У практичній діяльності людині доводиться вимірювати різні величини, враховувати матеріали та продукти праці, виробляти різні обчислення. Результатами різних вимірів, підрахунків та обчислень є числа. Числа, отримані в результаті виміру, лише приблизно з деяким ступенем точності характеризують шукані величини. Точні виміри неможливі через неточність вимірювальних приладів, недосконалості наших органів зору, та й самі об'єкти, що вимірюваються, іноді не дозволяють визначити їх величину з будь-якою точністю.

Так, наприклад, відомо, що довжина Суецького каналу 160 км. залізницівід Москви до Ленінграда 651 км. Тут ми маємо результати вимірів, зроблених з точністю до кілометра. Якщо, наприклад, довжина прямокутної ділянки 29 м, ширина 12 м, то, ймовірно, вимірювання зроблено з точністю до метра, а частками метра знехтували,

Перш ніж зробити якесь вимір, необхідно вирішити, з якою точністю його необхідно виконати, тобто. які частки одиниці виміру треба при цьому взяти до уваги, а якими знехтувати.

Якщо є певна величина а,справжнє значення якої невідоме, а наближене значення (наближення) цієї величини одно х,то пишуть а х.

При різних вимірах однієї й тієї ж величини отримуватимемо різні наближення. Кожне з цих наближень відрізнятиметься від істинного значення вимірюваної величини, що дорівнює, наприклад, а,на деяку величину, яку ми називатимемо похибкою.Визначення. Якщо число x є наближеним значенням (наближенням) деякої величини, істинне значення якої дорівнює числу а,то модуль різниці чисел, аі хназивається абсолютною похибкоюданого наближення та позначається a x: або просто a. Таким чином, за визначенням,

a x = a-x (1)

З цього визначення випливає, що

a = x a x (2)

Якщо відомо, про яку величину йдеться, то в позначенні a xіндекс аопускається і рівність (2) записується так:

a = x x (3)

Оскільки справжнє значення шуканої величини найчастіше буває невідомо, не можна знайти і абсолютну похибку наближення цієї величини. Можна лише вказати у кожному даному випадку позитивне число, більше якого ця абсолютна похибкабути не може. Це число називається межею абсолютної похибки наближення величини aі позначається h a. Таким чином, якщо x- довільне наближення величини, а при заданій процедурі отримання наближень, то

a x = a-x h a (4)

Зі сказаного вище випливає, що якщо h aє межею абсолютної похибки наближення величини а, то і будь-яке число, більше h a, також буде межею абсолютної похибки наближення величини а.

Насправді прийнято вибирати як межі абсолютної похибки можливе менше, що задовольняє нерівності (4).

Вирішивши нерівність a-x h aотримаємо, що аукладено у межах

x - h a a x + h a (5)

Суворіше поняття межі абсолютної похибки можна дати в такий спосіб.

Нехай X- безліч різноманітних наближень хвеличини апри заданій процедурі отримання наближення. Тоді будь-яке число h, що задовольняє умові a-x h aза будь-якого хХ, називається межею абсолютної похибки наближень із множини X. Позначимо через h aнайменше з відомих чисел h. Це число h aі вибирають практично як межі абсолютної похибки.

Абсолютна похибка наближення не характеризує якості вимірів. Дійсно, якщо ми вимірюємо з точністю до 1 см якусь довжину, то в тому випадку, коли мова йдепро визначення довжини олівця, це буде погана точність. Якщо з точністю до 1 див визначити довжину чи ширину волейбольного майданчика, це буде висока точність.

Для характеристики точності виміру вводиться поняття відносної похибки.

Визначення. Якщо a x: є абсолютна похибка наближення хдеякої величини, істинне значення якої дорівнює числу а, то відношення a xдо модуля числа хназивається відносною похибкою наближення та позначається a xабо x.

Таким чином, за визначенням,

Відносну похибку зазвичай виражають у відсотках.

На відміну від абсолютної похибки, яка найчастіше буває розмірною величиною, відносна похибка є безрозмірною величиною.

Насправді розглядають не відносну похибку, а так звану межу відносної похибки: таке число Е a, Більше якого може бути відносна похибка наближення шуканої величини.

Таким чином, a x Е a .

