Як визначити тотожно рівний вираз. Тотожні перетворення виразів

Основні властивості складання та множення чисел.

Переміщувальна властивість додавання: від перестановки доданків значення суми не змінюється. Для будь-яких чисел a і b вірна рівність

Сполучна властивість додавання: щоб до суми двох чисел додати третє число, можна до першого числа додати суму другого та третього. Для будь-яких чисел a, b і c вірна рівність

Переміщувальна властивість множення: від перестановки множників значення твору не змінюється. Для будь-яких чисел а, b і c вірна рівність

Сполучна властивість множення: щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на твір другого та третього.

Для будь-яких чисел а, b і c вірна рівність

Розподільча властивість: щоб помножити число на суму, можна помножити це число на кожен доданок і скласти отримані результати. Для будь-яких чисел a, b і c вірна рівність

З переміщувального і комбінованого властивостей додавання слід: у будь-якій сумі можна як завгодно переставляти доданки і довільним чином об'єднувати їх у групи.

Приклад 1 Обчислимо суму 1,23 +13,5 +4,27.

Для цього зручно поєднати перший доданок з третім. Отримаємо:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

З переміщувального і комбінованого властивостей множення випливає: у будь-якому творі можна як завгодно переставляти множники і довільним чином об'єднувати їх у групи.

Приклад 2 Знайдемо значення твору 1,8 0,25 64 0,5.

Об'єднавши перший множник із четвертим, а другий із третім, матимемо:

1,8 · 0,25 · 64 · 0,5 = (1,8 · 0,5) · (0,25 · 64) = 0,9 · 16 = 14,4.

Розподільна властивість справедлива і в тому випадку, коли число множиться на суму трьох і більше доданків.

Наприклад, для будь-яких чисел a, b, c і d вірна рівність

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Ми знаємо, що віднімання можна замінити додаванням, додавши до зменшуваного число, протилежне віднімається:

Це дозволяє числовий вираз виду a-bвважати сумою чисел a і -b, числове вираз виду a+b-c-d вважати сумою чисел a, b, -c, -d тощо. Розглянуті властивості дій справедливі й у таких сум.

Знайдемо значення виразу 3,27-6,5-2,5+1,73.

Цей вираз є сумою чисел 3,27, -6,5, -2,5 та 1,73. Застосувавши властивості додавання, отримаємо: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.

Приклад 4 Обчислимо добуток 36 · ().

Множник можна розглядати як суму чисел та -. Використовуючи розподільну властивість множення, отримаємо:

36()=36·-36·=9-10=-1.

Тотожності

Визначення. Два вирази, відповідні значення яких рівні за будь-яких значень змінних, називаються тотожно рівними.

Визначення. Рівність, правильна за будь-яких значеннях змінних, називається тотожністю.

Знайдемо значення виразів 3(x+y) та 3x+3y при x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3·9=27,

3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.

Ми отримали той самий результат. З розподільної властивості випливає, що за будь-яких значеннях змінних відповідні значення виразів 3(x+y) і 3x+3y рівні.

Розглянемо тепер вирази 2x+y та 2xy. При x=1, y=2 вони набувають рівних значень:

Однак можна вказати такі значення x та y, при яких значення цих виразів не рівні. Наприклад, якщо x = 3, y = 4, то

Вирази 3(x+y) і 3x+3y є тотожно рівними, а вирази 2x+y та 2xy не є тотожно рівними.

Рівність 3(x+y)=x+3y, правильна за будь-яких значеннях x і y, є тотожністю.

Тотожністю вважають і вірні числові рівності.

Так, тотожностями є рівності, що виражають основні властивості дій над числами:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Можна навести й інші приклади тотожностей:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Тотожні перетворення виразів

Заміну одного виразу іншим, тотожно рівним йому виразом, називають тотожним перетворенням або просто перетворенням виразу.

Тотожні перетворення виразів із змінними виконуються на основі властивостей дій над числами.

Щоб знайти значення виразу xy-xz при заданих значеннях x, y, z треба виконати три дії. Наприклад, при x=2,3, y=0,8, z=0,2 отримуємо:

xy-xz = 2,3 · 0,8-2,3 · 0,2 = 1,84-0,46 = 1,38.

Цей результат можна отримати, виконавши лише дві дії, якщо скористатися виразом x(y-z), тотожно рівним виразу xy-xz:

xy-xz = 2,3 (0,8-0,2) = 2,3 · 0,6 = 1,38.

Ми спростили обчислення, замінивши вираз xy-xz тотожним рівним виразом x(y-z).

Тотожні перетворення виразів широко застосовуються при обчисленні значень виразів та вирішенні інших завдань. Деякі тотожні перетворення вже доводилося виконувати, наприклад, приведення подібних доданків, розкриття дужок. Нагадаємо правила виконання цих перетворень:

щоб навести подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти і результат помножити на загальну літерну частину;

якщо перед дужками стоїть знак "плюс", то дужки можна опустити, зберігши знак кожного доданка, укладеного у дужки;

якщо перед дужками стоїть знак мінус, то дужки можна опустити, змінивши знак кожного доданка, укладеного в дужки.

Приклад 1 Наведемо такі складові в сумі 5x+2x-3x.

Скористаємося правилом приведення подібних доданків:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Це перетворення ґрунтується на розподільчій властивості множення.

Приклад 2 Розкриємо дужки у виразі 2a+(b-3c).

Застосувавши правило розкриття дужок, перед якими стоїть знак "плюс":

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Проведене перетворення засноване на сполучному властивості складання.

Приклад 3 Розкриємо дужки у виразі a-(4b-c).

Скористаємося правилом розкриття дужок, перед якими стоїть знак "мінус":

a-(4b-c)=a-4b+c.

Виконане перетворення засноване на розподільчій властивості множення та сполучній властивості додавання. Покажемо це. Представимо у цьому виразі другий доданок -(4b-c) як твори (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Застосувавши зазначені властивості дій, отримаємо:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

§ 2. Тотожні висловлювання, тотожність. Тотожне перетворення висловлювання. Докази тотожностей

Знайдемо значення виразів 2(х – 1) 2х – 2 для даних значень змінної х. Результати запишемо до таблиці:

Можна зробити висновок, що значення виразів 2(х - 1) 2х - 2 для кожного даного значеннязмінної х рівні між собою. За розподільною властивістю множення щодо віднімання 2(х - 1) = 2х - 2. Тому і для будь-якого іншого значення змінної х значення виразу 2(х - 1) 2х - 2 теж будуть рівними між собою. Такі вирази називають тотожно рівними.

Наприклад, синонімами є вирази 2х + 3х і 5х, так як при кожному значенні змінної х ці вирази набувають однакових значень(це випливає з розподільної властивості множення щодо додавання, оскільки 2х + 3х = 5х).

Розглянемо тепер вирази 3х + 2у та 5ху. Якщо х = 1 і = 1, то відповідні значення цих виразів рівні між собою:

3х + 2у = 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 =5; 5ху = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Однак можна вказати такі значення х і у, для яких значення цих виразів не будуть між собою рівними. Наприклад, якщо х = 2; у = 0, то

3х + 2у = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5ху = 5 ∙ 20 = 0.

Отже, існують такі значення змінних, при яких відповідні значення виразів 3х + 2у та 5ху не рівні один одному. Тому вирази 3х + 2у і 5ху є тотожно рівними.

З вищевикладеного, тотожностями, зокрема, є рівності: 2(х - 1) = 2х - 2 і 2х + 3х = 5х.

Тотожністю є кожна рівність, якою записано відомі властивостідій над числами. Наприклад,

а + b = b + а; (а + b) + с = а + (b + с); а(b + с) = ab + ас;

ab = b; (аb)с = a(bc); a(b – с) = ab – ас.

Тотожністю є і такі рівності:

а + 0 = а; а ∙ 0 = 0; а ∙ (-b) = -ab;

а + (-а) = 0; а ∙ 1 = а; а ∙ (-b) = аb.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Якщо у виразі-5х + 2х - 9 звести подібні доданки, отримаємо, що 5х + 2х - 9 = 7х - 9. У такому разі кажуть, що вираз 5х + 2х - 9 замінили тотожним виразом 7х - 9.

Тотожні перетворення виразів із змінними виконують, застосовуючи властивості дій над числами. Зокрема, тотожними перетвореннями з розкриттям дужок, зведенням подібних доданків тощо.

Тотожні перетворення доводиться виконувати при спрощенні виразу, тобто заміни деякого вираження на тотожно рівне йому вираз, яке має коротший запис.

Приклад 1. Спростити вираз:

1) -0,3 m ∙ 5n;

2) 2(3х – 4) + 3(-4х + 7);

3) 2 + 5а – (а – 2b) + (3b – а).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5 mn;

2) 2(3х 4) + 3(-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2х+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5а - (а - 2b) + (3b - a) = 2 + 5а - а + 2 b + 3 b - а= 3а + 5b +2.

Щоб довести, що рівність є тотожністю (інакше кажучи, щоб довести тотожність, використовують тотожні перетворення виразів).

Довести тотожність можна одним із наступних способів:

виконати тотожні перетворення її лівої частини, тим самим звівши до вигляду правої частини;
виконати тотожні перетворення її правої частини, тим самим звівши до вигляду лівої частини;
виконати тотожні перетворення обох її частин, цим звівши обидві частини до однакових выражений.

Приклад 2. Довести тотожність:

1) 2х – (х + 5) – 11 = х – 16;

2) 206 – 4а = 5(2а – 3b) – 7(2а – 5b);

3) 2(3x – 8) + 4(5х – 7) = 13(2x – 5) + 21.

Р а з в ' з а н н я.

1) Перетворимо ліву частину даної рівності:

2х - (х + 5) - 11 = 2х - х- 5 – 11 = х – 16.

Тотожними перетвореннями вираз у лівій частині рівності звели до вигляду правої частини і тим самим довели, що ця рівність є тотожністю.

2) Перетворимо праву частину цієї рівності:

5(2а - 3b) - 7(2а - 5b) = 10а - 15 b - 14а + 35 b= 20b – 4а.

Тотожними перетвореннями праву частину рівності звели до вигляду лівої частини і тим самим довели, що ця рівність є тотожністю.

3) У цьому випадку зручно спростити як ліву, так і праву частини рівності та порівняти результати:

2(3х - 8) + 4(5х - 7) = 6х - 16 + 20х- 28 = 26х - 44;

13(2х – 5) + 21 = 26х – 65 + 21 = 26х – 44.

Тотожними перетвореннями ліву і праву частини рівності звели до одного і того ж виду: 26х - 44. Тому ця рівність є тотожністю.

Які вирази називають тотожними? Наведіть приклад тотожних виразів. Яку рівність називають тотожністю? Наведіть приклад тотожності. Що називають тотожним перетворенням виразу? Як довести тотожність?

(Усно) Або є вирази тотожно рівними:

1) 2а + а та 3а;

2) 7х + 6 та 6 + 7х;

3) x + x + x і x3;

4) 2(х - 2) та 2х - 4;

5) m - n та n - m;

6) 2а ∙ р та 2р ∙ а?

Чи є тотожно рівними вирази:

1) 7х - 2х та 5х;

2) 5а – 4 та 4 – 5а;

3) 4m + n та n + 4m;

4) а + а і а 2;

5) 3(а - 4) та 3а - 12;

6) 5m ∙ n та 5m + n?

(Усно) є тотожністю рівність:

1) 2а + 106 = 12аb;

2) 7р – 1 = -1 + 7р;

3) 3(х – у) = 3х – 5у?

Розкрийте дужки:

Розкрийте дужки:

Зведіть такі складові:

Назвіть кілька виразів, тотожні виразу 2а + 3а.
Спростіть вираз, використовуючи переставляється і сполучну властивості множення:

1) -2,5 х ∙ 4;

2) 4р ∙ (-1,5);

3) 0,2 х ∙ (0,3 г);

4) - х ∙<-7у).

Спростіть вираз:

1) -2р ∙ 3,5;

2) 7а ∙ (-1,2);

3) 0,2 х ∙ (-3у);

4) - 1 m ∙ (-3n).

(Усно) Спростіть вираз:

1) 2х – 9 + 5х;

2) 7а – 3b + 2а + 3b;

4) 4а ∙ (-2b).

Зведіть такі складові:

1) 56 – 8а + 4b – а;

2) 17 – 2р + 3р + 19;

3) 1,8 а + 1,9 b + 2,8 а – 2,9 b;

4) 5 – 7с + 1,9 г + 6,9 с – 1,7 г.

1) 4(5х – 7) + 3х + 13;

2) 2(7 - 9а) - (4 - 18а);

3) 3(2р – 7) – 2(г – 3);

4) -(3m – 5) + 2(3m – 7).

Розкрийте дужки і зведіть такі складові:

1) 3(8а – 4) + 6а;

2) 7р – 2(3р – 1);

3) 2(3x – 8) – 5(2x + 7);

4) 3(5m – 7) – (15m – 2).

1) 0,6 x + 0,4 (x – 20), якщо x = 2,4;

2) 1,3(2а – 1) – 16,4, якщо а = 10;

3) 1,2(m – 5) – 1,8(10 – m), якщо m = –3,7;

4) 2x – 3(x + у) + 4у, якщо x = -1, у = 1.

Спростіть вираз і знайдіть його значення:

1) 0,7 x + 0,3 (x - 4), якщо x = -0,7;

2) 1,7(у - 11) - 16,3, якщо в = 20;

3) 0,6 (2а - 14) - 0,4 (5а - 1), якщо а = -1;

4) 5(m – n) – 4m + 7n, якщо m = 1,8; n = -0,9.

Доведіть тотожність:

1) -(2х - у) = у - 2х;

2) 2(x - 1) - 2x = -2;

3) 2(x – 3) + 3(x + 2) = 5x;

4) с - 2 = 5 (с + 2) - 4 (с + 3).

Доведіть тотожність:

1) -(m – 3n) = 3n – m;

2) 7(2 – р) + 7р = 14;

3) 5а = 3(а – 4) + 2(а + 6);

4) 4(m – 3) + 3(m + 3) = 7m – 3.

