Pierwiastek, którego równanie jest ułamkiem. Najprostsze równania wymierne
Rozwiązywanie równań z ułamkami spójrzmy na przykłady. Przykłady są proste i ilustracyjne. Z ich pomocą możesz zrozumieć w najbardziej zrozumiały sposób.
Na przykład musisz rozwiązać proste równanie x/b + c = d.
Równanie tego typu nazywa się liniowym, ponieważ mianownik zawiera tylko liczby.
Rozwiązanie wykonuje się mnożąc obie strony równania przez b, a następnie równanie przyjmuje postać x = b*(d – c), czyli mianownik ułamka po lewej stronie jest zmniejszony.
Na przykład, jak rozwiązać równanie ułamkowe:
x/5+4=9
Obie części mnożymy przez 5. Otrzymujemy:
x+20=45
x=45-20=25
Inny przykład, w którym w mianowniku znajduje się niewiadoma:
Równania tego typu nazywane są ułamkowym wymiernym lub po prostu ułamkowym.
Rozwiązalibyśmy równanie ułamkowe, pozbywając się ułamków, po czym to równanie najczęściej zamienia się w równanie liniowe lub kwadratowe, które rozwiązuje się w zwykły sposób. Należy wziąć pod uwagę tylko następujące punkty:
- wartość zmiennej, która zmienia mianownik na 0, nie może być pierwiastkiem;
- nie możesz podzielić ani pomnożyć równania przez wyrażenie =0.
Tutaj wchodzi w życie takie pojęcie jak obszar wartości dopuszczalnych (ODZ) – są to wartości pierwiastków równania, dla których równanie ma sens.
Tak więc, rozwiązując równanie, konieczne jest znalezienie pierwiastków, a następnie sprawdzenie ich pod kątem zgodności z ODZ. Te korzenie, które nie odpowiadają naszemu DHS, są wykluczone z odpowiedzi.
Na przykład musisz rozwiązać równanie ułamkowe:
W oparciu o powyższą zasadę x nie może być = 0, tj. ODZ w tym przypadku: x - dowolna wartość inna niż zero.
Pozbywamy się mianownika mnożąc wszystkie wyrazy równania przez x
I rozwiąż zwykłe równanie
5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3
Odpowiedź: x = 1/3
Rozwiążmy bardziej skomplikowane równanie:
Występuje tu również ODZ: x -2.
Rozwiązując to równanie, nie przeniesiemy wszystkiego w jednym kierunku i sprowadzimy ułamki do wspólnego mianownika. Natychmiast mnożymy obie strony równania przez wyrażenie, które zmniejszy wszystkie mianowniki jednocześnie.
Aby zmniejszyć mianowniki, musisz pomnożyć lewą stronę przez x + 2, a prawą przez 2. Zatem obie strony równania muszą zostać pomnożone przez 2 (x + 2):
Jest to najczęstsze mnożenie ułamków, które omówiliśmy już powyżej.
Piszemy to samo równanie, ale w nieco inny sposób.
Lewa strona jest zmniejszona o (x + 2), a prawa strona o 2. Po zmniejszeniu otrzymujemy zwykłe równanie liniowe:
x \u003d 4 - 2 \u003d 2, co odpowiada naszemu ODZ
Odpowiedź: x = 2.
Rozwiązywanie równań z ułamkami nie tak trudne, jak mogłoby się wydawać. W tym artykule pokazaliśmy to na przykładach. Jeśli masz jakiekolwiek trudności z jak rozwiązywać równania z ułamkami, a następnie zrezygnuj z subskrypcji w komentarzach.
Prezentacja i lekcja na temat: „Równania wymierne. Algorytm i przykłady rozwiązywania równań wymiernych”
Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, opinii, sugestii! Wszystkie materiały są sprawdzane przez program antywirusowy.
Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym „Integral” dla klasy 8
Podręcznik do podręcznika Makarychev Yu.N. Podręcznik do podręcznika Mordkovich A.G.
Wprowadzenie do równań niewymiernych
Chłopaki, nauczyliśmy się rozwiązywać równania kwadratowe. Ale matematyka nie ogranicza się do nich. Dziś nauczymy się rozwiązywać równania wymierne. pojęcie równania racjonalne bardzo podobny do koncepcji liczby wymierne. Tylko oprócz liczb wprowadziliśmy teraz pewną zmienną $x$. I tak otrzymujemy wyrażenie, w którym zachodzą operacje dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i podnoszenia do potęgi całkowitej.Niech $r(x)$ będzie racjonalne wyrażenie
. Takim wyrażeniem może być prosty wielomian w zmiennej $x$ lub stosunek wielomianów (wprowadzono operację dzielenia, jak dla liczb wymiernych).
Wywołujemy równanie $r(x)=0$ równanie racjonalne.
Każde równanie postaci $p(x)=q(x)$, gdzie $p(x)$ i $q(x)$ są wyrażeniami wymiernymi, również będzie równanie racjonalne.
Rozważ przykłady rozwiązywania równań wymiernych.
Przykład 1Rozwiąż równanie: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.
Decyzja.
Przesuńmy wszystkie wyrażenia na lewą stronę: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Gdyby zwykłe liczby były reprezentowane po lewej stronie równania, to doprowadzilibyśmy dwa ułamki do wspólnego mianownika.
Zróbmy to: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Otrzymaliśmy równanie: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.
Ułamek jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy licznik ułamka zero, a mianownik jest różny od zera. Następnie osobno przyrównaj licznik do zera i znajdź pierwiastki licznika.
3$(x^2+2x-3)=0$ lub x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Sprawdźmy teraz mianownik ułamka: $(x-3)*x≠0$.
Iloczyn dwóch liczb jest równy zero, gdy przynajmniej jedna z tych liczb jest równa zeru. Wtedy: $x≠0$ lub $x-3≠0$.
