Kupa okropnych formuł, podręczniki z wyższej matematyki, które otwierasz i od razu zamykasz, bolesne poszukiwanie rozwiązania pozornie bardzo prostego problemu.... Ta sytuacja nie jest rzadkością, zwłaszcza gdy podręcznik do matematyki był ostatnio otwierany w odległej 11 klasie. Tymczasem na uniwersytetach programy wielu specjalności przewidują studiowanie ulubionej przez wszystkich matematyki wyższej. I w tej sytuacji często czujesz się jak kompletny czajniczek przed stosem okropnego matematycznego bełkotu. Co więcej, podobna sytuacja może zaistnieć w nauce dowolnego przedmiotu, zwłaszcza z cyklu nauk przyrodniczych.

Co robić? Dla studenta studiów stacjonarnych wszystko jest znacznie prostsze, o ile oczywiście temat nie jest bardzo zaniedbany. Możesz skonsultować się z nauczycielem, kolegami z klasy i po prostu odpisać od sąsiada na biurku. W takich sytuacjach nawet pełny czajniczek z wyższej matematyki przetrwa sesję.

A jeśli ktoś studiuje na uniwersyteckim wydziale korespondencyjnym, a matematyka wyższa, delikatnie mówiąc, nie będzie potrzebna w przyszłości? Ponadto nie ma czasu na zajęcia. Tak jest w większości przypadków, ale nikt nie odwołał wykonania testów i zdania egzaminu (najczęściej pisemnego). Z testami z wyższej matematyki wszystko jest łatwiejsze, niezależnie od tego, czy jesteś czajnikiem, czy nie - można zamówić test z matematyki. Na przykład mam. Istnieje również możliwość zamówienia innych elementów. Już nie tutaj. Jednak wdrożenie i złożenie prac testowych do recenzji nie doprowadzi jeszcze do pożądanego wpisu w dzienniku ocen. Często zdarza się, że dzieło sztuki wykonane na zamówienie wymaga obrony i trzeba wyjaśnić, dlaczego z tych listów wynika ta formuła. Poza tym nadchodzą egzaminy, a tam już NIEZALEŻNIE będziesz musiał rozwiązywać wyznaczniki, limity i pochodne. O ile oczywiście nauczyciel nie przyjmuje cennych prezentów lub nie ma zatrudnionego sympatyka poza salą lekcyjną.

Pozwól, że dam ci kilka bardzo ważnych rad. Na sprawdzianach, egzaminach z nauk ścisłych i przyrodniczych BARDZO WAŻNE JEST COŚ ZROZUMIEĆ. Pamiętaj, PRZYNAJMNIEJ COŚ. Całkowity brak procesów myślowych po prostu doprowadza nauczyciela do szału, znam przypadki, gdy studenci zaoczni byli zawinięci 5-6 razy. Pamiętam, że jeden młody człowiek zdał test 4 razy, a po każdym powtórzeniu zwracał się do mnie o bezpłatną konsultację gwarancyjną. W końcu zauważyłem, że w odpowiedzi napisał literę „pe” zamiast „pi”, za co recenzent nałożył surowe sankcje. Uczeń NIE CHCIAŁ NAWET ZAGLĄDAĆ do zadania, które od niechcenia przepisał

W wyższej matematyce można być obojętnym, ale bardzo pożądane jest, aby wiedzieć, że pochodna stałej jest równa zeru. Bo jeśli odpowiesz trochę głupoty na elementarne pytanie, to jest duże prawdopodobieństwo, że twoje studia na uniwersytecie skończą się dla ciebie. Nauczyciele są o wiele bardziej przychylni uczniowi, który PRZYNAJMNIE PRÓBUJE zrozumieć przedmiot, temu, który choć błędnie próbuje coś rozwiązać, wyjaśnić lub udowodnić. I to stwierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich dyscyplin. Dlatego stanowisko „nic nie wiem, nic nie rozumiem” należy zdecydowanie odrzucić.

Drugą ważną radą jest UCZESTNICTWO NA WYKŁADACH, nawet jeśli jest ich niewiele. Wspomniałem już o tym na stronie głównej serwisu. Matematyka dla studentów korespondencji. Nie ma sensu powtarzać, dlaczego jest to BARDZO ważne, przeczytaj tam.

Co więc zrobić, jeśli jest test na nosie, egzamin z matematyki wyższej, a rzeczy są godne ubolewania - stan pełnego, a raczej pustego czajnika?

Jedną z opcji jest zatrudnienie korepetytora. Największą bazę tutorów można znaleźć (głównie Moskwa) lub (głównie St. Petersburg). Korzystając z wyszukiwarki, jest całkiem prawdopodobne, że znajdziesz korepetytora w swoim mieście lub przejrzysz lokalne gazety reklamowe. Cena za usługi korepetytora może wynosić od 400 lub więcej rubli za godzinę, w zależności od kwalifikacji nauczyciela. Należy zauważyć, że tanio nie znaczy źle, zwłaszcza jeśli masz dobre przygotowanie matematyczne. Jednocześnie za 2-3K rubli dostaniesz DUŻO. Na próżno nikt takich pieniędzy nie bierze i na próżno nikt takich pieniędzy nie płaci ;-). Jedyny ważny punkt - postaraj się wybrać korepetytora ze specjalistycznym wykształceniem pedagogicznym. I tak naprawdę nie chodzimy do dentysty po pomoc prawną.