Довжина однієї зі сторін трикутника а см, а довжина кожної із двох інших сторін на 2 см більша за неї. Запишіть у вигляді виразу периметр трикутника та спростіть вираз.
Ширина прямокутника дорівнює х см, а довжина на 3 см більша за ширину. Запишіть у вигляді виразу периметр прямокутника та спростіть вираз.

1) х - (х - (2х - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4р – (3р – (2р – (г + 1)));

4) 5x - (2x - ((у - х) - 2у));

5) (6а - b) - (4a - 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

Розкрийте дужки та спростіть вираз:

1) а - (а - (3а - 1));

2) 12m - ((а - m) + 12а);

3) 5y - (6у - (7у - (8у - 1)));

6) (2,1 a - 2,8 b) - (1a - 1b).

Доведіть тотожність:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2) -(- 3р) - (-(8 - 5р)) = 2(4 - г);

3) 3(а – b – с) + 5(а – b) + 3с = 8(а – b).

Доведіть тотожність:

1) 12а - ((8а - 16)) = -4 (4 - 5а);

2) 4(х + у -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

Доведіть, що значення виразу

1,8(m - 2) + 1,4(2 - m) + 0,2(1,7 - 2m) залежить від значення змінної.

Доведіть, що за будь-якого значення змінної значення виразу

а - (а - (5а + 2)) - 5(а - 8)

є одним і тим самим числом.

Доведіть, що сума трьох послідовних парних чисел ділиться на 6.
Доведіть, якщо n - натуральне число, то значення виразу -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) є парним числом.

Вправи для повторення

Сплав масою 1,6 кг містить 15% міді. Скільки кг міді міститься у цьому сплаві?
Скільки відсотків становить число 20 від свого:

1) квадрат;

Турист 2 год йшов пішки і 3 год їхав велосипедом. Усього турист подолав 56 км. Знайдіть, з якою швидкістю турист їхав велосипедом, якщо вона на 12 км/год більше за швидкість, з якою він йшов пішки.

Цікаві завдання для учнів лінивих

У чемпіонаті міста з футболу беруть участь 11 команд. Кожна команда грає з іншими по одному матчу. Доведіть, що у будь-який момент змагань знайдеться команда, яка проведе на цей момент парне число матчів або не провела ще жодного.

Розглянемо дві рівності:

1. a 12 *a 3 = a 7 *a 8

Ця рівність виконуватиметься при будь-яких значеннях змінної а. Області допустимих значень для того рівності буде все безліч речових чисел.

2. a 12: a 3 = a 2 * a7.

Це нерівність буде виконуватися всім значень змінної а, крім а рівного нулю. Областю допустимих значень для цієї нерівності буде вся безліч речових чисел, крім нуля.

Про кожну з цих рівностей можна стверджувати, що воно буде вірним за будь-яких допустимих значень змінних а. Такі рівності в математиці називаються тотожностями.

Поняття тотожності

Тотожність - це рівність, правильне за будь-яких допустимих значеннях змінних. Якщо в цю рівність підставити замість змінних будь-які допустимі значення, то має вийти правильна числова рівність.

Варто відзначити, що вірні числові рівності теж є тотожностями. Тотожності, наприклад, будуть властивості дій над числами.

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + c;

6. a * (b * c) = (a * b) * c;

7. a * (b + c) = a * b + a * c;

11. a * (-1) = -a.

Якщо два вирази при будь-яких допустимих змінних відповідно дорівнюють, то такі вирази називають тотожно рівними. Нижче наведено кілька прикладів тотожно рівних виразів:

1. (a 2) 4 та a 8 ;

2. a * b * (-a ^ 2 * b) і -a 3 * b 2;

3. ((x 3 * x 8)/x) та x 10 .

Ми завжди можемо замінити один вираз будь-яким іншим виразом, тотожно рівним першому. Така заміна буде тотожним перетворенням.

Приклади тотожностей

Приклад 1: чи тотожності такі рівності:

1. a + 5 = 5 + a;

2. a * (-b) = -a * b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

Не всі представлені вище вирази будуть тотожними. З цих рівностей тотожністю є лише 1,2 і 3 рівності. Які числа ми в них не підставили, замість змінних а і b у нас все одно вийдуть вірні числові рівності.

А ось 4 рівність вже не є тотожністю. Тому що не за всіх допустимих значень ця рівність виконуватиметься. Наприклад, при значеннях a = 5 та b = 2 вийде наступний результат:

Ця рівність не так, оскільки число 3 не дорівнює числу -3.

Тотожні перетворення являють собою роботу, яку ми проводимо з числовими та літерними виразами, а також із виразами, що містять змінні. Всі ці перетворення ми проводимо для того, щоб привести вихідний вираз до такого виду, який буде зручним для вирішення задачі. Основні види тотожних перетворень ми розглянемо у цій темі.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Тотожне перетворення висловлювання. Що це таке?

Вперше зустрічаємося з поняттям тотожних ми на уроках алгебри в 7 класі. Тоді ж ми вперше знайомимося з поняттям тотожно рівних виразів. Давайте розберемося з поняттями та визначеннями, щоб полегшити засвоєння теми.

Визначення 1

Тотожне перетворення висловлювання- це дії, що виконуються з метою заміни вихідного виразу на вираз, який буде тотожно рівним вихідному.

Часто це визначення використовується у скороченому вигляді, в якому опускається слово «тотожне». Передбачається, що ми в будь-якому випадку проводимо перетворення виразу таким чином, щоб отримати вираз, тотожний вихідному, і це не потрібно окремо підкреслювати.

Проілюструємо це визначення прикладами.

Приклад 1

Якщо ми замінимо вираз x + 3 − 2на тотожно рівний йому вираз x + 1, то ми проведемо у своїй тотожне перетворення висловлювання x + 3 − 2.

Приклад 2

Заміна виразу 2 · a 6 на вираз a 3– це тотожне перетворення, тоді як заміна висловлювання xна вираз x 2не є тотожним перетворенням, тому що вирази xі x 2є тотожно рівними.

Звертаємо вашу увагу на форму запису виразів під час проведення тотожних перетворень. Зазвичай записуємо вихідне і отримане під час перетворення висловлювання як рівності. Так, запис x + 1 + 2 = x + 3 означає, що вираз x + 1 + 2 було наведено до виду x + 3.

Послідовне виконання дій призводить нас до ланцюжка рівностей, який є кілька розташованих поспіль тотожних перетворень. Так, запис x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x ми розуміємо як послідовне проведення двох перетворень: спочатку вираз x + 1 + 2 привели до вигляду x + 3, а його - до виду 3 + x.

Тотожні перетворення та ОДЗ

Ряд виразів, які ми починаємо вивчати у 8 класі, мають сенс не за будь-яких значень змінних. Проведення тотожних перетворень у випадках вимагає від нас уваги до області допустимих значень змінних (ОДЗ). Виконання тотожних перетворень може залишати ОДЗ незмінною або звужувати її.

Приклад 3

При виконанні переходу від виразу a + (− b)до виразу a − bобласть допустимих значень змінних aі bзалишається незмінною.

Приклад 4

Перехід від виразу x до виразу x 2 xпризводить до звуження області допустимих значень змінної x від множини всіх дійсних чисел до множини дійсних чисел, з якого був виключений нуль.

Приклад 5

Тотожне перетворення висловлювання x 2 xвиразом х призводить до розширення області допустимих значень змінної x від множини всіх дійсних чисел за винятком нуля до множини всіх дійсних чисел.

Звуження або розширення області допустимих значень змінних під час проведення тотожних перетворень має значення під час вирішення завдань, оскільки може спричинити точність проведення обчислень і призвести до появи помилок.

Основні тотожні перетворення

Давайте тепер подивимося, якими бувають тотожні перетворення та як вони виконуються. Виділимо ті види тотожних перетворень, із якими нам доводиться мати справу найчастіше, у групу основних.

Крім основних тотожних перетворень існує низка перетворень, які стосуються виразів конкретного виду. Для дробів це прийоми скорочення та приведення до нового знаменника. Для виразів з корінням і ступенями всі дії, які виконуються на основі властивостей коренів та ступенів. Для логарифмічних виразів дії, що проводяться на основі властивостей логарифмів. Для тригонометричних виразів усі дії з використанням тригонометричних формул. Всі ці приватні перетворення докладно розуміються на окремих темах, які можна знайти на нашому ресурсі. У зв'язку з цим у цій стості ми на них зупинятись не будемо.

Перейдемо до розгляду основних тотожних перетворень.

Перестановка місцями доданків, множників

Почнемо з перестановки доданків місцями. З цим тотожним перетворенням ми маємо справу найчастіше. І основним правилом тут можна вважати таке твердження: у будь-якій сумі перестановка доданків місцями не позначається на результаті.

Засноване це правило на переміщувальному та сполучному властивостях додавання. Ці властивості дозволяють нам переставляти доданки місцями і отримувати у своїй висловлювання, які тотожно рівні вихідним. Саме тому перестановка доданків місцями у сумі є тотожним перетворенням.

Приклад 6

У нас є сума трьох доданків 3 + 5 + 7 . Якщо ми поміняємо місцями доданки 3 і 5, то вираз набуде вигляду 5+3+7. Варіантів перестановки місцями доданків у разі кілька. Усі вони призводять до отримання виразів, тотожно рівних вихідному.

Як доданків у сумі можуть виступати як числа, а й висловлювання. Їх точно так, як і числа, можна переставляти місцями, не впливаючи на кінцевий результат обчислень.

Приклад 7

У сумі трьох доданків 1 a + b , a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3 і - 12 · a виду 1 a + b + a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3 + ( - 12) · a доданки можна переставити, наприклад, так (- 12) · a + 1 a + b + a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3 . У свою чергу можна переставити місцями доданки в знаменнику дробу 1 a + b, при цьому дріб набуде вигляду 1 b + a. А вираз під знаком кореня a 2 + 2 · a + 5теж є сумою, де можна поміняти місцями доданки.

Так само, як і доданки, у вихідних виразах можна міняти місцями множники і отримувати тотожно вірні рівняння. Проведення цієї дії регулюється таким правилом:

Визначення 2

У творі перестановка множників місцями впливає результат обчислень.

Засноване це правило на переміщувальному та сполучному властивостях множення, які підтверджують вірність тотожного перетворення.

Приклад 8

твір, добуток 3 · 5 · 7перестановкою множників можна представити в одному з наступних видів: 5 · 3 · 7, 5 · 7 · 3, 7 · 3 · 5, 7 · 5 · 3 або 3 · 7 · 5.

Приклад 9

Перестановка множників у творі x + 1 · x 2 - x + 1 x дасть x 2 - x + 1 x · x + 1

Розкриття дужок

Дужки можуть містити записи числових виразів та виразів зі змінними. Ці вирази можуть бути перетворені на тотожно рівні вирази, в яких дужок не буде взагалі або їх буде менше, ніж у вихідних виразах. Цей спосіб перетворення виразів називають розкриттям дужок.

Приклад 10

Проведемо дії з дужками у виразі виду 3 + x − 1 xдля того, щоб отримати тотожно вірний вираз 3 + x − 1 x.

Вираз 3 · x - 1 + - 1 + x 1 - x можна перетворити на тотожно рівний вираз без дужок 3 · x - 3 - 1 + x 1 - x .

Правила перетворення виразів із дужками ми докладно розібрали у темі «Розкриття дужок», яка розміщена на нашому ресурсі.

Угруповання доданків, множників

У випадках, коли ми маємо справу з трьома та великою кількістю доданків, ми можемо вдатися до такого виду тотожних перетворень як угруповання доданків. Під цим способом перетворень мають на увазі об'єднання кількох доданків у групу шляхом їх перестановки та укладання в дужки.

При проведенні угруповання доданки змінюються місцями таким чином, щоб доданки, що групуються, опинилися в записі виразу поруч. Після цього їх можна укласти у дужки.

Приклад 11

Візьмемо вираз 5 + 7 + 1 . Якщо ми згрупуємо перший доданок з третім, то отримаємо (5 + 1) + 7 .

Угруповання множників проводиться аналогічно до угруповання доданків.

Приклад 12

У творі 2 · 3 · 4 · 5можна згрупувати перший множник з третім, а другий - з четвертим, при цьому дійдемо виразу (2 · 4) · (3 · 5). А якби ми згрупували перший, другий та четвертий множники, то отримали б вираз (2 · 3 · 5) · 4.

Доданки та множники, що групуються, можуть бути представлені як простими числами, так і виразами. Правила угруповання були детально розібрані в темі «Угруповання доданків та множників».

Заміна різниць сумами, приватними творами та назад

Заміна різниць сумами стала можливою завдяки нашому знайомству з протилежними числами. Тепер віднімання з числа aчисла bможна розглядати як додаток до aчисла − b. Рівність a − b = a + (− b)можна вважати справедливим і на його основі проводити заміну різниці сумами.

Приклад 13

Візьмемо вираз 4 + 3 − 2 , в якому різниця чисел 3 − 2 ми можемо записати як суму 3 + (− 2) . Отримаємо 4 + 3 + (− 2) .

Приклад 14

Всі різниці у виразі 5 + 2 · x − x 2 − 3 · x 3 − 0 , 2можна замінити сумами як 5 + 2 · x + (− x 2) + (− 3 · x 3) + (− 0 , 2).

Ми можемо переходити до сум від будь-яких різниць. Аналогічно ми можемо зробити зворотну заміну.

Заміна поділу на множення на число, обернене до дільника, стає можливим завдяки поняття взаємно зворотних чисел. Це перетворення можна записати рівністю a: b = a · (b − 1).

Це було покладено основою правила розподілу звичайних дробів.

Приклад 15

Приватне 1 2: 3 5 можна замінити твором виду 1 2 · 5 3.

Так само за аналогією розподіл може бути замінено множенням.

Приклад 16

У випадку з виразом 1+5: x: (x+3)замінити поділ на xможна на множення на 1 x. Поділ на x + 3ми можемо замінити множенням на 1 x + 3. Перетворення дозволяє отримати вираз, тотожне вихідному: 1 + 5 · 1 x · 1 x + 3 .

Заміна множення поділом поводиться за схемою a · b = a: (b − 1).

Приклад 17

У виразі 5 x 2 + 1 - 3 множення можна замінити діленням як 5: x 2 + 1 x - 3 .

Виконання дій з числами

Виконання дій з числами підпорядковується правил порядку виконання дій. Спочатку проводяться дії зі ступенями чисел та корінням з чисел. Після цього ми замінюємо логарифми, тригонометричні та інші функції на їх значення. Потім виконуються дії у дужках. І потім вже можна проводити решту дій зліва направо. Важливо пам'ятати, що множення та розподіл проводять до складання та віднімання.

Дії з числами дозволяють перетворити вихідне вираження на тотожне рівне йому.

Приклад 18

Перетворимо вираз 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x, виконавши всі можливі дії з числами.

Рішення

Насамперед звернемо увагу на ступінь 2 3 і корінь 4 і обчислимо їх значення: 2 3 = 8 та 4 = 2 2 = 2 .

Підставимо отримані значення у вихідний вираз і отримаємо: 3 · (8 - 1) · a + 2 · (x 2 + 5 · x).

Тепер проведемо дії у дужках: 8 − 1 = 7 . І перейдемо до виразу 3 · 7 · a + 2 · (x 2 + 5 · x).

Нам залишилося виконати множення чисел 3 і 7 . Отримуємо: 21 · a + 2 · (x 2 + 5 · x).

Відповідь: 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x = 21 · a + 2 · (x 2 + 5 · x)

Дії з числами можуть передувати інші види тотожних перетворень, таких, наприклад, як угруповання чисел або розкриття дужок.

Приклад 19

Візьмемо вираз 3 + 2 · (6: 3) · x · (y 3 · 4) − 2 + 11.

Рішення

Насамперед проведемо заміну приватного у дужках 6: 3 на його значення 2 . Отримаємо: 3 + 2 · 2 · x · (y 3 · 4) − 2 + 11 .

Розкриємо дужки: 3 + 2 · 2 · x · (y 3 · 4) − 2 + 11 = 3 + 2 · 2 · x · y 3 · 4 − 2 + 11.

Згрупуємо числові множники у творі, а також доданки, що є числами: (3 − 2 + 11) + (2 · 2 · 4) · x · y 3.

Виконаємо дії у дужках: (3 − 2 + 11) + (2 · 2 · 4) · x · y 3 = 12 + 16 · x · y 3

Відповідь:3 + 2 · (6: 3) · x · (y 3 · 4) − 2 + 11 = 12 + 16 · x · y 3

Якщо ми працюємо з числовими виразами, то метою нашої роботи буде знаходження значення виразу. Якщо ж ми перетворимо висловлювання зі змінними, то метою наших дій буде спрощення висловлювання.

Винесення за дужки загального множника

У тих випадках, коли доданки у виразі мають однаковий множник, ми можемо винести цей загальний множник за дужки. Для цього нам спочатку необхідно уявити вихідний вираз як добуток загального множника та виразу в дужках, що складається з вихідних доданків без загального множника.

Приклад 20

У числовому вираженні 2 · 7 + 2 · 3ми можемо винести спільний множник 2 за дужки та отримати тотожно вірний вираз виду 2 · (7 + 3).

Освіжити в пам'яті правил винесення загального множника за дужки ви можете у розділі нашого ресурсу. У матеріалі докладно розглянуто правила винесення загального множника за дужки та наведено численні приклади.

Приведення подібних доданків

Тепер перейдемо до сум, які містять подібні доданки. Тут можливо два варіанти: суми, що містять однакові доданки, та суми, доданки яких відрізняються числовим коефіцієнтом. Дії із сумами, що містять подібні доданки, зветься приведення подібних доданків. Проводиться воно так: ми виносимо загальну літерну частину за дужки і проводимо обчислення суми числових коефіцієнтів у дужках.

Приклад 21

Розглянемо вираз 1 + 4 · x − 2 · x. Ми можемо винести літерну частину x за дужки та отримати вираз 1 + x · (4 − 2). Проведемо обчислення значення виразу у дужках та отримаємо суму виду 1 + x · 2 .

Заміна чисел та виразів тотожно рівними їм виразами

Числа та вирази, з яких складено вихідний вираз, можна замінювати тотожно рівними ним виразами. Таке перетворення вихідного висловлювання призводить до тотожно рівному йому виразу.

Приклад 22 Приклад 23

Розглянемо вираз 1 + a 5, в якому ступінь a 5 можемо замінити тотожно рівним їй твором, наприклад, виду a · a 4. Це нам дасть вираз 1 + a · a 4.

Виконане штучне перетворення. Воно має сенс лише під час підготовки до проведення інших перетворень.

Приклад 24

Розглянемо перетворення суми 4 · x 3 + 2 · x 2. Тут доданок 4 · x 3ми можемо уявити як твір 2 · x 2 · 2 · x. В результаті вихідний вираз набуває вигляду 2 · x 2 · 2 · x + 2 · x 2. Тепер ми можемо виділити спільний множник 2 · x 2і винести його за дужки: 2 · x 2 · (2 · x + 1).

Додаток і віднімання однієї й тієї ж числа

Додаток і одночасне віднімання однієї й тієї ж числа чи висловлювання є штучним прийомом перетворення висловів.

Приклад 25

Розглянемо вираз x 2 + 2 · x. Ми можемо додати або відібрати від нього одиницю, що дозволить нам у подальшому провести ще одне тотожне перетворення - виділити квадрат двочлена: x 2 + 2 · x = x 2 + 2 · x + 1 − 1 = (x + 1) 2 − 1.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Отримавши уявлення про тотожність, логічно перейти до знайомства з. У статті ми відповімо питанням, що таке тотожно рівні висловлювання, і навіть на прикладах розберемося, які висловлювання є тотожно рівними, які – ні.

Навігація на сторінці.

Що таке тотожно рівні вирази?

Визначення тотожно рівних виразів дається паралельно з визначенням тотожності. Це відбувається на уроках алгебри у 7 класі. У підручнику з алгебри для 7 класів автора Ю. Н. Макарічев наведено таке формулювання:

Визначення.

- Це вирази, значення яких рівні при будь-яких значеннях змінних, що входять до них. Числові вирази, яким відповідають однакові значення, також називають тотожно рівними.

Це визначення використовується аж до 8 класу, воно справедливе для цілих виразів, так як вони мають сенс для будь-яких значень змінних, що входять до них. А у 8 класі визначення тотожно рівних виразів уточнюється. Пояснимо, із чим це пов'язано.

У 8 класі починається вивчення інших видів виразів, які, на відміну цілих висловів, при деяких значеннях змінних можуть мати сенсу. Це змушує запровадити визначення допустимих і неприпустимих значень змінних, і навіть області допустимих значень ОДЗ змінної, як наслідок - внести уточнення визначення тотожно рівних выражений.

Визначення.

Два вирази, значення яких рівні при всіх допустимих значеннях змінних, що входять до них, називаються тотожно рівними виразами. Два числові вирази, що мають однакові значення, також називаються тотожно рівними.

У цьому визначенні тотожно рівних виразів варто уточнити сенс фрази «при всіх допустимих значеннях змінних, що входять до них». Вона має на увазі всі такі значення змінних, при яких одночасно мають сенс обидва тотожно рівні вирази. Цю думку роз'яснимо в наступному пункті, розглянувши приклади.

Визначення тотожно рівних виразів у підручнику Мордковича А. Г. дається трохи інакше:

Визначення.

Тотожно рівні вирази- Це вирази, що стоять у лівій та правій частинах тотожності.

За змістом, це і попереднє визначення збігаються.

Приклади тотожно рівних виразів

Введені в попередньому пункті визначення дозволяють навести приклади тотожно рівних виразів.

Почнемо з тотожно рівних числових виразів. Числові вирази 1+2 та 2+1 є тотожно рівними, тому що їм відповідають рівні значення 3 та 3 . Також тотожно рівні вирази 5 і 30:6, як і вирази (2 2) 3 і 2 6 (значення останніх виразів рівні чинності ). А ось числові вирази 3+2 і 3-2 не є тотожно рівними, тому що їм відповідають значення 5 та 1 відповідно, а вони не рівні.

Тепер наведемо приклади тотожно рівних виразів із змінними. Такими є вирази a+b та b+a . Справді, за будь-яких значеннях змінних a і b записані вирази приймають однакові значення (що випливає з чисел). Наприклад, при a=1 і b=2 маємо a+b=1+2=3 та b+a=2+1=3 . За будь-яких інших значеннях змінних a і b ми також отримаємо рівні значення цих виразів. Вирази 0 x y y z і 0 теж тотожно рівні при будь-яких значеннях змінних x , y і z . А ось вирази 2 x і 3 x є тотожно рівними, так як, наприклад, при x = 1 їх значення не рівні. Дійсно, при x=1 вираз 2·x дорівнює 2·1=2 , а вираз 3·x дорівнює 3·1=3 .

Коли області допустимих значень змінних у виразах збігаються, як, наприклад, у виразах a+1 і 1+a , або a·b·0 і 0 , або і значення цих виразів рівні при всіх значеннях змінних з цих областей, то тут все зрозуміло – ці висловлювання тотожно рівні за всіх допустимих значеннях які в них змінних. Так a+1≡1+a за будь-яких a , вирази a·b·0 і 0 тотожно рівні при будь-яких значеннях змінних a і b , а вирази і тотожно рівні при всіх x з ; за ред. С. А. Теляковського. - 17-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 240 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019315-3.

Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. - М.: Просвітництво, 2008. - 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Мордковіч А. Г.Алгебра. 7 клас. У 2 год. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх закладів/А. Г. Мордкович. - 17-те вид., Дод. – М.: Мнемозіна, 2013. – 175 с.: іл. ISBN 978-5-346-02432-3.