Таблиця перетворення тригонометричних функцій. Основні формули тригонометрії

Тригонометрія - один із розділів математики, у центрі вивчення якого знаходяться кути та взаємозв'язки між ними. Основи науки закладаються у шкільні роки, коли вводяться визначення функцій кута. Надалі отримана база використовується для освоєння астрономії, приладобудування, архітектури та інших галузей знань. Як і будь-яка точна наука, тригонометрія не обходиться без формул. Практичне застосуваннязнайшли вирази визначення подвійного аргументу. Наприклад, вдаючись до відповідного рівняння, легко можна дізнатися подвійний кутсинусу.

Тригонометричний вираз для розрахунку

Вираз просто записується і запам'ятовується: синус подвійного кута обчислюється як дворазовий добуток синуса та косинуса одинарного аргументу.

Ця формула виводиться на основі виразу синуса суми кутів ( Q 1 + Q 2 ) :

sin( Q 1 + Q 2) = sin Q 1 * cos Q 1 + sin Q 2* cos Q 2 .

Вважаючи, що задані кутирівні один одному, формула записується у звичній формі.

Використовувати вираз можна за будь-яких значеннях аргументу функції. Обчислити подвійний кут синуса по ній досить просто, переконатись у цьому допоможуть приклади нижче.

Приклад використання

Ось кілька ілюстрацій застосування отриманої формули. Нехай потрібно розрахувати значення тригонометричної функції синуса кута, що дорівнює 60 градусам. Відповідний одинарний кут становитиме 30 градусів. Оскільки величини синуса і косинуса кута 30 градусів відомі, подвійний кут синуса становитиме sin 60 = 2 * sin 30 * cos 30.

Формула використовується не тільки для обчислення "вручну", знайти значення за нею можна і за допомогою математичних пакетів або таблиць MS Excel.

Незважаючи на простоту тригонометричного тотожності, воно викликає труднощі у випускників школи. Саме на це розраховують розробники завдань ЄДІ, пропонуючи тести на перевірку основних формул. Висновок – формулу, щоб підрахувати подвійний кут синуса, треба знати напам'ять!

Найчастіші питання

Чи можливо виготовити друк на документі за наданим зразком? Відповідь Так можливо. Надішліть на нашу електронну адресу скан-копію або фото хорошої якостіі ми виготовимо необхідний дублікат.

Які види оплати ви приймаєте? Відповідь Ви можете оплатити документ під час отримання на руки у кур'єра після того, як перевірите правильність заповнення та якість виконання диплома. Також це можна зробити в офісі поштових компаній, що пропонують послуги післяплати.
Всі умови доставки та оплати документів розписані у розділі «Оплата та доставка». Також готові вислухати Ваші пропозиції щодо умов доставки та оплати за документ.

Чи можу я бути певна, що після оформлення замовлення ви не зникнете з моїми грошима? Відповідь У сфері виготовлення дипломів у нас є досить тривалий досвід роботи. У нас є кілька сайтів, які постійно оновлюються. Наші фахівці працюють у різних куточках країни, виготовляючи понад 10 документів на день. За роки роботи наші документи допомогли багатьом людям вирішити проблеми працевлаштування або перейти до більш високооплачувана робота. Ми заробили довіру та визнання серед клієнтів, тому у нас зовсім немає причин чинити таким чином. Тим більше, що це просто неможливо зробити фізично: Ви оплачуєте своє замовлення в момент отримання на руки, передоплати немає.

Чи можу я замовити диплом будь-якого ВНЗ? Відповідь Загалом, так. Ми працюємо у цій сфері майже 12 років. За цей час сформувалася практично повна база видаваних документів майже всіх ВНЗ країни та різні рокивидачі. Все, що Вам потрібно – вибрати ВНЗ, спеціальність, документ та заповнити форму замовлення.

Що робити при виявленні в документі помилок та помилок? Відповідь Отримуючи документ у нашого кур'єра або поштової компанії, ми рекомендуємо ретельно перевірити всі деталі. Якщо буде виявлена ​​помилка, помилка або неточність, Ви маєте право не забирати диплом, при цьому потрібно вказати виявлені недоліки особисто кур'єру або письмовому вигляді, надіславши лист на електронну пошту.
У найкоротший термін ми виправимо документ та повторно відправимо на вказану адресу. Зрозуміло, що пересилання буде оплачено нашою компанією.
Щоб уникнути подібних непорозумінь, перед тим, як заповнювати оригінальний бланк, ми надсилаємо на пошту замовнику макет майбутнього документа для перевірки та затвердження остаточного варіанта. Перед надсиланням документа кур'єром або поштою ми також робимо додаткове фотота відео (в т. ч. в ультрафіолетовому світінні), щоб Ви мали наочне уявлення про те, що отримаєте у підсумку.

