"теорія ймовірності у завданнях еге та оге". Прості завдання з теорії ймовірності
Наведені на даний момент у відкритому банку завдань ЄДІ з математики (mathege.ru), вирішення яких засноване на одній лише формулі, що є класичним визначенням ймовірності.
Зрозуміти формулу найпростіше на прикладах.
приклад 1.У кошику 9 червоних кульок та 3 синіх. Кулі розрізняються лише кольором. Навмання (не дивлячись) дістаємо один з них. Яка ймовірність того, що обрана таким чином куля виявиться синього кольору?
Коментар.У завданнях з теорії ймовірності відбувається щось (у разі наша дія з витягування кулі), що може мати різний результат- Вихід. Потрібно помітити, що результат можна дивитися по-різному. "Ми витягли якусь кулю" - теж результат. "Ми витягли синю кулю" - результат. "Ми витягли саме ось цей шар з усіх можливих куль" - такий найменш узагальнений погляд на результат називається елементарним результатом. Саме елементарні результати маються на увазі у формулі для обчислення ймовірності.
Рішення.Тепер обчислимо можливість вибору синьої кулі.
Подія А: "вибрана куля виявилася синього кольору"
Загальна кількість всіх можливих результатів: 9+3=12 (кількість всіх куль, які ми могли б витягнути)
Число сприятливих для події А результатів: 3 (кількість таких результатів, при яких подія А відбулася, тобто кількість синіх куль)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Відповідь: 0,25
Порахуємо для того ж завдання можливість вибору червоної кулі.
Загальна кількість можливих наслідків залишиться тим же, 12. Число сприятливих наслідків: 9. Шукана ймовірність: 9/12=3/4=0,75
Імовірність будь-якої події завжди лежить у межах від 0 до 1.
Іноді в повсякденному мовленні (але не теоретично ймовірності!) ймовірність подій оцінюють у відсотках. Перехід між математичною та розмовною оцінкою здійснюється шляхом множення (або розподілу) на 100%.
Отже,
При цьому ймовірність дорівнює нулю у подій, які не можуть статися, - неймовірні. Наприклад, у нашому прикладі це була б можливість витягнути з кошика зелену кулю. (Кількість сприятливих результатів дорівнює 0, Р(А)=0/12=0, якщо рахувати за формулою)
Імовірність 1 мають події, які абсолютно точно відбудуться без варіантів. Наприклад, ймовірність того, що «обрана куля виявиться або червоною або синьою» - для нашого завдання. (Кількість сприятливих результатів: 12, Р(А)=12/12=1)
Ми розглянули класичний приклад, що ілюструє визначення ймовірності. Усі подібні завдання ЄДІз теорії ймовірності вирішуються застосуванням цієї формули.
На місці червоних та синіх куль можуть бути яблука та груші, хлопчики та дівчатка, вивчені та невивчені квитки, квитки, що містять та не містять питання з якоїсь теми (прототипи , ), браковані та якісні сумки або садові насоси (прототипи , ) – принцип залишається тим самим.
Дещо відрізняються формулюванням завдання теорії ймовірності ЄДІ, де потрібно обчислити ймовірність випадання якоїсь події на певний день. ( , ) Як і попередніх завданнях потрібно визначити, що є елементарним результатом, після чого застосувати ту ж формулу.
приклад 2.Конференція триває три дні. Першого і другого дня виступають по 15 доповідачів, третього дня – 20. Яка ймовірність того, що доповідь професора М. випаде на третій день, якщо порядок доповідей визначається жеребкуванням?
Що є елементарним результатом? – Присвоєння доповіді професора якогось одного зі всіх можливих порядкових номерів для виступу. У жеребкуванні бере участь 15+15+20=50 осіб. Таким чином, доповідь професора М. може отримати один із 50 номерів. Отже, і елементарних результатів лише 50.
А які результати сприятливі? – Ті, за яких виявиться, що професор виступатиме третього дня. Тобто останні 20 номерів.
За формулою ймовірність P(A)=20/50=2/5=4/10=0,4
Відповідь: 0,4
Жеребкування тут є встановлення випадкової відповідності між людьми та впорядкованими місцями. У прикладі 2 встановлення відповідності розглядалося з погляду того, яке з місць могла б зайняти конкретна людина. Можна до тієї ж ситуації підходити з іншого боку: хто з людей з якою ймовірністю міг би потрапити на конкретне місце (прототипи , , , ):
Приклад 3.У жеребкуванні беруть участь 5 німців, 8 французів та 3 естонці. Яка ймовірність того, що першим (/другим/сьомим/останнім – не важливо) виступатиме француз.
Кількість елементарних результатів – кількість усіх можливих людей, які могли б по жеребкуванню потрапити на це місце. 5+8+3=16 осіб.
