Складання негативних коренів. Що таке квадратне коріння і як воно складається

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у Особливому розділі 555.
Для тих, хто сильно не дуже. »
І для тих, хто дуже навіть. »)

У попередньому уроці ми з'ясували, що таке квадратний корінь. Настав час розібратися, які існують формули для коріння, які властивості кореніві що з усім цим можна робити.

Формули коренів, властивості коренів та правила дій з корінням— це, по суті, те саме. Формул для квадратного коріння на подив небагато. Що, безумовно, тішить! Вірніше, понаписати будь-яких формул можна багато, але для практичної та впевненої роботи з корінням достатньо всього трьох. Решта з цих трьох відбувається. Хоча і в трьох формулах коріння багато блукають, так.

Почнемо з найпростішої. Ось вона:

Нагадую (з попереднього уроку): а та b — невід'ємні числа! Інакше формула сенсу немає.

Це властивість коріння , як бачите просте, коротке та невинне. Але за допомогою цієї формули коріння можна робити масу корисних речей! Розберемо на прикладивсі ці корисні речі.

Корисна річперша. Ця формула дозволяє нам множити коріння.

Як множити коріння?

Так, дуже просто. Просто за формулою. Наприклад:

Здається, помножили, і що? Чи багато радості? Згоден, небагато. А ось як вам такий приклад?

З множників коріння не витягуються. А з результату – чудово! Вже краще, правда? Про всяк випадок повідомлю, що множників може бути скільки завгодно. Формула множення коріння все одно працює. Наприклад:

Так, з множенням все ясно, навіщо це потрібно властивість коріння- теж зрозуміло.

Корисна річ друга. Внесення числа під знак кореня.

Як зробити число під корінь?

Припустимо, що у нас є такий вираз:

Чи можна сховати двійку всередину кореня? Легко! Якщо з двійки зробити коріння, спрацює формула множення коріння. А як із двійки корінь зробити? Та теж не питання! Двійка – це корінь квадратний із чотирьох!

Корінь, між іншим, можна зробити з будь-якого негативного числа! Це буде корінь квадратний із квадрата цього числа. 3 — корінь із 9. 8 — корінь із 64. 11 — корінь із 121. Ну, і так далі.

Звичайно, розписувати так докладно потреби немає. Хіба що для початку. Досить збагнути, будь-яке неотрицательное число, помножене на корінь, можна внести під корінь. Але – не забувайте! — під корінням це число стане квадратомсамого себе. Цю дію - внесення числа під корінь - можна назвати множенням числа на корінь. Загалом можна записати:

Процедура проста, як бачите. А навіщо вона потрібна?

Як і будь-яке перетворення, ця процедура розширює наші можливості. Можливості перетворити жорстоке та незручне вираження на м'яке та пухнасте). Ось вам простенький приклад:

Як бачите, властивість коріння,що дозволяє вносити множник під знак кореня, цілком годиться для спрощення.

Крім того, внесення множника під корінь дозволяє легко і просто порівнювати значення різних коренів. Без жодного їх обчислення та калькулятора! Третя корисна річ.

Як порівнювати коріння?

Це вміння дуже важливе у солідних завданнях, при розкритті модулів та інших крутих речах.

Порівняйте ці висловлювання. Яка з них більша? Без калькулятора! Із калькулятором кожен. е-е-е. коротше, кожен впорається!

Так одразу й не скажеш. А якщо внести числа під знак кореня?

Запам'ятаємо (раптом не знали?): якщо число під знаком кореня більше, то й сам корінь — більше! Звідси відразу правильна відповідь, без будь-яких складних обчислень та розрахунків:

Здорово, так? Але це ще не все! Згадаймо, що це формули працюють як зліва направо, і справа наліво. Ми поки що формулу множення коріння зліва направо вживали. Давайте запустимо цю властивість коріння навпаки, праворуч наліво. Ось так:

І яка різниця? Хіба це щось дає? Звичайно! Нині самі побачите.

Припустимо, нам потрібно витягти (без калькулятора!) Корінь квадратний з числа 6561. Дехто на цьому етапі і впаде в нерівній боротьбі із завданням. Але ми наполегливі, ми не здаємося! Корисна річ четверта.

Як видобувати коріння з великих чисел?

Згадуємо формулу вилучення коренів із твору. Що я трохи вище написав. Але де у нас твір! У нас величезна кількість 6561 і вся. Так, твори тут нема. Але якщо нам треба – ми його зробимо! Розкладемо це число на множники. Маємо право.

Спочатку зрозуміємо, на що ділиться це число рівно? Що, не знаєте! Ознаки подільності забули! Даремно. Ідіть у Особливий розділ 555, тема «Дроби», там вони є. На 3 та 9 ділиться це число. Оскільки сума цифр (6+5+6+1=18) ділиться ці цифри. Це одна з ознак подільності. На три нам ділити ні до чого (зараз зрозумієте, чому), а ось на 9 поділимо. Хоч би й куточком. Отримаємо 729. Ось ми і знайшли два множники! Перший — дев'ятка (це ми самі обрали), а другий — 729 (такий вийшов). Вже можна записати:

Уловлюєте ідею? З числом 729 надійдемо аналогічно. Воно теж ділиться на 3 та 9. На 3 знову не ділимо, ділимо на 9. Отримуємо 81. А це число ми знаємо! Записуємо:

Все вийшло легко та елегантно! Корінь довелося по шматочкам витягувати, та й добре. Так можна чинити з будь-якими великими числами. Розкладати їх на множники, і вперед!

До речі, а чому на три ділити не треба було, здогадалися? Та тому, що корінь із трьох рівно не витягується! Має сенс розкладати на такі множники, щоб хоч би з одного коріння добре витягувався. Це 4, 9, 16 ну, і таке інше. Ділить своє величезне число на ці числа по черзі, дивишся, і пощастить!

Але не обов'язково. Може й не поталанити. Скажімо, число 432 при розкладанні на множники та використанні формули коренів для добутку дасть такий результат:

Ну і добре. Все одно ми спростили вираз. У математиці прийнято залишати під корінням невелике числоіз можливих. У процесі вирішення все залежить від прикладу (може і без спрощення все зменшується), а ось у відповіді треба дати результат, який вже подальшому спрощенню не піддається.

До речі, знаєте, що ми з вами зараз з коренем із 432 зробили?

Ми винесли множники з-під знаку кореня ! Ось так називається ця операція. А то трапиться завдання - винести множник з-під знаку кореня» а мужики-то і не знають.) Ось вам ще одне застосування властивості коріння.Корисна річ п'ята.

Як винести множник з-під кореня?

Легко. Розкласти підкорене вираз на множники та витягти коріння, яке витягується. Дивимося:

Нічого надприродного. Важливо правильно вибрати множники. Тут ми розклали 72 як 36.2. І все вийшло вдало. А могли розкласти інакше: 72 = 6 · 12. І що!? Ні з 6, ні з 12 корінь не вилучається. Що робити?!

