Прямолінійний та криволінійний рух. Прямолінійний рух та рух по колу матеріальної точки

Якщо прискорення матеріальної точкиу всі моменти часу дорівнює нулю, швидкість її руху постійна за величиною і за напрямом. Траєкторія в цьому випадку є прямою лінією. Рух матеріальної точки у сформульованих умовах називають рівномірним прямолінійним. При прямолінійному русі доцентрова складова прискорення відсутня, а оскільки рух рівномірний, то і дотична складова прискорення дорівнює нулю.

Якщо прискорення залишається постійним у часі (), рух називають рівноперемінним або нерівномірним. Рівноперемінний рух може бути рівноприскореним, якщо а > 0, і рівноуповільненим, якщо а< 0. В этом случае мгновенное ускорение оказывается равным среднему ускорению за любой промежуток времени. Тогда из формулы (1.5) следует а = Dv/Dt = (v-v o)/t, откуда

(1.7)

де v o - Початкова швидкість руху при t = О, v - швидкість в момент часу t.

Відповідно до формули (1.4) ds = vdt. Тоді

Бо для рівнозмінного руху a=const, то

(1.8)

Формули (1.7) і (1.8) справедливі як рівномірного (нерівномірного) прямолінійного руху, але й вільного падіннятіла та для руху тіла, кинутого вгору. В останніх двох випадках а = g = 9,81 м/с2.

Для рівномірного прямолінійного руху v = v o = const, а = 0, і формула (1.8) набуває вигляду s = vt.

Рух по колу є найпростішим випадком криволінійного руху. Швидкість руху матеріальної точки по колу називають лінійною. При постійній за модулем лінійної швидкості рух по колу є рівномірним. Щодо прискорення матеріальної точки при рівномірному русі по колу відсутнє, а t = 0. Це означає, що відсутня зміна швидкості за модулем. Зміна вектора лінійної швидкості у напрямку характеризується нормальним прискоренням, а n ¹ 0. У кожній точці кругової траєкторії вектор а n спрямований радіусом до центру кола.

а n = 2/R, м/с 2 . (1.9)

Отримане прискорення дійсно є доцентровим (нормальним), тому що при Dt->0 Dj теж прагне до нуля (Dj->0) і вектори і будуть спрямовані вздовж радіуса кола до її центру.

Поряд із лінійною швидкістю v рівномірний рухМатеріальна точка по колу характеризується кутовою швидкістю. Кутова швидкість є відношенням кута повороту Dj радіуса-вектора до інтервалу часу, за який цей поворот стався,

Рад/с (1.10)

Для нерівномірного руху використовується поняття миттєвої кутової швидкості

.

Інтервал часу t, протягом якого матеріальна точка здійснює один повний оборот по колу, називають періодом обертання, а величину, обернену до періоду, - частотою обертання: n = 1/T, с -1 .

За один період кут повороту радіус-вектора матеріальної точки дорівнює 2π радий, тому Dt = Т, звідки період обертання , а кутова швидкість виявляється функцією періоду або частоти обертання

Відомо, що при рівномірному русі матеріальної точки по колу шлях, нею пройдений, залежить від часу руху та лінійної швидкості: s = vt, м. Шлях, який проходить матеріальна точка по колу радіусом R, за період дорівнює 2πR. Час, необхідний при цьому, дорівнює періоду обертання, тобто t = Т. І, отже,

2πR = vT, м (1.11)

та v = 2nR/T = 2πnR, м/с. Оскільки кут повороту радіус-вектора матеріальної точки за період обертання Т дорівнює 2π, то виходячи з (1.10), при Dt = Т, . Підставляючи (1.11), отримаємо і звідси знаходимо зв'язок між лінійною і кутовою швидкістю

Кутова швидкість – векторна величина. Вектор кутової швидкості спрямований з центру кола, по якому рухається матеріальна точка з лінійною швидкістю v, перпендикулярна площині кола за правилом правого гвинта.

При нерівномірному русіматеріальної точки по колу змінюються лінійна та кутова швидкості. За аналогією з лінійним прискоренняму цьому випадку вводиться поняття середнього кутового прискорення та миттєвого: . Співвідношення між дотичним та кутовим прискореннями має вигляд.

За допомогою цього уроку ви зможете самостійно вивчити тему «Прямолінійний та криволінійний рух. Рух тіла по колу із постійною за модулем швидкістю». Спочатку ми охарактеризуємо прямолінійне і криволінійне рух, розглянувши, як із цих видах руху пов'язані вектор швидкості і прикладена до тілу сила. Далі розглянемо окремий випадокколи відбувається рух тіла по колу з постійною за модулем швидкістю.

