4 liczby niewymierne z przykładami. Czym są liczby wymierne i niewymierne

Zbiór liczb niewymiernych jest zwykle oznaczany przez wielką literę łacińska litera ja (\displaystyle \mathbb (I) ) pogrubioną czcionką bez wypełnienia. W ten sposób: I = R ∖ Q (\ Displaystyle \ mathbb (I) = \ mathbb (R) \ ukośnik odwrotny \ mathbb (Q) ), czyli zbiór liczb niewymiernych jest różnicą między zbiorami liczb rzeczywistych i wymiernych.

Istnienie liczb niewymiernych, a dokładniej odcinków niewspółmiernych do odcinka o długości jednostki, było już znane starożytnym matematykom: znali np. niewspółmierność przekątnej i boku kwadratu, co jest równoznaczne z irracjonalnością liczby.

Encyklopedyczny YouTube

1 / 5
Nieracjonalne są:

Przykłady dowodu na irracjonalność

Korzeń 2

Powiedzmy odwrotnie: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) racjonalne, czyli reprezentowane jako ułamek m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), gdzie m (\styl wyświetlania m) jest liczbą całkowitą i n (\styl wyświetlania n)- Liczba naturalna .
Podnieśmy do kwadratu domniemaną równość:
2 = mn ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\strzałka w prawo 2=(\frac (m^(2 ))(n^(2)))\Strzałka w prawo m^(2)=2n^(2)).
Historia

Antyk

Koncepcja liczb niewymiernych została implicite przyjęta przez indyjskich matematyków w VII wieku pne, kiedy Manawa (ok. 750 pne - ok. 690 pne) odkrył, że pierwiastki kwadratowe niektóre liczby naturalne, takie jak 2 i 61, nie mogą być wyrażone wprost [ ] .
Pierwszy dowód na istnienie liczb niewymiernych jest zwykle przypisywany Pitagorejczykowi Hippasusowi z Metapontusa (ok. 500 pne). W czasach pitagorejczyków wierzono, że istnieje pojedyncza jednostka długości, wystarczająco mała i niepodzielna, która jest całkowitą liczbą razy uwzględnioną w dowolnym segmencie [ ] .
Nie ma dokładnych danych na temat nieracjonalności jakiej liczby udowodnił Hippasus. Według legendy znalazł go, badając długości boków pentagramu. Dlatego rozsądnie jest przyjąć, że był to złoty podział [ ] .
Matematycy greccy nazwali ten stosunek wielkości niewspółmiernych alogos(nie do opisania), ale według legend Hippasusowi nie oddawano należytego szacunku. Istnieje legenda, że Hippasus dokonał tego odkrycia podczas podróży morskiej i został wyrzucony za burtę przez innych pitagorejczyków „za stworzenie elementu wszechświata, co zaprzecza doktrynie, że wszystkie byty we wszechświecie można zredukować do liczb całkowitych i ich proporcji. " Odkrycie Hippasa przed pitagorejską matematyką poważny problem, obalając założenie leżące u podstaw całej teorii, że liczby i obiekty geometryczne są jednym i nierozłącznym.

Z segmentem długości jednostki starożytni matematycy już wiedzieli: znali na przykład niewspółmierność przekątnej i boku kwadratu, co jest równoznaczne z irracjonalnością liczby.

Nieracjonalne są:

Przykłady dowodu na irracjonalność

Korzeń 2

Załóżmy, że jest odwrotnie: jest racjonalny, to znaczy jest reprezentowany jako ułamek nieredukowalny, gdzie i są liczbami całkowitymi. Podnieśmy do kwadratu domniemaną równość:
.
Z tego wynika, że parzyste zatem parzyste i . Niech gdzie całość. Następnie

Dlatego nawet, więc nawet i . Uzyskaliśmy to i są parzyste, co przeczy nieredukowalności ułamka . Więc pierwotne założenie było błędne i - ir Liczba wymierna.