Сприятливі наслідки – французи. 8 людей.
Шукана ймовірність: 8/16=1/2=0,5
Відповідь: 0,5
Небагато відрізняється прототип. Залишилися завдання про монети () та гральні кістки (), дещо більш творчі. Вирішення цих завдань можна переглянути на сторінках прототипів.
Наведемо кілька прикладів на кидання монети чи кубика.
Приклад 4.Коли підкидаємо монету, якою є ймовірність випадання рішки?
Виходів 2 – орел або решка. (Вважається, що монета ніколи не падає на ребро) Сприятливий результат - решка, 1.
Можливість 1/2=0,5
Відповідь: 0,5.
Приклад 5.А якщо підкидаємо монету двічі? Яка ймовірність того, що обидва рази випаде орел?
Головне визначити, які елементарні результати розглядатимемо при підкиданні двох монет. Після підкидання двох монет може вийти один із наступних результатів:
1) PP – обидва рази випала решка
2) PO – перший раз решка, вдруге орел
3) OP – перший раз орел, другий раз решка
4) OO – обидва рази випав орел
Інших варіантів немає. Отже, елементарних результатів 4. Сприятливий їх лише перший, 1.
Можливість: 1/4 = 0,25
Відповідь: 0,25
Якою є ймовірність того, що з двох підкидань монети один раз випаде решка?
Кількість елементарних результатів те саме, 4. Сприятливі результати – другий і третій, 2.
Можливість випадання однієї решки: 2/4=0,5
У таких завданнях може знадобитися ще одна формула.
Якщо за одного кидання монети можливих варіантіврезультату у нас 2, то для двох кидань результатів буде 2 · 2 = 2 2 = 4 (як у прикладі 5), для трьох кидань 2 · 2 · 2 = 2 3 = 8, для чотирьох: 2 · 2 · 2 · 2 =2 4 =16, … для N кидання можливих результатів буде 2·2·...·2=2 N .
Так, можна знайти можливість випадання 5 рішок з 5 кидань монети.
Загальна кількість елементарних результатів: 25 =32.
Сприятливі результати: 1. (РРРРР – всі 5 разів решка)
Можливість: 1/32=0,03125
Те ж саме і для гральної кістки. При одному киданні можливих результатів тут 6. Значить, для двох кидань: 6 · 6 = 36, для трьох 6 · 6 · 6 = 216, і т. д.
Приклад 6.Кидаємо гральну кістку. Якою є ймовірність, що випаде парне число?
Усього результатів: 6, за кількістю граней.
Сприятливі: 3 результати. (2, 4, 6)
Можливість: 3/6=0,5
Приклад 7.Кидаємо дві гральні кістки. Яка ймовірність, що у сумі випаде 10? (округлити до сотих)
Для одного кубика 6 можливих наслідків. Значить, для двох, за вищезгаданим правилом, 6 · 6 = 36.
Які результати будуть сприятливими у тому, щоб у сумі випало 10?
10 треба розкласти у сумі двох чисел від 1 до 6. Це можна зробити двома способами: 10=6+4 і 10=5+5. Отже, для кубиків можливі варіанти:
(6 на першому та 4 на другому)
(4 на першому та 6 на другому)
(5 на першому та 5 на другому)
Разом, 3 варіанти. Шукана ймовірність: 3/36=1/12=0,08
Відповідь: 0,08
Інші типи завдань B6 будуть розглянуті в одній із наступних статей "Як вирішувати".
Опис презентації з окремих слайдів:
1 слайд
Опис слайду:
Ключові завдання з теорії ймовірностей Підготовка ДО АГЕ №9 МБОУ «Гімназія №4 ім. А.С. Пушкіна» Автор-упорядник: Софіна Н.Ю.
2 слайд
Опис слайду:
Основні вимоги до математичної підготовки № 9 ОГЭ з математики Вирішувати практичні завдання, що вимагають систематичного перебору варіантів; порівнювати шанси настання випадкових подій, оцінювати ймовірності випадкової події, зіставляти та досліджувати моделі реальної ситуації з використанням апарату ймовірності та статистики. № 9 – базове завдання. Максимальний бал за виконання завдання – 1.
3 слайд
Опис слайду:
Імовірністю події A називають відношення числа m результатів, що сприяють цій події. загальному числу n всіх рівноможливих несумісних подій, які можуть статися в результаті одного випробування або спостереження Класичне визначення ймовірності Нагадаємо формулу для обчислення класичної ймовірності випадкової події Р = n m
4 слайд
Опис слайду:
Класичне визначення ймовірності Приклад: Батьківський комітет закупив 40 кіжок-розмальовок для подарунків дітям на закінчення навчального року. З них 14 за казками А.С. Пушкіна та 26 за казками Г.Х.Андерсена. Подарунки розподіляються випадково. Знайдіть ймовірність того, що Насті дістанеться книжка-розмальовка за казками А.С. Пушкіна. Рішення: m = 14; n = 14 +26 = 40 Р = 14/40 = 0,35 Відповідь: 0, 35.
