За допомогою будь-якої мови можна висловити ту саму інформацію різними словамита оборотами. Не є винятком і математична мова. Але те саме вираз можна еквівалентним чином записати по-різному. І в деяких ситуаціях один із записів є більш простим. Про спрощення висловлювань ми й поговоримо на цьому уроці.

Люди спілкуються на різних мовах. Для нас важливим порівнянням є пара «російська мова – математична мова». Одну й ту саму інформацію можна повідомити різними мовами. Але, крім цього, її можна однією мовою вимовити по-різному.

Наприклад: «Петя товаришує з Васею», «Вася товаришує з Петею», «Петя з Васею друзі». Сказано по-різному, але те саме. За будь-якою з цих фраз ми зрозуміли б, про що йдеться.

Давайте подивимося таку фразу: «Хлопчик Петя і хлопчик Вася дружать». Ми зрозуміли, про що йде мова. Проте нам не подобається, як звучить ця фраза. Чи не можемо ми її спростити, сказати те саме, але простіше? «Хлопчик і хлопчик» - можна один раз сказати: «Хлопчики Петя і Вася дружать».

Хлопчики... Хіба за іменами не зрозуміло, що вони не дівчатка. Прибираємо «хлопчики»: «Петя та Вася дружать». А слово «дружать» можна замінити на «друзі»: «Петя та Вася – друзі». У результаті першу, довгу негарну фразу замінили еквівалентним висловлюванням, яке простіше сказати та простіше зрозуміти. Ми спростили цю фразу. Спростити- означає сказати простіше, але не втратити, не спотворити сенс.

У математичній мові відбувається приблизно те саме. Одне й те саме можна сказати, записати по-різному. Що означає спростити вираз? Це означає, що з вихідного висловлювання існує безліч еквівалентних виразів, тобто тих, що означають те саме. І з усієї цієї множини ми повинні вибрати найпростіше, на наш погляд, чи найпридатніше для наших подальших цілей.

Наприклад, розглянемо числове вираз . Йому еквівалентне буде.

Також буде еквівалентно першим двом: .

Виходить, що ми спростили наші вирази і знайшли найкоротший еквівалентний вираз.

Для числових виразів завжди потрібно виконувати всі дії та отримувати еквівалентний вираз у вигляді одного числа.

Розглянемо приклад літерного виразу . Очевидно, що найпростіше буде .

У разі спрощення буквених виразів необхідно виконати всі дії, які можливі.

Чи завжди потрібно спрощувати вираз? Ні, іноді нам зручніше буде еквівалентний, але довший запис.

Приклад: від числа потрібно відібрати число .

Обчислити можна, але якби перше число було представлено своїм еквівалентним записом: , то обчислення було б миттєвими: .

Тобто спрощене вираження який завжди нам вигідно подальших обчислень.

Тим не менш, дуже часто ми стикаємося із завданням, яке так і звучить «спростити вираз».

Спростити вираз: .

Рішення

1) Виконаємо події у перших та у других дужках: .

2) Обчислимо твори: .

Очевидно, останній вираз має більш простий вигляд, ніж початковий. Ми його спростили.

Щоб спростити вираз, його необхідно замінити на еквівалентне (рівне).

Для визначення еквівалентного виразу необхідно:

1) виконати всі можливі дії,

2) користуватися властивостями додавання, віднімання, множення та поділу для спрощення обчислень.

Властивості додавання та віднімання:

1. Переміщувальна властивість додавання: від перестановки доданків сума не змінюється.

2. Поєднувальна властивість додавання: щоб до суми двох чисел додати третє число, можна до першого числа додати суму другого та третього числа.

3. Властивість віднімання суми з числа: щоб відняти суму з числа, можна віднімати кожне доданок окремо.

Властивості множення та розподілу

1. Переміщувальна властивість множення: від перестановки множників твір не змінюється.

2. Поєднання: щоб помножити число на добуток двох чисел, можна спочатку помножити його на перший множник, а потім отриманий добуток помножити на другий множник.

3. Розподільна властивість множення: щоб число помножити на суму, потрібно його помножити на кожне доданок окремо.

Подивимося, як ми насправді робимо обчислення в умі.

Обчисліть:

Рішення

1) Уявимо як

2) Представимо перший множник як суму розрядних доданківі виконаємо множення:

3) можна уявити як і виконати множення:

4) Замінимо перший множник еквівалентною сумою:

Розподільний закон можна використовувати і у зворотний бік: .

Виконайте дії:

1) 2)

Рішення

1) Для зручності можна скористатися розподільним законом, тільки використовувати його у зворотний бік – винести загальний множник за дужки.

2) Винесемо за дужки загальний множник

Необхідно купити лінолеум на кухню та передпокій. Площа кухні - , вітальні - . Є три види лінолеумів: по , і за . Скільки коштуватиме кожен із трьох видів лінолеуму? (Мал. 1)

Рис. 1. Ілюстрація до умови завдання

Рішення

Спосіб 1. Можна окремо знайти, скільки грошей потрібно на покупку лінолеуму в кухню, а потім у передпокій та отримані твори скласти.

Вирази, перетворення виразів

Ступінні вирази (вирази зі ступенями) та їх перетворення

У цій статті ми поговоримо про перетворення виразів зі ступенями. Спочатку ми зупинимося на перетвореннях, які виконуються з виразами будь-яких видів, у тому числі і зі статечними виразами, таких як розкриття дужок, приведення подібних доданків. А далі розберемо перетворення, властиві саме виразам зі ступенями: робота з основою та показником ступеня, використання властивостей ступенів тощо.

Навігація на сторінці.

Що таке статечні вирази?

Термін «статечні висловлювання» мало зустрічається шкільних підручниках математики, але досить часто фігурує у збірниках завдань, особливо призначених підготовки до ЄДІ та ОГЭ, например, . Після аналізу завдань, у яких потрібно виконати будь-які дії зі статечними виразами, стає зрозуміло, що під статечними виразами розуміють вирази, що містять у своїх записах ступеня. Тому для себе можна прийняти таке визначення:

Визначення.

Ступінні вирази- Це вирази, що містять ступеня.

Наведемо приклади статечних виразів. Причому будемо їх представляти відповідно до того, як відбувається розвиток поглядів на ступінь з натуральним показником до ступеня з дійсним показником.

Як відомо, спочатку відбувається знайомство зі ступенем числа з натуральним показником, на цьому етапі з'являються перші найпростіші статечні вирази типу 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1) 4 , 3·a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 тощо.

Трохи пізніше вивчається ступінь числа з цілим показником, що призводить до появи статечних виразів з цілими негативними ступенями, на кшталт наступних: 3 −2 , , a −2 +2·b −3 +c 2 .

У старших класах знову повертаються до ступенів. Там вводиться ступінь з раціональним показником, що тягне за собою появу відповідних статечних виразів: , , і т.п. Нарешті, розглядаються ступеня з ірраціональними показниками і їх висловлювання: , .

Перерахованими статечними виразами справа не обмежується: далі в показник ступеня проникає змінна, і виникають, наприклад, такі вирази 2 x 2 +1 або . А після знайомства з , починають зустрічатися вирази зі ступенями та логарифмами, наприклад, x 2·lgx −5·x lgx .

Отже, ми розібралися з питанням, що є статечні висловлювання. Далі вчитимемося перетворювати їх.

Основні види перетворень статечних виразів

Зі статечними виразами можна виконувати будь-які з основних тотожних перетворень виразів. Наприклад, можна розкривати дужки, замінювати числові вирази їх значеннями, наводити подібні доданки тощо. Природно, при цьому варто дотримуватися прийнятого порядку виконання дій. Наведемо приклади.

приклад.

Обчисліть значення статечного виразу 2 3 · (4 2 -12) .

Рішення.

Відповідно до порядку виконання дій спочатку виконуємо дії у дужках. Там, по-перше, замінюємо ступінь 4 2 її значенням 16 (за потреби дивіться ), і по-друге, обчислюємо різницю 16-12 = 4 . Маємо 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

В отриманому вираженні замінюємо ступінь 2 3 її значенням 8 після чого обчислюємо твір 8 · 4 = 32 . Це і є потрібне значення.

Отже, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Відповідь:

2 3 · (4 2 -12) = 32 .

приклад.

Спростити вирази зі ступенями 3·a 4 ·b −7 −1+2·a 4 ·b −7.

Рішення.

Вочевидь, що це вираз містить подібні доданки 3·a 4 ·b −7 і 2·a 4 ·b −7 , і ми можемо навести їх: .

Відповідь:

3·a 4 ·b −7 −1+2·a 4 ·b −7 =5·a 4 ·b −7 −1.

приклад.

Подайте вираз зі ступенями у вигляді твору.

Рішення.

Справитися з поставленим завданням дозволяє представлення числа 9 у вигляді ступеня 3 2 та подальше використання формули скороченого множення різниця квадратів:

Відповідь:

Також існує ряд тотожних перетворень, властивих саме статечним виразам. Далі ми їх розберемо.

Робота з основою та показником ступеня

Зустрічаються ступеня, в основі та/або показнику яких знаходяться не просто числа або змінні, а деякі вирази. Як приклад наведемо записи (2+0,3·7) 5-3,7 та (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

При роботі з подібними виразами можна як вираз на підставі ступеня, так і вираз у показнику замінити тотожно рівним виразомна ОДЗ його змінних. Іншими словами, ми можемо за відомими нам правилами окремо перетворювати основу ступеня, і окремо – показник. Зрозуміло, що в результаті цього перетворення вийде вираз, що тотожно дорівнює вихідному.

Такі перетворення дозволяють спрощувати вирази зі ступенями або досягати інших потрібних нам цілей. Наприклад, у згаданому вище статечному вираженні (2+0,3·7) 5-3,7 можна виконати дії з числами на підставі та показнику, що дозволить перейти до ступеня 4,1 1,3 . А після розкриття дужок і приведення подібних доданків на підставі ступеня (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) ми отримаємо статечний вираз. простого вигляду a 2 · (x + 1) .

Використання властивостей ступенів

Один із головних інструментів перетворення виразів зі ступенями – це рівності, що відображають . Нагадаємо основні із них. Для будь-яких позитивних чисел a і b та довільних дійсних чисел r і s справедливі такі властивості ступенів:

• a r · as = a r + s;
• a r: as = a r−s;
• (a · b) r = a r · b r;
• (a:b) r = r:b r ;
• (a r) s = a r · s.

Зауважимо, що з натуральних, цілих, і навіть позитивних показниках ступеня обмеження числа a і b може бути менш строгими. Наприклад, для натуральних чисел m і n рівність a m ·a n =a m+n правильне як для позитивних a , але й негативних, і для a=0 .

У школі основну увагу при перетворенні статечних виразів зосереджено саме на вмінні вибрати відповідна властивістьта правильно його застосувати. При цьому основи ступенів зазвичай позитивні, що дозволяє використовувати властивості ступенів без обмежень. Це ж стосується і перетворення виразів, що містять в підставах ступенів змінні - область допустимих значень змінних зазвичай така, що на ній підстави набувають лише позитивних значень, що дозволяє вільно використовувати властивості ступенів. Взагалі, потрібно постійно задаватися питанням, а чи можна в даному випадку застосовувати будь-яку властивість ступенів, адже неакуратне використання властивостей може призводити до звуження ОДЗ та інших неприємностей. Детально і на прикладах ці моменти розібрані у статті перетворення виразів з використанням властивостей ступенів. Тут ми обмежимося розглядом кількох простих прикладів.

приклад.

Подайте вираз a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 у вигляді ступеня з основою a .

Рішення.

Спочатку другий множник (a 2) −3 перетворимо за якістю зведення ступеня на ступінь: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Вихідний статечний вираз при цьому набуде вигляду a 2,5 ·a −6:a −5,5 . Очевидно, залишається скористатися властивостями множення та поділу ступенів з однаковою основою, маємо
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Відповідь:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Властивості ступенів при перетворенні статечних виразів використовуються як зліва направо, так і праворуч наліво.

приклад.

Знайти значення статечного виразу.

Рішення.

Рівність (a b) r = a r b r , застосоване справа наліво, дозволяє від вихідного виразу перейти до твору виду і далі. А при множенні ступенів однаковими підставамипоказники складаються: .

Можна було виконувати перетворення вихідного виразу та інакше:

Відповідь:

.

приклад.

Дано статечний вираз a 1,5 −a 0,5 −6 , введіть нову змінну t=a 0,5 .

Рішення.

Ступінь a 1,5 можна як a 0,5·3 і далі з урахуванням якості ступеня у ступеня (a r) s =a r·s , застосованого праворуч наліво, перетворити її до виду (a 0,5) 3 . Таким чином, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Тепер легко ввести нову змінну t=a 0,5, отримуємо t3-t-6.

Відповідь:

t 3 −t−6 .

Перетворення дробів, що містять ступеня

Ступінні вирази можуть містити дроби зі ступенями або являти собою такі дроби. До таких дробів повною мірою застосовні будь-які з основних перетворень дробів, які притаманні дробам будь-якого виду. Тобто, дроби, які містять ступеня, можна скорочувати, приводити до нового знаменника, працювати окремо з їх чисельником та окремо зі знаменником тощо. Для ілюстрації сказаних слів розглянемо розв'язання кількох прикладів.

приклад.

Спростити статечний вираз .

Рішення.

Дане статечне вираз являє собою дріб. Попрацюємо з її чисельником та знаменником. У чисельнику розкриємо дужки і спростимо отриманий після цього вираз, використовуючи властивості ступенів, а в знаменнику наведемо такі складові:

І ще змінимо знак знаменника, помістивши мінус перед дробом: .

Відповідь:

.

Приведення дробів, що містять ступеня, до нового знаменника проводиться аналогічно до приведення до нового знаменника. раціональних дробів. При цьому знаходиться додатковий множник і виконується множення на нього чисельника і знаменника дробу. Виконуючи цю дію, варто пам'ятати, що приведення до нового знаменника може спричинити звуження ОДЗ. Щоб цього не відбувалося, потрібно, щоб додатковий множник не звертався в нуль за жодних значень змінних з ОДЗ змінних для вихідного виразу.

приклад.

Наведіть дроби до нового знаменника: а) до знаменника a, б) до знаменника.

Рішення.

а) У цьому випадку досить просто збагнути, який додатковий множник допомагає досягти потрібного результату. Це множник a 0,3, оскільки a 0,7 · 0,3 = 0,7 +0,3 = . Зауважимо, що на області допустимих значень змінної a (це є безліч всіх позитивних дійсних чисел) ступінь a 0,3 не звертається в нуль, тому ми маємо право виконати множення чисельника та знаменника заданого дробу на цей додатковий множник:

б) Придивившись уважніше до знаменника, можна виявити, що

і множення цього виразу дасть суму кубів і , тобто, . А це і є новим знаменником, до якого нам потрібно привести вихідний дріб.

Так ми знайшли додатковий множник. На області допустимих значень змінних x і y вираз не звертається в нуль, тому ми можемо помножити на нього чисельник і знаменник дробу:

Відповідь:

а) , б) .

У скороченні дробів, що містять ступеня, також немає нічого нового: чисельник і знаменник представляються у вигляді деякої кількості множників, і скорочуються однакові множники чисельника та знаменника.

приклад.

Скоротіть дріб: а) , б).

Рішення.

а) По-перше, чисельник і знаменник можна скоротити на чисел 30 і 45, який дорівнює 15 . Також, очевидно, можна виконати скорочення на x 0,5+1 та на . Ось що ми маємо:

б) У цьому випадку однакових множників у чисельнику та знаменнику відразу не видно. Щоб отримати їх, доведеться виконати попередні перетворення. У разі вони полягають у розкладанні знаменника на множники за такою формулою різниці квадратів:

Відповідь:

а)

б) .

Приведення дробів до нового знаменника та скорочення дробів переважно використовується для виконання дій з дробами. Дії виконуються за відомими правилами. При складанні (відніманні) дробів, вони приводяться до спільного знаменника, після чого складаються (віднімаються) чисельники, а знаменник залишається тим самим. У результаті виходить дріб, чисельник якого є добуток чисельників, а знаменник – добуток знаменників. Розподіл на дріб є множення на дріб, зворотний йому.

приклад.

Виконайте дії .

Рішення.

Спочатку виконуємо віднімання дробів, що у дужках. Для цього наводимо їх до спільного знаменника, який є , після чого віднімаємо чисельники:

Тепер множимо дроби:

Очевидно, можливе скорочення на ступінь x 1/2 після якого маємо .

Ще можна спростити статечний вираз у знаменнику, скориставшись формулою різниця квадратів: .

Відповідь:

приклад.

Спростіть статечний вираз .

Рішення.

Очевидно, цей дріб можна скоротити на (x 2,7 +1) 2 , це дає дріб . Зрозуміло, треба ще щось зробити зі ступенями ікса. Для цього перетворимо отриманий дріб у твір. Це дає нам можливість скористатися властивістю поділу ступенів з однаковими основами: . І на закінчення процесу переходимо від останнього твору до дробу.

Відповідь:

.

І ще додамо, що можна і в багатьох випадках бажано множники з негативними показниками ступеня переносити з чисельника в знаменник або знаменника в чисельник, змінюючи знак показника. Такі перетворення часто спрощують подальші дії. Наприклад, статечний вираз можна замінити на .

Перетворення виразів з корінням та ступенями

Часто у виразах, у яких потрібно провести деякі перетворення, разом зі ступенями з дробовими показниками є і коріння. Щоб перетворити подібний вираз на потрібного вигляду, в більшості випадків достатньо перейти тільки до коріння або тільки до ступенів. Але оскільки працювати зі ступенями зручніше, зазвичай переходять від коріння до ступенів. Однак, здійснювати такий перехід доцільно тоді, коли ОДЗ змінних для вихідного виразу дозволяє замінити коріння ступенями без необхідності звертатися до модуля або розбивати ОДЗ на кілька проміжків (це ми докладно розібрали у статті перехід від коренів до ступенів і назад. вводиться ступінь з ірраціональним показником, що дозволяє говорити і про ступінь з довільним дійсним показником. показова функція , Яка аналітично задається ступенем, на основі якої знаходиться число, а в показнику - змінна. Так ми стикаємося зі статечними виразами, що містять числа на підставі ступеня, а в показнику - вирази зі змінними, і природно виникає необхідність виконання перетворень таких виразів.

Слід сказати, що перетворення виразів зазначеного виду зазвичай доводиться виконувати під час вирішення показових рівняньі показових нерівностей , і це перетворення досить прості. У переважній кількості випадків вони базуються на властивостях ступеня і націлені переважно на те, щоб надалі ввести нову змінну. Продемонструвати їх нам дозволить рівняння 5 2·x+1 −3·5 x ·7 x −14·7 2·x−1 =0.

По-перше, ступеня, у показниках яких перебуває сума деякої змінної (або вирази зі змінними) та числа, замінюються творами. Це відноситься до першого і останнього доданків вирази з лівої частини:
5 2·x ·5 1 −3·5 x ·7 x −14·7 2·x ·7 −1 =0,
5·5 2·x −3·5 x ·7 x −2·7 2·x =0.

Далі виконується розподіл обох частин рівності на вираз 7 2·x , яке на ОДЗ змінної x для вихідного рівняння набуває лише позитивних значень (це стандартний прийом розв'язання рівнянь такого виду, зараз не про нього, так що зосередьте увагу на подальших перетвореннях виразів зі ступенями ):

Тепер скорочуються дроби зі ступенями, що дає .

Нарешті, ставлення ступенів з однаковими показниками замінюється ступенями відносин, що призводить до рівняння , яке рівносильне . Виконані перетворення дозволяють ввести нову змінну, що зводить рішення вихідного показового рівняння до розв'язання квадратного рівняння

І. В. Бойков, Л. Д. РомановаЗбірник завдань для підготовки до ЄДІ. Ч. 1. Пенза 2003 року.

Алгебраїчне вираз у запису якого поряд з діями додавання, віднімання та множення використовують також розподіл на буквені вирази, називається дробовим алгебраїчним виразом. Такі, наприклад, вирази

Алгебраїчним дробом ми називаємо алгебраїчне вираз, що має вигляд приватного від розподілу двох цілих алгебраїчних виразів (наприклад, одночленів або багаточленів). Такі, наприклад, вирази

Третій вираз ).

Тотожні перетворення дробових алгебраїчних виразів мають здебільшого своєю метою представити їх у вигляді алгебраїчного дробу. Для відшукання загального знаменника використовується розкладання на множники знаменників дробів - доданків з метою віднайдення їх найменшого загального кратного. При скороченні алгебраїчних дробів може порушуватися строга тотожність виразів: необхідно виключати значення величин, у яких множник, який виробляється скорочення, перетворюється на нуль.

Наведемо приклади тотожних перетворень дробових виразів алгебри.

Приклад 1. Спростити вираз

Всі доданки можна привести до спільного знаменника (зручно при цьому змінити знак у знаменнику останнього доданку та знак перед ним):

Наше вираз одно одиниці при всіх значеннях крім цих значеннях воно не визначено і скорочення дробу незаконно).

Приклад 2. Подати у вигляді алгебраїчного дробу вираз

Рішення. За загальний знаменник можна прийняти вираз. Знаходимо послідовно:

Вправи

1. Знайти значення виразів алгебри при вказаних значеннях параметрів:

2. Розкласти на множники.

Математичний-Калькулятор-Онлайн v.1.0

Калькулятор виконує такі операції: додавання, віднімання, множення, розподіл, робота з десятковими, вилучення кореня, зведення в ступінь, обчислення відсотків та ін. Операції.

Рішення:

Як працювати з математичним калькулятором

Клавіша	Позначення	Пояснення
5	цифри 0-9	Арабські цифри. Уведення натуральних цілих чисел, нуля. Для отримання негативного цілого числа потрібно натиснути клавішу +/-
.	крапка кома)	Розділювач для позначення десяткового дробу. За відсутності цифри перед точкою (комою) калькулятор автоматично підставить нуль перед точкою. Наприклад: .5 – буде записано 0.5
+	знак плюс	Додавання чисел (цілі, десяткові дроби)
-	знак мінус	Віднімання чисел (цілі, десяткові дроби)
÷	знак розподілу	Розподіл чисел (цілі, десяткові дроби)
х	знак множення	Розмноження чисел (цілі, десяткові дроби)
√	корінь	Вилучення кореня з числа. При повторному натисканні на кнопку "кореня" проводиться обчислення з результату. Наприклад: корінь із 16 = 4; корінь із 4 = 2
x 2	зведення у квадрат	Зведення числа квадрат. При повторному натисканні на кнопку "зведення в квадрат" проводиться зведення у квадрат результату. Наприклад: квадрат 2 = 4; квадрат 4 = 16
1/х	дріб	Виведення у десяткові дроби. У чисельнику 1 в знаменнику вводиться число
%	відсоток	Отримання відсотка від числа. Для роботи необхідно ввести: число з якого вираховуватиметься відсоток, знак (плюс, мінус, ділити, помножити), скільки відсотків у чисельному вигляді, кнопка "%"
(	відкрита дужка	Відкрита дужка для визначення пріоритету обчислення. Обов'язково наявність закритої дужки. Приклад: (2+3)*2=10
)	закрита дужка	Закрита дужка для визначення пріоритету обчислення. Обов'язкова наявність відкритої дужки
±	плюс мінус	Змінює знак на протилежний
=	одно	Виводить результат рішення. Також над калькулятором у полі "Рішення" виводиться проміжні обчислення та результат.
←	видалення символу	Видаляє останній символ
З	скидання	Кнопка скидання. Повністю скидає калькулятор у положення "0"

Алгоритм роботи онлайн-калькулятора на прикладах

Додавання.

Додавання цілих натуральних чисел ( 5 + 7 = 12 )

Додавання цілих натуральних і негативних чисел ( 5 + (-2) = 3 )

Додавання десяткових дробових чисел { 0,3 + 5,2 = 5,5 }

Віднімання.

Віднімання цілих натуральних чисел ( 7 - 5 = 2 )

Віднімання цілих натуральних і негативних чисел ( 5 - (-2) = 7 )

Віднімання десяткових дробових чисел (6,5 - 1,2 = 4,3)

Множення.

Добуток цілих натуральних чисел ( 3 * 7 = 21 )

Добуток цілих натуральних і негативних чисел ( 5 * (-3) = -15 )

Добуток десяткових дробових чисел ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )

Поділ.

Розподіл цілих натуральних чисел ( 27 / 3 = 9 )

Поділ цілих натуральних та негативних чисел ( 15 / (-3) = -5 )

Поділ десяткових дробових чисел (6,2/2 = 3,1)

Вилучення кореня з числа.

Вилучення кореня з цілого числа ( корінь(9) = 3 )

Вилучення кореня з десяткових дробів ( корінь (2,5) = 1,58)

Вилучення кореня із суми чисел ( корінь(56 + 25) = 9 )

Вилучення кореня з різниці чисел ( корінь (32 – 7) = 5 )

Зведення числа квадрат.

Зведення у квадрат цілого числа ( (3) 2 = 9 )

Зведення в квадрат десяткових дробів ((2,2) 2 = 4,84)

Переклад у десяткові дроби.

Обчислення відсотків від числа

Збільшити на 15% число 230 (230 + 230 * 0,15 = 264,5)

Зменшити на 35% число 510 (510 - 510 * 0,35 = 331,5)

18% від числа 140 це (140 * 0,18 = 25,2)

Зручний та простий онлайн калькулятордробів із докладним рішеннямможе:

• Складати, віднімати, множити та ділити дроби онлайн,
• Отримувати готове рішеннядробів картинкою та зручно його переносити.



Результат вирішення дробів буде тут...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Знак дробу "/" + - * :
_Стерти Очистити
У нашого онлайн калькулятора дробів швидке введення. Щоб отримати рішення дробів, наприклад, просто напишіть 1/2+2/7 у калькулятор та натисніть кнопку " Вирішувати дроби". Калькулятор напише вам докладне рішеннядробіві видасть зручну для копіювання картинку.

Знаки, що використовуються для запису в калькуляторі

Набирати приклад для вирішення ви можете як з клавіатури, так і використовуючи кнопки.

Можливості онлайн калькулятора дробів

Калькулятор дробів може виконати операції лише з двома простими дробами. Вони можуть бути як правильними (числитель менший за знаменник), так і неправильними (числитель більший за знаменник). Числа в чисельнику та знаменники не можуть бути негативними і більше 999.
Наш онлайн калькулятор вирішує дроби та наводить відповідь до правильному вигляду- скорочує дріб і виділяє цілу частину, якщо потрібно.

Якщо вам потрібно вирішити негативні дроби, просто скористайтеся властивостями мінусу. При перемноженні та розподілі негативних дробів мінус на мінус дає плюс. Тобто добуток і розподіл негативних дробів, одно твору і поділу таких самих позитивних. Якщо один дріб при перемноженні або розподілі негативний, то просто приберіть мінус, а потім додайте його до відповіді. При складанні негативних дробів, результат буде таким же, якби ви складали такі ж позитивні дроби. Якщо ви додаєте один негативний дріб, то це теж саме, що відняти такий самий позитивний.
При відніманні негативних дробів, результат буде таким самим, начебто поміняли їх місцями і зробили позитивними. Тобто мінус на мінус у цьому випадку дає плюс, а від перестановки доданків сума не змінюється. Цими ж правилами ми користуємося при відніманні дробів одна з яких негативна.

Для вирішення змішаних дробів (дрібниць, у яких виділена ціла частина) просто заженіть цілу частину в дріб. Для цього помножте цілу частину на знаменник та додайте до чисельника.

Якщо вам потрібно вирішити онлайн 3 і більше дробу, то вирішувати їх слід по черзі. Спочатку порахуйте перші 2 дроби, потім із отриманою відповіддю вирішуйте наступний дріб і так далі. Виконуйте операції по черзі по 2 дроби, і в результаті ви отримаєте правильну відповідь.