Ostatnio popularność zyskuje usługa korepetycji online. Jest to bardzo wygodne, gdy trzeba pilnie rozwiązać jeden lub dwa problemy, zrozumieć temat lub przygotować się do egzaminu. Niewątpliwym atutem są ceny, które są kilkukrotnie niższe od cen korepetytora offline + oszczędność czasu w podróży, co jest szczególnie ważne dla mieszkańców megamiast.

W trakcie matematyki wyższej bardzo trudno jest opanować pewne rzeczy bez korepetytora, wystarczy wyjaśnienie „na żywo”.

Niemniej jednak całkiem możliwe jest samodzielne zrozumienie wielu rodzajów problemów, a celem tej sekcji witryny jest nauczenie Cię, jak rozwiązywać typowe przykłady i problemy, które prawie zawsze występują na egzaminach. Co więcej, dla wielu zadań istnieją „twarde” algorytmy, w których nie ma ucieczki od prawidłowego rozwiązania. I zgodnie z moją najlepszą wiedzą postaram się pomóc, zwłaszcza że mam wykształcenie pedagogiczne i doświadczenie zawodowe w mojej specjalności.

Zacznijmy zgarniać matematyczny bełkot. W porządku, nawet jeśli jesteś czajnikiem, wyższa matematyka jest naprawdę prosta i bardzo przystępna.

I musisz zacząć od powtórzenia szkolnego kursu matematyki. Powtarzanie jest matką bólu.

Zanim zaczniesz studiować moje materiały metodologiczne i ogólnie zaczniesz studiować jakiekolwiek materiały z wyższej matematyki, ZDECYDOWANIE POLECAM przeczytanie poniższego.

Aby skutecznie rozwiązywać problemy z matematyki wyższej, MUSISZ:

ZDOBĄDŹ MIKROKALKULATOR.

Z programów - Excel (doskonały wybór!). Wrzuciłem do biblioteki instrukcję do "manekinów".

Jest? Już dobrze.

– Od przearanżowania terminów - suma się nie zmienia: .
Ale to są zupełnie inne rzeczy:

Po prostu niemożliwe jest przestawienie „x” i „cztery”. Jednocześnie przywołujemy kultową literę „x”, która w matematyce oznacza wartość nieznaną lub zmienną.

– Przestawiając czynniki - produkt się nie zmienia: .
Z dzieleniem taka sztuczka nie zadziała, a są to dwie zupełnie różne ułamki, a przestawianie licznika z mianownikiem nie obywa się bez konsekwencji.
Przypominamy również, że znak mnożenia („kropki”) najczęściej nie jest pisany:,

– Przypomnij sobie zasady rozwijania nawiasów:
- tutaj znaki warunków się nie zmieniają
- i tutaj są odwrócone.
A do mnożenia:

Generalnie wystarczy o tym pamiętać DWA MINUS DAJE PLUS, a TRZY MINUS - DAJ MINUS. I staraj się nie mylić z tym podczas rozwiązywania problemów z matematyki wyższej (bardzo częsty i denerwujący błąd).

– Przypomnij sobie skrócenie podobnych terminów, Powinieneś dobrze rozumieć następującą operację:

– Pamiętaj, co to jest stopień:

, , , .

Stopień to zwykłe mnożenie.

–Pamiętaj, że ułamki można redukować: (pomniejszona o 2), (zmniejszona o pięć), (zmniejszona o ).

– Zapamiętaj akcje z ułamkami:

a także bardzo ważna zasada redukcji ułamków do wspólnego mianownika:

Jeśli te przykłady nie są jasne, zajrzyj do podręczników szkolnych.
Bez tego będzie TRUDNO.

RADA: wszystkie obliczenia na poziomie średniozaawansowanym w matematyce wyższej najlepiej wykonywać w UŁAMKACH ZWYKŁYCH PRAWYCH I NIEREGULARNYCH, nawet jeśli są to ułamki przerażające, takie jak . Ten ułamek NIE POWINIEN być reprezentowany jako , a ponadto NIE NALEŻY dzielić licznika przez mianownik na kalkulatorze, otrzymując 4,334552102 ....

WYJĄTKIEM od reguły jest ostateczna odpowiedź zadania, wtedy po prostu lepiej napisać lub.

– Równanie. Ma lewą i prawą stronę. Na przykład:

Możesz przenieść dowolny termin na inną część, zmieniając jego znak:
Przesuńmy na przykład wszystkie terminy na lewą stronę:

Lub w prawo:

Nowa strona 1

Analiza matematyczna dla manekinów. Lekcja 1. Zestawy.

Pojęcie zestawu

Pęczek to zbiór niektórych obiektów. Czym mogą być zestawy? Po pierwsze, skończone lub nieskończone. Na przykład zestaw zapałek w pudełku jest zestawem skończonym, można je wziąć i policzyć. Ilość ziarenek piasku na plaży jest znacznie trudniejsza do policzenia, ale w zasadzie możliwa. A ta ilość jest wyrażona jakąś skończoną liczbą. Oczywiście tyle ziarenek piasku na plaży. Ale zbiór punktów na prostej jest zbiorem nieskończonym. Ponieważ, po pierwsze, sama linia jest nieskończona i możesz umieścić na niej tyle punktów, ile chcesz. Zbiór punktów na odcinku jest również nieskończony. Ponieważ teoretycznie punkt może być dowolnie mały. Oczywiście nie możemy fizycznie narysować punktu, który jest na przykład mniejszy niż rozmiar atomu, ale z punktu widzenia matematyki punkt nie ma rozmiaru. Jego rozmiar to zero. Co się stanie, gdy podzielisz liczbę przez zero? Zgadza się, nieskończoność. I chociaż zbiór punktów na linii prostej i na odcinku dąży do nieskończoności, to nie jest to samo. Zbiór nie jest tam ilością czegoś, ale zbiorem dowolnych przedmiotów. I tylko te zestawy, które zawierają dokładnie te same obiekty, są uważane za równe. Jeśli jeden zestaw zawiera te same obiekty, co inny zestaw, ale dodatkowo jeden „lewy” obiekt, to nie są to już równe zestawy.

Rozważ przykład. Powiedzmy, że mamy dwa zestawy. Pierwszym z nich jest zebranie wszystkich punktów na linii. Drugi to zbiór wszystkich punktów na odcinku linii prostej. Dlaczego nie są równi? Po pierwsze, odcinek linii i linia prosta mogą się nawet nie przecinać. Wtedy z pewnością nie są równe, ponieważ zawierają zupełnie różne punkty. Jeśli się przecinają, mają tylko jeden wspólny punkt. Cała reszta jest tak samo inna. Co jeśli odcinek leży na linii prostej? Wtedy wszystkie punkty odcinka są jednocześnie punktami prostej. Ale nie wszystkie punkty na linii są punktami na odcinku linii. Zatem w tym przypadku zbiory nie mogą być uważane za równe (identyczne).

Każdy zestaw jest zdefiniowany przez regułę, która jednoznacznie określa, czy element należy do tego zestawu, czy nie. Jakie mogą być te zasady? Na przykład, jeśli zbiór jest skończony, możesz głupio wyliczyć wszystkie jego obiekty. Możesz ustawić zakres. Na przykład wszystkie liczby całkowite od 1 do 10. To też będzie zbiór skończony, ale tutaj nie wymieniamy jego elementów, ale formułujemy regułę. Lub na przykład nierówność wszystkie liczby są większe niż 10. Będzie to już nieskończony zbiór, ponieważ nie można nazwać największej liczby - bez względu na to, jaką liczbę wołamy, zawsze jest ta liczba plus 1.

Z reguły zestawy są oznaczane wielkimi literami alfabetu łacińskiego A, B, C i tak dalej. Jeśli zbiór składa się z określonych elementów i chcemy zdefiniować go jako listę tych elementów, to możemy tę listę ująć w nawiasy klamrowe, np. A=(a, b, c, d). Jeżeli a jest elementem zbioru A, to zapisujemy to następująco: a Î A. Jeśli a nie jest elementem zbioru A, to napisz a Ï A. Jednym z ważnych zbiorów jest zbiór N wszystkich liczb naturalnych N=(1,2,3,...,) . Istnieje również specjalny, tzw. zestaw pusty, który nie zawiera ani jednego elementu. Pusty zestaw jest oznaczony symbolem Æ .

Definicja 1 (definicja równości zbiorów). Zestawy ALE i B są równe, jeśli składają się z tych samych elementów, to znaczy, jeśli od xí A następuje po x í B i na odwrót, od x í B następuje po x í A.

Formalnie równość dwóch zbiorów jest zapisana w następujący sposób:

(A=B) := " x (( x Î A ) Û (x Î B )),

Oznacza to, że dla dowolnego obiektu x relacje xÎ A i XО B są równoważne.

Tutaj " jest uniwersalnym kwantyfikatorem (" xbrzmi „dla każdego x").

Definicja 2 (definicja podzbioru). Pęczek ALE jest podzbiorem zbioru W Jeśli w ogóle X należący do zestawu ALE, należy do zestawu W. Formalnie można to wyrazić jako wyrażenie:

(A Ì B) := " x((x Î A) Þ (x Î B))

Jeśli Ì B, ale A ¹ B, to A jest właściwym podzbiorem zbioru W. Jako przykład można ponownie przytoczyć linię prostą i odcinek. Jeżeli odcinek leży na prostej, to zbiór jego punktów jest podzbiorem punktów tej prostej. Albo inny przykład. Zbiór liczb całkowitych podzielnych równomiernie przez 3 jest podzbiorem zbioru liczb całkowitych.