5 слайд
Опис слайду:
Приклад: На іспит було винесено 60 запитань. Іван не вивчив трьох з них. Знайдіть ймовірність того, що йому потрапить вивчене питання. Рішення: Тут n = 60. Іван не вивчив 3, отже вивчив решту, тобто. m = 60-3 = 57. Р = 57/60 = 0,95. Класичне визначення ймовірності Відповідь: 0,95.
6 слайд
Опис слайду:
«Порядок визначається жеребкуванням» Приклад: У чемпіонаті з гімнастики беруть участь 20 спортсменок: 8 із Росії, 7 із США, решта- з Китаю. Порядок, у якому виступають гімнастки, визначається жеребом. Знайдіть ймовірність того, що спортсменка, яка виступає п'ятою, виявиться з Китаю. Рішення: В умові завдання є «чарівне» слово «жереб», отже, ми забуваємо про порядок виступу. Т.о., m = 20-8-7 = 5 (з Китаю); n=20. Р = 5/20 = 0,25. Відповідь: 0, 25.
7 слайд
Опис слайду:
Приклад: Наукова конференція проводиться 5 днів. Усього заплановано 75 доповідей-перші 3 дні по 17 доповідей, решта розподілено порівну між 4-м та 5-м днями. Порядок доповідей визначається жеребкуванням. Яка ймовірність того, що доповідь професора Іванова виявиться запланованою на останній день конференції? Рішення: Занесемо дані до таблиці. Отримали, що m=12; n=75. Р = 12/75 = 0,16. Відповідь: 0,16. «Порядок визначається жеребкуванням» День I II III IV V Усього Число доповідей 17 17 17 12 12 75
8 слайд
Опис слайду:
Частота події Точно так, як і ймовірність, знаходиться частота події, завдання на яку також є в прототипах. У чому ж відмінність? Імовірність- це прогнозована величина, а частота-констатація факту. Приклад: Ймовірність того, що новий планшет на протязі року надійде в гарантійний ремонт, дорівнює 0,045. У деякому місті із 1000 проданих планшетів протягом року до гарантійної майстерні надійшла 51 штука. Наскільки відрізняється частота події «гарантійний ремонт» від його ймовірності у цьому місті? Рішення: Знайдемо частоту події: 51/1000 = 0,051. А ймовірність дорівнює 0,045 (за умовою). Значить у цьому місті подія «гарантійний ремонт» відбувається частіше, ніж передбачалося. Знайдемо різницю ∆=0,051-0,045=0,006. При цьому треба врахувати, що нам не важливий знак різниці, а лише її абсолютне значення. Відповідь: 0,006.
9 слайд
Опис слайду:
Завдання з перебором варіантів («монети», «матчі») Нехай k – кількість кидків монети, тоді кількість усіляких результатів: n = 2k. Приклад: У випадковому експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно один раз. Вирішення: Варіанти випадання монети: ГО; ОР; РР; РВ. Т.ч., n=4. Сприятливі результати: ОР та РВ. Тобто, m=2. Р=2/4=1/2=0,5. Відповідь: 0,5.