Нічого страшного. Або пошукати інші варіанти розкладання, або розкладати все до упору! Ось так:

Як бачимо, все вийшло. Це, до речі, не найшвидший, але самий надійний спосіб. Розкладати число на найменші множники, а потім збирати в купки однакові. Спосіб успішно застосовується і при перемноженні незручного коріння. Наприклад, треба вирахувати:

Перемножувати все - божевільне число вдасться! І як потім із нього корінь витягувати?! Знову на множники розкладати? Ні, зайва робота нам ні до чого. Відразу розкладаємо на множники і збираємо однакові за купками:

От і все. Звичайно, розкладати не обов'язково. Все визначається вашими особистими здібностями. Довели приклад до стану, коли вам все ясно,отже, можна вже рахувати. Головне – не помилятися. Чи не людина для математики, а математика для людини!)

Чи застосуємо знання до практики? Почнемо з простенького:

Правило складання квадратного коріння

Властивості квадратного коріння

Досі ми здійснювали над числами п'ять арифметичних операцій: додавання, віднімання, множення, Поділ і зведення в ступінь, причому при обчислення активно використовували різні властивості цих операцій, наприклад а + b = b + а, а n -b n = (аb) n і т.д.

У цьому розділі запроваджено нову операцію - вилучення квадратного кореня з неотрицательного числа. Щоб успішно її використовувати, потрібно познайомитися з властивостями цієї операції, що ми зробимо в параграфі.

Доказ. Введемо такі позначення:
Нам треба довести, що з невід'ємних чисел х, у, z виконується рівність х = yz.

Отже, х 2 = ab, 2 = а, z 2 = b. Тоді х 2 = y 2 z 2 тобто х 2 = (yz) 2 .

Якщо квадратидвох невід'ємних чисел рівні, те й самі числа рівні, отже, з рівності х 2 = (yz) 2 випливає, що х = yz, а це потрібно довести.

Наведемо короткий запис доказу теореми:

Примітка 1. Теорема залишається справедливою і для випадку, коли підкорене вираз є твір більш ніж двох не негативних множників.

Примітка 2. Теорему 1 можна оформити, використовуючи конструкцію «якщо. , то» (як це прийнято для теорем у математиці). Наведемо відповідне формулювання: якщо а і b - невід'ємні числа, то справедлива рівність .

Наступну теорему ми так і оформимо.

(Коротке формулювання, яке зручніше використовувати на практиці: корінь із дробу дорівнює дробувід коріння або корінь із частки дорівнює приватному від коріння.)

Цього разу ми наведемо лише короткий запис доказу, а ви спробуйте зробити відповідні коментарі, аналогічні тим, що склали суть доказу теореми 1.

Приклад 1. Обчислити.
Рішення. Скориставшись першою властивістю квадратного коріння(теорема 1), отримуємо

Примітка 3. Звичайно, цей приклад можна вирішити по-іншому, особливо якщо у вас під рукою мікрокалькулятор: перемножити числа 36, 64, 9, а потім витягти квадратний корінь з отриманого твору. Проте, погодьтеся, запропоноване рішення виглядає більш культурно.

Примітка 4. При першому способі ми проводили обчислення "в лоб". Другий спосіб витонченіше:
ми застосували формулуа 2 - b 2 = (а - b) (а + b) і скористалися властивістю квадратного коріння.

Примітка 5. Деякі «гарячі голови» пропонують іноді таке «рішення» прикладу 3:

Це, звичайно, не так: ви бачите - результат вийшов не такий, як у нас у прикладі 3. Справа в тому, що немає властивості як немає і властивості Є лише властивості, що стосуються множення та поділу квадратного коріння. Будьте уважні та обережні, не приймайте бажане за дійсне.

Приклад 4. Обчислити: а)
Рішення. Будь-яка формула в алгебрі використовується не лише «праворуч наліво», але й «зліва направо». Так, перша властивість квадратного коріння означає, що в разі потреби можна представити у вигляді , і назад, що можна замінити виразом Те ж відноситься і до другої властивості квадратного коріння. З огляду на це вирішимо запропонований приклад.

Завершуючи параграф, відзначимо ще одне досить просте і водночас важлива властивість:
якщо a > 0 та n - натуральне число , то

Приклад 5.Обчислити , не використовуючи таблицю квадратів чисел та мікрокалькулятор.

Рішення. Розкладемо підкорене число на прості множники:

Примітка 6. Цей приклад можна було вирішити так само, як і аналогічний приклад § 15. Неважко здогадатися, що у відповіді вийде «80 з хвостиком», оскільки 80 2 2 . Знайдемо "хвостик", тобто останню цифру шуканого числа. Поки ми знаємо, що якщо корінь витягується, то у відповіді може вийти 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 або 89. Перевірити треба лише два числа: 84 і 86, оскільки вони при зведенні в квадрат дадуть в результаті чотиризначнечисло, що закінчується цифрою 6, тобто. тією ж цифрою, якою закінчується число 7056. Маємо 84 2 = 7056 це те, що потрібно. Значить,

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Навч. для загальноосвіт. установ.- 3-тє вид., Доопрацювання. – М.: Мнемозіна, 2001. – 223 с: іл.

Книги, підручники математики скачати, конспект на допомогу вчителю та учням, вчитися онлайн

Якщо ви маєте виправлення або пропозиції до цього уроку, напишіть нам.

Якщо ви хочете побачити інші коригування та побажання до уроків, дивіться тут - Освітній форум.

Як складати квадратне коріння

Квадратним коренем з числа Xназивається число A, яке в процесі множення самого на себе ( A*A) може дати число X.
Тобто. A * A = A 2 = X, і √X = A.

Над квадратним корінням ( √x), як і над іншими числами, можна виконувати такі арифметичні операції, як віднімання та додавання. Для віднімання та складання коріння їх потрібно з'єднати за допомогою знаків, що відповідають цим діям (наприклад √x - √y ).
А потім привести коріння до них найпростішою формою- Якщо між ними виявляться подібні, необхідно зробити приведення. Воно полягає в тому, що беруться коефіцієнти подібних членів зі знаками відповідних членів, далі полягають у дужках та виводиться загальний корінь за дужками множника. Коефіцієнт, який ми отримали, спрощується за звичайними правилами.

Крок 1. Вилучення квадратних коренів

По-перше, для складання квадратного коріння спочатку потрібно це коріння витягти. Це можна буде зробити, якщо числа під знаком кореня будуть повними квадратами. Наприклад візьмемо заданий вираз √4 + √9 . Перше число 4 є квадратом числа 2 . Друге число 9 є квадратом числа 3 . Таким чином, можна отримати таку рівність: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Все, приклад вирішено. Але так просто буває далеко не завжди.

Крок 2. Винесення множника числа з-під кореня

Якщо повних квадратів немає під знаком кореня, можна спробувати винести множник з-під знаку кореня. Наприклад візьмемо вираз √24 + √54 .