Komentarz. Pusty zbiór jest podzbiorem dowolnego zbioru.

Operacje na zbiorach

Na zestawach możliwe są następujące operacje:

Unia. Istotą tej operacji jest połączenie dwóch zestawów w jeden zawierający elementy każdego z połączonych zestawów. Formalnie wygląda to tak:

C=AÈ B:= {x:x Î A lub xÎ B}

Przykład. Rozwiążmy nierówności | 2 x+ 3 | > 7.

Oznacza to albo nierówność 2x+3 >7, dla 2x+3≥0, to x>2

lub nierówności 2x+3<-7, для 2x+3 <0, тогда x<-5.

Zbiór rozwiązań tej nierówności to suma zbiorów (-∞,-5) (2, ).

Sprawdźmy. Obliczmy wartość wyrażenia | 2 x+ 3 | dla kilku punktów leżących i nie leżących w podanym zakresie:

x	| 2 x+ 3 |
-10	17
-6	9
-5	7
-4	5
-2	1
0	3
1	5
2	7
3	9
5	13

Jak widać, wszystko zostało rozstrzygnięte poprawnie (na czerwono zaznaczono zakresy granic).

skrzyżowanie. Przecięcie to operacja tworzenia nowego zestawu dwóch elementów zawierających elementy, które są zawarte w obu tych zestawach. Aby to sobie wyobrazić, wyobraźmy sobie, że na płaszczyźnie mamy dwa zbiory punktów, a mianowicie figurę A i figurę B. Ich przecięcie oznacza figurę C – jest to wynik operacji przecięcia się zbiorów:

Formalnie operacja przecięcia zbiorów jest napisana następująco:

C=A B:= (x: x Î A i x B )

Przykład. Miejmy zestaw Wtedy C=A B = {5,6,7}

Odejmowanie. Odejmowanie zbioru to wykluczenie z odejmowanego zbioru tych elementów, które są zawarte w odjęciu i odejmowaniu:

Formalnie odejmowanie zbioru jest napisane w następujący sposób:

A\B:={x:x Î A i XÏ B}

Przykład. Obyśmy mieli wiele A=(1,2,3,4,5,6,7), B=(5,6,7,8,9,10). Następnie C=A\ B = { 1,2,3,4}

Dodatek. Uzupełnieniem jest operacja jednoargumentowa (operacja nie na dwóch, ale na jednym zestawie). Ta operacja jest wynikiem odjęcia danego zbioru od kompletnego zbioru uniwersalnego (zbiór, który zawiera wszystkie inne zbiory).

A := (x:x О U i x П A) = U \ A

Graficznie można to przedstawić jako:

symetryczna różnica. W przeciwieństwie do zwykłej różnicy, przy symetrycznej różnicy zestawów, pozostają tylko te elementy, które są obecne w jednym lub innym zestawie. Lub, w uproszczeniu, jest tworzony z dwóch zestawów, ale te elementy, które znajdują się w obu zestawach, są z niego wykluczone:

Matematycznie można to wyrazić w następujący sposób:

A D B:= (A\B) È ( B\A) = (A È B) \ (A Ç B)

Własności operacji na zbiorach.

Z definicji sumy i przecięcia zbiorów wynika, że ​​operacje przecięcia i sumy mają następujące własności:

1. Przemienność.

A È B=BÈ A
AÇ B=BÇ A

1. Łączność.

(A È B) È C=AÈ ( B È C)
(A Ç B) Ç C=AÇ ( B Ç C)

Kupa okropnych formuł, podręczniki z wyższej matematyki, które otwierasz i od razu zamykasz, bolesne poszukiwanie rozwiązania pozornie bardzo prostego problemu.... Ta sytuacja nie jest rzadkością, zwłaszcza gdy podręcznik do matematyki był ostatnio otwierany w odległej 11 klasie. Tymczasem na uniwersytetach programy wielu specjalności przewidują studiowanie ulubionej przez wszystkich matematyki wyższej. I w tej sytuacji często czujesz się jak kompletny czajniczek przed stosem okropnego matematycznego bełkotu. Co więcej, podobna sytuacja może zaistnieć w nauce dowolnego przedmiotu, zwłaszcza z cyklu nauk przyrodniczych.

Co robić? Dla studenta studiów stacjonarnych wszystko jest znacznie prostsze, o ile oczywiście temat nie jest bardzo zaniedbany. Możesz skonsultować się z nauczycielem, kolegami z klasy i po prostu odpisać od sąsiada na biurku. W takich sytuacjach nawet pełny czajniczek z wyższej matematyki przetrwa sesję.

