Які числа є натуральними? Вивчення точного предмета: натуральні числа - це якісь числа, приклади і властивості

Натуральні числа - одне з найстаріших математичних понять.

У далекому минулому люди не знали чисел і, коли їм потрібно було перерахувати предмети (тварини, рибу тощо), вони робили це не так, як ми зараз.

Кількість предметів порівнювали з частинами тіла, наприклад, з пальцями на руці й казали: "У мене стільки ж горіхів, скільки пальців на руці".

Згодом люди зрозуміли, що п'ять горіхів, п'ять кіз і п'ять зайців мають спільну властивість — їх кількість дорівнює п'яти.

Запам'ятайте!

Натуральні числа- Це числа, починаючи з 1, одержувані за рахунку предметів.

1, 2, 3, 4, 5…

Найменше натуральне число — 1 .

Найбільшого натурального числане існує.

При рахунку нуль не використовується. Тому нуль не вважається натуральним числом.

Записувати числа люди навчилися набагато пізніше, ніж рахувати. Раніше вони стали зображати одиницю однією паличкою, потім двома паличками — число 2 , трьома — число 3 .

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Потім з'явилися й спеціальні знаки для позначення чисел — попередники сучасних цифр. Цифри, якими ми користуємося для запису чисел, народилися в Індії приблизно 1500 років тому. В Європу їх привезли араби, тому їх називають арабськими цифрами.

Усього цифр десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . За допомогою цих цифр можна записати будь-яке натуральне число.

Запам'ятайте!

Натуральний ряд- Це послідовність всіх натуральних чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

У натуральному ряду кожне число більше від попереднього на 1 .

Натуральний ряд нескінченний, найбільшої натуральної кількості в ньому не існує.

Систему рахунку (числення), яку ми користуємося, називають десяткової позиційної.

Десятковою тому, що 10 одиниць кожного розряду утворюють 1 одиницю старшого розряду. Позиційної тому, що значення цифри залежить від її місця у записі числа, тобто від розряду, у якому вона записана.

Важливо!

Наступні за мільярдом класи названі відповідно до латинських найменувань чисел. Кожна наступна одиниця містить тисячу попередніх.

• 1 000 мільярдів = 1 000 000 000 000 = 1 трильйон («три» - латиною «три»)
• 1 000 трильйонів = 1 000 000 000 000 000 = 1 квадрильйон ("квадра" - латиною "чотири")
• 1 000 квадрильйонів = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 квінтильйон («квінта» — латиною «п'ять»)

Однак, фізики знайшли число, яке перевищує кількість всіх атомів (найдрібніших частинок речовини) у всьому Всесвіті.

Це число отримало спеціальну назву. гугол. Гугол — число, яке має 100 нулів.

Натуральні числа– натуральні числа – це числа, які використовуються для рахунку предметів. Багато всіх натуральних чисел іноді називають натуральним рядом: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, і т.д.

Для запису натуральних чисел використовують десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. За допомогою них можна записати будь-яке натуральне число. Такий запис чисел називається десятковим.

Натуральний ряд чисел можна продовжувати безкінечно. Немає такого числа, яке було б останнє, тому що до останнього числа завжди можна додати одиницю і вийде число, яке вже більше шуканого. У такому разі кажуть, що у натуральному ряду немає найбільшого числа.

Розряди натуральних чисел

У запису будь-якого числа за допомогою цифр, місце на якому цифра стоїть у числі має вирішальне значення. Наприклад, цифра 3 означає: 3 одиниці, якщо вона стоятиме в числі на останньому місці; 3 десятки, якщо вона стоятиме в числі на передостанньому місці; 4 сотні, якщо вона стоятиме в числі на третьому місці з кінця.

Остання цифра означає розряд одиниць, передостання – розряд десятків, 3 із кінця – розряд сотень.

Однозначні та багатозначні цифри

Якщо в якомусь розряді числа стоїть цифра 0, це означає, що в цьому розряді немає одиниць.

За допомогою цифри 0 позначається нуль. Нуль це «жодного».

Нуль не відноситься до натуральних чисел. Хоча деякі математики вважаю інакше.

Якщо число складається з однієї цифри його називають однозначним, із двох – двозначним, із трьох – тризначними, тощо.

Числа які є однозначними ще називають багатозначними.

Класи із цифр для читання великих натуральних чисел

Для читання великих натуральних чисел число розбивають на групи з трьох цифр, починаючи з правого краю. Ці групи називають класи.

Перші три цифри правого краю становлять клас одиниць, наступні три – клас тисяч, наступні три – клас мільйонів.

Мільйон – тисяча тисяч, для запису використовують скорочення млн. 1 млн. = 1000000.

Мільярд = це тисяча мільйонів. Для запису використовують скорочення млрд. 1 млрд. = 1000000000.

Приклад запису та читання

Це число має у класі мільярдів 15 одиниць, 389 одиниць у класі мільйонів, нуль одиниць у класі тисяч та 286 одиниць у ласі одиниць.

Це число читається так: 15 млрд 389 млн 286.

Читають числа зліва направо. По черзі називають число одиниць кожного класу та потім додають назву класу.

