Розв'язання тригонометричних рівнянь приклади. Тригонометричні рівняння

Методи вирішення тригонометричних рівнянь

Вступ 2

Методи розв'язання тригонометричних рівнянь 5

Алгебраїчний 5

Розв'язання рівнянь за допомогою рівності однойменних тригонометричних функцій 7

Розкладання на множники 8

Приведення до однорідного рівняння 10

Введення допоміжного кута 11

Перетворення твору на суму 14

Універсальна підстановка 14

Висновок 17

Вступ

До десятого класу порядок дій багатьох вправ, що веде до мети, зазвичай однозначно визначений. Наприклад, лінійні та квадратні рівняння та нерівності, дробові рівняннята рівняння, що приводяться до квадратних, тощо. Не розбираючи докладно принцип розв'язання кожного зі згаданих прикладів, відзначимо те спільне, що необхідно їхнього успішного решения.

Найчастіше треба встановити, якого типу належить завдання, згадати послідовність дій, які ведуть мети, і виконати ці дії. Вочевидь, що успіх чи неуспіх учня у оволодінні прийомами розв'язання рівнянь залежить головним чином від цього, наскільки він зможе правильно визначити тип рівняння і згадати послідовність всіх етапів його розв'язання. Вочевидь, у своїй передбачається, що учень має навички виконання тотожних перетвореньта обчислень.

Зовсім інша ситуація виходить, коли школяр зустрічається із тригонометричними рівняннями. При цьому встановити факт, що рівняння є тригонометричним, неважко. Складнощі виникають при знаходженні порядку дій, які призвели б позитивного результату. І тут перед учнем постають дві проблеми. за зовнішньому виглядурівняння важко визначити тип. А не знаючи типу, майже неможливо вибрати потрібну формулу з кількох десятків, що є у розпорядженні.

Щоб допомогти учням знайти вірну дорогу у складному лабіринті тригонометричних рівнянь, їх спочатку знайомлять із рівняннями, які після введення нової змінної наводяться до квадратних. Потім вирішують однорідні рівняння та приведені до них. Все закінчується, зазвичай, рівняннями, на вирішення яких треба розкласти на множники ліву частину, прирівнявши потім кожен із множників до нуля.

Розуміючи, що розібраних на уроках півтора десятка рівнянь явно недостатньо, щоб пустити учня в самостійне плавання тригонометричним "морем", вчитель додає від себе ще кілька рекомендацій.

Щоб розв'язати тригонометричне рівняння, треба спробувати:

Привести всі функції, що входять до рівняння до «однакових кутів»;

Привести рівняння до "однакових функцій";

Розкласти ліву частину рівняння на множники тощо.

Але, незважаючи на знання основних типів тригонометричних рівнянь і кількох принципів пошуку їх вирішення, багато учнів, як і раніше, опиняються в глухому куті перед кожним рівнянням, що незначно відрізняється від тих, що вирішувалися раніше. Залишається незрозумілим, чого слід прагнути, маючи те чи інше рівняння, чому в одному випадку треба застосовувати формули подвійного кута, у іншому - половинного, а третьому - формули складання тощо.

Визначення 1.Тригонометричним називається рівняння, у якому невідоме міститься під знаком тригонометричних функцій.

Визначення 2.Говорять, що у тригонометричному рівнянні однакові кути, якщо всі тригонометричні функції, що входять до нього, мають рівні аргументи. Кажуть, що у тригонометричному рівнянні однакові функції, якщо воно містить лише одну із тригонометричних функцій.

Визначення 3.Ступенем одночлена, що містить тригонометричні функції, називається сума показників ступенів тригонометричних функцій, що входять до нього.

Визначення 4.Рівняння називається однорідним, якщо всі одночлени, що входять до нього, мають один і той самий ступінь. Цей ступінь називається порядком рівняння.

Визначення 5.Тригонометричне рівняння, що містить лише функції sinі cos, називається однорідним, якщо всі одночлени щодо тригонометричних функцій мають однаковий ступінь, а самі тригонометричні функції мають рівні кути та число одночленів на 1 більше за порядок рівняння.

