Jak znaleźć skrzyżowanie i połączenie. Znajdowanie przecięcia i sumy zbiorów liczbowych

przejście dwa zestawy nazywa się zbiorem wszystkich Pospolite elementy te zestawy.

Przykład :
Weźmy liczby 12 i 18. Znajdź ich dzielniki, oznaczające cały zestaw tych dzielników odpowiednio literami A i B:
A \u003d (1, 2, 3, 4, 6, 12),
B = (1, 2, 3, 6, 9, 18).

Widzimy, że liczby 12 i 18 mają wspólne dzielniki: 1, 2, 3, 6. Oznaczmy je literą C:
C = (1, 2, 3, 6).

Zbiór C jest przecięciem zbiorów A i B. Piszą to tak:
B=C.

Jeśli dwa zbiory nie mają wspólnych elementów, to przecięcie tych zbiorów wynosi pusty pęczek.
Pusty zbiór jest oznaczony znakiem Ø i stosuje się następujący zapis:

XY = .

Unia dwa zestawy to zbiór składający się ze wszystkich elementów tych zbiorów.

Wróćmy na przykład do liczb 12 i 18 oraz zbioru ich elementów A i B. Najpierw wypiszmy elementy zbioru A, potem dodajemy do nich te elementy zbioru B, których nie ma w zbiorze A. Otrzymujemy zbiór elementów wspólnych dla A i B. Oznaczmy to literą D:

D = (1, 2, 3, 4, 6, 12, 9, 18).

Zbiór D jest sumą zbiorów A i B. Jest to napisane tak:

D=A U b.

Główne operacje wykonywane na zestawach to: dodatek (Unia), mnożenie (skrzyżowanie) i odejmowanie . Operacje te, jak zobaczymy później, nie są tożsame z operacjami o tej samej nazwie wykonywanymi na liczbach.

Definicja : Stowarzyszenie(lub suma) dwóch zbiorów A i B to zbiór zawierający wszystkie takie i tylko takie elementy, które są elementami przynajmniej jednego z tych zbiorów. Połączenie zbiorów A i B oznaczamy jako A  B.

Definicja ta oznacza, że dodanie zbiorów A i B jest sumą wszystkich ich elementów w jeden zbiór A  B. Jeżeli te same elementy są zawarte w obu zbiorach, to elementy te wchodzą do sumy tylko raz.

Podobnie definiuje się połączenie trzech lub więcej zbiorów.

Definicja : przejście(lub mnożenie) dwóch zbiorów A i B jest zbiorem składającym się z tych i tylko tych elementów, które jednocześnie należą do zbioru A i zbioru B. Przecięcie zbiorów A i B oznaczamy jako A  B.

Podobnie definiuje się przecięcie trzech lub więcej zbiorów.

Definicja : Różnica zbiorów A i B jest zbiorem składającym się z tych i tylko tych elementów zbioru A, które nie należą do zbioru B. Różnicę zbiorów A i B oznaczamy jako A \ B. Operacja za pomocą której różnica zbiorów zostanie znaleziony nazywa się odejmowaniem.

Jeżeli B  A, to różnicę A \ B nazywamy uzupełnieniem zbioru B do zbioru A. Jeżeli zbiór B jest podzbiorem zbioru uniwersalnego U, to dopełnienie zbioru B do U oznaczamy, czyli = U\B.

Ćwiczenia :

Rozważ trzy zestawy N={0,2,4,5,6,7}, M=(1,3,5,7,9) i P=(1,3,9,11). Znaleźć

A= N  M
B=N M
C=N P

Odpowiedz, której z operacji na danych zbiorach należy użyć do uzyskania zbiorów opisanych poniżej.

Dany: ALE- wielu ze wszystkich studenci wydziału, W– wielu studentów z długami akademickimi. Definiować Z- wielu odnoszących sukcesy studentów wydziału.
Dany: ALE- zestaw wszystkich znakomitych studentów wydziału, W- wielu studentów, którzy nie mają długów akademickich, Z to grupa odnoszących sukcesy uczniów z co najmniej jedną trójką. Definiować D- wielu studentów wydziału, którzy mają czas bez trójek.
Dany: U to zbiór wszystkich uczniów z grupy badawczej, ALE- wielu uczniów z tej grupy, którzy otrzymali zaliczenie z wychowania fizycznego, W- wielu uczniów z tej samej grupy, którzy pomyślnie zdali egzamin z historii Ojczyzny. Definiować Z to grupa studentów z tej samej grupy badawczej, którzy wyróżniają się w obu dyscyplinach, D– grupa uczniów z tej samej grupy, którzy „oblali” przynajmniej jeden test.

Własności sumy i przecięcia zbiorów

Z definicji sumy i przecięcia zbiorów wynikają własności tych operacji, które są przedstawione w postaci równości obowiązujących dla dowolnych zbiorów A , B oraz Z .

A  B = B  A - przemienność związku;

A  B = B  A - przemienność skrzyżowania;

A  (B  Z ) = (A  B )  Z - stowarzyszenie stowarzyszeniowe;

A  (B  Z ) = (A  B )  Z - łączność skrzyżowania;

A  (B  Z ) = (A  B )  (A  Z) - rozdzielność skrzyżowania w stosunku do związku;

A  (B  Z ) = (A  B )  (A  Z) - rozdzielność związku względem skrzyżowania;

Prawa absorpcji:

A  A = A

A  A = A

A  Ø = A

A  Ø = Ø

A  U = U

A  U = A

Należy zauważyć, że różnica nie ma właściwości przemienności i asocjatywności, czyli A \ B ≠ B \ A oraz A \ (B \ Z ) ≠ (A \ B ) \ Z . Można to łatwo zweryfikować, konstruując diagramy Eulera-Venna.

