Teoria funkcji jednej zmiennej. Analiza matematyczna

Niech zmienna x n przyjmuje nieskończoną sekwencję wartości

x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)

a prawo zmiany zmiennej jest znane x n, tj. dla każdej liczby naturalnej n możesz określić odpowiednią wartość x n. Zakłada się zatem, że zmienna x n jest funkcją n:

x n = f(n)

Zdefiniujmy jedno z najważniejszych pojęć analizy matematycznej - granicę ciągu, czyli granicę zmiennej x n sekwencja biegania x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .

Definicja. stała liczba a nazywa limit sekwencji x 1 , x 2 , ..., x n , ... . lub granica zmiennej x n, jeśli dla dowolnie małej liczby dodatniej e istnieje taka liczba naturalna N(tj. numer N) że wszystkie wartości zmiennej x n, zaczynając od x N, różnią a mniej w wartości bezwzględnej niż e. Ta definicja jest krótko napisana w następujący sposób:

| x n -a |< (2)

dla wszystkich n  N, czyli to samo,

Definicja granicy Cauchy'ego. Liczba A nazywana jest granicą funkcji f (x) w punkcie a, jeśli funkcja ta jest zdefiniowana w pewnym sąsiedztwie punktu a, z wyjątkiem być może samego punktu a, a dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0 tak, że dla wszystkich x spełniających warunek |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Definicja granicy Heine. Liczba A nazywana jest granicą funkcji f (x) w punkcie a, jeśli funkcja ta jest zdefiniowana w pewnym sąsiedztwie punktu a, z wyjątkiem być może samego punktu a i dowolnego ciągu takiego, że zbieżne do liczby a, odpowiednia sekwencja wartości funkcji zbiega się do liczby A.

Jeżeli funkcja f(x) ma granicę w punkcie a, to ta granica jest unikalna.

Liczba A 1 nazywana jest lewą granicą funkcji f (x) w punkcie a jeśli dla każdego ε > 0 istnieje δ >

Liczbę A 2 nazywamy prawą granicą funkcji f (x) w punkcie a, jeśli dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0 takie, że nierówność

Granica po lewej stronie oznaczana jest jako granica po prawej stronie - Te granice charakteryzują zachowanie funkcji po lewej i prawej stronie punktu a. Często określa się je jako ograniczenia jednokierunkowe. W zapisie granic jednostronnych jako x → 0 zwykle pomija się pierwsze zero: i . Tak więc dla funkcji

Jeżeli dla każdego ε > 0 istnieje δ-sąsiedztwo punktu a takie, że dla wszystkich x spełniających warunek |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, wtedy mówimy, że funkcja f (x) ma nieskończoną granicę w punkcie a:

Zatem funkcja ma nieskończoną granicę w punkcie x = 0. Często rozróżnia się granice równe +∞ i –∞. Więc,

Jeżeli dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0 takie, że dla dowolnego x > δ nierówność |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Twierdzenie o istnieniu dla najmniejszej górnej granicy

Definicja: AR mR, m - górna (dolna) powierzchnia A, jeśli аА аm (аm).

Definicja: Zbiór A jest ograniczony od góry (od dołu), jeśli istnieje m takie, że аА, to аm (аm) jest spełnione.

Definicja: SupA=m, jeśli 1) m - górna granica A

2) „m”: m” m' nie jest górną powierzchnią A

InfA = n jeśli 1) n jest dolną granicą A

2) n’: n’>n => n’ nie jest dolną granicą A

Definicja: SupA=m jest liczbą taką, że: 1)  aA am

2) >0 a  A, takie, że a  a-

InfA = n nazywamy liczbą taką, że:

2) >0 a  A, takie, że a E a+

Twierdzenie: Każdy niepusty zbiór АR ograniczony od góry ma najlepszą górną granicę, i to unikalną.

Dowód:

Konstruujemy liczbę m na prostej rzeczywistej i udowadniamy, że jest to najmniejsza górna granica A.

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - górna powierzchnia A

Odcinek [[m],[m]+1] - podzielony na 10 części

m 1 =max:aA)]

m 2 =max,m 1:aA)]

m do =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - górna powierzchnia A

Udowodnijmy, że m=[m],m 1 ...m K jest najmniejszą górną granicą i jest jednoznaczna:

do: .

Ryż. 11. Wykres funkcji y arcsin x.

Wprowadźmy teraz pojęcie funkcji złożonej ( kompozycje ekspozycyjne). Niech dane będą trzy zbiory D, E, M i niech f: D→E, g: E→M. Oczywiście można skonstruować nowe odwzorowanie h: D→M, zwane złożeniem odwzorowań f i g lub funkcją zespoloną (rys. 12).

Złożona funkcja jest oznaczona następująco: z =h(x)=g(f(x)) lub h = f o g.

Ryż. 12. Ilustracja do pojęcia funkcji zespolonej.

Funkcja f(x) nazywa się funkcja wewnętrzna, a funkcja g ( y ) - funkcja zewnętrzna.

1. Funkcja wewnętrzna f (x) = x², zewnętrzna g (y) sin y. Funkcja zespolona z= g(f(x))=sin(x²)

2. Teraz na odwrót. Funkcja wewnętrzna f (x)= sinx, zewnętrzna g (y) y 2 . u=f(g(x))=sin²(x)