A jeśli ktoś studiuje na uniwersyteckim wydziale korespondencyjnym, a matematyka wyższa, delikatnie mówiąc, nie będzie potrzebna w przyszłości? Ponadto nie ma czasu na zajęcia. Tak jest w większości przypadków, ale nikt nie odwołał wykonania testów i zdania egzaminu (najczęściej pisemnego). Z testami z wyższej matematyki wszystko jest łatwiejsze, niezależnie od tego, czy jesteś czajnikiem, czy nie - można zamówić test z matematyki. Na przykład mam. Istnieje również możliwość zamówienia innych elementów. Już nie tutaj. Jednak wdrożenie i złożenie prac testowych do recenzji nie doprowadzi jeszcze do pożądanego wpisu w dzienniku ocen. Często zdarza się, że dzieło sztuki wykonane na zamówienie wymaga obrony i trzeba wyjaśnić, dlaczego z tych listów wynika ta formuła. Poza tym nadchodzą egzaminy, a tam już NIEZALEŻNIE będziesz musiał rozwiązywać wyznaczniki, limity i pochodne. O ile oczywiście nauczyciel nie przyjmuje cennych prezentów lub nie ma zatrudnionego sympatyka poza salą lekcyjną.

Pozwól, że dam ci kilka bardzo ważnych rad. Na sprawdzianach, egzaminach z nauk ścisłych i przyrodniczych BARDZO WAŻNE JEST COŚ ZROZUMIEĆ. Pamiętaj, PRZYNAJMNIEJ COŚ. Całkowity brak procesów myślowych po prostu doprowadza nauczyciela do szału, znam przypadki, gdy studenci zaoczni byli zawinięci 5-6 razy. Pamiętam, że jeden młody człowiek zdał test 4 razy, a po każdym powtórzeniu zwracał się do mnie o bezpłatną konsultację gwarancyjną. W końcu zauważyłem, że w odpowiedzi napisał literę „pe” zamiast „pi”, za co recenzent nałożył surowe sankcje. Uczeń NIE CHCIAŁ NAWET ZAGLĄDAĆ do zadania, które od niechcenia przepisał

W wyższej matematyce można być obojętnym, ale bardzo pożądane jest, aby wiedzieć, że pochodna stałej jest równa zeru. Bo jeśli odpowiesz trochę głupoty na elementarne pytanie, to jest duże prawdopodobieństwo, że twoje studia na uniwersytecie skończą się dla ciebie. Nauczyciele są o wiele bardziej przychylni uczniowi, który PRZYNAJMNIE PRÓBUJE zrozumieć przedmiot, temu, który choć błędnie próbuje coś rozwiązać, wyjaśnić lub udowodnić. I to stwierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich dyscyplin. Dlatego stanowisko „nic nie wiem, nic nie rozumiem” należy zdecydowanie odrzucić.

Drugą ważną radą jest UCZESTNICTWO NA WYKŁADACH, nawet jeśli jest ich niewiele. Wspomniałem już o tym na stronie głównej serwisu. Matematyka dla studentów korespondencji. Nie ma sensu powtarzać, dlaczego jest to BARDZO ważne, przeczytaj tam.

Co więc zrobić, jeśli jest test na nosie, egzamin z matematyki wyższej, a rzeczy są godne ubolewania - stan pełnego, a raczej pustego czajnika?

Jedną z opcji jest zatrudnienie korepetytora. Największą bazę tutorów można znaleźć (głównie Moskwa) lub (głównie St. Petersburg). Korzystając z wyszukiwarki, jest całkiem prawdopodobne, że znajdziesz korepetytora w swoim mieście lub przejrzysz lokalne gazety reklamowe. Cena za usługi korepetytora może wynosić od 400 lub więcej rubli za godzinę, w zależności od kwalifikacji nauczyciela. Należy zauważyć, że tanio nie znaczy źle, zwłaszcza jeśli masz dobre przygotowanie matematyczne. Jednocześnie za 2-3K rubli dostaniesz DUŻO. Na próżno nikt takich pieniędzy nie bierze i na próżno nikt takich pieniędzy nie płaci ;-). Jedyny ważny punkt - postaraj się wybrać korepetytora ze specjalistycznym wykształceniem pedagogicznym. I tak naprawdę nie chodzimy do dentysty po pomoc prawną.

Ostatnio popularność zyskuje usługa korepetycji online. Jest to bardzo wygodne, gdy trzeba pilnie rozwiązać jeden lub dwa problemy, zrozumieć temat lub przygotować się do egzaminu. Niewątpliwym atutem są ceny, które są kilkukrotnie niższe od cen korepetytora offline + oszczędność czasu w podróży, co jest szczególnie ważne dla mieszkańców megamiast.

W trakcie matematyki wyższej bardzo trudno jest opanować pewne rzeczy bez korepetytora, wystarczy wyjaśnienie „na żywo”.

Niemniej jednak całkiem możliwe jest samodzielne zrozumienie wielu rodzajów problemów, a celem tej sekcji witryny jest nauczenie Cię, jak rozwiązywać typowe przykłady i problemy, które prawie zawsze występują na egzaminach. Co więcej, dla wielu zadań istnieją „twarde” algorytmy, w których nie ma ucieczki od prawidłowego rozwiązania. I zgodnie z moją najlepszą wiedzą postaram się pomóc, zwłaszcza że mam wykształcenie pedagogiczne i doświadczenie zawodowe w mojej specjalności.

Zacznijmy zgarniać matematyczny bełkot. W porządku, nawet jeśli jesteś czajnikiem, wyższa matematyka jest naprawdę prosta i bardzo przystępna.

I musisz zacząć od powtórzenia szkolnego kursu matematyki. Powtarzanie jest matką bólu.

Zanim zaczniesz studiować moje materiały metodologiczne i ogólnie zaczniesz studiować jakiekolwiek materiały z wyższej matematyki, ZDECYDOWANIE POLECAM przeczytanie poniższego.

Aby skutecznie rozwiązywać problemy z matematyki wyższej, MUSISZ:

ZDOBĄDŹ MIKROKALKULATOR.

Z programów - Excel (doskonały wybór!). Wrzuciłem do biblioteki instrukcję do "manekinów".

Jest? Już dobrze.

– Od przearanżowania terminów - suma się nie zmienia: .
Ale to są zupełnie inne rzeczy:

Po prostu niemożliwe jest przestawienie „x” i „cztery”. Jednocześnie przywołujemy kultową literę „x”, która w matematyce oznacza wartość nieznaną lub zmienną.

– Przestawiając czynniki - produkt się nie zmienia: .
Z dzieleniem taka sztuczka nie zadziała, a są to dwie zupełnie różne ułamki, a przestawianie licznika z mianownikiem nie obywa się bez konsekwencji.
Przypominamy również, że znak mnożenia („kropki”) najczęściej nie jest pisany:,

– Przypomnij sobie zasady rozwijania nawiasów:
- tutaj znaki warunków się nie zmieniają
- i tutaj są odwrócone.
A do mnożenia:

Generalnie wystarczy o tym pamiętać DWA MINUS DAJE PLUS, a TRZY MINUS - DAJ MINUS. I staraj się nie mylić z tym podczas rozwiązywania problemów z matematyki wyższej (bardzo częsty i denerwujący błąd).

– Przypomnij sobie skrócenie podobnych terminów, Powinieneś dobrze rozumieć następującą operację:

– Pamiętaj, co to jest stopień:

, , , .

Stopień to zwykłe mnożenie.

–Pamiętaj, że ułamki można redukować: (pomniejszona o 2), (zmniejszona o pięć), (zmniejszona o ).

– Zapamiętaj akcje z ułamkami:

a także bardzo ważna zasada redukcji ułamków do wspólnego mianownika:

Jeśli te przykłady nie są jasne, zajrzyj do podręczników szkolnych.
Bez tego będzie TRUDNO.

RADA: wszystkie obliczenia na poziomie średniozaawansowanym w matematyce wyższej najlepiej wykonywać w UŁAMKACH ZWYKŁYCH PRAWYCH I NIEREGULARNYCH, nawet jeśli są to ułamki przerażające, takie jak . Ten ułamek NIE POWINIEN być reprezentowany jako , a ponadto NIE NALEŻY dzielić licznika przez mianownik na kalkulatorze, otrzymując 4,334552102 ....

WYJĄTKIEM od reguły jest ostateczna odpowiedź zadania, wtedy po prostu lepiej napisać lub.

– Równanie. Ma lewą i prawą stronę. Na przykład:

Możesz przenieść dowolny termin na inną część, zmieniając jego znak:
Przesuńmy na przykład wszystkie terminy na lewą stronę:

Lub w prawo:

Granice przysparzają wszystkim studentom matematyki wiele kłopotów. Aby rozwiązać ten limit, czasami trzeba użyć wielu sztuczek i wybrać z różnych rozwiązań dokładnie to, które jest odpowiednie dla konkretnego przykładu.

W tym artykule nie pomożemy Ci zrozumieć granic Twoich możliwości ani pojąć granic kontroli, ale postaramy się odpowiedzieć na pytanie: jak rozumieć granice w wyższej matematyce? Zrozumienie przychodzi z doświadczeniem, więc jednocześnie podamy kilka szczegółowych przykładów rozwiązywania granic wraz z wyjaśnieniami.

Pojęcie granicy w matematyce

Pierwsze pytanie brzmi: jaka jest granica i granica czego? Możemy mówić o granicach ciągów liczbowych i funkcji. Interesuje nas pojęcie granicy funkcji, ponieważ to właśnie z nimi studenci najczęściej stykają się. Ale najpierw najogólniejsza definicja limitu:

Powiedzmy, że jest jakaś zmienna. Jeśli ta wartość w procesie zmiany w nieskończoność zbliża się do pewnej liczby a , następnie a to granica tej wartości.

Dla funkcji określonej w pewnym przedziale f(x)=y limitem jest liczba A , do którego dąży funkcja, gdy X dążąc do pewnego punktu a . Kropka a należy do przedziału, w którym funkcja jest zdefiniowana.

Brzmi to nieporęcznie, ale jest napisane bardzo prosto:

Lim- z angielskiego limit- limit.

Istnieje również geometryczne wyjaśnienie definicji granicy, ale tutaj nie będziemy wchodzić w teorię, ponieważ bardziej interesuje nas praktyczna niż teoretyczna strona zagadnienia. Kiedy mówimy, że X dąży do pewnej wartości, co oznacza, że ​​zmienna nie przyjmuje wartości liczby, ale zbliża się do niej nieskończenie blisko.