10 слайд
Опис слайду:
Приклад: Перед початком футбольного матчусуддя кидає монету, щоб визначити, яка з команд перша володітиме м'ячем. Команда "Меркурій" по черзі грає із командами "Марс", "Юпітер", "Уран". Знайдіть ймовірність того, що у всіх матчах право володіти м'ячем виграє команда "Меркурій"? Завдання з перебором варіантів («монети», «матчі») Рішення: Позначимо право володіння першим м'ячем команди "Меркурій" у матчі з однією з інших трьох команд як "Рішка". Тоді право володіння другим м'ячем цієї команди – "Орел". Отже, напишемо всі можливі наслідки кидання монети тричі. "О" - орел, "Р" - решка. ; тобто, n = 8; m=1. Р = 1/8 = 0,125. Відповідь: 0,125 n = 23 «Марс» «Юпітер» «Уран» ТзОВ ТзОВ
11 слайд
Опис слайду:
Завдання на «кубики» (гральні кістки) Нехай k – кількість кидків кубика, тоді кількість усіляких результатів: n = 6k. Приклад: Даша двічі кидає гральний кубик. Знайти ймовірність того, що сумі у неї випало 8 очок. Результат округліть до сотих. Відповідь: 0,14. Рішення: У сумі на двох кубиках має випасти 8 очок. Це можливо, якщо будуть наступні комбінації: 2 і 6 6 і 2 3 і 5 5 і 3 4 і 4 m = 5 (5 відповідних комбінацій) n = 36 Р = 5/36 = 0,13 (8)
12 слайд
Опис слайду:
Незалежні події та закон множення Ймовірність знаходження і 1-ї, і 2-ої, і n-ї події знаходяться за формулою: Р= Р1*Р2*…*Рn Приклад: Біатлоніст п'ять разів стріляє по мішеням. Імовірність влучення в ціль за одного пострілу дорівнює 0,8. Знайдіть ймовірність того, що біатлоніст перші три рази потрапив у мішені, а останні два рази схибив. Результат округліть до сотих. Відповідь: 0,02. Рішення: Результат кожного наступного пострілу не залежить від попередніх. Тому події «потрапив за першого пострілу», «потрапив за другого пострілу» тощо. незалежні. Імовірність кожного влучення дорівнює 0,8. Отже, можливість промаху дорівнює 1 – 0,8 = 0,2. 1 постріл: 0,8 2 постріл: 0,8 3 постріл: 0,8 4 постріл: 0,2 5 постріл: 0,2 За формулою множення ймовірностей незалежних подій, отримуємо: Р= 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0 ,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.
13 слайд
Опис слайду:
Поєднання законів «і» та законів «або» Приклад: Офіс закуповує канцелярію для співробітників трьох різних фірм. Причому продукція першої фірми становить 40% всіх поставок, інших 2-х- порівну. З'ясувалося, що 2% ручок другої фірми - браковані. Відсоток шлюбу в 1-ій та 3-ій фірмі відповідно 1% та 3%. Співробітник А взяв ручку з нового постачання. Знайдіть ймовірність того, що вона справна. Рішення: Продукція 2 і 3 фірм складає (100% -40%): 2 = 30% від поставок. Р(шлюбу) = 0,4 · 0,01 + 0,3 · 0,02 + 0,3 · 0,03 = 0,019. Р(справних ручок) = 1-0,019 = 0,981. Відповідь: 0,981.
Легкі завдання
На столі лежить 25 пиріжків: 7 – з повидлом, 9 – з картоплею, решта з капустою. Яка ймовірність, що випадково вибраний пиріжок опиниться з капустою?
0,36
У таксі працює 40 автомобілів: 14 - марки "Лада", 8 - марки "Рено", 2 - марки "Мерседес", а решта - марки "Шкода". Якою є ймовірність того, що на Ваш виклик приїде “Мерседес”?
0,05
Визначте ймовірність того, що при киданні грального кубика випаде число не менше трьох.
Іра, Діма, Вася, Наташа та Андрій здають норматив із бігу на 60 метрів. Знайдіть ймовірність того, що найшвидше пробіжить дівчинка?
Імовірність того, що телефон, куплений у підземному переході виявиться підробкою, становить 0,83. Яка ймовірність того, що придбаний у переході телефон виявиться не підробкою?
0,17
У баскетбольному турнірі бере участь 20 команд, включаючи команду "Мужики". Усі команди розбивають на 4 групи: A, B, C, D. Якою є ймовірність того, що команда “Мужики” опиниться у групі A?
0,25
У лотерейному мішку містяться барильця з номерами від 5 до 94 включно. Яка ймовірність того, що витягнуте з мішка барило містить двозначне число? Відповідь округліть до сотих.
0,94
Перед іспитом Ігор дотягнув до останнього і встиг вивчити лише 5 квитків із 80. Визначте ймовірність того, що йому потрапить вивчений квиток.
0,0625
Аня включає радіо і випадково вибирає радіохвилю. Усього її радіоприймач ловить 20 радіохвиль і всього на 7 з них Наразіграє музика. Знайти ймовірність того, що Аня потрапить на музичну хвилю.
0,35
У кожній двадцятій пляшці газування під кришкою захований код із виграшем. Визначте ймовірність того, що у купленій пляшці під кришкою виявиться виграшний код.
0,05
Завдання складніше
Якою є ймовірність, що випадково обране тризначне число ділиться на 5?
0,2
Записано зростання (в см) п'яти учнів: 166, 158, 132, 136, 170. На скільки відрізняється середнє арифметичне цього набору чисел від його медіани?
За статистичними даними однієї невеликої країни відомо, що ймовірність того, що немовля виявиться хлопчиком, дорівнює 0,507. У 2017 р. в цій країні на 1000 немовлят, що народилися, в середньому припало 486 дівчаток. Наскільки частота народження дівчаток у 2017 р. у цій країні відрізняється від ймовірності цієї події?
