Знайти кут між прямими заданими рівняннями. Кут між прямими

Визначення.Якщо задані дві прямі y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 то гострий кут між цими прямими буде визначатися як

Дві прямі паралельні, якщо k1 = k2. Дві прямі перпендикулярні, якщо k1 = -1/k2.

Теорема.Прямі Ах + Ву + С = 0 і А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 паралельні, коли пропорційні коефіцієнти А 1 = А, В 1 = В. Якщо ще й С1 = С, то прямі збігаються. Координати точки перетину двох прямих перебувають як розв'язання системи рівнянь цих прямих.

Рівняння прямої, що проходить через цю точку

Перпендикулярно даній прямій

Визначення.Пряма, що проходить через точку М 1 (х 1 у 1) і перпендикулярна до прямої у = kx + b представляється рівнянням:

Відстань від точки до прямої

Теорема.Якщо задана точка М (х 0, у 0), то відстань до прямої Ах + Ву + С = 0 визначається як

.

Доказ.Нехай точка М 1 (х 1, у 1) - основа перпендикуляра, опущеного з точки М на задану пряму. Тоді відстань між точками М та М 1:

(1)

Координати x 1 і 1 можуть бути знайдені як розв'язання системи рівнянь:

Друге рівняння системи – це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно заданій прямій. Якщо перетворити перше рівняння системи до виду:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, вирішуючи, отримаємо:

Підставляючи ці вирази рівняння (1), знаходимо:

Теорему доведено.

Приклад. Визначити кут між прямими: y = -3 x + 7; y = 2 x +1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= p/4.

Приклад. Показати, що прямі 3х – 5у + 7 = 0 та 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярні.

Рішення. Знаходимо: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, отже, прямі перпендикулярні.

Приклад. Дано вершини трикутника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Знайти рівняння висоти, проведеної з вершини З.

Рішення. Знаходимо рівняння сторони АВ: ; 4 x = 6 y - 6;

2 x - 3 y + 3 = 0;

Шукане рівняння висоти має вигляд: Ax + By + C = 0 або y = kx + b. k =. Тоді y = . Т.к. висота проходить через точку С, її координати задовольняють даному рівнянню: звідки b = 17. Разом: .

Відповідь: 3 x + 2 y - 34 = 0.

Рівняння прямої, що проходить через цю точку в цьому напрямку. Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки. Кут між двома прямими. Умова паралельності та перпендикулярності двох прямих. Визначення точки перетину двох прямих

1. Рівняння прямої, що проходить через цю точку A(x 1 , y 1) у даному напрямку, що визначається кутовим коефіцієнтом k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Це рівняння визначає пучок прямих, що проходять через точку A(x 1 , y 1) яка називається центром пучка.

2. Рівняння прямої, що проходить через дві точки: A(x 1 , y 1) та B(x 2 , y 2), записується так:

Кутовий коефіцієнт прямої, що проходить через дві дані точки, визначається за формулою

3. Кутом між прямими Aі Bназивається кут, на який треба повернути першу пряму Aнавколо точки перетину цих прямих проти руху годинникової стрілки до збігу її з другою прямою B. Якщо дві прямі задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

то кут між ними визначається за формулою

Слід звернути увагу на те, що в чисельнику дробу з кутового коефіцієнта другої прямої віднімається кутовий коефіцієнт першої прямої.

Якщо рівняння прямої задані загальному вигляді

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

кут між ними визначається за формулою

4. Умови паралельності двох прямих:

а) Якщо прямі задані рівняннями (4) з кутовим коефіцієнтом, то необхідна і достатня умова їхньої паралельності полягає в рівності їх кутових коефіцієнтів:

k 1 = k 2 . (8)

б) Для випадку, коли прямі задані рівняннями у загальному вигляді (6), необхідна і достатня умова їхньої паралельності полягає в тому, що коефіцієнти при відповідних поточних координатах у їх рівняннях пропорційні, тобто.

5. Умови перпендикулярності двох прямих:

а) У разі, коли прямі задані рівняннями (4) з кутовим коефіцієнтом, необхідна і достатня умова їхньої перпендикулярності полягає в тому, що їх кутові коефіцієнтиобернені за величиною і протилежні за знаком, тобто.

Ця умова може бути записана також у вигляді

k 1 k 2 = -1. (11)

б) Якщо рівняння прямих задані у загальному вигляді (6), то умова їх перпендикулярності (необхідна та достатня) полягає у виконанні рівності

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Координати точки перетину двох прямих знаходять, розв'язуючи систему рівнянь (6). Прямі (6) перетинаються в тому і лише в тому випадку, коли

1. Напишіть рівняння прямих, що проходять через точку M, одна з яких паралельна, а інша перпендикулярна заданій прямій l.

Кутомміж прямими в просторі будемо називати будь-який із суміжних кутів, утворених двома прямими, проведеними через довільну точку паралельно даним.

