Головна > Машинобудування

Різниця логарифмів з однаковою основою. Властивості логарифмів та приклади їх вирішення

Як відомо, при перемноженні виразів зі ступенями їх показники завжди складаються (a b * a c = a b + c). Цей математичний закон був виведений Архімедом, а згодом, у VIII столітті, математик Вірасен створив таблицю цілих показників. Саме вони стали для подальшого відкриття логарифмів. Приклади використання цієї функції можна зустріти практично скрізь, де потрібно спростити громіздке множення на просте додавання. Якщо ви витратите 10 хвилин на прочитання цієї статті, ми вам пояснимо, що таке логарифми і як з ними працювати. Простим та доступним мовою.

Визначення у математиці

Логарифмом називається вираз наступного виду: log ab=c, тобто логарифмом будь-якого неотрицательного числа (тобто будь-якого позитивного) "b" на його підставі "a" вважається ступінь "c", в яку необхідно звести підставу "a", щоб у результаті отримати значення "b". Розберемо логарифм на прикладах, скажімо, є вираз log 2 8. Як знайти відповідь? Дуже просто, потрібно знайти такий ступінь, щоб з 2 до ступеня отримати 8. Зробивши в умі деякі розрахунки, отримуємо число 3! І вірно, адже 2 в ступені 3 відповідає у відповідь число 8.

Різновиди логарифмів

Для багатьох учнів і студентів ця тема здається складною і незрозумілою, проте насправді логарифми не такі страшні, головне - зрозуміти загальний їхній сенс і запам'ятати їх свійста і деякі правила. Існує три окремі види логарифмічних виразів:

  1. Натуральний логарифм ln a де основою є число Ейлера (e = 2,7).
  2. Десятковий a де підставою служить число 10.
  3. Логарифм будь-якого числа b на підставі a>1.

Кожен з них вирішується стандартним способом, що включає спрощення, скорочення і подальше приведення до одного логарифму за допомогою логарифмічних теорем. Для отримання вірних значень логарифмів слід запам'ятати їх властивості та черговість дій у разі їх вирішення.

Правила та деякі обмеження

У математиці існує кілька правил-обмежень, які приймаються як аксіома, тобто не підлягають обговоренню та є істиною. Наприклад, не можна числа ділити на нуль, а ще неможливо витягти корінь парного ступеня з негативних чисел. Логарифми також мають свої правила, дотримуючись яких можна легко навчитися працювати навіть з довгими і ємними логарифмічними виразами:

  • основа "a" завжди має бути більшою за нуль, і при цьому не бути рівним 1, інакше вираз втратить свій сенс, адже "1" і "0" у будь-якій мірі завжди рівні своїм значенням;
  • якщо а > 0, то і а >0, виходить, що і "з" має бути більше нуля.

Як вирішувати логарифми?

Наприклад, дано завдання знайти відповідь рівняння 10 х = 100. Це дуже легко, потрібно підібрати таку міру, звівши в яку число десять, ми отримаємо 100. Це, звичайно, 10 2 =100.

А тепер давайте уявимо цей вираз у вигляді логарифмічного. Отримаємо log 10 100 = 2. При вирішенні логарифмів всі дії практично сходяться до того, щоб знайти той ступінь, в який необхідно ввести основу логарифму, щоб отримати задане число.

Для безпомилкового визначення значення невідомого ступеня необхідно навчитися працювати з таблицею ступенів. Виглядає вона так:

Як бачите, деякі показники ступеня можна вгадати інтуїтивно, якщо є технічний склад розуму та знання таблиці множення. Однак для великих значень знадобиться таблиця ступенів. Нею можуть користуватися навіть ті, хто зовсім нічого не тямить у складних математичних темах. У лівому стовпці вказані числа (основа a), верхній ряд чисел - це значення ступеня c, у якому зводиться число a. На перетині в осередках визначено значення чисел, що є відповіддю (a c = b). Візьмемо, наприклад, найпершу комірку з числом 10 і зведемо її в квадрат, отримаємо значення 100, яке зазначено на перетині двох наших осередків. Все так просто і легко, що зрозуміє навіть справжнісінький гуманітарій!