0,007
Гральну кістку кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що сума двох чисел дорівнює 3 або 7. Відповідь округліть до сотих.
0,22
Якою є ймовірність, що випадково обране тризначне число ділиться на 2?
0,5
Знайдіть ймовірність того, що при двох кидках монетки решка випаде рівно 1 раз.
0,5
Гральну кістку кидають двічі, знайдіть ймовірність того, що обидва рази випаде число не менше трьох. Відповідь округліть до сотих.
0,31
За статистичними даними однієї невеликої країни відомо, що ймовірність того, що немовля виявиться хлопчиком, дорівнює 0,594. У 2017 р. в цій країні на 1000 немовлят, що народилися, в середньому припало 513 дівчаток. Наскільки частота народження дівчаток у 2017 р. у цій країні відрізняється від ймовірності цієї події?
0,107
Записано зростання (в см) п'яти учнів: 184, 145, 176, 192, 174. На скільки відрізняється середнє арифметичне цього набору чисел від його медіани?
1,8
Середнє зростання жителів села “Великани” становить 194 см. Зростання Миколи Петровича становить 195 см. Яке з наступних тверджень вірне?
1) Обов'язково зростання одного з мешканців села дорівнює 194 см.
2) Микола Петрович найвищий мешканець села.
3) Обов'язково знайдеться хоч один чоловік із цього села нижче за Миколу Петровича.
4) Обов'язково знайдеться хоч один житель із цього села нижче за Миколу Петровича.
4
Складні завдання
Стрілець 4 рази стріляє з рушниці по мішенях. Імовірність його точного попадання на ціль при одному пострілі дорівнює 0,5. Знайдіть ймовірність того, що стрілок перші два рази потрапив у ціль, а останні два рази промахнувся.
0,0625
Імовірність того, що батарейка бракована, дорівнює 0,05. Покупець у магазині вибирає випадкове впакування з двома батарейками. Знайдіть ймовірність того, що обидві батарейки виявляться справними.
0,9025
Стрілок стріляє по мішенях 5 разів поспіль. Імовірність влучення в ціль при пострілі дорівнює 0,7. Знайдіть ймовірність того, що стрілець перші чотири рази потрапив у мішені, а востаннє схибив. Результат округліть до сотих.
Події, які відбуваються реально або у нашій уяві, можна поділити на 3 групи. Це достовірні події, які обов'язково відбудуться, неможливі події та випадкові події. Теорія ймовірностей вивчає випадкові події, тобто. події, які можуть статися чи не відбутися. У даній статті буде представлена в короткому виглядітеорія ймовірності формули та приклади розв'язання задач з теорії ймовірності, які будуть у 4 завданні ЄДІ з математики (профільний рівень).
Навіщо потрібна теорія ймовірності
Історично потреба дослідження цих проблем виникла у XVII столітті у зв'язку з розвитком та професіоналізацією азартних ігорта появою казино. Це було реальне явище, яке вимагало свого вивчення та дослідження.
Гра в карти, кістки, рулетку створювала ситуації, коли могло статися будь-яке з кінцевого числа рівноможливих подій. Виникла необхідність дати числові оцінки можливості настання тієї чи іншої події.
У XX столітті з'ясувалося, що ця, здавалося б, легковажна наука відіграє важливу роль у пізнанні фундаментальних процесів, що протікають у мікросвіті. Була створена сучасна теоріяймовірностей.
Основні поняття теорії ймовірності
Об'єктом вивчення теорії ймовірностей є події та їх ймовірності. Якщо подія є складною, її можна розбити на прості складові, ймовірності яких знайти нескладно.
Сумою подій А і В називається подія С, що полягає в тому, що відбулося або подія А, або подія, або події А і одночасно.
Добутком подій А і В називається подія С, що полягає в тому, що сталося і подія А і подія.
Події А та В називається несумісними, якщо вони не можуть статися одночасно.
Подія А називається неможливою, якщо вона не може статися. Така подія позначається символом.
Подія А називається достовірною, якщо вона обов'язково станеться. Така подія позначається символом.
Нехай кожній події А поставлено у відповідність число P(А). Це число P(А) називається ймовірністю події А, якщо за такої відповідності виконані такі умови.
Важливим окремим випадком є ситуація, коли є рівноймовірні елементарні результати, і довільні з цих результатів утворюють події А. У цьому випадку ймовірність можна ввести за формулою . Імовірність, введена таким чином, називається класичною ймовірністю. Можна довести, що у цьому випадку властивості 1-4 виконані.
Завдання з теорії ймовірностей, що зустрічаються на ЄДІ з математики, здебільшого пов'язані з класичною ймовірністю. Такі завдання можуть бути дуже простими. Особливо простими є завдання з теорії ймовірностей у демонстраційних варіантах. Легко обчислити число сприятливих результатів, за умови написано число всіх результатів.