Zestawy. Operacje na zbiorach.
Ustaw wyświetlacz. Ustaw moc

Zapraszam na pierwszą lekcję algebry wyższej, która pojawiła się... w przeddzień piątej rocznicy powstania strony, po tym, jak stworzyłem już ponad 150 artykułów z matematyki, a moje materiały zaczęły nabierać kształtu w ukończonym kursie . Mam jednak nadzieję, że się nie spóźnię - w końcu wielu studentów zaczyna zagłębiać się w wykłady tylko na egzaminy państwowe =)

Kurs uniwersytecki wyszmatu tradycyjnie opiera się na trzech filarach:

– Analiza matematyczna (granice, pochodne itp.)

– i wreszcie sezon 2015/16 rok szkolny otwiera się lekcjami Algebra dla manekinów, Elementy logiki matematycznej, na którym przeanalizujemy podstawy rozdziału, a także zapoznamy się z podstawowymi pojęciami matematycznymi i wspólną notacją. Muszę powiedzieć, że w innych artykułach nie nadużywam "zawirowań" , jednak to tylko styl i oczywiście trzeba je rozpoznać w dowolnym stanie =). Informuję nowych czytelników, że moje lekcje są zorientowane na praktykę iw tym duchu zostanie przedstawiony poniższy materiał. Więcej kompletnych i akademickich informacji można znaleźć w podręcznikach. Udać się:

Pęczek. Ustaw przykłady

Zbiór to podstawowe pojęcie nie tylko matematyki, ale całego świata. Weź teraz dowolny przedmiot do ręki. Tutaj masz zestaw składający się z jednego elementu.

W szerokim znaczeniu, zbiór to zbiór obiektów (elementów) rozumianych jako całość(zgodnie z określonymi znakami, kryteriami lub okolicznościami). Ponadto są to nie tylko przedmioty materialne, ale także litery, liczby, twierdzenia, myśli, emocje itp.

Zestawy są zwykle oznaczone dużymi z literami łacińskimi (opcjonalnie, z dolnymi indeksami: itp.), a jego elementy są zapisane w nawiasach klamrowych, na przykład:

- zestaw liter alfabetu rosyjskiego;
- pęczek liczby naturalne;

Cóż, czas się trochę poznać:
– wielu uczniów w I rzędzie

… Cieszę się, że widzę Twoje poważne i skupione twarze =)

Zestawy i są finał(składający się ze skończonej liczby elementów), a zbiór jest przykładem nieskończony zestawy. Ponadto w teorii i praktyce tzw pusty zestaw:

to zestaw, który nie zawiera żadnego elementu.

Przykład jest Ci dobrze znany - zestaw na egzaminie jest często pusty =)

Przynależność elementu do zbioru jest oznaczona symbolem , na przykład:

- litera „być” należy do zestawu liter alfabetu rosyjskiego;
- litera „beta” nie należy do zestawu liter alfabetu rosyjskiego;
– liczba 5 należy do zbioru liczb naturalnych;
- ale nie ma już liczby 5,5;
- Voldemar nie siedzi w pierwszym rzędzie (a tym bardziej nie należy do zestawu ani =)).

W abstrakcyjnej, a nie takiej algebrze, elementy zbioru są oznaczane małymi literami łacińskimi a zatem fakt przynależności jest sporządzony w następującym stylu:

– element należy do zestawu .

Powyższe zestawy są napisane przelew bezpośredni elementy, ale to nie jedyny sposób. Wiele zestawów można wygodnie zdefiniować za pomocą niektórych znak (s), który jest nieodłączny do wszystkich jego elementów. Na przykład:

jest zbiorem wszystkich liczb naturalnych mniejszych niż 100.

Pamiętać: długi pionowy kij wyraża zwrot werbalny „co”, „taki, że”. Dość często zamiast tego używany jest dwukropek: - przeczytajmy wpis bardziej formalnie: „zbiór elementów należących do zbioru liczb naturalnych, takie, że » . Bardzo dobrze!

Ten zestaw można również zapisać przez bezpośrednie wyliczenie:

Więcej przykładów:
- a jeśli w pierwszym rzędzie jest dość dużo studentów, to taki zapis jest znacznie wygodniejszy niż ich bezpośredni wpis.

to zbiór liczb należących do przedziału . Zauważ, że odnosi się to do zestawu ważny liczby (o nich później), którego nie można już wyświetlać oddzielone przecinkami.

Należy zauważyć, że elementy zbioru nie muszą być „jednorodne” ani logicznie powiązane. Weź dużą torbę i zacznij ją losowo wkładać do niej. różne przedmioty. Nie ma w tym prawidłowości, niemniej jednak mówimy o różnych tematach. Mówiąc obrazowo, zbiór to osobny „pakiet”, w którym pewien zbiór przedmiotów okazał się „z woli losu”.

Podzbiory

Prawie wszystko jest jasne z samej nazwy: zestaw jest podzbiór set jeśli każdy element zbioru należy do zbioru . Innymi słowy, zestaw jest zawarty w zestawie:

Ikona nazywana jest ikoną włączenie.

Wróćmy do przykładu, w którym znajduje się zbiór liter alfabetu rosyjskiego. Oznacz przez - zestaw jego samogłosek. Następnie:

Możliwe jest również wyodrębnienie podzbioru liter spółgłoskowych i ogólnie dowolnego podzbioru składającego się z dowolnej liczby losowo (lub nielosowo) wziętych liter cyrylicy. W szczególności każda litera cyrylicy jest podzbiorem zbioru .