Натуральні числа є звичними людині та інтуїтивно зрозумілими, адже вони оточують нас із самого дитинства. У статті нижче ми дамо базове уявлення про сенс натуральних чисел, опишемо основні навички їх запису та читання. Вся теоретична частина супроводжуватиметься прикладами.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Загальне уявлення про натуральні числа

На певному етапі розвитку людства виникла задача підрахунку деяких предметів та позначення їх кількості, що, своєю чергою, зажадало знаходження інструменту для вирішення цього завдання. Таким інструментом стали натуральні числа. Зрозуміло і основне призначення натуральних чисел – давати уявлення про кількість предметів або порядковий номер конкретного предмета, якщо йдеться про безліч.

Логічно, що для використання людиною натуральних чисел необхідно мати спосіб їх сприймати і відтворювати. Так, натуральне число можна озвучити чи зобразити, що є природними способами передачі.

Розглянемо базові навички озвучування (читання) та зображення (запису) натуральних чисел.

Десятковий запис натурального числа

Згадаймо, як зображаються такі знаки (зазначимо їх через кому): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Вказані знаки ми називаємо цифрами.

Тепер візьмемо зазвичай, що з зображенні (запису) будь-якого натурального числа використовуються лише зазначені цифри без участі будь-яких інших символів. Нехай цифри при записі натурального числа мають однакову висоту, записуються одна за одною в рядок і зліва завжди знаходиться цифра, відмінна від нуля.

Вкажемо приклади правильного запису натуральних чисел: 703, 881, 13, 333, 1023, 7, 500 001. Відступи між цифрами не завжди однакові, про це буде сказано нижче при вивченні класів чисел. Задані приклади показують, що з запису натурального числа необов'язково повинні бути присутніми всі цифри із зазначеного вище ряду. Деякі або всі можуть повторюватися.

Визначення 1

Записи виду: 065, 0, 003, 0791 є записами натуральних чисел, т.к. зліва розташовується цифра 0 .

Вірний запис натурального числа, вироблений з урахуванням усіх описаних вимог, називається десятковим записом натурального числа.

Кількісний сенс натуральних чисел

Як було зазначено, натуральні числа спочатку несуть у собі, зокрема, кількісний сенс. Натуральні числа як інструмент нумерації розглянуті в темі про порівняння натуральних чисел.

Приступимо до натуральних чисел, записи яких збігаються із записами цифр, тобто: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

Уявімо якийсь предмет, наприклад, такий: Ψ . Можна записати, що ми бачимо 1 предмет. Натуральне число 1 читається як один або одиниця. Термін «одиниця» має й інше значення: щось, що можна як єдине ціле. Якщо є безліч, будь-який елемент його можна буде позначити одиницею. Наприклад, з безлічі мишей кожна миша – одиниця; будь-яка квітка з безлічі кольорів – одиниця.

Тепер уявімо: Ψ Ψ . Ми бачимо один предмет і ще одне предмет, тобто. у запису це буде – 2 предмети. Натуральне число 2 читаємо як "два".

Далі, за аналогією: Ψ Ψ Ψ – 3 предмети («три»), Ψ Ψ Ψ Ψ – 4 («чотири»), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 5 («п'ять»), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 6 («шість»), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 7 («сім»), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 8 («вісім»), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ дев'ять»).

З вказаної позиції функція натурального числа полягає у вказівці кількостіпредметів.

Визначення 1

Якщо запис числа збігається із записом цифри 0, то таке число називають "нуль".Нуль - не натуральне число, але розглядають його разом із іншими натуральними числами. Нуль означає відсутність, тобто. нуль предметів означає – жодного.

Однозначні натуральні числа

Очевидний факт, що, записуючи кожне з натуральних чисел, про які вище йшлося (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), ми використовуємо один знак – одну цифру.

Визначення 2

Однозначне натуральне число- Натуральне число, при запису якого використовується один знак - одна цифра.

Однозначних натуральних чисел дев'ять: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Двозначні та тризначні натуральні числа

Визначення 3

Двозначні натуральні числа– натуральні числа, під час запису яких використовуються два знаки – дві цифри. У цьому використовувані цифри може бути як однакові, і різні.

Наприклад, натуральні числа 71, 64, 11 – двозначні.

Розглянемо, який сенс у двозначних числах. Спиратимемося на вже відомий нам кількісний сенс однозначних натуральних чисел.

Введемо таке поняття як "десяток".

Представимо безліч предметів, що складається з дев'яти та ще одного. У такому разі можна говорити про 1 десяток («один десяток») предметів. Якщо уявити один десяток і ще один, то йтиметься про 2 десятки («два десятки»). Додавши до двох десятків ще один, отримаємо три десятки. І так далі: продовжуючи додавати по одному десятку, ми отримуватимемо чотири десятки, п'ять десятків, шість десятків, сім десятків, вісім десятків і, нарешті, дев'ять десятків.

Подивимося двозначне число, як у набір однозначних чисел, одне з яких записується праворуч, інше – зліва. Число ліворуч позначатиме кількість десятків у складі натурального числа, а число справа – кількість одиниць. Якщо справа розташована цифра 0 , то ми говоримо про відсутність одиниць. У вищезгаданому і полягає кількісний сенс натуральних двоцифрових чисел. Усього їх - 90.

Визначення 4

Тризначні натуральні числа– натуральні числа, під час запису яких використовуються три знаки – три цифри. Цифри можуть бути різними або такими, що повторюються в будь-якому поєднанні.

Наприклад, 413, 222, 818, 750 - тризначні натуральні числа.

Щоб зрозуміти кількісний сенс тризначних натуральних чисел, введемо поняття "Сотня".