Logarytm binarny liczby 3

Załóżmy, że jest odwrotnie: jest racjonalny, to znaczy jest reprezentowany jako ułamek, gdzie i są liczbami całkowitymi. Ponieważ , i mogą być traktowane jako pozytywne. Następnie

Ale to jasne, to dziwne. Dostajemy sprzeczność.

mi

Historia

Koncepcja liczb niewymiernych została implicite przyjęta przez matematyków indyjskich w VII wieku pne, kiedy Manawa (ok. 750 pne - ok. 690 pne) odkrył, że pierwiastki kwadratowe niektórych liczb naturalnych, takich jak 2 i 61, nie mogą być wyraźnie wyrażone.

Pierwszy dowód na istnienie liczb niewymiernych jest zwykle przypisywany Hippasusowi z Metaponta (ok. 500 pne), pitagorejczykowi, który znalazł ten dowód, badając długości boków pentagramu. W czasach pitagorejczyków wierzono, że istnieje pojedyncza jednostka długości, wystarczająco mała i niepodzielna, która jest liczbą całkowitą uwzględnioną w każdym segmencie. Hippasus twierdził jednak, że nie ma jednej jednostki długości, ponieważ założenie jej istnienia prowadzi do sprzeczności. Wykazał, że jeśli przeciwprostokątna równoramiennej trójkąt prostokątny zawiera całkowitą liczbę segmentów jednostkowych, to liczba ta musi być jednocześnie parzysta i nieparzysta. Dowód wyglądał tak:
- Stosunek długości przeciwprostokątnej do długości nogi trójkąta równoramiennego można wyrazić jako a:b, gdzie a I b wybrane jako najmniejsze możliwe.
- Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa: a² = 2 b².
- Dlatego a² nawet, a musi być parzysty (ponieważ kwadrat liczby nieparzystej byłby nieparzysty).
- O ile a:b nieskracalny b musi być dziwne.
- Dlatego a nawet, oznacza a = 2tak.
- Następnie a² = 4 tak² = 2 b².
- b² = 2 tak² więc b jest więc parzyste b nawet.
- Udowodniono jednak, że b dziwne. Sprzeczność.
Matematycy greccy nazwali ten stosunek wielkości niewspółmiernych alogos(nie do opisania), ale według legend Hippasusowi nie oddawano należytego szacunku. Istnieje legenda, że Hippasus dokonał tego odkrycia podczas podróży morskiej i został wyrzucony za burtę przez innych pitagorejczyków „za stworzenie elementu wszechświata, co zaprzecza doktrynie, że wszystkie byty we wszechświecie można zredukować do liczb całkowitych i ich proporcji. " Odkrycie Hippasusa stanowiło poważny problem dla matematyki pitagorejskiej, burząc założenie leżące u podstaw całej teorii, że liczby i obiekty geometryczne są jednym i nierozłącznym.

Zobacz też

Uwagi

Systemy numeryczne
Rachunkowość
zestawy Liczby naturalne () Liczby całkowite ()

Liczba wymierna to liczba reprezentowana przez zwykły ułamek m/n, gdzie licznik m jest liczbą całkowitą, a mianownik n jest liczbą naturalną. Każda liczba wymierna może być reprezentowana jako okresowy nieskończony ułamek dziesiętny. Zbiór liczb wymiernych jest oznaczony przez Q.

Jeśli liczba rzeczywista nie jest wymierna, to jest Liczba niewymierna . Ułamki dziesiętne wyrażające liczby niewymierne są nieskończone i nie są okresowe. Zbiór liczb niewymiernych jest zwykle oznaczany wielką łacińską literą I.

Prawdziwa liczba nazywa się algebraiczny, jeśli jest pierwiastkiem jakiegoś wielomianu (niezerowego stopnia) o współczynnikach wymiernych. Nazywa się każdą liczbę niealgebryczną niedościgniony.

Niektóre właściwości:
Przy rozwiązywaniu problemów wygodnie jest, razem z liczbą niewymierną a + b√ c (gdzie a, b są liczbami wymiernymi, c jest liczbą całkowitą, która nie jest kwadratem liczby naturalnej), rozważyć liczbę „sprzężoną” z it a - b√ c: jego suma i iloczyn z oryginałem - liczbami wymiernymi. Zatem a + b√ c i a – b√ c są pierwiastkami równania kwadratowego o współczynnikach całkowitych.