Relacje między podzbiorami są wygodnie przedstawiane za pomocą warunkowych schemat geometryczny, który jest nazywany kręgi Eulera.

Niech będzie zbiorem studentów w pierwszym rzędzie, zbiorem studentów grupowych i zbiorem studentów uniwersyteckich. Wtedy relację wtrąceń można przedstawić w następujący sposób:

Zbiór studentów innej uczelni powinien być przedstawiony jako okrąg, który nie przecina zewnętrznego okręgu; mnogość studentów z kraju w kręgu, który zawiera oba te kręgi, i tak dalej.

Typowy przykład obserwujemy inkluzje przy rozpatrywaniu zbiorów liczbowych. Powtórzmy materiał szkolny, o którym należy pamiętać, studiując matematykę wyższą:

Zbiory numeryczne

Jak wiadomo, historycznie jako pierwsze pojawiły się liczby naturalne, przeznaczone do liczenia obiektów materialnych (ludzi, kur, owiec, monet itp.). Ten zestaw spotkałem już w artykule, jedyne, że teraz nieco modyfikujemy jego oznaczenie. Faktem jest, że zestawy liczb są zwykle oznaczane pogrubionymi, stylizowanymi lub pogrubionymi literami. Wolę używać pogrubienia:

Czasami zero jest zawarte w zbiorze liczb naturalnych.

Jeśli do zbioru dodamy te same liczby z przeciwnym znakiem i zerem, otrzymamy zbiór liczb całkowitych:

Racjonalizatorzy i leniwi spisują jej elementy ikonami "mniej więcej":))

Jest całkiem jasne, że zbiór liczb naturalnych jest podzbiorem zbioru liczb całkowitych:
- ponieważ każdy element zbioru należy do zbioru . Tak więc każdą liczbę naturalną można bezpiecznie nazwać liczbą całkowitą.

Nazwa zbioru to również „mówiące”: liczby całkowite – oznacza to brak ułamków.

A gdy tylko są liczbami całkowitymi, od razu przypominamy sobie ważne znaki ich podzielności przez 2, 3, 4, 5 i 10, które będą wymagane w praktycznych obliczeniach prawie codziennie:

Liczba całkowita jest podzielna przez 2 bez reszty jeśli kończy się na 0, 2, 4, 6 lub 8 (tj. dowolna cyfra parzysta). Na przykład liczby:
400, -1502, -24, 66996, 818 - dzielone przez 2 bez reszty.

I od razu przeanalizujmy znak „powiązany”: liczba całkowita jest podzielna przez 4 jeśli liczba składa się z dwóch ostatnich cyfr (w ich kolejności) jest podzielna przez 4.

400 jest podzielne przez 4 (ponieważ 00 (zero) jest podzielne przez 4);
-1502 - niepodzielne przez 4 (ponieważ 02 (dwa) nie jest podzielne przez 4);
-24 jest oczywiście podzielna przez 4;
66996 - podzielna przez 4 (ponieważ 96 jest podzielne przez 4);
818 - niepodzielne przez 4 (ponieważ 18 nie jest podzielne przez 4).

Stwórz własne proste uzasadnienie tego faktu.

Podzielność przez 3 jest trochę trudniejsza: liczba całkowita jest podzielna przez 3 bez reszty, jeśli suma jego cyfr jest podzielna przez 3.

Sprawdźmy, czy liczba 27901 jest podzielna przez 3. W tym celu sumujemy jej liczby:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 - niepodzielne przez 3
Wniosek: 27901 nie jest podzielny przez 3.

Zsumujmy cyfry liczby -825432:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 - podzielne przez 3
Wniosek: liczba -825432 jest podzielna przez 3

Cała liczba jest podzielna przez 5, jeśli kończy się na piątkę lub zero:
775, -2390 - podzielne przez 5

Cała liczba jest podzielna przez 10 jeśli kończy się na zero:
798400 - podzielne przez 10 (i oczywiście na 100). Cóż, chyba wszyscy pamiętają - aby podzielić przez 10, wystarczy usunąć jedno zero: 79840

Istnieją również oznaki podzielności przez 6, 8, 9, 11 itd., Ale praktycznie nie ma z nich praktycznego sensu =)

Należy zauważyć, że wymienione kryteria (pozornie tak proste) są rygorystycznie udowodnione w: teoria liczb. Ten dział algebry jest generalnie dość interesujący, jednak jego twierdzenia… po prostu współczesna chińska egzekucja =) A Voldemar przy ostatnim biurku wystarczył… ale to dobrze, niedługo zajmiemy się życiodajnymi ćwiczenie =)

Następny zestaw liczb to pęczek liczby wymierne :
- czyli dowolną liczbę wymierną można przedstawić jako ułamek przez liczbę całkowitą licznik ułamka i naturalny mianownik.

Oczywiście zbiór liczb całkowitych to podzbiór zbiory liczb wymiernych:

Rzeczywiście, każdą liczbę całkowitą można przedstawić jako ułamek wymierny, Na przykład: itp. Tak więc liczbę całkowitą można całkiem słusznie nazwać liczbą wymierną.

Charakterystycznym znakiem „identyfikującym” liczby wymiernej jest to, że dzieląc licznik przez mianownik otrzymujemy albo
jest liczbą całkowitą,

lub
– ostateczny dziesiętny,

lub
- nieskończona czasopismo dziesiętny (powtórka może nie rozpocząć się od razu).