Рівняння та нерівності

Виходить, що за певних умов показник ступеня – це і є логарифм. Отже, будь-які математичні чисельні вирази можна записати як логарифмічного рівності. Наприклад, 3 4 =81 можна записати у вигляді логарифму числа 81 на підставі 3, що дорівнює чотирьом (log 3 81 = 4). Для негативних ступенів правила такі самі: 2 -5 = 1/32 запишемо у вигляді логарифму, отримаємо log 2 (1/32) = -5. Однією з найцікавіших розділів математики є тема "Логарифми". Приклади та розв'язання рівнянь ми розглянемо трохи нижче, відразу після вивчення їх властивостей. А зараз давайте розберемо, як виглядають нерівності та як їх відрізнити від рівнянь.

Дано вираз наступного виду: log 2 (x-1) > 3 - воно є логарифмічною нерівністю, тому що невідоме значення "х" знаходиться під знаком логарифму. А також у виразі порівнюються дві величини: логарифм шуканого числа на підставі два більше, ніж число три.

Найголовніша відмінність між логарифмічними рівняннями та нерівностями полягає в тому, що рівняння з логарифмами (приклад - логарифм 2 x = √9) мають на увазі у відповіді одне або кілька певних числових значень, тоді як при розв'язанні нерівності визначаються як область допустимих значень, розрив цієї функції. Як наслідок, у відповіді виходить не проста безліч окремих чисел як у відповіді рівняння, а безперервний ряд або набір чисел.

Основні теореми про логарифми

При вирішенні примітивних завдань знаходження значень логарифма, його властивості можна і не знати. Однак коли мова заходить про логарифмічні рівняння або нерівності, в першу чергу необхідно чітко розуміти і застосовувати на практиці всі основні властивості логарифмів. З прикладами рівнянь ми познайомимося пізніше, давайте спочатку розберемо кожну властивість докладніше.

  1. Основне тотожність має такий вигляд: а logaB =B. Воно застосовується лише за умови, коли а більше 0, не дорівнює одиниці і B більше за нуль.
  2. Логарифм твору можна представити у такій формулі: log d(s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. При цьому обов'язковою умовою є: d, s 1 та s 2 > 0; а≠1. Можна навести доказ цієї формули логарифмів, з прикладами і рішенням. Нехай log as 1 = f 1 і log as 2 = f 2 тоді a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Отримуємо, що s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (властивості ступенів ), а далі за визначенням: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log as 2, що і потрібно довести.
  3. Логарифм приватного виглядає так: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
  4. Теорема у вигляді формули набуває наступного вигляду: log a q b n = n/q log a b.

Називається ця формула "властивістю ступеня логарифму". Вона нагадує властивості звичайних ступенів, і не дивно, адже вся математика тримається на закономірних постулатах. Давайте подивимося на доказ.

Нехай log a b = t, виходить a t = b. Якщо звести обидві частини до ступеня m: a tn = b n ;

але оскільки a tn = (a q) nt/q = b n, отже log a q b n = (n * t) / t, тоді log a q b n = n / q log a b. Теорему доведено.

Приклади завдань та нерівностей

Найпоширеніші типи завдань на тему логарифмів – приклади рівнянь та нерівностей. Вони зустрічаються практично у всіх задачниках, а також входять до обов'язкової частини іспитів з математики. Для вступу до університету чи здачі вступних випробувань з математики необхідно знати, як правильно вирішувати подібні завдання.

На жаль, єдиного плану або схеми щодо вирішення та визначення невідомого значення логарифму не існує, однак до кожної математичної нерівності або логарифмічного рівняння можна застосувати певні правила. Насамперед слід з'ясувати, чи можна спростити вираз чи привести до загального вигляду. Спрощувати довгі логарифмічні вирази можна, якщо правильно використати їх властивості. Давайте швидше із ними познайомимося.

При вирішенні ж логарифмічних рівнянь слід визначити, який перед нами вид логарифму: приклад виразу може містити натуральний логарифм або десятковий.

Ось приклади ln100, ln1026. Їхнє рішення зводиться до того, що потрібно визначити той ступінь, в якому підстава 10 буде дорівнює 100 і 1026 відповідно. Для рішень натуральних логарифмів потрібно застосувати логарифмічні тотожності або їх властивості. Давайте на прикладах розглянемо розв'язання логарифмічних завдань різного типу.