Якщо h a- межа абсолютної похибки наближення величини а, то a x h aі, отже,

Очевидно, що будь-яке число Е, що задовольняє умові, буде межею відносної похибки. Насправді зазвичай відомі деяке наближення хвеличини ата межа абсолютної похибки. Тоді за кордон відносної похибки приймають число

1. Числа точні та наближені. Числа, з якими ми зустрічаємося практично, бувають двох пологів. Одні дають справжнє значення величини, інші лише приблизне. Перші називають точними, другі – наближеними. Найчастіше зручно користуватися наближеним числом замість точного, тим більше, що у багатьох випадках точне числовзагалі знайти неможливо.

Результати дій із числами дають: із наближеними числами наближені числа. Наприклад. Під час епідемії 60% жителів Санкт-Петербурга хворіють на грип. Це приблизно 3млн людей. з точними числами точні числа Наприклад. В аудиторії на лекції з математики 65 осіб. наближені числа Наприклад. Середня температура тіла пацієнта протягом дня 37,3: ранок: 37,2; день: 36,8; вечір38.

Теорія наближених обчислень дозволяє: 1) знаючи рівень точності даних, оцінити рівень точності результатів; 2) брати дані з належним ступенем точності, достатнім для забезпечення необхідної точності результату; 3) раціоналізувати процес обчислення, звільнивши його від тих викладок, які не вплинуть на точність результату.

1) якщо перша (ліворуч) з цифр, що відкидаються менше 5, то останню залишену цифру не змінюють (округлення з недоліком); 2) якщо перша цифра, що відкидається, більше 5 або дорівнює 5, то останню залишену цифру збільшують на одиницю (округлення з надлишком). Округлення: а) до десяти 12,34 12,3; б) до сотих 3,2465 3,25; 1038,79. в) до тисячних 34335 3434. г) до тисяч; При цьому враховують таке:

Величини, що найчастіше вимірюються в медицині: маса m, довжина l, швидкість процесу v, час t, температура t, обсяг V і т.д. Виміряти фізичну величину - це порівняти її з однорідною величиною, прийнятої за одиницю. 9 Одиниці виміру фізичних величин: Основні Довжина - 1 м - (метр) Час - 1 с - (секунда) Маса - 1 кг - (кілограм) Прохідні Об'єм - 1 м³ - (метр кубічний) Швидкість - 1 м/с - (метр за секунду)

Приставки до назв одиниць: Кратні приставки - збільшують до 10, 100, 1000 і т.д. раз г - гекто (×100) до – кіло (× 1000) М – мега (×) 1 км (кілометр) 1 кг (кілограм) 1 км = 1000 м = 10³ м 1 кг = 1000 г = 10³ г Дольні приставки – зменшують 10, 100, 1000 і т.д. раз д – деци (×0, 1) з – санти (× 0, 01) м – мілі (× 0, 001) 1 дм (дециметр) 1дм = 0,1 м 1 см (сантиметр) 1см = 0,01 м 1 мм (міліметр) 1мм = 0,001 м Кратні приставки використовують при вимірі великих відстаней, мас, об'ємів, швидкостей і т.п.

Для діагностики, лікування, профілактики захворювань у медицині використовується різноманітна вимірювальна медична апаратура.

Термометр. По-перше, потрібно врахувати верхню та нижню межі вимірювань. Нижня межа – це мінімальне, а верхня – максимальне вимірюване значення. Якщо невідомо ймовірне значення вимірюваної величини, краще взяти прилад із запасом. Наприклад, вимірювання температури гарячої водине варто проводити вуличним чи кімнатним термометром. Краще знайти прилад із верхньою межею 100 °С. По-друге, потрібно зрозуміти, наскільки точно має бути виміряна величина. Так як похибка вимірювань залежить від ціни розподілу, для більш точних виміріввибирається прилад із меншою ціною розподілу.

Похибки вимірів. Для виміру різних діагностичних параметрів величин потрібний свій прилад. Наприклад, довжину вимірюють лінійкою, а температуру термометром. Але лінійки, термометри, тонометри та інші прилади бувають різними, тому щоб виміряти якусь фізичну величину, потрібно вибрати відповідний саме для цього вимірювання прилад.