Podziwiaj dywizję i staraj się wykonywać tę akcję jak najmniej! W artykule organizacyjnym Wyższa matematyka dla manekinów a na innych lekcjach wielokrotnie powtarzałem, powtarzałem i powtórzę tę mantrę:

W wyższa matematyka staramy się wykonywać wszystkie czynności w zwykłych (poprawnych i niewłaściwych) ułamkach

Zgadzam się, że radzenie sobie z ułamkiem jest znacznie wygodniejsze niż z liczba dziesiętna 0,375 (nie wspominając o nieskończonych ułamkach).

Chodźmy dalej. Oprócz racjonalnych jest ich wiele liczby niewymierne, z których każdy może być reprezentowany jako nieskończony nieokresowe Ułamek dziesiętny. Innymi słowy, nie ma prawidłowości w „nieskończonych ogonach” liczb niewymiernych:
(dwukrotnie „rok urodzenia Lwa Tołstoja”)
itp.

Jest mnóstwo informacji o słynnych stałych „pi” i „e”, więc nie rozwodzim się nad nimi.

Związek form liczb wymiernych i niewymiernych zbiór liczb rzeczywistych (rzeczywistych):

- Ikona wspomnienia zestawy.

Interpretacja geometryczna zbioru jest Ci znana - jest to oś liczbowa:

Każda liczba rzeczywista odpowiada pewnemu punktowi osi liczbowej i odwrotnie - każdy punkt osi liczbowej koniecznie odpowiada jakiejś liczbie rzeczywistej. Zasadniczo, teraz sformułowałem własność ciągłości liczby rzeczywiste, co, choć wydaje się oczywiste, jest rygorystycznie udowadniane w toku analizy matematycznej.

Linia liczbowa jest również oznaczona przez nieskończony przedział, a notacja lub równoważna notacja symbolizuje przynależność do zbioru liczb rzeczywistych (lub po prostu "x" - liczba rzeczywista).

W przypadku osadzania wszystko jest przezroczyste: zbiór liczb wymiernych to podzbiór zbiory liczb rzeczywistych:
, zatem każdą liczbę wymierną można bezpiecznie nazwać liczbą rzeczywistą.

Zbiór liczb niewymiernych to również podzbiór liczby rzeczywiste:

Jednocześnie podzbiory i nie przecinają się- to znaczy, że żadna liczba niewymierna nie może być reprezentowana jako ułamek wymierny.

Czy istnieją inne systemy liczbowe? Istnieć! To na przykład Liczby zespolone, z którym polecam lekturę dosłownie w najbliższych dniach, a nawet godzinach.

W międzyczasie przejdziemy do badania operacji na zbiorach, których duch zmaterializował się już na końcu tego rozdziału:

Akcje na zbiorach. Diagramy Venna

Diagramy Venna (podobne do okręgów Eulera) są schematyczną reprezentacją działań z zestawami. Ponownie ostrzegam, że nie zajmę się wszystkimi operacjami:

1) skrzyżowanie I i jest oznaczony

Przecięcie zbiorów nazywamy zbiorem, którego każdy element należy do oraz ustawić , oraz ustawić . Z grubsza rzecz biorąc, przecięcie jest wspólną częścią zbiorów:

Na przykład dla zestawów:

Jeżeli w zbiorach nie ma identycznych elementów, to ich przecięcie jest puste. Właśnie na taki przykład natknęliśmy się, rozważając zbiory liczbowe:

Zbiory liczb wymiernych i niewymiernych mogą być schematycznie reprezentowane przez dwa nienakładające się koła.

Operacja przecięcia dotyczy również: jeszcze zestawy, w szczególności Wikipedia ma dobrą przykład przecięcia zbiorów liter trzech alfabetów.

2) Unia zestawy charakteryzują się logicznym połączeniem LUB i jest oznaczony

Związek zbiorów to zbiór, którego każdy element należy do zbioru lub ustawić :

Napiszmy sumę zbiorów:
- z grubsza tu trzeba wymienić wszystkie elementy zestawów i i te same elementy (w tym przypadku jednostka na przecięciu zbiorów) musi być określony raz.

Ale oczywiście zbiory nie mogą się przecinać, jak to ma miejsce w przypadku liczb wymiernych i niewymiernych:

W takim przypadku możesz narysować dwa nieprzecinające się zacienione okręgi.

Operacja łączenia ma zastosowanie dla większej liczby zestawów, na przykład, jeśli , to:

Liczby nie muszą być w porządku rosnącym. (Zrobiłem to wyłącznie ze względów estetycznych). Bez dalszych ceregieli wynik można napisać tak:

3) różnica oraz nie należy do zestawu:

Różnicę odczytuje się następująco: „a bez bycia”. I możesz spierać się dokładnie w ten sam sposób: rozważ zestawy. Aby zapisać różnicę należy „wyrzucić” wszystkie elementy znajdujące się w zestawie z zestawu:

Przykład z zestawami liczbowymi:
- tutaj wszystkie liczby naturalne są wyłączone ze zbioru liczb całkowitych, a sam zapis brzmi tak: „zbiór liczb całkowitych bez zbioru liczb naturalnych”.

Lustro: różnica zestawy i wywołaj zestaw, którego każdy element należy do zestawu oraz nie należy do zestawu:

Do tych samych zestawów
- z zestawu "wyrzucone" to co jest w zestawie.

Ale ta różnica okazuje się pusta: . I faktycznie - jeśli ze zbioru liczb naturalnych wykluczymy liczby całkowite, to tak naprawdę nic nie pozostanie :)

Ponadto czasami rozważ symetryczny różnica, która łączy oba „półksiężyce”:
- innymi słowy, to "wszystko oprócz przecinania się zbiorów".