На попередньому уроці ми розглянули питання, пов'язані із законом всесвітнього тяжіння. Тема сьогоднішнього уроку тісно пов'язана із цим законом, ми звернемося до рівномірного руху тіла по колу.

Раніше ми говорили, що рух -це зміна положення тіла у просторі щодо інших тіл з часом. Рух та напрямок руху характеризуються у тому числі і швидкістю. Зміна швидкості та сам вид руху пов'язані з дією сили. Якщо на тіло діє сила, тіло змінює свою швидкість.

Якщо сила спрямована паралельно до руху тіла, то такий рух буде прямолінійним(Рис. 1).

Рис. 1. Прямолінійний рух

Криволінійнимбуде такий рух, коли швидкість тіла та сила, прикладена до цього тіла, спрямовані один щодо одного під деяким кутом (рис. 2). У цьому випадку швидкість змінюватиме свій напрямок.

Рис. 2. Криволінійний рух

Отже, за прямолінійному русівектор швидкості спрямований у той самий бік, як і сила, прикладена до тілу. А криволінійним рухомє такий рух, коли вектор швидкості та сила, прикладена до тіла, розташовані під деяким кутом один до одного.

Розглянемо окремий випадок криволінійного руху, коли тіло рухається по колу з постійною за модулем швидкістю. Коли тіло рухається по колу з постійною швидкістю, змінюється тільки напрям швидкості. За модулем вона залишається постійною, а напрямок швидкості змінюється. Така зміна швидкості призводить до наявності у тіла прискорення, яке називається доцентровим.

Рис. 6. Рух по криволінійній траєкторії

Якщо траєкторія руху тіла є кривою, її можна представити як сукупність рухів по дугах кіл, як це зображено на рис. 6.

На рис. 7 показано, як змінюється напрямок вектора швидкості. Швидкість за такого руху спрямована по дотичній до кола, дугою якої рухається тіло. Таким чином, її напрямок безперервно змінюється. Навіть якщо швидкість за модулем залишається величиною постійної, зміна швидкості призводить до появи прискорення:

В даному випадку прискореннябуде направлено до центру кола. Тому воно називається доцентровим.

Чому доцентрове прискорення спрямоване до центру?

Згадаймо, що й тіло рухається по криволінійної траєкторії, його швидкість спрямовано по дотичної. Швидкість є векторною величиною. У вектора є чисельне значення та напрямок. Швидкість у міру руху тіла безперервно змінює свій напрямок. Тобто різницю швидкостей у різні моменти часу нічого очікувати дорівнює нулю (), на відміну прямолінійного рівномірного руху.

Отже, ми маємо зміну швидкості за якийсь проміжок часу . Ставлення до – це прискорення. Ми приходимо до висновку, що навіть якщо швидкість не змінюється за модулем, у тіла, що здійснює рівномірний рух по колу, є прискорення.

Куди ж спрямоване це прискорення? Розглянемо рис. 3. Деяке тіло рухається криволінійно (по дузі). Швидкість тіла в точках 1 та 2 спрямована по дотичній. Тіло рухається поступово, тобто модулі швидкостей рівні: , але напрями швидкостей не збігаються.

Рис. 3. Рух тіла по колу

Віднімемо зі швидкість і отримаємо вектор. Для цього необхідно з'єднати початки обох векторів. Паралельно перенесемо вектор на початок вектора. Добудовуємо до трикутника. Третя сторона трикутника буде вектором різниці швидкостей (рис. 4).

Рис. 4. Вектор різниці швидкостей

Вектор спрямований у бік кола.

Розглянемо трикутник, утворений векторами швидкостей та вектором різниці (рис. 5).

Рис. 5. Трикутник, утворений векторами швидкостей

Цей трикутник є рівнобедреним (модулі швидкостей рівні). Значить, кути при основі рівні. Запишемо рівність для суми кутів трикутника:

З'ясуємо, куди спрямоване прискорення у цій точці траєкторії. Для цього почнемо наближати точку 2 до точки 1. При такому необмеженому старанні кут прагнутиме 0, а кут - . Кут між вектором зміни швидкості та вектором самої швидкості становить . Швидкість спрямована дотичною, а вектор зміни швидкості спрямований до центру кола. Значить, прискорення теж спрямоване до центру кола. Саме тому це прискорення носить назву доцентрове.

Як знайти відцентрове прискорення?

Розглянемо траєкторію, якою рухається тіло. У разі це дуга кола (рис. 8).

Рис. 8. Рух тіла по колу

На малюнку представлені два трикутники: трикутник, утворений швидкостями, та трикутник, утворений радіусами та вектором переміщення. Якщо точки 1 і 2 дуже близькі, вектор переміщення буде збігатися з вектором шляху. Обидва трикутники є рівнобедреними з однаковими кутами на вершині. Таким чином, трикутники подібні. Це означає, що відповідні сторони трикутників відносяться однаково:

Переміщення дорівнює добутку швидкості тимчасово: . Підставивши цю формулу, можна отримати наступне вираження для доцентрового прискорення:

Кутова швидкістьпозначається грецькою літероюомега (ω), вона говорить про те, на який кут повертається тіло за одиницю часу (рис. 9). Це величина дуги градусною мірою, пройденої тілом за деякий час.

Рис. 9. Кутова швидкість

Звернемо увагу, що якщо тверде тілообертається, то кутова швидкість будь-яких точок на цьому тілі буде величиною постійної. Ближче точка розташовується до центру обертання чи далі - це байдуже, т. е. від радіусу залежить.

Одиницею вимірювання у разі буде або градус за секунду (), або радіан за секунду (). Часто слово "радіан" не пишуть, а пишуть просто. Наприклад знайдемо, чому дорівнює кутова швидкість Землі. Земля робить повний поворот на за год, і в цьому випадку можна говорити про те, що кутова швидкість дорівнює:

Також зверніть увагу на взаємозв'язок кутової та лінійної швидкостей:

Лінійна швидкість прямо пропорційна радіусу. Чим більший радіус, тим більша лінійна швидкість. Тим самим, віддаляючись від центру обертання, ми збільшуємо свою лінійну швидкість.

Необхідно відзначити, що рух по колу з постійною швидкістю – це окремий випадок руху. Однак рух по колу може бути нерівномірним. Швидкість може змінюватися не тільки за напрямом і залишатися однаковою за модулем, але й змінюватися за своїм значенням, тобто, крім зміни напрямку, існує зміна модуля швидкості. У цьому випадку ми говоримо про так званий прискорений рух по колу.

Що таке радіан?

Існує дві одиниці виміру кутів: градуси та радіани. У фізиці, як правило, радіальний захід кута є основним.

Побудуємо центральний кут, що спирається на дугу завдовжки.

Рух – це зміна положення
тіла у просторі щодо інших
тіл із часом. Рух та
напрямок руху характеризуються в
в тому числі і швидкістю. Зміна
швидкості та сам вид руху пов'язані з
дією сили. Якщо на тіло діє
сила, тіло змінює свою швидкість.

Якщо сила спрямована паралельно
руху тіла, в один бік, таке
рух буде прямолінійним.

Криволінійним буде такий рух,
коли швидкість тіла та сила, прикладена до
цьому тілу, спрямовані друг щодо
друга під деяким кутом. В цьому випадку
швидкість змінюватиме своє
напрямок.

Отже, при прямолінійному
руху вектор швидкості спрямований в ту
ж бік, як і сила, прикладена до
тілу. А криволінійним
рухом є такий рух,
коли вектор швидкості та сила,
прикладена до тіла, розташовані під
деяким кутом один до одного.

Центрошвидке прискорення

ЦЕНТРІМКОВИЧЕ
ПРИСКОРІННЯ
Розглянемо окремий випадок
криволінійного руху, коли тіло
рухається по колу з постійною по
модулю швидкістю. Коли тіло рухається
по колу з постійною швидкістю, то
змінюється лише напрямок швидкості. за
модулю вона залишається постійною, а
напрямок швидкості змінюється. Таке
зміна швидкості призводить до наявності у
тіла прискорення, яке
називається доцентровим.

Якщо траєкторія руху тіла є
кривою, то її можна уявити як
сукупність рухів по дугах
кіл, як це представлено на рис.
3.

На рис. 4 показано, як змінюється напрямок
швидкість вектор. Швидкість за такого руху
спрямована по дотичному до кола, по дузі
якою рухається тіло. Таким чином, її
напрямок безперервно змінюється. Навіть якщо
швидкість по модулю залишається величиною постійної,
зміна швидкості призводить до появи прискорення:

У цьому випадку прискорення буде
спрямовано до центру кола. Тому
воно називається доцентровим.
Розрахувати його можна за наступною
формулою:

Кутова швидкість. зв'язок кутовий та лінійний швидкостей

КУТОВА ШВИДКІСТЬ. ЗВ'ЯЗОК
Кутовий і лінійний
ШВИДКОСТЕЙ
Деякі характеристики руху по
кола
Кутова швидкість позначається грецькою
літерою омега (w), вона говорить про те, на якій
кут повертається тіло за одиницю часу.
Це величина дуги у градусній мірі,
пройденою тілом за деякий час.
Зверніть увагу, якщо тверде тіло обертається, то
кутова швидкість для будь-яких точок на цьому тілі
буде величиною постійною. Ближче крапка
розташований до центру обертання або далі –
це важливо, тобто. від радіусу не залежить.

Одиницею виміру у разі буде
або градус в секунду, або радіан у
секунду. Часто слово "радіан" не пишуть, а
пишуть просто з-1. Наприклад знайдемо,
чому дорівнює кутова швидкість Землі. Земля
робить повний поворот на 360° за 24 год, і
цьому випадку можна говорити про те, що
кутова швидкість дорівнює.

Також зверніть увагу на взаємозв'язок кутовий
швидкості та лінійної швидкості:
V = w. R.
Слід зазначити, що рух по
кола з постійною швидкістю - це приватний
випадок руху. Однак рух по колу
може бути нерівномірним. Швидкість може
змінюватися не тільки за напрямком та залишатися
однаковою за модулем, але й змінюватись по своєму
значенням, тобто, крім зміни напряму,
Існує ще й зміна модуля швидкості. В
цьому випадку ми говоримо про так зване
прискореному русі по колу.

Залежно від форми траєкторії рух можна поділяти на прямолінійний та криволінійний. Найчастіше можна зіткнутися із криволінійними рухами, коли траєкторія представлена ​​у вигляді кривої. Прикладом такого виду руху є шлях тіла, кинутого під кутом до горизонту, рух Землі навколо Сонця, планет тощо.

Малюнок 1 . Траєкторія та переміщення при криволінійному русі

Визначення 1

Криволінійним рухомназивають рух, траєкторія якого є криву лінію. Якщо тіло рухається по криволінійній траєкторії, вектор переміщення s → спрямований по хорді, як показано на малюнку 1 , а l є довжиною траєкторії. Напрямок миттєвої швидкості руху тіла йде по дотичній у тій же точці траєкторії, де Наразірозташовується об'єкт, що рухається, як показано на малюнку 2 .

2 . Миттєва швидкість при криволінійному русі

Визначення 2

Криволінійний рух матеріальної точкиназивають рівномірним тоді, коли модуль швидкості постійний (рух по колу), і рівноприскореним при напрямі, що змінюється, і модулі швидкості (рух кинутого тіла).

Криволінійний рух завжди прискорений. Це пояснюється тим, що навіть при незміненому модулі швидкості, а зміненому напрямку завжди є прискорення.

Для того щоб досліджувати криволінійний рух матеріальної точки, застосовують два методи.

Шлях розбивається деякі ділянки, кожному у тому числі його вважатимуться прямолінійним, як показано малюнку 3 .

3 . Розбиття криволінійного руху на поступальні

Тепер для кожної ділянки можна використовувати закон прямолінійного руху. Такий принцип допускається.

Найзручнішим способом вирішення вважається уявлення шляху як сукупності кількох рухів по дугах кіл, як показано малюнку 4 . Кількість розбивок буде набагато меншою, ніж у попередньому методі, крім того, рух по колу вже є криволінійним.

4 . Розбиття криволінійного руху на рухи по дугах кіл

Примітка 1

Для запису криволінійного руху необхідно вміти описувати рух по колу, довільний рух представляти як сукупностей рухів по дугах цих кіл.

Дослідження криволінійного руху включає складання кінематичного рівняння, яке описує цей рух і дозволяє за наявними початковими умовами визначити всі характеристики руху.

Приклад 1

Дано матеріальну точку, що рухається по кривій, як показано на малюнку 4 . Центри кіл O 1 , O 2 , O 3 розташовуються на одній прямій. Необхідно знайти переміщення
s → та довжину шляху l під час руху з точки А до Ст.

Рішення

За умовою маємо, що центри кола належать до однієї прямої, звідси:

s → = R1+2R2+R3.

Оскільки траєкторія руху – це сума півкола, то:

l ~ A B = π R 1 + R 2 + R 3 .

Відповідь: s → = R 1 + 2 R 2 + R 3 l ~ A B = π R 1 + R 2 + R 3 .

Приклад 2

Дана залежність пройденого тілом шляху від часу, представлена ​​рівнянням s(t) = A + B t + C t 2 + D t 3 (C = 0, 1 м/с 2, D = 0, 003 м/с 3). Обчислити, через який проміжок часу після початку руху прискорення тіла дорівнюватиме 2 м/с 2

Рішення

Відповідь: t = 60 с.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter