкою мінус строгий
Загородить нам дорогу
Щоб дужки прибирати
Потрібно знаки поміняти!

Так хлопці знак мінус дуже підступний, це "сторож" біля воріт (дужки), він випускає числа і змінні тільки тоді, коли вони змінять "паспорти", тобто свої знаки.

Навіщо взагалі потрібно розкривати дужки? (Коли є дужки, є момент якийсь елемент незавершеності, якоїсь таємниці. Це – як зачинені двері, за якою знаходиться щось цікаве.) Ось сьогодні ми звідали цю таємницю.

Невеликий екскурс в історію:

Фігурні дужки виникають у творах Вієта (1593). Широке застосування дужки отримали лише першій половині XVIII століття, завдяки Лейбніцу і ще більше Ейлеру.

Фізкультхвилинка.

ІІІ. Закріплення нових знань, умінь, навичок.

Робота за підручником:

№ 1234 (розкрийте дужки) – усно.

№ 1236 (розкрийте дужки) – усно.

№ 1235 (знайдіть значення виразу) – письмово.

№ 1238 (спростіть вирази) – робота у парах.

IV. Підбиття підсумків уроку.

1. Оголошуються оцінки.

2. Будинок. завдання. п.39 №1254 (а, б, в), 1255 (а, б, в), 1259.

3. Чого ми сьогодні навчилися?

Що нового дізналися?

І завершити урок я хочу побажаннями кожному з вас:

“До математики здатність виявляти,
Не лінуйся, а щодня розвивай.
Примножуй, діли, працюй, міркуй,
З математикою дружити не забувай”.

Основна функція дужок - змінювати порядок дій при обчисленні значень. Наприклад, У числовому вираженні \ (5 · 3 +7 \) спочатку буде обчислюватися множення, а потім додавання: \ (5 · 3 +7 = 15 +7 = 22 \). А ось у виразі \(5·(3+7)\) спочатку буде обчислено додавання у дужці, і лише потім множення: \(5·(3+7)=5·10=50\).

приклад. Розкрийте дужку: \(-(4m+3)\).
Рішення : \(-(4m+3)=-4m-3\).

приклад. Розкрийте дужку і наведіть подібні доданки \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Рішення : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

приклад. Розкрийте дужки \(5(3-x)\).
Рішення : У дужці у нас стоять \(3\) і \(-x\), а перед дужкою - п'ятірка Отже, кожен член дужки множиться на (5) - нагадую, що знак множення між числом та дужкою в математиці не пишуть для скорочення розмірів записів.

приклад. Розкрийте дужки \(-2(-3x+5)\).
Рішення : Як і в попередньому прикладі, що стоять у дужці \(-3x\) і \(5\) множаться на \(-2\)

приклад. Спростити вираз: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Рішення : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Залишилося розглянути останню ситуацію.

При множенні дужки на дужку кожен член першої дужки перемножується з кожним членом другої:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

приклад. Розкрийте дужки \((2-x)(3x-1)\).
Рішення : У нас твір дужок і його можна розкрити відразу за формулою вище Але щоб не плутатися, давайте зробимо все кроками.
Крок 1. Забираємо першу дужку - кожен її член множимо на дужку другу:

Крок 2. Розкриваємо твори дужки на множник як описано вище:
- Спочатку перше ...

Потім друге.

Крок 3. Тепер перемножуємо і наводимо такі доданки:

Так докладно розписувати всі перетворення необов'язково, можна відразу перемножувати. Але якщо ви тільки вчитеся розкривати дужок - пишіть докладно, менше шанс помилитися.

Примітка до всього розділу.Насправді, вам не потрібно запам'ятовувати всі чотири правила, досить пам'ятати тільки одне, ось це: \(c(a-b)=ca-cb\) . Чому? Тому що якщо в нього замість c підставити одиницю, вийде правило \((a-b)=a-b\) . Якщо ж підставити мінус одиницю, отримаємо правило \(-(a-b)=-a+b\) . Ну, а якщо замість підставити іншу дужку – можна отримати останнє правило.

Дужка у дужці

Іноді на практиці зустрічаються завдання з дужками, вкладеними всередину інших дужок. Ось приклад такого завдання: спростити вираз \(7x+2(5-(3x+y))\).