4) Produkt kartezjański (bezpośredni) zestawy i nazywa się zestawem wszystko uporządkowany pary, w których element i element

Piszemy iloczyn kartezjański zbiorów:
- wygodnie jest wyliczać pary według następującego algorytmu: „najpierw dołączamy kolejno każdy element zbioru do 1. elementu zbioru, następnie każdy element zbioru dołączamy do 2. elementu zbioru, dołącz każdy element zestawu do trzeciego elementu zestawu»:

Lustro: Produkt kartezjański zbiorów i nazywa się zbiorem wszystkich uporządkowany pary, w których . W naszym przykładzie:
- tutaj schemat nagrywania jest podobny: najpierw dołączamy kolejno wszystkie elementy zestawu do „minus jeden”, a następnie do „de” - te same elementy:

Ale to czysto dla wygody - w obu przypadkach pary można wymieniać w dowolnej kolejności - tutaj warto zapisywać wszystko możliwe pary.

A teraz punkt kulminacyjny programu: produkt kartezjański to nic innego jak zbiór punktów w naszym rodzimym Kartezjański układ współrzędnych .

Ćwiczenie dla materiału samomocującego:

Wykonaj operacje, jeśli:

Pęczek wygodnie jest go opisać, wymieniając jego elementy.

I moda z interwałami liczb rzeczywistych:

Przypomnij sobie, że nawias kwadratowy oznacza włączenie liczby do przedziału, a okrągłe - it wykluczenie, czyli „minus jeden” należy do zestawu, a „trzy” nie należy do zestawu. Spróbuj dowiedzieć się, jaki jest iloczyn kartezjański tych zestawów. Jeśli masz jakiekolwiek trudności, podążaj za rysunkiem ;)

Szybkie rozwiązanie zadania na koniec lekcji.

Ustaw wyświetlacz

Wyświetlacz zestaw do ustawienia to reguła, zgodnie z którym każdy element zbioru jest powiązany z elementem (lub elementami) zbioru . W przypadku, gdy pasuje jedyny element, zasada ta nazywa się jasno zdefiniowane funkcja lub po prostu funkcjonować.

Funkcja, jak wiele osób wie, najczęściej oznaczana jest literą – kojarzy do każdego element jest jedyną wartością należącą do zbioru .

Cóż, teraz znowu będę przeszkadzał wielu studentom pierwszego rzędu i zaoferuję im 6 tematów do abstraktów (zestaw):

Zainstalowane (dobrowolnie lub mimowolnie =)) reguła wiąże każdego ucznia z zestawu z jednym tematem streszczenia zestawu.

…i pewnie nawet nie wyobrażałeś sobie, że będziesz pełnił rolę argumentu funkcji =) =)

Elementy zbioru tworzą domena funkcje (oznaczone przez ) oraz elementy zbioru - zakres funkcje (oznaczone przez ).

Skonstruowane odwzorowanie zbiorów ma bardzo ważną cechę: jest Jeden na jednego lub bijektyw(bijection). W ten przykład to znaczy, że do każdego uczeń jest wyrównany jeden wyjątkowy temat eseju i odwrotnie - dla każdego jeden i tylko jeden student jest określony tematem streszczenia.

Nie należy jednak myśleć, że każde mapowanie jest bijektywne. Jeśli do pierwszego rzędu (do zestawu) dodamy 7. ucznia, wówczas korespondencja jeden do jednego zniknie - albo jeden z uczniów pozostanie bez tematu (brak wyświetlacza) lub jakiś temat trafi do dwóch uczniów jednocześnie. Sytuacja odwrotna: jeśli do zestawu zostanie dodany siódmy temat, wówczas mapowanie jeden do jednego również zostanie utracone – jeden z tematów pozostanie nieodebrany.

Drodzy studenci, w pierwszym rzędzie nie denerwujcie się - pozostałe 20 osób po zajęciach pójdzie, aby oczyścić teren uniwersytetu z jesiennych liści. Kierownik zaopatrzenia przekaże dwadzieścia golików, po czym zostanie nawiązana korespondencja jeden do jednego między główną częścią grupy a miotłami ..., a Voldemar też będzie miał czas, aby pobiec do sklepu =)). wyjątkowy"y" i odwrotnie - dla dowolnej wartości "y" możemy jednoznacznie przywrócić "x". Jest to zatem funkcja bijektywna.

! Na wszelki wypadek eliminuję ewentualne nieporozumienie: moje ciągłe zastrzeżenie co do zakresu nie jest przypadkowe! Funkcja może nie być zdefiniowana dla wszystkich „x”, a ponadto w tym przypadku może być równa jeden do jednego. Typowy przykład:

Ale w funkcja kwadratowa nic takiego nie obserwuje się, po pierwsze:
- tj, różne znaczenia„x” pojawił się w To samo co oznacza „y”; a po drugie: jeśli ktoś obliczył wartość funkcji i powiedział nam, że , to nie jest jasne - to „y” zostało uzyskane o lub o ? Nie trzeba dodawać, że nie ma tu nawet zapachu wzajemnej jednoznaczności.

Zadanie 2: pogląd wykresy podstawowych funkcji elementarnych i wypisz funkcje bijective na kartce papieru. Lista kontrolna na końcu tej lekcji.

Ustaw moc

Intuicja podpowiada, że termin ten charakteryzuje wielkość zbioru, czyli ilość jego elementów. A intuicja nas nie zwodzi!

Kardynalność pustego zestawu wynosi zero.

Kardynalność zestawu to sześć.

Siła zestawu liter alfabetu rosyjskiego wynosi trzydzieści trzy.

Ogólnie rzecz biorąc, moc każdego finał zbiór jest równy liczbie elementów tego zbioru.