Відповідь отримуємо за формулою.
Приклад завдання з ЄДІ з математики з визначення ймовірності
На столі лежать 20 пиріжків - 5 з капустою, 7 з яблуками та 8 з рисом. Марина хоче взяти пиріжок. Яка ймовірність, що вона візьме пиріжок із рисом?
Рішення.
Усього рівноймовірних елементарних результатів 20, тобто Марина може взяти будь-який з 20 пиріжків. Але нам потрібно оцінити ймовірність того, що Марина візьме пиріжок з рисом, тобто де А — це вибір пиріжка з рисом. Значить у нас кількість сприятливих результатів (виборів пиріжків з рисом) лише 8. Тоді ймовірність визначатиметься за формулою:
Незалежні, протилежні та довільні події
Однак у відкритому банку завдань стали зустрічатися і більше складні завдання. Тому звернемо увагу читача та інші питання, досліджувані теоретично ймовірностей.
Події А та В називається незалежними, якщо ймовірність кожного з них не залежить від того, чи відбулася інша подія.
Подія B у тому, що А не відбулося, тобто. подія B є протилежною до події А. Ймовірність протилежної події дорівнює одиниці мінус ймовірність прямої події, тобто. .
Теореми складання та множення ймовірностей, формули
Для довільних подій А і ймовірність суми цих подій дорівнює сумі їх ймовірностей без ймовірності їхньої спільної події, тобто. .
Для незалежних подій А і на ймовірність твори цих подій дорівнює твору їх ймовірностей, тобто. в цьому випадку .
Останні 2 твердження називаються теоремами складання та множення ймовірностей.
Не завжди підрахунок числа результатів є настільки простим. У ряді випадків необхідно використовувати формули комбінаторики. При цьому найважливішим є підрахунок числа подій, які відповідають певним умовам. Іноді такі підрахунки можуть ставати самостійними завданнями.
Скільки способами можна посадити 6 учнів на 6 вільних місць? Перший учень займе будь-яке із 6 місць. Кожному з цих варіантів відповідає 5 способів зайняти місце другого учня. Для третього учня залишається 4 вільні місця, для четвертого - 3, для п'ятого - 2, шостий займе єдине місце, що залишилося. Щоб знайти число всіх варіантів, треба знайти твір, який позначається 6 символом! і читається "шість факторіал".
У загальному випадку відповідь на це питання дає формула для числа перестановок з п елементів У нашому випадку.
Розглянемо тепер інший випадок із нашими учнями. Скільки способами можна посадити 2 учнів на 6 вільних місць? Перший учень займе будь-яке із 6 місць. Кожному з цих варіантів відповідає 5 способів зайняти місце другого учня. Щоб знайти число всіх варіантів, треба знайти твір.
У загальному випадку відповідь на це питання дає формула для числа розміщень з n елементів по k елементам
У нашому випадку .
І останній випадок із цієї серії. Скільки способами можна вибрати трьох учнів із 6? Першого учня можна вибрати 6 способами, другого – 5 способами, третього – чотирма. Але серед цих варіантів 6 разів зустрічається та сама трійка учнів. Щоб визначити число всіх варіантів, треба обчислити величину: . У випадку відповідь це запитання дає формула кількості поєднань з елементів за елементами:
У нашому випадку .
Приклади вирішення задач з ЄДІ з математики на визначення ймовірності
Завдання 1. Зі збірки за ред. Ященко.
На тарілці 30 пиріжків: 3 з м'ясом, 18 з капустою та 9 з вишнею. Сашко навмання вибирає один пиріжок. Знайдіть ймовірність того, що він опиниться з вишнею.
.
Відповідь: 0,3.
Завдання 2. Зі збірки за ред. Ященко.
У кожній партії з 1000 ламп у середньому 20 бракованих. Знайдіть ймовірність того, що навмання взята лампочка з партії буде справною.
Рішення: Кількість справних лампочок 1000-20 = 980. Тоді ймовірність того, що взята навмання лампочка з партії буде справною.
Відповідь: 0,98.
Імовірність те, що на тестуванні з математики учень У. правильно вирішить більше 9 завдань, дорівнює 0,67. Імовірність того, що У. вірно вирішить більше 8 завдань, дорівнює 0,73. Знайдіть ймовірність того, що У. правильно вирішить рівно 9 задач.
Якщо ми уявімо числову пряму і на ній відзначимо точки 8 і 9, то побачимо, що умова «У. правильно вирішить рівно 9 завдань» входить в умову «У. правильно вирішить більше 8 завдань», але не належить до умови «У. правильно вирішить понад 9 завдань».