Як використовувати формули логарифмів: з прикладами та рішеннями

Отже, розглянемо приклади використання основних теорем про логарифми.

  1. Властивість логарифму твору можна застосовувати в завданнях, де необхідно розкласти велике значення числа на більш прості співмножники. Наприклад, log 2 4 + log 2128 = log 2 (4 * 128) = log 2512. Відповідь дорівнює 9.
  2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - як бачите, застосовуючи четверту властивість ступеня логарифму, вдалося вирішити на перший погляд складний і невирішуваний вираз. Необхідно лише розкласти основу на множники і потім винести значення ступеня зі знака логарифму.

Завдання з ЄДІ

Логарифми часто зустрічаються на вступних іспитах, особливо багато логарифмічних завдань у ЄДІ (державний іспит для всіх випускників шкіл). Зазвичай ці завдання присутні у частині А (найлегша тестова частина іспиту), а й у частини З (найскладніші і об'ємні завдання). Іспит передбачає точне та ідеальне знання теми "Натуральні логарифми".

Приклади та розв'язання задач взяті з офіційних варіантів ЄДІ. Давайте подивимося, як вирішуються такі завдання.

Дано log 2 (2x-1) = 4. Рішення:
перепишемо вираз, трохи спростивши його log 2 (2x-1) = 2 2 , за визначенням логарифму отримаємо, що 2x-1 = 2 4 , отже 2x = 17; х = 8,5.

  • Всі логарифми найкраще приводити до однієї основи, щоб рішення не було громіздким та заплутаним.
  • Всі вирази, що стоять під знаком логарифму, вказуються як позитивні, тому при винесенні множником показника ступеня виразу, який стоїть під знаком логарифму і як його підстава, вираз, що залишається під логарифмом, має бути позитивним.

Сьогодні ми поговоримо про формулах логарифміві дамо показові приклади рішення.

Самі собою мають на увазі шаблони рішення відповідно до основних властивостей логарифмів. Перш за все застосовувати формули логарифмів для вирішення нагадаємо для вас, спочатку всі властивості:

Тепер на основі цих формул (властивостей), покажемо приклади вирішення логарифмів.

Приклади розв'язання логарифмів виходячи з формул.

Логарифмпозитивного числа b на підставі a (позначається log a b) - це показник ступеня, в який треба звести a щоб отримати b, при цьому b > 0, a > 0, а 1.

Відповідно до визначення log a b = x, що рівносильно a x = b, тому log a a x = x.

Логарифми, приклади:

log 28 = 3, т.к. 2 3 = 8

log 749 = 2, т.к. 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1 т.к. 5 -1 = 1/5

Десятковий логарифм- це звичайний логарифм, на основі якого знаходиться 10. Позначається як lg.

log 10100 = 2, т.к. 10 2 = 100

Натуральний логарифм- також простий логарифм логарифм, але з підставою е (е = 2,71828... - ірраціональне число). Позначається як ln.

Формули або властивості логарифмів бажано запам'ятати, тому що вони знадобляться нам у подальшому під час вирішення логарифмів, логарифмічних рівнянь та нерівностей. Ще раз відпрацюємо кожну формулу на прикладах.

  • Основне логарифмічне тотожність
    a log a b = b

    8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

  • Логарифм твору дорівнює сумі логарифмів
    log a (bc) = log a b + log a c

    log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1 * 10) = log 3 81 = 4

  • Логарифм приватного дорівнює різниці логарифмів
    log a (b/c) = log a b - log a c

    9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

  • Властивості ступеня логарифмованого числа та підстави логарифму

    Показник ступеня логарифмованого числа log a b m = mlog a b

    Показник ступеня основи логарифму log a n b =1/n*log a b

    log a n b m = m/n*log a b,

    якщо m = n, отримаємо log a n b n = log a b

    log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

  • Перехід до нової основи
    log a b = log c b/log c a,

    якщо c = b, отримаємо log b b = 1

    тоді log a b = 1/log b a

    log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Як бачите, формули логарифмів не такі складні як здаються. Тепер розглянувши приклади розв'язання логарифмів, ми можемо переходити до логарифмічних рівнянь. Приклади розв'язання логарифмічних рівнянь ми докладніше розглянемо у статті: НЕ пропустіть!