$x≠0$ lub $x≠3$.
Pierwiastki uzyskane w liczniku i mianowniku nie pasują do siebie. Więc w odpowiedzi zapisujemy oba pierwiastki licznika.
Odpowiedź: $x=1$ lub $x=-3$.
Jeśli nagle jeden z pierwiastków licznika zbiegł się z pierwiastkiem mianownika, należy go wykluczyć. Takie korzenie nazywane są obcymi!
Algorytm rozwiązywania równań wymiernych:
1. Wszystkie wyrażenia zawarte w równaniu należy przenieść do lewa strona od znaku równości.2. Przekształć tę część równania na ułamek algebraiczny: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Przyrównaj wynikowy licznik do zera, czyli rozwiąż równanie $p(x)=0$.
4. Zrównaj mianownik do zera i rozwiąż otrzymane równanie. Jeśli pierwiastki mianownika pokrywają się z pierwiastkami licznika, należy je wykluczyć z odpowiedzi.
Przykład 2
Rozwiąż równanie: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.
Decyzja.
Rozwiążemy zgodnie z punktami algorytmu.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Zrównaj licznik do zera: 3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Zrównaj mianownik z zero:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ i $x=-1$.
Jeden z pierwiastków $x=1$ pokrywał się z pierwiastkiem licznika, wtedy nie zapisujemy go w odpowiedzi.
Odpowiedź: $x=-1$.
Równania wymierne wygodnie jest rozwiązywać metodą zmiany zmiennych. Pokażmy to.
Przykład 3
Rozwiąż równanie: $x^4+12x^2-64=0$.
Decyzja.
Wprowadzamy zamiennik: $t=x^2$.
Wtedy nasze równanie przyjmie postać:
$t^2+12t-64=0$ to zwykłe równanie kwadratowe.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4$.
Wprowadźmy odwrotną zamianę: $x^2=4$ lub $x^2=-16$.
Pierwiastki pierwszego równania to para liczb $x=±2$. Drugi nie ma korzeni.
Odpowiedź: $x=±2$.
Przykład 4
Rozwiąż równanie: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Decyzja.
Wprowadźmy nową zmienną: $t=x^2+x+1$.
Wtedy równanie przyjmie postać: $t=\frac(15)(t+2)$.
Następnie będziemy działać zgodnie z algorytmem.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3$.
4. $t≠-2$ - pierwiastki się nie zgadzają.
Wprowadzamy odwrotne podstawienie.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Rozwiążmy każde równanie osobno:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - nie korzenie.
I drugie równanie: $x^2+x-2=0$.
Ukorzeniony podane równanie będą liczby $x=-2$ i $x=1$.
Odpowiedź: $x=-2$ i $x=1$.
Przykład 5
Rozwiąż równanie: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.
Decyzja.
Wprowadzamy zamiennik: $t=x+\frac(1)(x)$.
Następnie:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ lub $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Otrzymaliśmy równanie: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Korzenie tego równania to para:
$t=-3$ i $t=2$.
Wprowadźmy odwrotne podstawienie:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Decyzję podejmiemy osobno.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Rozwiążmy drugie równanie:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Pierwiastkiem tego równania jest liczba $x=1$.
Odpowiedź: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Rozwiąż równania:1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.
2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.
Powyższe równanie wprowadziliśmy w § 7. Najpierw przypomnimy sobie, czym jest wyrażenie wymierne. To jest - wyrażenie algebraiczne, złożony z liczb i zmiennej x z wykorzystaniem operacji dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i potęgowania z wykładnikiem naturalnym.
Jeśli r(x) jest wyrażeniem wymiernym, to równanie r(x) = 0 nazywamy równaniem wymiernym.
Jednak w praktyce wygodniej jest używać nieco więcej szeroka interpretacja termin „równanie wymierne”: jest to równanie postaci h(x) = q(x), gdzie h(x) i q(x) są wyrażeniami wymiernymi.
Do tej pory nie mogliśmy rozwiązać żadnego równania racjonalnego, a jedynie takie, które w wyniku różnych przekształceń i rozumowań zostało zredukowane do równanie liniowe. Teraz nasze możliwości są znacznie większe: będziemy w stanie rozwiązać równanie wymierne, które sprowadza się nie tylko do liniowego
mu, ale także do równania kwadratowego.
Przypomnij sobie, jak rozwiązywaliśmy wcześniej równania wymierne i spróbuj sformułować algorytm rozwiązania.
Przykład 1 Rozwiązać równanie
Decyzja. Przepisujemy równanie w postaci
W tym przypadku, jak zwykle, używamy faktu, że równości A \u003d B i A - B \u003d 0 wyrażają tę samą zależność między A i B. To pozwoliło nam przenieść termin na lewą stronę równania za pomocą przeciwny znak.
Wykonajmy przekształcenia lewej strony równania. Mamy
Przypomnij sobie warunki równości ułamki zero: wtedy i tylko wtedy, gdy dwie relacje są jednocześnie spełnione:
1) licznik ułamka wynosi zero (a = 0); 2) mianownik ułamka jest różny od zera).
Przyrównując do zera licznik ułamka po lewej stronie równania (1), otrzymujemy
Pozostaje sprawdzić spełnienie drugiego warunku, o którym mowa powyżej. Stosunek oznacza dla równania (1), że . Wartości x 1 = 2 i x 2 = 0,6 spełniają wskazane zależności i dlatego służą jako pierwiastki równania (1), a jednocześnie pierwiastki danego równania.
1) Przekształćmy równanie do postaci
2) Wykonajmy przekształcenia lewej strony tego równania:
(jednocześnie zmieniono znaki w liczniku i
frakcje).
Zatem, podane równanie przybiera formę
3) Rozwiąż równanie x 2 - 6x + 8 = 0. Znajdź
4) Dla znalezionych wartości sprawdź warunek 
. Cyfra 4 spełnia ten warunek, ale cyfra 2 nie. Więc 4 jest pierwiastkiem danego równania, a 2 jest pierwiastkiem obcym.
Odpowiedź: 4.
2. Rozwiązanie równań wymiernych przez wprowadzenie nowej zmiennej
Sposób wprowadzenia nowej zmiennej jest Ci znany, korzystaliśmy z niej niejednokrotnie. Pokażmy na przykładach, jak jest używany do rozwiązywania równań wymiernych.
Przykład 3 Rozwiąż równanie x 4 + x 2 - 20 = 0.
Decyzja. Wprowadzamy nową zmienną y \u003d x 2. Ponieważ x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, to dane równanie można przepisać w postaci
r 2 + r - 20 = 0.
Jest to równanie kwadratowe, którego pierwiastki znajdziemy za pomocą znanego formuły; otrzymujemy y 1 = 4, y 2 = - 5.
Ale y \u003d x 2, co oznacza, że problem został zredukowany do rozwiązania dwóch równań:
x2=4; x 2 \u003d -5.
Z pierwszego równania dowiadujemy się, że drugie równanie nie ma pierwiastków.
Odpowiedź: .
Równanie postaci ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 nazywa się równaniem dwukwadratowym („bi” - dwa, tj. Niejako równanie „dwukrotnie kwadratowe”). Właśnie rozwiązane równanie było dokładnie dwukwadratowe. Każde równanie dwukwadratowe rozwiązuje się w taki sam sposób, jak równanie z przykładu 3: wprowadza się nową zmienną y \u003d x 2, powstałe równanie kwadratowe jest rozwiązywane w odniesieniu do zmiennej y, a następnie zwracane do zmiennej x.
Przykład 4 Rozwiązać równanie
Decyzja. Zauważ, że to samo wyrażenie x 2 + 3x występuje tutaj dwukrotnie. Dlatego sensowne jest wprowadzenie nowej zmiennej y = x 2 + Zx. Pozwoli nam to przepisać równanie w prostszej i przyjemniejszej postaci (co w rzeczywistości jest celem wprowadzenia nowego zmienny- a nagrywanie jest łatwiejsze
, a struktura równania staje się jaśniejsza):
A teraz użyjemy algorytmu do rozwiązania równania wymiernego.
1) Przenieśmy wszystkie wyrazy równania do jednej części:
= 0
2) Przekształćmy lewą stronę równania
Tak więc przekształciliśmy dane równanie w postać
3) Z równania - 7y 2 + 29y -4 = 0 znajdujemy (rozwiązaliśmy już całkiem sporo równań kwadratowych, więc chyba nie warto zawsze podawać w podręczniku szczegółowych obliczeń).
4) Sprawdźmy znalezione pierwiastki za pomocą warunku 5 (y - 3) (y + 1). Warunek ten spełniają oba korzenie.
Zatem równanie kwadratowe dla nowej zmiennej y jest rozwiązane: 
Ponieważ y \u003d x 2 + Zx, a y, jak ustaliliśmy, przyjmuje dwie wartości: 4 i - nadal musimy rozwiązać dwa równania: x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. Pierwiastkami pierwszego równania są liczby 1 i - 4, pierwiastkami drugiego równania są liczby
W rozważanych przykładach sposób wprowadzenia nowej zmiennej był, jak lubią mawiać matematycy, adekwatny do sytuacji, czyli dobrze z nią korespondował. Czemu? Tak, ponieważ to samo wyrażenie wyraźnie pojawiało się w zapisie równania kilka razy i rozsądne było oznaczenie tego wyrażenia nową literą. Ale nie zawsze tak jest, czasami nowa zmienna „pojawia się” dopiero w procesie przekształceń. Dokładnie tak będzie w następnym przykładzie.
Przykład 5 Rozwiązać równanie
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Decyzja. Mamy
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.
Zatem podane równanie można przepisać jako
(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24
Teraz "pojawiła się" nowa zmienna: y = x 2 - Zx.
Za jego pomocą równanie można przepisać w postaci y (y + 2) \u003d 24, a następnie y 2 + 2y - 24 \u003d 0. Pierwiastkami tego równania są liczby 4 i -6.
Wracając do pierwotnej zmiennej x, otrzymujemy dwa równania x 2 - Zx \u003d 4 i x 2 - Zx \u003d - 6. Z pierwszego równania znajdujemy x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; drugie równanie nie ma pierwiastków.
Odpowiedź: 4, - 1.
Zapoznajmy się z racjonalnymi i ułamkowymi równaniami wymiernymi, podajmy ich definicję, podajmy przykłady, a także przeanalizujmy najczęstsze typy problemów.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Równanie wymierne: definicja i przykłady
Znajomość wyrażeń wymiernych rozpoczyna się w 8 klasie szkoły. W tej chwili na lekcjach algebry uczniowie coraz częściej zaczynają wykonywać zadania z równaniami, które zawierają w swoich notatkach wyrażenia wymierne. Odświeżmy naszą pamięć o tym, co to jest.
Definicja 1
równanie racjonalne to równanie, w którym obie strony zawierają wyrażenia wymierne.
W różnych podręcznikach można znaleźć inne sformułowania.
Definicja 2
równanie racjonalne- jest to równanie, którego zapis lewej strony zawiera wyrażenie wymierne, a prawa zawiera zero.
Definicje, które podaliśmy dla równań wymiernych są równoważne, ponieważ oznaczają to samo. Poprawność naszych słów potwierdza fakt, że dla wszelkich wyrażeń wymiernych P oraz Q równania P=Q oraz P − Q = 0 będą wyrażeniami równoważnymi.
Przejdźmy teraz do przykładów.
Przykład 1
Równania wymierne:
x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .
Równania wymierne, podobnie jak równania innych typów, mogą zawierać dowolną liczbę zmiennych od 1 do kilku. Na początek rozważymy proste przykłady, w którym równania będą zawierały tylko jedną zmienną. A potem zaczynamy stopniowo komplikować zadanie.
Równania wymierne dzielą się na dwie duże grupy: całkowite i ułamkowe. Zobaczmy, które równania będą miały zastosowanie do każdej z grup.
Definicja 3
Równanie wymierne będzie liczbą całkowitą, jeśli zapis jego lewej i prawej części zawiera całe wyrażenia wymierne.
Definicja 4
Równanie wymierne będzie ułamkowe, jeśli jedna lub obie jego części zawierają ułamek.
Równania ułamkowo racjonalne z konieczności zawierają dzielenie przez zmienną lub zmienna występuje w mianowniku. W pisaniu równań całkowitych nie ma takiego podziału.
Przykład 2
3 x + 2 = 0 oraz (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5 są całymi równaniami racjonalnymi. Tutaj obie części równania są reprezentowane przez wyrażenia całkowite.
1 x - 1 = x 3 i x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 są równaniami ułamkowo racjonalnymi.
Całe równania wymierne obejmują równania liniowe i kwadratowe.
Rozwiązywanie równań całkowitych
Rozwiązanie takich równań zwykle sprowadza się do ich przekształcenia w równoważne równania algebraiczne. Można to osiągnąć przeprowadzając równoważne przekształcenia równań zgodnie z następującym algorytmem:
- najpierw otrzymujemy zero po prawej stronie równania, w tym celu należy przenieść wyrażenie znajdujące się po prawej stronie równania na jego lewą stronę i zmienić znak;
- następnie przekształcamy wyrażenie po lewej stronie równania na wielomian standardowy widok.
Musimy otrzymać równanie algebraiczne. To równanie będzie równoważne z pierwotnym równaniem. Proste przypadki pozwalają nam rozwiązać problem, sprowadzając całe równanie do równania liniowego lub kwadratowego. W ogólnym przypadku rozwiązujemy równanie algebraiczne stopnia n.
Przykład 3
Konieczne jest znalezienie pierwiastków całego równania 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.
Decyzja
Przekształćmy oryginalne wyrażenie, aby otrzymać równoważne mu równanie algebraiczne. W tym celu przeniesiemy wyrażenie zawarte po prawej stronie równania na lewą stronę i zmienimy znak na przeciwny. W rezultacie otrzymujemy: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.
Teraz przekształcimy wyrażenie znajdujące się po lewej stronie w wielomian postaci standardowej i wykonamy niezbędne działania z tym wielomianem:
3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6
Udało nam się zredukować rozwiązanie pierwotnego równania do rozwiązania równanie kwadratowe uprzejmy x 2 − 5 x − 6 = 0. Wyróżnik tego równania jest dodatni: D = (- 5) 2 - 4 1 (- 6) = 25 + 24 = 49 . Oznacza to, że będą dwa prawdziwe korzenie. Znajdźmy je za pomocą wzoru na pierwiastki równania kwadratowego:
x \u003d - - 5 ± 49 2 1,
x 1 \u003d 5 + 7 2 lub x 2 \u003d 5 - 7 2,
x 1 = 6 lub x 2 = - 1
Sprawdźmy poprawność pierwiastków równania, które znaleźliśmy w trakcie rozwiązania. Dla tej liczby, którą otrzymaliśmy, podstawiamy do pierwotnego równania: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 oraz 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. W pierwszym przypadku 63 = 63 , w sekundę 0 = 0 . Korzenie x=6 oraz x = − 1 są rzeczywiście pierwiastkami równania podanego w przykładowym warunku.
Odpowiedź: 6 , − 1 .
Przyjrzyjmy się, co oznacza „moc całego równania”. Często natkniemy się na ten termin w przypadkach, gdy musimy przedstawić całe równanie w postaci równania algebraicznego. Zdefiniujmy pojęcie.
Definicja 5
Stopień równania całkowitoliczbowego jest stopień równanie algebraiczne, który jest odpowiednikiem oryginalnego całego równania.
Jeśli spojrzysz na równania z powyższego przykładu, możesz ustalić: stopień tego całego równania jest drugi.
Gdyby nasz kurs ograniczał się do rozwiązywania równań drugiego stopnia, to rozważanie tego tematu można by tutaj zakończyć. Ale wszystko nie jest takie proste. Rozwiązywanie równań trzeciego stopnia jest najeżone trudnościami. A dla równań powyżej czwartego stopnia w ogóle nie istnieje ogólne formuły korzenie. W związku z tym rozwiązanie całych równań trzeciego, czwartego i innych stopni wymaga od nas zastosowania szeregu innych technik i metod.
Najczęściej stosowane podejście do rozwiązywania całych równań wymiernych opiera się na metodzie faktoryzacji. Algorytm działań w tym przypadku wygląda następująco:
- przenosimy wyrażenie z prawej strony na lewą tak, aby po prawej stronie rekordu pozostało zero;
- przedstawiamy wyrażenie po lewej stronie jako iloczyn czynników, a następnie przechodzimy do zbioru kilku prostszych równań.
Znajdź rozwiązanie równania (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .
Decyzja
Przenosimy wyrażenie z prawej strony rekordu na lewą stronę z przeciwnym znakiem: (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. Zamiana lewej strony na wielomian postaci standardowej jest niepraktyczna, ponieważ da nam to równanie algebraiczne czwartego stopnia: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Łatwość transformacji nie usprawiedliwia wszystkich trudności z rozwiązaniem takiego równania.
Dużo łatwiej jest iść w drugą stronę: usuwamy czynnik wspólny x 2 – 10 x + 13 . W ten sposób dochodzimy do równania postaci (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Teraz zastępujemy powstałe równanie zestawem dwóch równań kwadratowych x 2 − 10 x + 13 = 0 oraz x 2 − 2 x − 1 = 0 i znajdź ich korzenie poprzez dyskryminację: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .
Odpowiedź: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .
Podobnie możemy wykorzystać metodę wprowadzenia nowej zmiennej. Ta metoda pozwala nam przejść do równoważnych równań o potęgach niższych niż w pierwotnym całym równaniu.
Przykład 5
Czy równanie ma pierwiastki? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?
Decyzja
Jeśli teraz spróbujemy zredukować całe równanie wymierne do równania algebraicznego, otrzymamy równanie stopnia 4, które nie ma wymiernych pierwiastków. Dlatego łatwiej będzie nam pójść w drugą stronę: wprowadzić nową zmienną y, która zastąpi wyrażenie w równaniu x 2 + 3 x.
Teraz będziemy pracować z całym równaniem (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Przenosimy prawą stronę równania na lewą stronę z przeciwnym znakiem i przeprowadzamy niezbędne przekształcenia. Otrzymujemy: r 2 + 4 r + 3 = 0. Znajdźmy pierwiastki równania kwadratowego: y = − 1 oraz y = − 3.
Teraz zróbmy odwrotne podstawienie. Otrzymujemy dwa równania x 2 + 3 x = − 1 oraz x 2 + 3 x = - 3 . Zapiszmy je jako x 2 + 3 x + 1 = 0 i x 2 + 3 x + 3 = 0. Posługujemy się wzorem na pierwiastki równania kwadratowego, aby znaleźć pierwiastki pierwszego otrzymanego równania: - 3 ± 5 2 . Dyskryminator drugiego równania jest ujemny. Oznacza to, że drugie równanie nie ma prawdziwych pierwiastków.
Odpowiedź:- 3 ± 5 2
Równania całkowitoliczbowe o wysokim stopniu często napotykają problemy. Nie trzeba się ich bać. Trzeba być przygotowanym na zastosowanie niestandardowej metody ich rozwiązywania, w tym szeregu sztucznych przekształceń.
Rozwiązanie równań ułamkowo wymiernych
Rozważanie tego podtematu rozpoczynamy od algorytmu rozwiązywania równań ułamkowo wymiernych postaci p (x) q (x) = 0 , gdzie p(x) oraz q(x) są całkowitymi wyrażeniami wymiernymi. Rozwiązanie innych równań ułamkowo racjonalnych zawsze można sprowadzić do rozwiązania równań o wskazanej postaci.
Najczęściej stosowana metoda rozwiązywania równań p (x) q (x) = 0 opiera się na następującym zdaniu: ułamek liczbowy ty jesteś, gdzie v jest liczbą różną od zera, równą zero tylko w przypadkach, gdy licznik ułamka jest równy zero. Idąc za logiką powyższego stwierdzenia, możemy stwierdzić, że rozwiązanie równania p(x)q(x)=0 można sprowadzić do spełnienia dwóch warunków: p(x)=0 oraz q(x) ≠ 0. Na tym budowany jest algorytm rozwiązywania ułamkowych równań wymiernych postaci p (x) q (x) = 0:
- znajdujemy rozwiązanie całego równania wymiernego p(x)=0;
- sprawdzamy, czy warunek jest spełniony dla korzeni znalezionych podczas rozwiązania q(x) ≠ 0.
Jeśli ten warunek jest spełniony, to znaleziony root, jeśli nie, to root nie jest rozwiązaniem problemu.
Przykład 6
Znajdź pierwiastki równania 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .
Decyzja
Mamy do czynienia z ułamkowym równaniem wymiernym postaci p (x) q (x) = 0 , w którym p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Zacznijmy rozwiązywać równanie liniowe 3 x - 2 = 0. Podstawą tego równania będzie x = 2 3.
Sprawdźmy znaleziony korzeń, czy spełnia warunek 5 x 2 - 2 ≠ 0. Aby to zrobić, wstaw do wyrażenia wartość liczbową. Otrzymujemy: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.
Warunek jest spełniony. To znaczy, że x = 2 3 jest pierwiastkiem pierwotnego równania.
Odpowiedź: 2 3 .
Istnieje inna opcja rozwiązywania ułamkowych równań wymiernych p (x) q (x) = 0 . Przypomnij sobie, że to równanie jest równoważne całemu równaniu p(x)=0 w zakresie dopuszczalnych wartości zmiennej x pierwotnego równania. Pozwala nam to zastosować następujący algorytm do rozwiązywania równań p(x) q(x) = 0:
- Rozwiązać równanie p(x)=0;
- znajdź zakres dopuszczalnych wartości dla zmiennej x ;
- bierzemy pierwiastki leżące w obszarze dopuszczalnych wartości zmiennej x jako pożądane pierwiastki pierwotnego ułamkowego równania wymiernego.
Rozwiąż równanie x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .
Decyzja
Najpierw rozwiążmy równanie kwadratowe x 2 − 2 x − 11 = 0. Aby obliczyć jego pierwiastki, używamy wzoru na pierwiastek dla parzystego drugiego współczynnika. dostajemy D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12 oraz x = 1 ± 2 3 .
Teraz możemy znaleźć ODV x dla oryginalnego równania. To są wszystkie liczby, dla których x 2 + 3 x 0. To to samo co x (x + 3) ≠ 0, skąd x ≠ 0 , x ≠ − 3 .
Sprawdźmy teraz, czy pierwiastki x = 1 ± 2 3 uzyskane w pierwszym etapie rozwiązania mieszczą się w zakresie dopuszczalnych wartości zmiennej x . Widzimy, co wchodzi. Oznacza to, że pierwotne ułamkowe równanie wymierne ma dwa pierwiastki x = 1 ± 2 3 .
Odpowiedź: x = 1 ± 2 3
Druga opisana metoda rozwiązania łatwiejsze niż pierwsze w przypadkach, w których łatwo jest znaleźć pole dopuszczalnych wartości zmiennej x oraz pierwiastki równania p(x)=0 irracjonalny. Na przykład 7 ± 4 26 9 . Korzenie mogą być racjonalne, ale z dużym licznikiem lub mianownikiem. Na przykład, 127 1101 oraz − 31 59 . Oszczędza to czas na sprawdzenie stanu. q(x) ≠ 0: o wiele łatwiej jest wykluczyć korzenie, które nie pasują, według ODZ.
Kiedy pierwiastki równania p(x)=0 są liczbami całkowitymi, bardziej celowe jest zastosowanie pierwszego z opisanych algorytmów do rozwiązywania równań postaci p (x) q (x) = 0 . Szybsze znajdowanie pierwiastków całego równania p(x)=0, a następnie sprawdź, czy warunek jest dla nich spełniony q(x) ≠ 0, a nie znaleźć ODZ, a następnie rozwiązać równanie p(x)=0 na tej ODZ. Wynika to z faktu, że w takich przypadkach zwykle łatwiej jest dokonać czeku niż znaleźć ODZ.
Przykład 8
Znajdź pierwiastki równania (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0 .
Decyzja
Zaczynamy od rozważenia całego równania (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 i odnalezienie swoich korzeni. Aby to zrobić, stosujemy metodę rozwiązywania równań przez faktoryzację. Okazuje się, że pierwotne równanie jest równoważne zestawowi czterech równań 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, z których trzy są liniowe i jeden jest kwadratowy. Znajdujemy pierwiastki: z pierwszego równania x = 1 2, od drugiego x=6, od trzeciego - x \u003d 7, x \u003d - 2, od czwartego - x = − 1.
Sprawdźmy uzyskane korzenie. W tym przypadku trudno jest nam określić ODZ, ponieważ w tym celu będziemy musieli rozwiązać równanie algebraiczne piątego stopnia. Łatwiej będzie sprawdzić warunek, zgodnie z którym mianownik ułamka znajdującego się po lewej stronie równania nie powinien zniknąć.
Z kolei podstawiamy pierwiastki w miejsce zmiennej x w wyrażeniu x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 i obliczyć jego wartość:
1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠0;
6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;
7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;
(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;
(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .
Przeprowadzona weryfikacja pozwala ustalić, że pierwiastkami pierwotnego ułamkowego równania wymiernego są 1 2 , 6 i − 2 .
Odpowiedź: 1 2 , 6 , - 2
Przykład 9
Znajdź pierwiastki ułamkowego równania wymiernego 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .
Decyzja
Zacznijmy od równania (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Znajdźmy jego korzenie. Łatwiej jest nam przedstawić to równanie jako kombinację równań kwadratowych i liniowych 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 oraz x − 2 = 0.
Używamy wzoru na pierwiastki równania kwadratowego, aby znaleźć pierwiastki. Z pierwszego równania i z drugiego otrzymujemy dwa pierwiastki x = 7 ± 69 10 x=2.
Podstawienie wartości pierwiastków do pierwotnego równania w celu sprawdzenia warunków będzie dla nas dość trudne. Łatwiej będzie określić LPV zmiennej x . W tym przypadku DPV zmiennej x to wszystkie liczby, z wyjątkiem tych, dla których warunek jest spełniony x 2 + 5 x − 14 = 0. Otrzymujemy: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .
Sprawdźmy teraz, czy znalezione pierwiastki należą do zakresu dopuszczalnych wartości zmiennej x.
Pierwiastki x = 7 ± 69 10 - należą, dlatego są pierwiastkami pierwotnego równania, a x=2- nie należy, dlatego jest obcym korzeniem.
Odpowiedź: x = 7 ± 69 10 .
Rozpatrzmy osobno przypadki, w których licznik ułamkowego równania wymiernego postaci p (x) q (x) = 0 zawiera liczbę. W takich przypadkach, jeśli licznik zawiera liczbę inną niż zero, równanie nie będzie miało pierwiastków. Jeśli ta liczba jest równa zero, to pierwiastkiem równania będzie dowolna liczba z ODZ.
Przykład 10
Rozwiąż ułamkowe równanie wymierne - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .
Decyzja
To równanie nie będzie miało pierwiastków, ponieważ licznik ułamka z lewej strony równania zawiera liczbę niezerową. Oznacza to, że dla dowolnych wartości x wartość ułamka podanego w warunku problemu nie będzie równa zeru.
Odpowiedź: bez korzeni.
Przykład 11
Rozwiąż równanie 0 x 4 + 5 x 3 = 0.
Decyzja
Ponieważ licznik ułamka wynosi zero, rozwiązaniem równania będzie dowolna wartość x ze zmiennej x ODZ.
Teraz zdefiniujmy ODZ. Będzie zawierał wszystkie wartości x, dla których x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Rozwiązania równań x 4 + 5 x 3 = 0 są 0 oraz − 5 , ponieważ to równanie jest równoważne równaniu x 3 (x + 5) = 0, a to z kolei jest równoważne układowi dwóch równań x 3 = 0 i x + 5 = 0 gdzie te korzenie są widoczne. Dochodzimy do wniosku, że pożądany zakres dopuszczalnych wartości to dowolny x , z wyjątkiem x=0 oraz x = -5.
Okazuje się, że ułamkowe równanie wymierne 0 x 4 + 5 x 3 = 0 ma nieskończoną liczbę rozwiązań, które są dowolnymi liczbami oprócz zera i - 5.
Odpowiedź: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞
Porozmawiajmy teraz o ułamkowych równaniach wymiernych o dowolnej formie i metodach ich rozwiązywania. Można je zapisać jako r(x) = s(x), gdzie r(x) oraz s(x) są wyrażeniami wymiernymi, a przynajmniej jedno z nich jest ułamkowe. Rozwiązanie takich równań sprowadza się do rozwiązania równań postaci p (x) q (x) = 0 .
Wiemy już, że możemy uzyskać równanie równoważne, przenosząc wyrażenie z prawej strony równania na lewą z przeciwnym znakiem. Oznacza to, że równanie r(x) = s(x) jest odpowiednikiem równania r(x) − s(x) = 0. Omówiliśmy już również, jak zamienić wyrażenie wymierne na ułamek wymierny. Dzięki temu możemy łatwo przekształcić równanie r(x) − s(x) = 0 w identyczny ułamek wymierny postaci p (x) q (x) .
Więc przechodzimy od pierwotnego ułamkowego równania wymiernego r(x) = s(x) do równania postaci p (x) q (x) = 0 , które już nauczyliśmy się rozwiązywać.
Należy zauważyć, że podczas dokonywania przejść z r(x) − s(x) = 0 do p (x) q (x) = 0 a następnie do p(x)=0 nie możemy brać pod uwagę rozszerzenia zakresu poprawnych wartości zmiennej x .
To całkiem realistyczne, że oryginalne równanie r(x) = s(x) i równanie p(x)=0 w wyniku przekształceń przestaną być równoważne. Następnie rozwiązanie równania p(x)=0 może dać nam korzenie, które będą dla nas obce r(x) = s(x). W związku z tym w każdym przypadku konieczne jest przeprowadzenie kontroli dowolną z opisanych powyżej metod.
Aby ułatwić ci studiowanie tematu, uogólniliśmy wszystkie informacje w algorytm rozwiązywania ułamkowego równania wymiernego postaci r(x) = s(x):
- przenosimy wyrażenie z prawej strony z przeciwnym znakiem i otrzymujemy zero po prawej;
- przekształcamy oryginalne wyrażenie w ułamek wymierny p (x) q (x) , wykonując kolejno operacje na ułamkach i wielomianach;
- Rozwiązać równanie p(x)=0;
- ujawniamy obce pierwiastki, sprawdzając ich przynależność do ODZ lub zastępując pierwotne równanie.
Wizualnie łańcuch działań będzie wyglądał tak:
r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → przerwanie r o n d e r o n s
Przykład 12
Rozwiąż ułamkowe równanie wymierne x x + 1 = 1 x + 1 .
Decyzja
Przejdźmy do równania x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Przekształćmy ułamkowe wyrażenie wymierne po lewej stronie równania do postaci p (x) q (x) .
Aby to zrobić, musimy zredukować ułamki wymierne do wspólnego mianownika i uprościć wyrażenie:
x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)
Aby znaleźć pierwiastki równania - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, musimy rozwiązać równanie − 2 x − 1 = 0. Mamy jeden korzeń x = - 1 2.
Pozostaje nam przeprowadzić kontrolę dowolną z metod. Rozważmy je oba.
Podstaw wynikową wartość do oryginalnego równania. Otrzymujemy - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Doszliśmy do prawidłowej równości liczbowej − 1 = − 1 . To znaczy, że x = − 1 2 jest pierwiastkiem pierwotnego równania.
Teraz sprawdzimy przez ODZ. Określmy obszar dopuszczalnych wartości dla zmiennej x . Będzie to cały zestaw liczb, z wyjątkiem − 1 i 0 (gdy x = − 1 i x = 0, mianowniki ułamków znikają). Mamy korzeń x = − 1 2 należy do ODZ. Oznacza to, że jest to pierwiastek pierwotnego równania.
Odpowiedź: − 1 2 .
Przykład 13
Znajdź pierwiastki równania x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .
Decyzja
Mamy do czynienia z ułamkowym równaniem racjonalnym. Dlatego będziemy działać zgodnie z algorytmem.
Przenieśmy wyrażenie z prawej strony na lewą z przeciwnym znakiem: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0
Przeprowadźmy niezbędne przekształcenia: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.
Dochodzimy do równania x=0. Pierwiastek tego równania to zero.
Sprawdźmy, czy ten pierwiastek jest obcy dla oryginalnego równania. Podstaw wartość w pierwotnym równaniu: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Jak widać, wynikowe równanie nie ma sensu. Oznacza to, że 0 jest pierwiastkiem obcym, a pierwotne ułamkowe równanie wymierne nie ma pierwiastków.
Odpowiedź: bez korzeni.
Jeśli w algorytmie nie uwzględniliśmy innych równoważnych przekształceń, nie oznacza to wcale, że nie można ich użyć. Algorytm jest uniwersalny, ale ma pomagać, a nie ograniczać.
Przykład 14
Rozwiąż równanie 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24
Decyzja
Najłatwiej jest rozwiązać podane ułamkowe równanie wymierne zgodnie z algorytmem. Ale jest inny sposób. Rozważmy to.
Odejmij od prawej i lewej części 7, otrzymujemy: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.
Z tego możemy wywnioskować, że wyrażenie w mianowniku lewej strony powinno być równe liczbie odwrotności liczby z prawej strony, czyli 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .
Odejmij od obu części 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Przez analogię 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, skąd 1 5 - x 2 \u003d 1 3, a dalej 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2
Sprawdźmy, czy znalezione pierwiastki są pierwiastkami pierwotnego równania.
Odpowiedź: x = ± 2
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
W tym artykule pokażę ci algorytmy rozwiązywania siedmiu rodzajów równań wymiernych, które są redukowane do kwadratów poprzez zmianę zmiennych. W większości przypadków przekształcenia, które prowadzą do wymiany, są bardzo nietrywialne i dość trudno je samemu odgadnąć.
Dla każdego typu równania wyjaśnię, jak dokonać w nim zmiany zmiennej, a następnie w odpowiednim samouczku wideo pokażę szczegółowe rozwiązanie.
Masz możliwość samodzielnego rozwiązywania równań, a następnie sprawdzenia rozwiązania za pomocą samouczka wideo.
Więc zacznijmy.
1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40
Zauważ, że iloczyn czterech nawiasów znajduje się po lewej stronie równania, a liczba po prawej stronie.
1. Pogrupujmy nawiasy przez dwa, aby suma wolnych terminów była taka sama.
2. Pomnóż je.
3. Wprowadźmy zmianę zmiennej.
W naszym równaniu grupujemy pierwszy nawias z trzecim, a drugi z czwartym, ponieważ (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:
W tym momencie zmiana zmiennej staje się oczywista:
Otrzymujemy równanie 
Odpowiedź: 
2 .
Równanie tego typu jest podobne do poprzedniego z jedną różnicą: po prawej stronie równania znajduje się iloczyn liczby przez. I jest to rozwiązane w zupełnie inny sposób:
1. Grupujemy nawiasy po dwa, aby iloczyn wolnych terminów był taki sam.
2. Mnożymy każdą parę nawiasów.
3. Z każdego czynnika wyjmujemy x z nawiasu.
4. Podziel obie strony równania przez .
5. Wprowadzamy zmianę zmiennej.
W tym równaniu grupujemy pierwszy nawias z czwartym, a drugi z trzecim, ponieważ:
Zauważ, że w każdym nawiasie współczynnik przy i wyraz wolny są takie same. Wyjmijmy mnożnik z każdego nawiasu:
Ponieważ x=0 nie jest pierwiastkiem pierwotnego równania, dzielimy obie strony równania przez . Otrzymujemy:
Otrzymujemy równanie: 
Odpowiedź: 
3
. 
Zauważ, że mianowniki obu ułamków zawierają trójmiany kwadratowe, którego wiodący współczynnik i wyraz wolny są takie same. Wyciągamy, jak w równaniu drugiego typu, x z nawiasu. Otrzymujemy:
Podziel licznik i mianownik każdego ułamka przez x:
Teraz możemy wprowadzić zmianę zmiennej:
Otrzymujemy równanie dla zmiennej t:
4 .
Zauważ, że współczynniki równania są symetryczne względem współczynnika centralnego. Takie równanie nazywa się zwrotny .
Aby to rozwiązać
1. Podziel obie strony równania przez (Możemy to zrobić, ponieważ x=0 nie jest pierwiastkiem równania). Otrzymujemy:
2. Pogrupuj terminy w ten sposób:
3. W każdej grupie wyjmujemy wspólny czynnik:
4. Wprowadźmy zamiennik:
5. Wyraźmy wyrażenie w postaci t:
Stąd 
Otrzymujemy równanie na t:
Odpowiedź:
5. Równania jednorodne.
Równania, które mają strukturę jednorodną, można napotkać przy rozwiązywaniu wykładniczym, logarytmicznym i równania trygonometryczne, więc trzeba to rozpoznać.
Równania jednorodne mają następującą strukturę:
W tej równości A, B i C są liczbami, a te same wyrażenia są oznaczone kwadratem i kółkiem. Oznacza to, że po lewej stronie równania jednorodnego znajduje się suma jednomianów o tym samym stopniu (w tym przypadku stopień jednomianów wynosi 2) i nie ma wyrazu wolnego.
Aby rozwiązać jednorodne równanie, dzielimy obie strony przez
Uwaga! Dzieląc prawą i lewą stronę równania przez wyrażenie zawierające niewiadomą, możesz stracić pierwiastki. Dlatego konieczne jest sprawdzenie, czy pierwiastki wyrażenia, przez które dzielimy obie części równania, są pierwiastkami pierwotnego równania.
Chodźmy w pierwszą drogę. Otrzymujemy równanie:
Teraz wprowadzamy podstawienie zmiennej:
Uprość wyrażenie i uzyskaj dwukwadratowe równanie dla t:
Odpowiedź: lub
7
. 
To równanie ma następującą strukturę:
Aby go rozwiązać, musisz zaznaczyć pełny kwadrat po lewej stronie równania.
Aby wybrać pełny kwadrat, musisz dodać lub odjąć podwójny iloczyn. Następnie otrzymujemy kwadrat sumy lub różnicy. Ma to kluczowe znaczenie dla udanego podstawienia zmiennej.
Zacznijmy od znalezienia podwójnego iloczynu. Będzie to klucz do zastąpienia zmiennej. W naszym równaniu iloczyn podwójny to
Teraz zastanówmy się, co jest dla nas wygodniejsze - kwadrat sumy lub różnicy. Rozważmy na początek sumę wyrażeń:
W porządku! to wyrażenie jest dokładnie równe dwukrotności iloczynu. Następnie, aby otrzymać kwadrat sumy w nawiasie, musisz dodać i odjąć podwójny iloczyn:
Polecamy również
Zasilacz impulsowy: naprawa i udoskonalenie
Zdalne sterowanie światłem
Lekcje pływania dla dzieci w wieku przedszkolnym
Uwagi dla mistrza - domowe alarmy domowe
Śmigło zegarowe w Atmega8
Przykłady zastosowania urządzenia i przekaźnika, jak prawidłowo dobrać i podłączyć przekaźnik Mikrokontroler i proste obwody przełączające przekaźnika
Ładowanie...