Проте умова «У. правильно вирішить більше 9 завдань» міститься в умові «У. правильно вирішить понад 8 завдань». Отже, якщо ми позначимо події: «У. правильно вирішить рівно 9 завдань» - через А, «У. правильно вирішить більше 8 завдань» - через B, «У. вірно вирішить більше 9 завдань» через С. То рішення буде виглядати так:
Відповідь: 0,06.
На іспиті з геометрії школяр відповідає одне питання зі списку екзаменаційних питань. Імовірність того, що це питання на тему «Тригонометрія», дорівнює 0,2. Імовірність того, що це питання на тему «Зовнішні кути», дорівнює 0,15. Запитань, що одночасно ставляться до цих двох тем, немає. Знайдіть ймовірність того, що на іспиті школяру дістанеться питання з однієї з цих двох тем.
Давайте подумаємо, які у нас дані події. Нам дано дві несумісні події. Тобто або питання буде стосуватися теми «Тригонометрія», або теми «Зовнішні кути». По теоремі ймовірності ймовірність несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей кожної події, ми повинні знайти суму ймовірностей цих подій, тобто:
Відповідь: 0,35.
Приміщення висвітлюється ліхтарем із трьома лампами. Імовірність перегорання однієї лампи протягом року дорівнює 0,29. Знайдіть ймовірність того, що протягом року хоча б одна лампа не перегорить.
Розглянемо можливі події. У нас є три лампочки, кожна з яких може перегоріти або не перегоріти незалежно від будь-якої іншої лампочки. Це незалежні події.
Тоді зазначимо варіанти таких подій. Приймемо позначення: лампочка горить, лампочка перегоріла. І одразу поруч підрахуємо ймовірність події. Наприклад, ймовірність події, в якій відбулися три незалежні події «лампочка перегоріла», «лампочка горить», «лампочка горить»: де ймовірність події «лампочка горить» підраховується як ймовірність події, протилежної події «лампочка не горить», а саме: .
Зауважимо, що сприятливих нам несумісних подій всього 7. Ймовірність таких подій дорівнює сумі ймовірностей кожної з подій: .
Відповідь: 0,975608.
Ще одне завдання можна подивитися на малюнку:
Таким чином, ми з вами зрозуміли, що таке теорія ймовірності формули та приклади вирішення завдань, за якою вам можуть зустрітися у варіанті ЄДІ.
У даній презентації представлені завдання, що найчастіше зустрічаються на іспиті, з теорії ймовірності. Завдання базового рівня. Презентація допоможе і вчителям на уроках узагальнюючого повторення, і учням при самостійної підготовкидо екзамену.
Завантажити:
Попередній перегляд:
Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій, створіть собі акаунт ( обліковий запис) Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com
Підписи до слайдів:
ТЕОРІЯ МОЖЛИВОСТЕЙ КЛЮЧОВІ ЗАДАЧІ Готуємось до ОДЕ
КИДАННЯ МОНЕТИ
1. Монета кинута двічі. Яка ймовірність випадання одного «орла» та однієї «решки»? Рішення: При киданні однієї монети можливі два результати - "орел" або "решка". При киданні двох монет - 4 результати (2 * 2 = 4): "Орел" - "Рішка" "Рішка" - "Рішка" "Рішка" - "Орел" "Орел" - "Орел" Один "Орел" і одна " решка» випадуть у двох випадках із чотирьох. Р(А) = 2: 4 = 0,5. Відповідь: 0,5.
2. Монета кинута тричі. Яка ймовірність випадання двох «орлів» та однієї «решки»? Рішення: При киданні трьох монетможливі 8 результатів (2*2*2=8): «орел» - «решка» - «решка» «решка» - «решка» - «решка» «решка» - «орел» - «решка» «орел» - «орел» - «решка» «решка» - «решка» -«орел» «решка» - «орел» - «орел» «орел» - «решка» - «орел» «орел» - «орел» - «орел» » Два «орли» і одна «решка» випадуть у трьох випадкахіз восьми. Р(А) = 3: 8 = 0,375. Відповідь: 0,375.
3. У довільному експерименті симетричну монету кидають чотири рази. Знайдіть ймовірність того, що орел не випаде жодного разу. Рішення: При киданні чотирьох монет можливі 16 результатів: (2 * 2 * 2 * 2 = 16): Сприятливих результатів - 1 (випадуть чотири решки). Р(А)=1:16=0,0625. Відповідь: 0,0625.
ГРА В КОСТІ
4. Визначте ймовірність того, що при киданні кубика випало більше трьох очок. Рішення: Усього можливих результатів - 6. Числа великі 3 - 4, 5, 6 . Р(А) = 3: 6 = 0,5. Відповідь: 0,5.
5. Кинута гральна кістка. Знайдіть ймовірність того, що випаде парне число очок. Рішення: Усього можливих результатів – 6. 1, 3, 5 - непарні числа; 2, 4, 6 -парні числа. Імовірність випадання парного числа очок дорівнює 3: 6 = 0,5. Відповідь: 0,5.
6. У випадковому експерименті кидають дві гральні кістки. Знайдіть ймовірність того, що у сумі випаде 8 очок. Результат округліть до сотих. Рішення: У даної дії - кидання двох гральних кісток всього 36 можливих результатів, тому що 6 ² = 36. Сприятливі результати: 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 Ймовірність випадання восьми очок дорівнює 5:36 ≈ 0,14. Відповідь: 0,14.
7. Двічі кидають гральний кубик. У сумі випало 6 очок. Знайдіть ймовірність того, що за одного з кидків випало 5 очок. Рішення: Всього результатів випадання 6 очок – 5: 2 та 4; 4 та 2; 3 та 3; 1 та 5; 5 і 1. Сприятливі результати - 2. Р(А)=2:5=0,4. Відповідь: 0,4.
8. На іспиті 50 квитків, Тимофій не вивчив 5 із них. Знайдіть ймовірність того, що йому потрапить вивчений квиток. Рішення: Тимофій вивчив 45 квитків. Р(А) = 45:50 = 0,9. Відповідь: 0,9.
ЗМАГАННЯ
9. У чемпіонаті з гімнастики беруть участь 20 спортсменів: 8 із Росії, 7 із США, решта з Китаю. Порядок виступу визначається жеребом. Знайдіть ймовірність того, що спортсменка, яка виступає першою, виявиться з Китаю. Рішення: Усього результатів 20. Сприятливих результатів 20-(8+7)=5. Р(А) = 5:20 = 0,25. Відповідь: 0,25.
10. На змагання з метання ядра приїхали 4 спортсмени з Франції, 5 з Англії та 3 з Італії. Порядок виступів визначається жеребкуванням. Знайдіть ймовірність того, що спортсмен, який виступатиме п'ятим, буде з Італії. Рішення: Число всіх можливих результатів - 12 (4 + 5 + 3 = 12). Кількість сприятливих результатів – 3. Р(А)=3:12=0,25. Відповідь: 0,25.
11. Перед початком першого туру чемпіонату з бадмінтону учасників розбивають на ігрові пари випадково за допомогою жеребу. Загалом у чемпіонаті бере участь 26 бадмінтоністів, серед яких 12 учасників із Росії, зокрема Володимир Орлов. Знайдіть ймовірність того, що в першому турі Володимир Орлов гратиме з будь-яким бадмінтоністом із Росії? Рішення: Всього результатів – 25 (Володимир Орлов із 25 бадмінтоністами). Сприятливі результати – (12-1)=11. Р(А) = 11:25 = 0,44. Відповідь: 0,44.
12. Конкурс виконавців проводиться 5 днів. Усього заявлено 75 виступів – по одному від кожної країни. У перший день 27 виступів, інші розподілені порівну між днями, що залишилися. Порядок виступів визначається жеребкуванням. Якою є ймовірність, що виступ представника Росії відбудеться у третій день конкурсу? Рішення: Усього результатів - 75. Виконавці з Росії виступають на третій день. Сприятливі результати – (75-27):4=12. Р(А) = 12: 75 = 0,16. Відповідь: 0,16.
13. Коля вибирає двоцифрове число. Знайдіть ймовірність того, що воно ділиться на 5. Рішення: Двозначні числа: 10; 11; 12; ...; 99. Усього результатів – 90. Числа, що діляться на 5: 10; 15; 20; 25; …; 90; 95. Сприятливі результати – 18. Р(А)=18:90=0,2. Відповідь: 0,2.
РІЗНІ ЗАДАЧІ НА ВИЗНАЧЕННЯ МОЖЛИВОСТІ
14. Фабрика виготовляє сумки. У середньому на 170 якісних сумок припадає шість сумок із прихованими дефектами. Знайдіть ймовірність того, що куплена сумка виявиться якісною. Результат округліть до сотих. Рішення: Усього результатів – 176. Сприятливих результатів – 170. Р(А)=170:176 ≈ 0,97. Відповідь: 0,97.
15. У середньому з кожних 100 акумуляторів, що надійшли у продаж, 94 акумулятори заряджені. Знайдіть ймовірність того, що куплений акумулятор не заряджений. Рішення: Усього результатів – 100. Сприятливих результатів – 100-94=6. Р(А) = 6:100 = 0,06. Відповідь: 0,06.
ДЖЕРЕЛА http://mathgia.ru http:// www.schoolmathematics.ru
Loading...