Ціна поділу приладу. Температуру тіла людини потрібно визначати точно, ліки вводити строго певну кількість, тому Ціна поділів шкали вимірювального приладу - важлива характеристика кожного приладу. Правило для обчислення ціни поділу приладу. Щоб підрахувати ціну поділів шкали, потрібно: а) вибрати на шкалі два найближчих оцифрованих штрихи; б) порахувати кількість поділів між ними; в) різницю значень у вибраних штрихів розділити на кількість поділів.

Ціна поділу приладу. Ціна поділу (50-30)/4=5 (мл) Ціна поділу: (40-20)/10=2 км/год, (20-10)/10= 1грм, (39-19)/10=2 LITR , (8-4) / 10 = 0,4 psi, (90-50) / 10 = 4 темп, (4-2) / 10 = 0,2 с

Визначте ціну поділу приладів: 16

Абсолютна похибка виміру. Під час проведення будь-яких вимірів неминуче виникають помилки. Ці помилки зумовлені різними факторами. Усі чинники можна розділити втричі частини: помилки, викликані недосконалістю приладів; помилки, спричинені недосконалістю методів проведення вимірів; помилки зумовлені впливом випадкових факторів, яких неможливо позбутися. Вимірюючи якусь величину, хочеться знати як її значення, а й те, наскільки цьому значенню можна довіряти, наскільки воно точно. І тому необхідно знати, наскільки справжнє значення величини може відрізнятися від виміряного. Для цього вводиться поняття абсолютної і відносної похибок.

Абсолютна та відносна похибки. Абсолютна похибка показує, наскільки реальне значення фізичної величинивідрізняється від виміряного. Вона залежить від самого приладу (інструментальна похибка) та процесу вимірювань (похибка відліку за шкалою). Інструментальна похибка повинна бути вказана в паспорті приладу (як правило, вона дорівнює ціні поділу приладу). Похибка відліку зазвичай приймають рівною половині ціни поділу. Абсолютною похибкою наближеної величини називається різниця Δ x = | x – x 0 |, де х 0 - наближене значення, а х – точне значення вимірюваної величини або іноді замість х вживають А ΔА = | А – А 0 |.

Абсолютна та відносна похибки. приклад. Відомо, що -0,333 наближене значення -1/3. Тоді визначення абсолютної похибки Δ x= |x – x 0 |= | -1/3+0,333 | = | -1/3+33/1000 = | -1/300 | = 1/300. Багато практично важливих випадках не можна знайти абсолютну похибку наближення через те, що невідомо точне значення величини. Однак можна вказати позитивне число, більше за яке ця абсолютна похибка не може бути. Це будь-яке число h, що відповідає нерівності | Δx | h Воно називається межею абсолютної похибки.

У цьому випадку кажуть, що величина х приблизно з точністю до h дорівнює x 0. х = х 0 ± h або х 0 - h х х 0 + h

Абсолютні інструментальні похибки засобів вимірювань

Оцінка приладових похибок вимірюваних величин. Для більшості вимірювальних приладів похибка приладу дорівнює ціні його поділу. Виняток становлять цифрові прилади та стрілочні вимірювальні прилади. Для цифрових приладів похибка вказується у тому паспорті і зазвичай в раз перевищує ціну розподілу приладу. Для стрілочних вимірювальних приладів похибка визначається їх класом точності, який вказується на шкалі приладу та межею вимірювань. Клас точності вказується на шкалі приладу як число, яке обведено ніякими рамками. Наприклад, на наведеному малюнку клас точності манометра дорівнює 1,5. Клас точності показує, скільки відсотків становить похибку приладу межі його вимірів. Для стрілочного манометра межа вимірювань становить 3 атм, відповідно, похибка вимірювання тиску дорівнює 1,5% від 3 атм, тобто 0,045 атм. Слід зазначити, що більшість стрілочних приладів їх похибка виявляється рівної ціні розподілу приладу. Як і наш приклад, де ціна розподілу барометра дорівнює 0,05 атм.