Що потрібно зробити, щоб замовити диплом у вашій компанії? Відповідь Для замовлення документа (атестата, диплома, академічної довідки та ін.) необхідно заповнити онлайн форму замовлення на нашому сайті або повідомити свою електронну пошту, щоб ми вислали вам бланк анкети, який потрібно заповнити і надіслати назад нам.
Якщо ви не знаєте, що вказати в якомусь полі форми замовлення/анкети, залиште їх незаповненими. Всю інформацію, що бракує, ми тому уточнимо в телефонному режимі.

Останні відгуки

Валентина:

Ви врятували нашого сина від звільнення! Справа в тому, що недоучившись в інституті, син пішов до армії. А повернувшись, відновлюватись не захотів. Працював без диплома. Але нещодавно почали звільняти всіх, хто не має скоринки. Тож вирішили звернутися до вас і не пошкодували! Тепер спокійно працює та нічого не боїться! Спасибі!

Формули подвійного кута служать для вираження синусів, косінусів, тангенсів, котангенсів кута зі значенням 2 α, використовуючи тригонометричні функції кута α. Ця стаття познайомить із усіма формулами подвійного кута з доказами. Буде розглянуто приклади застосування формул. У заключній частині буде показано формули потрійного, четверного кутів.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Список формул подвійного кута

Для перетворення формул подвійного кута слід пам'ятати про те, що кути в тригонометрії мають вигляд n α запису, де n є натуральним числом, значення вираз записується без дужок. Таким чином, вважається, що запис sin n α має те саме значення, що і sin (n α) . При позначенні sin n α маємо аналогічний запис (sin α) n . Використання запису застосовується для всіх тригонометричних функційзі ступенями n.

Нижче наведено формули подвійного кута:

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α, cos 2 α = 1 - 2 · sin 2 α, cos 2 α = 2 · cos 2 α - 1 tg 2 α = 2 · tg α 1 - tg 2 α ctg 2 α - ctg 2 α - 1 2 · ctg α

Зазначимо, що дані формули sin та cos застосовні з будь-яким значенням кута α. Формула тангенса подвійного кута справедлива за будь-якого значення α , де t g 2 α має сенс, тобто α ≠ π 4 + π 2 · z , z є будь-яким цілим числом. Котангенс подвійного кута існує за будь-якого α, де c t g 2 α визначено на α ≠ π 2 · z .

Косинус подвійного кута має потрійний запис подвійного кута. Усі вони є застосовними.

Доказ формул подвійного кута

Доказ формул бере початок із формул додавання. Застосуємо формули синуса суми:

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β і косинуса суми cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β . Припустимо, що β = α тоді отримаємо, що

sin (α + α) = sin α · cos α + cos α · sin α = 2 · sin α · cos α та cos (α + α) = cos α · cos α - sin α · sin α = cos 2 α - sin 2 α

Таким чином доводяться формули синуса і косинуса подвійного кута sin 2 α = 2 · sin α · cos α і cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α.

Інші формули cos 2 α = 1 - 2 · sin 2 α і cos 2 α = 2 · cos 2 α - 1 приводять до вигляду cos 2 α = cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α при заміні 1 на суму квадратів за основною тотожністю sin 2 α + cos 2 α = 1 . Отримуємо, що sin 2 + cos 2 α = 1 . Так 1 - 2 · sin 2 α = sin 2 α + cos 2 α - 2 · sin 2 α = cos 2 α - sin 2 α і 2 · cos 2 α - 1 = 2 · cos 2 α - (sin 2 α + cos 2 α) = cos 2 α - sin 2 α.

Для доказу формул подвійного кута тангенсу і котангенсу застосуємо рівності t g 2 α = sin 2 α cos 2 α і c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α. Після перетворення отримаємо, що tg 2 α = sin 2 α cos 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α - sin 2 α і ctg 2 α = cos 2 α sin 2 α = cos 2 α - sin 2 α 2 · sin α · cos α. Розділимо вираз на cos 2 α де cos 2 α ≠ 0 з будь-яким значенням α , коли t g α визначений. Інший вираз поділимо на sin 2 α де sin 2 α ≠ 0 з будь-якими значеннями α , коли c t g 2 α має сенс. Щоб довести формулу подвійного кута для тангенсу та котангенсу, підставимо та отримаємо:

- Напевно зустрінуться завдання по тригонометрії. Тригонометрію часто не люблять за необхідність зубрити величезну кількість важких формул, що кишать синусами, косинусами, тангенсами та котангенсами. На сайті вже колись давалися поради, як згадати забуту формулу, на прикладі формул Ейлера та Піля.