Щоб успішно вирішувати подібні завдання, потрібно:
- уважно розібратися у вкладеності дужок – яка у якій перебувати;
- розкривати дужки послідовно, починаючи, наприклад, із самої внутрішньої.

При цьому важливо при розкритті однієї з дужок не чіпати все інше виразпросто переписуючи його як є.
Давайте, наприклад, розберемо написане вище завдання.

приклад. Розкрийте дужки і наведіть подібні доданки \(7x+2(5-(3x+y))\).
Рішення:

приклад. Розкрийте дужки і наведіть подібні доданки \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Рішення :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Тут потрійна вкладеність дужок. Починаємо з самої внутрішньої (виділено зеленим). Перед дужкою плюс, тому вона просто знімається.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Тепер слід розкрити другу дужку, проміжну. Але ми перед цим спростимо вираз привидом подібних доданків у цій другій дужці.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Ось зараз розкриваємо другу дужку (виділено блакитним). Перед дужкою множник – отже кожен член дужці множиться нею.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		І розкриваємо останню дужку. Перед дужкою мінус – тому всі знаки змінюються протилежними.

Розкриття дужок – це базове вміння в математиці. Без цього вміння неможливо мати оцінку вище за трійку у 8 та 9 класі. Тому рекомендую добре розібратися у цій темі.

У статті ми докладно розглянемо основні правила такої важливої ​​теми курсу математики, як розкриття дужок. Знати правила розкриття дужок необхідно для того, щоб правильно вирішувати рівняння, в яких вони використовуються.

Як правильно розкривати дужки під час додавання

Розкриваємо дужки, перед якими стоїть знак.

Це найпростіший випадок, бо якщо перед дужками стоїть знак додавання, при розкритті дужок знаки всередині них не змінюються. Приклад:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Як розкрити дужки, перед якими стоїть знак

В даному випадку потрібно переписати всі доданки без дужок, але при цьому змінити всі знаки всередині них на протилежні. Знаки змінюються лише у доданків із тих дужок, перед якими стояв знак «-». Приклад:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Як розкрити дужки при множенні

Перед дужками стоїть число-множник

У разі потрібно помножити кожне доданок на множник і розкрити дужки, не змінюючи знаків. Якщо множник має знак "-", то при перемноженні знаки доданків змінюються на протилежні. Приклад:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Як розкрити дві дужки зі знаком множення між ними

В даному випадку потрібно кожне доданок з перших дужок перемножити з кожним доданком з других дужок і потім скласти отримані результати. Приклад:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Як розкрити дужки у квадраті

У випадку, якщо суму або різницю двох доданків зведено в квадрат, дужки слід розкривати за такою формулою:

(х + у) ^ 2 = х ^ 2 + 2 * х * у + у ^ 2.

У разі мінусу всередині дужок формула не змінюється. Приклад:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Як розкрити дужки в іншому ступені

Якщо сума або різниця доданків зводиться, наприклад, в 3 або 4-й ступінь, то потрібно просто розбити ступінь дужки на «квадрати». Ступені однакових множників складаються, а при розподілі зі ступеня поділеного віднімається ступінь дільника. Приклад:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

Як розкрити 3 дужки

Бувають рівняння, у яких перемножуються одразу 3 дужки. У такому випадку потрібно спочатку перемножити між собою доданки перших двох дужок, а потім суму цього перемноження помножити на складові третьої дужки. Приклад:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Дані правила розкриття дужок однаково поширюються на вирішення як лінійних, і тригонометричних рівнянь.

Розкриття дужок є одним із видів перетворення виразу. У цьому розділі ми опишемо правила розкриття дужок, а також розглянемо приклади завдань, що найчастіше зустрічаються.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Що називається розкриттям дужок?

Дужки використовуються для вказівки на порядок виконання дій у числових та літерних виразах, а також у виразах зі змінними. Від виразу з дужками зручно перейти до тотожно рівного виразу без дужок. Наприклад, замінити вираз 2 · (3 + 4) на вираз виду 2 · 3 + 2 · 4без дужок. Цей прийом називається розкриття дужок.

Визначення 1

Під розкриттям дужок мають на увазі прийоми рятування від дужок і розглядають його зазвичай щодо виразів, які можуть містити:

• знаки «+» або «-» перед дужками, які містять суми або різниці;
• добуток числа, літери або кількох літер та суми чи різниці, яка поміщена у дужки.

Так ми звикли розглядати процес розкриття дужок у курсі шкільної програми. Однак ніхто не заважає нам подивитися на цю дію ширшу. Ми можемо назвати розкриттям дужок перехід від виразу, що містить негативні числа у дужках, до виразу, що не має дужок. Наприклад, ми можемо перейти від 5+(−3)−(−7) до 5−3+7. Фактично це теж розкриття дужок.

Так само ми можемо замінити твір виразів у дужках виду (a + b) · (c + d) на суму a · c + a · d + b · c + b · d. Такий прийом також суперечить сенсу розкриття дужок.

Ось ще один приклад. Ми можемо припустити, що у виразах замість чисел та змінних можуть бути використані будь-які вирази. Наприклад, виразу x 2 · 1 a - x + sin (b) буде відповідати вираз без дужок виду x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · sin (b) .

На окрему увагу заслуговуватиме ще один момент, який стосується особливостей запису рішень при розкритті дужок. Ми можемо записати початковий вираз зі дужками та отриманий після розкриття дужок результат як рівність. Наприклад, після розкриття дужок замість виразу 3 − (5 − 7) ми отримуємо вираз 3 − 5 + 7 . Обидва ці вирази ми можемо записати у вигляді рівності 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 .

Проведення дій з громіздкими виразами може вимагати запису проміжних результатів. Тоді рішення матиме вигляд ланцюжка рівностей. Наприклад, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 або 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

Правила розкриття дужок, приклади

Приступимо до розгляду правил розкриття дужок.

У одиночних чисел у дужках

Негативні числа у дужках часто зустрічаються у виразах. Наприклад, (−4) та 3+(−4) . Позитивні числа в дужках теж мають місце.

Сформулюємо правило розкриття дужок, у яких укладено поодинокі позитивні числа. Припустимо, що а це будь-яке позитивне число. Тоді (а) ми можемо замінити а, + (а) на + а, - (а) на – а. Якщо замість взяти конкретне число, то згідно з правилом: число (5) запишеться як 5 , вираз 3 + (5) без дужок набуде вигляду 3 + 5 , оскільки + (5) замінюється на + 5 , а вираз 3 + (− 5) еквівалентний виразу 3 − 5 , так як + (− 5) замінюється на − 5 .

Позитивні числа зазвичай записуються без використання дужок, оскільки дужки у разі зайві.

Тепер розглянемо правило розкриття дужок, у яких міститься одиночне негативне число. + (− a)ми замінюємо на − a, − (− a) замінюється на + a . Якщо вираз починається з негативного числа (− a), Яке записано в дужках, то дужки опускаються і замість (− a)залишається − a.

Наведемо приклади: (− 5) можна записати як − 5 , (− 3) + 0 , 5 набуває вигляду − 3 + 0 , 5 , 4 + (− 3) перетворюється на 4 − 3 , а − (− 4) − (− 3) після розкриття дужок набуває вигляду 4 + 3 , оскільки − (− 4) та − (− 3) замінюється на +4 і +3.

Слід розуміти, що записати вираз 3 · (-5) як 3 · - 5 не можна. Про це йтиметься у наступних пунктах.

Давайте подивимося, на чому ґрунтуються правила розкриття дужок.

Відповідно до правила різниця a − b дорівнює a + (− b) . На основі властивостей дій з числами ми можемо скласти ланцюжок рівностей (a + (−b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = aяка буде справедлива. Цей ланцюжок рівностей через сенс віднімання доводить, що вираз a + (− b) - це різниця a − b.

На основі властивостей протилежних чисел і правил віднімання негативних чисел ми можемо стверджувати, що − (− a) = a , a − (− b) = a + b .

Зустрічаються вирази, що складаються з числа, знаків мінусу та кількох пар дужок. Використання наведених вище правил дозволяє послідовно позбавлятися дужок, просуваючись від внутрішніх дужок до зовнішніх або у зворотному напрямку. Прикладом такого виразу може бути −(−((−(5)))) . Розкриємо дужки, просуваючись зсередини назовні: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Також цей приклад можна розібрати і у зворотному напрямку: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

Під aі b можна розуміти не тільки числа, але також довільні чисельні або буквені виразизі знаком «+» попереду, які не є сумами чи різницями. У всіх цих випадках можна застосовувати правила так само, як ми робили це щодо одиночних чисел у дужках.

