Спільна система аx називається невизначеною якщо. Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь, методи розв'язання, приклади

Система називається спільної,або вирішуваної,якщо вона має принаймні одне рішення. Система називається несумісний,або нерозв'язноюякщо вона не має рішень.

Певна, невизначена СЛАУ.

Якщо СЛАУ має рішення і при цьому єдине, то її називають певноїа якщо рішення не єдине – то невизначеною.

МАТРичні РІВНЯННЯ

Матриці дають змогу коротко записати систему лінійних рівнянь. Нехай дана система з 3-х рівнянь із трьома невідомими:

Розглянемо матрицю системи та матриці стовпці невідомих та вільних членів

Знайдемо твір

тобто. в результаті твору ми отримуємо ліві частини рівнянь цієї системи. Тоді користуючись визначенням рівності матриць цю систему можна записати як

або коротше A∙X=B.

Тут матриці Aі Bвідомі, а матриця Xневідома. Її треба знайти, т.к. її елементи є рішенням цієї системи. Це рівняння називають матричним рівнянням.

Нехай визначник матриці відмінний від нуля A| ≠ 0. Тоді матричне рівняння вирішується в такий спосіб. Помножимо обидві частини рівняння зліва на матрицю A -1, зворотну матрицю A: . Оскільки A -1 A = Eі E∙X = X, то отримуємо рішення матричного рівняння у вигляді X = A -1 B .

Зауважимо, що оскільки зворотну матрицю можна знайти тільки для квадратних матриць, то матричним методом можна вирішувати ті системи, в яких число рівнянь збігається з кількістю невідомих.

Формули Крамера

Метод Крамера у тому, що ми послідовно знаходимо головний визначник системи, тобто. визначник матриці А: D = det (a i j) та n допоміжних визначників D i (i= ), що виходять з визначника D заміною i-го стовпця стовпцем вільних членів.

Формули Крамера мають вигляд: D x i = D i (i = ).

З цього випливає правило Крамера, яке дає вичерпну відповідь на питання про спільність системи: якщо головний визначник системи відмінний від нуля, то система має єдине рішення, яке визначається за формулами: x i = D i/D.

Якщо головний визначник системи D і всі допоміжні визначники D i = 0 (i = ), система має безліч рішень. Якщо головний визначник системи D = 0, хоча б один допоміжний визначник відмінний від нуля, то система несовместна.

Теорема (правило Крамера): Якщо визначник системи Δ ≠ 0, то система, що розглядається, має одне і тільки одне рішення, причому

Доказ: Отже, розглянемо систему 3-х рівнянь із трьома невідомими. Помножимо перше рівняння системи на алгебраїчне доповнення A 11елемента a 11, 2-е рівняння – на A 21і 3-те – на A 31:

Складемо ці рівняння:

Розглянемо кожну з дужок та праву частину цього рівняння. По теоремі про розкладання визначника за елементами 1-го стовпця.

Аналогічно можна показати, що і .

Нарешті неважко помітити, що

Отже, отримуємо рівність: . Отже, .

Аналогічно виводяться рівність і , звідки і слідує твердження теореми.

Теорема Кронекера – Капеллі.

Система лінійних рівнянь є спільною і тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці .

Доказ:Воно розпадається на два етапи.

1. Нехай система має рішення. Покажемо, що .

Нехай набір чисел є розв'язком системи. Позначимо через стовпець матриці , . Тоді, тобто стовпець вільних членів є лінійною комбінацією стовпців матриці. Нехай. Припустимо, що . Тоді по . Виберемо в базовий мінор. Він має порядок. Стовпець вільних членів повинен проходити через цей мінор, інакше він буде базовим мінором матриці. Стовпець вільних членів у мінорі є лінійною комбінацією стовпців матриці. У силу властивостей визначника , де - визначник, який виходить з мінору заміною стовпця вільних членів на стовпець. Якщо стовпець проходив через мінор M, то , буде два однакові стовпці і, отже, . Якщо стовпець не проходив через мінор, то відрізнятиметься від мінору порядку r+1 матриці лише порядком стовпців. Бо , то . Таким чином, що суперечить визначенню базисного мінору. Отже, припущення, що , не так.

2. Нехай. Покажемо, що система має рішення. Оскільки базовий мінор матриці є базисним мінором матриці . Нехай через мінор проходять стовпці . Тоді за теоремою про базисний мінор у матриці стовпець вільних членів є лінійною комбінацією зазначених стовпців:

(1)

Покладемо , , , , Інші невідомі візьмемо рівними нулю. Тоді за цих значень отримаємо

В силу рівності (1). Остання рівність означає, що набір чисел є розв'язком системи. Існування рішення підтверджено.

У розглянутій вище системі , і система є спільною. У системі , , і система є несумісною.

Хоча теорема Кронекера-Капеллі дає можливість визначити, чи є система спільною, застосовується вона досить рідко, в основному теоретичних дослідженнях. Причина полягає в тому, що обчислення, що виконуються при знаходженні рангу матриці, збігаються з обчисленнями при знаходженні рішення системи. Тому, зазвичай замість шукати і шукати рішення системи. Якщо його вдається знайти, то дізнаємося, що система спільна та одночасно отримуємо її рішення. Якщо рішення не вдається знайти, робимо висновок, що система несумісна.

Алгоритм знаходження рішень довільної системи лінійних рівнянь (метод Гаусса)

Нехай дана система лінійних рівнянь із невідомими. Потрібно знайти її загальне рішення, якщо вона є спільною, або встановити її несумісність. Метод, який буде викладено у цьому розділі, близький до методу обчислення визначника та методу знаходження рангу матриці. Пропонований алгоритм називається методом Гаусаабо методом послідовного виключення невідомих.

Випишемо розширену матрицю системи

Назвемо елементарними операціями такі дії з матрицями:

1. перестановка рядків;

2. множення рядка на число, відмінне від нуля;

3. складання рядка з іншим рядком, помноженим на число.

Зазначимо, що при вирішенні системи рівнянь, на відміну від обчислення визначника та знаходження рангу, не можна оперувати зі стовпцями. Якщо за матрицею, отриманою з виконанням елементарної операції, відновити систему рівнянь, то нова системабуде рівносильна вихідній.

Мета алгоритму - за допомогою застосування послідовності елементарних операцій до матриці добитися, щоб кожен рядок, крім, можливо, першої, починалася з нулів, і число нулів до першого ненульового елемента в кожному наступному рядку було більше, ніж у попередньому.

Крок алгоритму ось у чому. Знаходимо перший ненульовий стовпець у матриці. Нехай це буде стовпець із номером. Знаходимо в ньому ненульовий елемент і рядок із цим елементом міняємо місцями з першим рядком. Щоб не нагромаджувати додаткових позначень, вважатимемо, що така зміна рядків у матриці вже зроблена, тобто . Тоді до другого рядка додамо перший, помножений на число, до третього рядка додамо перший, помножений на число, і т.д. В результаті отримаємо матрицю

(Перші нульові стовпці, як правило, відсутні.)

Якщо в матриці зустрівся рядок з номером k, в якому всі елементи дорівнюють нулю, а виконання алгоритму зупиняємо і робимо висновок, що система несумісна. Дійсно, відновлюючи систему рівнянь по розширеній матриці, отримаємо, що рівняння матиме вигляд

Цьому рівнянню не задовольняє жоден набір чисел .

Матрицю можна записати у вигляді

По відношенню до матриці виконуємо описаний крок алгоритму. Отримуємо матрицю

де , . Цю матрицю знову можна записати як

і до матриці знову застосуємо описаний вище крок алгоритму.

Процес зупиняється, якщо після виконання чергового кроку нова зменшена матриця складається з одних нулів або якщо всі рядки вичерпані. Зауважимо, що висновок про несумісність системи міг зупинити процес і раніше.

Якби ми не зменшували матрицю, то в результаті дійшли б до матриці виду

Далі виконується так званий зворотний перебіг методу Гауса. По матриці складаємо систему рівнянь. У лівій частині залишаємо невідомі з номерами, що відповідають першим ненульовим елементам у кожному рядку, тобто . Зауважимо, що . Інші невідомі переносимо в праву частину. Вважаючи невідомі правої частини деякими фіксованими величинами, нескладно висловити них невідомі лівої частини.

Тепер, надаючи невідомим у правій частині довільні значення та обчислюючи значення змінних лівої частини, ми знаходитимемо різні рішеннявихідної системи Ax = b. Щоб записати загальне рішення, потрібно невідомі у правій частині позначити у якомусь порядку буквами , включаючи і ті невідомі, які явно не виписані у правій частині через нульові коефіцієнти, і тоді стовпець невідомих можна записати у вигляді стовпця, де кожен елемент буде лінійною комбінацією довільних величин (зокрема, просто довільною величиною). Цей запис і буде загальним рішенням системи.

Якщо система була однорідною, отримаємо загальне рішення однорідної системи. Коефіцієнти при, взяті в кожному елементі стовпця загального рішення, складуть перше рішення з фундаментальної системи рішень, коефіцієнти при - друге рішення і т.д.

Спосіб 2: Фундаментальну систему рішень однорідної системи можна отримати іншим способом. Для цього однієї змінної, перенесеної в праву частину, потрібно надати значення 1, а іншим - нулі. Обчисливши значення змінних у лівій частині, отримаємо одне рішення із фундаментальної системи. Надавши інший змінної у правій частині значення 1, а решті - нулі, отримаємо друге рішення з фундаментальної системи і т.д.

Визначення: система називається спільной, якщо вона має хоча б одне рішення, і несумісної - інакше, тобто у випадку, коли рішень у системи немає. Питання, має система рішення чи ні, пов'язаний як із співвідношенням числа рівнянь і числа невідомих. Наприклад, система з трьох рівнянь із двома невідомими

має рішення і навіть має нескінченно багато рішень, а система з двох рівнянь з трьома невідомими.

……. … ……

A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0

Ця система завжди спільна оскільки має тривіальне рішення х 1 =…=х n =0

Для існування нетривіальних рішень необхідне та достатньо виконання

слів r = r(A)< n , что равносильно условию det(A)=0, когда матрица А – квадратная.

ThСукупність рішень СЛАУ утворює лінійний простір розмірності (n-r). Це означає, що добуток її вирішення на число, а також сума та лінійна комбінація кінцевої кількості її рішень є рішеннями цієї системи. Лінійний простір рішень будь-якої СЛАУ є підпростором простору Rn.

Будь-яка сукупність (n-r) лінійно незалежних рішень СЛАУ (яка є базисом у просторі рішень) називається фундаментальною сукупністю рішень (ФСР).

Нехай х 1, ..., х r - базисні невідомі, х r +1, ..., х n - вільні невідомі. Вільним змінним дамо по черзі наступні значення:

……. … ……

A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0

Утворює лінійний простір S (простір рішень), який є підпростором у R n (n – число невідомих), причому dims=k=n-r, де r-ранг системи. Базис у просторі рішень (x (1), ..., x (k)) називається фундаментальною системою рішень, і загальне рішення має вигляд:

X = c 1 x (1) + … + c k x (k), c (1), ..., c (k)? R

Вища математика » Системи лінійних алгебраїчних рівнянь» Основні терміни. Матрична форма запису.

Система лінійних рівнянь алгебри. Основні терміни. Матрична форма запису.

1. Визначення системи лінійних рівнянь алгебри. Вирішення системи. Класифікація систем.
2. Матрична форма запису систем лінійних рівнянь алгебри.

Визначення системи лінійних рівнянь алгебри. Вирішення системи. Класифікація систем.

Під системою лінійних рівнянь алгебри(СЛАУ) мають на увазі систему

\begin(equation) \left \( \begin(aligned) & a_(11)x_1+a_(12)x_2+a_(13)x_3+\ldots+a_(1n)x_n=b_1;\\ & a_(21) x_1+a_(22)x_2+a_(23)x_3+\ldots+a_(2n)x_n=b_2;\\ & \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ ldots \\ & a_(m1)x_1+a_(m2)x_2+a_(m3)x_3+\ldots+a_(mn)x_n=b_m \end(aligned) \right.\end(equation)

Параметри $a_(ij)$ ($i=\overline(1,m)$, $j=\overline(1,n)$) називають коефіцієнтами, а $b_i$ ($i=\overline(1,m)$) - вільними членамиСлау. Іноді, щоб підкреслити кількість рівнянь та невідомих, кажуть так «$m\times n$ система лінійних рівнянь» - тим самим вказуючи, що СЛАУ містить $m$ рівнянь і $n$ невідомих.

Якщо всі вільні члени $b_i=0$ ($i=\overline(1,m)$), то СЛАУ називають однорідний. Якщо серед вільних членів є хоча б один, відмінний від нуля, СЛАУ називають неоднорідний.

Рішенням СЛАУ(1) називають будь-яку впорядковану сукупність чисел ($\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n$), якщо елементи цієї сукупності, підставлені в заданому порядку замість невідомих $x_1,x_2,\ldots,x_n$, звертають кожне рівняння СЛАУ у тотожність.

Будь-яка однорідна СЛАУ має хоча б одне рішення: нульове(В інший термінології - тривіальне), тобто. $x_1=x_2=\ldots=x_n=0$.

Якщо СЛАУ (1) має хоча б одне рішення, її називають спільноїякщо ж рішень немає - несумісний. Якщо спільна СЛАУ має одне рішення, її називають певної, якщо безліч рішень - невизначеною.

Приклад №1

Розглянемо СЛАУ

\begin(equation) \left \( \begin(aligned) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5 0. \\ \end (aligned) \right. \end(equation)

Маємо систему лінійних рівнянь алгебри, що містить $3$ рівняння і $5$ невідомих: $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$. Можна сказати, що задана система $3\times 5$ лінійних рівнянь.

Коефіцієнтами системи (2) є числа, що стоять перед невідомими. Наприклад, у першому рівнянні ці числа такі: $3,-4,1,7,-1$. Вільні члени системи представлені числами $11,-65,0 $. Оскільки серед вільних членів є хоча б один, не рівний нулю, то СЛАУ (2) є неоднорідною.

Упорядкована сукупність $(4;-11;5;-7;1)$ є рішенням даної СЛАУ. У цьому просто переконатися, якщо підставити $x_1=4; x_2=-11; x_3=5; x_4=-7; x_5=1$ у рівняння заданої системи:

\begin(aligned) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=3\cdot4-4\cdot(-11)+5+7\cdot(-7)-1=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5 =2\cdot 4+10\cdot (-7)-3\cdot 1=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5=3\cdot (-11)+19\cdot 5+8\cdot ( -7) -6 \ cdot 1 = 0. \\ \end(aligned)

Звичайно, виникає питання про те, чи є перевірене рішення єдиним. Питання кількості рішень СЛАУ буде порушено у відповідній темі.

Приклад №2

Розглянемо СЛАУ

\begin(equation) \left \( \begin(aligned) & 4x_1+2x_2-x_3=0;\\ & 10x_1-x_2=0;\\ & 5x_2+4x_3=0; \\ & 3x_1-x_3=0; \\ & 14x_1+25x_2+5x_3=0.\end(aligned) \right.\end(equation)

Система (3) є СЛАУ, що містить $5$ рівнянь та $3$ невідомих: $x_1,x_2,x_3$. Оскільки всі вільні члени цієї системи дорівнюють нулю, то СЛАУ (3) є однорідною. Неважко перевірити, що сукупність $(0;0;0)$ є рішенням цієї СЛАУ. Підставляючи $x_1=0, x_2=0,x_3=0$, наприклад, у перше рівняння системи (3), отримаємо правильну рівність: $4x_1+2x_2-x_3=4\cdot 0+2\cdot 0-0=0$ . Підстановка в інші рівняння проводиться аналогічно.

Матрична форма запису систем лінійних рівнянь алгебри.

З кожною СЛАУ можна зв'язати кілька матриць; більше – саму СЛАУ можна записати як матричного рівняння. Для СЛАУ (1) розглянемо такі матриці:

Матриця $A$ називається матрицею системи. Елементи даної матриці є коефіцієнтами заданої СЛАУ.

Матриця $\widetilde(A)$ називається розширеною матрицею системи. Її одержують додаванням до матриці системи стовпця, що містить вільні члени $b_1,b_2,…,b_m$. Зазвичай цей стовпець відокремлюють вертикальною межею - для наочності.

Матриця-стовпець $B$ називається матрицею вільних членів, а матриця-стовпець $X$ - матрицею невідомих.

Використовуючи введені вище позначення, СЛАУ (1) можна записати у формі матричного рівняння: $A\cdot X=B$.

Примітка

Матриці, пов'язані із системою, можна записати у різний спосіб: все залежить від порядку проходження змінних і рівнянь аналізованої СЛАУ. Але в будь-якому випадку порядок слідування невідомих у кожному рівнянні заданої СЛАУ має бути однаковим (див. приклад №4).

Приклад №3

Записати СЛАУ $ \left \( \begin(aligned) & 2x_1+3x_2-5x_3+x_4=-5;\\ & 4x_1-x_3=0;\\ & 14x_2+8x_3+x_4=-11. \end(aligned) \right.$ в матричній формі і вказати розширену матрицю системи.

Маємо чотири невідомі, які в кожному рівнянні йдуть у такому порядку: $x_1,x_2,x_3,x_4$. Матриця невідомих буде такою: $\left(\begin(array) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(array) \right)$.

Вільні члени цієї системи виражені числами $-5,0,-11$, тому матриця вільних членів має вигляд: $B=\left(\begin(array) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(array ) \right)$.

Перейдемо до складання матриці системи. У перший рядок даної матриці буде занесено коефіцієнти першого рівняння: $2,3,-5,1$.

У другому рядку запишемо коефіцієнти другого рівняння: $4,0,-1,0$. При цьому слід врахувати, що коефіцієнти системи за змінних $x_2$ і $x_4$ у другому рівнянні дорівнюють нулю (бо ці змінні у другому рівнянні відсутні).

У третій рядок матриці системи запишемо коефіцієнти третього рівняння: 0,14,8,1 $. Враховуємо при цьому рівність нуля коефіцієнта за змінної $x_1$(ця змінна відсутня у третьому рівнянні). Матриця системи матиме вигляд:

$$ A=\left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(array) \right) $$

Щоб був наочний взаємозв'язок між матрицею системи та самою системою, я запишу поруч задану СЛАУ та її матрицю системи:

У матричній формі задана СЛАУ матиме вигляд $A\cdot X=B$. У розгорнутому записі:

$$ \left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(array) \right) \cdot \left(\begin(array) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(array) \right) $$

Запишемо розширену матрицю системи. Для цього до матриці системи $ A = \ left ( \ begin (array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1 \\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(array ) \right) $ допишемо стовпець вільних членів (тобто $-5,0,-11$). Отримаємо: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (cccc|c) 2 & 3 & -5 & 1 & -5 \\ 4 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 14 & 8 & 1 & -11 \end(array) \right) $.

Приклад №4

Записати СЛАУ $ \left \(\begin(aligned) & 3y+4a=17;\\ & 2a+4y+7c=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & 5a-c=-4 \end(aligned)\right.$ у матричній формі та вказати розширену матрицю системи.

Як бачите, порядок проходження невідомих у рівняннях даної СЛАУ різний. Наприклад, у другому рівнянні порядок такий: $a,y,c$, проте у третьому рівнянні: $c,y,a$. Перед тим, як записувати СЛАУ в матричній формі, порядок проходження змінних у всіх рівняннях потрібно зробити однаковим.

Впорядкувати змінні в рівняннях заданої СЛАУ можна різними способами(кількість способів розставити три змінні становитиме $3!=6$). Я розберу два способи упорядкування невідомих.

Спосіб №1

Введемо такий порядок: $ c, y, a $. Перепишемо систему, розставляючи невідомі в необхідному порядку: $\left \(\begin(aligned) & 3y+4a=17;\\ & 7c+4y+2a=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & -c+5a=-4 \end(aligned)\right.$

Для наочності я запишу СЛАУ в такому вигляді: $\left \(\begin(aligned) & 0\cdot c+3\cdot y+4\cdot a=17;\\ & 7\dot c+4\cdot y+ 2\cdot a=10; \\ 8\cdot c+5\cdot y-9\cdot a=25; end(aligned)\right.$

Матриця системи має вигляд: $ A=\left(\begin(array) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end( array) \right) $. Матриця вільних членів: $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \-4 \end(array) \right)$. При записі матриці невідомих пам'ятаємо про порядок слідування невідомих: $X=\left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(array) \right)$. Отже, матрична форма запису заданої СЛАУ така: $ A \ cdot X = B $. У розгорнутому вигляді:

$$ \left(\begin(array) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end(array) \right) \ cdot \left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right) $$

Розширена матриця системи така: $\left(\begin(array) (ccc|c) 0 & 3 & 4 & 17 \\ 7 & 4 & 2 & 10\\ 8 & 5 & -9 & 25 \\ -1 & 0 & 5 & -4 \end(array) \right) $.

Спосіб №2

Введемо такий порядок: $ a, c, y $. Перепишемо систему, розставляючи невідомі в необхідному порядку: $\left \( \begin(aligned) & 4a+3y=17;\\ & 2a+7c+4y=10;\\ & -9a+8c+5y=25; \ \ & 5a-c=-4. \end(aligned)\right.$

Для наочності я запишу СЛАУ в такому вигляді: $\left \( \begin(aligned) & 4\cdot a+0\cdot c+3\cdot y=17;\\ 2\cdot a+7\cdot c+ 4\cdot y=10;\& -9\cdot a+8\cdot c+5\cdot y=25; end(aligned)\right.$

Матриця системи має вигляд: $ A=\left(\begin(array) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end( array) \right)$. Матриця вільних членів: $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \-4 \end(array) \right)$. При записі матриці невідомих пам'ятаємо про порядок слідування невідомих: $X=\left(\begin(array) (c) a \\\\\\end(array) \right)$. Отже, матрична форма запису заданої СЛАУ така: $ A \ cdot X = B $. У розгорнутому вигляді:

$$ \left(\begin(array) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end(array) \right) \ cdot \left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right) $$

Розширена матриця системи така: $ \ left ( \ begin (array) (ccc | c) 4 & 0 & 3 & 17 \ 1 & 0 & -4 \end(array) \right) $.

Як бачите, зміна порядку проходження невідомих рівносильно перестановці стовпців матриці системи. Але яким би цей порядок розташування невідомих не був, він повинен співпадати у всіх рівняннях заданої СЛАУ.

Лінійні рівняння

Лінійні рівняння- Просте нескладна математична тема, досить часто зустрічається в завданнях з алгебри.

Системи лінійних рівнянь алгебри: основні поняття, види

Розберемося, що це таке і як вирішуються лінійні рівняння.

Як правило, лінійне рівняння- це рівняння виду ax + c = 0, де а і с – довільні числа, або коефіцієнти, а х – невідоме число.

Наприклад, лінійним рівнянням буде:

Вирішення лінійних рівнянь.

Як розв'язувати лінійні рівняння?

Вирішуються лінійні рівняння дуже нескладно. Для цього використовуються такий математичний прийом, як тотожне перетворення. Розберемо, що таке.

Приклад лінійного рівняння та його вирішення.

Нехай ax + c = 10 де а = 4, с = 2.

Отже, отримуємо рівняння 4х + 2 = 10.

Для того, щоб вирішити його було простіше і швидше, скористаємося першим способом тотожного перетворення- тобто, перенесемо всі цифри у праву частину рівняння, а невідоме 4х залишимо у лівій частині.

Вийде:

Таким чином, рівняння зводиться до дуже простенького завдання для початківців. Залишається лише користуватися другим методом тотожного перетворення - залишивши у лівій частині рівняння х, перенести на праву частину цифри. Отримаємо:

Перевірка:

4х + 2 = 10 де х = 2.

Відповідь вірна.

Графік лінійного рівняння.

При вирішенні лінійних рівнянь із двома змінними також часто використовується метод побудови графіка. Справа в тому, що рівняння виду ах + ву + с = 0, як правило, має багато варіантів розв'язання, адже на місце змінних підходить безліч чисел, і у всіх випадках рівняння залишається вірним.

Тож полегшення завдання вибудовується графік лінійного рівняння.

Щоб побудувати його, достатньо взяти одну пару значень змінних - і, позначивши їх точками на площині координат, провести пряму. Усі точки, що знаходяться на цій прямій, і будуть варіантами змінних у нашому рівнянні.

Вирази, перетворення виразів

порядок виконання дій, правила, приклади.

Числові,літерні вирази та вирази зі змінними у своєму записі можуть містити знаки різних арифметичних дій. При перетворенні виразів та обчисленні значень виразів дії виконуються у певній черговості, іншими словами, потрібно дотримуватися порядок виконання дій.

У цій статті ми розберемося, які дії слід виконувати спочатку, а які слідом за ними. Почнемо з самих простих випадківколи вираз містить лише числа або змінні, з'єднані знаками плюс, мінус, помножити і розділити. Далі роз'яснимо, якого порядку виконання дій слід дотримуватись у виразах із дужками. Нарешті, розглянемо, у якій послідовності виконуються дії у виразах, що містять ступеня, коріння та інші функції.

Спочатку множення та розподіл, потім складання та віднімання

У школі дається таке правило, що визначає порядок виконання дій у виразах без дужок:

• дії виконуються по порядку зліва направо,
• причому спочатку виконується множення та розподіл, а потім – додавання та віднімання.

Озвучене правило сприймається досить природно. Виконання дій з порядку зліва направо пояснюється лише тим, що ми прийнято вести записи зліва направо. А те, що множення та розподіл виконується перед складанням та відніманням пояснюється змістом, який у собі несуть ці дії.

Розглянемо кілька прикладів застосування цього правила. Для прикладів брати найпростіші числові висловлювання, ніж відволікатися на обчислення, а зосередитися саме порядку виконання дій.

Виконайте дії 7-3+6.

Вихідний вираз не містить дужок, а також він не містить множення та поділу. Тому нам слід виконати всі дії по порядку зліва направо, тобто спочатку ми від 7 віднімаємо 3, отримуємо 4, після чого до отриманої різниці 4 додаємо 6, отримуємо 10.

Коротко рішення можна записати так: 7-3+6=4+6=10.

Вкажіть порядок виконання дій у виразі 6:2 8:3.

Щоб відповісти на питання задачі, звернемося до правила, що вказує порядок виконання дій у виразі без дужок. У вихідному вираженні містяться лише дії множення та розподілу, а згідно з правилом, їх потрібно виконувати по порядку зліва направо.

спочатку 6 ділимо на 2, це приватне множимо на 8, нарешті отриманий результат ділимо на 3.

Основні поняття. Системи лінійних рівнянь

Обчисліть значення виразу 17−5·6:3−2+4:2.

Спочатку визначимо, у порядку слід виконувати дії у вихідному вираженні. Воно містить і множення з поділом, і додавання з відніманням.

Спочатку зліва направо потрібно виконати множення та розподіл. Так 5 множимо на 6, отримуємо 30, це число ділимо на 3, отримуємо 10. Тепер 4 ділимо на 2, отримуємо 2. Підставляємо у вихідний вираз замість 5 6:3 знайдене значення 10, а замість 4:2 значення 2, маємо 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2.

В отриманому вираженні вже немає множення і поділу, тому залишається по порядку зліва направо виконати дії, що залишилися: 17-10-2+2=7-2+2=5+2=7.

17−5·6:3−2+4:2=7.

Спочатку, щоб не переплутати порядок виконання дій при обчисленні значення виразу, зручно над знаками дій розставити цифри, що відповідають порядку їх виконання. Для попереднього прикладу це виглядало б так: .

Цього ж порядку виконання дій – спочатку множення та розподіл, потім додавання та віднімання – слід дотримуватися і при роботі з літерними виразами.

На початок сторінки

Події першого та другого ступеня

У деяких підручниках з математики зустрічається поділ арифметичних дій на дії першого та другого ступенів. Розберемося із цим.

У цих термінах правило з попереднього пункту, що визначає порядок виконання дій, запишеться так: якщо вираз не містить дужок, то по порядку зліва направо спочатку виконуються дії другого ступеня (множення та розподіл), потім – дії першого ступеня (складення та віднімання).

На початок сторінки

Порядок виконання арифметичних дій у виразах із дужками

Вирази часто містять дужки, що вказують на порядок виконання дій. В цьому випадку правило, що задає порядок виконання дій у виразах з дужками, формулюється так: спочатку виконуються дії в дужках, при цьому також по порядку зліва направо виконується множення та розподіл, потім – додавання та віднімання.

Отже, висловлювання у дужках розглядаються як складові частини вихідного висловлювання, й у них зберігається вже відомий нам порядок виконання дій. Розглянемо рішення прикладів для більшої ясності.

Виконайте вказані дії 5+(7−2·3)·(6−4):2.

Вираз містить дужки, тому спочатку виконаємо дії у виразах, укладених у ці дужки. Почнемо з виразу 7-2 · 3. У ньому потрібно спочатку виконати множення, і тільки потім віднімання, маємо 7-2 · 3 = 7-6 = 1. Переходимо до другого виразу у дужках 6-4. Тут лише одне дію – віднімання, виконуємо його 6-4=2.

Підставляємо отримані значення у вихідний вираз: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2. В отриманому вираженні спочатку виконуємо зліва направо множення та розподіл, потім – віднімання, отримуємо 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6. На цьому всі дії виконані, ми дотримувалися такого порядку виконання: 5+(7−2·3)·(6−4):2.

Запишемо коротке рішення: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6.

5 + (7-2 · 3) · (6-4): 2 = 6.

Буває, що вираз містить дужки у дужках. Цього боятися не варто, потрібно лише послідовно застосовувати озвучене правило виконання дій у виразах із дужками. Покажемо рішення прикладу.

Виконайте дії у виразі 4+(3+1+4·(2+3)).

Це вираз із дужками, це означає, що виконання дій потрібно починати з виразу в дужках, тобто з 3+1+4·(2+3).

Цей вираз також містить дужки, тому потрібно спочатку виконати події в них. Зробимо це: 2+3=5. Підставивши знайдене значення отримуємо 3+1+4·5. У цьому вся виразі спочатку виконуємо множення, потім – додавання, маємо 3+1+4·5=3+1+20=24. Вихідне значення, після підстановки цього значення, набуває вигляду 4+24, і залишається лише закінчити виконання дій: 4+24=28.

4+(3+1+4·(2+3))=28.

Взагалі, коли у виразі присутні дужки в дужках, то часто буває зручно виконання дій починати з внутрішніх дужок та просуватися до зовнішніх.

Наприклад, нехай нам потрібно виконати дії у виразі (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Спочатку виконуємо дії у внутрішніх дужках, так як 4−6:2=4−3=1, то після цього вихідний вираз набуде вигляду (4+(4+1)−1)−1. Знову виконуємо дію у внутрішніх дужках, тому що 4+1=5, то приходимо до наступного виразу (4+5-1)-1. Знову виконуємо дії в дужках: 4+5−1=8, при цьому приходимо до різниці 8−1, що дорівнює 7.

На початок сторінки

Порядок виконання дій у виразах з корінням, ступенями, логарифмами та іншими функціями

Якщо вираз входять ступеня, коріння, логарифми, синус, косинус, тангенс і котангенс, і навіть інші функції, їх значення обчислюються до виконання інших дій, у своїй також враховуються правила попередніх пунктів, які визначають порядок виконання действий. Іншими словами, перелічені речі, грубо кажучи, можна вважати ув'язненими у дужках, а ми знаємо, що спочатку виконуються дії у дужках.

Розглянемо рішення прикладів.

Виконайте дії у виразі (3+1)·2+6 2:3−7.

У цьому вся виразі міститься ступінь 6 2 , її значення необхідно обчислити до виконання інших процесів. Отже, виконуємо зведення на ступінь: 6 2 =36. Підставляємо це значення у вихідний вираз, воно набуде вигляду (3+1)·2+36:3−7.

Далі все зрозуміло: виконуємо дії в дужках, після чого залишається вираз без дужок, в якому по порядку ліворуч праворуч спочатку виконуємо множення та розподіл, а потім – додавання та віднімання. Маємо (3+1)·2+36:3−7=4·2+36:3−7=8+12−7=13.

(3+1)·2+6 2:3-7=13.

Інші, в тому числі і більше складні прикладивиконання дій у виразах з корінням, ступенями тощо, Ви можете подивитися у статті обчислення значень виразів.

На початок сторінки

Дії першого ступеняназивають додавання та віднімання, а множення та поділ називають діями другого ступеня.

• Математика: навч. для 5 кл. загальноосвіт. установ / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохов, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбурд. - 21-е вид., Стер. - М.: Мнемозіна, 2007. - 280 с.: іл. ISBN 5-346-00699-0.

Запишіть систему лінійних рівнянь алгебри в загальному вигляді

Що називається рішенням СЛАУ?

Рішенням системи рівнянь називається набір із n чисел,

При підстановці якої у систему кожне рівняння перетворюється на тотожність.

Яка система називається спільною (несумісною)?

Система рівнянь називається спільною, якщо вона має хоча одне рішення.

Система називається несумісною, якщо вона не має рішень.

Яка система називається певною (невизначеною)?

Спільна система називається певною, якщо має єдине рішення.

Спільна система називається невизначеною, якщо вона має більше одного рішення.

Матрична форма запису системи рівнянь

Ранг системи векторів

Ранг системи векторів називається максимальним числом лінійно незалежних векторів.

Ранг матриці та способи його знаходження

Ранг матриці- найвищий із порядків мінорів цієї матриці, визначник яких відмінний від нуля.

Перший метод - метод окантовки - полягає в наступному:

Якщо всі мінори 1-го порядку, тобто. елементи матриці дорівнюють нулю, то r=0 .

Якщо хоч один з мінорів 1-го порядку не дорівнює нулю, а всі мінори 2-го порядку дорівнюють нулю, то r=1.

Якщо мінор 2-го порядку відмінний від нуля, то досліджуємо мінори 3-го порядку. Таким чином, знаходять мінор k-го порядку і перевіряють, чи не рівні нулю мінори k+1-го порядку.

Якщо всі мінори k+1-го порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює числу k. Такі мінори k+1-го порядку, як правило, знаходять шляхом "окантування" мінору k-го порядку.

Другий метод визначення рангу матриці полягає у застосуванні елементарних перетворень матриці при зведенні до діагонального вигляду. Ранг такої матриці дорівнює числу відмінних від нуля діагональних елементів.

Загальне рішення неоднорідної системи лінійних рівнянь, його характеристики.

Властивість 1.Сума будь-якого розв'язання системи лінійних рівнянь та будь-якого розв'язання відповідної однорідної системи є рішенням системи лінійних рівнянь.

Властивість 2.

Системи лінійних рівнянь: основні поняття

Різниця двох рішень неоднорідної системи лінійних рівнянь є рішенням відповідної однорідної системи.

Метод Гауса рішення СЛАУ

Послідовність:

1) складається розширена матриця системи рівняння

2) за допомогою елементарних перетворень матриця наводиться до ступінчастого вигляду

3) визначається ранг розширеної матриці системи та ранг матриці системи та встановлюється пакт сумісності або несумісності системи

4) у разі сумісності записується еквівалентна система рівняння

5) знаходиться рішення системи. Головні змінні виражаються через вільні

Теорема Кронекера-Капеллі

Теорема Кронекера - Капелі- критерій сумісності системи лінійних рівнянь алгебри:

Система лінійних алгебраїчних рівнянь спільна тоді і лише тоді, коли ранг її основної матриці дорівнює рангу її розширеної матриці, причому система має єдине рішення, якщо ранг дорівнює числу невідомих, і безліч рішень, якщо ранг менше числаневідомі.

Для того щоб лінійна система була спільною, необхідно і достатньо, щоб ранг розширеної матриці цієї системи дорівнював рангу її основної матриці.

Коли система не має рішення, коли має єдине рішення, чи має безліч рішень?

Якщо число рівнянь системи дорівнює кількості невідомих змінних і визначник її основної матриці не дорівнює нулю, значить такі системи рівнянь мають єдине рішення, причому у разі однорідної системи всі невідомі змінні рівні нулю.

Система лінійних рівнянь, має хоча одне рішення, називається спільної. Інакше, тобто. якщо система немає рішень, вона називається несовместной.

лінійних рівнянь називається спільною, якщо вона є хоча б одне рішення, і несумісною, якщо рішень немає. У прикладі 14 система спільна, стовпчик є її рішенням:

Це рішення можна записати без матриць: x = 2, у = 1.

Систему рівнянь називатимемо невизначеною, якщо вона має більше одного рішення, і певною, якщо рішення єдине.

Приклад 15. Система невизначена. Наприклад, є її рішеннями. Читач може знайти багато інших рішень цієї системи.

Формули, що зв'язують координати векторів у старому та новому базисах

Навчимося вирішувати системи лінійних рівнянь спочатку в окремому випадку. Систему рівнянь AX = B називатимемо крамеровської, якщо її основна матриця А - квадратна і невироджена. Інакше кажучи, у крамеровської системі число невідомих збігається з кількістю рівнянь і |A| = 0.

Теорема 6 (Правило Крамера). Крамерівська система лінійних рівнянь має єдине рішення, яке задається формулами:

де Δ = | A | - визначник основної матриці, Δi - визначник, отриманий A заміною i-го стовпчика стовпчиком вільних членів.

Доказ проведемо для n = 3, оскільки у випадку міркування аналогічні.

Отже, є крамеровська система:

Допустимо спочатку, що рішення системи існує, тобто є

Помножимо перше. рівність на додаток алгебри до елементу aii, друга рівність - на A2i, третя - на A3i і складемо отримані рівності:

Система лінійних рівнянь ~ Рішення системи ~ Спільні та несумісні системи ~ Однорідна система ~ Спільність однорідної системи ~ Ранг матриці системи ~ Умова нетривіальної спільності ~ Фундаментальна система рішень. Загальне рішення ~ Дослідження однорідної системи

Розглянемо систему mлінійних алгебраїчних рівнянь щодо nневідомих
x 1 , x 2 , …, x n :

Рішеннямсистеми називається сукупність nзначень невідомих

x 1 =x' 1 , x 2 =x' 2 , …, x n =x' n,

при підстановці яких усі рівняння системи звертаються до тотожності.

Система лінійних рівнянь може бути записана у матричному вигляді:

де A- матриця системи, b- права частина, x- потрібне рішення, A p - розширена матрицясистеми:

.

Система, що має хоча б одне рішення, називається спільної; система, що не має жодного рішення - несумісний.

Однорідною системою лінійних рівнянь називається система, права частина якої дорівнює нулю:

Матричний вид однорідної системи: Ax=0.

Однорідна система завжди має місце, оскільки будь-яка однорідна лінійна система має принаймні одне рішення:

x 1 = 0, x 2 = 0, ..., x n = 0.

Якщо однорідна система має єдине рішення, це єдине рішення - нульове, і система називається тривіально спільної.Якщо ж однорідна система має більше одного рішення, то серед них є і ненульові, і в цьому випадку система називається нетривіально спільну.

Доведено, що при m=nдля нетривіальної спільності системи необхідно і достатньощоб визначник матриці системи дорівнював нулю.

ПРИКЛАД 1. Нетривіальна сумісність однорідної системи лінійних рівнянь із квадратною матрицею.

Застосувавши до матриці системи алгоритм гаусового виключення, наведемо матрицю системи до ступінчастого вигляду

.

Число rненульових рядків у ступінчастій формі матриці називається рангом матриці,позначаємо
r=rg(A)або r=Rg(A).

Справедливим є наступне твердження.

Система лінійних рівнянь алгебри

Для того, щоб однорідна система була нетривіально спільною, необхідно і достатньо, щоб ранг rматриці системи був меншим за кількість невідомих n.

ПРИКЛАД 2. Нетривіальна сумісність однорідної системи трьох лінійних рівнянь із чотирма незїзними.

Якщо однорідна система нетривіально спільна, вона має безліч рішень, причому лінійна комбінація будь-яких рішень системи теж є її рішенням.
Доведено, що серед нескінченної множини рішень однорідної системи можна виділити рівно n-rлінійно-незалежних рішень.
Сукупність n-rлінійно незалежних рішень однорідної системи називається фундаментальною системою рішень.Будь-яке рішення системи лінійно виражається через фундаментальну систему. Таким чином, якщо ранг rматриці Aоднорідний лінійної системи Ax=0менше від невідомих nта вектори
e 1 , e 2 , …, e n-rутворюють її фундаментальну систему рішень ( Ae i =0, i=1,2, …, n-r), то будь-яке рішення xсистеми Ax=0можна записати у вигляді

x=c 1 e 1 + c 2 e 2 + … + c n-r e n-r ,

де c 1 , c 2 , …, c n-r- Довільні постійні. Записане вираз називається загальним рішеннямоднорідної системи .

Дослідити

однорідну систему - отже встановити, чи вона нетривіально спільної, і якщо є, то знайти фундаментальну систему рішень і записати вираз для загального вирішення системи.

Досліджуємо однорідну систему методом Гауса.

матриця досліджуваної однорідної системи, ранг якої r< n .

Така матриця наводиться Гаусовим винятком до ступінчастого виду.

.

Відповідна еквівалентна система має вигляд

Звідси легко отримати вирази для змінних x 1 , x 2 , …, x rчерез x r+1 , x r+2 , …, x n. Змінні
x 1 , x 2 , …, x rназивають базовими змінними,а змінні x r+1 , x r+2 , …, x n - вільними змінними.

Перенісши вільні змінні у праву частину, отримаємо формули

які визначають загальне розв'язання системи.

Покладемо послідовно значення вільних змінних рівними

та обчислимо відповідні значення базисних змінних. Отримані n-rрішень лінійно незалежні і, отже, утворюють фундаментальну систему рішень досліджуваної однорідної системи:

Вивчення однорідної системи на спільність шляхом Гауса.

Однак на практиці широко поширені ще два випадки:

- Система несумісна (не має рішень);
– Система спільна і має безліч рішень.

Примітка : термін «спільність» передбачає, що система існує хоч якесь рішення. У ряді завдань потрібно попередньо досліджувати систему на спільність, як це зробити – див. рангу матриць.

Для цих систем застосовують найуніверсальніший з усіх способів вирішення – метод Гауса. Насправді, до відповіді призведе і «шкільний» спосіб, але вищої математикиприйнято використовувати Гаусівський метод послідовного виключення невідомих. Ті, хто не знайомий з алгоритмом методу Гауса, будь ласка, спочатку вивчіть урок метод Гауса для чайників.

Самі елементарні перетворення матриці – такі самі, різниця буде наприкінці рішення. Спочатку розглянемо кілька прикладів, коли система немає рішень (несовместная).

Приклад 1

Що відразу впадає в око в цій системі? Кількість рівнянь – менше, ніж кількість змінних. Якщо кількість рівнянь менша, ніж кількість змінних, то відразу можна сказати, що система або несумісна, або має безліч рішень. І це залишилося лише з'ясувати.

Початок рішення цілком звичайний – запишемо розширену матрицю системи і за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

(1) На лівій верхній сходинці потрібно отримати +1 або –1. Таких чисел у першому стовпці немає, тому перестановка рядків нічого не дасть. Одиниці доведеться організувати самостійно, і зробити це можна кількома способами. Я вчинив так: До першого рядка додаємо третій рядок, помножений на -1.

(2) Тепер отримуємо два нулі у першому стовпці. До другого рядка додаємо перший рядок, помножений на 3. До третього рядка додаємо перший рядок, помножений на 5.

(3) Після виконаного перетворення завжди доцільно подивитися, а чи не можна спростити отримані рядки? Можна, можливо. Другий рядок ділимо на 2, заодно отримуючи необхідний -1 на другій сходинці. Третій рядок ділимо на -3.

(4) До третього рядка додаємо другий рядок.

Напевно, всі звернули увагу на поганий рядок, який вийшов у результаті елементарних перетворень: . Ясно, що так не може бути. Дійсно, перепишемо отриману матрицю назад у систему лінійних рівнянь:

Якщо результаті елементарних перетворень отримано рядок виду , де – число, відмінне від нуля, система несумісна (немає рішень) .

Як записати закінчення завдання? Намалюємо білою крейдою: «в результаті елементарних перетворень отримано рядок виду , де» і дамо відповідь: система не має рішень (несумісна).

Якщо ж за умовою потрібно ДОСЛІДЖУВАТИ систему на спільність, тоді необхідно оформити рішення у більш солідному стилі із залученням поняття рангу матриці та теореми Кронекера-Капеллі.

Зверніть увагу, що тут немає жодного зворотного ходу алгоритму Гауса – рішень немає і знаходити нічого.

Приклад 2

Розв'язати систему лінійних рівнянь

Це приклад самостійного рішення. Повне рішеннята відповідь наприкінці уроку. Знову нагадую, що ваш хід рішення може відрізнятися від мого ходу рішення, алгоритм Гауса не має сильної «жорсткості».

Ще одна технічна особливістьрішення: елементарні перетворення можна припиняти одразу жяк тільки з'явився рядок виду, де. Розглянемо умовний приклад: припустимо, що після першого ж перетворення вийшла матриця . Матриця ще не приведена до ступінчастого вигляду, але в подальших елементарних перетвореннях немає жодної необхідності, тому що з'явився рядок виду , де . Слід одразу дати відповідь, що система несумісна.

Коли система лінійних рівнянь не має рішень – це майже подарунок, зважаючи на те, що виходить коротке рішення, іноді буквально на 2-3 дії.

Але все в цьому світі врівноважене, і завдання, в якому система має безліч рішень – якраз довше.

Приклад 3

Розв'язати систему лінійних рівнянь

Тут 4 рівнянь і 4 невідомі, таким чином, система може мати або єдине рішення, або не мати рішень, або мати безліч рішень. Як би там не було, але метод Гауса у будь-якому разі приведе нас до відповіді. У цьому й універсальність.

Початок знову стандартний. Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

Ось і все, а ви боялися.

(1) Зверніть увагу, що всі числа в першому стовпці поділяються на 2, тому на лівій верхній сходинці нас влаштовує двійка. До другого рядка додаємо перший рядок, помножений на -4. До третього рядка додаємо перший рядок, помножений на -2. До четвертого рядка додаємо перший рядок, помножений на -1.

Увага!У багатьох може виникнути спокуса з четвертого рядка віднятиперший рядок. Так робити можна, але не потрібно, досвід показує, що ймовірність помилки у обчисленнях збільшується у кілька разів. Тільки складаємо: До четвертого рядка додаємо перший рядок, помножений на –1 – саме так!

(2) Останні три рядки пропорційні, два можна видалити.

Тут знову треба виявити підвищена увага, а чи справді рядки пропорційні? Для перестрахування (особливо, чайнику) не зайвим буде другий рядок помножити на -1, а четвертий рядок розділити на 2, отримавши в результаті три однакові рядки. І лише після цього видалити дві з них.

В результаті елементарних перетворень розширена матриця системи наведена до ступінчастого вигляду:

При оформленні завдання у зошиті бажано для наочності робити такі самі позначки олівцем.

Перепишемо відповідну систему рівнянь:

"Звичайним" єдиним рішенням системи тут і не пахне. Поганого рядка теж немає. Отже, це третій випадок, що залишився – система має нескінченно багато рішень. Іноді за умовою слід досліджувати спільність системи (тобто довести, що рішення взагалі існує), про це можна прочитати в останньому параграфі статті Як знайти ранг матриці?Але поки що розбираємо ази:

Безліч рішень системи коротко записують у вигляді так званого загального вирішення системи .

Загальне рішення системи знайдемо за допомогою зворотного ходу методу Гауса.

Спочатку потрібно визначити, які змінні у нас є базисними, а які змінні вільними. Не обов'язково морочитися термінами лінійної алгебри, досить запам'ятати, що ось такі базисні змінніі вільні змінні.

Базисні змінні завжди сидять строго на сходах матриці..
В даному прикладібазовими змінними є і

Вільні змінні – це все рештазмінні, яким не дісталося сходинки. У нашому випадку їх дві: вільні змінні.

Тепер потрібно Усе базисні зміннівисловити тільки через вільні змінні.

Зворотний хід алгоритму Гауса традиційно працює знизу нагору.
З другого рівняння системи виражаємо базову змінну :

Тепер дивимося на перше рівняння: . Спочатку в нього підставляємо знайдений вираз:

Залишилося висловити базову змінну через вільні змінні:

У результаті вийшло те, що потрібно – Усебазисні змінні (і) виражені тільки черезвільні змінні:

Власне, загальне рішення готове:

Як правильно записати загальне рішення?
Вільні змінні записуються у загальне рішення «самі собою» і суворо своїх місцях. В даному випадку вільні змінні слід записати на другій та четвертій позиції:
.

Отримані вирази для базисних змінних і, очевидно, потрібно записати на першій та третій позиції:

Надаючи вільним змінним довільні значення, можна знайти нескінченно багато приватних рішень. Найпопулярнішими значеннями є нулі, оскільки приватне рішення виходить найпростіше. Підставимо у загальне рішення:

- Приватне рішення.

Іншою солодкою парочкою є одиниці, підставимо на загальне рішення:

- Ще одне приватне рішення.

Легко помітити, що система рівнянь має нескінченно багато рішень(оскільки вільним змінним ми можемо надати будь-якізначення)

кожнеприватне рішення має задовольняти кожномурівняння системи. На цьому ґрунтується «швидка» перевірка правильності рішення. Візьміть, наприклад, часткове рішення і підставте його в ліву частину кожного рівняння вихідної системи:

Все має зійтися. І з будь-яким отриманим вами приватним рішенням – теж все має зійтися.

Але, строго кажучи, перевірка приватного рішення іноді дурить, тобто. якесь приватне рішення може задовольняти кожному рівнянню системи, а загальне рішення насправді знайдено неправильно.

Тому ґрунтовніша і надійніша перевірка загального рішення. Як перевірити отримане загальне рішення ?

Це нескладно, але досить виснажливо. Потрібно взяти вирази базиснихзмінних, у разі і , і підставити їх у ліву частину кожного рівняння системи.

У ліву частину першого рівняння системи:

У ліву частину другого рівняння системи:


Отримано праву частину вихідного рівняння.

Приклад 4

Вирішити систему методом Гауса. Знайти спільне рішення та два приватні. Зробити перевірку загального рішення.

Це приклад самостійного рішення. Тут, до речі, знову кількість рівнянь менша, ніж кількість невідомих, а отже, відразу зрозуміло, що система буде або несумісною, або з безліччю рішень. Що важливо у самому процесі вирішення? Увага, і ще раз увага. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

І ще пара прикладів для закріплення матеріалу

Приклад 5

Розв'язати систему лінійних рівнянь. Якщо система має безліч рішень, знайти два приватних рішення і зробити перевірку загального рішення

Рішення: Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

(1) До другого рядка додаємо перший рядок. До третього рядка додаємо перший рядок, помножений на 2. До четвертого рядка додаємо перший рядок, помножений на 3.
(2) До третього рядка додаємо другий рядок, помножений на –5. До четвертого рядка додаємо другий рядок, помножений на -7.
(3) Третій і четвертий рядки однакові, один з них видаляємо.

Ось така краса:

Базисні змінні сидять на сходах, тому базисні змінні.
Вільна змінна, якій не дісталося сходинки тут лише одна:

Зворотній хід:
Виразимо базисні змінні через вільну змінну:
З третього рівняння:

Розглянемо друге рівняння і підставимо в нього знайдений вираз:

Розглянемо перше рівняння і підставимо в нього знайдені вирази:

Так, все-таки зручний калькулятор, який вважає прості дроби.

Таким чином, загальне рішення:

Ще раз, як воно вийшло? Вільна змінна самотньо сидить на своєму законному четвертому місці. Отримані висловлювання для базисних змінних, теж зайняли свої порядкові місця.

Відразу здійснимо перевірку загального рішення. Робота для негрів, але вона у мене вже виконана, тому ловіть =)

Підставляємо трьох богатирів , , в ліву частину кожного рівняння системи:

Отримано відповідні праві частини рівнянь, отже, загальне рішення знайдено правильно.

Тепер із знайденого загального рішення отримаємо два приватні рішення. Шеф-кухарем тут виступає єдина вільна змінна. Ламати голову не треба.

Нехай тоді - Приватне рішення.
Нехай тоді – ще одне приватне рішення.

Відповідь: Спільне рішення: , приватні рішення: , .

Даремно я тут про негрів згадав... ...бо в голову полізли всілякі садистські мотиви і згадалася відома фотожаба, на якій ляльки-клаклани в білих балахонах біжать по полю за чорношкірим футболістом. Сиджу, тихо усміхаюся. Знаєте, як відволікає.

Багато математики шкідливе, тому схожий заключний приклад самостійного рішення.

Приклад 6

Знайти загальне рішення системи лінійних рівнянь.

Перевірку загального рішення в мене вже зроблено, відповіді можна довіряти. Ваш хід рішення може відрізнятись від мого ходу рішення, головне, щоб збіглися загальні рішення.

Напевно, багато хто помітив неприємний момент у рішеннях: дуже часто при зворотному ході методу Гауса нам довелося поратися звичайними дробами. Насправді це справді так, випадки, коли дробів немає – зустрічаються значно рідше. Будьте готові морально і, найголовніше, технічно.

Зупинюся на деяких особливостях рішення, які не зустрілися у прикладах.

До загального рішення системи іноді може входити константа (або константи), наприклад: . Тут одне з базисних змінних дорівнює постійному числу: . У цьому немає нічого екзотичного, то буває. Очевидно, що в даному випадку будь-яке приватне рішення міститиме п'ятірку на першій позиції.

Рідко, але зустрічаються системи, у яких кількість рівнянь більше кількостізмінних. Метод Гауса працює в найсуворіших умовах, слід незворушно привести розширену матрицю системи до ступінчастого вигляду за стандартним алгоритмом. Така система може бути несумісною, може мати безліч рішень, і, як не дивно, може мати єдине рішення.

Призначення сервісу. Онлайн-калькулятор призначено для дослідження системи лінійних рівнянь. Зазвичай за умови завдання потрібно знайти загальне та приватне рішення системи. При дослідженні систем лінійних рівнянь вирішуються такі:

1. чи є система спільною;
2. якщо система спільна, то визначена чи невизначена (критерій спільності системи визначається за теоремою);
3. якщо система визначена, то як визначити її єдине рішення (використовуються метод Крамера, метод зворотної матриці або метод Жордана-Гаусса);
4. якщо система невизначена, як описати безліч її рішень.

Класифікація систем лінійних рівнянь

Довільна система лінійних рівнянь має вигляд:
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
...................................................
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a m n x n = b m

1. Системи лінійних неоднорідних рівнянь (кількість змінних дорівнює кількості рівнянь, m = n).
2. Довільні системи лінійних неоднорідних рівнянь (m > n чи m< n).

Визначення. Рішенням системи називається будь-яка сукупність чисел c 1, c 2, ..., c n, Підстановка яких в систему замість відповідних невідомих звертає кожне рівняння системи в тотожність.

Визначення. Дві системи називаються еквівалентними, якщо рішення першої є рішенням другої та навпаки.

Визначення. Система, що має хоча б одне рішення, називається спільної. Система, яка має жодного рішення, називається несовместной.

Визначення. Система, що має єдине рішення, називається певною, А що має більше одного рішення – невизначеною.

Алгоритм розв'язання систем лінійних рівнянь

1. Знаходимо ранги основної та розширеної матриць. Якщо вони не рівні, то за теоремою Кронекера-Капеллі система несумісна, і на цьому дослідження закінчується.
2. Нехай rang(A) = rang(B). Виділяємо базовий мінор. При цьому всі невідомі системи лінійних рівнянь поділяються на два класи. Невідомі, коефіцієнти за яких увійшли до базисного мінору, називають залежними, а невідомі, коефіцієнти за яких не потрапили до базисного мінору – вільними. Зауважимо, що вибір залежних та вільних невідомих не завжди однозначний.
3. Викреслюємо ті рівняння системи, коефіцієнти яких увійшли до складу базисного мінору, оскільки є наслідками інших (по теоремі про базисному мінорі).
4. Члени рівнянь, що містять вільні невідомі, перенесемо до правої частини. В результаті отримаємо систему з r рівнянь з r невідомими, еквівалентну даній, визначник якої відмінний від нуля.
5. Отримана система вирішується одним із способів: метод Крамера, метод зворотної матриці чи метод Жордана-Гаусса. Знаходяться співвідношення, що виражають залежні змінні через вільні.

Рішення систем лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ), безсумнівно, є найважливішою темою курсу лінійної алгебри. Величезна кількість завдань із усіх розділів математики зводиться до вирішення систем лінійних рівнянь. Цими факторами пояснюється причина створення цієї статті. Матеріал статті підібраний та структурований так, що за його допомогою Ви зможете

• підібрати оптимальний метод вирішення Вашої системи лінійних рівнянь алгебри,
• вивчити теорію обраного методу,
• вирішити Вашу систему лінійних рівнянь, розглянувши докладно розібрані рішення характерних прикладів та завдань.

Короткий опис статті.

Спочатку дамо все необхідні визначення, поняття та введемо позначення.

Далі розглянемо методи розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри, в яких число рівнянь дорівнює числу невідомих змінних і які мають єдине рішення. По-перше, зупинимося на методі Крамера, по-друге, покажемо матричний метод розв'язання таких систем рівнянь, по-третє, розберемо метод Гауса (метод послідовного виключення невідомих змінних). Для закріплення теорії обов'язково вирішимо кілька СЛАУ у різний спосіб.

Після цього перейдемо до вирішення систем лінійних рівнянь алгебри загального вигляду, В яких число рівнянь не збігається з числом невідомих змінних або основна матриця системи є виродженою. Сформулюємо теорему Кронекера – Капеллі, яка дозволяє встановити спільність СЛАУ. Розберемо рішення систем (у разі їхньої спільності) за допомогою поняття базисного мінору матриці. Також розглянемо метод Гауса і докладно опишемо рішення прикладів.

Обов'язково зупинимося на структурі загального розв'язання однорідних та неоднорідних систем лінійних рівнянь алгебри. Дамо поняття фундаментальної системи рішень та покажемо, як записується загальне рішення СЛАУ за допомогою векторів фундаментальної системи рішень. Для найкращого розуміння розберемо кілька прикладів.

Наприкінці розглянемо системи рівнянь, що зводяться до лінійних, і навіть різні завдання, під час вирішення яких виникають СЛАУ.

Навігація на сторінці.

Визначення, поняття, позначення.

Будемо розглядати системи з p лінійних рівнянь алгебри з n невідомими змінними (p може бути рівно n ) виду

Невідомі змінні, - коефіцієнти (деякі дійсні чи комплексні числа), - вільні члени (також дійсні чи комплексні числа).

Таку форму запису СЛАУ називають координатної.

В матричній формізапису ця система рівнянь має вигляд ,
де - основна матриця системи, - матриця-стовпець невідомих змінних, - матриця-стовпець вільних членів.

Якщо до матриці А додати як (n+1)-ого ​​стовпця матрицю-стовпець вільних членів, то отримаємо так звану розширену матрицюсистеми лінійних рівнянь Зазвичай розширену матрицю позначають буквою Т, а стовпець вільних членів відокремлюють вертикальною лінією від інших стовпців, тобто,

Рішенням системи лінійних рівнянь алгебриназивають набір значень невідомих змінних , що обертає всі рівняння системи у тотожності. Матричне рівняння за даних значень невідомих змінних також звертається до тотожності .

Якщо система рівнянь має хоча одне рішення, вона називається спільної.

Якщо система рівнянь рішень немає, вона називається несумісний.

Якщо СЛАУ має єдине рішення, її називають певною; якщо рішень більше одного, то – невизначеною.

Якщо вільні члени всіх рівнянь системи дорівнюють нулю , то система називається однорідний, в іншому випадку - неоднорідний.

Розв'язання елементарних систем лінійних рівнянь алгебри.

Якщо число рівнянь системи дорівнює кількості невідомих змінних і визначник її основної матриці не дорівнює нулю, то такі СЛАУ називатимемо елементарними. Такі системи рівнянь мають єдине рішення, причому у разі однорідної системи усі невідомі змінні дорівнюють нулю.

Такі СЛАУ ми починали вивчати середній школі. При їх вирішенні ми брали якесь одне рівняння, висловлювали одну невідому змінну через інші і підставляли її в рівняння, що залишилися, слідом брали наступне рівняння, висловлювали наступну невідому змінну і підставляли в інші рівняння і так далі. Або користувалися методом додавання, тобто складали два або більше рівнянь, щоб виключити деякі невідомі змінні. Не будемо докладно зупинятися цих методах, оскільки вони насправді є модифікаціями методу Гаусса.

Основними методами розв'язання елементарних систем лінійних рівнянь є метод Крамера, матричний метод та метод Гауса. Розберемо їх.

Вирішення систем лінійних рівнянь методом Крамера.

Нехай нам потрібно вирішити систему лінійних рівнянь алгебри

в якій число рівнянь дорівнює кількості невідомих змінних і визначник основної матриці системи відмінний від нуля, тобто .

Нехай – визначник основної матриці системи, а - визначники матриць, що виходять з А заміною 1-ого, 2-го, …, n-огостовпця відповідно на стовпець вільних членів:

За таких позначень невідомі змінні обчислюються за формулами методу Крамера як . Так знаходиться рішення системи лінійних рівнянь алгебри методом Крамера.

приклад.

Методом Крамера .

Рішення.

Основна матриця системи має вигляд . Обчислимо її визначник (при необхідності дивіться статтю):

Оскільки визначник основної матриці системи відмінний від нуля, то система має єдине рішення, яке можна знайти методом Крамера.

Складемо та обчислимо необхідні визначники (визначник отримуємо, замінивши в матриці А перший стовпець на стовпець вільних членів, визначник - замінивши другий стовпець на стовпець вільних членів, - замінивши третій стовпець матриці А на стовпець вільних членів):

Знаходимо невідомі змінні за формулами :

Відповідь:

Основним недоліком методу Крамера (якщо можна назвати недоліком) є трудомісткість обчислення визначників, коли число рівнянь системи більше трьох.

Вирішення систем лінійних рівнянь алгебри матричним методом (за допомогою зворотної матриці).

Нехай система лінійних рівнянь алгебри задана в матричній формі , де матриця A має розмірність n на n і її визначник відмінний від нуля.

Оскільки , то матриця А – оборотна, тобто існує зворотна матриця . Якщо помножити обидві частини рівності на ліворуч, то отримаємо формулу для знаходження матриці-стовпця невідомих змінних. Так ми отримали рішення системи лінійних рівнянь алгебри матричним методом.

приклад.

Розв'яжіть систему лінійних рівнянь матричним способом.

Рішення.

Перепишемо систему рівнянь у матричній формі:

Так як

то СЛАУ можна вирішувати матричним способом. За допомогою зворотної матриці рішення цієї системи може бути знайдено як .

Побудуємо зворотну матрицю за допомогою матриці з додатків алгебри елементів матриці А (при необхідності дивіться статтю ):

Залишилося обчислити - матрицю невідомих змінних, помноживши зворотну матрицю на матрицю-стовпець вільних членів (при необхідності дивіться статтю):

Відповідь:

або в іншому записі x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Основна проблема при знаходженні рішення систем лінійних рівнянь алгебри матричним методом полягає в трудомісткості знаходження зворотної матриці, особливо для квадратних матриць порядку вище третього.

Вирішення систем лінійних рівнянь методом Гауса.

Нехай нам потрібно знайти рішення системи з n лінійних рівнянь із n невідомими змінними
визначник основної матриці якої відмінний від нуля.

Суть методу Гаусаполягає у послідовному виключенні невідомих змінних: спочатку виключається x 1 з усіх рівнянь системи, починаючи з другого, далі виключається x 2 зі всіх рівнянь, починаючи з третього, і так далі, поки в останньому рівнянні залишиться тільки невідома змінна x n . Такий процес перетворення рівнянь системи для послідовного виключення невідомих змінних називається прямим ходом методу Гауса. Після завершення прямого ходу методу Гауса з останнього рівняння знаходиться x n, за допомогою цього значення з передостаннього рівняння обчислюється x n-1 і так далі, з першого рівняння знаходиться x 1 . Процес обчислення невідомих змінних під час руху від останнього рівняння системи до першого називається зворотним ходом методу Гауса.

Коротко опишемо алгоритм виключення невідомих змінних.

Вважатимемо, що , оскільки ми можемо цього домогтися перестановкою місцями рівнянь системи. Виключимо невідому змінну x 1 зі всіх рівнянь системи, починаючи з другого. Для цього до другого рівняння системи додамо перше, помножене на , до третього рівняння додамо перше, помножене на , і так далі, до n-го рівняння додамо перше, помножене на . Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду

де , а .

До такого ж результату ми б дійшли, якби висловили x 1 через інші невідомі змінні у першому рівнянні системи та отриманий вираз підставили у всі інші рівняння. Таким чином, змінна х 1 виключена зі всіх рівнянь, починаючи з другого.

Далі діємо аналогічно, але лише з частиною отриманої системи, що зазначена малюнку

Для цього до третього рівняння системи додамо друге, помножене на , до четвертого рівняння додамо друге, помножене на , і так далі, до n-го рівняння додамо друге, помножене на . Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду

де , а . Таким чином, змінна х 2 виключена зі всіх рівнянь, починаючи з третього.

Далі приступаємо до виключення невідомої x 3 при цьому діємо аналогічно з зазначеною на малюнку частиною системи

Так продовжуємо прямий хід методу Гаусса доки система не набуде вигляду

З цього моменту починаємо зворотний хід методу Гауса: обчислюємо x n з останнього рівняння як за допомогою отриманого значення x n знаходимо x n-1 з передостаннього рівняння, і так далі, знаходимо x 1 з першого рівняння.

приклад.

Розв'яжіть систему лінійних рівнянь методом Гауса.

Рішення.

Виключимо невідому змінну x 1 з другого та третього рівняння системи. Для цього до обох частин другого та третього рівнянь додамо відповідні частини першого рівняння, помножені на і відповідно:

Тепер із третього рівняння виключимо x 2 , додавши до його лівої та правої частин ліву та праву частини другого рівняння, помножені на :

У цьому прямий хід методу Гауса закінчено, починаємо зворотний хід.

З останнього рівняння отриманої системи рівнянь знаходимо x3:

З другого рівняння отримуємо.

З першого рівняння знаходимо невідому змінну і цим завершуємо зворотний хід методу Гауса .

Відповідь:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Вирішення систем лінійних рівнянь алгебри загального виду.

У випадку число рівнянь системи p не збігається з числом невідомих змінних n :

Такі СЛАУ можуть мати рішень, мати єдине рішення чи мати нескінченно багато рішень. Це твердження відноситься також до систем рівнянь, основна матриця яких є квадратною і виродженою.

Теорема Кронекера – Капеллі.

Перш ніж знаходити розв'язання системи лінійних рівнянь, необхідно встановити її спільність. Відповідь на запитання, коли СЛАУ спільна, а коли несумісна, дає теорема Кронекера – Капеллі:
для того, щоб система з p рівнянь з n невідомими (p може бути одно n ) була спільна необхідно і достатньо, щоб ранг основної матриці системи дорівнював рангу розширеної матриці, тобто, Rank(A)=Rank(T) .

Розглянемо з прикладу застосування теореми Кронекера – Капеллі визначення спільності системи лінійних рівнянь.

приклад.

З'ясуйте, чи має система лінійних рівнянь рішення.

Рішення.

. Скористаємося методом облямівних мінорів. Мінор другого порядку відмінний від нуля. Переберемо його мінори третього порядку:

Оскільки всі облямівні мінори третього порядку дорівнюють нулю, то ранг основної матриці дорівнює двом.

У свою чергу ранг розширеної матриці дорівнює трьом, тому що мінор третього порядку

відмінний від нуля.

Таким чином, Rang(A) , отже, по теоремі Кронекера – Капеллі можна дійти невтішного висновку, що вихідна система лінійних рівнянь несовместна.

Відповідь:

Система рішень немає.

Отже, ми навчилися встановлювати несумісність системи з допомогою теореми Кронекера – Капеллі.

А як же знаходити рішення СЛАУ, якщо встановлено її спільність?

Для цього нам знадобиться поняття базисного мінору матриці та теорема про ранг матриці.

Мінор найвищого порядку матриці А, відмінний від нуля, називається базисним.

З визначення базисного мінору випливає, що його порядок дорівнює рангу матриці. Для ненульової матриці базисних мінорів А може бути кілька, один базисний мінор є завжди.

Наприклад розглянемо матрицю .

Всі мінори третього порядку цієї матриці рівні нулю, так як елементи третього рядка цієї матриці є сумою відповідних елементів першого і другого рядків.

Базисними є наступні мінори другого порядку, оскільки вони відмінні від нуля

Мінори базисними є, оскільки рівні нулю.

Теорема про ранг матриці.

Якщо ранг матриці порядку p на n дорівнює r то всі елементи рядків (і стовпців) матриці, що не утворюють обраний базисний мінор, лінійно виражаються через відповідні елементи рядків (і стовпців), що утворюють базисний мінор.

Що нам дає теорема про ранг матриці?

Якщо за теоремою Кронекера – Капеллі ми встановили спільність системи, то вибираємо будь-який базисний мінор основної матриці системи (його порядок дорівнює r), і виключаємо із системи всі рівняння, які не утворюють обраний базисний мінор. Отримана таким чином СЛАУ буде еквівалентна вихідної, так як відкинуті рівняння все одно зайві (вони згідно з теореми про ранг матриці є лінійною комбінацією рівнянь, що залишилися).

У результаті після відкидання зайвих рівнянь системи можливі два випадки.

Якщо число рівнянь r в отриманій системі дорівнюватиме кількості невідомих змінних, то вона буде визначеною і єдине рішення можна буде знайти методом Крамера, матричним методом або методом Гауса.

приклад.

.

Рішення.

Ранг основної матриці системи дорівнює двом, тому що мінор другого порядку відмінний від нуля. Ранг розширеної матриці також дорівнює двом, оскільки єдиний мінор третього порядку дорівнює нулю

а розглянутий вище мінор другого порядку відмінний від нуля. На підставі теореми Кронекера - Капеллі можна стверджувати спільність вихідної системи лінійних рівнянь, оскільки Rank (A) = Rank (T) = 2 .

Як базисний мінор візьмемо . Його утворюють коефіцієнти першого та другого рівнянь:


Третє рівняння системи не бере участі в утворенні базисного мінору, тому виключимо його із системи на підставі теореми про ранг матриці:


Так ми отримали елементарну системулінійних рівнянь алгебри. Вирішимо її методом Крамера:


Відповідь:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Якщо число рівнянь r отриманої СЛАУ менше кількості невідомих змінних n , то лівих частинах рівнянь залишаємо доданки, що утворюють базисний мінор, інші доданки переносимо у праві частини рівнянь системи з протилежним знаком.

Невідомі змінні (їх r штук), що залишилися в лівих частинах рівнянь, називаються основними.

Невідомі змінні (їх n - r штук), які опинилися у правих частинах, називаються вільними.

Тепер вважаємо, що вільні невідомі змінні можуть набувати довільних значень, при цьому r основних невідомих змінних будуть виражатися через вільні невідомі змінні єдиним чином. Їхній вираз можна знайти вирішуючи отриману СЛАУ методом Крамера, матричним методом або методом Гауса.

Розберемо з прикладу.

приклад.

Розв'яжіть систему лінійних алгебраїчних рівнянь .

Рішення.

Знайдемо ранг основної матриці системи методом облямівних мінорів. Як ненульовий мінор першого порядку візьмемо a 1 1 = 1 . Почнемо пошук ненульового мінору другого порядку, що облямовує цей мінор:


Так ми знайшли ненульовий мінор другого порядку. Почнемо пошук ненульового мінера третього порядку, що облямовує:


Таким чином, ранг основної матриці дорівнює трьом. Ранг розширеної матриці також дорівнює трьом, тобто система спільна.

Знайдений ненульовий мінор третього порядку візьмемо як базовий.

Для наочності покажемо елементи, що утворюють базовий мінор:


Залишаємо в лівій частині рівнянь системи доданки, що беруть участь у базисному мінорі, інші переносимо з протилежними знаками у праві частини:


Надамо вільним невідомим змінним x 2 і x 5 довільні значення, тобто, приймемо де - довільні числа. При цьому СЛАУ набуде вигляду


Отриману елементарну систему лінійних рівнянь алгебри вирішимо методом Крамера:


Отже, .

У відповіді не забуваємо вказати вільні невідомі змінні.

Відповідь:

Де – довільні числа.

Підведемо підсумок.

Щоб вирішити систему лінійних рівнянь алгебри загального виду, спочатку з'ясовуємо її спільність, використовуючи теорему Кронекера - Капеллі. Якщо ранг основної матриці не дорівнює рангу розширеної матриці, то робимо висновок про несумісність системи.

Якщо ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці, то вибираємо базовий мінор і відкидаємо рівняння системи, які беруть участь у освіті обраного базисного мінору.

Якщо порядок базисного мінору дорівнює кількості невідомих змінних, то СЛАУ має єдине рішення, яке знаходимо будь-яким відомим нам методом.

Якщо порядок базисного мінору менше кількості невідомих змінних, то лівої частини рівнянь системи залишаємо доданки з основними невідомими змінними, інші доданки переносимо у праві частини і надаємо вільним невідомим змінним довільні значення. З отриманої системи лінійних рівнянь знаходимо основні невідомі змінні методом Крамера, матричним методом чи методом Гауса.

Метод Гауса для вирішення систем лінійних рівнянь алгебри загального виду.

Методом Гауса можна вирішувати системи лінійних рівнянь алгебри будь-якого виду без попереднього їх дослідження на спільність. Процес послідовного виключення невідомих змінних дозволяє дійти невтішного висновку як про спільності, і про несумісності СЛАУ, а разі існування рішення дає можливість знайти його.

З погляду обчислювальної роботи метод Гауса є кращим.

Дивіться його докладний описі розібрані приклади у статті метод Гауса для вирішення систем лінійних рівнянь алгебри загального виду .

Запис загального рішення однорідних та неоднорідних систем лінійних алгебраїчних за допомогою векторів фундаментальної системи рішень.

У цьому розділі йтиметься про спільні однорідні та неоднорідні системи лінійних алгебраїчних рівнянь, що мають безліч рішень.

Розберемося спочатку з однорідними системами.

Фундаментальною системою рішеньоднорідної системи з p лінійних рівнянь алгебри з n невідомими змінними називають сукупність (n – r) лінійно незалежних рішень цієї системи, де r – порядок базисного мінору основної матриці системи.

Якщо позначити лінійно незалежні рішення однорідної СЛАУ як X (1), X (2), …, X (nr) (X (1), X (2), …, X (nr) – це матриці стовпці розмірності n на 1) , то загальне рішення цієї однорідної системи представляється як лінійної комбінації векторів фундаментальної системи рішень з довільними постійними коефіцієнтами З 1 , З 2 , …, З (nr) , тобто, .

Що означає термін загальне рішення однорідної системи лінійних рівнянь алгебри (орослау)?

Сенс простий: формула задає все можливі рішеннявихідний СЛАУ, інакше кажучи, взявши будь-який набір значень довільних постійних С 1 , С 2 , …, С (n-r) , за формулою ми отримаємо одне з рішень вихідної однорідної СЛАУ.

Таким чином, якщо ми знайдемо фундаментальну систему рішень, то зможемо задати всі рішення цієї однорідної СЛАУ як .

Покажемо процес побудови фундаментальної системи рішень однорідної СЛАУ.

Вибираємо базовий мінор вихідної системи лінійних рівнянь, виключаємо всі інші рівняння із системи та переносимо у праві частини рівнянь системи з протилежними знаками всі доданки, що містять вільні невідомі змінні. Надамо вільним невідомим змінним значення 1,0,0,...,0 і обчислимо основні невідомі, вирішивши отриману елементарну систему лінійних рівнянь будь-яким способом, наприклад методом Крамера. Так буде отримано X(1) – перше рішення фундаментальної системи. Якщо надати вільним невідомим значення 0,1,0,0,…,0 і обчислити у своїй основні невідомі, отримаємо X (2) . І так далі. Якщо вільним невідомим змінним надамо значення 0,0, ..., 0,1 і обчислимо основні невідомі, то отримаємо X (n-r). Так буде побудовано фундаментальну систему рішень однорідної СЛАУ і може бути записано її загальне рішення у вигляді.

Для неоднорідних систем лінійних рівнянь алгебри загальне рішення представляється у вигляді , де - загальне рішення відповідної однорідної системи, а - приватне рішення вихідної неоднорідної СЛАУ, яке ми отримуємо, надавши вільним невідомим значення 0,0, ..., 0 і обчисливши значення основних невідомих.

Розберемо на прикладах.

приклад.

Знайдіть фундаментальну систему рішень та загальне рішення однорідної системи лінійних рівнянь алгебри .

Рішення.

Ранг основної матриці однорідних систем лінійних рівнянь завжди дорівнює рангу розширеної матриці. Знайдемо ранг основної матриці методом облямівних мінорів. Як ненульовий мінор першого порядку візьмемо елемент a 1 1 = 9 основної матриці системи. Знайдемо облямовливий ненульовий мінор другого порядку:

Мінор другого порядку, відмінний від нуля, знайдено. Переберемо його мінори третього порядку в пошуках ненульового:

Усі оздоблювальні мінори третього порядку дорівнюють нулю, отже, ранг основної та розширеної матриці дорівнює двом. Базисним мінором візьмемо. Зазначимо для наочності елементи системи, що його утворюють:

Третє рівняння вихідної СЛАУ не бере участі в утворенні базисного мінору, тому може бути виключено:

Залишаємо у правих частинах рівнянь доданки, що містять основні невідомі, а у праві частини переносимо доданки з вільними невідомими:

Побудуємо фундаментальну систему розв'язків вихідної однорідної системи лінійних рівнянь. Фундаментальна система рішень даної СЛАУ складається з двох рішень, оскільки вихідна СЛАУ містить чотири невідомі змінні, а порядок її базисного мінору дорівнює двом. Для знаходження X (1) надамо вільним невідомим змінним значення x 2 = 1, x 4 = 0 тоді основні невідомі знайдемо з системи рівнянь
.