А в цій статті ми постараємося показати, що достатньо твердо знати лише п'ять найпростіших тригонометричних формул, а про інших мати загальне уявлення та виводити їх у процесі справи. Це як із ДНК: у молекулі не зберігаються повні креслення готової живої істоти. Там містяться, швидше, інструкції щодо його збирання з наявних амінокислот. Так і в тригонометрії, знаючи деякі загальні принципиМи отримаємо всі необхідні формули з невеликого набору тих, які потрібно обов'язково пам'ятати.

Спиратимемося на такі формули:

З формул синуса та косинуса сум, знаючи про парність функції косинуса та про непарність функції синуса, підставивши -b замість b, отримуємо формули для різниць:

1. Синус різниці: sin(a-b) = sinacos(-b)+cosasin(-b) = sinacosb-cosasinb
2. Косинус різниці: cos(a-b) = cosacos(-b)-sinasin(-b) = cosacosb+sinasinb

Поставляючи ці ж формули a = b, отримуємо формули синуса і косинуса подвійних кутів:

1. Синус подвійного кута: sin2a = sin(a+a) = sinacosa+cosasina = 2sinacosa
2. Косинус подвійного кута: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-sinasina = cos2 a-sin2 a

Аналогічно виходять і формули інших кратних кутів:

1. Синус потрійного кута: sin3a = sin(2a+a) = sin2acosa+cos2asina = (2sinacosa)cosa+(cos2 a-sin2 a)sina = 2sinacos2 a+sinacos2 a-sin 3 a = 3 sinacos2 a-sin 3 a = 3 sina(1-sin2 a)-sin 3 a = 3 sina-4sin 3 a
2. Косинус потрійного кута: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-sin2asina = (cos2 a-sin2 a)cosa-(2sinacosa)sina = cos 3 a- sin2 acosa-2sin2 acosa = cos 3 a-3 sin2 acosa = cos 3 a-3(1- cos2 a)cosa = 4cos 3 a-3 cosa

Перш ніж рухатись далі, розглянемо одне завдання.
Дано: кут – гострий.
Знайти його косинус, якщо
Рішення, дане одним учнем:
Т.к. , то sina= 3,а cosa = 4.
(З математичного гумору)

Отже, визначення тангенсу пов'язує цю функцію і з синусом і з косинусом. Але можна отримати формулу, що дає зв'язок тангенсу лише з косинусом. Для її виведення візьмемо головне тригонометрична тотожність: sin 2 a+cos 2 a= 1 і розділимо його на cos 2 a. Отримаємо:

Отже, вирішенням цього завдання буде:

(Т.к. кут гострий, при витягуванні кореня береться знак +)

Формула тангенсу суми – ще одна, що важко піддається запам'ятовуванню. Виведемо її так:

Відразу виводиться і

З формули косинуса подвійного кута можна отримати формули синуса та косинуса для половинного. Для цього до лівої частини формули косинуса подвійного кута:
cos2 a = cos 2 a-sin 2 a
додаємо одиницю, а правої – тригонометричну одиницю, тобто. суму квадратів синуса та косинуса.
cos2a+1 = cos2 a-sin2 a+cos2 a+sin2 a
2cos 2 a = cos2 a+1
Висловлюючи cosaчерез cos2 aта виконуючи заміну змінних, отримуємо:

Знак береться залежно від квадранту.

Аналогічно, відібравши від лівої частини рівності одиницю, а від правої - суму квадратів синуса та косинуса, отримаємо:
cos2a-1 = cos2 a-sin2 a-cos2 a-sin2 a
2sin 2 a = 1-cos2 a

І, нарешті, щоб перетворити суму тригонометричних функцій на твір, використовуємо наступний прийом. Припустимо, нам потрібно подати у вигляді твору суму синусів sina+sinb. Введемо змінні x та y такі, що a = x+y, b+x-y. Тоді
sina+sinb = sin(x+y)+ sin(x-y) = sin x cos y+ cos x sin y+ sin x cos y- cos x sin y = 2 sin x cos y. Виразимо тепер x та y через a та b.

Оскільки a = x+y, b = x-y, то . Тому

Відразу ж можна вивести

1. Формулу для розбиття твори синуса та косинусав суму: sinacosb = 0.5(sin(a+b)+sin(a-b))

Рекомендуємо потренуватися і вивести самостійно формули для перетворення на твір різниці синусів та суми та різниці косінусів, а також для розбиття у суму творів синусів та косинусів. Виконавши ці вправи, ви досконально освоїте майстерність виведення тригонометричних формул і не втратитеся навіть на найскладнішій контрольній, олімпіаді або тестуванні.