Абсолютна та відносна похибки. Абсолютна похибка потрібна визначення діапазону, куди може потрапити справжнє значення, але з оцінки точності результату загалом вона дуже показова. Адже вимір довжини в 10 м з похибкою в 1 мм безумовно є дуже точним, у той же час вимір довжини в 2 мм з похибкою в 1 мм є вкрай неточним. Абсолютну похибку вимірювання зазвичай округляють до однієї цифри ΔА 0,17 0,2. Чисельне значення результату вимірювань округляють так, щоб його остання цифра опинилася в тому ж розряді, що і цифра похибки А = 10332 103

Абсолютна та відносна похибки. Поряд із абсолютною похибкою прийнято розглядати і відносну похибку, яка дорівнює відношенню абсолютної похибки до значення самої величини. Відносною похибкою наближеного числа називається відношення абсолютної похибки наближеного числа до цього числа: Е = Δx. 100% х 0 Відносна похибка вказує, скільки відсотків від самої величини могла статися помилка і є показовою при оцінці якості результатів експерименту.

приклад. При вимірі довжини та діаметра капіляра отримали l = (10,0 ± 0,1) см, d = (2,5 ± 0,1) мм. Який із цих вимірювань точніший? При вимірі довжини капіляра допускається абсолютна похибка 10мм на 100мм, отже абсолютна похибка10/100=0,1=10%. При вимірюванні діаметра капіляра допустима абсолютна похибка 0,1/2,5=0,04=4% Отже вимірювання діаметра капіляра виконано точніше.

У багатьох випадках неможливо знайти абсолютну похибку. Отже, і відносну похибку. Але можна знайти межу відносної похибки. Будь-яке число δ, що відповідає нерівності | Δx | / | x про | δ, є межею відносної похибки. Зокрема, якщо h–кордон абсолютної похибки, число δ= h/| x про | є межею відносної похибки наближення x о. Звідси. Знаючи кордон отн.п-і. можна знайти межу абсолютної похибки h. h = δ | x про |

приклад. Відомо, що 2 = 1,41 ... Знайти відносну точність наближеної рівності або межу отн. похибки наближеної рівності 2 1,41. Тут х = 2, x про = 1,41, x = 2-1,41. Очевидно 0 Δ x 1,42-1,41=0,01 Δ x/ x про 0,01/1,41=1/141, Кордон абс.

приклад. При зчитуванні показань зі шкали важливо, щоб ваш погляд падав перпендикулярно до шкали приладу, при цьому помилка буде меншою. Для визначення показання термометра: 1. визначаємо кількість поділів, 2. множимо їх на ціну розподілу 3. враховуємо похибку 4. записуємо остаточний результат. t = 20 °С ± 1,5 °С Це означає, що температура лежить у межах від 18,5 ° до 21,5 °. Тобто вона може бути, наприклад, і 19, і 20, і 21 градусів Цельсія. Щоб збільшити точність вимірювань, прийнято повторити їх не менше трьох разів та обчислити середнє значення вимірюваної величини

Н А Х О Ж Д Е Н І Е С Р Е Д Н Е Г О З Н А Ч Е Н І Я Результати вимірювань С 1 = 34,5 С 2 = 33,8 С 3 = 33,9 С 4 = 33 ,5 С 5 = 54,2 а)Знайдемо середнє значення чотирьох величин з ср = (з 1 + с 2 + с 3 + с 4): 4 с ср = (34,5 + 33,8 + 33,9 + 33 ,5):4 = 33,925 33,9 б)Знайдемо відхилення величини від середнього значення Δс = | c - c cp | Δc 1 = | c 1 - c cp | = | 34,5 - 33,9 | = 0,6 Δc 2 = | c 2 - c cp | = | 33,8 - 33,9 | = 0,1 Δc 3 = | c 3 - c cp | = | 33,9 - 33,9 | = 0 Δc 4 = | c 4 - c cp | = | 33,5 - 33,9 | = 0,4

В)Знайдемо абсолютну похибку Δc = (c 1 + c 2 + c 3 + c 4):4 Δc = (0,6 + 0,4) :4 = 0,275 0,3 г)Знайдемо відносну похибку δ = Δс: с СР δ = (0,3: 33,9) 100% = 0,9% д) Запишемо остаточну відповідь з = 33,9 ± 0,3 δ = 0,9%

ДОМАШНЕ ЗАВДАННЯ Підготуватися до практичного заняттяза матеріалами лекції. Виконати завдання. Знайти середнє значення та похибка: а 1 = 3,685 а 2 = 3,247 а 3 = 3,410 а 4 = 3,309 а 5 = 3,392. Створити презентації на теми: «Округлення величин у медицині», «Похибки вимірювань», «Медична вимірювальна апаратура»