Визначення 5

Одна сотня (1 сотня)- Це безліч, що складається з десяти десятків. Сотня та ще одна сотня становитимуть 2 сотні. Додамо ще одну сотню та отримаємо 3 сотні. Додаючи поступово по одній сотні, отримаємо: чотири сотні, п'ять сотень, шість сотень, сім сотень, вісім сотень, дев'ять сотень.

Розглянемо саму запис тризначного числа: однозначні натуральні числа, що входять до нього, записуються одне за одним зліва направо. Крайнє праве однозначне число свідчить про кількість одиниць; наступне однозначне число лівіше – кількість десятків; крайнє ліве однозначне число – кількість сотень. Якщо в записі бере участь цифра 0, вона вказує на відсутність одиниць та/або десятків.

Так, тризначне натуральне число 402 означає: 2 одиниці, 0 десятків (відсутні десятки, не об'єднані в сотні) та 4 сотні.

За аналогією дається визначення чотиризначних, п'ятицифрових і так далі натуральних чисел.

Багатозначні натуральні числа

Від усього вищесказаного тепер можна перейти до визначення багатозначних натуральних чисел.

Визначення 6

Багатозначні натуральні числа- Натуральні числа, при записі яких використовуються два і більше знаків. Багатозначні натуральні числа – це двозначні, тризначні тощо числа.

Одна тисяча - безліч, що включає десять сотень; один мільйон складається із тисячі тисяч; один мільярд – тисяча мільйонів; один трильйон – тисяча мільярдів. Ще більші множини також мають назви, але їх використання рідко.

Аналогічно принципу вище, ми можемо розглянути будь-яке багатозначне натуральне число, як набір однозначних натуральних чисел, кожне з яких, перебуваючи на певному місці, свідчить про наявність та кількість одиниць, десятків, сотень, тисяч, десятків тисяч, сотень тисяч, мільйонів, десятків мільйонів , сотень мільйонів, мільярдів тощо (праворуч ліворуч відповідно).

Наприклад, багатозначне число 4912305 містить у собі: 5 одиниць, 0 десятків, три сотні, 2 тисячі, 1 десяток тисяч, 9 сотень тисяч і 4 мільйони.

Резюмуючи, ми розглянули навичку угруповання одиниць у різні множини (десятки, сотні і т.д.) і побачили, що цифри запису багатозначного натурального числа є позначенням кількості одиниць у кожному з таких множин.

Читання натуральних чисел, класи

Теоретично вище ми позначили назви натуральних чисел. У таблиці 1 вкажемо, як правильно використовувати назви однозначних натуральних чисел у мові та при буквеному записі:

Число	Чоловічий рід	Жіночий рід	Середній рід
1 2 3 4 5 6 7 8 9	Один Два Три Чотири П'ять Шість Сім Вісім Дев'ять	Одна Дві Три Чотири П'ять Шість Сім Вісім Дев'ять	Одне Два Три Чотири П'ять Шість Сім Вісім Дев'ять

Число	Називний відмінок	Родовий відмінок	Давальний відмінок	Знахідний відмінок	Орудний відмінок	Відмінок
1 2 3 4 5 6 7 8 9	Один Два Три Чотири П'ять Шість Сім Вісім Дев'ять	Одного Двох Трьох Чотирьох П'яти Шість Семи Восьми Дев'яти	Одному Двом Трьом Чотирьом П'яти Шість Семи Восьми Дев'яти	Один Два Три Чотири П'ять Шість Сім Вісім Дев'ять	Одним Двома Трьома Чотири П'ятьма Шістьма Сім'ю Восьмю Дев'яттю	Про одне Про два Про три Про чотири Про п'ять Про шість Про сім Про вісім Про дев'ять

Для грамотного прочитання та написання двоцифрових чисел, необхідно вивчити дані таблиці 2:

Число	Чоловічий, жіночий та середній рід
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	Десять Одинадцять Дванадцять Тринадцять Чотирнадцять П'ятнадцять Шістнадцять Сімнадцять Вісімнадцять Дев'ятнадцять Двадцять Тридцять Сорок П'ятдесят Шістдесят Сімдесят Вісімдесят Дев'яносто

Число	Називний відмінок	Родовий відмінок	Давальний відмінок	Знахідний відмінок	Орудний відмінок	Відмінок
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	Десять Одинадцять Дванадцять Тринадцять Чотирнадцять П'ятнадцять Шістнадцять Сімнадцять Вісімнадцять Дев'ятнадцять Двадцять Тридцять Сорок П'ятдесят Шістдесят Сімдесят Вісімдесят Дев'яносто	Десяти Одинадцяти Дванадцятьох Тринадцять Чотирнадцяти П'ятнадцять Шістнадцяти Сімнадцяти Вісімнадцяти Дев'ятнадцять Двадцять Тридцять Сорока П'ятдесяти Шістдесяти Сімдесяти Вісімдесяти Дев'яноста	Десяти Одинадцяти Дванадцятьох Тринадцять Чотирнадцяти П'ятнадцять Шістнадцяти Сімнадцяти Вісімнадцяти Дев'ятнадцять Двадцять Тридцять Сорока П'ятдесяти Шістдесяти Сімдесяти Вісімдесяти Дев'яноста	Десять Одинадцять Дванадцять Тринадцять Чотирнадцять П'ятнадцять Шістнадцять Сімнадцять Вісімнадцять Дев'ятнадцять Двадцять Тридцять Сорок П'ятдесят Шістдесят Сімдесят Вісімдесят Дев'яносто	Десятьма Одинадцятьма Дванадцятьма Тринадцятьма Чотирнадцятьма П'ятнадцять Шістнадцять Сімнадцятьма Вісімнадцятьма Дев'ятнадцять Двадцятьом Тридцятьма Сорока П'ятдесятьом Шістдесятьом Сімдесятьох Вісімдесятьма Дев'яністю	Про десять Про одинадцять Про дванадцять Про тринадцять Про чотирнадцять Про п'ятнадцять Про шістнадцять Про сімнадцять Про вісімнадцять Про дев'ятнадцять Про двадцять Про тридцять Про сорок Про п'ятдесят Про шістдесят Про сімдесят Про вісімдесять Про дев'яносто