Розкладаємо числа на множники:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

В числі 24 ми маємо множник 4 його можна винести з-під знака квадратного кореня. В числі 54 ми маємо множник 9 .

Отримуємо рівність:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Розглядаючи цей приклад, ми отримуємо винос множника з-під знака кореня, тим самим спрощуючи заданий вираз.

Крок 3. Скорочення знаменника

Розглянемо таку ситуацію: сума двох квадратних коренів – це знаменник дробу, наприклад, A/(√a+√b).
Тепер перед нами стоїть завдання «позбутися ірраціональності у знаменнику».
Скористаємося в такий спосіб: множимо чисельник і знаменник дробу на вираз √a - √b.

Формулу скороченого множення ми тепер отримуємо у знаменнику:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Аналогічно, якщо в знаменнику є різниця коріння: √a - √b, чисельник і знаменник дробу множимо на вираз √a + √b.

Візьмемо для прикладу дріб:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Приклад складного скорочення знаменника

Тепер розглядатимемо достатньо складний прикладпозбавлення ірраціональності в знаменнику.

Для прикладу беремо дріб: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Потрібно взяти її чисельник і знаменник і перемножити вираз √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Крок 4. Обчислення приблизного значення на калькуляторі

Якщо вам потрібне лише приблизне значення, це можна зробити на калькуляторі шляхом підрахунку значення квадратного коріння. Окремо для кожного числа обчислюється значення та записується з необхідною точністю, яка визначається кількістю знаків після коми. Далі здійснюються всі необхідні операції, як із звичайними числами.

Приклад обчислення приблизного значення

Необхідно обчислити приблизне значення цього виразу √7 + √5 .

У результаті отримуємо:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Зверніть увагу: ні за яких умов не слід робити додавання квадратних коренів, як простих чисел, це абсолютно неприпустимо. Тобто, якщо скласти квадратний корінь із п'яти і з трьох, у нас не може вийти квадратний корінь із восьми.

Корисна порада: якщо ви вирішили розкласти число на множники, для того щоб вивести квадрат з-під знака кореня, вам необхідно зробити зворотну перевірку, тобто перемножити всі множники, які вийшли в результаті обчислень, і в кінцевому результаті цього математичного розрахунку має вийти число, яке нам було поставлено спочатку.

Дія з корінням: складання та віднімання

Вилучення квадрантного кореня у складі не єдина операція, яку можна проводити з цим математичним явищем. Як і звичайні числа, квадратне корінняскладають та віднімають.

Правила складання та віднімання квадратного коріння

Такі дії, як додавання і віднімання квадратного кореня, можливі лише за умови однакового підкореного виразу.

Можна скласти або відняти вирази 2 3 та 6 3, але не 5 6 і 9 4 . Якщо є можливість спростити вираз і привести його до коріння з однаковим підкореним числом, спрощуйте, а потім складайте або віднімайте.

Дії з корінням: основи

6 50 — 2 8 + 5 12

1. Спростити підкорене вираз. Для цього необхідно розкласти підкорене вираз на 2 множники, один з яких - квадратне число (число, з якого витягується цілий квадратний корінь, наприклад, 25 або 9).
2. Потім потрібно вийняти корінь з квадратного числа та записати отримане значення перед знаком кореня. Звертаємо вашу увагу, що другий множник заноситься під знак кореня.
3. Після процесу спрощення необхідно підкреслити коріння з однаковими підкореними виразами - тільки їх можна складати та віднімати.
4. У коріння з однаковими підкореними виразами необхідно скласти або відняти множники, які стоять перед знаком кореня. Підкорене вираз залишається без змін. Не можна складати чи віднімати підкорені числа!

Якщо у вас приклад з великою кількістюоднакових підкорених виразів, то підкреслюйте такі вирази одинарними, подвійними та потрійними лініями, щоб полегшити процес обчислення.

Давайте спробуємо вирішити цей приклад:

6 50 = 6 (25×2) = (6×5) 2 = 30 2 . Для початку необхідно розкласти 50 на 2 множника 25 і 2, потім витягти корінь з 25, який дорівнює 5, а 5 винести з-під кореня. Після цього потрібно помножити 5 на 6 (множник у кореня) і одержати 30 2 .

2 8 = 2 (4×2) = (2×2) 2 = 4 2 . Спершу необхідно розкласти 8 на 2 мнодителя: 4 і 2. Потім з 4 витягти корінь, який дорівнює 2, а 2 винести з-під кореня. Після цього потрібно помножити 2 на 2 (мнодій у кореня) і отримати 4 2 .

5 12 = 5 (4×3) = (5×2) 3 = 10 3 . Спочатку необхідно розкласти 12 на 2 множники: 4 і 3. Потім витягти з 4 корінь, який дорівнює 2, і винести його з-під кореня. Після цього потрібно помножити 2 на 5 (множник у кореня) і отримати 103.

Результат спрощення: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

У результаті ми побачили, скільки однакових підкорених виразів міститься в даному прикладі. А зараз попрактикуємось на інших прикладах.

• Спрощуємо (45) . Розкладаємо 45 на множники: (45) = (9 × 5);
• Виносимо 3 з-під кореня (9 = 3): 45 = 3 5;
• Складаємо множники біля коріння: 3 5 + 4 5 = 7 5 .
• Спрощуємо 6 40 . Розкладаємо 40 на множники: 640 = 6 (4 × 10) ;
• Виносимо 2 з-під кореня (4 = 2): 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10;
• Перемножуємо множники, що стоять перед корінням: 12 10;
• Записуємо вираз у спрощеному вигляді: 12 10 - 3 10 + 5;
• Оскільки перші два члени мають однакові підкорені числа, ми можемо їх відняти: (12 — 3) 10 = 9 10 + 5 .

Як ми бачимо, спростити підкорені числа неможливо, тому шукаємо в прикладі члени з однаковими підкореними числами, проводимо математичні дії (складаємо, віднімаємо і т.д.) і записуємо результат:

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

Поради:

• Перед тим, як складати або віднімати, необхідно обов'язково спростити (якщо це можливо) підкорені вирази.
• Складати та віднімати коріння з різними підкореними виразами суворо забороняється.
• Не слід підсумовувати чи віднімати ціле число чи корінь: 3 + (2 x) 1/2 .
• При виконанні дій з дробами необхідно знайти число, яке ділиться націло на кожен знаменник, потім привести дроби до спільного знаменника, потім скласти чисельники, а знаменники залишити без змін.

Властивості арифметичного квадратного кореня. Властивості арифметичного квадратного кореня

Перетворення арифметичних квадратних коренів. Перетворення арифметичних квадратних коренів

Щоб витягти квадратний корінь із багаточлена, треба вирахувати многочлен і з отриманого числа витягти корінь.

Увага!Не можна витягувати корінь з кожного доданку (зменшуваного та віднімається) окремо.

Щоб витягти квадратний корінь з багаточлена, треба обчислити багаточлен і з отриманого числа витягти корінь.