Вступ

Абсолютна похибка- є оцінкою абсолютної помилки виміру. Обчислюється різними способами. Спосіб обчислення визначається розподілом випадкової величини. Відповідно, величина абсолютної похибки в залежності від розподілу випадкової величини може бути різною. Якщо - виміряне значення, а - істинне значення, то нерівність має виконуватися з певною ймовірністю, близькою до 1. Якщо випадкова величинарозподілена за нормальним законом, то зазвичай за абсолютну похибку приймають її середньоквадратичне відхилення. Абсолютна похибка вимірюється у тих самих одиницях виміру, як і сама величина.

Існує кілька способів запису величини разом із її абсолютною похибкою.

· Зазвичай використовується запис зі знаком ±. Наприклад, рекорд у бігу на 100 метрів, встановлений у 1983 році, дорівнює 9,930±0,005 с.

· Для запису величин, виміряних з дуже високою точністю, використовується інший запис: цифри, що відповідають похибки останніх цифр мантиси, дописуються у дужках. Наприклад, виміряне значення постійної Больцмана одно 1,380 6488 (13)?10 ?23 Дж/К, що також можна записати значно довше як 1,380 6488?10 ?23 ±0,000 0013?10 ?23 Дж/К.

Відносна похибка- похибка виміру, виражена відношенням абсолютної похибки виміру до дійсного або середнього значення вимірюваної величини (РМГ 29-99):.

Відносна похибка є безрозмірною величиною або вимірюється у відсотках.

Наближене значення

З надлишковим та недостатнім? У процесі обчислень часто доводиться мати справу з наближеними числами. Нехай А- точне значення деякої величини, зване надалі точним числом А.Під наближеним значенням величини А,або наближеним числам,називається число а, Що замінює точне значення величини А.Якщо а< А,то аназивається наближеним значенням числа А за браком.Якщо а> А,- то з надлишку.Наприклад, 3,14 є наближеним значенням числа рза нестачею, а 3,15 - за надлишком. Для характеристики ступеня точності цього наближення користуються поняттям похибкиабо помилки.

Похибкою Д анаближеного числа аназивається різниця виду

Д а = А-а,

де А- Відповідне точне число.

З малюнка видно, що довжина відрізка АВ укладена між 6 см та 7 см.

Значить, 6 - наближене значення довжини відрізка АВ (у сантиметрах) > з нестачею, а 7 - з надлишком.

Позначивши довжину відрізка буквою у, отримаємо: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина відрізкаАВ (див. рис. 149) ближче до 6 см, ніж до 7 см. Вона приблизно дорівнює 6 см. Кажуть, що число 6 вийшло при округленні довжини відрізка до цілих.

Абсолютне значення різниціміж наближеним та точним (істинним) значенням величини називається абсолютною похибкоюнаближеного значення. Наприклад, якщо точне число 1,214 округлити до десятих, то отримаємо наближене число 1,2 . У разі абсолютна похибка наближеного числа становитиме 1,214 – 1,2 = 0,014 .

Але здебільшого точне значення аналізованої величини невідомо, лише наближене. Тоді й абсолютна похибка невідома. У цих випадках вказують кордонщо вона не перевищує. Це число називають граничною абсолютною похибкою.Кажуть, що точне значення числа дорівнює його наближеному значенню з меншою похибкою, ніж гранична похибка. Наприклад, число 23,71 є наближене значення числа 23,7125 з точністю до 0,01 , оскільки абсолютна похибка наближення дорівнює 0,0025 і менше 0,01 . Тут гранична абсолютна похибка дорівнює 0,01 .*

(* Абсолютнапохибка буває і позитивною та негативною. Наприклад, 1,68 ≈ 1,7 . Абсолютна похибка дорівнює 1 ,68 – 1,7 ≈ - 0,02 . Граничнапохибка завжди позитивна).

Граничну абсолютну похибку наближеного числа а » позначають символом Δ а . Запис

х ≈ а ( Δ а)

слід розуміти так: точне значення величини х знаходиться в проміжку між числами а +Δ а і а –Δ а, які називають відповідно нижнійі верхнім кордоном х і позначають НГ х і ВГ х .

Наприклад, якщо х≈ 2,3 ( 0,1), то 2,2 < х < 2,4 .

Навпаки, якщо 7,3 < х < 7,4, то х≈ 7,35 ( 0,05).

Абсолютна чи гранична абсолютна похибка нехарактеризують якість виконаного виміру. Одна і та ж абсолютна похибка може вважатися значною і незначною залежно від числа, яким виражається величина, що вимірюється.

НаприкладЯкщо вимірюємо відстань між двома містами з точністю до одного кілометра, то така точність цілком достатня для цього вимірювання, в той же час при вимірюванні відстані між двома будинками однієї вулиці така точність буде неприпустимою.

Отже, точність наближеного значення величини залежить тільки від величини абсолютної похибки, а й від значення вимірюваної величини. Тому мірою точності є відносна похибка.

Відносною похибкоюназивається відношення абсолютної похибки до величини наближеного числа. Ставлення граничної абсолютної похибки до наближеного числа називають граничною відносною похибкою; позначають її так: Δ а/а. Відносну та граничну відносну похибки прийнято висловлювати в процентах.

Наприклад, якщо виміри показали, що відстань між двома пунктами більша 12,3 км, але менше 12,7 км, то за наближенезначення його набувають середнє арифметичнецих двох чисел, тобто. їх напівсумутоді граничнаабсолютна похибка дорівнює напіврізниціцих чисел. В даному випадку х≈ 12,5 ( 0,2). Тут гранична абсолютнапохибка дорівнює 0,2 км, а гранична

Для сучасних завданьнеобхідно використовувати складний математичний апарат та розвинені методи їх вирішення. У цьому часто доводиться зустрічатися із завданнями, котрим аналітичне рішення, тобто. рішення у вигляді аналітичного виразу, що пов'язує вихідні дані з необхідними результатами, або взагалі неможливо, або виражається такими громіздкими формулами, що використання їх для практичних цілей є недоцільним.

У цьому випадку застосовуються чисельні методи розв'язання, які дозволяють досить просто одержати чисельне рішення поставленого завдання. Численні методи реалізуються за допомогою обчислювальних алгоритмів.

Все різноманіття чисельних методів поділяють на дві групи:

Точні – припускають, що й обчислення ведуться точно, то з допомогою кінцевого числа арифметичних і логічних операцій може бути отримані точні значення шуканих величин.

Наближені - які навіть у припущенні, що обчислення ведуться без заокруглень, дозволяють отримати розв'язання задачі лише із заданою точністю.

1. величина та число. Величиною називається те, що у певних одиницях може бути виражене числом.

Коли говорять про значення величини, мають на увазі деяке число, зване числовим значенням величини, і одиницю її виміру.

Таким чином, величиною називають характеристику властивості об'єкта або явища, яка є загальною для багатьох об'єктів, але має індивідуальні значення для кожного з них.

Величини можуть бути постійними та змінними. Якщо за певних умов величина приймає лише одне значення і не може його змінювати, вона називається постійною, якщо ж вона може приймати різні значення, то – змінною. Так, прискорення вільного падіннятіла в даному місціземної поверхні є величина постійна, що приймає єдине числове значення g=9,81… м/с2, тоді як шлях s, прохідний матеріальною точкоюза її русі, – величина змінна.

2. наближені значення чисел. Значення величини, в істинності якого ми сумніваємося, називається точним. Часто, проте, відшукуючи значення будь-якої величини, набувають лише її наближеного значення. У практиці обчислень найчастіше доводиться мати справу із наближеними значеннями чисел. Так, p – число точне, але внаслідок його ірраціональності можна скористатися лише його наближеним значенням.

У багатьох завданнях через складність, а часто і неможливість отримання точних рішень застосовуються наближені методи розв'язання, до них відносяться: наближене рішення рівнянь, інтерполювання функцій, наближене обчислення інтегралів та ін.

Головною вимогою до наближених розрахунків є дотримання заданої точності проміжних обчислень та кінцевого результату. При цьому однаково неприпустимі як збільшення похибок (помилок) шляхом невиправданого загрублення розрахунків, так і утримання надлишкових цифр, що не відповідають фактичної точності.

Існують два класи помилок, що виходять при обчисленнях та округленні чисел – абсолютні та відносні.

1. Абсолютна похибка (помилка).

Введемо позначення:

Нехай А – точне значення деякої величини а » Ачитатимемо "а приблизно одно А". Іноді писатимемо А = а, маючи на увазі, що йдеться про наближену рівність.

Якщо відомо, що а< А, то а называют наближеним значенням величини А з нестачею.Якщо а > А, то а називають наближеним значенням величини А з надлишком.

Різниця точного та наближеного значень величини називається похибкою наближеннята позначається D, тобто.

D = А – а (1)

Похибка наближення D може бути як числом позитивним, так і негативним.

Щоб охарактеризувати відмінність наближеного значення величини від точного, часто буває достатньо вказати абсолютну величину різниці точного і наближеного значень.

Абсолютна величина різниці між наближеним аі точним Азначеннями числа називається абсолютною похибкою (помилкою) наближенняі позначається D а:

D а = ½ а – А½ (2)

приклад 1.При вимірі відрізка lвикористовували лінійку, ціна розподілу шкали якої дорівнює 0,5 см. Отримали наближене значення довжини відрізка а= 204 див.

Відомо, що з вимірі могли помилитися трохи більше, ніж 0,5 див, тобто. абсолютна похибка виміру вбирається у 0,5 див.

Зазвичай абсолютна помилка невідома, оскільки невідомо точне значення числа А. Тому як помилку приймають будь-яку оцінкуабсолютної помилки:

D а <= Dа перед. (3)

де D а перед. - Гранична помилка (число, більшенуля), що задається з урахуванням того, з якою достовірністю відоме число а.

Гранична абсолютна похибка називається також кордоном похибки. Так, у наведеному прикладі,
D а перед. = 0,5 див.

З (3) отримуємо: D а = ½ а – А½<= Dа перед. . і тоді

а– D а перед. ≤ А≤ а+ D а перед. . (4)

Значить, а – D а перед. буде наближеним значенням Аз нестачею, а а+D а перед – наближеним значенням Аз надлишком. Користуються також коротким записом: А= а±D а перед (5)

З визначення граничної абсолютної похибки випливає, що чисел D а перед, що задовольняють нерівності (3), буде безліч. На практиці намагаються вибрати можливо меншеіз чисел D а перед, що задовольняють нерівності D а <= Dа перед.

приклад 2.Визначимо граничну абсолютну похибку числа а=3,14, взятого як наближеного значення числа π.

Відомо що 3,14<π<3,15. Звідси слідує що

|а – π |< 0,01.

За граничну абсолютну похибку можна сприйняти число D а = 0,01.

Якщо ж врахувати, що 3,14<π<3,142 , то отримаємо найкращу оцінку: D а= 0,002, тоді π ≈3,14±0,002.

Відносна похибка (помилка).Знання лише абсолютної похибки замало характеристики якості виміру.

Нехай, наприклад, при зважуванні двох тіл отримані такі результати:

Р 1 = 240,3±0,1 г.

Р 2 = 38 ± 01 г.

Хоча абсолютні похибки виміру обох результатів однакові, якість виміру в першому випадку буде кращою, ніж у другому. Воно характеризується відносною похибкою.

Відносною похибкою (помилкою)наближення числа Аназивається відношення абсолютної помилки D анаближення до абсолютної величини числа А:

Так, як точне значення величини зазвичай невідомо, його замінюють наближеним значенням і тоді:

Граничною відносною похибкоюабо межею відносної похибки наближення,називається число d а перед.>0, таке, що:

d а<= d а перед.

За граничну відносну похибку можна, очевидно, прийняти відношення граничної абсолютної похибки до абсолютної величини наближеного значення:

З (9) легко виходить наступне важливе співвідношення:

∆а перед. = |a| d а перед.

Граничну відносну похибку прийнято виражати у відсотках:

приклад.Заснування натуральних логарифмів для розрахунку прийнято рівним е=2,72. Як точне значення взяли ет = 2,7183. Знайти абсолютну та відносну помилки наближеного числа.

D е = ½ е – ет? = 0,0017;

.

Величина відносної помилки залишається незмінною при пропорційному зміні наближеного числа та її абсолютної помилки. Так, у числа 634,7, розрахованого з абсолютною помилкою D = 1,3 та у числа 6347 з помилкою D = 13 відносні помилки однакові: d= 0,2.