Наприклад, після розкриття дужок вираз − (− 2 · x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 · x · y 2: z)набуде вигляду 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2: z . Як ми це зробили? Ми знаємо, що − (− 2 · x) є + 2 · x , тому що цей вираз стоїть спочатку, то + 2 · x можна записати як 2 · x , − (x 2) = − x 2, + (− 1 x) = − 1 x та − (2 · x · y 2: z) = − 2 · x · y 2: z.

У творах двох чисел

Почнемо із правила розкриття дужок у творі двох чисел.

Припустимо, що aі b – це два позитивні числа. У цьому випадку добуток двох негативних чисел − aі − b виду (− a) · (− b) ми можемо замінити на (a · b) , а добутки двох чисел із протилежними знаками виду (− a) · b та a · (− b) замінити на (− a · b). Множення мінусу на мінус дає плюс, а множення мінусу на плюс, як і множення плюсу на мінус дає мінус.

Вірність першої частини записаного правила підтверджується правилом множення негативних чисел. Для підтвердження другої частини правила ми можемо використовувати правила множення чисел з різними знаками.

Розглянемо кілька прикладів.

Приклад 1

Розглянемо алгоритм розкриття дужок у творі двох негативних чисел - 4 3 5 і - 2 виду (- 2) · - 4 3 5 . Для цього замінимо вихідний вираз на 2 · 4 3 5 . Розкриємо дужки та отримаємо 2 · 4 3 5 .

А якщо ми візьмемо приватне негативних чисел (− 4) : (− 2) , то запис після розкриття дужок матиме вигляд 4: 2

На місці негативних чисел − aі − b можуть бути будь-які вирази зі знаком мінус попереду, які не є сумами чи різницями. Наприклад, це може бути твори, приватні, дроби, ступеня, коріння, логарифмы, тригонометричні функціїі т.п.

Розкриємо дужки у виразі - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5). Відповідно до правила, ми можемо зробити такі перетворення: - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) = - 3 · x x 2 + 1 · x · ln 5 = 3 · x x 2 + 1 · x · ln 5 .

Вираз (−3) · 2можна перетворити на вираз (− 3 · 2). Після цього можна розкрити дужки: − 3 · 2.

2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5

Поділ чисел з різними знаками також може вимагати попереднього розкриття дужок: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 і 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5.

Правило може бути використане для виконання множення та поділу виразів із різними знаками. Наведемо два приклади.

1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3

sin (x) · (- x 2) = (- sin (x) · x 2) = - sin (x) · x 2

У творах трьох та більшої кількості чисел

Перейдемо до твору та приватних, які містять більша кількістьчисел. Для розкриття дужок тут діятиме наступне правило. При парній кількостінегативних чисел можна опустити дужки, замінивши числа протилежними. Після цього необхідно укласти отриманий вираз у нові дужки. При непарній кількості негативних чисел, опустивши дужки, замінити числа на протилежні. Після цього отриманий вираз необхідно взяти у нові дужки та поставити перед ним знак мінус.

Приклад 2

Наприклад, візьмемо вираз 5 · (− 3) · (− 2) , який є добутком трьох чисел. Негативних чисел два, отже, ми можемо записати вираз як (5 · 3 · 2) і потім остаточно розкрити дужки, отримавши вираз 5 · 3 · 2 .

У творі (− 2 , 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1 , 25) : (− 1) п'ять чисел є негативними. тому (− 2 , 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1 , 25) : (− 1) = (− 2 , 5 · 3: 2 · 4: 1 , 25: 1) . Остаточно розкривши дужки, отримуємо −2,5·3:2·4:1,25:1.

Обґрунтувати наведене вище правило можна в такий спосіб. По-перше, такі висловлювання ми можемо переписати як твір, замінивши множенням на зворотне число поділ. Представляємо кожне негативне число як добуток розмножувального числа і - 1 або - 1 замінюємо на (− 1) · a.

Використовуючи переміщувальну властивість множення міняємо місцями множники та переносимо всі множники, рівні − 1 , На початок висловлювання. Добуток парного числа мінус одиниць дорівнює 1 , а непарного – одно − 1 що дозволяє нам використовувати знак мінус.

Якби ми не використовували правило, то ланцюжок дій з розкриття дужок у виразі - 2 3: (- 2) · 4: - 6 7 виглядав би так:

2 3: (-2) · 4: - 6 7 = - 2 3 · - 1 2 · 4 · - 7 6 = = (- 1) · 2 3 · (- 1) · 1 2 · 4 · (- 1 ) · 7 6 = = (- 1) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6

Наведене вище правило може бути використане при розкритті дужок у виразах, які є творами і приватними зі знаком мінус, що не є сумами або різницями. Візьмемо для прикладу вираз

x 2 · (- x) : (- 1 x) · x - 3: 2 .

Його можна привести до вираження без дужок x 2 · x: 1 x · x - 3: 2 .

Розкриття дужок, перед якими стоїть знак.

Розглянемо правило, яке можна застосувати для розкриття дужок, перед якими стоїть знак плюс, а вміст цих дужок не множиться і не ділиться на якесь число або вираз.

Згідно з правилом дужки разом із знаком, що стоїть перед ними, опускаються, при цьому знаки всіх доданків у дужках зберігаються. Якщо перед першим доданком у дужках не стоїть жодного знака, то потрібно поставити знак плюс.

Приклад 3

Для прикладу наведемо вираз (12 − 3 , 5) − 7 . Опустивши дужки, ми зберігаємо знаки доданків у дужках і ставимо перед першим доданком знак плюс. Запис матиме вигляд (12 − ​​3 , 5) − 7 = + 12 − 3 , 5 − 7 . У наведеному прикладі знак перед першим доданком ставити не обов'язково, тому що + 12 − 3 , 5 − 7 = 12 − 3 , 5 − 7 .

Приклад 4

Розглянемо ще один приклад. Візьмемо вираз x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x і проведемо з ним дії x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

Ось ще один приклад розкриття дужок:

Приклад 5

2 + x 2 + 1 x - x · y · z + 2 · x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x · y · z + 2 · x - 1 - 1 + x + x 2

Як розкриваються дужки, перед якими стоїть знак мінус

Розглянемо випадки, коли перед дужками стоїть знак мінус і які не множаться (або діляться) на якесь число або вираз. Відповідно до правила розкриття дужок, перед якими стоїть знак "-", дужки зі знаком "-" опускаються, при цьому знаки всіх доданків усередині дужок змінюються на протилежні.

Приклад 6

Наприклад:

1 2 = 1 2 , - 1 x + 1 = - 1 x + 1 , - (- x 2) = x 2

Вирази зі змінними можуть бути перетворені з використанням того самого правила:

X + x 3 - 3 - - 2 · x 2 + 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2

отримуємо x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2 .

Розкриття дужок при множенні числа на дужку, вирази на дужку

Тут ми розглянемо випадки, коли потрібно розкрити дужки, які множаться чи поділяються на якесь число або вираз. Тут застосовні формули виду (a 1 ± a 2 ± … ± a n) · b = (a 1 · b ± a 2 · b ± … ± a n · b) або b · (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n), де a 1 , a 2 , … , a nі b – деякі числа чи вирази.

Приклад 7

Наприклад, проведемо розкриття дужок у виразі (3 − 7) · 2. Відповідно до правила, ми можемо провести такі перетворення: (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . Отримуємо 3 · 2 - 7 · 2 .

Розкривши дужки у виразі 3 · x 2 · 1 - x + 1 x + 2, отримуємо 3 x 2 · 1 - 3 · x 2 · x + 3 · x 2 · 1 x + 2 .

Розмноження дужки на дужку

Розглянемо добуток двох дужок виду (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2). Це допоможе нам отримати правило для розкриття дужок під час проведення множення дужки на дужку.

Для того, щоб вирішити наведений приклад, позначимо вираз (b 1 + b 2)як b. Це дозволить нам використовувати правило множення дужки на вираз. Отримаємо (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b. Виконавши зворотну заміну bна (b 1 + b 2), знову застосуємо правило множення виразу на дужку: a 1 · b + a 2 · b = = a 1 · (b 1 + b 2) + a 2 · (b 1 + b 2) = = (a 1 · b 1 + a 1 · b 2) + (a 2 · b 1 + a 2 · b 2) = = a 1 · b 1 + a 1 · b 2 + a 2 · b 1 + a 2 · b 2

Завдяки ряду нескладних прийомів ми можемо дійти суми творів кожного з доданків з першої дужки на кожне з доданків з другої дужки. Правило можна поширити на будь-яку кількість доданків усередині дужок.