Увага!Не можна витягати корінь з кожного додатку (зменшуваного та від'ємного) окремо.

Щоб витягти квадратний корінь із твору (приватного), можна обчислити корінь квадратний з кожного множника (діленого та дільника), а отримані значення взяти твором (приватним).

Щоб витягти квадратний корінь з добутку (частки), можна обчислити корінь квадратний з кожного множника (діленого і дільника), а отримані значення взяти добутком (часткою).

Щоб витягти квадратний корінь із дробу, треба витягти квадратний корінь із чисельника та знаменника окремо, а отримані значення залишити дробом або обчислити як приватне (якщо можливо це за умовою).

Щоб витягти квадратний корінь з дробу, треба витягти квадратний корінь з чисельника і знаменника окремо, а отримані значення залишити дробом або обчислити як частину (якщо це за умовою).

З-під знака кореня можна винести множник та можна внести множник під знак кореня. При винесенні множника з нього вилучається корінь, а при внесенні він зводиться у відповідний ступінь.

З-під знака кореня можна винести множник і можна внести множник під знак кореня. При винесенні множника з нього витягується корінь, а при внесенні — він зводиться у відповідну ступінь.

приклади. Приклади

Щоб перетворити суму (різницю) квадратних коренів, потрібно привести підкорені вирази до однієї основи ступеня, якщо це можливо, витягти коріння зі ступенів і записати їх перед знаками коренів, а квадратні коріння, що залишилися, з однаковими підкореними виразами можна скласти, для чого складаються коефіцієнти перед знаком кореня і дописується той самий квадратний корінь.

Щоб перетворити суму (різницю) квадратних коренів, потрібно привести підкоренні вирази до однієї основи ступеня, якщо це можливо, отримати коріння ступенів і записати їх перед знаками коренів, а інші квадратні корені з однаковими підкореними виразами можна скласти, для чого складаються коефіцієнти перед знаком кореня і дописується той самий квадратний корінь.

Наведемо всі підкорені вирази до основи 2.

З парного ступеня корінь витягується повністю, з непарного ступеня корінь основи ступінь 1 залишаємо під знаком кореня.

Наводимо подібні цілі числа та коефіцієнти складаємо з однаковим корінням. Запишемо двочлен як добуток числа та двочлена суми.

Наведемо всі підкорені вирази до основи 2.

З парного ступеня корінь витягується повністю, з непарного ступеня корінь основи у щаблі 1 залишаємо під знаком кореня.

Наводимо подібні цілі числа та коефіцієнти складаємо з однаковим корінням. Запишемо двочлен як добуток числа і двочлена сумі.

Наводимо підкорені вирази до найменшої основи або добутку ступенів з найменшими основами. З парних ступенів підкорених виразів вилучаємо корінь, залишки у вигляді основи ступеня з показником 1 або добутком таких основ залишаємо під знаком кореня. Наводимо подібні члени (складаємо коефіцієнти однакового коріння).

Наводимо підкорені вирази до найменшої основи або видобутку ступенів з найменшими основами. З парних щаблів підкорених виразів витягаємо корінь, залишки у вигляді основи ступеня з показником 1 або видобутком таких основ залишаємо під знаком кореня. Наводимо подібні члени (складаємо коефіцієнти однакових коренів).

Замінимо поділ дробів на множення (із заміною другого дробу на зворотний). Перемножимо окремо чисельники та знаменники дробів. Під кожним знаком кореня виділимо ступеня. Скоротимо однакові множники у чисельнику та знаменнику. Виймемо коріння з парних ступенів.

Замінимо ділення дробів на множення (із заміною іншого дробу на зворотний). Перемножимо окремо чисельники та знаменники дробів. Під шкірним знаком кореня виділимо щаблі. Коротко однакові множники в чисельнику і знаменнику. Винесемо коріння з парних щаблів.

Щоб порівняти два квадратні корені, їх підкорені висловлювання треба навести ступеня з однаковою основою, тоді що більше показати ступеня підкореного висловлювання, то більше вписувалося значення квадратного кореня.

У цьому прикладі привести до однієї основи підкорені вирази не можна, тому що в першій основі 3, а в другій – 3 та 7.

Другий спосіб порівняння полягає в тому, щоб внести коефіцієнт кореня в підкорене вираз і порівняти числові значення підкорених виразів. У квадратного кореня що більше підкорене вираз, тим більше значення кореня.

Щоб порівняти два квадратні корені, їх підкорені вирази треба привести до ступеня з однаковою основою, тоді чим більший показник ступеня підкореневого віразу, тим більше значення квадратного кореня.

У цьому прикладі привести до однієї основи підкорені вирази не можна, тому що у першому основа 3, а в іншому — 3 і 7.

Інший спосіб порівняння полягає в тому, щоб внести коефіцієнт кореня в підкореневий вираз і порівняти числові значення підкорених виразів. У квадратного кореня чим більший підкореневий вираз, тим більше значення кореня.

Використовуючи розподільчий закон множення і правило множення коренів з однаковими показниками (у нашому випадку – квадратного коріння), отримали суму двох квадратних коренів із добутком під знаком кореня. Розкладемо 91 на прості множники і виносимо корінь за дужки із загальними підкореними множниками (13*5).

Ми отримали твір кореня та двочлена, у якого один із одночленів ціле число (1).

Використовуючи розподільний закон множення і правило множення коренів з однаковими показниками (у нашому випадку — квадратних коренів), отримали суму двох квадратних коренів із добутком під знаком кореня. Розкладемо 91 на прості множники і виносимо корінь за дужки із загальними підкореневими множниками (13*5).

Ми отримали добуток кореня і двочлена, у якого один із одночленів ціле число (1).

Приклад 9:

У підкорених виразах виділимо множниками числа, з яких можна витягти цілий квадратний корінь. Виймемо квадратне коріння зі степенів і поставимо числа коефіцієнтами квадратного коріння.

Члени даного багаточлена мають загальний множник √3, який можна винести за дужки. Наведемо подібні доданки.

У підкореневих виразах виділимо множниками числа, з яких можна отримати цілий квадратний корінь. Винесемо квадратні корені із ступенів і поставимо числа коефіцієнтами квадратних коренів.

У членів даного багаточлена є спільний множник √3, який можна винести за дужки. Наводимо подібні доданки.

Добуток суми та різниці двох однакових підстав(3 і √5) за формулою скороченого множення можна записати як різницю квадратів основ.

Корінь квадратний у квадраті завжди дорівнює підкореному виразу, тому ми позбавимося радикала (знака кореня) у виразі.

Добуток суми і різниці двох однакових основ (3 і √5) із формули скороченого множення можна записати як різницю квадратів основ.

Корінь квадратний у квадраті завжди дорівнює підкореневому віразу, тому ми позбудемося радикала (знака кореня) у виразі.