...może nie wszyscy w pełni rozumieją, co to jest finał zestaw - jeśli zaczniesz liczyć elementy tego zestawu, to prędzej czy później liczenie się zakończy. Jak się nazywa, a Chińczykom kiedyś zabraknie.

Oczywiście zbiory można porównywać w kardynalności, a ich równość w tym sensie nazywa się równa moc. Równoważność definiuje się w następujący sposób:

Dwa zestawy są równoważne, jeśli można między nimi ustalić korespondencję jeden do jednego..

Zbiór uczniów jest odpowiednikiem zestawu abstrakcyjnych tematów, zestaw liter alfabetu rosyjskiego jest odpowiednikiem dowolnego zestawu 33 elementów itp. Zwróć uwagę dokładnie, co ktokolwiek zestaw 33 elementów - w tym przypadku liczy się tylko ich liczba. Litery alfabetu rosyjskiego można porównać nie tylko z wieloma cyframi
1, 2, 3, ..., 32, 33, ale też ogólnie ze stadem 33 krów.

Rzeczy są o wiele ciekawsze w zestawach nieskończonych. Nieskończoności też są inne! ...zielony i czerwony „Najmniejsze” nieskończone zestawy to rachunkowość zestawy. Jeśli jest to dość proste, elementy takiego zestawu można ponumerować. Przykładem odniesienia jest zbiór liczb naturalnych . Tak – jest nieskończona, ale każdy z jej elementów w ZASIE ma numer.

Jest wiele przykładów. W szczególności zbiór wszystkich parzystych liczb naturalnych jest policzalny. Jak to udowodnić? Konieczne jest ustalenie jego korespondencji jeden do jednego ze zbiorem liczb naturalnych lub po prostu ponumerowanie elementów:

Ustalana jest korespondencja jeden-do-jednego, dlatego zestawy są równoważne, a zestaw jest policzalny. To paradoksalne, ale z punktu widzenia władzy – jest tyle nawet liczb naturalnych, co naturalnych!

Zbiór liczb całkowitych jest również policzalny. Jego elementy można ponumerować, na przykład tak:

Ponadto zbiór liczb wymiernych jest również przeliczalny. . Ponieważ licznik jest liczbą całkowitą (i, jak pokazano, można je ponumerować), a mianownikiem jest liczba naturalna, to prędzej czy później „dostaniemy” dowolny ułamek wymierny i przypiszemy mu liczbę.

Ale zbiór liczb rzeczywistych już jest niezliczony, tj. jego elementy nie mogą być ponumerowane. Ten fakt choć oczywiste, jest to rygorystycznie udowodnione w teorii mnogości. Nazywana jest również liczność zbioru liczb rzeczywistych kontinuum, aw porównaniu ze zbiorami policzalnymi jest to zbiór „bardziej nieskończony”.

Ponieważ istnieje zależność jeden do jednego między zestawem a osią liczbową (patrz wyżej), to zbiór punktów prostej rzeczywistej też jest niezliczony. A co więcej, na kilometrze i milimetrowym odcinku jest tyle samo punktów! Klasyczny przykład:

Obracając wiązkę w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, aż zbiegnie się z wiązką, ustalimy korespondencję jeden do jednego między punktami niebieskich segmentów. Zatem na segmencie jest tyle punktów, ile jest na segmencie i !

Ten paradoks widocznie wiąże się z tajemnicą nieskończoności… ale teraz nie będziemy zawracać sobie głowy problemami wszechświata, bo kolejny krok to

Zadanie 2 Funkcje jeden-do-jednego w ilustracjach lekcji

Cele Lekcji:

edukacyjne: kształtowanie umiejętności identyfikowania zbiorów, podzbiorów; kształtowanie umiejętności znajdowania obszaru przecięcia i łączenia zbiorów na obrazach oraz nazywania elementów z tego obszaru, rozwiązywania problemów;
opracowanie: rozwój zainteresowanie poznawcze studenci; rozwój sfery intelektualnej jednostki, rozwój umiejętności porównywania i uogólniania.
edukacyjne: kultywować dokładność i uważność w podejmowaniu decyzji.

Podczas zajęć.

1. Moment organizacyjny.

2. Nauczyciel raportuje temat lekcji, wspólnie z uczniami formułuje cele i zadania.

3. Nauczyciel wspólnie z uczniami przypomina materiał przestudiowany na temat „Zestawy” w klasie 7, wprowadza nowe pojęcia i definicje, formuły rozwiązywania problemów.

„Wiele to wiele, uważanych przez nas za jedno” (twórca teorii mnogości - Georg Cantor). KANTOR (Cantor) Georg (1845-1918) - niemiecki matematyk, logik, teolog, twórca teorii zbiorów pozaskończonych (nieskończonych), która miała decydujący wpływ na rozwój nauk matematycznych na przełomie XIX i XX wieku.

Zbiór jest jednym z podstawowych pojęć współczesnej matematyki, stosowanym w prawie wszystkich jej działach.

Niestety, podstawowemu pojęciu teorii - pojęciu zbioru - nie można podać ścisłej definicji. Oczywiście można powiedzieć, że zbiór to „zbiór”, „zbiór”, „zespół”, „zbiór”, „rodzina”, „system”, „klasa” itp., jednak to wszystko nie byłoby definicja matematyczna, a raczej nadużycie słownictwa języka rosyjskiego.

Aby zdefiniować jakiekolwiek pojęcie, należy przede wszystkim wskazać, jako szczególny przypadek, którego więcej ogólna koncepcja, to jest niemożliwe, aby zrobić to dla pojęcia zbioru, ponieważ nie ma ogólniejszego pojęcia niż zbiór w matematyce.