Для читання інших натуральних двоцифрових чисел будемо використовувати дані обох таблиць, розглянемо це на прикладі. Допустимо, нам необхідно прочитати натуральне двоцифрове число 21 . Це містить у собі 1 одиницю і 2 десятки, тобто. 20 та 1 . Звернувшись до таблиць, прочитаємо зазначене число як "двадцять один", при цьому союз "і" між словами вимовляти не потрібно. Допустимо, нам необхідно використовувати вказане число 21 у певній пропозиції, вказуючи на кількість предметів у родовому відмінку: «немає 21 яблука». Звучати у разі вимова буде так: «немає двадцяти одного яблука».

Наведемо ще приклад: число 76 , яке прочитається як «сімдесят шість» і, наприклад – «сімдесятьма шістьма тоннами».

Число	Називний відмінок	Родовий відмінок	Давальний відмінок	Знахідний відмінок	Орудний відмінок	Відмінок
100 200 300 400 500 600 700 800 900	Сто Двісті Триста Чотириста П'ятсот Шість сотень Сімсот Вісімсот Дев'ятсот	Ста Двохсот Триста Чотирьохсот П'ятисот Шестісот Семисот Вісімсот Дев'ятсот	Ста Двомстам Тремстам Чотирьомстам П'ятистам Шестистам Семістам Восьмистам Дев'ятистам	Сто Двісті Триста Чотириста П'ятсот Шість сотень Сімсот Вісімсот Дев'ятсот	Ста Двомастами Тремстами Чотирьомстами П'ятистами Шестистами Семістами Восьмиста Дев'ятистами	Про сто Про двісті Про триста Про чотириста Про п'ятисот Про шістсот Про семистів Про вісімсот Про дев'ятсот

Щоб повністю прочитати тризначне число, також використовуємо дані всіх таблиць. Наприклад, дано натуральне число 305 . Даному числу відповідає 5 одиниць, 0 десятків і 3 сотні: 300 та 5 . Взявши за основу таблиці, прочитаємо: «триста п'ять» або в відміні відмінків, наприклад, так: «трьома сотнями п'яти метрів».

Прочитаємо ще одне число: 543 . Згідно з правилами таблиць, звучати вказане число буде так: «п'ятсот сорок три» або в відміні відмінків, наприклад, так: «немає п'ятсот сорока трьох рублів».

Перейдемо до загального принципу читання багатозначних натуральних чисел: щоб прочитати багатозначне число, необхідно розбити його праворуч у групи по три цифри, причому в крайній лівій групі може бути 1, 2 або 3 цифри. Такі групи називають класами.

Крайній правий клас – клас одиниць; потім наступний клас, ліворуч – клас тисяч; далі – клас мільйонів; потім слідує клас мільярдів, за ним - клас трильйонів. Наступні класи також мають назву, але натуральні числа, що складаються з великої кількості знаків (16, 17 і більше), рідко використовуються на читанні, сприймати їх на слух досить важко.

Для зручності сприйняття записи класи відокремлюють один від одного невеликим відступом. Наприклад, 31013736, 134678, 23476009434, 2533467001222.

Клас трильйонів	Клас мільярдів	Клас мільйонів	Клас тисяч	Клас одиниць
			134	678
		31	013	736
	23	476	009	434
2	533	467	001	222

Для прочитання багатозначного числа називаємо по черзі числа, що його становлять (ліворуч по класах, додаючи назву класу). Назва класу одиниць не вимовляється, і навіть не вимовляються ті класи, які становлять три цифри 0 . Якщо в складі одного класу зліва присутні одна або дві цифри 0, то вони при прочитанні ніяк не використовуються. Наприклад, 054 прочитається як "п'ятдесят чотири" або 001 - як "один".

Приклад 1

Розберемо докладно читання числа 2533467001222:

Читаємо число 2 як складову класу трильйонів – «два»;

Додавши назву класу, отримаємо: «два трильйони»;

Читаємо таку кількість, додавши назву відповідного класу: «п'ятсот тридцять три мільярди»;

Продовжуємо за аналогією, зачитуючи наступний клас правіше: «чотириста шістдесят сім мільйонів»;

У наступному класі бачимо дві цифри 0 розташовані зліва. Згідно з вищезазначеними правилами читання, цифри 0 відкидаються і не беруть участь у читанні запису. Тоді отримаємо: "одна тисяча";

Читаємо останній клас одиниць, не додаючи його назву - "двісті двадцять два".

Таким чином, число 2533467001222 звучатиме так: два трильйона п'ятсот тридцять три мільярди чотириста шістдесят сім мільйонів одна тисяча двісті двадцять два. Використовуючи зазначений принцип, прочитаємо та інші задані числа:

31 013 736 – тридцять один мільйон тринадцять тисяч сімсот тридцять шість;

134 678 сто тридцять чотири тисячі шістсот сімдесят вісім;

23 476 009 434 – двадцять три мільярди чотириста сімдесят шість мільйонів дев'ять тисяч чотириста тридцять чотири.