Problemy z rozwiązaniami

1. Udowodnij, że

a) liczba 7;

b) liczba lg 80;

c) liczba √ 2 + 3 √ 3;

jest irracjonalne.

a) Załóżmy, że liczba √ 7 jest wymierna. Wtedy istnieją względnie pierwsze p i q takie, że √ 7 = p/q, skąd otrzymujemy p 2 = 7q 2 . Ponieważ p i q są względnie pierwsze, to p 2 i stąd p jest podzielne przez 7. Wtedy р = 7k, gdzie k jest pewną liczbą naturalną. Stąd q 2 = 7k 2 = pk, co przeczy faktowi, że p i q są względnie pierwsze.

Tak więc założenie jest fałszywe, więc liczba √ 7 jest irracjonalna.

b) Załóżmy, że liczba lg 80 jest wymierna. Wtedy są naturalne p i q takie, że lg 80 = p/q lub 10 p = 80 q , skąd otrzymujemy 2 p–4q = 5 q–p . Biorąc pod uwagę, że liczby 2 i 5 są względnie pierwsze, otrzymujemy, że ostatnia równość jest możliwa tylko dla p–4q = 0 i q–p = 0. Stąd p = q = 0, co jest niemożliwe, ponieważ p i q są wybrany jako naturalny.

Tak więc założenie jest fałszywe, więc liczba lg 80 jest nieracjonalna.

c) Oznaczmy tę liczbę przez x.

Następnie (x - √ 2) 3 \u003d 3 lub x 3 + 6x - 3 \u003d √ 2 (3x 2 + 2). Po podniesieniu tego równania do kwadratu otrzymujemy, że x musi spełniać równanie

x 6 - 6x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 36x + 1 = 0.

Jego wymiernymi pierwiastkami mogą być tylko liczby 1 i -1. Sprawdzenie pokazuje, że 1 i -1 nie są pierwiastkami.

Tak więc podana liczba √ 2 + 3 √ 3 jest irracjonalna.

2. Wiadomo, że liczby a, b, √ a – b ,- racjonalny. Udowodnij to √ a i √ b są również liczbami wymiernymi.

Rozważ produkt

(√ a - √ b) (√ a + √ b) = a - b.

Numer √ a + √ b , który jest równy stosunkowi liczb a – b i √ a – b , jest wymierna, ponieważ iloraz dwóch liczb wymiernych jest liczbą wymierną. Suma dwóch liczb wymiernych

½ (√ a + √ b) + ½ (√ a - √ b) = √ a

jest liczbą wymierną, ich różnicą,

½ (√ a + √ b) - ½ (√ a - √ b) = √ b,

jest również liczbą wymierną, która miała zostać udowodniona.

3. Udowodnij, że istnieją dodatnie liczby niewymierne aib, dla których liczba ab jest naturalna.

4. Czy istnieją liczby wymierne a, b, c, d spełniające równość?

(a+b √ 2 ) 2n + (c + d√ 2 ) 2n = 5 + 4√ 2 ,

gdzie n jest liczbą naturalną?

Jeżeli równość podana w warunku jest spełniona, a liczby a, b, c, d są wymierne, to równość również jest spełniona:

(a-b √ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n = 5 – 4√ 2.

Ale 5 – 4√ 2 (a – b√ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n > 0. Wynikająca z tego sprzeczność dowodzi, że pierwotna równość jest niemożliwa.

Odpowiedź: nie istnieją.

5. Jeśli odcinki o długościach a, b, c tworzą trójkąt, to dla wszystkich n = 2, 3, 4, . . . odcinki o długościach n √ a , n √ b , n √ c również tworzą trójkąt. Udowodnij to.

Jeżeli odcinki o długościach a, b, c tworzą trójkąt, to nierówność trójkąta daje

Dlatego mamy

( n √ a + n √ b ) n > a + b > c = ( n √ c ) n ,

N a + n b > n √ c .