Методи розв'язання тригонометричних рівнянь.

Розв'язання тригонометричних рівнянь складається з двох етапів: перетворення рівняння для отримання його найпростішого виду та вирішення отриманого найпростішого тригонометричного рівняння. Існує сім основних методів розв'язання тригонометричних рівнянь.

I. Алгебраїчний метод.Цей метод добре відомий із алгебри. (Метод заміни змінний та підстановки).

Розв'язати рівняння.

Введемо позначення x=2 sin3 t, отримаємо

Вирішуючи це рівняння, отримуємо:
або

тобто. можна записати

При записі отриманого рішення через наявність знаків ступінь
записувати немає сенсу.

Відповідь:

Позначимо

Отримуємо квадратне рівняння
. Його корінням є числа
і
. Тому дане рівняння зводиться до найпростіших тригонометричних рівнянь
і
. Вирішуючи їх, знаходимо, що
або
.

Відповідь:
;
.

Позначимо

не задовольняє умові

Значить

Відповідь:

Перетворимо ліву частину рівняння:

Таким чином, це вихідне рівняння можна записати у вигляді:

, тобто.

Позначивши
, отримаємо
Розв'язавши це квадратне рівняння маємо:

не задовольняє умові

Записуємо рішення вихідного рівняння:

Відповідь:

Підстановка
зводить дане рівняння до квадратного рівняння
. Його корінням є числа
і
. Так як
, то задане рівняннякоріння немає.

Відповідь: коріння немає.

II. Вирішення рівнянь за допомогою рівності однойменних тригонометричних функцій.

а)
, якщо

б)
, якщо

в)
, якщо

Використовуючи ці умови, розглянемо рішення наступних рівнянь:

Користуючись сказаним у п. а) отримуємо, що рівняння має рішення в тому і лише в тому випадку, коли
.

Вирішуючи це рівняння, знаходимо
.

Маємо дві групи рішень:

.

7) Розв'язати рівняння:
.

Користуючись умовою п. б) виводимо, що
.

Вирішуючи ці квадратні рівняння, отримуємо:

8) Розв'язати рівняння
.

З цього рівняння виводимо, що . Вирішуючи це квадратне рівняння, знаходимо, що

.

III. Розкладання на множники.

Цей метод розглядаємо на прикладах.

9) Розв'язати рівняння
.

Рішення. Перенесемо всі члени рівняння вліво: .

Перетворимо і розкладемо на множники вираз у лівій частині рівняння:
.

1)
2)

Т.к.
і
не приймають значення нуль

одночасно, то розділимо обидві частини

рівняння на
,

Відповідь:

10) Розв'язати рівняння:

Рішення.

або

Відповідь:

11) Розв'язати рівняння

Рішення:

1)
2)
3)

Відповідь:

IV. Приведення до однорідного рівняння.

Щоб розв'язати однорідне рівняння треба:

Перенести всі його члени до лівої частини;

Винести всі загальні множники за дужки;

Прирівняти всі множники та дужки до нуля;

Дужки, прирівняні до нуля, дають однорідне рівняння меншою мірою, яке слід розділити на
(або
) у старшому ступені;

Вирішити отримане алгебраїчне рівняннящодо
.

Розглянемо приклади:

12) Розв'язати рівняння:

Рішення.

Розділимо обидві частини рівняння на
,

Вводячи позначення
, ім'ям

коріння цього рівняння:

звідси 1)
2)

Відповідь:

13) Розв'язати рівняння:

Рішення. Використовуючи формули подвійного кута та основне тригонометричне тотожність, наводимо дане рівняння до половинного аргументу:

Після приведення подібних доданків маємо:

Розділивши однорідне останнє рівняння на
, отримаємо

Позначу
, отримаємо квадратне рівняння
, корінням якого є числа

Таким чином

Вираз
звертається в нуль при
, тобто. при
,
.

Отримане нами рішення рівняння не включає дані числа.

Відповідь:
, .

V. Введення допоміжного кута.

Розглянемо рівняння виду

Де a, b, c- Коефіцієнти, x- Невідоме.