Нехай у просторі задані дві прямі:

Очевидно, що за кут між прямими можна прийняти кут між їх напрямними векторами і . Оскільки , то за формулою для косинуса кута між векторами отримаємо

Умови паралельності та перпендикулярності двох прямих рівносильні умовам паралельності та перпендикулярності їх напрямних векторів та :

Дві прямі паралельніі тоді, коли їх відповідні коефіцієнти пропорційні, тобто. l 1 паралельна l 2 тоді і тільки тоді, коли паралельний .

Дві прямі перпендикулярніі тоді, коли сума творів відповідних коефіцієнтів дорівнює нулю: .

У гол між прямою та площиною

Нехай пряма d- не перпендикулярна площині θ;
d′− проекція прямої dна площину θ;
Найменший із кутів між прямими dі d′ ми назвемо кутом між прямою та площиною.
Позначимо його як φ=( d,θ)
Якщо d⊥θ , то ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→ прямокутна система координат.
Рівняння площини:

θ: Ax+By+Cz+D=0

Вважаємо, що пряма задана точкою та напрямним вектором: d[M 0,p→]
Вектор n→(A,B,C)⊥θ
Тоді залишається з'ясувати кут між векторами n→ і p→ позначимо його як γ=( n→,p→).

Якщо кут γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Якщо кут γ>π/2, то шуканий кут φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Тоді, кут між прямою та площиноюможна вважати за формулою:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23

Вопрос29. Концепція квадратичні форми. Знаковизначеність квадратичних форм.

Квадратичною формою j (х 1, х 2, …, x n) n дійсних змінних х 1, х 2, …, x nназивається сума виду
, (1)

де a ij - Деякі числа, звані коефіцієнтами. Не обмежуючи спільності, можна вважати, що a ij = a ji.

Квадратична форма називається дійсною,якщо a ij Î ГR. Матрицею квадратичної форминазивається матриця, складена із її коефіцієнтів. Квадратичній формі (1) відповідає єдина симетрична матриця
Т. е. А Т = А. Отже, квадратична форма (1) може бути записана матричному вигляді j ( х) = х Т Ах, де х Т = (х 1 х 2 … x n). (2)

І, навпаки, будь-якій симетричній матриці (2) відповідає єдина квадратична форма з точністю до позначення змінних.

Рангом квадратичної форминазивають ранг її матриці. Квадратична форма називається невиродженою,якщо невиродженою є її матриця А. (нагадаємо, що матриця Аназивається невиродженою, якщо її визначник не дорівнює нулю). Інакше квадратична форма є виродженою.

позитивно визначеною(або суворо позитивної), якщо

j ( х) > 0 для будь-якого х = (х 1 , х 2 , …, x n), крім х = (0, 0, …, 0).

Матриця Апозитивно визначеної квадратичної форми j ( х) також називається позитивно визначеною. Отже, позитивно визначеної квадратичної форми відповідає єдина позитивно визначена матриця і навпаки.

Квадратична форма (1) називається негативно визначеною(або суворо негативною), якщо

j ( х) < 0, для любого х = (х 1 , х 2 , …, x n), крім х = (0, 0, …, 0).

Аналогічно як і вище, матриця негативно визначеної квадратичної форми також називається негативно визначеною.

Отже, позитивно (негативно) певна квадра-тична форма j ( х) досягає мінімального (максимального) значення j ( х*) = 0 при х* = (0, 0, …, 0).

Зазначимо, що більшість квадратичних форм не є знаковизначеними, тобто вони не є ні позитивними, ні негативними. Такі квадратичні форми звертаються до 0 як початку системи координат, а й у інших точках.

Коли n> 2 потрібні спеціальні критерії для перевірки знаковизначеності квадратичної форми. Розглянемо їх.

Головними мінорамиквадратичної форми називаються мінори:

тобто це мінори порядку 1, 2, …, nматриці А, розташовані в лівому верхньому кутку, останній з них збігається з визначником матриці А.

Критерій позитивної визначеності (Критерій Сільвестру)

х) = х Т Ахбула позитивно визначеною, необхідно і достатньо, що всі головні мінори матриці Абули позитивні, тобто: М 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Критерій негативної визначеності Для того щоб квадратична форма j ( х) = х Т Ахбула негативно визначеною, необхідно і достатньо, щоб її головні мінори парного порядку були позитивні, а непарного – негативні, тобто: М 1 < 0, M 2 > 0, М 3 < 0, …, (–1)n

КУТ між площинами

Розглянемо дві площини α 1 і α 2 задані відповідно рівняннями:

Під кутомміж двома площинами розумітимемо один з двогранних кутів, утворених цими площинами. Очевидно, що кут між нормальними векторами і площин 1 і 2 дорівнює одному із зазначених суміжних двогранних кутів або . Тому . Т.к. і , то

.