Weźmy konkretny przykład. Wyzwaniem jest znalezienie limitu.

Aby rozwiązać ten przykład, podstawiamy wartość x=3 w funkcję. Otrzymujemy:

Przy okazji, jeśli interesują Cię podstawowe operacje na macierzach, przeczytaj osobny artykuł na ten temat.

W przykładach X może dążyć do dowolnej wartości. Może to być dowolna liczba lub nieskończoność. Oto przykład, kiedy X dąży do nieskończoności:

Intuicyjnie jest jasne, że im większa liczba w mianowniku, tym mniejszą wartość przyjmie funkcja. A więc z nieograniczonym wzrostem X oznaczający 1/x zmniejszy się i zbliży się do zera.

Jak widać, aby rozwiązać ten limit, wystarczy wstawić do funkcji wartość, do której dążymy X . To jednak najprostszy przypadek. Często znalezienie granicy nie jest tak oczywiste. W granicach istnieją niepewności typu 0/0 lub nieskończoność/nieskończoność . Co robić w takich przypadkach? Używaj sztuczek!

Niepewność wewnątrz

Niepewność formy nieskończoność/nieskończoność

Niech będzie granica:

Jeśli spróbujemy podstawić nieskończoność do funkcji, otrzymamy nieskończoność zarówno w liczniku, jak iw mianowniku. Ogólnie warto powiedzieć, że jest pewien element sztuki w rozwiązywaniu takich niepewności: trzeba zauważyć, jak funkcja może zostać przekształcona w taki sposób, że niepewność zniknie. W naszym przypadku licznik i mianownik dzielimy przez X w stopniu wyższym. Co się stanie?

Z powyższego przykładu wiemy, że wyrazy zawierające x w mianowniku będą dążyć do zera. Wtedy rozwiązaniem limitu jest:

Aby odkryć niejednoznaczności typów nieskończoność/nieskończoność podziel licznik i mianownik przez X w najwyższym stopniu.

Tak poza tym! Dla naszych czytelników teraz 10% zniżki na każdy rodzaj pracy

Inny rodzaj niepewności: 0/0

Jak zawsze, podstawienie do funkcji wartości x=-1 daje 0 w liczniku i mianowniku. Przyjrzyj się dokładniej, a zauważysz, że w liczniku mamy równanie kwadratowe. Znajdźmy korzenie i napiszmy:

Zmniejszmy i uzyskajmy:

Tak więc, jeśli napotkasz niejednoznaczność typu 0/0 - faktoryzacji licznika i mianownika.

Aby ułatwić Ci rozwiązywanie przykładów, oto tabela z ograniczeniami niektórych funkcji:

Rządy L'Hopitala wewnątrz

Kolejny skuteczny sposób na wyeliminowanie obu rodzajów niepewności. Jaka jest istota metody?

Jeśli w granicy jest niepewność, bierzemy pochodną licznika i mianownika, aż niepewność zniknie.

Wizualnie reguła L'Hopitala wygląda tak:

Ważny punkt : granica, w której pochodne licznika i mianownika są zamiast licznika i mianownika, musi istnieć.

A teraz prawdziwy przykład:

Istnieje typowa niepewność 0/0 . Weź pochodne licznika i mianownika:

Voila, niepewność jest eliminowana szybko i elegancko.

Mamy nadzieję, że uda Ci się wykorzystać te informacje w praktyce i znaleźć odpowiedź na pytanie „jak rozwiązywać granice w matematyce wyższej”. Jeśli potrzebujesz obliczyć granicę ciągu lub granicę funkcji w punkcie, a nie ma czasu na tę pracę ze słowa „absolutnie”, skontaktuj się z profesjonalną obsługą studencką, aby uzyskać szybkie i szczegółowe rozwiązanie.

Kategoria Rachunek zawiera bezpłatne lekcje wideo online na ten temat. Analiza matematyczna to zbiór działów matematyki zajmujących się badaniem funkcji i ich uogólnień metodami rachunku różniczkowego i całkowego. Należą do nich: analiza funkcjonalna, w tym teoria całki Lebesgue'a, analiza zespolona (TFKP), badająca funkcje zdefiniowane na płaszczyźnie zespolonej, teoria całek szeregowych i wielowymiarowych, analiza niestandardowa, badająca liczby nieskończenie małe i nieskończenie duże, analiza wektorowa i rachunek wariacyjny. Nauka rachunku różniczkowego z lekcji wideo przyda się zarówno początkującym, jak i bardziej doświadczonym matematykom. Możesz oglądać lekcje wideo z sekcji Analiza matematyczna za darmo w dogodnym dla siebie czasie. Niektóre lekcje wideo dotyczące analizy matematycznej zawierają dodatkowe materiały, które można pobrać. Miłej nauki!