Розділимо обидві частини цього рівняння на

Тепер коефіцієнти рівняння мають властивості синуса і косинуса, саме: модуль кожного їх перевищує одиниці, а сума їх квадратів дорівнює 1.

Тоді можна позначити їх відповідно
(тут - Допоміжний кут) і наше рівняння набуває вигляду: .

Тоді

І його вирішення

Зауважимо, що введені позначення взаємозамінні.

14) Розв'язати рівняння:

Рішення. Тут
тому ділимо обидві частини рівняння на

Відповідь:

15) Розв'язати рівняння

Рішення. Так як
, то дане рівняння рівносильне рівнянню

Так як
, то існує такий кут, що
,
(Тобто.
).

Маємо

Так як
, то остаточно отримуємо:

Зауважимо, що рівняння виду мають рішення тоді і лише тоді, коли

16) Розв'язати рівняння:

Для вирішення цього рівняння згрупуємо тригонометричні функції з однаковими аргументами

Розділимо обидві частини рівняння на два

Перетворимо суму тригонометричних функцій на твір:

Відповідь:

VI. Перетворення твору на суму.

Тут застосовуються відповідні формули.

17) Розв'язати рівняння:

Рішення. Перетворимо ліву частину на суму:

VII.Універсальна підстановка.

ці формули вірні всім

Підстановка
називається універсальною.

18) Розв'язати рівняння:

Рішення: Замінимо та
на їхнє вираження через
і позначимо
.

Отримуємо раціональне рівняння
, яке перетворюється на квадратне
.

Корінням цього рівняння є числа
.

Тому завдання звелося до вирішення двох рівнянь
.

Знаходимо, що
.

Значення виду
вихідному рівнянню не задовольняє, що перевіряється перевіркою - підстановкою даного значення tу вихідне рівняння.

Відповідь:
.

Зауваження. Рівняння можна було вирішити іншим способом.

Розділимо обидві частини цього рівняння на 5 (тобто на
):
.

Так як
, то існує така кількість
, що
і
. Тому рівняння набуває вигляду:
або
. Звідси знаходимо, що
де
.

19) Розв'язати рівняння
.

Рішення. Оскільки функції
і
мають найбільше значення, рівне 1, їх сума дорівнює 2, якщо
і
одночасно, тобто
.

Відповідь:
.

При вирішенні цього рівняння застосовувалася обмеженість функцій та .

Висновок.

Працюючи над темою «Рішення тригонометричних рівнянь» кожному вчителю корисно виконувати наступні рекомендації:

Систематизувати методи розв'язання тригонометричних рівнянь.

Вибрати собі кроки з виконання аналізу рівняння та ознаки доцільності використання тієї чи іншої метод решения.

Продумати засоби самоконтролю своєї діяльності з реалізації методу.

Навчитися складати «свої» рівняння на кожен із методів, що вивчаються.

Додаток №1

Розв'яжіть однорідні або приведені до однорідних рівняння.

1.	Відп.
	Відп.

	Відп.
5.	Відп.
	Відп.
7.	Відп.
	Відп.

Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішної здачіЄДІ з математики на 60-65 балів. Повністю всі завдання 1-13 Профільного ЄДІпо математиці. Підходить також для здавання Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин та без помилок!

Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.

Уся необхідна теорія. Швидкі способирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 з Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.

Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.

Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання та теорія ймовірностей. Прості та легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, аналіз всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийомирішення, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База для вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.

Концепція розв'язання тригонометричних рівнянь.

Для розв'язання тригонометричного рівняння перетворіть його на одне або кілька основних тригонометричних рівнянь. Розв'язання тригонометричного рівняння зрештою зводиться до вирішення чотирьох основних тригонометричних рівнянь.

Розв'язання основних тригонометричних рівнянь.