Якщо у вас залишилися питання щодо вирішення, пишіть їх у коментарях до статті.

Замітка: вирішили здобути освіту іншого класу навчання за кордоном як варіант розвитку подій.

Логарифмом числа N на підставі а називається показник ступеня х , в яку потрібно звести а , щоб отримати число N

За умови, що
,
,

З визначення логарифму випливає, що
, тобто.
- ця рівність є основною логарифмічною тотожністю.

Логарифми на підставі 10 називаються десятковими логарифмами. Замість
пишуть
.

Логарифми на підставі e називаються натуральними та позначаються
.

Основні властивості логарифмів.

    Логарифм одиниці за будь-якої підстави дорівнює нулю

    Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів співмножників.

3) Логарифм приватного дорівнює різниці логарифмів


Множник
називається модулем переходу від логарифмів на підставі a до логарифмів на підставі b .

За допомогою властивостей 2-5 часто вдається звести логарифм складного виразу результату простих арифметичних дій над логарифмами.

Наприклад,

Такі перетворення логарифму називаються логарифмування. Перетворення обернені логарифмування називаються потенціюванням.

Глава 2. Елементи найвищої математики.

1. Межі

Границею функції
є кінцеве число А, якщо при прагненні xx 0 для кожного наперед заданого
, знайдеться таке число
, що як тільки
, то
.

Функція, що має межу, відрізняється від нього на нескінченно малу величину:
, де -б.м.в., тобто.
.

приклад. Розглянемо функцію
.

При прагненні
, функція y прагне до нуля:

1.1. Основні теореми про межі.

    Межа постійної величини дорівнює цій постійній величині

.

    Межа суми (різниці) кінцевого числа функцій дорівнює сумі (різниці) меж цих функцій.

    Межа добутку кінцевого числа функцій дорівнює добутку меж цих функцій.

    Межа приватного двох функцій дорівнює приватному меж цих функцій, якщо межа знаменника не дорівнює нулю.

Чудові межі

,
, де

1.2. Приклади обчислення меж

Однак, не всі межі обчислюються так просто. Найчастіше обчислення межі зводиться до розкриття невизначеності типу: або .

.

2. Похідна функції

Нехай ми маємо функцію
, безперервну на відрізку
.

Аргумент отримав деяке приріст
. Тоді і функція отримає приріст
.

Значення аргументу відповідає значення функції
.

Значення аргументу
відповідає значення функції.

Отже, .

Знайдемо межу цього відношення при
. Якщо ця межа існує, то вона називається похідною цієї функції.

Визначення 3Виробної даної функції
за аргументом називається межа відношення збільшення функції до збільшення аргументу, коли збільшення аргументу довільним чином прагне до нуля.

Похідна функції
може бути позначена таким чином:

; ; ; .

Визначення 4Операція знаходження похідної від функції називається диференціюванням.

2.1. Механічний сенс похідної.

Розглянемо прямолінійний рух деякого твердого тіла чи матеріальної точки.

Нехай у певний момент часу точка, що рухається
знаходилась на відстані від початкового становища
.

Через деякий проміжок часу
вона перемістилася на відстань
. Ставлення =- Середня швидкість матеріальної точки
. Знайдемо межу цього відношення, враховуючи що
.

Отже, визначення миттєвої швидкості руху матеріальної точки зводиться до знаходження похідної від шляху за часом.

2.2. Геометричне значення похідної

Нехай ми маємо графічно задану деяку функцію
.

Рис. 1. Геометричний сенс похідної

Якщо
, то точка
, буде переміщатися по кривій, наближаючись до точки
.

Отже
, тобто. значення похідної за даного значення аргументу чисельно дорівнює тангенсу кута утвореного дотичної в даній точці з позитивним напрямком осі
.

2.3. Таблиця основних формул диференціювання.

Ступенева функція

Показова функція

Логарифмічна функція

Тригонометрична функція

Зворотна тригонометрична функція

2.4. Правила диференціювання.

Похідна від

Похідна суми (різниці) функцій


Похідна робота двох функцій


Похідна приватного двох функцій


2.5. Похідна від складних функцій.