Сформулюємо правила множення дужки на дужку: щоб перемножити між собою дві суми, необхідно кожне із доданків першої суми перемножити на кожне із доданків другої суми і скласти отримані результати.

Формула матиме вигляд:

(a 1 + a 2 + . . . + a m) · (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2+ . . . + a 2 b n + +. . . + + a m b 1 + a m b 1 +. . . a m b n

Проведемо розкриття дужок у виразі (1 + x) · (x 2 + x + 6) Воно є добутком двох сум. Запишемо рішення: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6

Окремо варто зупинитися на тих випадках, коли в дужках є знак мінус поряд зі знаками плюс. Наприклад візьмемо вираз (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .

Спочатку представимо вирази у дужках у вигляді сум: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)). Тепер ми можемо застосувати правило: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 · x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))

Розкриємо дужки: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .

Розкриття дужок у творах кількох дужок та виразів

За наявності у виразі трьох і більше виразів у дужках, розкривати дужки необхідно послідовно. Почати перетворення необхідно з того, що два перші множники беруть у дужки. Усередині цих дужок ми можемо проводити перетворення згідно з правилами, розглянутими вище. Наприклад, дужки у виразі (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8).

У виразі міститься відразу три множники (2 + 4) , 3 і (5 + 7 · 8). Розкриватимемо дужки послідовно. Укладемо перші два множники ще в одні дужки, які для наочності зробимо червоними: (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) = ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8).

Відповідно до правила множення дужки на число ми можемо провести такі дії: ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · (5 + 7 · 8).

Помножуємо дужку на дужку: (2 · 3 + 4 · 3) · (5 + 7 · 8) = 2 · 3 · 5 + 2 · 3 · 7 · 8 + 4 · 3 · 5 + 4 · 3 · 7 · 8 .

Дужка в натуральному ступені

Ступені, основами яких є деякі вирази, записані в дужках, з натуральними показниками можна як твір кількох дужок. При цьому за правилами із двох попередніх пунктів їх можна записати без цих дужок.

Розглянемо процес перетворення виразу (a + b + c) 2 . Його можна записати у вигляді твору двох дужок (a + b + c) · (a + b + c). Зробимо множення дужки на дужку і отримаємо a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c.

Розберемо ще один приклад:

Приклад 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 · 1 x + 2 · 1 x + 2 = = 1 x · 1 x + 1 x · 2 + 2 · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 · 2 · 2

Поділ дужки на число та дужки на дужку

Розподіл дужки на число припускає, що необхідно розділити на число всі укладені в дужки складові. Наприклад, (x 2 – x) : 4 = x 2: 4 – x: 4 .

Поділ можна попередньо замінити множенням, після чого можна скористатися відповідним правиломрозкриття дужок у творі Це правило застосовно і при розподілі дужки на дужку.

Наприклад, нам необхідно розкрити дужки у виразі (x + 2): 2 3 . Для цього спочатку замінимо розподіл множенням на зворотне число (x + 2): 23 = (x + 2) · 23. Помножимо дужку на число (x + 2) · 23 = x · 23 + 2 · 23.

Ось ще один приклад поділу на дужку:

Приклад 9

1 x + x + 1: (x + 2).

Замінимо поділ множенням: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 .

Виконаємо множення: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .

Порядок розкриття дужок

Тепер розглянемо порядок застосування правил, розібраних вище у виразах загального вигляду, тобто. у виразах, що містять суми з різницями, твори з приватними, дужки у натуральному ступені.

Порядок виконання дій:

• насамперед необхідно виконати зведення дужок у натуральний ступінь;
• на другому етапі проводиться розкриття дужок у творах та приватних;
• заключним кроком буде розкриття дужок у сумах та різницях.

Розглянемо порядок виконання дій на прикладі виразу (-5) + 3 · (-2) : (-4) - 6 · (-7). Намнем перетворення з виразів 3 · (− 2) : (− 4) та 6 · (− 7) , які мають набути вигляду (3 · 2: 4)та (− 6 · 7) . При підстановці отриманих результатів у вихідний вираз отримуємо: (−5) + 3 · (−2) : (−4) − 6 · (−7) = (−5) + (3 · 2: 4) − (−6 · 7). Розкриваємо дужки: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7 .

Маючи справу з виразами, що містять дужки в дужках, зручно проводити перетворення, просуваючись зсередини назовні.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter