Jakie liczby są naturalne. Studiowanie dokładnego przedmiotu: liczby naturalne to liczby, przykłady i właściwości

Liczby naturalne to jedno z najstarszych pojęć matematycznych.

W odległej przeszłości ludzie nie znali liczb, a kiedy trzeba było liczyć przedmioty (zwierzęta, ryby itp.), robili to inaczej niż my teraz.

Liczbę przedmiotów porównano z częściami ciała, na przykład z palcami dłoni i powiedzieli: „Mam tyle orzechów, ile jest palców na dłoni”.

Z biegiem czasu ludzie zdali sobie sprawę, że pięć orzechów, pięć kóz i pięć zajęcy ma wspólną własność – ich liczba to pięć.

Pamiętać!

Liczby całkowite to liczby, zaczynające się od 1, otrzymywane podczas liczenia obiektów.

1, 2, 3, 4, 5…

najmniejsza liczba naturalna — 1 .

największa liczba naturalna nie istnieje.

Podczas liczenia liczba zero nie jest używana. Dlatego zero nie jest uważane za liczbę naturalną.

Ludzie nauczyli się pisać liczby znacznie później niż liczyć. Przede wszystkim zaczęli przedstawiać jednostkę jednym kijem, potem dwoma kijami – cyfrą 2, trzema – cyfrą 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Potem pojawiły się specjalne znaki do oznaczania liczb – prekursorów współczesnych liczb. Liczby, których używamy do zapisywania liczb, pochodzą z Indii około 1500 lat temu. Arabowie przywieźli je do Europy, dlatego nazywają się cyfry arabskie.

W sumie jest dziesięć cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Cyfry te mogą służyć do zapisania dowolnej liczby naturalnej.

Pamiętać!

seria naturalna jest ciągiem wszystkich liczb naturalnych:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

W szeregu naturalnym każda liczba jest większa od poprzedniej o 1.

Szereg naturalny jest nieskończony, nie ma w nim największej liczby naturalnej.

System liczenia, którego używamy, nazywa się pozycyjny dziesiętny.

Dziesiętny, ponieważ 10 jednostek każdej cyfry tworzy 1 jednostkę najbardziej znaczącej cyfry. Pozycyjna, ponieważ wartość cyfry zależy od jej miejsca w zapisie liczby, czyli od cyfry, w której jest zapisana.

Ważny!

Klasy następujące po miliardzie są nazwane zgodnie z łacińskimi nazwami liczb. Każda następna jednostka zawiera tysiąc poprzednich.

1000 miliardów = 1 000 000 000 000 = 1 bilion („trzy” to po łacinie „trzy”)
1000 bilionów = 1 000 000 000 000 000 = 1 biliard ("quadra" to po łacinie "cztery")
1000 biliardów = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 kwintillion ("quinta" to po łacinie "pięć")

Jednak fizycy odkryli liczbę, która przewyższa liczbę wszystkich atomów (najmniejszych cząstek materii) w całym wszechświecie.

Ten numer ma specjalną nazwę - googol. Googol to liczba, która ma 100 zer.

Liczby całkowite- liczby naturalne to liczby używane do liczenia obiektów. Zbiór wszystkich liczb naturalnych jest czasami nazywany ciągiem naturalnym: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 itd. .

Do zapisywania liczb naturalnych używa się dziesięciu cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Za ich pomocą można wpisać dowolną liczbę naturalną. Ten zapis nazywa się dziesiętnym.

Naturalny ciąg liczb może być kontynuowany w nieskończoność. Nie ma liczby, która byłaby ostatnią, ponieważ zawsze można dodać do ostatniej liczby i otrzyma się liczbę, która jest już większa od żądanej. W tym przypadku mówimy, że w ciągu naturalnym nie ma największej liczby.

Cyfry liczb naturalnych

Pisząc dowolną liczbę za pomocą liczb, decydujące jest miejsce, na którym ten numer się znajduje. Na przykład liczba 3 oznacza: 3 jednostki, jeśli jest ostatnia w liczbie; 3 dziesiątki, jeśli będzie w numerze na przedostatnim miejscu; 4 setki, jeśli będzie na trzecim miejscu od końca.

Ostatnia cyfra oznacza cyfrę jednostek, przedostatnią cyfrę dziesiątek, 3 od końca - cyfrę setek.

Pojedyncze i wielokrotne cyfry

Jeśli w dowolnej cyfrze liczby jest 0, oznacza to, że ta cyfra nie zawiera jednostek.

Liczba 0 oznacza zero. Zero to „brak”.

Zero nie jest liczbą naturalną. Chociaż niektórzy matematycy myślą inaczej.

Jeśli liczba składa się z jednej cyfry, nazywa się ją jednocyfrową, dwucyfrową, trzycyfrową itd.

Liczby, które nie są pojedynczymi cyframi, są również nazywane wieloma cyframi.

Klasy cyfr do odczytywania dużych liczb naturalnych

Aby odczytać duże liczby naturalne, liczbę dzieli się na grupy składające się z trzech cyfr, zaczynając od prawej krawędzi. Grupy te nazywane są klasami.

Pierwsze trzy cyfry od prawej krawędzi to klasa jednostek, następne trzy to klasa tysięcy, następne trzy to klasa milionów.

Milion to tysiąc tysięcy, dla zapisu używają skrótu milion 1 milion = 1 000 000.

Miliard = tysiąc milionów. Do zapisu używany jest skrót miliard 1 miliard = 1 000 000 000.

Przykład pisania i czytania

Liczba ta ma 15 jednostek w klasie miliardy, 389 jednostek w klasie miliony, zero jednostek w klasie tysięcy i 286 jednostek w klasie jednostek.

Ta liczba brzmi tak: 15 miliardów 389 milionów 286.

Czytaj liczby od lewej do prawej. Z kolei wywoływana jest liczba jednostek każdej klasy, a następnie dodawana jest nazwa klasy.

Liczby naturalne są człowiekowi znane i intuicyjne, bo otaczają nas od dzieciństwa. W poniższym artykule podamy podstawowe pojęcie o znaczeniu liczb naturalnych, opiszemy podstawowe umiejętności ich pisania i czytania. Całej części teoretycznej będą towarzyszyć przykłady.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ogólna idea liczb naturalnych

Na pewnym etapie rozwoju ludzkości pojawiło się zadanie policzenia pewnych przedmiotów i wyznaczenia ich ilości, co z kolei wymagało znalezienia narzędzia do rozwiązania tego problemu. Takim narzędziem stały się liczby naturalne. Główny cel liczb naturalnych jest również jasny - dać wyobrażenie o liczbie obiektów lub numerze seryjnym konkretnego obiektu, jeśli mówimy o zestawie.

Logiczne jest, że aby osoba mogła używać liczb naturalnych, konieczne jest posiadanie sposobu ich postrzegania i odtwarzania. Tak więc liczba naturalna może być dźwięczna lub przedstawiona, co jest naturalnym sposobem przekazywania informacji.

Rozważ podstawowe umiejętności wyrażania (czytania) i obrazów (pisania) liczb naturalnych.

Zapis dziesiętny liczby naturalnej

Przypomnij sobie, jak wyświetlane są następujące znaki (wskazujemy je oddzielone przecinkami): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Znaki te nazywane są liczbami.

Przyjmijmy teraz jako zasadę, że przy przedstawianiu (pisanie) dowolnej liczby naturalnej używa się tylko wskazanych cyfr bez udziału jakichkolwiek innych symboli. Niech cyfry przy zapisie liczby naturalnej mają taką samą wysokość, są pisane jedna po drugiej w wierszu i zawsze po lewej stronie jest cyfra różna od zera.

Wskażmy przykłady poprawnego zapisu liczb naturalnych: 703, 881, 13, 333, 1023, 7, 500001. Wcięcia między cyframi nie zawsze są takie same, zostanie to omówione bardziej szczegółowo poniżej podczas studiowania klas liczb. Podane przykłady pokazują, że pisząc liczbę naturalną, nie jest konieczne posiadanie wszystkich cyfr z powyższej serii. Niektóre lub wszystkie z nich mogą się powtórzyć.

Definicja 1

Rekordy postaci: 065 , 0 , 003 , 0791 nie są rekordami liczb naturalnych, ponieważ po lewej stronie jest cyfra 0.

Prawidłowy zapis liczby naturalnej, dokonany z uwzględnieniem wszystkich opisanych wymagań, nazywa się zapis dziesiętny liczby naturalnej.

Ilościowe znaczenie liczb naturalnych

Jak już wspomniano, liczby naturalne mają początkowo m.in. znaczenie ilościowe. Liczby naturalne, jako narzędzie numeracji, są omawiane w temacie porównywania liczb naturalnych.

Zacznijmy od liczb naturalnych, których wpisy pokrywają się z wpisami cyfr, czyli: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

Wyobraź sobie pewien przedmiot, na przykład: Ψ . Możemy zapisać to, co widzimy 1 rzecz. Liczba naturalna 1 jest czytana jako „jeden” lub „jeden”. Termin „jednostka” ma również inne znaczenie: coś, co można rozpatrywać jako całość. Jeśli istnieje zbiór, to każdy jego element można oznaczyć jedynką. Na przykład z wielu myszy każda mysz jest jedną; każdy kwiat z zestawu kwiatów jest jednostką.

Teraz wyobraź sobie: Ψ Ψ . Widzimy jeden obiekt i drugi obiekt, tj. w zapisie będzie to - 2 szt. Liczba naturalna 2 jest czytana jako „dwa”.

Dalej, przez analogię: Ψ Ψ Ψ - 3 pozycje ("trzy"), Ψ Ψ Ψ Ψ - 4 ("cztery"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 5 ("pięć"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 6 ("sześć"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 7 ("siedem"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 8 ("osiem"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 9 (" dziewięć").

Ze wskazanej pozycji funkcją liczby naturalnej jest wskazanie Ilość rzeczy.

Definicja 1

Jeśli wpis liczby zgadza się z wpisem cyfry 0, to taki numer jest nazywany "zero". Zero nie jest liczbą naturalną, ale jest brane pod uwagę razem z innymi liczbami naturalnymi. Zero oznacza nie, tj. zero pozycji oznacza brak.

Jednocyfrowe liczby naturalne

Oczywistym jest fakt, że pisząc każdą z omówionych powyżej liczb naturalnych (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), używamy jednego znaku - jednej cyfry.

Definicja 2

Jednocyfrowa liczba naturalna- liczba naturalna, zapisywana jednym znakiem - jedna cyfra.

Istnieje dziewięć jednocyfrowych liczb naturalnych: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Dwucyfrowe i trzycyfrowe liczby naturalne

Definicja 3

Dwucyfrowe liczby naturalne- liczby naturalne, które zapisuje się dwoma znakami - dwiema cyframi. W takim przypadku użyte liczby mogą być takie same lub różne.

Na przykład liczby naturalne 71, 64, 11 są dwucyfrowe.

Rozważ znaczenie liczb dwucyfrowych. Będziemy opierać się na znanym nam już znaczeniu ilościowym jednowartościowych liczb naturalnych.

Wprowadźmy takie pojęcie jak „dziesięć”.

Wyobraź sobie zestaw przedmiotów, który składa się z dziewięciu i jednego więcej. W tym przypadku możemy mówić o 1 tuzinie („jeden tuzin”) przedmiotów. Jeśli wyobrazisz sobie jeden tuzin i jeszcze jeden, to porozmawiamy o 2 dziesiątkach („dwie dziesiątki”). Dodając jeszcze jedną dziesiątkę do dwóch dziesiątek, otrzymujemy trzy dziesiątki. I tak dalej: dodając jeden tuzin, otrzymujemy cztery dziesiątki, pięć dziesiątek, sześć dziesiątek, siedem dziesiątek, osiem dziesiątek i wreszcie dziewięć dziesiątek.

Spójrzmy na liczbę dwucyfrową jako zestaw liczb jednocyfrowych, z których jedna jest zapisana po prawej stronie, a druga po lewej. Liczba po lewej wskaże liczbę dziesiątek w liczbie naturalnej, a liczba po prawej wskaże liczbę jedynek. W przypadku, gdy liczba 0 znajduje się po prawej stronie, mówimy o braku jednostek. Powyższe jest ilościowym znaczeniem naturalnych liczb dwucyfrowych. W sumie jest ich 90.

Definicja 4

Trzycyfrowe liczby naturalne- liczby naturalne, które zapisuje się trzema znakami - trzema cyframi. Liczby mogą być różne lub powtarzać się w dowolnej kombinacji.

Na przykład 413, 222, 818, 750 to trzycyfrowe liczby naturalne.

Aby zrozumieć ilościowe znaczenie trójwartościowych liczb naturalnych, wprowadzamy pojęcie „sto”.

Definicja 5

Sto (1 sto) to zestaw dziesięciu dziesiątek. Sto plus sto równa się dwieście. Dodaj kolejną setkę i zdobądź 3 setki. Dodając stopniowo sto, otrzymujemy: czterysta pięćset sześćset siedemset osiemset dziewięćset.

Rozważmy zapis samej liczby trzycyfrowej: zawarte w niej jednocyfrowe liczby naturalne są zapisywane jedna po drugiej od lewej do prawej. Pierwsza cyfra po prawej stronie wskazuje liczbę jednostek; kolejna jednocyfrowa liczba po lewej stronie - o liczbę dziesiątek; skrajna lewa cyfra to liczba setek. Jeśli we wpisie bierze udział cyfra 0, oznacza to brak jednostek i / lub dziesiątek.

Tak więc trzycyfrowa liczba naturalna 402 oznacza: 2 jednostki, 0 dziesiątek (nie ma dziesiątek, które nie są połączone w setki) i 4 setki.

Przez analogię podana jest definicja liczb naturalnych czterocyfrowych, pięciocyfrowych itd.

Wielowartościowe liczby naturalne

Z powyższego można teraz przejść do definicji wielowartościowych liczb naturalnych.

Definicja 6

Wielowartościowe liczby naturalne- liczby naturalne, które są zapisywane przy użyciu dwóch lub więcej znaków. Wielocyfrowe liczby naturalne to liczby dwucyfrowe, trzycyfrowe itd.

Tysiąc to zestaw zawierający dziesięćset; milion składa się z tysiąca; miliard - tysiąc milionów; jeden bilion to tysiąc miliardów. Nawet większe zestawy również mają nazwy, ale ich użycie jest rzadkie.

Podobnie jak w powyższej zasadzie, każdą wielocyfrową liczbę naturalną możemy uznać za zbiór jednocyfrowych liczb naturalnych, z których każda znajdując się w określonym miejscu wskazuje na obecność i liczbę jednostek, dziesiątek, setek, tysięcy, dziesiątek tysięcy, setek tysięcy, milionów, dziesiątek milionów , setek milionów, miliardów i tak dalej (odpowiednio od prawej do lewej).

Na przykład liczba wielocyfrowa 4 912 305 zawiera: 5 jednostek, 0 dziesiątek, trzysta, 2 tysiące, 1 dziesiątki tysięcy, 9 setek tysięcy i 4 miliony.

Podsumowując, zbadaliśmy umiejętność grupowania jednostek w różne zbiory (dziesiątki, setki itd.) i zobaczyliśmy, że liczby w zapisie wielocyfrowej liczby naturalnej są oznaczeniem liczby jednostek w każdym z takich zbiorów.

Czytanie liczb naturalnych, zajęcia

W powyższej teorii oznaczyliśmy nazwy liczb naturalnych. W tabeli 1 wskazujemy, jak poprawnie używać nazw jednocyfrowych liczb naturalnych w mowie i w notacji alfabetycznej:

Numer	rodzaj męski	Kobiecy	Płeć nijaka
1 2 3 4 5 6 7 8 9	Jeden Dwa Trzy Cztery Pięć Sześć Siedem Osiem Dziewięć	Jeden Dwa Trzy Cztery Pięć Sześć Siedem Osiem Dziewięć	Jeden Dwa Trzy Cztery Pięć Sześć Siedem Osiem Dziewięć

Numer	mianownik	Dopełniacz	Celownik	Biernik	Przypadek instrumentalny	Przyimkowy
1 2 3 4 5 6 7 8 9	Jeden Dwa Trzy Cztery Pięć Sześć Siedem Osiem Dziewięć	Jeden Dwa Trzy cztery Pięć sześć Pół osiem Dziewięć	do jednego dwa Trem cztery Pięć sześć Pół osiem Dziewięć	Jeden Dwa Trzy Cztery Pięć Sześć Siedem Osiem Dziewięć	Jeden dwa Trzy cztery Pięć sześć rodzina osiem Dziewięć	O jednym Około dwóch Około trzech Około czterech Ponownie Około szóstej Około siedmiu Około ósmej Około dziewiątej

Aby kompetentnie czytać i pisać liczby dwucyfrowe, musisz nauczyć się danych z tabeli 2:

Numer	Męski, żeński i nijaki
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	Dziesięć Jedenaście Dwanaście Trzynaście Czternaście Piętnaście Szesnaście Siedemnaście Osiemnaście Dziewiętnaście 20 Trzydzieści czterdzieści Pięćdziesiąt Sześćdziesiąt Siedemdziesiąt Osiemdziesiąt Dziewięćdziesiąt

Numer	mianownik	Dopełniacz	Celownik	Biernik	Przypadek instrumentalny	Przyimkowy
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	Dziesięć Jedenaście Dwanaście Trzynaście Czternaście Piętnaście Szesnaście Siedemnaście Osiemnaście Dziewiętnaście 20 Trzydzieści czterdzieści Pięćdziesiąt Sześćdziesiąt Siedemdziesiąt Osiemdziesiąt Dziewięćdziesiąt	dziesięć Jedenaście dwanaście trzynaście czternaście piętnaście szesnaście siedemnaście osiemnaście dziewiętnaście 20 trzydzieści Sroka pięćdziesiąt sześćdziesiąt Siedemdziesiąt osiemdziesiąt dziewięćdziesiąt	dziesięć Jedenaście dwanaście trzynaście czternaście piętnaście szesnaście siedemnaście osiemnaście dziewiętnaście 20 trzydzieści Sroka pięćdziesiąt sześćdziesiąt Siedemdziesiąt osiemdziesiąt dziewięćdziesiąt	Dziesięć Jedenaście Dwanaście Trzynaście Czternaście Piętnaście Szesnaście Siedemnaście Osiemnaście Dziewiętnaście 20 Trzydzieści czterdzieści Pięćdziesiąt Sześćdziesiąt Siedemdziesiąt Osiemdziesiąt Dziewięćdziesiąt	Dziesięć Jedenaście dwanaście trzynaście czternaście piętnaście szesnaście siedemnaście osiemnaście dziewiętnaście 20 trzydzieści Sroka pięćdziesiąt sześćdziesiąt Siedemdziesiąt osiemdziesiąt Dziewięćdziesiąt	Około dziesięć Około jedenastej Około dwunastu Około trzynastu Około czternastu Około piętnastu Około szesnastu Około siedemnastego roku życia Około osiemnastu lat Około dziewiętnastu Około dwadzieścia Około trzydziestu O sroka Około pięćdziesięciu Około sześćdziesiąt Około siedemdziesiąt Około osiemdziesięciu Około dziewięćdziesiąt

Aby odczytać inne naturalne liczby dwucyfrowe, użyjemy danych z obu tabel, rozważmy to na przykładzie. Powiedzmy, że musimy odczytać naturalną dwucyfrową liczbę 21. Ta liczba zawiera 1 jednostkę i 2 dziesiątki, czyli 20 i 1. Wracając do tabel, wskazaną liczbę odczytujemy jako „dwadzieścia jeden”, natomiast połączenia „i” między słowami nie trzeba wymawiać. Załóżmy, że musimy użyć wskazanej liczby 21 w jakimś zdaniu, wskazując liczbę obiektów w przypadku dopełniacza: „nie ma 21 jabłek”. W takim przypadku wymowa będzie brzmieć tak: „nie ma dwudziestu jeden jabłek”.

Podajmy inny przykład dla jasności: liczbę 76, którą czyta się jako „siedemdziesiąt sześć” i na przykład „siedemdziesiąt sześć ton”.

Numer	Mianownikowy	Dopełniacz	Celownik	Biernik	Przypadek instrumentalny	Przyimkowy
100 200 300 400 500 600 700 800 900	Sto Dwieście Trzysta Czterysta Pięćset Sześćset Siedemset Osiemset dziewięćset	Sta dwieście trzysta czterysta pięćset sześćset Siedemset osiemset dziewięćset	Sta dwieście Tremstam czterysta pięćset Sześćset siedemset osiemset Dziewięćset	Sto Dwieście Trzysta Czterysta Pięćset Sześćset Siedemset Osiemset dziewięćset	Sta dwieście Trzysta czterysta pięćset sześćset siedemset osiemset Dziewięćset	Około setki Około dwustu Około trzystu Około czterystu Około pięciuset Około sześciuset Około siedmiuset Około ośmiuset Około dziewięćset

Aby w pełni odczytać trzycyfrową liczbę, korzystamy również z danych wszystkich określonych tabel. Na przykład, biorąc pod uwagę liczbę naturalną 305 . Ta liczba odpowiada 5 jednostkom, 0 dziesiątkom i 3 setkom: 300 i 5. Biorąc za podstawę tabelę, czytamy: „trzysta pięć” lub w deklinacji według przypadków, na przykład: „trzysta pięć metrów”.

Przeczytajmy jeszcze jedną liczbę: 543. Zgodnie z zasadami tabel wskazana liczba będzie brzmieć tak: „pięćset czterdzieści trzy” lub w przypadku deklinacji, na przykład: „nie ma pięciuset czterdziestu trzech rubli”.

Przejdźmy do ogólnej zasady odczytywania wielocyfrowych liczb naturalnych: aby odczytać wielocyfrową liczbę, należy ją rozbić od prawej do lewej na grupy po trzy cyfry, a skrajna lewa grupa może mieć 1, 2 lub 3 cyfry . Takie grupy nazywane są klasami.

Skrajnie prawicowa klasa to klasa jednostek; potem kolejna klasa, po lewej - klasa tysięcy; dalej - klasa milionów; potem jest klasa miliardów, a po niej klasa bilionów. Następujące klasy również mają nazwę, ale liczby naturalne składające się z dużej liczby znaków (16, 17 i więcej) są rzadko używane w czytaniu, dość trudno jest je dostrzec ze słuchu.

Dla wygody odbioru zapisu, klasy oddzielone są od siebie małym wcięciem. Na przykład 31 013 736 , 134 678 , 23 476 009 434 , 2 533 467 001 222 .

Klasa kwintylion	Klasa miliard	Klasa milion	Tysiąc klas	Klasa jednostki
			134	678
		31	013	736
	23	476	009	434
2	533	467	001	222

Aby odczytać numer wielocyfrowy, dzwonimy kolejno pod numery, które go tworzą (od lewej do prawej, według klasy, dodając nazwę klasy). Nazwa klasy jednostek nie jest wymawiana, a klasy składające się na trzy cyfry 0 również nie są wymawiane. Jeśli jedna lub dwie cyfry 0 są obecne po lewej stronie w jednej klasie, to nie są one w żaden sposób używane podczas czytania. Na przykład 054 jest odczytywane jako „pięćdziesiąt cztery” lub 001 jako „jeden”.

Przykład 1

Przyjrzyjmy się szczegółowo odczytaniu liczby 2 533 467 001 222:

Liczbę 2 czytamy jako składnik klasy bilionów - „dwa”;

Dodając nazwę klasy, otrzymujemy: „dwa biliony”;

Czytamy następującą liczbę, dodając nazwę odpowiedniej klasy: „pięćset trzydzieści trzy miliardy”;

Kontynuujemy analogicznie, czytając następną klasę po prawej: „czterysta sześćdziesiąt siedem milionów”;

W następnej klasie widzimy dwie cyfry 0 znajdujące się po lewej stronie. Zgodnie z powyższymi zasadami odczytu cyfry 0 są odrzucane i nie biorą udziału w odczycie zapisu. Następnie otrzymujemy: „tysiąc”;

Ostatnią klasę jednostek czytamy bez dodawania jej nazwy – „dwieście dwadzieścia dwa”.

Tak więc liczba 2 533 467 001 222 będzie brzmiała tak: dwa biliony pięćset trzydzieści trzy miliardy czterysta sześćdziesiąt siedem milionów tysiąc dwieście dwadzieścia dwa. Stosując tę zasadę, możemy również odczytać inne podane liczby:

31 013 736 - trzydzieści jeden milionów trzynaście tysięcy siedemset trzydzieści sześć;

134 678 - sto trzydzieści cztery tysiące sześćset siedemdziesiąt osiem;

23 476 009 434 - dwadzieścia trzy miliardy czterysta siedemdziesiąt sześć milionów dziewięć tysięcy czterysta trzydzieści cztery.

Zatem podstawą prawidłowego odczytu liczb wielocyfrowych jest umiejętność dzielenia liczby wielocyfrowej na klasy, znajomość odpowiadających im nazw oraz rozumienie zasady odczytywania liczb dwu- i trzycyfrowych.

Jak już wynika z powyższego, jego wartość zależy od pozycji, na której znajduje się cyfra w zapisie numeru. To znaczy na przykład liczba 3 w liczbie naturalnej 314 oznacza liczbę setek, a mianowicie 3 setki. Liczba 2 to liczba dziesiątek (1 dziesięć), a liczba 4 to liczba jednostek (4 jednostki). W tym przypadku powiemy, że liczba 4 jest w jedynkach i jest wartością jednostek umieszczonych w danej liczbie. Liczba 1 znajduje się w miejscu dziesiątek i służy jako wartość miejsca dziesiątek. Liczba 3 znajduje się w miejscu setek i jest wartością miejsca setek.

Definicja 7

Wypisać to pozycja cyfry w zapisie liczby naturalnej, a także wartość tej cyfry, którą określa jej pozycja w danej liczbie.

Wyładowania mają swoje własne nazwy, używaliśmy ich już powyżej. Od prawej do lewej następują cyfry: jednostki, dziesiątki, setki, tysiące, dziesiątki tysięcy itd.

Dla wygody zapamiętywania możesz skorzystać z poniższej tabeli (podajemy 15 cyfr):

Wyjaśnijmy ten szczegół: liczba cyfr w danej liczbie wielocyfrowej jest taka sama, jak liczba znaków we wpisie liczby. Na przykład ta tabela zawiera nazwy wszystkich cyfr liczby składającej się z 15 znaków. Kolejne wyładowania również mają nazwy, ale są używane niezwykle rzadko i są bardzo niewygodne do słuchania.

Przy pomocy takiej tabeli można rozwinąć umiejętność wyznaczania rangi poprzez wpisanie do tabeli danej liczby naturalnej tak, aby skrajna prawa cyfra była zapisana w jednostkach cyfra, a następnie w każdej cyfrze po cyfrze. Na przykład zapiszmy wielocyfrową liczbę naturalną 56 402 513 674 w ten sposób:

Zwróć uwagę na liczbę 0, znajdującą się w wyładowaniu dziesiątek milionów - oznacza to brak jednostek tej kategorii.

Wprowadzamy również pojęcia najniższej i najwyższej cyfry liczby wielocyfrowej.

Definicja 8

Najniższa (młodsza) pozycja każda wielowartościowa liczba naturalna jest cyfrą jednostek.

Najwyższa kategoria (senior) dowolnej wielocyfrowej liczby naturalnej - cyfra odpowiadająca skrajnej lewej cyfrze w zapisie danej liczby.

Na przykład w liczbie 41 781: najniższa ranga to ranga jednostek; najwyższa ranga to cyfra dziesiątek tysięcy.

Wynika z tego logicznie, że można mówić o starszeństwie cyfr względem siebie. Każda kolejna cyfra przy przechodzeniu od lewej do prawej jest niższa (młodsza) niż poprzednia. I odwrotnie: przy przechodzeniu od prawej do lewej każda następna cyfra jest wyższa (starsza) od poprzedniej. Na przykład cyfra tysięcy jest starsza niż cyfra setek, ale młodsza niż cyfra milionów.

Wyjaśnijmy, że przy rozwiązywaniu niektórych praktycznych przykładów nie używa się samej liczby naturalnej, ale sumy wyrazów bitowych danej liczby.

Krótko o systemie liczb dziesiętnych

Definicja 9

Notacja- metoda pisania liczb za pomocą znaków.

Systemy liczb pozycyjnych- te, w których wartość cyfry w liczbie zależy od jej pozycji w zapisie liczby.

Zgodnie z tą definicją możemy powiedzieć, że badając liczby naturalne i sposób ich zapisu powyżej posłużyliśmy się systemem liczb pozycyjnych. Numer 10 zajmuje tutaj szczególne miejsce. Ciągle liczymy w dziesiątkach: dziesięć jednostek daje dziesięć, dziesięć dziesiątek łączy się w sto i tak dalej. Liczba 10 służy jako podstawa tego systemu liczbowego, a sam system jest również nazywany dziesiętnym.

Oprócz tego istnieją inne systemy liczbowe. Na przykład informatyka wykorzystuje system binarny. Kiedy śledzimy czas, używamy systemu liczb sześćdziesiętnych.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Matematyka wyłoniła się z filozofii ogólnej około VI wieku p.n.e. e. i od tego momentu rozpoczęła się jej zwycięski marsz dookoła świata. Każdy etap rozwoju wnosił coś nowego – ewoluowało liczenie elementarne, przekształcało się w rachunek różniczkowy i całkowy, zmieniały się wieki, formuły stawały się coraz bardziej zagmatwane, a nadszedł moment, kiedy „zaczęła się najbardziej skomplikowana matematyka – zniknęły z niej wszystkie liczby”. Ale jaka była podstawa?

Początek czasu

Liczby naturalne pojawiły się wraz z pierwszymi działaniami matematycznymi. Kiedyś kolce, dwa kolce, trzy kolce... Pojawiły się dzięki indyjskim naukowcom, którzy wydedukowali pierwszy pozycyjny

Słowo „pozycjonowanie” oznacza, że położenie każdej cyfry w liczbie jest ściśle określone i odpowiada jej kategorii. Na przykład liczby 784 i 487 to te same liczby, ale liczby nie są równoważne, ponieważ pierwsza obejmuje 7 setek, a druga tylko 4. Innowację Indian podchwycili Arabowie, którzy przynieśli liczby do forma, którą znamy teraz.

W czasach starożytnych liczbom nadawano mistyczne znaczenie, Pitagoras wierzył, że liczba stanowi podstawę stworzenia świata wraz z głównymi elementami - ogniem, wodą, ziemią, powietrzem. Jeśli rozważamy wszystko tylko od strony matematycznej, to czym jest liczba naturalna? Ciało liczb naturalnych jest oznaczone jako N i jest nieskończonym ciągiem liczb całkowitych i dodatnich: 1, 2, 3, … + ∞. Zero jest wykluczone. Służy głównie do liczenia sztuk i wskazywania kolejności.

Co jest w matematyce? aksjomaty Peano

Pole N jest ciałem bazowym, na którym opiera się matematyka elementarna. Z biegiem czasu pola liczb całkowitych, wymierne,

Praca włoskiego matematyka Giuseppe Peano umożliwiła dalszą strukturyzację arytmetyki, osiągnęła jej formalność i utorowała drogę do dalszych wniosków wykraczających poza dziedzinę N.

Co to jest liczba naturalna zostało wyjaśnione wcześniej prostym językiem, poniżej rozważymy matematyczną definicję opartą na aksjomatach Peano.

Jeden jest uważany za liczbę naturalną.
Liczba następująca po liczbie naturalnej jest liczbą naturalną.
Nie ma liczby naturalnej przed jedynką.
Jeśli liczba b występuje zarówno po liczbie c, jak i po liczbie d, to c=d.
Aksjomat indukcji, który z kolei pokazuje, czym jest liczba naturalna: jeśli jakieś twierdzenie zależne od parametru jest prawdziwe dla liczby 1, to zakładamy, że działa również dla liczby n z ciała liczb naturalnych N. Wtedy twierdzenie to jest również prawdziwe dla n =1 z ciała liczb naturalnych N.

Podstawowe operacje na ciele liczb naturalnych

Ponieważ pole N stało się pierwszym dla obliczeń matematycznych, odnoszą się do niego zarówno dziedziny definicji, jak i zakresy wartości szeregu operacji. Są zamknięte i nie. Główną różnicą jest to, że zamknięte operacje gwarantują pozostawienie wyniku w zbiorze N, bez względu na to, jakie liczby są zaangażowane. Wystarczy, że są naturalne. Wynik pozostałych interakcji liczbowych nie jest już tak jednoznaczny i bezpośrednio zależy od tego, jakiego rodzaju liczby są zawarte w wyrażeniu, ponieważ może to być sprzeczne z główną definicją. Czyli operacje zamknięte:

dodawanie - x + y = z, gdzie x, y, z są zawarte w polu N;
mnożenie - x * y = z, gdzie x, y, z są zawarte w polu N;
potęgowanie - x y , gdzie x, y są zawarte w polu N.

Pozostałe operacje, których wynik może nie istnieć w kontekście definicji „co to jest liczba naturalna”, to:

Własności liczb należących do pola N

Całe dalsze rozumowanie matematyczne będzie oparte na następujących właściwościach, najbardziej trywialnych, ale nie mniej ważnych.

Przemienność dodawania to x + y = y + x, gdzie liczby x, y są zawarte w polu N. Lub dobrze znane „suma nie zmienia się od zmiany miejsc wyrazów”.
Przemienność mnożenia to x * y = y * x, gdzie liczby x, y są zawarte w polu N.
Asocjacyjna własność dodawania to (x + y) + z = x + (y + z), gdzie x, y, z są zawarte w polu N.
Asocjacyjna własność mnożenia to (x * y) * z = x * (y * z), gdzie liczby x, y, z są zawarte w polu N.
własność rozkładu - x (y + z) = x * y + x * z, gdzie liczby x, y, z są zawarte w polu N.

Tabela pitagorejska

Jednym z pierwszych kroków w poznawaniu całej struktury matematyki elementarnej przez uczniów, po tym, jak sami zrozumieli, jakie liczby nazywamy naturalnymi, jest tablica pitagorejska. Można go rozpatrywać nie tylko z punktu widzenia nauki, ale także jako cenny zabytek naukowy.

Ta tabliczka mnożenia przeszła wiele zmian w czasie: usunięto z niej zero, a liczby od 1 do 10 oznaczają same siebie, bez uwzględniania kolejności (setki, tysiące…). Jest to tabela, w której nagłówki wierszy i kolumn są liczbami, a zawartość komórek ich przecięcia jest równa ich iloczynowi.

W praktyce nauczania w ostatnich dziesięcioleciach pojawiła się potrzeba zapamiętywania tablicy pitagorejskiej „w porządku”, to znaczy zapamiętywanie było pierwsze. Mnożenie przez 1 zostało wykluczone, ponieważ wynik wynosił 1 lub więcej. Tymczasem w tabeli gołym okiem widać wzór: iloczyn liczb rośnie o jeden krok, który jest równy tytułowi wiersza. Zatem drugi czynnik pokazuje nam, ile razy musimy brać pierwszy, aby uzyskać pożądany produkt. Ten system jest znacznie wygodniejszy niż ten praktykowany w średniowieczu: nawet rozumiejąc, czym jest liczba naturalna i jak bardzo jest trywialna, ludziom udało się skomplikować codzienne liczenie za pomocą systemu opartego na potęgach dwójki.

Podzbiór jako kolebka matematyki

W chwili obecnej ciało liczb naturalnych N jest traktowane tylko jako jeden z podzbiorów liczb zespolonych, co nie czyni ich mniej wartościowymi w nauce. Liczba naturalna to pierwsza rzecz, której dziecko uczy się, studiując siebie i otaczający go świat. Jeden palec, dwa palce… Dzięki niemu człowiek rozwija logiczne myślenie, a także umiejętność ustalania przyczyny i wywnioskowania skutku, torując drogę do wielkich odkryć.

Definicja

Liczby naturalne nazywane są liczbami przeznaczonymi do liczenia przedmiotów. Do rejestrowania liczb naturalnych używa się 10 cyfr arabskich (0–9), które stanowią podstawę systemu liczb dziesiętnych ogólnie przyjętego w obliczeniach matematycznych.

Ciąg liczb naturalnych

Liczby naturalne tworzą szereg rozpoczynający się od 1 i obejmujący zbiór wszystkich dodatnich liczb całkowitych. Taki ciąg składa się z liczb 1,2,3,... . Oznacza to, że w serii naturalnej:

Jest najmniejsza liczba i nie ma największej.
Każda kolejna liczba jest większa od poprzedniej o 1 (wyjątkiem jest sama jednostka).
Gdy liczby zbliżają się do nieskończoności, rosną w nieskończoność.

Czasami do ciągu liczb naturalnych wprowadza się również 0. Jest to dopuszczalne, a wtedy mówi się o przedłużony naturalna seria.

Klasy liczb naturalnych

Każda cyfra liczby naturalnej wyraża pewną cyfrę. Ostatnia to zawsze liczba jednostek w liczbie, pierwsza to liczba dziesiątek, trzecia od końca to liczba setek, czwarta to liczba tysięcy i tak dalej.

w liczbie 276: 2 setki, 7 dziesiątek, 6 jednostek
w liczbie 1098: 1 tys., 9 dziesiątek, 8 jedynek; nie ma tu miejsca setek, ponieważ jest wyrażone jako zero.

W przypadku dużych i bardzo dużych liczb widać stały trend (jeśli przyjrzysz się liczbie od prawej do lewej, czyli od ostatniej cyfry do pierwszej):

ostatnie trzy cyfry liczby to jednostki, dziesiątki i setki;
poprzednie trzy to jednostki, dziesiątki i setki tysięcy;
trzy przed nimi (czyli siódma, ósma i dziewiąta cyfra liczby licząc od końca) to jednostki, dziesiątki i setki milionów itd.

Oznacza to, że za każdym razem mamy do czynienia z trzema cyframi, czyli jednostkami, dziesiątkami i setkami większej nazwy. Takie grupy tworzą zajęcia. A jeśli z pierwszymi trzema klasami masz w życiu codziennym mniej lub bardziej do czynienia, to należy wymienić inne, bo nie wszyscy pamiętają ich imiona na pamięć.

Czwarta klasa, następująca po klasie milionów i reprezentująca liczby 10-12 cyfr, nazywana jest miliardem (lub miliardem);
5 klasa - bilion;
6 klasa - biliard;
7 klasa - kwintyliony;
8 klasa - sekstylion;
9 klasa - septillion.

Dodawanie liczb naturalnych

Dodawanie liczb naturalnych to operacja arytmetyczna, która pozwala uzyskać liczbę zawierającą tyle jednostek, ile jest w dodanych do siebie liczbach.

Znak dodawania to znak „+”. Liczby dodawane nazywane są terminami, wynik nazywany jest sumą.

Małe liczby są dodawane (sumowane) ustnie, na piśmie takie działania są pisane w linii.

Liczby wielocyfrowe, które trudno dodać w umyśle, są zwykle dodawane w kolumnie. W tym celu liczby są zapisywane jedna pod drugą, wyrównane do ostatniej cyfry, to znaczy zapisują cyfrę jednostek pod cyfrą jednostek, cyfrę setek pod cyfrą setek i tak dalej. Następnie musisz dodać cyfry parami. Jeżeli dodawanie cyfr następuje przy przejściu przez dziesiątkę, to ta dziesiątka jest ustalana jako jednostka nad cyfrą po lewej stronie (czyli następującą po niej) i jest dodawana razem z cyframi tej cyfry.

Jeśli do kolumny nie zostaną dodane 2, ale więcej liczb, to przy sumowaniu cyfr kategorii niepotrzebne może być nie 1 tuzin, ale kilka. W takim przypadku liczba takich dziesiątek jest przenoszona do następnej cyfry.

Odejmowanie liczb naturalnych

Odejmowanie jest operacją arytmetyczną, odwrotnością dodawania, która sprowadza się do tego, że przy danej ilości i jednym z wyrazów trzeba znaleźć inny - wyraz nieznany. Liczba, od której jest odejmowana, nazywana jest odjemną; liczba, która jest odejmowana, to odjęcie. Wynik odejmowania nazywamy różnicą. Znak oznaczający operację odejmowania to „-”.

W przejściu do dodawania odjęcie i różnica zamieniają się w wyrazy, a pomniejszone w sumę. Dodawanie zwykle sprawdza poprawność wykonanego odejmowania i odwrotnie.

Tutaj 74 to odjemna, 18 to odjemna, 56 to różnica.

Warunkiem wstępnym odejmowania liczb naturalnych jest: odjemna musi być z konieczności większa niż odjemna. Tylko w tym przypadku wynikowa różnica będzie również liczbą naturalną. Jeśli operacja odejmowania jest przeprowadzana dla rozszerzonego ciągu naturalnego, to dopuszcza się, aby odjemna była równa odjemnikowi. A wynik odejmowania w tym przypadku wyniesie 0.

Uwaga: jeśli odejmowanie jest równe zero, to operacja odejmowania nie zmienia wartości odcinki.

Odejmowanie liczb wielocyfrowych odbywa się zwykle w kolumnie. Zapisz liczby w taki sam sposób, jak przy dodawaniu. Odejmowanie jest wykonywane dla odpowiednich cyfr. Jeśli okaże się, że odjemna jest mniejsza niż odjemna, to jedna jest brana z poprzedniej (znajdującej się po lewej) cyfry, która po przeniesieniu naturalnie zmienia się na 10. Tę dziesiątkę sumuje się liczbą zmniejszonej podana cyfra, a następnie odjęta. Ponadto, odejmując następną cyfrę, należy wziąć pod uwagę, że zmniejszona liczba spadła o 1 mniej.

Iloczyn liczb naturalnych

Iloczyn (lub mnożenie) liczb naturalnych jest operacją arytmetyczną, polegającą na znalezieniu sumy dowolnej liczby identycznych wyrazów. Aby zapisać operację mnożenia, użyj znaku „·” (czasami „×” lub „*”). Na przykład: 3 5=15.

Czynność mnożenia jest niezbędna, gdy konieczne jest dodanie dużej liczby wyrazów. Na przykład, jeśli chcesz dodać liczbę 4 7 razy, mnożenie 4 przez 7 jest łatwiejsze niż dodawanie: 4+4+4+4+4+4+4.

Liczby, które są mnożone, nazywane są czynnikami, wynik mnożenia jest iloczynem. W związku z tym termin „praca” może, w zależności od kontekstu, wyrażać zarówno proces mnożenia, jak i jego wynik.

Liczby wielocyfrowe są mnożone w kolumnie. Dla tej liczby zapisuje się w taki sam sposób jak dla dodawania i odejmowania. Zaleca się napisać najpierw (powyżej), która z 2 liczb jest dłuższa. W takim przypadku proces mnożenia będzie prostszy, a przez to bardziej racjonalny.

Podczas mnożenia w kolumnie cyfry każdej z cyfr drugiej liczby są kolejno mnożone przez cyfry pierwszej liczby, zaczynając od jej końca. Po znalezieniu pierwszej takiej pracy zapisują liczbę jednostek i pamiętają o liczbie dziesiątek. Mnożąc cyfrę drugiej liczby przez następną cyfrę pierwszej liczby, do produktu dodawana jest pamiętana liczba. I znowu zapisują liczbę jednostek uzyskanego wyniku i pamiętają liczbę dziesiątek. Mnożąc przez ostatnią cyfrę 1. liczby, uzyskana w ten sposób liczba jest zapisywana w całości.

Wyniki mnożenia cyfr drugiej cyfry drugiej liczby są zapisywane w drugim rzędzie, przesuwając ją o 1 komórkę w prawo. Itp. W rezultacie uzyskana zostanie „drabina”. Wszystkie powstałe rzędy liczb należy dodać (zgodnie z zasadą dodawania w kolumnie). Puste komórki należy traktować jako wypełnione zerami. Otrzymana suma jest produktem końcowym.

Notatka

Iloczyn dowolnej liczby naturalnej przez 1 (lub 1 przez liczbę) jest równy samej liczbie. Na przykład: 376 1=376; 1 86=86.
Gdy jeden z czynników lub oba czynniki są równe 0, to iloczyn jest równy 0. Na przykład: 32,0=0; 0 845=845; 0 0=0.

Podział liczb naturalnych

Dzielenie nazywamy operacją arytmetyczną, za pomocą której, zgodnie ze znanym iloczynem i jednym z czynników, można znaleźć inny – nieznany – czynnik. Dzielenie jest odwrotnością mnożenia i służy do sprawdzenia, czy mnożenie zostało wykonane poprawnie (i odwrotnie).

Dzielona liczba nazywana jest podzielną; liczba, przez którą jest dzielony, jest dzielnikiem; wynik dzielenia nazywamy ilorazem. Znak podziału to ":" (czasami, rzadziej - "÷").

Tutaj 48 to dywidenda, 6 to dzielnik, a 8 to iloraz.

Nie wszystkie liczby naturalne można podzielić między sobą. W takim przypadku dzielenie odbywa się z resztą. Polega ona na tym, że dla dzielnika taki czynnik dobiera się tak, aby jego iloczyn przez dzielnik był liczbą jak najbardziej zbliżoną wartością do dywidendy, ale od niej mniejszą. Dzielnik mnoży się przez ten czynnik i odejmuje od dywidendy. Różnica będzie stanowić pozostałą część podziału. Iloczyn dzielnika przez czynnik nazywany jest ilorazem niepełnym. Uwaga: reszta musi być mniejsza niż wybrany mnożnik! Jeśli reszta jest większa, oznacza to, że mnożnik został wybrany niepoprawnie i należy go zwiększyć.

Wybieramy czynnik dla 7. W tym przypadku liczba ta wynosi 5. Znajdujemy niepełny iloraz: 7 5 \u003d 35. Oblicz resztę: 38-35=3. Od 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

Liczby wielocyfrowe są podzielone na kolumny. Aby to zrobić, dzielna i dzielnik są zapisywane obok siebie, oddzielając dzielnik pionową i poziomą linią. W dzielnie wybierana jest pierwsza cyfra lub kilka pierwszych cyfr (po prawej), która powinna być liczbą minimalnie wystarczającą do dzielenia przez dzielnik (tzn. ta liczba musi być większa od dzielnika). Dla tej liczby wybierany jest iloraz niepełny, jak opisano w regule dzielenia z resztą. Pod dzielnikiem zapisana jest liczba mnożnika użytego do obliczenia ilorazu cząstkowego. Niepełny iloraz jest zapisywany pod podzieloną liczbą, wyrównany do prawej. Znajdź ich różnicę. Kolejna cyfra dywidendy jest usuwana poprzez wpisanie jej obok tej różnicy. Dla otrzymanej liczby ponownie znajduje się niepełny iloraz, wpisując pod dzielnikiem liczbę wybranego czynnika, obok poprzedniej. Itp. Takie działania są wykonywane do wyczerpania numerów dywidendy. Następnie podział uważa się za zakończony. Jeśli dzielna i dzielnik zostaną podzielone w całości (bez reszty), to ostatnia różnica da zero. W przeciwnym razie zostanie zwrócona reszta numeru.

Potęgowanie

Potęgowanie to operacja matematyczna polegająca na pomnożeniu dowolnej liczby identycznych liczb. Na przykład: 2 2 2 2.

Takie wyrażenia są pisane jako: x,

gdzie a jest liczbą pomnożoną przez siebie x to liczba takich czynników.

Liczby naturalne pierwsze i złożone

Dowolną liczbę naturalną, z wyjątkiem 1, można podzielić przez co najmniej 2 liczby - jedną i samą siebie. Na podstawie tego kryterium liczby naturalne dzieli się na pierwsze i złożone.

Liczby pierwsze to liczby, które są podzielne tylko przez 1 i samą siebie. Liczby podzielne przez więcej niż te 2 liczby nazywane są liczbami złożonymi. Jednostka podzielna sama przez się nie jest ani liczbą pierwszą, ani złożoną.

Liczby są pierwsze: 2,3,5,7,11,13,17,19 itd. Przykłady liczb złożonych: 4 (podzielne przez 1,2,4), 6 (podzielne przez 1,2,3,6), 20 (podzielne przez 1,2,4,5,10,20).

Dowolną liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki pierwsze. W tym przypadku czynniki pierwsze są rozumiane jako ich dzielniki, które są liczbami pierwszymi.

Przykład faktoryzacji na czynniki pierwsze:

Dzielniki liczb naturalnych

Dzielnik to liczba, przez którą można podzielić daną liczbę bez reszty.

Zgodnie z tą definicją proste liczby naturalne mają 2 dzielniki, liczby złożone mają więcej niż 2 dzielniki.

Wiele liczb ma wspólne dzielniki. Wspólny dzielnik to liczba, przez którą dane liczby są podzielne bez reszty.

Liczby 12 i 15 mają wspólny dzielnik 3
Liczby 20 i 30 mają wspólne dzielniki 2,5,10

Szczególne znaczenie ma największy wspólny dzielnik (NWD). Ta liczba, w szczególności, jest użyteczna, aby móc znaleźć frakcje redukujące. Aby ją znaleźć, należy rozłożyć podane liczby na czynniki pierwsze i przedstawić je jako iloczyn ich wspólnych czynników pierwszych, ujętych w ich najmniejszych potęgach.

Wymagane jest znalezienie GCD o numerach 36 i 48.

Podzielność liczb naturalnych

Nie zawsze jest możliwe określenie „na oko”, czy jedna liczba jest podzielna przez drugą bez reszty. W takich przypadkach przydatny jest odpowiedni test podzielności, czyli reguła, według której w ciągu kilku sekund można określić, czy można podzielić liczby bez reszty. Znak „” służy do wskazania podzielności.

Najmniejsza wspólna wielokrotność

Ta wartość (oznaczona jako LCM) jest najmniejszą liczbą podzielną przez każdą z podanych. LCM można znaleźć dla dowolnego zbioru liczb naturalnych.

LCM, podobnie jak GCD, ma istotne znaczenie użytkowe. Tak więc to LCM należy znaleźć, redukując zwykłe ułamki do wspólnego mianownika.

LCM jest określany przez rozłożenie podanych liczb na czynniki pierwsze. Do jego powstania bierze się iloczyn składający się z każdego z występujących (przynajmniej dla 1 liczby) czynników pierwszych reprezentowanych w maksymalnym stopniu.

Wymagane jest znalezienie LCM liczb 14 i 24.

Przeciętny

Średnia arytmetyczna dowolnej (ale skończonej) liczby liczb naturalnych to suma wszystkich tych liczb podzielona przez liczbę wyrazów:

Średnia arytmetyczna to pewna średnia wartość zestawu liczb.

Podano liczby 2,84,53,176,17,28. Wymagane jest znalezienie ich średniej arytmetycznej.

Polecamy również

Ładowanie...

Dom > Metalurgia