Властивості функції x n. Показова функція – властивості, графіки, формули

Функція де Х – змінна величина, A – задане число, називається Ступеневою функцією .

Якщо це – лінійна функція, її графік – пряма лінія (див. параграф 4.3, рис. 4.7).

Якщо то - квадратична функція, її графік парабола (див. параграф 4.3, рис. 4.8).

Якщо її графік – кубічна парабола (див. параграф 4.3, рис. 4.9).

Ступенева функція

Це зворотна функціядля

1. Область визначення:

2. Безліч значень:

3. Парність та непарність:функція непарна.

4. Періодичність функції:неперіодична.

5. Нулі функції: X= 0 – єдиний нуль.

6. найбільшого та найменшого значень функція не має.

7.

8. Графік функціїСиметричний графіку кубічної параболи щодо прямої Y =Xта зображений на рис. 5.1.

Ступенева функція

1. Область визначення:

2. Безліч значень:

3. Парність та непарність:функція парна.

4. Періодичність функції:неперіодична.

5. Нулі функції:єдиний нуль X = 0.

6. Найбільше та найменше значення функції:приймає найменше значення для X= 0, воно дорівнює 0.

7. Проміжки зростання та зменшення:функція є спадною на проміжку і зростаючою на проміжку

8. Графік функції(для кожного N Î N) «схожий» на графік квадратичної параболи(графіки функцій зображено на рис. 5.2).

Ступенева функція

1. Область визначення:

2. Безліч значень:

3. Парність та непарність:функція непарна.

4. Періодичність функції:неперіодична.

5. Нулі функції: X= 0 – єдиний нуль.

6. Найбільше та найменше значення:

7. Проміжки зростання та зменшення:функція є зростаючою по всій області визначення.

8. Графік функції(Для кожного) «схожий» на графік кубічної параболи (графіки функцій зображені на рис. 5.3).

Ступенева функція

1. Область визначення:

2. Безліч значень:

3. Парність та непарність:функція непарна.

4. Періодичність функції:неперіодична.

5. Нулі функції:нулів немає.

6. Найбільше та найменше значення функції:найбільшого та найменшого значень функція не має за будь-якого

7. Проміжки зростання та зменшення:функція є спадною в області визначення.

8. Асимптоти:(вісь Оу) - Вертикальна асимптота;

(вісь Ох) – горизонтальна асимптота.

9. Графік функції(для будь-якого N) «схожий» на графік гіперболи (графіки функцій зображені на рис. 5.4).

Ступенева функція

1. Область визначення:

2. Безліч значень:

3. Парність та непарність:функція парна.

4. Періодичність функції:неперіодична.

5. Найбільше та найменше значення функції:найбільшого та найменшого значень функція не має за будь-якого

6. Проміжки зростання та зменшення:функція є зростаючою на і спадаючою на

7. Асимптоти: X= 0 (вісь Оу) - Вертикальна асимптота;

Y= 0 (вісь Ох) – горизонтальна асимптота.

8. Графіками функційЄ квадратичні гіперболи (рис. 5.5).

Ступенева функція

1. Область визначення:

2. Безліч значень:

3. Парність та непарність:функція не має властивості парності і непарності.

4. Періодичність функції:неперіодична.

5. Нулі функції: X= 0 – єдиний нуль.

6. Найбільше та найменше значення функції:найменше значення, що дорівнює 0, функція приймає в точці X= 0; найбільшого значенняне має.

7. Проміжки зростання та зменшення:функція є зростаючою по всій області визначення.

8. Кожна така функція за певного показника є зворотною для функції за умови

9. Графік функції«схожий» на графік функції за будь-якого Nта зображений на рис. 5.6.

Ступенева функція

1. Область визначення:

2. Безліч значень:

3. Парність та непарність:функція непарна.

4. Періодичність функції:неперіодична.

5. Нулі функції: X= 0 – єдиний нуль.

6. Найбільше та найменше значення функції:найбільшого та найменшого значень функція не має за будь-якого

7. Проміжки зростання та зменшення:функція є зростаючою по всій області визначення.

8. Графік функціїЗображено на рис. 5.7.

Нагадаємо властивості та графіки статечних функцій з цілим негативним показником.

При парних n, :

Приклад функції:

Усі графіки таких функцій проходять через дві фіксовані точки: (1; 1), (-1; 1). Особливість функцій цього виду - їх парність, графіки симетричні щодо осі ОУ.

Рис. 1. Графік функції

При непарних n, :

Приклад функції:

Усі графіки таких функцій проходять через дві фіксовані точки: (1; 1), (-1; -1). Особливість функцій цього виду - їх непарність, графіки симетричні щодо початку координат.

Рис. 2. Графік функції

Нагадаємо основне визначення.

Ступенем неотрицательного числа а з раціональним позитивним показником називається число.

Ступенем позитивного числа з раціональним негативним показником називається число .

Для виконується рівність:

Наприклад: ; - Вираз не існує за визначенням ступеня з негативним раціональним показником; існує, тому що показник ступеня цілий,

Перейдемо до розгляду статечних функцій із раціональним негативним показником.

Наприклад:

Для побудови графіка цієї функції можна скласти таблицю. Ми зробимо інакше: спочатку побудуємо та вивчимо графік знаменника – він нам відомий (рисунок 3).

Рис. 3. Графік функції

Графік функції знаменника проходить через фіксовану точку (1; 1). При побудові графіка вихідної функції ця точка залишається, при корінь також прагне нулю, функція прагне нескінченності. І, навпаки, при прагненні х до нескінченності функція прагне нуля (рисунок 4).

Рис. 4. Графік функції

Розглянемо ще одну функцію із сімейства досліджуваних функцій.

Важливо, що за визначенням

Розглянемо графік функції, що стоїть у знаменнику: , графік цієї функції нам відомий, вона зростає у своїй області визначення і проходить через точку (1;1) (рисунок 5).

Рис. 5. Графік функції

При побудові графіка вихідної функції точка (1;1) залишається, при корінь також прагне нулю, функція прагне нескінченності. І, навпаки, при прагненні х до нескінченності функція прагне нуля (рисунок 6).

Рис. 6. Графік функції

Розглянуті приклади допомагають зрозуміти, як проходить графік і які властивості досліджуваної функції - функції з негативним раціональним показником.

Графіки функцій даного сімейства проходять через точку (1;1), функція зменшується по всій області визначення.

Область визначення функції:

Функція не обмежена згори, але знизу. Функція не має ні найбільшого, ні найменшого значення.

Функція безперервна, набуває всіх позитивних значень від нуля до плюс нескінченності.

Функція опукла вниз (рис. 15.7)

На кривій взяті точки А і В, через них проведений відрізок, вся крива знаходиться нижче відрізка, дана умова виконується для довільних двох точок на кривій, отже опукла функція вниз. Рис. 7.

Рис. 7. Випуклість функції

Важливо зрозуміти, що функції даного сімейства обмежені знизу банкрутом, але найменшого значення немає.

Приклад 1 - знайти максимум і мінімум функції на інтервалі \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty) x^(2n)\)=+\infty \]

Графік (рис. 2).

Рисунок 2. Графік функції $f\left(x\right)=x^(2n)$

Властивості статечної функції з натуральним непарним показником

Область визначення - всі дійсні числа.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- функція непарна.

$f(x)$ - безперервна по всій області визначення.

Область значення - всі дійсні числа.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Функція зростає по всій області визначення.

$f\left(x\right)0$, при $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Функція увігнута, за $x\in (-\infty ,0)$ і опукла, за $x\in (0,+\infty)$.

Графік (рис. 3).

Рисунок 3. Графік функції $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Ступенева функція з цілим показником

Спочатку введемо поняття ступеня з цілим показником.

Визначення 3

Ступінь дійсного числа $a$ з цілим показником $n$ визначається формулою:

Рисунок 4.

Розглянемо тепер статечну функцію з цілим показником, її властивості та графік.

Визначення 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ називається статечною функцією з цілим показником.

Якщо ступінь більший за нуль, то ми приходимо до випадку статечної функції з натуральним показником. Його ми вже розглянули вище. При $n=0$ ми матимемо лінійну функцію $y=1$. Її розгляд залишимо читачеві. Залишилося розглянути властивості статечної функції із негативним цілим показником

Властивості статечної функції з негативним показником

Область визначення - $ \ left (- \ infty, 0 \ right) (0, + \ infty) $.

Якщо показник парний, то функція парна, якщо непарна, то функція непарна.

$f(x)$ - безперервна по всій області визначення.

Область значення:

Якщо показник парний, то $(0,+\infty)$, якщо непарний, то $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

При непарному показнику функція зменшується, за $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. При парному показнику функція зменшується за $x\in (0,+\infty)$. і зростає, за $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ на всій області визначення

Наведено довідкові дані щодо показової функції - основні властивості, графіки та формули. Розглянуто такі питання: область визначення, безліч значень, монотонність, зворотна функція, похідна, інтеграл, розкладання в статечний ряд та подання за допомогою комплексних чисел.

Визначення

Показова функція - це узагальнення добутку n чисел, рівних a:
y (n) = a n = a·a·a···a,
на безліч дійсних чисел x:
y (x) = a x.
Тут a – фіксоване дійсне число, яке називають основою показової функції.
Показову функцію з основою a також називають експонентою на підставі a.

Узагальнення виконується в такий спосіб.
При натуральному x = 1, 2, 3,... , показова функція є твором x множників:
.
При цьому вона має властивості (1.5-8) (), які випливають із правил множення чисел. При нульовому та негативних значенняхцілих чисел, показову функцію визначають за формулами (1.9-10). При дробових значеннях x = m/n раціональних чисел, , її визначають за формулою (1.11). Для дійсних , показову функцію визначають як межа послідовності:
,
де - довільна послідовність раціональних чисел, що сходить до x: .
При такому визначенні, показова функція визначена всім , і задовольняє властивостям (1.5-8), як й у натуральних x .

Суворе математичне формулювання визначення показової функції та доказ її властивостей наводиться на сторінці «Визначення та доказ властивостей показової функції».

Властивості показової функції

Показова функція y = a x має такі властивості на безлічі дійсних чисел ( ) :
(1.1) визначена і безперервна, при , всім ;
(1.2) при a ≠ 1 має безліч значень;
(1.3) суворо зростає при , суворо зменшується при ,
є постійною при ;
(1.4) при;
при;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Інші корисні формули.
.
Формула перетворення до показової функції з іншою підставою ступеня:

При b = e отримуємо вираз показової функції через експоненту:

Приватні значення

, , , , .

На малюнку представлені графіки показової функції
y (x) = a x
для чотирьох значень підстави ступеня: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 та a = 1/8 . Видно, що за a > 1 Показова функція монотонно зростає. Чим більша підстава ступеня a, тим сильніше зростання. При 0 < a < 1 показова функція монотонно зменшується. Чим менший показникступеня a тим більше сильне спадання.

Зростання, спадання

Показова функція, є строго монотонною, тому екстремумів не має. Основні її властивості представлені у таблиці.

	y = a x , a > 1	y = a x , 0 < a < 1
Область визначення	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Область значень	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Монотонність	монотонно зростає	монотонно зменшується
Нулі, y = 0	ні	ні
Крапки перетину з віссю ординат, x = 0	y = 1	y = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Зворотна функція

Зворотною для показової функції з основою ступеня є логарифм з основи a .

Якщо то
.
Якщо то
.

Диференціювання показової функції

Для диференціювання показової функції, її основу потрібно привести до e, застосувати таблицю похідних і правило диференціювання складної функції.

Для цього потрібно використовувати властивість логарифмів
та формулу з таблиці похідних:
.

Нехай задана показова функція:
.
Приводимо її до основи e:

Застосуємо правило диференціювання складної функції. Для цього вводимо змінну

Тоді

З таблиці похідних маємо (замінимо змінну x на z):
.
Оскільки - це постійна, то похідна z x дорівнює
.
За правилом диференціювання складної функції:
.

Похідна показової функції

.
Похідна n-го порядку:
.
Висновок формул > > >

Приклад диференціювання показової функції

Знайти похідну функції
y = 3 5 x

Рішення

Виразимо основу показової функції через число e.
3 = e ln 3
Тоді
.
Вводимо змінну
.
Тоді

З таблиці похідних знаходимо:
.
Оскільки 5ln 3- це постійна, то похідна z x дорівнює:
.
За правилом диференціювання складної функції маємо:
.

Відповідь

Інтеграл

Вирази через комплексні числа

Розглянемо функцію комплексного числа z:
f (z) = a z
де z = x + iy; i 2 = - 1 .
Виразимо комплексну постійну a через модуль r та аргумент φ :
a = r e i φ
Тоді


.
Аргумент φ визначено неоднозначно. В загальному вигляді
φ = φ 0 + 2 πn,
де n – ціле. Тому функція f (z)також не однозначна. Часто розглядають її головне значення
.

Розкладання в ряд

.

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.

Рекомендуємо також

• Імпульсний блок живлення: ремонт та доробка
• Дистанційне керування світлом
• Навчання плавання дітей дошкільного віку
• Нотатки для майстра - домашні побутові сигналізатори
• Годинник пропелер на Atmega8
• Пристрій та приклади застосування реле, як вибрати та правильно підключити реле Мікроконтролер та реле найпростіші схеми включення