Знову в школу. Складання коренів

В наш час сучасних електронних обчислювальних машин обчислення кореня з числа не представляється складним завданням. Наприклад, √2704=52, це вам підрахує будь-який калькулятор. На щастя, калькулятор є не тільки в Windows, а й у звичайному, навіть простенькому телефоні. Правда якщо раптом (з малою часткою ймовірності, обчислення якої, між іншим, включає складення коренів) ви опинитеся без доступних коштів, то, на жаль, доведеться розраховувати лише на свої мізки.

Тренування розуму ніколи не вміщує. Особливо для тих, хто не так часто працює з цифрами, а тим більше з корінням. Додавання і віднімання коренів - гарна розминка для нудного розуму. А ще я покажу поетапно додавання коріння. Приклади виразів можуть бути такі.

Рівняння, яке потрібно спростити:

Це ірраціональний вираз. Для того, щоб його спростити, потрібно привести всі підкорені вирази до загального вигляду. Робимо поетапно:

Перше число спростити не можна. Переходимо до другого доданку.

3√48 розкладаємо 48 на множники: 48=2×24 або 48=3×16. Квадратний корінь з 24 не є цілим, тобто. має дрібний залишок. Тому що нам потрібно точне значення, то приблизне коріння нам не підходить. Квадратний корінь із 16 дорівнює 4, виноси його з-під знака кореня. Отримуємо: 3×4×√3=12×√3

Наступне вираження ми є негативним, тобто. написано зі знаком мінус -4×√(27.) Розкладаємо 27 на множники. Отримуємо 27 = 3×9. Ми не використовуємо дробових множників, тому що з дробів обчислювати квадратний корінь складніше. Виносимо 9 з-під символу, тобто. обчислюємо квадратний корінь. Отримуємо такий вираз: -4×3×√3 = -12×√3

Наступний доданок √128 обчислюємо частину, яку можна винести з-під кореня. 128 = 64×2, де √64 = 8. Якщо вам буде легше, можна представити цей вираз так: √128=√(8^2×2)

Переписуємо вираз із спрощеними доданками:

Тепер складаємо числа одним і тим самим підкореним виразом. Не можна складати або віднімати вирази з різними підкореними виразами. Додавання коренів вимагає дотримання цього правила.

Відповідь отримуємо таку:

√2=1×√2 — сподіваюся, те, що в алгебрі прийнято опускати подібні елементи, не стане для вас новиною.

Вирази можуть бути представлені не тільки квадратним коренем, але так само з кубічним або коренем n-ного ступеня.

Додавання та віднімання коренів з різними показниками ступеня, але з рівнозначним підкореним виразом, відбувається таким чином:

Якщо маємо вираз виду √a+∛b+∜b, ми можемо спростити цей вираз так:

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Ми привели два подібні члени до загального показника кореня. Тут використовувалося властивість коренів, яке свідчить: якщо число ступеня підкореного висловлювання і число показника кореня помножити одне й те саме число, його обчислення залишиться незмінним.

На замітку: показники ступеня складаються лише за множення.

Розглянемо приклад, як у вираженні присутні дроби.

Вирішуватимемо за етапами:

5√8=5*2√2 — ми виносимо з-під кореня ділянку.

Якщо в тіло кореня представлено дробом, то часто цього дробу не зміниться, якщо витягти квадратний корінь з дільника і дільника. У результаті ми отримали описану вище рівність.

Ось і вийшла відповідь.

Головне пам'ятати, що з негативних чисел не вилучається корінь із парним показником ступеня. Якщо парною мірою підкорене вираз є негативним, то вираз є нерозв'язним.

Складання коренів можливе тільки при збігу підкорених виразів, оскільки вони є подібними доданками. Те саме відноситься і до різниці.

Додавання коренів з різними числовими показниками ступеня проводиться за допомогою приведення до загального кореневого ступеня обох доданків. Цей закон діє так само як приведення до спільного знаменника при складанні або відніманні дробів.

Якщо в підкореному вираженні є число, зведене в ступінь, це вираз можна спростити за умови, що між показником кореня і ступеня існує спільний знаменник.

Квадратний корінь із твору та дробу

Квадратним коренем у складі a називають таке число, квадрат якого дорівнює a. Наприклад, числа -5 і 5 є квадратним корінням з числа 25. Тобто, коріння рівняння x^2=25, є квадратним корінням з числа 25. Тепер необхідно навчитися працювати з операцією вилучення квадратного кореня: вивчити його основні властивості.

Квадратний корінь із твору

√(a*b) =√a*√b

Квадратний корінь із добутку двох невід'ємних чисел, дорівнює добутку квадратного коріння з цих чисел. Наприклад, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Важливо розуміти, що ця властивість поширюється і на той випадок, коли підкорене вираз є твір трьох, чотирьох і т.д. невід'ємних множників.

Іноді зустрічається й інше формулювання цієї властивості. Якщо a і b є невід'ємні числа, то справедлива наступна рівність √(a*b) =√a*√b. Різниці між ними немає абсолютно ніякої, можна використовувати як одне, так і інше формулювання (кому яке зручніше запам'ятати).

Квадратний корінь із дробу

Якщо a>=0 і b>0, то справедлива така рівність:

√(a/b) =√a/√b.

Наприклад, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

У цієї властивості теж існує інше формулювання, на мій погляд, зручніше для запам'ятовування.
Квадратний корінь приватного дорівнює приватному від коріння.

Ці формули працюють як зліва направо, так і праворуч наліво. Тобто за потреби, ми можемо твір коренів уявити як корінь із твору. Те саме стосується і другої якості.

Як ви могли помітити, ці властивості дуже зручні, і хотілося б мати такі ж властивості для складання та віднімання:

√(a+b) =√a+√b;

√(a-b) =√a-√b;

Але на жаль таких властивостей квадратні коріння не мають, і тому так робити при обчисленнях не можна.

• 13. Проїзд перехресть ПДР 2018 з коментарями онлайн 13.1. При повороті направо або наліво водій зобов'язаний поступитися дорогою пішоходам та велосипедистам, що перетинають проїжджу частинудороги, якою він повертає. Ця вказівка ​​діє усім […]
• Батьківські збори "Права, обов'язки та відповідальність батьків" Презентація до уроку Завантажити презентацію (536,6 кБ) Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно в ознайомлювальних цілях і може не давати уявлення про всіх [...]
• Регіональний материнський капітал в Орлівській області Регіональний материнський капітал (МК) в Орлі та Орловській області було встановлено у 2011 році. Зараз він є додатковою мірою соціальної підтримки багатодітних сімейяк разової грошової […]
• Розмір одноразової допомоги при постановці на облік ранні терміни 2018 Запрошена Вами сторінка не знайдена. Можливо, Ви набрали неправильну адресу або сторінку було видалено. Для навігації скористайтесь […]
• Адвокат з економічних справ Злочини у економічній сфері- Досить об'ємне поняття. До таких дій належать шахрайство, незаконне підприємництво, легалізація грошових коштів, отриманих незаконним шляхом, незаконна банківська […]
• Прес-служба: Центральний банк Російської Федерації(Банк Росії) Прес-служба 107016, Москва, вул. Неглінна, 12www.cbr.ru Про призначення тимчасової адміністрації Департамент зовнішніх та громадських зв'язків Банку Росії повідомляє, що відповідно до пункту 2 […]
• Загальна характеристикаі короткий оглядводних шляхів Класифікація водних басейнів Класифікація водних басейнів для плавання прогулянкових (маломірних) суден, піднаглядних ДІМЗ Росії, здійснюється залежно від переважаючих у цих басейнах […]
• Кучерена = адвокат Віктора Цоя А це exclusif: сьогоднішній лист Анатолія Кучерени. Продовжуючи тему. Ніхто цього листа поки що не опублікував. А треба, гадаю. Частина 1 поки що. Незабаром оприлюднюю й другу частину, за підписом знаменитого юриста. Чому це важливо? […]

Вітаю, котани! Минулого разу ми докладно розібрали, що таке коріння (якщо не помнете, рекомендую почитати). Головний висновок того уроку: існує лише одне універсальне визначення коріння, яке вам потрібно знати. Решта — брехня та марнування часу.

Сьогодні ми йдемо далі. Вчимося множити коріння, вивчимо деякі проблеми, пов'язані з множенням (якщо ці проблеми не вирішити, то на іспиті вони можуть стати фатальними) і як слід потренуємося. Тому запасайтеся попкорном, влаштовуйтесь зручніше - і ми починаємо.

Адже ви теж ще не вкурили?

Урок вийшов досить великим, тому я розділив його на дві частини:

1. Спочатку ми розберемо правила множення. Кеп натякає: це коли є два корені, між ними стоїть знак «помножити» — і ми хочемо щось із цим зробити.
2. Потім розберемо зворотну ситуацію: є один великий корінь, а нам закортіло уявити його у вигляді добутку двох коренів простіше. З якого переляку це буває потрібно — окреме питання. Ми розберемо лише алгоритм.

Тим, кому не терпиться одразу перейти до другої частини – милості прошу. З рештою почнемо по порядку.

Основне правило множення

Почнемо з найпростішого — класичного квадратного коріння. Ті самі, які позначаються $\sqrt(a)$ і $\sqrt(b)$. Для них все взагалі очевидно:

Правило множення. Щоб помножити один квадратний корінь на інший, потрібно просто перемножити їх підкорені вирази, а результат записати під загальним радикалом:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Жодних додаткових обмежень на числа, що стоять праворуч або ліворуч, не накладається: якщо коріння-множники існують, то й твір теж існує.

приклади. Розглянемо відразу чотири приклади з числами:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(align)\]

Як бачите, основний сенс цього правила – спрощення ірраціональних виразів. І якщо в першому прикладі ми б і самі витягли коріння з 25 і 4 без будь-яких нових правил, то далі починається жерсть: $ \ sqrt (32) $ і $ \ sqrt (2) $ самі по собі не вважаються, але їх твір виявляється точним квадратом, тому корінь з нього дорівнює раціональному числу.

Окремо хотів би відзначити останній рядок. Там обидва підкорені вирази є дробами. Завдяки твору багато множників скорочуються, а весь вираз перетворюється на адекватне число.

Звичайно, не завжди все буде так гарно. Іноді під корінням стоятиме повна лажа - незрозуміло, що з нею робити і як перетворювати після множення. Трохи пізніше, коли почнете вивчати ірраціональні рівнянняі нерівності, там взагалі будуть всякі змінні та функції. І дуже часто укладачі завдань якраз і розраховують на те, що ви виявите якісь складові, що скорочуються, або множники, після чого завдання багаторазово спроститься.

Крім того, зовсім необов'язково перемножувати саме два корені. Можна помножити одразу три, чотири — та хоч десять! Правило від цього не зміниться. Погляньте:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0,001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0,001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(align)\]

І знову невелике зауваження щодо другого прикладу. Як бачите, у третьому множнику під коренем стоїть десятковий дріб - у процесі обчислень ми замінюємо його звичайним, після чого все легко скорочується. Так ось: дуже рекомендую позбавлятися десяткових дробів у будь-яких ірраціональних виразах (тобто містять хоча б один значок радикала). У майбутньому це заощадить вам купу часу та нервів.

Але це був ліричний відступ. Тепер розглянемо загальніший випадок — коли в показнику кореня стоїть довільне число $n$, а не лише «класична» двійка.

Випадок довільного показника

Отже, з квадратним корінням розібралися. А що робити з кубічними? Чи взагалі з корінням довільного ступеня $n$? Та все те саме. Правило залишається тим самим:

Щоб перемножити два корені ступеня $n$, достатньо перемножити їх підкорені вирази, після чого результат записати під одним радикалом.

Загалом нічого складного. Хіба що обсяг обчислень може бути більшим. Розберемо кілька прикладів:

приклади. Обчислити твори:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3) ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(align)\]

І знову увага друга вираз. Ми перемножуємо кубічні коріння, позбавляємося десяткового дробу і в результаті отримуємо в знаменнику добуток чисел 625 і 25. Це досить велике число— особисто я з ходу не вважаю, чому воно рівне.

Тому ми просто виділили точний куб у чисельнику та знаменнику, а потім скористалися однією з ключових властивостей (або, якщо завгодно — визначенням) кореня $n$-го ступеня:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a \right|. \\ \end(align)\]

Подібні «махінації» можуть здорово заощадити вам час на іспиті або контрольній роботітому запам'ятайте:

Не поспішайте перемножувати числа у підкореному вираженні. Спочатку перевірте: раптом там «зашифровано» точний ступінь якогось виразу?

За всієї очевидності цього зауваження має визнати, більшість непідготовлених учнів впритул не бачать точні степени. Натомість вони перемножують все напролом, а потім дивуються: чому це вийшли такі звірячі числа?:)

Втім, все це дитячий белькіт у порівнянні з тим, що ми вивчимо зараз.

Розмноження коренів з різними показниками

Ну, добре, тепер ми вміємо перемножувати коріння з однаковими показниками. А що якщо показники різні? Скажімо, як помножити звичайний $\sqrt(2)$ на якусь хрень типу $\sqrt(23)$? Чи можна це взагалі робити?

Так звичайно можна. Все робиться ось за цією формулою:

Правило множення коріння. Щоб помножити $\sqrt[n](a)$ на $\sqrt[p](b)$, достатньо виконати таке перетворення:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Однак ця формула працює лише за умови, що підкорені вирази невід'ємні. Це дуже важливе зауваження, якого ми повернемося трохи пізніше.

А поки що розглянемо пару прикладів:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 8) = sqrt (648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \ sqrt (1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \ sqrt (5625). \\ \end(align)\]

Як бачите, нічого складного. Тепер давайте розберемося, звідки взялася вимога невід'ємності, і що буде, якщо ми її порушимо.

Примножувати коріння нескладно

Чому підкорені вирази мають бути невід'ємними?

Звичайно, можна уподібнитись шкільним вчителямта з розумним виглядом процитувати підручник:

Вимога неотрицательности пов'язані з різними визначеннями коренів парного і непарного ступеня (відповідно, області визначення вони теж різні).

Ну що стало зрозуміліше? Особисто я, коли читав це марення у 8-му класі, зрозумів для себе приблизно таке: «Вимога невід'ємності пов'язана з *#&^@(*#@^#)~%» — коротше, я ніхрена того разу не зрозумів. :)

Тому зараз поясню все по-нормальному.

Спочатку з'ясуємо, звідки взагалі береться формула множення, наведена вище. Для цього нагадаю одну важливу властивість кореня:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Іншими словами, ми можемо спокійно зводити підкорене вираз у будь-який натуральний ступінь $k$ - при цьому показник кореня доведеться помножити на цей же ступінь. Отже, ми легко зведемо будь-яке коріння до загального показника, після чого перемножимо. Звідси і береться формула множення:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Але є одна проблема, яка різко обмежує застосування цих формул. Розглянемо таке число:

Відповідно до наведеної формули ми можемо додати будь-яку міру. Спробуємо додати $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Мінус ми прибрали якраз тому, що квадрат спалює мінус (як і будь-який інший парний ступінь). А тепер виконаємо зворотне перетворення: скоротимо двійку в показнику і ступеня. Адже будь-яку рівність можна читати як ліворуч-право, так і праворуч-ліворуч:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2))) = sqrt (5). \\ \end(align)\]

Але тоді виходить якась хрень:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Цього не може бути, тому що $\sqrt(-5) \lt 0$, а $\sqrt(5) \gt 0$. Отже, для парних ступенів та негативних чисел наша формула не працює. Після чого у нас є два варіанти:

1. Вбитись об стіну констатувати, що математика — це безглузда наука, де є якісь правила, але це неточно;
2. Ввести додаткові обмеження, за яких формула стане робочою на 100%.

У першому варіанті нам доведеться постійно виловлювати "непрацюючі" випадки - це важко, довго і взагалі фу. Тому математики віддали перевагу другому варіанту.:)

Але не переживайте! На практиці це обмеження ніяк не впливає на обчислення, тому що всі ці проблеми стосуються лише коренів непарного ступеня, а з них можна виносити мінуси.

Тому сформулюємо ще одне правило, яке поширюється взагалі на всі дії з корінням:

Перш ніж перемножувати коріння, зробіть так, щоб підкорені вирази були негативними.

приклад. Серед $\sqrt(-5)$ можна винести мінус з-під знака кореня - тоді все буде норм:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Відчуваєте різницю? Якщо залишити мінус під коренем, то при зведенні підкореного виразу в квадрат він зникне і почнеться хрень. А якщо спочатку винести мінус, то можна хоч до посиніння зводити/прибирати квадрат – число залишиться негативним.

Таким чином, найправильніший і найнадійніший спосіб множення коренів наступний:

1. Забрати всі мінуси з-під радикалів. Мінуси бувають тільки в корінні непарної кратності - їх можна поставити перед коренем і при необхідності скоротити (наприклад, якщо цих мінусів виявиться два).
2. Виконати множення згідно з правилами, розглянутими вище у сьогоднішньому уроці. Якщо показники коріння однакові, просто перемножуємо підкорені вирази. А якщо різні - використовуємо злісну формулу \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n) ))\].
3. 3.Насолоджуємося результатом та хорошими оцінками.:)

Ну що? Потренуємось?

Приклад 1. Спростіть вираз:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \end(align)\]

Це найпростіший варіант: показники коріння однакові і непарні, проблема лише в мінусі у другого множника. Виносимо цей мінус нафіг, після чого легко вважається.

Приклад 2. Спростіть вираз:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( align)\]

Тут багатьох збентежило б те, що на виході вийшло ірраціональне число. Так, так буває: ми не змогли повністю позбутися кореня, але принаймні суттєво спростили вираз.

Приклад 3. Спростіть вираз:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left(((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Ось це завдання хотів би звернути вашу увагу. Тут одразу два моменти:

1. Під корінням стоїть не конкретне число або ступінь, а змінна $a$. На перший погляд, це трохи незвично, але насправді при вирішенні математичних завдань найчастіше доведеться мати справу саме зі змінними.
2. Наприкінці ми примудрилися скоротити показник кореня і ступінь у підкореному вираженні. Таке трапляється досить часто. І це означає, що можна було спростити обчислення, а то й користуватися основний формулою.

Наприклад, можна було вчинити так:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(align)\]

По суті, усі перетворення виконувалися лише з другим радикалом. І якщо не розписувати детально всі проміжні кроки, то в результаті обсяг обчислень значно знизиться.

Насправді ми вже стикалися з подібним завданням вище, коли вирішували приклад $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Тепер його можна розписати набагато простіше:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) = Sqrt (75). \end(align)\]

Ну що ж, з множенням коріння розібралися. Тепер розглянемо зворотну операцію: що робити, коли під корінням стоїть твір?

У математиці коріння може бути квадратним, кубічним або мати будь-який інший показник (ступінь), який пишеться зліва над знаком кореня. Вираз, що стоїть під знаком кореня, називається підкореним виразом. Складання коренів схоже на складання членів алгебраїчного виразу, тобто вимагає визначення подібних коренів.

Кроки

Частина 1 з 2: Визначення коріння

Позначення коріння.Вираз під знаком кореня () означає, що з цього виразу необхідно витягти корінь певного ступеня.

• Корінь позначають знаком.
• Показник (ступінь) кореня пишеться зліва над знаком кореня. Наприклад, кубічний корінь з 27 записується так: (27)
• Якщо показник (ступінь) кореня відсутня, то показник вважається рівним 2, тобто квадратний корінь (або корінь другого ступеня).
• Число, записане перед знаком кореня, називається множником (тобто це число множиться на корінь), наприклад 5 (2)
• Якщо множника перед коренем немає, він дорівнює 1 (нагадаємо, будь-яке число, помножене на 1, дорівнює себе).
• Якщо ви вперше працюєте з корінням, зробіть відповідні позначки над множником і показником кореня, щоб не заплутатися і краще зрозуміти їхнє призначення.

Запам'ятайте, яке коріння можна складати, а яке не можна.Так само, як не можна складати різні члени виразу, наприклад, 2а + 2b 4ab, ви не можете складати різне коріння.

Не можна складати коріння з різними підкореними виразами, наприклад (2) + (3) (5). Але ви можете скласти числа, що стоять під одним коренем, наприклад, (2 + 3) = (5) (квадратний корінь з 2 приблизно дорівнює 1,414, квадратний корінь з 3 приблизно дорівнює 1,732, а квадратний корінь з 5 приблизно дорівнює 2,236).

Не можна складати коріння з однаковими підкореними виразами, але різними показниками, наприклад, (64) + (64) (ця сума не дорівнює (64), так як квадратний корінь з 64 дорівнює 8, кубічний корінь з 64 дорівнює 4, 8 + 4 = 12, що набагато більше, ніж корінь п'ятого ступеня з 64, який приблизно дорівнює 2297).

Частина 2 з 2: Спрощення та додавання коренів

Визначте і згрупуйте подібне коріння.Подібні корені – коріння, у яких однакові показники та однакові підкорені вирази. Наприклад, розглянемо вираз:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

• По-перше, перепишіть вираз так, щоб коріння з однаковим показником розташовувалося послідовно.
  2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
• Потім перепишіть вираз так, щоб коріння з однаковим показником та з однаковим підкореним виразом розташовувалися послідовно.
  2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Спростіть коріння.Для цього розкладіть (де можливо) підкорені вирази на два множники, один з яких винесіть з-під кореня. У цьому випадку винесене число та множник кореня перемножуються.

У наведеному прикладі розкладіть число 50 на 2*25, а число 32 – на 2*16. З 25 і 16 можна витягти квадратне коріння (відповідно 5 і 4) і винести 5 і 4 з-під кореня, відповідно помноживши їх на множники 2 і 1. Таким чином, ви отримаєте спрощений вираз: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Число 81 можна розкласти на множники 3*27, а з числа 27 можна витягти кубічний корінь, що дорівнює 3. Це число 3 можна винести з-під кореня. Таким чином, ви отримаєте ще більш спрощений вираз: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

Складіть множники подібних коренів.У нашому прикладі є подібне квадратне коріння з 2 (їх можна скласти) і подібне квадратне коріння з 3 (їх теж можна скласти). У кубічного кореняз 3 подібних коренів немає.

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

Остаточний спрощений вираз: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

• Немає загальноприйнятих правил порядку запису коренів у вираженні. Тому ви можете записувати коріння у порядку зростання їх показників та у порядку зростання підкорених виразів.

Увага, тільки СЬОГОДНІ!

Все цікаве

Число, яке знаходиться під знаком кореня, часто заважає рішенню рівняння, з ним незручно працювати. Навіть якщо воно зведено в ступінь, дробово або не може бути представлене у вигляді цілого числа певною мірою, можна спробувати вивести його з літератури.

Коренем із числа x називається таке число, яке при зведенні в ступінь кореня дорівнюватиме x. Множником називається множиться число. Тобто у виразі виду x*ª-&radic-y потрібно внести x під корінь. Інструкція 1Визначте рівень…

Якщо підкорене вираз містить набір математичних процесів зі змінними, то іноді в результаті його спрощення є можливість отримати відносно просте значення, частину якого можна винести з-під кореня. Буває корисне таке спрощення.

Арифметичні дії з корінням різного ступеня можуть значно спростити розрахунки у фізиці та техніці та зробити їх більш точними. При множенні та розподілі зручніше не витягувати корінь з кожного співмножника або діленого та дільника, а спочатку…

Квадратним коренем у складі x називають число a, яке за множенні саме він дає число x: a * a = a^2 = x, x = a. Як і над будь-якими числами, над квадратним корінням можна виконувати арифметичні операції складання та віднімання. Інструкція …

Корінь у математиці може мати два значення: це арифметична дія та кожне з рішень рівняння, алгебраїчного, параметричного, диференціального чи будь-якого іншого. Інструкція 1Корінь n-ного ступеня з числа a - це таке число, що…

При виконанні різних арифметичних дійз корінням часто буває необхідно вміння перетворювати підкорені вирази. Для спрощення розрахунків може знадобитися винести розмножувач за знак радикала або внести під нього. Цю дію можна…

Коренем називають значок, що означає математичну операціюзнаходження такого числа, зведення якого в зазначений перед знаком кореня ступінь має дати число, зазначене під цим знаком. Часто для вирішення завдань, у яких присутні…

Знаком кореня у математичних науках називається умовне позначеннядля коріння. Число, що знаходиться під знаком кореня, називається підкореним виразом. За відсутності показника ступеня корінь є квадратним, інакше цифра вказує.

Арифметичним корінням n-йступеня з дійсного числа a називають таке невід'ємне число x, n-й ступіньякого дорівнює числу a. Тобто. (n) a = x, x^n = a. Існують різні способидодавання арифметичного кореняі раціонального числа.

Коренем n-ого ступеня із дійсного числа a називається таке число b, для якого виконується рівність b^n = a. Коріння непарного ступеня існує для негативних і позитивних чисел, а коріння парного ступеня - тільки для позитивних.

Квадратним коренем у складі x називають число a, яке за множенні саме він дає число x: a * a = a^2 = x, √x = a. Як і над будь-якими числами, над квадратним корінням можна виконувати арифметичні операції складання та віднімання.

Інструкція

• По-перше, при складанні квадратного коріння спробуйте витягти це коріння. Це буде можливим, якщо числа під знаком кореня є повними квадратами. Наприклад, нехай задано вираз √4+√9. Перше число 4 – це квадрат числа 2. Друге число 9 – це квадрат числа 3. Таким чином, виходить, що: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
• Якщо під знаком кореня немає повних квадратів, спробуйте винести з під знака кореня множник числа. Наприклад, нехай дано вираз √24 + √54. Розкладіть числа на множники: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. У числі 24 є множник 4, який можна винести з під знака квадратного кореня. У числі 54 - множник 9. Таким чином, виходить що: √24 + √54 = √(4*6) + √(9*6) = 2*√6 + 3*√6 = 5*√6. В даному прикладі в результаті винесення множника з під знаку кореня вдалося спростити заданий вираз.
• Нехай сума двох квадратних коренів є знаменником дробу, наприклад, A/(√a+√b). І нехай перед вами стоїть завдання «позбутися ірраціональності у знаменнику». Тоді можна скористатися в такий спосіб. Помножте чисельник і знаменник дробу на вираз √a – √b. Таким чином, у знаменнику вийде формула скороченого множення: (√a + √b) * (√a - √b) = a – b. За аналогією, якщо в знаменнику дана різниця коренів: √a - √b, то чисельник та знаменник дробу необхідно помножити на вираз √a + √b. Наприклад, нехай даний дроб 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5)/(-2) = 2*(√5 - √3).
• Розгляньте складніший приклад позбавлення ірраціональності в знаменнику. Нехай дано дріб 12/(√2 + √3 + √5). Необхідно помножити чисельник та знаменник дробу на вираз √2 + √3 - √5:
  12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
• І нарешті, якщо вам необхідно лише приблизне значення, то можна порахувати значення квадратного коріння на калькуляторі. Обчисліть значення окремо для кожного числа та запишіть із необхідною точністю (наприклад, два знаки після коми). А потім здійсніть необхідні арифметичні операції, як зі звичайними числами. Наприклад, нехай необхідно дізнатися про приблизне значення виразу √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтесь з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запитане надання вашої персональної інформації будь-коли, коли ви зв'язуєтеся з нами.

Нижче наведено деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваші ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальних пропозиціях, акціях та інших заходах та найближчих подіях.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судового порядку, в судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників, і суворо стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.