Razem materiały: 12
Pokazane materiały: 1-10

Jaka jest pochodna funkcji

Czy chcesz wiedzieć, jaka jest pochodna funkcji w matematyce? Oczywiście wiele razy słyszałeś o tej pochodnej, a nawet prawdopodobnie wziąłeś ją w szkole, zupełnie nie rozumiejąc sensu swoich działań. W tym filmie nie nauczę Cię formuł, ale wyjaśnię znaczenie pochodnej na palcach, aby nawet okrągły czajniczek mógł zrozumieć. Ale najpierw lepiej obejrzyj mój poprzedni film, w którym również opowiadam o funkcji w przystępny sposób. W tym samouczku wideo przedstawiamy proste, jasne i ilustracyjne przykłady życia ...

Wprowadzenie do analizy. Moc zestawów

Lekcja internetowa „Wprowadzenie do analizy. Potęga zbiorów” poświęcona jest zagadnieniu takiego pojęcia, jak potęga zbiorów. To pytanie dotyczy ilościowej charakterystyki zbiorów. Jeśli zbiór jest skończony, to możemy mówić o liczbie jego elementów. Ale co z nieskończonymi zbiorami? Rzeczywiście, w tym przypadku nie będzie pojęcia mniej lub więcej. Aby rozwiązać ten problem, wprowadza się takie pojęcie jak władza. Moc jest narzędziem do ilościowego porównywania nieskończonych zbiorów. Ta lekcja daje...

Granica funkcji w punkcie - definicja, przykłady

Ta lekcja online mówi o takim pojęciu jak granica funkcji w punkcie - definicja, przykłady. Większość elementów badania funkcji opiera się na podstawowym pojęciu granicy funkcji. Tutaj granica funkcji w punkcie zostanie rozważona na prostym przykładzie, po czym zostanie podana ścisła definicja granicy funkcji w punkcie ze szczegółową ilustracją na wykresie dla lepszej asymilacji materiału. W tej lekcji przyjrzymy się również innym przykładom i przedstawimy rygorystyczną definicję jednostronnego...

Zbieżność szeregów potęgowych – przykład jak znaleźć obszar zbieżności, badania

Ten samouczek wideo opowiada o takim pojęciu jak zbieżność szeregów potęgowych, przykład jak znaleźć obszar zbieżności, badania. Szereg potęgowy jest szczególnym przypadkiem szeregu funkcyjnego, którego członkami są funkcje potęgowe argumentu x. Obszar zbieżności to wszystkie wartości zmiennej x, dla których zbiegają się odpowiednie szeregi liczbowe. Do badań możesz użyć testu d'Alemberta i użyć go do wykazania, że ​​szereg potęgowy jest zbieżny lub rozbieżny, a kiedy ...

Co jest prymitywne?

W tym filmie opowiem Ci o funkcji pierwotnej, która jest bliskim krewnym pochodnej. Prawdę mówiąc, wiesz już o niej prawie wszystko, jeśli oglądałeś moje poprzednie filmy, a my po prostu musimy postawić kropkę nad „i”. Funkcja pierwotna jest funkcją „rodzica” pochodnej. Znalezienie funkcji pierwotnej oznacza odpowiedź na pytanie: czyje to dziecko? Jeśli córka jest znana, musimy znaleźć matkę. Wcześniej przeciwnie szukaliśmy córki dla danej mamy. Przechodzimy teraz z...

Geometryczne znaczenie pochodnej

W tym filmie opowiem o geometrycznym znaczeniu pochodnej. Dowiesz się, że geometryczne znaczenie pochodnej polega na tym, że pochodna i nachylenie stycznej to prawie to samo. Mówię „prawie”, ponieważ pochodna jest równa tangensowi nachylenia stycznej. Możemy założyć, że pochodna i nachylenie stycznej są ze sobą ściśle powiązane. Jeśli nachylenie jest duże, to pochodna również jest duża i funkcja w tym punkcie gwałtownie wzrasta. Jeśli kąt nachylenia jest mały, to pochodna też jest mała...

Czym jest funkcja w matematyce

Chcesz wiedzieć, czym jest funkcja w matematyce? W tym samouczku wideo w prosty i przejrzysty sposób, za pomocą ilustracji graficznych i ilustrujących przykładów z życia, powiemy Ci, czym jest funkcja, jaki jest jej argument, jakie są funkcje (rosnące, malejące, mieszane), jak ustawić funkcję (za pomocą wykres, tabela, formuły). Zobaczysz, że zależność, która pokazuje, jak jedna wielkość jest powiązana z inną, nazywana jest funkcją. Każda funkcja jest relacją między ilościami...

Granica funkcji w nieskończoności - definicja, przykłady

Lekcja „Granica funkcji w nieskończoności – definicja, przykłady” poświęcona jest pytaniu, czym są granice w nieskończoności. Większość funkcji elementarnych jest zdefiniowana dla dowolnie dużej wartości argumentu. W takim przypadku ważne jest poznanie zachowania funkcji w nieskończoności. Jednym z elementów badania takiego zachowania jest znalezienie granicy funkcji w nieskończoności. Chociaż nieskończoność nie jest liczbą i nie odpowiada jej żaden punkt na osi liczbowej, definicja granicy na ...