Podobnie rozpatruje się pozostałe przypadki sprawdzenia nierówności trójkąta, z których wynika wniosek.

6. Udowodnij, że nieskończony ułamek dziesiętny 0,1234567891011121314... liczby całkowite w kolejności) jest liczbą niewymierną.

Jak wiecie, liczby wymierne są wyrażane jako ułamki dziesiętne, których kropka zaczyna się od pewnego znaku. Dlatego wystarczy udowodnić, że ten ułamek nie jest okresowy z żadnym znakiem. Załóżmy, że tak nie jest, a pewna sekwencja T, składająca się z n cyfr, jest okresem ułamka, zaczynając od m-tego miejsca po przecinku. Oczywiste jest, że po m-tej cyfrze są cyfry niezerowe, więc w ciągu cyfr T występuje cyfra niezerowa. Oznacza to, że począwszy od m-tej cyfry po przecinku, wśród dowolnych n cyfr w rzędzie znajduje się cyfra niezerowa. Jednak w zapisie dziesiętnym tego ułamka musi istnieć zapis dziesiętny dla liczby 100...0 = 10 k , gdzie k > m i k > n. Jasne jest, że ten wpis pojawi się na prawo od m-tej cyfry i będzie zawierał więcej niż n zer z rzędu. W ten sposób otrzymujemy sprzeczność, która uzupełnia dowód.

7. Mając nieskończony ułamek dziesiętny 0,a 1 a 2 ... . Udowodnij, że cyfry w jego zapisie dziesiętnym można zmienić tak, aby wynikowy ułamek wyrażał liczbę wymierną.

Przypomnijmy, że ułamek wyraża liczbę wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy jest okresowy, zaczynając od jakiegoś znaku. Liczby od 0 do 9 dzielimy na dwie klasy: w pierwszej klasie uwzględniamy te liczby, które występują w pierwotnym ułamku skończoną liczbę razy, w drugiej klasie - te, które występują w pierwotnym ułamku nieskończoną liczbę razy. Zacznijmy wypisywać ułamek okresowy, który można uzyskać z pierwotnej permutacji cyfr. Najpierw po zera i przecinku piszemy w losowej kolejności wszystkie liczby z pierwszej klasy - każdą tyle razy, ile występuje we wpisie oryginalnego ułamka. Pierwsze zapisane cyfry klasy poprzedzają kropkę w części ułamkowej części dziesiętnej. Następnie zapisujemy raz liczby z drugiej klasy w pewnej kolejności. Zadeklarujemy tę kombinację jako kropkę i powtórzymy ją nieskończoną liczbę razy. W ten sposób wypisaliśmy wymagany ułamek okresowy wyrażający pewną liczbę wymierną.

8. Wykazać, że w każdym nieskończonym ułamku dziesiętnym istnieje ciąg cyfr dziesiętnych o dowolnej długości, który występuje nieskończenie wiele razy w rozwinięciu ułamka.

Niech m będzie arbitralnie podaną liczbą naturalną. Podzielmy ten nieskończony ułamek dziesiętny na segmenty, każdy z m cyfr. Takich segmentów będzie nieskończenie wiele. Z drugiej strony, różne systemy, składający się z m cyfr, jest tylko 10 m , czyli liczba skończona. W konsekwencji przynajmniej jeden z tych systemów musi być tutaj powtarzany nieskończenie wiele razy.

Komentarz. Dla liczb niewymiernych √ 2 , π lub mi nie wiemy nawet, która cyfra jest powtarzana nieskończenie wiele razy w nieskończonych miejscach dziesiętnych, które je reprezentują, chociaż można łatwo wykazać, że każda z tych liczb zawiera co najmniej dwie różne takie cyfry.

9. Udowodnij w elementarny sposób, że dodatni pierwiastek równania

jest irracjonalne.

Dla x > 0 lewa strona równania rośnie wraz z x i łatwo zauważyć, że przy x = 1,5 jest ono mniejsze niż 10, a przy x = 1,6 jest większe niż 10. Dlatego jedyny dodatni pierwiastek z równanie leży w przedziale (1,5 ; 1,6).

Piszemy pierwiastek jako ułamek nieredukowalny p/q, gdzie p i q to pewne względnie pierwsze liczby naturalne. Wtedy dla x = p/q równanie przyjmie postać:

p 5 + pq 4 \u003d 10q 5,

stąd wynika, że p jest dzielnikiem 10, zatem p jest równe jednej z liczb 1, 2, 5, 10. Jednak wypisując ułamki z licznikami 1, 2, 5, 10, od razu zauważamy, że żadna z mieszczą się w przedziale (1,5; 1,6).

Zatem dodatni pierwiastek pierwotnego równania nie może być przedstawiony jako wspólny ułamek, co oznacza, że jest to liczba niewymierna.

10. a) Czy na płaszczyźnie są trzy punkty A, B i C takie, że dla dowolnego punktu X długość przynajmniej jednego z odcinków XA, XB i XC jest niewymierna?

b) Współrzędne wierzchołków trójkąta są wymierne. Udowodnij, że współrzędne środka jego okręgu opisanego również są wymierne.

c) Czy istnieje sfera, na której znajduje się dokładnie jeden racjonalny punkt? (Punkt wymierny to punkt, dla którego wszystkie trzy współrzędne kartezjańskie są liczbami wymiernymi.)

a) Tak, są. Niech C będzie środkiem odcinka AB. Wtedy XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 – AB 2)/2. Jeżeli liczba AB 2 jest niewymierna, to liczby XA, XB i XC nie mogą być jednocześnie wymierne.

b) Niech (a 1 ; b 1), (a 2 ; b 2) i (a 3 ; b 3) będą współrzędnymi wierzchołków trójkąta. Współrzędne środka jego okręgu opisanego są z układu równań:

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 2) 2 + (y - b 2) 2,

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 3) 2 + (y - b 3) 2.

Łatwo sprawdzić, czy równania te są liniowe, co oznacza, że rozwiązanie rozważanego układu równań jest racjonalne.

c) Taka sfera istnieje. Na przykład kula z równaniem

(x - √ 2 ) 2 + y 2 + z 2 = 2.

Punkt O o współrzędnych (0; 0; 0) jest punktem wymiernym leżącym na tej sferze. Pozostałe punkty kuli są irracjonalne. Udowodnijmy to.

Załóżmy odwrotnie: niech (x; y; z) będzie wymiernym punktem kuli, różnym od punktu O. Jasne jest, że x jest różne od 0, ponieważ dla x = 0 istnieje jednoznaczne rozwiązanie (0; 0 ; 0), którym nie możemy się teraz zainteresować. Rozwińmy nawiasy i wyraźmy √ 2 :

x 2 - 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2

√ 2 = (x 2 + y 2 + z 2)/(2x),

co nie może być dla wymiernych x, y, z i niewymiernych √ 2 . Tak więc O(0; 0; 0) jest jedynym racjonalnym punktem na rozważanej sferze.

Problemy bez rozwiązań

1. Udowodnij, że liczba

\[ \sqrt(10+\sqrt(24)+\sqrt(40)+\sqrt(60)) \]

jest irracjonalne.

2. Dla jakich liczb całkowitych m i n obowiązuje równość (5 + 3√ 2 ) m = (3 + 5√ 2 ) n?

3. Czy istnieje taka liczba a, że liczby a - √ 3 i 1/a + √ 3 są liczbami całkowitymi?

4. Czy liczby 1, √ 2, 4 mogą być członkami (niekoniecznie sąsiadującymi) ciągu arytmetycznego?

5. Udowodnij, że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n równanie (x + y √ 3 ) 2n = 1 + √ 3 nie ma rozwiązań w liczbach wymiernych (x; y).

Liczba wymierna to liczba, którą można przedstawić jako ułamek, gdzie . Q to zbiór wszystkich liczb wymiernych.

Liczby wymierne dzielą się na: dodatnie, ujemne i zerowe.

Każda liczba wymierna może być powiązana z pojedynczym punktem na linii współrzędnych. Relacji „w lewo” dla punktów odpowiada relacja „mniej niż” dla współrzędnych tych punktów. Można zauważyć, że każda liczba ujemna jest mniejsza od zera i każda liczba dodatnia; z dwóch liczb ujemnych, ta, której moduł jest większy, jest mniejsza. A więc -5,3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.

Każda liczba wymierna może być reprezentowana jako dziesiętny ułamek okresowy. Na przykład, .

Algorytmy operacji na liczbach wymiernych wynikają z reguł znaków dla odpowiednich operacji na ułamkach zerowych i dodatnich. Q wykonuje dzielenie inne niż dzielenie przez zero.

Każdy równanie liniowe, tj. równanie postaci ax+b=0, gdzie , jest rozwiązalne na zbiorze Q, ale nie żadne równanie kwadratowe uprzejmy , można rozwiązać w liczbach wymiernych. Nie każdy punkt na linii współrzędnych ma punkt wymierny. Nawet pod koniec VI wieku p.n.e. n. W szkole Pitagorasa udowodniono, że przekątna kwadratu nie jest współmierna do jego wysokości, co jest równoznaczne ze stwierdzeniem: „Równanie nie ma wymiernych pierwiastków”. Wszystko to doprowadziło do konieczności rozszerzenia zbioru Q, wprowadzono pojęcie liczby niewymiernej. Oznacz zestaw liczb niewymiernych literą J .

Na linii współrzędnych wszystkie punkty, które nie mają współrzędnych wymiernych, mają współrzędne niewymierne. , gdzie r– zbiory liczby rzeczywiste. w uniwersalny sposób przypisania liczb rzeczywistych są ułamkami dziesiętnymi. Okresowe dziesiętne definiują liczby wymierne, a nieokresowe dziesiętne definiują liczby niewymierne. Tak więc 2.03 (52) jest liczbą wymierną, 2.03003000300003 ... (okres każdej kolejnej cyfry „3” jest zapisywany o jedno zero więcej) jest liczbą niewymierną.

Zbiory Q i R mają właściwości dodatniości: pomiędzy dowolnymi dwiema liczbami wymiernymi znajduje się liczba wymierna, na przykład ecoi a
Dla każdej niewymiernej liczby α można podać wymierne przybliżenie zarówno z niedoborem, jak iz nadmiarem z dowolną dokładnością: a< α
Operacja wyciągania pierwiastka z niektórych liczb wymiernych prowadzi do liczb niewymiernych. Wyodrębnienie pierwiastka stopnia naturalnego jest operacją algebraiczną, tj. jego wprowadzenie wiąże się z rozwiązaniem równania algebraicznego postaci . Jeśli n jest nieparzyste, tj. n=2k+1, gdzie , to równanie ma jeden pierwiastek. Jeśli n jest parzyste, n=2k, gdzie , to dla a=0 równanie ma jeden pierwiastek x=0, dla a<0 корней нет, при a>0 ma dwa przeciwstawne pierwiastki. Wydobywanie korzenia jest odwrotną operacją wznoszenia się do naturalnej siły.

Pierwiastek arytmetyczny (dla zwięzłości pierwiastek) n-tego stopnia liczby nieujemnej a jest liczbą nieujemną b, która jest pierwiastkiem równania. Pierwiastek n-tego stopnia od liczby a jest oznaczony symbolem. Dla n=2, stopień pierwiastka 2 nie jest wskazany: .

Na przykład , ponieważ 2 2 =4 i 2>0; , dlatego 3 3 =27 i 3>0; nie istnieje, ponieważ -4<0.

Dla n=2k i a>0 pierwiastki równania (1) są zapisane jako i . Na przykład pierwiastki równania x 2 \u003d 4 to 2 i -2.

Dla n nieparzystego równanie (1) ma jeden pierwiastek dla dowolnego . Jeśli a≥0, to - pierwiastek tego równania. Jeśli<0, то –а>0 i - pierwiastek równania. Tak więc równanie x 3 \u003d 27 ma pierwiastek.

Wszystkie liczby wymierne można przedstawić jako ułamek wspólny. Dotyczy to liczb całkowitych (na przykład 12, -6, 0) i końcowych ułamków dziesiętnych (na przykład 0,5; -3,8921) oraz nieskończonych okresowych ułamków dziesiętnych (na przykład 0,11(23); -3 ,(87 )).

ale nieskończone niepowtarzalne ułamki dziesiętne nie mogą być reprezentowane jako zwykłe ułamki. Oto czym są liczby niewymierne(tj. irracjonalny). Przykładem takiej liczby jest π, która jest w przybliżeniu równa 3,14. Nie można jednak określić, co dokładnie jest równe, ponieważ po liczbie 4 istnieje nieskończony szereg innych liczb, w których nie można rozróżnić powtarzających się okresów. Jednocześnie, chociaż liczby π nie można dokładnie wyrazić, ma ona określone znaczenie geometryczne. Liczba π to stosunek długości dowolnego koła do długości jego średnicy. Tak więc liczby niewymierne istnieją w naturze, podobnie jak liczby wymierne.

Innym przykładem liczb niewymiernych są pierwiastki kwadratowe liczb dodatnich. Wyciąganie pierwiastków z niektórych liczb daje wartości racjonalne, z innych - irracjonalne. Na przykład √4 = 2, czyli pierwiastek z 4 jest liczbą wymierną. Ale √2, √5, √7 i wiele innych daje liczby niewymierne, to znaczy, że można je wyodrębnić tylko w przybliżeniu, zaokrąglając do pewnego miejsca po przecinku. W tym przypadku frakcja jest uzyskiwana nieokresowo. Oznacza to, że nie można dokładnie i zdecydowanie powiedzieć, jaki jest pierwiastek tych liczb.

Zatem √5 jest liczbą z zakresu od 2 do 3, ponieważ √4 = 2, a √9 = 3. Możemy również wywnioskować, że √5 jest bliższe 2 niż 3, ponieważ √4 jest bliższe √5 niż √9 do 5. Rzeczywiście, 5 2,23 lub √5 ≈ 2,24.

Liczby niewymierne są również uzyskiwane w innych obliczeniach (i nie tylko przy wyciąganiu pierwiastków), są one ujemne.

W odniesieniu do liczb niewymiernych możemy powiedzieć, że bez względu na to, jaką jednostkę segmentu przyjmiemy, aby zmierzyć długość wyrażoną przez taką liczbę, zdecydowanie nie możemy jej zmierzyć.

W operacjach arytmetycznych mogą brać udział liczby niewymierne wraz z wymiernymi. Jednocześnie istnieje szereg prawidłowości. Na przykład, jeśli w operacji arytmetycznej biorą udział tylko liczby wymierne, wynikiem jest zawsze liczba wymierna. Jeśli w operacji biorą udział tylko liczby niewymierne, to nie można jednoznacznie stwierdzić, czy okaże się liczba wymierna, czy niewymierna.

Na przykład, jeśli pomnożysz dwie liczby niewymierne √2 * √2, otrzymasz 2 - to jest liczba wymierna. Z drugiej strony, √2 * √3 = √6 jest liczbą niewymierną.

Jeśli operacja arytmetyczna obejmuje liczbę wymierną i niewymierną, otrzymamy wynik niewymierny. Na przykład 1 + 3,14... = 4,14... ; √17 - 4.

Dlaczego √17 - 4 jest liczbą niewymierną? Wyobraź sobie, że otrzymujesz liczbę wymierną x. Wtedy √17 = x + 4. Ale x + 4 jest liczbą wymierną, ponieważ założyliśmy, że x jest wymierne. Liczba 4 jest również wymierna, więc x + 4 jest wymierna. Jednak liczba wymierna nie może być równa niewymiernemu √17. Dlatego założenie, że √17 - 4 daje wynik wymierny, jest błędne. Wynik operacji arytmetycznej będzie irracjonalny.

Istnieje jednak wyjątek od tej reguły. Jeśli pomnożymy liczbę niewymierną przez 0, otrzymamy liczbę wymierną 0.
Polecamy również