Нехай дана функція
така, що її можна уявити у вигляді

і
, де змінна є проміжним аргументом, тоді

Похідна складної функції дорівнює добутку похідної цієї функції за проміжним аргументом на похідну проміжного аргументу по x.

Приклад1.

Приклад2.

3. Диференціал функції.

Нехай є
, що диференціюється на деякому відрізку
і нехай у цієї функції є похідна

,

тоді можна записати

(1),

де - нескінченно мала величина,

так як при

Помножуючи всі члени рівності (1)
маємо:

Де
- Б.М.В. вищого ладу.

Величина
називається диференціалом функції
і позначається

.

3.1. Геометричне значення диференціалу.

Нехай дана функція
.

Рис.2. Геометричний сенс диференціалу.

.

Очевидно, що диференціал функції
дорівнює приросту ординати дотичної у цій точці.

3.2. Похідні та диференціали різних порядків.

Якщо є
тоді
називається першою похідною.

Похідна від першої похідної називається похідною другого порядку та записується
.

Похідний n-го порядку від функції
називається похідна (n-1)-го порядку та записується:

.

Диференціал від диференціалу функції називається другим диференціалом чи диференціалом другого порядку.

.

.

3.3 Вирішення біологічних завдань із застосуванням диференціювання.

Задача1. Дослідження показали, що зростання колонії мікроорганізмів підпорядковується закону
, де N - Чисельність мікроорганізмів (у тис.), t -Час (Дні).

б) Чи буде в цей період чисельність колонії збільшуватися чи зменшуватись?

Відповідь. Чисельність колонії збільшуватиметься.

Задача 2. Вода в озері періодично тестується контролю вмісту хвороботворних бактерій. Через t днів після тестування концентрація бактерій визначається співвідношенням

.

Коли в озері настане мінімальна концентрація бактерій і можна буде купатися в ньому?

РішенняФункція досягає max або min, коли її похідна дорівнює нулю.

,

Визначимо max чи min буде через 6 днів. Для цього візьмемо другу похідну.


Відповідь: Через 6 днів буде мінімальна концентрація мікробів.

    Почнемо зі властивості логарифму одиниці. Його формулювання таке: логарифм одиниці дорівнює нулю, тобто, log a 1=0для будь-якого a>0, a≠1. Доказ не викликає складнощів: оскільки a 0 =1 для будь-якого a , що задовольняє зазначеним вище умовам a>0 і a≠1 , то рівність log a 1=0 одночасно випливає з визначення логарифму.

    Наведемо приклади застосування розглянутої якості: log 3 1=0 , lg1=0 і .

    Переходимо до наступної властивості: логарифм числа, рівного підставі, дорівнює одиниці, тобто, log a a=1при a>0, a≠1. Справді, оскільки a 1 =a для будь-якого a , то визначення логарифму log a a=1 .

    Прикладами використання цієї властивості логарифмів є рівність log 5 5 = 1, log 5,6 5,6 і lne = 1 .

    Наприклад, log 2 2 7 =7 , lg10 -4 =-4 і .

    Логарифм твору двох позитивних чисел x і y дорівнює добутку логарифмів цих чисел: log a (x · y) = log a x + log a y, a>0, a≠1. Доведемо властивість логарифму твору. В силу властивостей ступеня a log a x + log a y = log a x · log a y, Бо по основному логарифмічного тотожності a log a x = x і a log a y = y , то a log a x · a log a y = x · y . Таким чином, a log a x + log a y = x · y, звідки за визначенням логарифму випливає рівність, що доводиться.

    Покажемо приклади використання властивості логарифму твору: log 5 (2·3)=log 5 2+log 5 3 .

    Властивість логарифму твору можна узагальнити на добуток кінцевого числа n позитивних чисел x 1 , x 2 , …, x n як log a (x 1 · x 2 · ... · x n) = log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Ця рівність без проблем доводиться.

    Наприклад, натуральний логарифм твору можна замінити сумою трьох натуральних логарифмів чисел 4 , e , і .

    Логарифм приватного двох позитивних чисел x і y дорівнює різниці логарифмів цих чисел. Властивості приватного логарифму відповідає формула виду , де a>0 , a≠1 , x і y – деякі позитивні числа. Справедливість цієї формули доводиться як і формула логарифму твору: оскільки , то щодо визначення логарифму .

    Наведемо приклад використання цієї властивості логарифму: .

    Переходимо до властивості логарифму ступеня. Логарифм ступеня дорівнює добутку показника ступеня на логарифм модуля основи цього ступеня. Запишемо цю властивість логарифму ступеня у вигляді формули: log a b p = p log a | b |, де a>0 , a≠1 , b та p такі числа, що ступінь b p має сенс і b p >0 .

    Спочатку доведемо цю властивість для позитивних b. Основне логарифмічне тотожність дозволяє нам уявити число b як a log a b тоді b p = (a log a b) p , а отриманий вираз в силу властивість ступеня дорівнює a p · log a b . Так ми приходимо до рівності b p = a p · log a b , з якого за визначенням логарифму укладаємо, що log a b p = p · log a b .

    Залишилося довести цю властивість для негативних b. Тут зауважуємо, що вираз log a b p при негативних b має сенс лише при парних показниках ступеня p (оскільки значення ступеня b p має бути більшим за нуль, в іншому випадку логарифм не матиме сенсу), а в цьому випадку b p =|b| p. Тоді b p = | b | p = (a log a | b |) p = a p · log a | b |, Звідки log a b p = p · log a | b | .

    Наприклад, і ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

    З попередньої якості випливає властивість логарифму з кореня: логарифм кореня n-ого ступеня дорівнює добутку дробу 1/n на логарифм підкореного виразу, тобто, , де a>0, a≠1,n - натуральне число, більше одиниці, b>0.

    Доказ базується на рівністі (дивіться ), яка справедлива для будь-яких позитивних b , та властивості логарифму ступеня: .

    Ось приклад використання цієї властивості: .

    Тепер доведемо формулу переходу до нової основи логарифмувиду . Для цього достатньо довести справедливість рівності log b = log a b log c a . Основне логарифмічне тотожність дозволяє нам число b уявити як a log a b тоді log c b = log c a log a b . Залишилося скористатися властивістю логарифму ступеня: log c a log a b = log a b log c a. Так доведено рівність log c b = log a b · log c a , отже, доведено і формулу початку новому підставі логарифма .

    Покажемо кілька прикладів застосування цієї властивості логарифмів: і .

    Формула переходу до нової основи дозволяє переходити до роботи з логарифмами, що мають «зручну» основу. Наприклад, з її допомогою можна перейти до натуральних або десяткових логарифм, щоб можна було обчислити значення логарифму за таблицею логарифмів. Формула переходу до нової основи логарифму також дозволяє в деяких випадках знаходити значення логарифму, коли відомі значення деяких логарифмів з іншими основами.

    Часто використовується окремий випадок формули початку нової основи логарифму при c=b виду . Звідси видно, що log ab і log ba – . Наприклад, .

    Також часто використовується формула , яка зручна під час знаходження значень логарифмів. На підтвердження своїх слів покажемо, як із її допомогою обчислюється значення логарифма виду . Маємо . Для доказу формули достатньо скористатися формулою початку нової основи логарифму a : .

    Залишилося довести властивості порівняння логарифмів.

    Доведемо, що для будь-яких позитивних чисел b1 і b2, b1 log a b 2 , а за a>1 – нерівність log a b 1

    Нарешті, залишилося довести останню з перерахованих властивостей логарифмів. Обмежимося доказом його першої частини, тобто доведемо, що якщо a 1 >1 , a 2 >1 і a 1 1 справедливо log a 1 b> log a 2 b . Інші твердження цієї якості логарифмів доводяться за аналогічним принципом.

    Скористаємося методом від неприємного. Припустимо, що за a 1 >1 , a 2 >1 і a 1 1 справедливо log a 1 b≤log a 2 b . За властивостями логарифмів ці нерівності можна переписати як і відповідно, а з них випливає, що log b a 1 ≤ log b a 2 і log b a 1 ≥ log b a 2 відповідно. Тоді за властивостями ступенів з однаковими основами повинні виконуватися рівності b log b a 1 b log b a 2 і b log b a 1 b log b a 2 , тобто, a 1 a 2 . Так ми дійшли суперечності умові a 1

Список літератури.

  • Колмогоров А.М., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін Алгебра та початку аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
  • Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).

У співвідношенні

то, можливо поставлено завдання відшукання будь-якого з трьох чисел за двома іншими, заданими. Якщо дані а то N знаходять дією зведення в ступінь. Якщо дані N і то а знаходять вилученням кореня ступеня х (або зведенням у ступінь). Тепер розглянемо випадок, коли по заданим а та N потрібно знайти х.

Нехай число N позитивно: число а позитивно і дорівнює одиниці: .

Визначення. Логарифмом числа N на підставі а називається показник ступеня, в який потрібно звести а, щоб отримати число N; логарифм позначається через

Таким чином, у рівності (26.1) показник ступеня знаходять як логарифм N на підставі а. Записи

мають однаковий сенс. Рівність (26.1) іноді називають основною тотожністю теорії логарифмів; насправді воно висловлює визначення поняття логарифму. За даним визначенням основа логарифму завжди позитивна і від одиниці; логарифмується N позитивно. Негативні числа та нуль логарифмів не мають. Можна довести, що будь-яке число при даній підставі має певний логарифм. Тому рівність тягне за собою. Зауважимо, що тут істотна умова або висновок був би не обґрунтований, тому що рівність вірна при будь-яких значеннях х і у.

Приклад 1. Знайти

Рішення. Для отримання числа слід звести основу 2 у ступінь Тому.

Можна проводити записи при вирішенні таких прикладів у такій формі:

Приклад 2. Знайти.

Рішення. Маємо

У прикладах 1 і 2 ми легко знаходили шуканий логарифм, представляючи число, що логарифмується, як ступінь підстави з раціональним показником. У випадку, наприклад і т. буд., цього зробити вдасться, оскільки логарифм має ірраціональне значення. Звернімо увагу на одне пов'язане з цим твердженням питання. У п. 12 ми дали поняття про можливість визначення будь-якого дійсного ступеня даного позитивного числа. Це було необхідне запровадження логарифмів, які, взагалі кажучи, може бути ірраціональними числами.

Розглянемо деякі властивості логарифмів.

Властивість 1. Якщо число і основа рівні, то логарифм дорівнює одиниці, і, якщо логарифм дорівнює одиниці, то число і основа рівні.

Доказ. Нехай За визначенням логарифму маємо а звідки

Назад, нехай Тоді за визначенням

Властивість 2. Логарифм одиниці з будь-якої основи дорівнює нулю.

Доказ. За визначенням логарифму (нульовий ступінь будь-якої позитивної основи дорівнює одиниці, див. (10.1)). Звідси

що і потрібно було довести.

Правильне і зворотне твердження: якщо , то N = 1. Дійсно, маємо .

Перш ніж сформулювати таку властивість логарифмів, умовимося говорити, що два числа а і b лежать по одну сторону від третього числа с, якщо вони обидва або більше, або менше с. Якщо одне з цих чисел більше за с, а інше менше за с, то говоритимемо, що вони лежать по різні боки від с.

Властивість 3. Якщо число та основа лежать по один бік від одиниці, то логарифм позитивний; якщо число та підстава лежать по різні боки від одиниці, то логарифм негативний.

Доказ властивості 3 заснований на тому, що ступінь а більше одиниці, якщо основа більше одиниці і показник позитивний або основа менше одиниці і показник негативний. Ступінь менше одиниці, якщо основа більша за одиницю і показник від'ємний або основа менша за одиницю і показник позитивний.

Потрібно розглянути чотири випадки:

Обмежимося розбором першого їх, інші читач розгляне самостійно.

Нехай тоді рівності показник ступеня може бути ні негативним, ні рівним нулю, отже, він позитивний, т. е. що й потрібно довести.

Приклад 3. З'ясувати, які із наведених нижче логарифмів позитивні, які негативні:

Рішення, а) так як число 15 та основа 12 розташовані по один бік від одиниці;

б) , оскільки 1000 та 2 розташовані по один бік від одиниці; при цьому несуттєво, що підстава більша за число, що логарифмується;

в) , оскільки 3,1 та 0,8 лежать по різні боки від одиниці;

г); чому?

д); чому?

Наступні властивості 4-6 часто називають правилами логарифмування: вони дозволяють, знаючи логарифми деяких чисел, знайти логарифми їхнього твору, приватного, ступеня кожного з них.

Властивість 4 (правило логарифмування твору). Логарифм добутку кількох позитивних чисел з цієї підстави дорівнює сумі логарифмів цих чисел з тієї ж підстави.

Доказ. Нехай дані позитивні числа.

Для логарифму їхнього твору напишемо визначальну логарифм рівність (26.1):

Звідси знайдемо

Порівнявши показники ступеня першого та останнього виразів, отримаємо необхідну рівність:

Зауважимо, що умова суттєво; логарифм добутку двох негативних чисел має сенс, але в цьому випадку отримаємо

У випадку, якщо добуток кількох сомножителей позитивно, його логарифм дорівнює сумі логарифмів модулів цих сомножителей.

Властивість 5 (правило логарифмування приватного). Логарифм приватного позитивних чисел дорівнює різниці логарифмів діленого та дільника, взятих з тієї ж підстави. Доказ. Послідовно знаходимо

що і потрібно було довести.

Властивість 6 (правило логарифмування ступеня). Логарифм ступеня якогось позитивного числа дорівнює логарифму цього числа, помноженого на показник ступеня.

Доказ. Запишемо знову основне тотожність (26.1) для числа:

що і потрібно було довести.

Наслідок. Логарифм кореня з позитивного числа дорівнює логарифму підкореного числа, поділеному на показник кореня:

Довести справедливість цього слідства можна, представивши, як і скориставшись властивістю 6.

Приклад 4. Прологарифмувати на підставі а:

а) (передбачається, що всі величини b, с, d, е позитивні);

б) (передбачається, що).

Рішення, а) Зручно перейти в даному виразі до дробових ступенів:

На підставі рівностей (26.5)-(26.7) тепер можна записати:

Ми помічаємо, що над логарифмами чисел проводяться дії простіші, ніж над самими числами: при множенні чисел їх логарифми складаються, при розподілі - віднімаються тощо.

Саме тому логарифми набули застосування у обчислювальній практиці (див. п. 29).

Дія, зворотне логарифмування, називається потенціюванням, а саме: потенціюванням називається дія, за допомогою якого за даним логарифмом числа знаходиться саме це число. Фактично потенціювання перестав бути якимось особливим дією: воно зводиться до спорудження підстави ступінь (рівну логарифму числа). Термін "потенціювання" можна вважати синонімом терміна "зведення в ступінь".

При потенціювання треба користуватися правилами, зворотними по відношенню до правил логарифмування: суму логарифмів замінити логарифмом твору, різниця логарифмів - логарифмом приватного і т. д. Зокрема, якщо перед знаком логарифма знаходиться який-небудь множник, то його при ступеня під знак логарифму.

Приклад 5. Знайти N, якщо відомо, що

Рішення. У зв'язку з щойно висловленим правилом потенціювання множники 2/3 і 1/3, які стоять перед знаками логарифмів у правій частині даної рівності, перенесемо до показників ступеня під знаками цих логарифмів; отримаємо

Тепер різницю логарифмів замінимо логарифмом приватного:

для отримання останнього дробу у цьому ланцюжку рівностей ми попередній дріб звільнили від ірраціональності у знаменнику (п. 25).

Властивість 7. Якщо основа більша за одиницю, то більше число має більший логарифм (а менше - менший), якщо основа менша за одиницю, то більше число має менший логарифм (а менше - більший).

Цю властивість формулюють також як правило логарифмування нерівностей, обидві частини яких позитивні:

При логарифмуванні нерівностей на підставі, більшій одиниці, знак нерівності зберігається, а при логарифмуванні на підставі, меншій одиниці, знак нерівності змінюється на протилежний (див. також п. 80).

Доказ заснований на властивостях 5 і 3. Розглянемо випадок, коли Якщо , то і, логарифмуючи, отримаємо

(а і N/М лежать з одного боку від одиниці). Звідси

Випадок отже, читач розбере самостійно.

Рекомендуємо також
Loading...Loading...