Często trzeba mówić o kilku rzeczach, które łączy jakiś znak. Możemy więc mówić o zestawie wszystkich krzeseł w pokoju, o zestawie wszystkich komórek Ludzkie ciało, zbiór wszystkich ziemniaków w danej torbie, zbiór wszystkich ryb w oceanie, zbiór wszystkich kwadratów na płaszczyźnie, zbiór wszystkich punktów na danym okręgu itp.

Obiekty składające się na dany zbiór nazywamy jego elementami.

Na przykład zestaw dni tygodnia składa się z elementów: poniedziałek, wtorek, środa, czwartek, piątek, sobota, niedziela.

Wiele miesięcy - z elementów: styczeń, luty, marzec, kwiecień, maj, czerwiec, lipiec, sierpień, wrzesień, październik, listopad, grudzień.

Pęczek działania arytmetyczne- z elementów: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie.

Na przykład, jeśli A oznacza zbiór wszystkich liczb naturalnych, to 6 należy do A, ale 3 nie należy do A.

Jeśli A jest zbiorem wszystkich miesięcy w roku, to maj należy do A, ale środa nie należy do A.

Jeśli zbiór zawiera skończoną liczbę elementów, to nazywamy go skończonym, a jeśli ma nieskończoną liczbę elementów, nazywamy go nieskończonym. Tak więc zbiór drzew w lesie jest skończony, ale zbiór punktów na kole jest nieskończony.

Paradoks w logice- jest to sprzeczność, która ma status logicznie poprawnego wniosku, a jednocześnie jest rozumowaniem, które prowadzi do wzajemnie wykluczających się wniosków.

Jak już wspomniano, koncepcja zbioru jest sercem matematyki. Używając najprostszych zbiorów i różnych konstrukcji matematycznych, można skonstruować prawie każdy obiekt matematyczny. Ideę budowania całej matematyki w oparciu o teorię mnogości aktywnie propagował G. Kantor. Jednak przy całej swojej prostocie koncepcja zbioru jest obarczona niebezpieczeństwem sprzeczności lub, jak mówią, paradoksów. Pojawienie się paradoksów wynika z faktu, że nie wszystkie konstrukcje i nie wszystkie zestawy można brać pod uwagę.

Najprostszym paradoksem jest „ paradoks fryzjerski".

Jednemu żołnierzowi kazano ogolić tych i tylko tych żołnierzy z jego plutonu, którzy się nie ogolili. Jak wiecie, niewykonanie rozkazu w wojsku jest najcięższą zbrodnią. Powstało jednak pytanie, czy ten żołnierz powinien się ogolić. Jeśli się goli, należy go przypisać wielu żołnierzom, którzy się golą, a on nie ma prawa się golić. Jeśli sam się nie ogoli, wpadnie w wielu żołnierzy, którzy się nie golą, i zgodnie z rozkazem ma obowiązek golić takich żołnierzy. Paradoks.

Na zbiorach, jak również na wielu innych obiektach matematycznych, można wykonywać różne operacje, które są czasami nazywane operacjami teorii mnogości lub operacjami na zbiorach. W wyniku operacji z oryginalnych zbiorów uzyskuje się nowe zbiory. Zestawy są oznaczane wielkimi literami łacińskimi, a ich elementy małymi. Nagranie a R oznacza, że element a należy do zestawu R, tj a R. W przeciwnym razie, kiedy a nie należy do zestawu R, pisać a R .

Dwa zestawy ALE oraz W nazywa równy (ALE =W) jeśli składają się z tych samych elementów, czyli każdego elementu zbioru ALE jest elementem zestawu W i odwrotnie, każdy element zestawu W jest elementem zestawu ALE .

Ustaw porównanie.

Zbiór A jest zawarty w zbiorze B (zestaw B zawiera zbiór A), jeśli każdy element A jest elementem B:

Mówią, że wielu ALE zawarte w wielu W lub ustaw ALE jest podzbiór zestawy W(w tym przypadku napisz ALE W) jeśli każdy element zbioru ALE jest również elementem zestawu W. Ten związek między zestawami nazywa się włączenie . Dla każdego zestawu ALE są inkluzje: Ø ALE oraz ALE ALE

W tym przypadku A nazywa podzbiór B, B - nadzbiór A. Jeśli , to A nazywa własny podzbiór W. Zauważ, że ,

A-priorytetowe ,

Te dwa zestawy nazywają się równy jeśli są podzbiorami siebie nawzajem

Operacje na zbiorach

skrzyżowanie.

Unia.

Nieruchomości.

1. Działanie sumy zbiorów jest przemienne

2. Działanie sumy zbiorów jest przechodnie

3. Zbiór pusty X jest neutralnym elementem działania sumy zbiorów

1. Niech A = (1,2,3,4),B = (3,4,5,6,7). Następnie

2. A \u003d (2,4,6,8,10), B \u003d (3,6,9,12). Znajdźmy sumę i przecięcie tych zbiorów:

{2,4,6,8, 10,3,6,9,12}, = {6}.

3. Zbiór dzieci jest podzbiorem całej populacji

4. Przecięcie zbioru liczb całkowitych ze zbiorem liczb dodatnich jest zbiorem liczb naturalnych.

5. Związek zbioru liczb wymiernych ze zbiorem liczb niewymiernych jest zbiorem liczb dodatnich.

6. Zero jest dopełnieniem zbioru liczb naturalnych względem zbioru nieujemnych liczb całkowitych.

Diagramy Venna(Diagramy Venna) - Nazwa zwyczajowa szereg metod wizualizacyjnych i metod ilustracji graficznej, szeroko stosowanych w różnych dziedzinach nauki i matematyki: de facto teoria mnogości „schemat Venna” pokazuje wszystko możliwy związek między setami lub wydarzeniami z jakiejś rodziny; odmiany diagramy Venna to: diagramy Eulera,

Diagram Venna czterech zestawów.

Właściwie „schemat Venna” pokazuje wszystkie możliwe relacje między zestawami lub wydarzeniami z jakiejś rodziny. Zwykły diagram Venna składa się z trzech zestawów. Sam Venn próbował znaleźć pełen wdzięku sposób o symetrycznych kształtach reprezentujący na schemacie jeszcze zestawy, ale był w stanie to zrobić tylko dla czterech zestawów (patrz rysunek po prawej) za pomocą elips.

diagramy Eulera

Diagramy Eulera są podobne do diagramów Venna.Diagramy Eulera mogą być używane do oceny prawdopodobieństwa tożsamości mnogościowych.

Zadanie 1. W klasie jest 30 osób, z których każda śpiewa lub tańczy. Wiadomo, że śpiewa 17 osób, a tańczy 19 osób. Ile osób jednocześnie śpiewa i tańczy?

Decyzja: Po pierwsze, zauważamy, że na 30 osób 30 - 17 = 13 osób nie może śpiewać.

Wszyscy wiedzą, jak tańczyć, ponieważ w zależności od warunku każdy uczeń klasy śpiewa lub tańczy. Łącznie tańczyć może 19 osób, 13 z nich nie może śpiewać, co oznacza, że 19-13 = 6 osób może tańczyć i śpiewać jednocześnie.

Problemy na przecięciu i zespoleniu zbiorów.

Podano zbiory A = (3,5, 0, 11, 12, 19), B = (2,4, 8, 12, 18,0).
Znajdź zestawy AU B,
Stwórz co najmniej siedem słów, których litery tworzą podzbiory zbioru
A - (k, a, p, y, s, e, l, b).
Niech A będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 2, a B będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 4. Jaki wniosek można wyciągnąć z tych zbiorów?
Firma zatrudnia 67 osób. Spośród nich 47 wie język angielski, 35 to niemiecki, a 23 to oba języki. Ile osób w firmie nie mówi po angielsku lub Niemiecki?
Spośród 40 uczniów w naszej klasie, 32 lubi mleko, 21 lubi lemoniadę, a 15 lubi mleko i lemoniadę. Ile dzieci w naszej klasie nie lubi mleka ani lemoniady?
12 moich kolegów z klasy lubi czytać kryminały, 18 uwielbia czytać science fiction, troje z nich czyta obie z przyjemnością, a jeden w ogóle nic nie czyta. Ilu uczniów jest w naszej klasie?
Spośród 18 moich kolegów z klasy, którzy lubią oglądać thrillery, tylko 12 nie ma nic przeciwko oglądaniu kreskówek. Ilu moich kolegów z klasy ogląda tylko „kreskówki”, jeśli w naszej klasie jest 25 uczniów, z których każdy lubi oglądać thrillery, kreskówki lub jedno i drugie?
Z 29 chłopców na naszym podwórku tylko dwóch nie uprawia sportu, a pozostali uczęszczają na sekcje piłki nożnej, tenisa, a nawet obu. Jest 17 chłopców grających w piłkę nożną i 19 grających w tenisa Ilu piłkarzy gra w tenisa? Ilu tenisistów gra w piłkę nożną?
65% Królików Babci uwielbia marchew, 10% uwielbia zarówno marchew, jak i kapustę. Ile procent królików nie ma nic przeciwko jedzeniu kapusty?
W jednej klasie jest 25 uczniów. Spośród nich 7 uwielbiają gruszki, 11 uwielbiają wiśnie. Dwie jak gruszki i wiśnie; 6 - gruszki i jabłka; 5 - jabłka i wiśnie. Ale w klasie jest dwoje uczniów, którzy kochają wszystko i czterech, którzy w ogóle nie lubią owoców. Ilu uczniów w tej klasie lubi jabłka?
W konkursie piękności wzięły udział 22 dziewczyny. Spośród nich 10 było pięknych, 12 inteligentnych, a 9 miłych. Tylko 2 dziewczynki były piękne i mądre; 6 dziewczynek było jednocześnie inteligentnych i miłych. Określ, ile pięknych i jednocześnie miłych dziewcząt było, jeśli powiem ci, że wśród uczestników nie było ani jednej mądrej, miłej i jednocześnie piękna dziewczyna?
W naszej klasie jest 35 uczniów. W pierwszym kwartale z pięciu w języku rosyjskim 14 uczniów miało; w matematyce - 12; w historii - 23, w rosyjskim i matematyce - 4; w matematyce i historii - 9; z języka rosyjskiego i historii - 5. Ilu uczniów ma piątki ze wszystkich trzech przedmiotów, jeśli w klasie nie ma ani jednego ucznia, który nie ma piątki z przynajmniej jednego z tych przedmiotów?
Na 100 osób 85 mówi po angielsku, 80 po hiszpańsku, a 75 po niemiecku. Wszyscy mówią co najmniej jednym językiem obcym. Wśród nich nie ma tych, którzy znają dwa języki obce, ale są tacy, którzy mówią trzema językami. Ile z tych 100 osób zna trzy języki?
Spośród pracowników firmy 16 odwiedziło Francję, 10 - Włochy, 6 - Anglię; w Anglii i we Włoszech – 5; w Anglii i Francji – 6; we wszystkich trzech krajach - 5 pracowników. Ile osób odwiedziło zarówno Włochy, jak i Francję, jeśli w firmie jest 19 osób i każda z nich odwiedziła przynajmniej jeden z tych krajów?