приклад.Визначити кут між площинами x+2y-3z+4=0 та 2 x+3y+z+8=0.

Умова паралельності двох площин.

Дві площини α 1 і α 2 паралельні тоді і тільки тоді, коли їх нормальні вектори і паралельні, а отже .

Отже, дві площини паралельні один одному тоді і лише тоді, коли коефіцієнти за відповідних координат пропорційні:

або

Умова перпендикулярності площин.

Зрозуміло, що дві площини перпендикулярні і тоді, коли їх нормальні вектори перпендикулярні, отже, або .

Таким чином, .

приклади.

ПРЯМА В ПРОСТОРІ.

ВЕКТОРНЕ РІВНЯННЯ ПРЯМОЮ.

ПАРАМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ ПРЯМИЙ

Положення прямої у просторі цілком визначається завданням будь-якої її фіксованої точки М 1 і вектор , паралельний цій прямій.

Вектор , паралельний прямий, називається напрямнимцей прямий вектор.

Отже, хай пряма lпроходить через точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1), що лежить на прямій паралельно вектору.

Розглянемо довільну точку М(x,y,z)на прямий. З малюнка видно, що .

Вектори та колінеарні, тому знайдеться таке число t, що , де множник tможе приймати будь-яке числове значення залежно від положення точки Mна прямий. Множник tназивається параметром. Позначивши радіус-вектори точок М 1 та Мвідповідно через і, отримуємо. Це рівняння називається векторнимрівнянням прямої. Воно показує, що кожному значення параметра tвідповідає радіус-вектор деякої точки М, що лежить на прямий.

Запишемо це рівняння у координатній формі. Зауважимо, що , і звідси

Отримані рівняння називаються параметричнимирівняннями прямою.

При зміні параметра tзмінюються координати x, yі zі крапка Мпереміщається прямою.

КАНОНІЧНІ РІВНЯННЯ ПРЯМИЙ

Нехай М 1 (x 1 , y 1 , z 1) - точка, що лежить на прямій l, і – її напрямний вектор. Знову візьмемо на пряму довільну точку М(x,y,z)і розглянемо вектор.

Зрозуміло, що вектори та колінеарні, тому їх відповідні координати мають бути пропорційними, отже,

– канонічнірівняння прямої.

Примітка 1.Зауважимо, що канонічні рівняння прямої можна було отримати з параметричних, виключивши параметр t. Справді, з параметричних рівнянь отримуємо або .

приклад.Записати рівняння прямої у параметричному вигляді.

Позначимо , звідси x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Примітка 2.Нехай пряма перпендикулярна до однієї з координатних осей, наприклад осі Ox. Тоді напрямний вектор прямий перпендикулярний Ox, отже, m=0. Отже, параметричні рівняння прямий набудуть вигляду

Виключаючи з рівнянь параметр t, Отримаємо рівняння прямої у вигляді

Проте й у разі умовимося формально записувати канонічні рівняння прямої як . Отже, якщо знаменнику однієї з дробів стоїть нуль, це означає, що пряма перпендикулярна відповідної координатної осі.

Аналогічно, канонічним рівнянням відповідає пряма перпендикулярна до осей Oxі Ойабо паралельна осі Oz.

приклади.

ЗАГАЛЬНІ РІВНЯННЯ ПРЯМИЙ, ЯК ЛІНІЇ ПЕРЕКЛАД ДВОХ ПЛОЩИН

Через кожну пряму в просторі проходить безліч площин. Будь-які з них, перетинаючи, визначають її у просторі. Отже, рівняння будь-яких двох таких площин, що розглядаються спільно, являють собою рівняння цієї прямої.

Взагалі будь-які дві не паралельні площини, задані загальними рівняннями

визначають пряму їх перетину. Ці рівняння називаються загальними рівняннямипрямий.

приклади.

Побудувати пряму, задану рівняннями

Для побудови прямої достатньо знайти будь-які її точки. Найпростіше вибрати точки перетину прямої з координатними площинами. Наприклад, точку перетину з площиною xOyотримаємо з рівнянь прямої, вважаючи z= 0:

Вирішивши цю систему, знайдемо точку M 1 (1;2;0).

Аналогічно, вважаючи y= 0, отримаємо точку перетину прямої з площиною xOz:

Від загальних рівнянь прямої можна перейти до її канонічних або параметричних рівнянь. Для цього потрібно знайти якусь точку М 1 на прямий та напрямний вектор прямий.

Координати точки М 1 отримаємо з даної системи рівнянь, надавши одній з координат довільне значення. Для відшукання напрямного вектора, зауважимо, що цей вектор має бути перпендикулярним до обох нормальних векторів і . Тому за напрямний вектор прямий lможна взяти векторний добуток нормальних векторів:

.

приклад.Привести загальні рівняння прямої до канонічного вигляду.

Знайдемо точку, що лежить на прямій. Для цього виберемо довільно одну з координат, наприклад, y= 0 і розв'яжемо систему рівнянь:

Нормальні вектори площин, що визначають пряму, мають координати. Тому напрямний вектор буде прямий

. Отже, l: .

КУТ МІЖ ПРЯМИМИ

Кутомміж прямими в просторі будемо називати будь-який із суміжних кутів, утворених двома прямими, проведеними через довільну точку паралельно даним.

Нехай у просторі задані дві прямі:

Очевидно, що за кут між прямими можна прийняти кут між їх напрямними векторами і . Оскільки , то за формулою для косинуса кута між векторами отримаємо

Буду коротким. Кут між двома прямими дорівнює куту між їх напрямними векторами. Таким чином, якщо вам вдасться знайти координати напрямних векторів a = (x 1 ; y 1 ; z 1) і b = (x 2 ; y 2 ​​; z 2), то зможете знайти кут. Точніше, косинус кута за формулою:

Подивимося, як ця формула працює на конкретних прикладах:

Завдання. У кубі ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 відзначені точки E і F - середини ребер A 1 B 1 і B 1 C 1 відповідно. Знайдіть кут між прямими AE та BF.

Оскільки ребро куба не зазначено, покладемо AB = 1. Введемо стандартну систему координат: початок у точці A, осі x, y, z направимо вздовж AB, AD та AA1 відповідно. Одиничний відрізок дорівнює AB = 1. Тепер знайдемо координати напрямних векторів наших прямих.

Знайдемо координати вектора AE. Для цього нам потрібні точки A = (0; 0; 0) та E = (0,5; 0; 1). Оскільки точка E - середина відрізка A 1 B 1 її координати рівні середньому арифметичному координат кінців. Зауважимо, що початок вектора AE збігається з початком координат, тому AE = (0,5; 0; 1).

Тепер розберемося із вектором BF. Аналогічно, розбираємо точки B = (1; 0; 0) та F = (1; 0,5; 1), т.к. F – середина відрізка B 1 C 1 . Маємо:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).

Отже, напрямні вектори готові. Косинус кута між прямими - це косинус кута між напрямними векторами, тому маємо:

Завдання. У правильній тригранній призмі ABCA 1 B 1 C 1 всі ребра якої рівні 1 відзначені точки D і E - середини ребер A 1 B 1 і B 1 C 1 відповідно. Знайдіть кут між прямими AD та BE.

Введемо стандартну систему координат: початок координат у точці A, вісь x направимо вздовж AB, z – вздовж AA 1 . Вісь направимо так, щоб площина OXY збігалася з площиною ABC. Одиничний відрізок дорівнює AB = 1. Знайдемо координати напрямних векторів для прямих.

Спочатку знайдемо координати вектора AD. Розглянемо точки: A = (0; 0; 0) та D = (0,5; 0; 1), т.к. D – середина відрізка A 1 B 1 . Оскільки початок вектора AD збігається з початком координат, отримуємо AD = (0,5; 0; 1).

Знайдемо координати вектора BE. Крапка B = (1; 0; 0) вважається легко. З точкою E – серединою відрізка C 1 B 1 – трохи складніше. Маємо:

Залишилося знайти косинус кута:

Завдання. У правильній шестигранній призмі ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 всі ребра якої рівні 1 відзначені точки K і L - середини ребер A 1 B 1 і B 1 C 1 відповідно. Знайдіть кут між прямими AK та BL.

Введемо стандартну для призми систему координат: початок координат помістимо в центр нижньої основи, вісь x направимо вздовж FC, вісь y – через середини відрізків AB та DE, а вісь z – вертикально вгору. Одиничний відрізок знову дорівнює AB = 1. Випишемо координати точок, що цікавлять нас:

Крапки K і L - середини відрізків A 1 B 1 і B 1 C 1 відповідно тому їх координати знаходяться через середнє арифметичне. Знаючи точки, знайдемо координати напрямних векторів AK та BL:

Тепер знайдемо косинус кута:

Завдання. У правильній чотирикутної піраміди SABCD, всі ребра якої дорівнюють 1, відзначені точки E і F - середини сторін SB і SC відповідно. Знайдіть кут між прямими AE та BF.

Введемо стандартну систему координат: початок у точці A, осі x та y направимо вздовж AB і AD відповідно, а ось z направимо вертикально вгору. Поодинокий відрізок дорівнює AB = 1.

Точки E і F - середини відрізків SB і SC відповідно, тому їх координати перебувають як середнє арифметичне кінці. Випишемо координати цікавих для нас точок:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Знаючи точки, знайдемо координати напрямних векторів AE та BF:

Координати вектора AE збігаються з координатами точки E, оскільки точка A – початок координат. Залишилося знайти косинус кута: