Dom > Klasyfikator ISO

Schemat geometryczny wyznaczania prawdopodobieństwa. Geometryczna definicja prawdopodobieństwa zdarzenia

Jak pokazano w sekcji Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, w losowych eksperymentach ze skończoną liczbą równie możliwych wyników elementarnych stosowany klasyczna definicja prawdopodobieństwa.

Aby wprowadzić prawdopodobieństwo zdarzeń w eksperymentach losowych, których możliwe wyniki (wyniki elementarne) są również równie możliwe I całkowicie wypełnić lukę linia prosta, postać w samolocie lub region w kosmosie, zastosowany geometryczna definicja prawdopodobieństwa. W takich eksperymentach liczba elementarnych wyników nie jest ostateczna, a zatem nie można do nich zastosować klasycznej definicji prawdopodobieństwa.

Zilustrujmy przykładami wprowadzenie geometrycznej definicji prawdopodobieństwa.

Przykład 1 . Punkt jest losowo rzucany na segment osi liczbowej. Znajdź prawdopodobieństwo, że punkt spadł na odcinek (rys. 1).

Odpowiedź:

Przykład 2 . Przekątne KM i LN kwadratu KLMN przecinają okrąg wpisany w kwadrat w punktach E i F, punkt O jest środkiem koła (rys. 2).

Kropka jest losowo wrzucana do kwadratu KLMN. Znajdź prawdopodobieństwo, że punkt wpadnie do sektora EOF zaznaczonego na różowo na rysunku 2.

Odpowiedź:

Przykład 3 . Punkt jest losowo wrzucany do stożka o wierzchołku S i środku podstawy O. Znajdź prawdopodobieństwo, że punkt wpadnie w stożek ścięty uzyskany przez przecięcie stożka płaszczyzną przechodzącą przez punkt środkowy O ”wysokości stożka i równolegle do podstawy stożka (ryc. 3).

Rozwiązanie . Zbiór elementarnych wyników Ω eksperymentu losowego na rzucenie punktu to zbiór wszystkich punktów stożka o wierzchołku S i środku podstawy O .

Uderzenie punktu w ścięty stożek jest jednym ze zdarzeń losowych, które oznaczymy literą A.

Na definicja geometryczna prawdopodobieństwo zdarzenia A jest obliczane według wzoru

Niech R będzie promieniem podstawy stożka z wierzchołkiem S i środkiem podstawy O, a H niech będzie wysokością tego stożka. Wtedy promień podstawy i wysokość stożka z wierzchołkiem S i środkiem podstawy O" będą równe

odpowiednio.

Objętość stożka z wierzchołkiem S i środkiem podstawy O wynosi

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ma swoje ograniczenia w zastosowaniu. Zakłada się, że zbiór zdarzeń elementarnych Ω jest skończony lub policzalny, tj. Ω = ( ω 1 , ω 2 , … , ω n , …) i wszystkie ω i – równie możliwe zdarzenia elementarne. Jednak w praktyce istnieją testy, dla których zbiór wyników elementarnych jest nieskończony. Na przykład podczas produkcji określonej części na maszynie konieczne jest zachowanie określonego rozmiaru. Tutaj dokładność wykonania części zależy od umiejętności pracownika, jakości narzędzia skrawającego, perfekcji maszyny itp. Jeżeli przez test rozumiemy wykonanie części, to w wyniku takiego testu możliwa jest nieskończona liczba wyników, w tym przypadku uzyskanie części o wymaganej wielkości.

Aby przezwyciężyć wady klasycznej definicji prawdopodobieństwa, czasami stosuje się pewne koncepcje geometrii (jeśli oczywiście pozwalają na to okoliczności testu). We wszystkich takich przypadkach zakłada się możliwość przeprowadzenia (przynajmniej teoretycznie) dowolnej liczby badań, a koncepcja równe szanse również odgrywają ważną rolę.

Rozważmy test z przestrzenią zdarzeń, których elementarne wyniki są reprezentowane jako punkty wypełniające pewien obszar Ω (w przestrzeni trójwymiarowej r 3). Niech wydarzenie ALE polega na trafieniu w losowo rzucony punkt w subdomenie D domena Ω. wydarzenie ALE faworyzować zdarzenia elementarne, w których punkt należy do jakiejś subdomeny D. Następnie pod prawdopodobieństwem rozwój ALE zrozumiemy stosunek objętości subdomeny D(podświetlony obszar na Rys. 1.11) do objętości obszaru Ω, r(ALE) = V(D) / V(Ω).

Ryż.1. 11

Tutaj, przez analogię do koncepcji korzystnego wyniku, obszar D zostanie nazwany sprzyjającym pojawieniu się wydarzenia ALE. Podobnie określa się prawdopodobieństwo zdarzenia ALE, gdy zbiór Ω jest pewnym obszarem na płaszczyźnie lub odcinkiem na linii prostej. W takich przypadkach objętości obszarów są zastępowane odpowiednio obszarami figur lub długościami segmentów.

W ten sposób dochodzimy do nowej definicji - prawdopodobieństwo geometryczne dla testów z nieskończonym, niepoliczalnym zbiorem zdarzeń elementarnych, który jest sformułowany w następujący sposób.

Geometryczne prawdopodobieństwo zdarzenia A to stosunek miary subdomeny sprzyjającej wystąpieniu tego zdarzenia do miary całego obszaru, czyli

p(A) =mesD / mesΩ,

gdzie mes– miara powierzchni D i Ω , D Ì Ω.

Geometryczne prawdopodobieństwo zdarzenia ma wszystkie właściwości zawarte w klasycznej definicji prawdopodobieństwa. Na przykład czwartą właściwością będzie: r(ALE+ W) = r(ALE) + r(W).

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Podstawowym pojęciem teorii prawdopodobieństwa jest pojęcie zdarzenia losowego. Zdarzenie losowe jest zwykle nazywane zdarzeniem, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ, w pewnych warunkach może ono wystąpić lub nie. Na przykład trafienie lub chybienie obiektu podczas strzelania do tego obiektu daną bronią jest zdarzeniem losowym.

Zdarzenie jest zwykle nazywane wiarygodnym, jeśli w wyniku testu koniecznie wystąpi. Przyjęło się nazywać zdarzenie niemożliwym, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ nie może nastąpić w wyniku testu.

Mówi się, że zdarzenia losowe są niespójne w danym procesie, jeśli żadne dwa z nich nie mogą wystąpić razem.

Zdarzenia losowe tworzą kompletną grupę, jeśli którekolwiek z nich może pojawić się w każdej próbie i żadne inne zdarzenie niezgodne z nimi nie może się pojawić.

Rozważ pełną grupę równie możliwych niezgodnych zdarzeń losowych. Takie zdarzenia będą nazywane skutkami. Uważa się, że wynik jest korzystny dla wystąpienia zdarzenia A, jeżeli wystąpienie tego zdarzenia pociąga za sobą wystąpienie zdarzenia A.

Geometryczna definicja prawdopodobieństwa

Niech losowy test będzie pomyślany jako wrzucenie losowego punktu do jakiegoś geometrycznego obszaru G (na prostej, płaszczyźnie lub przestrzeni). Wyniki elementarne to ϶ᴛᴏ oddzielne punkty G, każde zdarzenie jest ϶ᴛᴏ podzbiorem tego obszaru, przestrzeni wyników elementarnych G. Możemy założyć, że wszystkie punkty G są „równe”, a wtedy prawdopodobieństwo, że punkt wpadnie w jeden z ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ podzbiór jest proporcjonalny do swojej miary (długość, powierzchnia, objętość) i nie zależy od jego położenia i kształtu.

prawdopodobieństwo geometryczne zdarzenie A jest określone zależnością: , gdzie m(G), m(A) są miarami geometrycznymi (długościami, powierzchniami lub objętościami) całej przestrzeni wyników elementarnych i zdarzenia A.

Przykład. Okrąg o promieniu r () jest losowo rzucany na płaszczyznę, ograniczoną równoległymi paskami o szerokości 2d, których odległość między liniami osiowymi wynosi 2D. Znajdź prawdopodobieństwo, że okrąg przecina jakiś pasek.

Rozwiązanie. Jako elementarny wynik tego testu rozważymy odległość x od środka okręgu do linii środkowej paska najbliżej okręgu. Następnie cała przestrzeń wyników elementarnych - segment ϶ᴛᴏ. Przecięcie koła z paskiem nastąpi, jeśli jego środek wpadnie w pasek, ᴛ.ᴇ. , lub będzie znajdować się od krawędzi pasa w odległości mniejszej niż promień, ᴛ.ᴇ. .

Dla pożądanego prawdopodobieństwa otrzymujemy: .

5. Względna częstotliwość zdarzenia jest stosunkiem liczby prób, w których zdarzenie miało miejsce, do całkowitej liczby praktycznie przeprowadzonych prób. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, względna częstotliwość A jest dana wzorem:

(2)gdzie m jest liczbą wystąpień zdarzenia, n jest całkowitą liczbą prób. Porównując definicję prawdopodobieństwa i względnej częstości dochodzimy do wniosku: definicja prawdopodobieństwa nie wymaga przeprowadzania testów w rzeczywistości; definicja względnej częstotliwości zakłada, że ​​testy zostały faktycznie przeprowadzone. Innymi słowy, prawdopodobieństwo jest obliczane przed doznaniem, a względna częstotliwość jest obliczana po doznaniu.

Przykład 2. Spośród 80 losowo wybranych pracowników 3 osoby mają poważne schorzenia serca. Względna częstotliwość osób z chorobami serca

Względna częstotliwość lub liczba zbliżona do niej jest traktowana jako prawdopodobieństwo statyczne.

DEFINICJA (statystyczna definicja prawdopodobieństwa). Liczba, do której dąży stabilna częstotliwość względna, jest powszechnie nazywana prawdopodobieństwem statystycznym tego zdarzenia.

6. suma A+B dwa wydarzenia A i B nazywają zdarzenie polegające na wystąpieniu zdarzenia A lub zdarzenia B, lub obu tych zdarzeń. Na przykład, jeśli oddano dwa strzały z pistoletu i A - trafienie pierwszym strzałem, B - trafienie drugim strzałem, a następnie A + B - trafienie pierwszym strzałem lub drugim lub obydwoma strzałami .

W szczególności, jeśli dwa zdarzenia A i B są niezgodne, to A + B jest zdarzeniem polegającym na pojawieniu się jednego z tych zdarzeń, bez względu na to, które z nich. Suma kilku wydarzeń nazywamy zdarzeniem, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ polega na wystąpieniu przynajmniej jednego z tych zdarzeń. Na przykład zdarzenie A + B + C polega na wystąpieniu jednego z następujących zdarzeń: A, B, C, A i B, A i C, B i C, A i B i C. Niech zdarzenia A i B być niezgodne, a prawdopodobieństwo tych zdarzeń jest znane. Jak znaleźć prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A lub zdarzenia B? Odpowiedź na to pytanie daje twierdzenie o dodawaniu. Twierdzenie. Prawdopodobieństwo wystąpienia jednego z dwóch niekompatybilnych zdarzeń, niezależnie od tego, jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń:

P (A + B) = P (A) + P (B). Dowód

Następstwo. Prawdopodobieństwo wystąpienia jednego z kilku niekompatybilnych parami zdarzeń, bez względu na to, które z nich, jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń:

P (A 1 + A 2 + ... + A n) \u003d P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A n).

Geometryczna definicja prawdopodobieństwa - pojęcie i rodzaje. Klasyfikacja i cechy kategorii „Geometryczna definicja prawdopodobieństwa” 2017, 2018.

  • -

    W praktyce takie próby są bardzo często spotykane, a liczba możliwych wyników jest nieskończona. Czasami w takich przypadkach można zastosować metodę obliczania prawdopodobieństwa, w której pojęcie równoważności prawdopodobieństwa pewnych zdarzeń nadal odgrywa główną rolę.... .


  • - Geometryczna definicja prawdopodobieństwa.

    Na pewnym kwadracie losowo wybierany jest punkt, jakie jest prawdopodobieństwo, że ten punkt znajdzie się w obszarze D., gdzie SD to obszar obszaru D, S to obszar całego kwadrat. Pod klasykiem pewne prawdopodobieństwo zerowe miało ... .


  • - Geometryczna definicja prawdopodobieństwa.

    Aby przezwyciężyć wadę klasycznej definicji prawdopodobieństwa, która polega na tym, że nie ma ona zastosowania do prób o nieskończonej liczbie wyników, wprowadza się prawdopodobieństwa geometryczne - prawdopodobieństwa wpadnięcia punktu w obszar. Niech płaska figura g (segment lub korpus)... .


  • - WYKŁAD 2. TEOREMY DODANIA I MNOŻENIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA. STATYSTYCZNE, GEOMETRYCZNE OKREŚLANIE PRAWDOPODOBIEŃSTWA

    Klasyczna definicja prawdopodobieństwa WYKŁAD 1. TEORIE PRAWDOPODOBIEŃSTWA. HISTORIA POCHODZENIA. KLASYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA A.A. Khalafyan ODNIESIENIA BIBLIOGRAFICZNE 1. Kolemaev V.A., Staroverov O.V., Turundaevsky V.B. Teoria ... .[czytaj więcej] .


  • - Geometryczna definicja prawdopodobieństwa

    Ta definicja jest używana, gdy doświadczenie ma niepoliczalny zestaw równie możliwych wyników. W tym przypadku przestrzeń zdarzeń elementarnych można przedstawić jako pewien obszar G. Każdy punkt tego obszaru odpowiada zdarzeniu elementarnemu. Uderzyć... .


  • - Klasyczna i geometryczna definicja prawdopodobieństwa.

    Geometryczna definicja prawdopodobieństwa jest rozszerzeniem pojęcia prawdopodobieństwa klasycznego na przypadek niepoliczalnego zbioru zdarzeń elementarnych. W przypadku, gdy jest zbiorem niepoliczalnym, prawdopodobieństwo określa się nie na zdarzeniach elementarnych, ale na ich zbiorach.... .


  • - Geometryczna definicja prawdopodobieństwa

    Klasyczna definicja prawdopodobieństwa PRAWDOPODOBIEŃSTWO ZDARZENIA LOSOWEGO Interpretacja operacji na zdarzeniach w oparciu o teorię mnogościową Niech jakiś eksperyment zostanie przeprowadzony z wynikiem losowym. Wiele &... .


    • Formuła P(A)=m/n traci sens, jeśli liczba wszystkich równie możliwych niezgodnych przypadków jest nieograniczona (tworzy zbiór nieskończony). Czasami jednak można nadać charakterystykę ilościową S w niektórych miarach długości, powierzchni, objętości, czasu itd., całemu zbiorowi nieskończonych, jednakowo możliwych, niezgodnych przypadków, i podać część tego zbioru, która faworyzuje początek rozważanego zdarzenia A, aby nadać charakterystykę S b w tych samych miarach. Wtedy prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A określa się zależnością:

    Przykład 1. Z przedziału losowo wybierane są dwie liczby x i y. Znajdź prawdopodobieństwo, że te liczby spełniają nierówności x 2 ≤ 4y ≤ 4x.
    Rozwiązanie. Test polega na losowym wyborze pary liczb x i y z przedziału. Zinterpretujemy to jako losowy wybór punktu M(x;y) ze zbioru wszystkich punktów kwadratu o boku równym dwa. Rozważmy figurę Ф, która jest zbiorem wszystkich punktów kwadratu, których współrzędne spełniają układ nierówności x 2 ≤ 4y ≤ 4x. Zdarzenie będące przedmiotem zainteresowania występuje wtedy i tylko wtedy, gdy wybrany punkt M(x;y) należy do figury Ф.

    Zgodnie ze wzorem (8) pożądane prawdopodobieństwo jest równe stosunkowi pola liczby Ф do pola kwadratu:

    Przykład #2. Oboje zgodzili się spotkać w określonym miejscu. Każdy z nich przybywa na wyznaczone miejsce niezależnie od siebie w przypadkowym momencie od czasu i czeka nie dłużej niż na czas. Jakie jest prawdopodobieństwo spotkania w takich warunkach?

    Rozwiązanie. Przez x oznaczmy czas przybycia pierwszej osoby w umówione miejsce, a przez y czas przybycia drugiej osoby. Wynika to z warunku, że x i y niezależnie przechodzą przez przedział czasu. Test polega na ustaleniu godziny przybycia wskazanych osób na miejsce spotkania. Wtedy przestrzeń wyników elementarnych tej próby jest interpretowana jako zbiór wszystkich punktów M(x;y) kwadratu Ω=((x;y) : 0 ≤ x ≤ T, 0 ≤ y ≤ T). Zdarzenie A, które nas interesuje – „spotkanie się wydarzyło” ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy wybrany punkt M(x;y) znajduje się wewnątrz figury Ф, która jest zbiorem wszystkich punktów kwadratu, których współrzędne spełniają nierówność |x – y| ≤ t. Zgodnie ze wzorem (8) pożądane prawdopodobieństwo
    to stosunek pola powierzchni figury Ф do pola kwadratu Ω:


    Analizując wynik uzyskany w tym problemie, widzimy, że prawdopodobieństwo spotkania rośnie wraz ze wzrostem. Niech na przykład T = 1 godzina, t = 20 minut, wtedy , to znaczy częściej niż w połowie przypadków spotkania będą miały miejsce, jeśli będą wielokrotnie negocjowane na powyższych warunkach.

    Przykład #3. Na odcinku l losowo wybierane są dwa punkty.
    P(0 - ? , prawdopodobieństwo, że odległość między nimi jest mniejsza niż k-l

    Przykład #4. Punkt jest losowo wrzucany w okrąg o promieniu r w taki sposób, że dowolne położenie w okręgu jest jednakowo możliwe. Znajdź prawdopodobieństwo, że znajdzie się w kwadracie o boku a umieszczonym w kole.
    Rozwiązanie. Prawdopodobieństwo, że punkt znajdzie się w kwadracie leżącym w kole o boku ale równa się stosunkowi powierzchni kwadratu do powierzchni koła.
    Powierzchnia kwadratowa: Skv \u003d a 2.
    Powierzchnia koła: S = πr 2
    Wtedy prawdopodobieństwo będzie wynosić: p \u003d Skv / S \u003d a 2 / πr 2

    Przykład nr 5. Z przedziału losowo wybierane są dwie liczby rzeczywiste. Znajdź prawdopodobieństwo, że ich suma jest większa niż 4, a ich iloczyn jest mniejszy niż 4.
    Rozwiązanie.
    W sumie jest 5 liczb: 0,1,2,3,4. Prawdopodobieństwo ich wystąpienia p=1/5 = 0,2
    a) prawdopodobieństwo, że ich suma będzie większa niż 4
    Łączna liczba takich wyników to 8:
    1+4, 2+3, 2+4, 3+4 i 4+1, 3+2, 4+2, 4+3
    P = 0,2*0,2*8 = 0,32
    b) produkt ma mniej niż 4.
    Łączna liczba takich wyników to 13:
    0*1, 0*2, 0*3, 0*4, 1*1, 1*2.1*3 i 1*0, 2*0, 3*0, 4*0, 2*1, 3* jeden
    P = 0,2*0,2*13 = 0,52

    Zadania do samodzielnego rozwiązania
    4.3. Po burzy doszło do zerwania drutu na odcinku między 40 a 70 kilometrem linii telefonicznej. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przerwa nastąpiła między 45 a 50 kilometrem linii? (Zakłada się, że prawdopodobieństwo zerwania drutu w dowolnym miejscu jest takie samo).
    Odpowiedź: 1/6.

    4.4. Punkt jest losowo wrzucany w okrąg o promieniu r. Znajdź prawdopodobieństwo, że ten punkt znajduje się w regularnym trójkącie wpisanym w dany okrąg.
    Odpowiedź:

    4.5. Znajdź prawdopodobieństwo, że suma dwóch losowo wybranych liczb z przedziału [-1; 1] jest większe od zera, a ich iloczyn jest ujemny.
    Odpowiedź: 0;25.

    4.6. Podczas szkolenia bojowego n-ta eskadra bombowców otrzymała zadanie zaatakowania „wrogiego” składu ropy. Na terenie składu ropy, który ma kształt prostokąta o bokach 30 i 50 m, znajdują się cztery okrągłe zbiorniki na olej o średnicy 10 m każdy. Znajdź prawdopodobieństwo bezpośredniego trafienia w zbiorniki ropy przez bombę, która uderzyła w terytorium składu ropy, jeśli bomba trafi w dowolny punkt tej bazy z równym prawdopodobieństwem.
    Odpowiedź: π/15.

    4.7. Dwie liczby rzeczywiste x i y są wybierane losowo, tak aby suma ich kwadratów była mniejsza niż 100. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma kwadratów tych liczb jest większa niż 64?
    Odpowiedź: 0;36.

    4.8. Dwaj przyjaciele zgodzili się spotkać między 13:00 a 14:00. Pierwsza osoba, która przyjeżdża, czeka na drugą osobę przez 20 minut, a następnie odchodzi. Określ prawdopodobieństwo spotkania znajomych, jeśli momenty ich przybycia w określonym przedziale czasu są równie prawdopodobne.
    Odpowiedź: 5/9.

    4.9. Do tego samego molo muszą przypłynąć dwa parowce. Czas przybycia obu statków jest jednakowo możliwy w danym dniu. Określ prawdopodobieństwo, że jeden z parowców będzie musiał czekać na zwolnienie nabrzeża, jeśli pierwszy parowiec pozostanie przez godzinę, a drugi przez dwie godziny.
    Odpowiedź: ≈ 0;121.

    4.10. Dwie liczby dodatnie x i y są brane losowo, z których każda nie przekracza dwóch. Znajdź prawdopodobieństwo, że iloczyn x y wynosi co najwyżej jeden, a iloraz y/x wynosi co najwyżej dwa.
    Odpowiedź: ≈ 0;38.

    4.11. W obszarze G ograniczonym elipsoidą , punkt jest ustalany losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że współrzędne (x; y; z) tego punktu spełnią nierówność x 2 + y 2 + z 2 ≤4?
    Odpowiedź: 1/3.

    4.12. Punkt jest wrzucany do prostokąta o wierzchołkach R(-2;0), L(-2;9), M (4;9), N (4;0). Znajdź prawdopodobieństwo, że jego współrzędne spełnią nierówności 0 ≤ y ≤ 2x – x 2 +8.
    Odpowiedź: 2/3.

    4.13. Obszar G jest ograniczony okręgiem x 2 + y 2 = 25, a obszar g jest ograniczony tym okręgiem i parabolą 16x - 3y 2 > 0. Znajdź prawdopodobieństwo wpadnięcia do obszaru g.
    Odpowiedź: ≈ 0;346.

    4.14. Dwie liczby dodatnie x i y są brane losowo, z których każda nie przekracza jednej. Znajdź prawdopodobieństwo, że suma x + y nie przekracza 1, a iloczyn x · y jest nie mniejszy niż 0,09.
    Odpowiedź: ≈ 0;198.

    Polecamy również

    Ładowanie...Ładowanie...