Таким чином, основою правильного прочитання багатозначних чисел є навичка розбивати багатозначне число на класи, знання відповідних назв та розуміння принципу прочитання дво- та трицифрових чисел.

Як стає зрозуміло з усього вищесказаного, від позиції, де стоїть цифра у запису числа, залежить її значення. Тобто, наприклад, цифра 3 у складі натурального числа 314 означає кількість сотень, а саме – 3 сотні. Цифра 2 – кількість десятків (1 десяток), а цифра 4 – кількість одиниць (4 одиниці). При цьому ми говоритимемо, що цифра 4 знаходиться в розряді одиниць і є значенням розряду одиниць у заданому числі. Цифра 1 стоїть у розряді десятків і є значенням розряду десятків. Цифра 3 знаходиться в розряді сотень і є значенням розряду сотень.

Визначення 7

Розряд- це позиція цифри в записі натурального числа, а також значення цієї цифри, яке визначається її позицією в заданому числі.

Розряди мають свої назви, ми вже використовували їх вище. Справа ліворуч йдуть розряди: одиниць, десятків, сотень, тисяч, десятків тисяч тощо.

Для зручності запам'ятовування можна використовувати таку таблицю (зазначимо 15 розрядів):

Уточнимо таку деталь: кількість розрядів у заданому багатозначному числі така сама, як кількість знаків у складі запису числа. Наприклад, дана таблиця містить назви всіх розрядів для числа, у якому 15 символів. Наступні розряди також мають назви, але використовуються дуже рідко і дуже незручні для сприйняття на слух.

За допомогою такої таблиці можна напрацювати навичку визначення розряду, записуючи задане натуральне число в таблицю так, щоб крайня права цифра була записана в розряді одиниць і далі - в кожен розряд за цифрою. Наприклад, запишемо багатозначне натуральне число 56402513674 так:

Зверніть увагу на цифру 0 , що міститься в розряді десятків мільйонів – вона означає відсутність одиниць даного розряду.

Введемо також поняття нижчого і вищого розрядів багатозначного числа.

Визначення 8

Нижчий (молодший) розрядбудь-якого багатозначного натурального числа – розряд одиниць.

Вищий (старший) розрядбудь-якого багатозначного натурального числа - розряд, що відповідає крайній лівій цифрі запису заданого числа.

Так, наприклад, серед 41 781: нижчий розряд – розряд одиниць; найвищий розряд – розряд десятків тисяч.

Логічно слід, що можна говорити про старшинство розрядів щодо один одного. Кожен наступний розряд при русі ліворуч праворуч нижче (менше) попереднього. І навпаки: при русі справа наліво кожен наступний розряд вищий (старше) попереднього. Наприклад, розряд тисяч старший за розряд сотень, але молодший за розряд мільйонів.

Уточнимо, що при вирішенні деяких практичних прикладів використовується не саме натуральне число, а сума розрядних доданків заданого числа.

Коротко про десяткову систему числення

Визначення 9

Система зчислення– метод запису чисел з допомогою символів.

Позиційні системи числення– такі, у яких значення цифри у складі числа залежить від її позиції запису числа.

Згідно з цим визначенням, можна говорити про те, що, вивчаючи вище натуральні числа та спосіб їх запису, ми користувалися позиційною системою числення. Особливе місце тут відіграє 10 . Рахунок ми ведемо десятками: десять одиниць становлять десяток, десяток десятків об'єднається у сотню тощо. Число 10 є підставою цієї системи числення, і саму систему також називають десятковою.

Крім неї, існують інші системи числення. Наприклад, інформатика використовує бінарну систему. Коли ж ми ведемо рахунок часу, то використовуємо шістдесяткову систему числення.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Математика виділилася із загальної філософії приблизно у шостому столітті до н. е., і з цього моменту почалася її переможна хода світом. Кожен етап розвитку вносив щось нове - елементарний рахунок еволюціонував, перетворювався на диференціальне та інтегральне числення, змінювалися століття, формули ставали все заплутанішими, і настав той момент, коли «почалася найскладніша математика – з неї зникли всі числа». Але що лежало в основі?

Початок початків

Натуральні числа виникли поруч із першими математичними операціями. Раз корінець, два корінці, три корінці… З'явилися вони завдяки індійським ученим, які вивели першу позиційну

Слово «позиційність» означає, що розташування кожної цифри серед строго визначено і відповідає своєму розряду. Наприклад, числа 784 і 487 - цифри одні й самі, але числа є рівносильними, оскільки перше включає у собі 7 сотень, тоді як друге - лише 4. Нововведення індійців підхопили араби, які довели числа до того виду, що ми знаємо зараз.

У давнину числам надавалося містичне значення, Піфагор вважав, що число лежить в основі створення світу нарівні з основними стихіями – вогнем, водою, землею, повітрям. Якщо розглядати все лише з математичного боку, що таке натуральне число? Поле натуральних чисел позначається як N і є нескінченним рядом з чисел, які є цілими та позитивними: 1, 2, 3, … + ∞. Нуль виключається. Використовується в основному для підрахунку предметів та вказівки порядку.

Що таке у математиці? Аксіоми Пеано

Поле N є базовим, яке спирається елементарна математика. З часом виділяли поля цілих, раціональних,

Роботи італійського математика Джузеппе Пеано уможливили подальшу структуризацію арифметики, домоглися її формальності та підготували ґрунт для подальших висновків, що виходили за рамки області поля N.

Що таке натуральне число, було з'ясовано раніше простою мовою, нижче буде розглянуто математичне визначення з урахуванням аксіом Пеано.

• Одиниця вважається натуральним числом.
• Число, що йде за натуральним числом, є натуральним.
• Перед одиницею немає натурального числа.
• Якщо число b слід як за числом c, і за числом d, то c=d.
• Аксіома індукції, яка в свою чергу показує, що таке натуральне число: якщо деяке твердження, яке залежить від параметра, правильне для числа 1, то припустимо, що воно працює і для числа n з поля натуральних чисел N. Тоді твердження правильне і для n =1 із поля натуральних чисел N.

Основні операції для поля натуральних чисел

Оскільки поле N стало першим для математичних розрахунків, саме до нього ставляться як області визначення, і області значень низки операцій нижче. Вони бувають замкнутими і немає. Основною відмінністю і те, що замкнуті операції гарантовано залишають результат у межах множини N незалежно від цього, які числа задіяні. Достатньо того, що вони натуральні. Результат інших чисельних взаємодій не настільки однозначний і безпосередньо залежить від цього, що з числа беруть участь у вираженні, оскільки може суперечити основному визначенню. Отже, замкнуті операції:

• додавання - x + y = z де x, y, z включені в поле N;
• множення - x * y = z де x, y, z включені в поле N;
• зведення в ступінь - x y де x, y включені в поле N.

Інші операції, результат яких може існувати у тих визначення "що таке натуральне число", такі:

Властивості чисел, що належать полю N

Всі подальші математичні міркування будуть ґрунтуватися на таких властивостях, найтривіальніших, але від цього не менш важливих.

• Переміщувальна властивість додавання - x + y = y + x, де числа x, y включені в поле N. Або всім відоме "від зміни місць доданків сума не змінюється".
• Переміщувальна властивість множення - x * y = y * x де числа x, y включені в поле N.
• Сполучна властивість додавання - (x + y) + z = x + (y + z), де x, y, z включені в поле N.
• Сполучна властивість множення - (x * y) * z = x * (y * z), де числа x, y, z включені до поля N.
• розподільна властивість - x(y+z) = x*y+x*z, де числа x, y, z включені в поле N.

Таблиця Піфагора

p align="justify"> Одним з перших кроків у пізнанні школярами всієї структури елементарної математики після того, як вони усвідомили для себе, які числа називаються натуральними, є таблиця Піфагора. Її можна розглядати не лише з погляду науки, а й як найцінніший науковий пам'ятник.

Дана таблиця множення зазнала з часом ряду змін: з неї прибрали нуль, а числа від 1 до 10 позначають самі себе, без урахування порядків (сотні, тисячі...). Вона являє собою таблицю, в якій назви рядків і стовпців - числа, а вміст осередків їх перетину дорівнює їхньому ж твору.

У практиці навчання останніх десятиліть спостерігалася необхідність заучування таблиці Піфагора "по порядку", тобто спочатку йшло зазубривання. Множення на 1 виключалося, так як результат дорівнював 1 або більшому множнику. Тим часом у таблиці неозброєним поглядом можна помітити закономірність: добуток чисел зростає на один крок, який дорівнює назві рядка. Таким чином, другий множник показує нам, скільки разів потрібно взяти перший, щоб отримати потрібний твір. Ця система значно зручніша за ту, що практикувалася в середні віки: навіть розуміючи, що таке натуральне число і наскільки воно тривіальне, люди примудрялися ускладнювати собі повсякденний рахунок, користуючись системою, яка базувалася на ступенях двійки.

Підмножина як колиска математики

На даний момент поле натуральних чисел N розглядається лише як одне з підмножин комплексних чисел, але це не робить їх менш цінними в науці. Натуральне число - перше, що пізнає дитина, вивчаючи себе та навколишній світ. Раз пальчик, два пальчики... Завдяки йому у людини формується логічне мислення, а також уміння визначати причину і виводити слідство, готуючи ґрунт для великих відкриттів.

Визначення

Натуральними числами називаються числа, призначені для лічби предметів. Для запису натуральних чисел використовуються 10 арабських цифр (0–9), покладених у основу загальноприйнятої для математичних розрахунків десяткової системи числення.

Послідовність натуральних чисел

Натуральні числа становлять ряд, що починається з 1 і охоплює безліч всіх позитивних цілих чисел. Така послідовність складається із чисел 1,2,3, … . Це означає, що у натуральному ряду:

1. Є найменше і немає найбільшого.
2. Кожне наступне число більше за попереднє на 1 (виняток – сама одиниця).
3. При прагненні до нескінченності числа зростають необмежено.

Іноді до ряду натуральних чисел вводять і 0. Це припустимо, і тоді говорять про розширеномунатуральний ряд.

Класи натуральних чисел

Кожна цифра натуральної кількості виражає певний розряд. Сама остання – це кількість одиниць у числі, попередня перед нею – кількість десятків, третя від кінця – кількість сотень, четверта – кількість тисяч тощо.

• в числі 276: 2 сотні, 7 десятків, 6 одиниць
• серед 1098: 1 тисяча, 9 десятків, 8 одиниць; розряд сотень тут відсутній, оскільки виражений банкрутом.

Для великих і дуже великих чисел можна побачити стійку тенденцію (якщо досліджувати число праворуч наліво, тобто від останньої цифри до першої):

• три останні цифри в числі – це одиниці, десятки та сотні;
• три попередні – це одиниці, десятки та сотні тисяч;
• три стоять перед ними (тобто 7-а, 8-а та 9-а цифри числа, рахуючи від кінця) – це одиниці, десятки та сотні мільйонів тощо.

Тобто щоразу ми маємо справу з трьома цифрами, що означають одиниці, десятки та сотні більшої назви. Такі групи утворюють класи. І якщо з першими трьома класами у повсякденному житті доводиться мати справу більш менш часто, то інші слід перерахувати, тому що далеко не всі пам'ятають напам'ять їх назви.

• 4-й клас, що йде за класом мільйонів і являє собою числа з 10-12 цифр, називається мільярд (або мільярд);
• 5-й клас – трильйон;
• 6-й клас – квадрильйон;
• 7-й клас – квінтиліон;
• 8-й клас – секстильйон;
• 9-й клас – септилліон.

Додавання натуральних чисел

Складання натур.чисел є арифметичну дію, що дозволяє отримати число, в якому міститься стільки ж одиниць, скільки є в числах, що складаються разом.

Знаком додавання є знак «+». Складаються числа називаються доданками, отриманий результат - сумою.

Невеликі числа складають (підсумовують) усно, письмово такі дії записують у рядок.

Багатозначні числа, які додавати в голові важко, прийнято складати у стовпчик. Для цього числа записують одне під іншим, вирівнюючи за останньою цифрою, тобто пишуть розряд одиниць під розрядом одиниць, сотень під розрядом сотень і так далі. Далі потрібно попарно скласти розряди. Якщо складання розрядів відбувається з переходом через десяток, цей десяток фіксується як одиниця над розрядом зліва (тобто наступним його) і підсумовується разом із цифрами цього розряду.

Якщо стовпчик складається не 2, а більше чисел, то під час підсумовування цифр розряду надлишковим може бути десяток, а кілька. І тут наступного розряду переноситься кількість таких десятків.

Віднімання натуральних чисел

Віднімання – це арифметичне дію, зворотне додаванню, що зводиться до того що, що з наявної сумі й одному з доданків необхідно знайти інше – невідоме доданок. Число, з якого віднімають, називається зменшуваним; число, яке віднімають, - віднімається. Результат віднімання називають різницею. Знак, яким позначають дію віднімання, є «-».

При переході до складання віднімається і різницю перетворюються на доданки, а що зменшується – на суму. Додаванням зазвичай перевіряють правильність виконаного віднімання, і навпаки.

Тут 74 - зменшуване, 18 - віднімається, 56 - різницю.

Обов'язковою умовою при відніманні натуральних чисел є таке: що зменшується обов'язково має бути більше віднімається. Тільки в цьому випадку одержана різниця теж буде натуральним числом. Якщо дія вирахування здійснюється для розширеного натурального ряду, то допускається, щоб зменшуване було одно віднімається. І результатом віднімання у цьому випадку буде 0.

Примітка: якщо нулю одно віднімається, то операція віднімання не змінює величини зменшуваного.

Віднімання багатозначних чисел зазвичай виробляють стовпчик. Записують у своїй числа як і, як й у складення. Віднімання виконується для відповідних розрядів. Якщо ж виявляється, що менше віднімається, що зменшується, то беруть одиницю з попереднього (що знаходиться ліворуч) розряду, яка після перенесення, природно, перетворюється на 10. Цю десятку підсумовують з цифрою зменшуваного даного розряду і після цього виробляють віднімання. Далі при відніманні наступного розряду обов'язково враховують, що зменшується на 1 менше.

Добуток натуральних чисел

Твір (або множення) натуральних чисел – це арифметична дія, що є знаходженням суми довільної кількості однакових доданків. Для запису дії множення використовують знак "·" (іноді "×" або "*"). Наприклад: 3 · 5 = 15.

Дія множення незамінно за необхідності складати велику кількість доданків. Наприклад, якщо потрібно число 4 додати 7 разів, то перемножити 4 на 7 простіше, ніж виконувати таке додавання: 4+4+4+4+4+4+4.

Числа, які перемножують, називаються множниками, результат множення – твором. Відповідно, термін «твір» може залежно від контексту виражати собою як процес множення, і його результат.

Багатозначні числа перемножують у стовпчик. Для цього числа записують так само, як і для складання та віднімання. Рекомендується першим (вище) записувати те з 2-х чисел, яке довше. І тут процес множення буде простішим, отже, раціональнішим.

При множенні в стовпчик виконують послідовне множення цифри кожного з розрядів другого числа цифри 1-го числа, починаючи з кінця. Знайшовши перший такий твір, записують цифру одиниць, а цифру десятків тримають у голові. При множенні цифри 2-го числа на наступну цифру 1-го числа до твору додають ту цифру, яку тримають у голові. І знову записують цифру одиниць одержаного результату, а цифру десятків запам'ятовують. При множенні на останню цифру 1 числа отримане таким способом число записують повністю.

Результати множення цифри 2-го розряду другого числа записують другим рядом, змістивши на 1 клітинку вправо. І так далі. У результаті буде отримано «драбинку». Усі ряди цифр, що вийшли, слід скласти (за правилом складання в стовпчик). Порожні клітини у своїй слід вважати заповненими нулями. Отримана сума є кінцевий твір.

Примітка

1. Твір будь-якого натур. числа на 1 (або 1 на число) дорівнює самому числу. Наприклад: 376 · 1 = 376; 1 · 86 = 86.
2. Коли один з множників або обидва множники дорівнюють 0, то і добуток дорівнює 0. Наприклад: 32 · 0 = 0; 0 · 845 = 845; 0 · 0 = 0.

Поділ натуральних чисел

Поділом називають арифметичну дію, за допомогою якого за відомим твором та одним з множників може бути знайде інший – невідомий – множник. Поділ є дією, оберненою до множення, і використовується для перевірки правильності виконаного множення (і навпаки).

Число, яке ділять, називають ділимим; число, яке ділять, – дільником; результат розподілу називається приватним. Знаком розподілу є «:» (іноді, рідше – «÷»).

Тут 48 – ділене, 6 – дільник, 8 – приватне.

Не всі натуральні числа можна розділити між собою. У цьому випадку виконують поділ із залишком. Полягає воно в тому, що для дільника підбирається такий множник, щоб його добуток на дільник був би числом, максимально близьким за значенням до діленого, але меншим за нього. Дільник множать на цей множник і віднімають його з поділеного. Різниця і буде залишком від поділу. Добуток дільника на множник називають неповним приватним. Увага: залишок обов'язково повинен бути меншим за підібраний множник! Якщо залишок більший, це означає, що множник підібраний невірно, і його слід збільшити.

Підбираємо множник для 7. У разі це число 5. Знаходимо неповне приватне: 7·5=35. Обчислюємо залишок: 38-35 = 3. Оскільки 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

Багатозначні числа ділять на стовпчик. Для цього ділимо і дільник записують поруч, відокремивши дільник вертикальною та горизонтальною межею. У ділимому виділяють першу цифру або кілька перших цифр (праворуч), які повинні бути числом, мінімально достатнім для поділу на дільник (тобто це число має бути більшим за дільник). Для цього числа підбирають неповне приватне, як описано у правилі поділу із залишком. Цифру множника, використаного знаходження неповного приватного, записують під дільником. Неповне приватне записують під числом, яке ділили, вирівнявши його праворуч. Знаходять їхню різницю. Зносять наступну цифру поділеного, вписавши її поруч із цією різницею. Для отриманого числа знову знаходять неповне приватне, записавши цифру підібраного множника, поряд із попередньою під дільником. І так далі. Такі дії роблять доти, доки не закінчаться цифри поділеного. Після цього розподіл вважається завершеним. Якщо ділене і дільник діляться націло (без залишку), то остання різниця дасть нуль. В іншому випадку буде отримано кількість залишку.

Зведення в ступінь

Зведення у ступінь – це математична дія, що полягає у перемноженні довільної кількості однакових чисел. Наприклад: 2·2·2·2.

Такі вирази записуються як: a x,

де a– число, що перемножується саме на себе, x– кількість таких множників.

Прості та складові натуральні числа

Будь-яке натуральне число, крім 1, можна розділити щонайменше на 2 числа – на одиницю і саме себе. Виходячи з цього критерію, натуральні числа поділяють на прості та складові.

Простими вважаються числа, які діляться лише з 1 і саме себе. Числа, які діляться більш ніж ці 2 числа, називають складовими. Одиниця, що ділиться виключно на саму себе, не відноситься ні до простих, ні до складових.

Простими є числа: 2,3,5,7,11,13,17,19 тощо. Приклади складених чисел: 4 (ділиться на 1,2,4), 6 (ділиться на 1,2,3,6), 20 (ділиться на 1,2,4,5,10,20).

Будь-яке складове число можна розкласти на найпростіші множники. Під простими множниками у своїй розуміються його дільники, є простими числами.

Приклад розкладання на прості множники:

Дільники натуральних чисел

Під дільником розуміють число, на яке можна залишити розділити дане число.

Відповідно до цього визначення, прості натур. числа мають 2 дільники, складові - більше 2 дільників.

Багато чисел мають спільні дільники. Спільним дільником називається число, яке дані числа діляться без залишку.

• У чисел 12 та 15 спільний дільник 3
• У чисел 20 та 30 загальні дільники 2,5,10

Особливого значення має найбільший спільний дільник (НД). Це число, зокрема, корисно вміти знаходити скорочення дробів. Для його знаходження потрібно розкласти дані числа на прості множники і уявити його як добуток їх загальних простих множників, взятих у найменших степенях.

Потрібно знайти НОД чисел 36 та 48.

Подільність натуральних чисел

Далеко не завжди можна «на око» визначити, чи ділиться одне число на інше без залишку. У разі корисним виявляється відповідний ознака ділимості, тобто правило, яким за лічені секунди можна визначити, чи можна розділити числа без залишку. Для позначення ділимості використається знак «».

Найменше загальне кратне

Ця величина (позначається НОК) є найменшим числом, яке ділиться на кожне із заданих. НОК можна знайти для довільного набору натуральних чисел.

НОК, як і НОД, має значний прикладний сенс. Так, саме НОК слід шукати, приводячи прості дроби до спільного знаменника.

НОК визначається шляхом розкладання заданих чисел на прості множники. Для його формування береться твір, що складається з кожного з простих множників, що зустрічаються (хоча б для 1 числа), представлених максимально.

Потрібно знайти НОК чисел 14 та 24.

Середнє арифметичне

Середньою арифметичною довільною (але кінцевою) кількістю натуральних чисел є сума всіх цих чисел, розділена на кількість доданків:

Середнє арифметичне є деяке усереднене значення для числової множини.

Дано числа 2,84,53,176,17,28. Потрібно знайти їхнє середнє арифметичне.