Існують 4 види основних тригонометричних рівнянь:
sin x = a; cos x = a
tg x = a; ctg x = a
Вирішення основних тригонометричних рівнянь передбачає розгляд різних положень «х» на одиничному колі, а також використання таблиці перетворення (або калькулятора).
Приклад 1. sin x = 0,866. Використовуючи таблицю перетворення (або калькулятор) ви отримаєте відповідь: х = π/3. Одиничне коло дає ще одну відповідь: 2π/3. Запам'ятайте: всі тригонометричні функції періодичні, тобто їх значення повторюються. Наприклад, періодичність sin x та cos x дорівнює 2πn, а періодичність tg x та ctg x дорівнює πn. Тому відповідь записується так:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
Приклад 2. х = -1/2. Використовуючи таблицю перетворення (або калькулятор) ви отримаєте відповідь: х = 2π/3. Одиничне коло дає ще одну відповідь: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; х2 = -2π/3 + 2π.
Приклад 3. tg (x – π/4) = 0.
Відповідь: х = π/4 + πn.
Приклад 4. ctg 2x = 1732.
Відповідь: х = π/12 + πn.

Перетворення, що використовуються під час вирішення тригонометричних рівнянь.

Для перетворення тригонометричних рівнянь використовуються перетворення алгебри (розкладання на множники, приведення однорідних членіві т.д.) та тригонометричні тотожності.
Приклад 5. Використовуючи тригонометричні тотожності, рівняння sin x + sin 2x + sin 3x = 0 перетворюється на рівняння 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Таким чином, потрібно вирішити наступні основні тригонометричні рівняння: cos x = 0; sin (3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Знаходження кутів по відомим значеннямфункцій.
- Перед вивченням методів розв'язання тригонометричних рівнянь вам необхідно навчитися знаходити кути за відомими значеннями функцій. Це можна зробити за допомогою таблиці перетворення чи калькулятора.
- Приклад: соs x = 0,732. Калькулятор дасть відповідь x = 42,95 градусів. Одиничне коло дасть додаткові кути, косинус яких також дорівнює 0,732.
Відкладіть рішення на одиничному колі.
- Ви можете відкласти рішення тригонометричного рівняння на одиничному колі. Рішення тригонометричного рівняння на одиничному колі є вершинами правильного багатокутника.
- Приклад: Рішення x = π/3 + πn/2 на одиничному колі є вершинами квадрата.
- Приклад: Рішення x = π/4 + πn/3 на одиничному колі є вершинами правильного шестикутника.
Методи розв'язання тригонометричних рівнянь.
- Якщо дане тригонометричне рівняння містить лише одну тригонометричну функцію, Розв'яжіть це рівняння як основне тригонометричне рівняння. Якщо дане рівняння включає дві або більше тригонометричних функцій, то існують 2 методи розв'язання такого рівняння (залежно від можливості його перетворення).
  - Метод 1.
- Перетворіть це рівняння на рівняння виду: f(x)*g(x)*h(x) = 0, де f(x), g(x), h(x) - основні тригонометричні рівняння.
- Приклад 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Рішення. Використовуючи формулу подвійного кута sin 2x = 2*sin х*соs х, замініть sin 2x.
- 2соs х + 2*sin х*соs х = 2cos х*(sin х + 1) = 0. Тепер розв'яжіть два основних тригонометричних рівняння: соs х = 0 і (sin х + 1) = 0.
- Приклад 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Рішення: Використовуючи тригонометричні тотожності, перетворіть дане рівняння на рівняння виду: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Тепер розв'яжіть два основних тригонометричні рівняння: cos 2x = 0 та (2cos x + 1) = 0.
- Приклад 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
- Рішення: Використовуючи тригонометричні тотожності, перетворіть дане рівняння на рівняння виду: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Тепер розв'яжіть два основних тригонометричні рівняння: cos 2x = 0 та (2sin x + 1) = 0.
  - Метод 2.
- Перетворіть це тригонометричне рівняння на рівняння, що містить лише одну тригонометричну функцію. Потім замініть цю тригонометричну функцію на деяку невідому, наприклад, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t і т.д.).
- Приклад 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Рішення. В даному рівняннізамініть (cos^2 x) на (1 - sin^2 x) (відповідно до тотожності). Перетворене рівняння має вигляд:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Замініть sin x на t. Тепер рівняння має вигляд: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Це квадратне рівняння, що має два корені: t1 = -1 та t2 = 9/5. Другий корінь t2 не задовольняє області значень функції (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Приклад 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Рішення. Замініть tg x на t. Перепишіть вихідне рівняння у такому вигляді: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Тепер знайдіть t, а потім знайдіть х для t = tg х.

Вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь.

Вирішення тригонометричних рівнянь будь-якого рівня складності в кінцевому підсумку зводиться до вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь. І в цьому найкращим помічником знову виявляється тригонометричне коло.

Згадаймо визначення косинуса та синуса.

Косинусом кута називається абсцисса (тобто координата по осі) точки на одиничному колі, що відповідає повороту на даний кут.

Синусом кута називається ордината (тобто координата по осі) точки на одиничному колі, що відповідає повороту на даний кут.

Позитивним напрямом руху по тригонометричному колу вважається рух проти годинникової стрілки. Повороту на 0 градусів (або 0 радіан) відповідає точка з координатами (1; 0)

Використовуємо ці визначення для вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь.

1. Розв'яжемо рівняння

Цьому рівнянню задовольняють такі значення кута повороту , які відповідають точкам кола, ордината яких дорівнює .

Відзначимо на осі ординат точку з ординатою:

Проведемо горизонтальну лініюпаралельно осі абсцис до перетину з колом. Ми отримаємо дві точки, що лежать на колі і мають ординату. Ці точки відповідають кутам повороту на і радіан:

Якщо ми, вийшовши з точки, що відповідає куту повороту на радіан, обійдемо повне коло, то ми прийдемо в точку, яка відповідає куту повороту на радіан і має ту ж ординату. Тобто, цей кут повороту також задовольняє нашому рівнянню. Ми можемо робити скільки завгодно "холостих" оборотів, повертаючись у ту саму точку, і всі ці значення кутів задовольнятимуть нашому рівнянню. Число "холостих" оборотів позначимо буквою (або ). Оскільки ми можемо здійснювати ці обороти як і позитивному, і у негативному напрямі, (або ) можуть набувати будь-які цілі значення.

Тобто перша серія рішень вихідного рівняння має вигляд:

, , - безліч цілих чисел (1)

Аналогічно, друга серія рішень має вигляд:

, Де , . (2)

Як ви здогадалися, в основі цієї серії рішень лежить точка кола, що відповідає куту повороту на .

Ці дві серії рішень можна поєднати в один запис:

Якщо ми цього запису візьмемо (тобто парне ), ми отримаємо першу серію рішень.

Якщо ми в цьому записі візьмемо (тобто непарне), ми отримаємо другу серію рішень.

2. Тепер давайте вирішимо рівняння

Так як - це абсцисса точки одиничного кола, отриманого поворотом на кут, відзначимо на осі крапку з абсцисою:

Проведемо вертикальну лінію паралельно осі до перетину з колом. Ми отримаємо дві точки, що лежать на колі і мають абсцис. Ці точки відповідають кутам повороту на радіан. Згадаймо, що при русі за годинниковою стрілкою ми отримуємо негативний кут повороту:

Запишемо дві серії рішень:

(Ми потрапляємо в потрібну точку, пройшовши з основного повного кола, тобто .

Об'єднаємо ці дві серії в один запис:

3. Розв'яжемо рівняння

Лінія тангенсів проходить через точку з координатами (1,0) одиничного кола паралельно осі OY

Зазначимо на ній точку, з ординатою, що дорівнює 1 (ми шукаємо, тангенс яких кутів дорівнює 1):

З'єднаємо цю точку з початком координат прямою лінією та відзначимо точки перетину прямої з одиничним колом. Точки перетину прямої та кола відповідають кутам повороту на і :

Оскільки точки, що відповідають кутам повороту, які задовольняють нашому рівнянню, лежать на відстані радіан одна від одної, то ми можемо записати рішення таким чином:

4. Розв'яжемо рівняння

Лінія котангенсів проходить через точку з координатами одиничного кола паралельно осі.

Відзначимо на лінії котангенсів точку з абсцисою -1:

З'єднаємо цю точку з початком координат прямої та продовжимо її до перетину з колом. Ця пряма перетне коло в точках, що відповідають кутам повороту на і радіан: