Temat lekcji: Działania arytmetyczne w systemach liczb pozycyjnych.

Stopień 9

Cele Lekcji:

Dydaktyczny: Zapoznanie studentów z dodawaniem, odejmowaniem, mnożeniem i dzieleniem w systemie binarnym oraz prowadzenie podstawowej praktyki umiejętności wykonywania tych czynności.

Edukacyjny: rozwijanie zainteresowania uczniów nauką nowych rzeczy, pokazanie możliwości niestandardowego podejścia do obliczeń.

Rozwijanie: rozwijać uwagę, rygor myślenia, umiejętność rozumowania.

Struktura lekcji.

Orgmoment -1 minuta.

Sprawdzanie pracy domowej testem ustnym -15 minut.

Zadanie domowe -2 minuty.

Rozwiązywanie problemów z równoczesną analizą i samodzielnym opracowaniem materiału -25 min.

Podsumowując lekcję -2 minuty.

PODCZAS ZAJĘĆ

Moment organizacyjny.

Sprawdzanie pracy domowej (test ustny) .

Nauczyciel odczytuje pytania po kolei. Uczniowie uważnie słuchają pytania bez zapisywania go. Zapisywana jest tylko odpowiedź, i to bardzo krótko. (Jeśli można odpowiedzieć jednym słowem, to tylko to słowo jest rejestrowane).

Co to jest system liczbowy? (-jest to system znaków, w którym liczby zapisuje się według pewnych zasad za pomocą znaków jakiegoś alfabetu, zwanych liczbami )

Jakie znasz systemy liczbowe?( niepozycyjne i pozycyjne )

Jaki system nazywa się niepozycyjnym? (SCH nazywamy niepozycyjną, jeśli ilościowy ekwiwalent (wartość ilościowa) cyfry w liczbie nie zależy od jej pozycji w zapisie liczby ).

Jaka jest podstawa pozycyjnego SSC. (równa liczbie cyfr, które składają się na jego alfabet )

Jakiej operacji matematycznej należy użyć do zamiany liczby całkowitej z dziesiętnego NSC na dowolną inną? (dział )

Co należy zrobić, aby przekonwertować liczbę z dziesiętnej na binarną? (Konsekwentnie dziel przez 2 )

Ile razy zmniejszy się liczba 11.1 2 przesuwając przecinek o jeden znak w lewo? (2 razy )

Posłuchajmy teraz wersetu o niezwykłej dziewczynie i odpowiedzmy na pytania. (Brzmi jak werset )

NADZWYCZAJNA DZIEWCZYNA

Miała tysiąc i sto lat
Poszła do sto pierwszej klasy,
W swoim portfolio miałam sto książek.
Wszystko to prawda, a nie bzdury.

Kiedy odkurzając z kilkunastoma stopami,
Szła drogą.
Zawsze podążał za nią szczeniak
Z jednym ogonem, ale stunogim.

Złapała każdy dźwięk
Z dziesięcioma uszami
I dziesięć opalonych rąk
Trzymali teczkę i smycz.

I dziesięć ciemnoniebieskich oczu
Uważany za świat z przyzwyczajenia,
Ale wszystko stanie się całkiem normalne,
Kiedy zrozumiesz moją historię.

/ N. Starikow /

A ile lat miała dziewczynka? (12 lat ) Do jakiej klasy chodziła? (5 klasa ) Ile miała rąk i nóg? (2 ręce, 2 nogi ) Jak szczeniak ma 100 nóg? (4 łapy )

Po zakończeniu testu odpowiedzi uczniowie wypowiadają na głos, przeprowadza się samoocenę i sami uczniowie wystawiają oceny.

Kryterium:

10 poprawnych odpowiedzi (może mała wada) - „5”;

9 lub 8 - „4”;

7, 6 – “3”;

reszta to „2”.

II. Zadanie domowe (2 minuty)

10111 2 - 1011 2 = ? ( 1100 2 )
10111 2 + 1011 2 = ? ( 100010 2 )
10111 2 * 1011 2 = ? ( 11111101 2 ))

III. Praca z nowym materiałem

Operacje arytmetyczne w systemie binarnym.

Arytmetyka systemu liczb binarnych opiera się na wykorzystaniu tablic dodawania, odejmowania i mnożenia cyfr. Argumenty arytmetyczne znajdują się w górnym wierszu i pierwszej kolumnie tabel, a wyniki znajdują się na przecięciu kolumn i wierszy:

0

1

1

1

Dodatek.

Tabela dodawania binarnego jest niezwykle prosta. Tylko w jednym przypadku, gdy wykonywane jest dodawanie 1 + 1, następuje przeniesienie do najbardziej znaczącego bitu.

1001 + 1010 = 10011

1101 + 1011 = 11000

11111 + 1 = 100000

1010011,111 + 11001,11 = 1101101,101

10111 2 + 1001 2 = ? (100000 2 )

Odejmowanie.

Podczas wykonywania operacji odejmowania mniejsza liczba jest zawsze odejmowana od większej liczby w wartości bezwzględnej i umieszczany jest odpowiedni znak. W tabeli odejmowania 1 z kreską oznacza pożyczkę wysokiego rzędu. 10111001,1 – 10001101,1 = 101100,0

101011111 – 110101101 = – 1001110

100000 2 - 10111 2 = ? (1001 2 )

Mnożenie

Operacja mnożenia wykonywana jest za pomocą tabliczki mnożenia według zwykłego schematu stosowanego w systemie liczb dziesiętnych z kolejnym mnożeniem mnożnika przez kolejną cyfrę mnożnika. 11001 * 1101 = 101000101

11001,01 * 11,01 = 1010010,0001

Mnożenie sprowadza się do przesunięć mnożnika i dodawania.

111 2 * 11 2 = ? (10101 2 )

V. Podsumowanie lekcji

Karta do dodatkowej pracy studentów.

Wykonaj operacje arytmetyczne:

A) 1110 2 + 1001 2 = ? (10111 2 ); 1101 2 + 110 2 = ? (10011 2 );

10101 2 + 1101 2 = ? (100010 2 ); 1011 2 + 101 2 = ? (10000 2 );

101 2 + 11 2 = ? (1000 2 ); 1101 2 + 111 2 = ? (10100 2 );

B) 1110 2 - 1001 2 = ? (101); 10011 2 - 101 2 = ? (1110 2 );

Dodatek. Dodawanie liczb w systemie liczb binarnych opiera się na tablicy dodawania jednocyfrowych liczb binarnych (Tabela 6).

Należy zwrócić uwagę na fakt, że przy dodawaniu dwóch jednostek przelew dokonywany jest na najwyższą cyfrę. Dzieje się tak, gdy wartość liczby staje się równa lub większa niż podstawa systemu liczbowego.

Dodawanie wielocyfrowych liczb binarnych odbywa się zgodnie z powyższą tabelą dodawania z uwzględnieniem ewentualnych przesunięć z cyfr niższych na cyfry wyższe. Jako przykład dodajmy liczby binarne w kolumnie:

Sprawdźmy poprawność obliczeń dodając w systemie liczb dziesiętnych. Przekształćmy liczby binarne na system liczb dziesiętnych i dodajmy je:

Odejmowanie. Odejmowanie liczb binarnych opiera się na tabeli odejmowania jednocyfrowych liczb binarnych (tabela 7).

Odejmując od mniejszej liczby (0) większą (1), pożyczka jest z najwyższego rzędu. W tabeli pożyczka jest oznaczona 1 z paskiem.

Odejmowanie wielocyfrowych liczb binarnych jest realizowane zgodnie z tą tabelą, z uwzględnieniem możliwych pożyczek w cyfrach wyższego rzędu.

Na przykład odejmijmy liczby binarne:

Mnożenie. Mnożenie opiera się na tabliczce mnożenia jednocyfrowych liczb binarnych (tabela 8).

Mnożenie wielocyfrowych liczb binarnych odbywa się zgodnie z tą tablicą mnożenia według zwykłego schematu stosowanego w systemie liczb dziesiętnych, z kolejnym pomnożeniem mnożnika przez następną cyfrę mnożnika. Rozważ przykład mnożenia binarnego

Uwaga: Przy dodawaniu dwóch liczb równych 1, w tej cyfrze otrzymuje się 0, a pierwsza jest przenoszona do najbardziej znaczącej cyfry.

Przykład_21: Podano numery 101 (2) i 11 (2). Znajdź sumę tych liczb.

gdzie 101 (2) = 5 (10) , 11 (2) = 3 (10) , 1000 (2) = 8 (10) .

Sprawdź: 5+3=8.

Odejmując jedną od 0, jednostka jest brana z najwyższej najbliższej cyfry, która jest różna od 0. Jednocześnie jednostka zajęta w najwyższej cyfrze daje 2 jednostki w najmniej znaczącej cyfrze i jedną we wszystkich cyfrach pomiędzy najwyższą i najniższy.

Przykład_22: Podano numery 101 (2) i 11 (2). Znajdź różnicę między tymi liczbami.

gdzie 101 (2) =5 (10), 11 (2) =3 (10), 10 (2) =2 (10) .

Sprawdź: 5-3=2.

Operacja mnożenia sprowadza się do wielokrotnego przesuwania i dodawania.

Przykład_23: Podano numery 11 (2) i 10 (2). Znajdź iloczyn tych liczb.

gdzie 11 (2) =3 (10), 10 (2) =2 (10), 110 (2) =6 (10).

Sprawdź: 3*2=6.

Działania arytmetyczne w systemie ósemkowym

Dodając dwie liczby, których suma jest równa 8, w tej kategorii otrzymuje się 0, a 1. jest przenoszony do najwyższego rzędu.

Przykład_24: Podano numery 165 (8) i 13 (8). Znajdź sumę tych liczb.

gdzie 165 (8) = 117 (10) , 13 (8) = 11 (10) , 200 (8) = 128 (10) .

Przy odejmowaniu większej liczby od mniejszej, jednostka jest brana z najwyższej najbliższej cyfry, która jest różna od 0. Jednocześnie jednostka zajęta w najwyższej cyfrze daje 8 w najmniej znaczącej cyfrze.

Przykład_25: Podano numery 114 (8) i 15 (8). Znajdź różnicę między tymi liczbami.

gdzie 114 (8) =76 (10) , 15 (8) =13 (10) , 77 (8) =63 (10) .

Operacje arytmetyczne w systemie liczb szesnastkowych

Podczas dodawania dwóch liczb, w sumie 16, 0 jest zapisywane w tej kategorii, a 1 jest przenoszona do najwyższego rzędu.

Przykład_26: Podano numery 1B5 (16) i 53 (16). Znajdź sumę tych liczb.

gdzie 1B5 (16) = 437 (10) , 53 (16) = 83 (10) , 208 (16) = 520 (10) .

Odejmując większą liczbę od mniejszej, jednostka zajęta jest od najwyższej najbliższej cyfry, która jest różna od 0. Jednocześnie jednostka zajęta w najwyższej cyfrze daje 16 w najmniej znaczącej cyfrze.

Przykład_27: Podano numery 11A (16) i 2C (16). Znajdź różnicę między tymi liczbami.

gdzie 11A (16) =282 (10), 2C (16) =44 (10), EE (16) =238 (10).

Komputerowe kodowanie danych

Dane w komputerze są reprezentowane jako kod, który składa się z jedynek i zer w różnych sekwencjach.

Kod– zestaw symboli do prezentacji informacji. Kodowanie to proces prezentowania informacji w postaci kodu.

Kody numeryczne

Wykonując operacje arytmetyczne w komputerze, używają bezpośredni, odwrotny oraz dodatkowy kody numeryczne.

Kod bezpośredni

Prosty kodem (przedstawieniem w postaci wartości bezwzględnej ze znakiem) liczby binarnej jest sama liczba binarna, w której wszystkie cyfry reprezentujące jej wartość są zapisane jak w notacji matematycznej, a znak liczby jest zapisany jako cyfra binarna.

Liczby całkowite mogą być reprezentowane w komputerze ze znakiem lub bez.

Liczby całkowite bez znaku zajmują zwykle jeden lub dwa bajty pamięci. Do przechowywania liczb całkowitych ze znakiem przydzielany jest jeden, dwa lub cztery bajty, podczas gdy najbardziej znaczący (najbardziej lewy) bit jest przydzielany pod znakiem liczby. Jeśli liczba jest dodatnia, to do tego bitu jest zapisywane 0, jeśli ujemna, to 1.

Przykład_28:

1 (10) =0 000 0001 (2) , -1 (10) =1 000 0001 (2)

Liczby dodatnie w komputerze są zawsze przedstawiane za pomocą kodu bezpośredniego. Bezpośredni kod numeru całkowicie pokrywa się z wpisem samego numeru w komórce maszyny. Kod bezpośredni liczby ujemnej różni się od kodu bezpośredniego odpowiedniej liczby dodatniej tylko zawartością bitu znaku.

Kod bezpośredni jest używany podczas przechowywania liczb w pamięci komputera, a także podczas wykonywania operacji mnożenia i dzielenia, ale format przedstawiania liczb w kodzie bezpośrednim jest niewygodny w obliczeniach, ponieważ wykonywane jest dodawanie i odejmowanie liczb dodatnich i ujemnych inaczej i dlatego konieczne jest przeanalizowanie bitów operandu znaku. Dlatego kod bezpośredni praktycznie nie jest używany podczas implementacji operacji arytmetycznych na liczbach całkowitych w jednostce ALU. Ale ujemne liczby całkowite nie są reprezentowane w komputerze za pomocą kodu bezpośredniego. Zamiast tego formatu rozpowszechniły się formaty przedstawiania liczb w odwrotnej kolejności i dodatkowych kodów.

Odwrotny kod

Odwrotny kod liczby dodatniej pokrywa się z liczbą bezpośrednią, a przy zapisie liczby ujemnej wszystkie jej cyfry, z wyjątkiem cyfry reprezentującej znak liczby, są zastępowane przez przeciwne (0 jest zastępowane przez 1, a 1 jest zastępowane przez 0 ).

Przykład_29:

Przykład_30:

Aby przywrócić kod bezpośredni liczby ujemnej z kodu odwrotnego, wszystkie cyfry, poza cyfrą reprezentującą znak liczby, należy zastąpić cyframi przeciwstawnymi.

Dodatkowy kod

Dodatkowy kod liczby dodatniej pokrywa się z liczbą prostą, a kod liczby ujemnej tworzy się przez dodanie 1 do kodu odwrotnego.

Przykład_31:

Przykład_32:

Przykład_33:

Dla liczby całkowitej -32 (10) napisz dodatkowy kod.

1. Po zamianie liczby 32 (10) na system liczb binarnych otrzymujemy:

32 (10) =100000 (2) .

2. Bezpośredni kod liczby dodatniej 32 (10) to 0010 0000.

3. Dla liczby ujemnej -32 (10) kod bezpośredni to 1010 0000.

4. Odwrotny kod liczby -32 (10) to 1101 1111.

5. Dodatkowy kod numeru -32 (10) to 1110 0000.

Przykład_34:

Dodatkowy kod liczby to 0011 1011. Znajdź wartość liczby w notacji dziesiętnej.

1. Pierwsza (znakowa) cyfra liczby 0 011 1011 to 0, więc liczba jest dodatnia.

2. Dla liczby dodatniej kody dodatkowy, odwrotny i bezpośredni są takie same.

3. Liczbę w systemie binarnym otrzymujemy z zapisu kodu bezpośredniego - 111011 (2) (odrzucamy zera z najwyższych cyfr).

4. Liczba 111011 (2) po przekonwertowaniu na system liczb dziesiętnych to 59 (10).

Przykład_35:

Dodatkowy kod liczby to 1011 1011. Znajdź wartość liczby w notacji dziesiętnej.

1. Cyfra znaku liczby 1 011 1011 to 1, więc liczba jest ujemna.

2. Aby określić odwrotny kod numeru, odejmij jeden od dodatkowego kodu. Kod odwrotny to 1 011 1010.

3. Kod bezpośredni uzyskuje się odwrotnie, zastępując wszystkie cyfry binarne liczby przeciwległymi (1 dla 0, 0 dla 1). Bezpośredni kod numeru to 1 100 0101 (w bicie znaku zapisujemy 1).

4. Liczbę w systemie binarnym otrzymujemy z zapisu kodu bezpośredniego - -100 0101 (2).

4. Liczba -1000101 (2) po przeliczeniu na dziesiętną jest równa -69 (10).

Podobne informacje.

Dom \ Dokumentacja \ Dla nauczyciela informatyki

Korzystając z materiałów z tej strony - a umieszczenie banera jest OBOWIĄZKOWE!!!

Arytmetyka binarna

Liczby, do których jesteśmy przyzwyczajeni, nazywane są dziesiętnymi, a arytmetyka, której używamy, nazywana jest również dziesiętną. Dzieje się tak dlatego, że każdy numer może składać się z zestawu cyfr zawierającego 10 znaków - cyfry - "0123456789".

Matematyka rozwinęła się w taki sposób, że to właśnie ten zbiór stał się głównym, ale arytmetyka dziesiętna nie jest jedyną. Jeśli weźmiemy tylko pięć cyfr, to na ich podstawie możemy zbudować arytmetykę pięciokrotną, z siedmiu cyfr - siedmiokrotną. W dziedzinach wiedzy związanych z technologią komputerową często stosuje się arytmetykę, w której liczby składają się odpowiednio z szesnastu cyfr, arytmetyka ta nazywana jest szesnastkową. Aby zrozumieć, czym jest liczba w arytmetyce niedziesiętnej, najpierw dowiadujemy się, czym jest liczba w arytmetyce dziesiętnej.

Weźmy na przykład liczbę 246. Ten wpis oznacza, że ​​w liczbie są dwie setki, cztery dziesiątki i sześć jedynek. Dlatego możemy napisać następującą równość:

246 = 200 + 40 + 6 = 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0

Tutaj znaki równości oddzielają trzy sposoby zapisywania tej samej liczby. Najciekawsza dla nas teraz jest trzecia forma zapisu: 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0. Jest zorganizowany w następujący sposób:

Mamy trzy liczby. Najwyższa cyfra „2” ma numer 3. Tak więc jest mnożona przez 10 do drugiej potęgi. Kolejna cyfra „4” ma numer seryjny 2 i jest pomnożona przez 10 w pierwszej cyfrze. Już teraz widać, że cyfry mnoży się przez dziesięć do potęgi o jeden mniej niż liczba porządkowa cyfry. Po zrozumieniu tego, co zostało powiedziane, możemy zapisać ogólny wzór reprezentujący liczbę dziesiętną. Niech będzie liczba z N cyframi. I-tą cyfrę oznaczymy przez i. Wówczas liczbę można zapisać w postaci: a n a n-1 ….a 2 a 1 . To jest pierwszy formularz, a trzeci formularz będzie wyglądał tak:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 10 n-1 + a n-1 * 10 n-2 + …. + a 2 * 10 1 + a 1 * 10 0

gdzie i jest znakiem ze zbioru "0123456789"

W tym wpisie rola dziesięciu jest bardzo wyraźnie widoczna. Dziesięć jest podstawą do utworzenia liczby. A tak przy okazji, nazywa się to „podstawą systemu liczbowego” i samym systemem liczbowym, dlatego nazywa się go „dziesiętnym”. Oczywiście dziesiątka nie ma żadnych specjalnych właściwości. Z łatwością możemy zastąpić dziesięć dowolną inną liczbą. Na przykład liczbę w pięciocyfrowym systemie liczbowym można zapisać w następujący sposób:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 5 n-1 + a n-1 * 5 n-2 + …. + a 2 * 5 1 + a 1 * 5 0

gdzie i jest znakiem ze zbioru "01234"

Ogólnie rzecz biorąc, zastępujemy 10 dowolną inną liczbą i otrzymujemy zupełnie inny system liczbowy i inną arytmetykę. Najprostszą arytmetykę uzyskuje się, jeśli 10 zostanie zastąpione przez 2. Wynikowy system liczb nazywa się binarnym, a liczba w nim jest zdefiniowana w następujący sposób:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 2 n-1 + a n-1 * 2 n-2 + …. + a 2 * 2 1 + a 1 * 2 0

gdzie i jest znakiem ze zbioru „01”

Ten system jest najprostszy ze wszystkich możliwych, ponieważ w nim dowolna liczba składa się tylko z dwóch cyfr 0 i 1. Oczywiste jest, że nigdzie nie ma prostszego. Przykłady liczb binarnych: 10, 111, 101.

Bardzo ważne pytanie. Czy liczba dwójkowa może być reprezentowana jako liczba dziesiętna i odwrotnie, czy liczba dziesiętna może być reprezentowana jako liczba dwójkowa.

Binarny na dziesiętny. To jest bardzo proste. Sposób takiego tłumaczenia określa nasz sposób pisania liczb. Weźmy na przykład następującą liczbę binarną 1011. Rozwińmy ją do potęg dwójki. Otrzymujemy:

1011 = 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0

Wykonujemy wszystkie zarejestrowane czynności i otrzymujemy:

1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0 = 8 + 0+ 2 + 1 = 11. Zatem otrzymujemy, że 1011 (binarnie) = 11 (dziesiętnie). Od razu widać drobną niedogodność systemu binarnego. Ta sama liczba, która w systemie dziesiętnym zapisywana jest jednym znakiem w systemie binarnym, wymaga do zapisania czterech znaków. Ale to cena za prostotę (nic nie dzieje się za darmo). Ale system binarny daje ogromne korzyści w operacjach arytmetycznych. A potem to zobaczymy.

Wyraź następujące liczby binarne jako liczby dziesiętne.

a) 10010 b) 11101 c) 1010 c) 1110 d) 100011 e) 1100111 f) 1001110

Dodawanie liczb binarnych.

Metoda dodawania według kolumny jest zasadniczo taka sama, jak w przypadku liczby dziesiętnej. Oznacza to, że dodawanie jest wykonywane krok po kroku, zaczynając od najmniej znaczącej cyfry. Jeżeli dodanie dwóch cyfr daje sumę większą niż dziewięć, wówczas zapisywana jest liczba = SUMA-10, a CAŁĄ CZĘŚĆ (SUMA / 10) jest dodawana do najwyższej cyfry. (Dodaj kilka liczb w kolumnie, pamiętaj, jak to się robi.) Tak jest z liczbą binarną. Dodaj krok po kroku, zaczynając od najniższej cyfry. Jeśli okaże się, że jest więcej niż 1, zapisuje się 1 i dodaje się 1 do najbardziej znaczącej cyfry (mówią "to szalone").

Przeanalizujmy przykład: 10011 + 10001.

Pierwsza pozycja: 1+1 = 2. Zapisujemy 0 i 1. Przyszło mi na myśl.

Druga ranga: 1+0+1(zapamiętana jednostka) =2. Zapisujemy 0 i 1 przyszło mi do głowy.

Trzecia ranga: 0+0+1(zapamiętana jednostka) = 1. Napisz 1.

Czwarta ranga 0+0=0. Zapisujemy 0.

Piąta ranga 1+1=2. Piszemy 0 i dodajemy 1 do szóstego bitu.

Przeliczmy wszystkie trzy liczby na system dziesiętny i sprawdźmy poprawność dodawania.

10011 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 16 + 2 + 1 =19

10001 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 16 + 1 = 17

100100 = 1*2 5 + 0*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 0*2 0 =32+4=36

17 + 19 = 36 poprawna równość

Przykłady samodzielnego rozwiązania:

a) 11001 +101 =

b) 11001 +11001 =

c) 1001 + 111 =

e) 10011 + 101 =

f) 11011 + 1111 =

e) 11111 + 10011 =

Jak przekonwertować dziesiętny na binarny. Następną operacją jest odejmowanie. Ale zajmiemy się tą operacją nieco później, a teraz rozważymy metodę konwersji liczby dziesiętnej na binarną.

Aby przekonwertować liczbę dziesiętną na binarną, należy ją rozwinąć w potęgach dwójki. Ale jeśli rozszerzenie w potęgach dziesiątek uzyskuje się natychmiast, to jak rozszerzyć się w potęgach dwójki, wymaga trochę przemyślenia. Najpierw spójrzmy, jak to zrobić metodą selekcji. Weźmy liczbę dziesiętną 12.

Krok pierwszy. 2 2 \u003d 4, to nie wystarczy. Jest również mały i 2 3 \u003d 8, a 2 4 \u003d 16 to już dużo. Więc zostawmy 2 3 =8. 12 - 8 = 4. Teraz musisz przedstawić 4 jako potęgę dwójki.

Krok drugi. 4 = 2 2 .

Wtedy nasza liczba 12 = 2 3 + 2 2 . Najwyższa cyfra ma numer 4, najwyższy stopień = 3, dlatego powinny istnieć wyrazy o potęgach dwójki 1 i 0. Ale my ich nie potrzebujemy, więc aby pozbyć się zbędnych stopni, a pozostawić niezbędne jedynek piszemy liczbę tak: 1 * 2 3 + 1 * 2 2 +0*2 1 + 0*2 0 = 1100 - to jest binarna reprezentacja liczby 12. Łatwo zauważyć, że każda następna potęga jest największą potęgą dwójki, czyli mniejszą niż liczba, która ma zostać rozszerzona. Aby naprawić tę metodę, spójrzmy na inny przykład. Numer 23.

Krok 1. Najbliższa potęga dwójki to 2 4 = 16. 23 -16 = 7.

Krok 2. Najbliższa potęga dwójki to 2 2 = 4. 7 - 4 = 3

Krok 3. Najbliższa potęga dwójki to 2 1 = 2. 3 - 2 = 1

Krok 4. Najbliższa potęga dwójki 2 0 =1 1 - 1 =0

Otrzymujemy następujący rozkład: 1*2 4 + 0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +1*2 0

A nasza pożądana liczba binarna to 10111

Rozważana powyżej metoda dobrze rozwiązuje postawiony przed nią problem, ale istnieje metoda, która jest znacznie lepiej algorytmizowana. Algorytm dla tej metody jest napisany poniżej:

Dopóki NUMBER jest większe od zera, rób

NASTĘPNA CYFRA \u003d reszta z dzielenia LICZBY przez 2

LICZBA = część całkowita LICZBY podzielona przez 2

Gdy ten algorytm zakończy swoją pracę, sekwencja obliczonych CYFR REGULARNYCH będzie reprezentować liczbę binarną. Na przykład popracujmy z liczbą 19.

Początek algorytmu NUMER = 19

NASTĘPNA CYFRA = 1

NASTĘPNA CYFRA = 1

NASTĘPNA CYFRA = 0

NASTĘPNA CYFRA = 0

NASTĘPNA CYFRA = 1

W rezultacie mamy następującą liczbę 10011. Zauważ, że dwie rozważane metody różnią się kolejnością uzyskiwania kolejnych cyfr. W pierwszym sposobie otrzymana pierwsza cyfra jest najwyższą cyfrą liczby binarnej, a w drugim sposobie otrzymana pierwsza cyfra jest najniższa.

Konwersja dziesiętna na binarna na dwa sposoby

a) 14 b) 29 c) 134 d) 158 f) 1190 g) 2019

Jak przekonwertować część ułamkową na dziesiętną.

Wiadomo, że każdą liczbę wymierną można przedstawić jako ułamek dziesiętny i zwykły. Zwykły ułamek, czyli ułamek postaci A / B, może być regularny i niewłaściwy. Ułamek nazywamy właściwym, jeśli A<В и неправильной если А>W.

Jeżeli liczba wymierna jest reprezentowana przez ułamek niewłaściwy, a jednocześnie licznik ułamka jest całkowicie dzielony przez mianownik, to ta liczba wymierna jest liczbą całkowitą, we wszystkich innych przypadkach pojawia się część ułamkowa. Część ułamkowa jest często bardzo długą liczbą, a nawet nieskończoną (nieskończony ułamek okresowy, na przykład 20/6), więc w przypadku części ułamkowej mamy nie tylko zadanie przetłumaczenia jednej reprezentacji na drugą, ale przetłumaczenie z pewną dokładnością.

Zasada dokładności. Załóżmy, że otrzymujesz liczbę dziesiętną, która może być reprezentowana jako ułamek dziesiętny do N cyfr. Aby odpowiednia liczba binarna miała taką samą precyzję, konieczne jest napisanie w niej M - znaków, aby

A teraz spróbujmy uzyskać regułę tłumaczenia i najpierw rozważmy przykład 5401

Decyzja:

Część całkowitą otrzymamy zgodnie z już znanymi nam regułami i jest ona równa liczbie binarnej 101. A część ułamkową rozszerzamy w potęgach 2.

Krok 1: 2 -2 = 0,25; 0,401 - 0,25 = 0,151. to reszta.

Krok 2: Teraz musimy przedstawić 0,151 jako potęgę dwójki. Zróbmy to: 2 -3 = 0,125; 0,151 - 0,125 = 0,026

W ten sposób oryginalną część ułamkową można przedstawić jako 2 -2 +2 -3 . To samo można zapisać w takiej liczbie binarnej: 0,011. Pierwsza cyfra ułamkowa to zero, ponieważ stopień 2 -1 jest nieobecny w naszym rozkładzie.

Z pierwszego i drugiego kroku jasno wynika, że ​​ta reprezentacja nie jest dokładna i może być pożądane kontynuowanie ekspansji. Wróćmy do reguły. Mówi, że potrzebujemy tak wielu znaków M, że 10 3 jest mniejsze niż 2 M. To znaczy 1000<2 M . То есть в двоичном разложении у нас должно быть не менее десяти знаков, так как 2 9 = 512 и только 2 10 = 1024. Продолжим процесс.

Krok 3: Teraz pracujemy z liczbą 0,026. Najbliższa potęga dwójki do tej liczby to 2 -6 \u003d 0,015625; 0.026 - 0.015625 = 0.010375 teraz nasza dokładniejsza liczba binarna to 0.011001. Po przecinku jest już sześć miejsc po przecinku, ale to jeszcze nie wystarczy, więc wykonujemy jeszcze jeden krok.

Krok 4: Teraz pracujemy z numerem 0,010375. Najbliższa potęga dwójki do tej liczby to 2 -7 \u003d 0,0078125;

0,010375 - 0,0078125 = 0,0025625

Krok 5: Teraz pracujemy z numerem 0,0025625. Najbliższa potęga dwójki do tej liczby to 2 -9 \u003d 0,001953125;

0,0025625 - 0,001953125 = 0,000609375

Ostatnia wynikowa reszta jest mniejsza niż 2 -10 i gdybyśmy chcieli dalej zbliżać się do pierwotnej liczby, potrzebowalibyśmy 2 -11 , ale to już przekracza wymaganą dokładność, a zatem obliczenia można zatrzymać i ostateczną reprezentację binarną część ułamkową można zapisać.

0,401 = 0,011001101

Jak widać, konwersja części ułamkowej liczby dziesiętnej na reprezentację binarną jest nieco bardziej skomplikowana niż konwersja części całkowitej. Tabela potęg dwójki na końcu wykładu.

A teraz piszemy algorytm transformacji:

Dane wyjściowe algorytmu: Przez A oznaczymy oryginalny właściwy ułamek dziesiętny zapisany w postaci dziesiętnej. Niech ten ułamek zawiera N znaków.

Algorytm

Działanie 1. Wyznacz liczbę wymaganych znaków binarnych M z nierówności 10 N< 2 M

Krok 2: Oblicz cyfry reprezentacji binarnej (cyfry po zerach). Numer cyfry będzie oznaczony symbolem K.

1. Liczba cyfr = 1
2. Jeśli 2 -K > A

Następnie do zapisu liczby binarnej dodajemy zero

• dodaj 1 do liczby binarnej
• A \u003d A - 2 -K

1. K = K + 1
2. Jeśli K > M

• wtedy algorytm się kończy.
• W przeciwnym razie przejdź do punktu 2.

Konwertuj dziesiętny na binarny

a) 3,6 b) 12,0112 c) 0,231 d) 0,121 e) 23.0091

Odejmowanie liczb binarnych. Odejmiemy też liczby, użyjemy też kolumny i ogólna zasada jest taka sama jak dla liczb dziesiętnych, odejmowanie odbywa się bit po bicie i jeśli nie ma wystarczającej jednostki w bicie, to jest zaangażowana w starszą. Rozwiążmy następujący przykład:

Pierwsza ranga. 1 - 0 =1. Zapisujemy 1.

Druga ranga 0-1. Brak jednostki. Traktujemy to w kategorii seniorów. Jedna z najwyższej cyfry przechodzi do najniższej, ponieważ dwie jednostki (ponieważ najwyższa cyfra jest reprezentowana przez dwie o większym stopniu) 2-1 \u003d 1. Zapisujemy 1.

Trzecia ranga. Zajęliśmy jednostkę tej cyfry, więc teraz w cyfrze 0 jest potrzeba zajęcia jednostki cyfry najbardziej znaczącej. 2-1=1. Zapisujemy 1.

Sprawdźmy wynik w systemie dziesiętnym

1101 - 110 = 13 - 6 = 7 (111) Prawdziwa równość.

Inny ciekawy sposób wykonywania odejmowania jest związany z pojęciem dopełnienia do dwóch, które pozwala sprowadzić odejmowanie do dodawania. Okazuje się, że liczba w dodatkowym kodzie jest niezwykle prosta, bierzemy liczbę, zastępujemy zera jedynkami i odwrotnie, zastępujemy jedynki zerami i dodajemy jedynkę do najmniej znaczącej cyfry. Na przykład 10010 byłoby 011011 w kodzie uzupełniającym do dwóch.

Zasada odejmowania uzupełnienia do dwóch stanowi, że odejmowanie można zastąpić dodawaniem, jeśli odjęcie zostanie zastąpione liczbą w kodzie uzupełnienia do dwóch.

Przykład: 34 - 22 = 12

Napiszmy ten przykład w formie binarnej. 100010 - 10110 = 1100

Dodatkowy kod dla numeru 10110 będzie wyglądał tak

01001 + 00001 = 01010. Następnie oryginalny przykład można zastąpić dodawaniem takim jak ten 100010 + 01010 = 101100 Następnie należy odrzucić jedną jednostkę w najwyższym porządku. Jeśli to zrobimy, otrzymamy 001100. Odrzucamy nieznaczne zera i otrzymujemy 1100, czyli przykład został rozwiązany poprawnie

Czy swoje odejmowania. W zwykły sposób i w dodatkowym kodzie, po uprzednim przekonwertowaniu liczb dziesiętnych na binarne:

Sprawdź, konwertując wynik binarny na dziesiętny.

Mnożenie w systemie liczb binarnych.

Zacznijmy od następującego interesującego faktu. Aby pomnożyć liczbę binarną przez 2 (dwójka dziesiętna to 10 w systemie binarnym), wystarczy dodać jedno zero do pomnożonej liczby po lewej stronie.

Przykład. 10101 * 10 = 101010

Badanie.

10101 = 1*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 +1*2 0 = 16 + 4 + 1 = 21

101010 =1*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 32 + 8 + 2 = 42

Jeśli przypomnimy sobie, że dowolną liczbę dwójkową można rozwinąć w potęgach dwójki, to staje się jasne, że mnożenie w systemie dwójkowym sprowadza się do mnożenia przez 10 (czyli przez dziesiętne 2), a zatem mnożenie jest ciągiem następujących po sobie zmiany. Ogólna zasada jest taka, że ​​tak jak w przypadku liczb dziesiętnych, mnożenie binarne jest wykonywane bit po bicie. I dla każdej cyfry drugiego mnożnika dodaje się jedno zero na prawo od pierwszego mnożnika. Przykład (jeszcze nie kolumna):

1011 * 101 To mnożenie można sprowadzić do sumy trzech mnożeń bitowych:

1011 * 1 + 1011 * 0 + 1011 * 100 \u003d 1011 + 101100 \u003d 110111 To samo można zapisać w takiej kolumnie:

Badanie:

101 = 5 (dziesiętnie)

1011 = 11 (dziesiętnie)

110111 = 55 (dziesiętnie)

5*11 = 55 poprawna równość

Zdecyduj sam

a) 1101 * 1110 =

b) 1010 * 110 =

e) 101011 * 1101 =

f) 10010 * 1001 =

Uwaga: Nawiasem mówiąc, tabliczka mnożenia w systemie binarnym składa się tylko z jednej pozycji 1 * 1 = 1

Podział w systemie binarnym.

Rozważaliśmy już trzy działania i myślę, że jest już jasne, że ogólnie działania na liczbach binarnych niewiele różnią się od działań na liczbach dziesiętnych. Różnica polega tylko na tym, że są dwie cyfry, a nie dziesięć, ale to tylko upraszcza operacje arytmetyczne. To samo dotyczy dzielenia, ale dla lepszego zrozumienia algorytmu dzielenia przeanalizujemy go bardziej szczegółowo. Załóżmy, że musimy podzielić dwie liczby dziesiętne, na przykład 234 podzielone przez 7. Jak to zrobić.

Przypisujemy do prawej (od najbardziej znaczącej cyfry) taką liczbę cyfr, aby wynikowa liczba była jak najmniejsza i jednocześnie większa niż dzielnik. 2 jest mniejsze niż dzielnik, dlatego potrzebna nam liczba to 23. Następnie dzielimy wynikową liczbę przez dzielnik z resztą. Otrzymujemy następujący wynik:

Opisana operacja jest powtarzana, dopóki wynikowa reszta nie będzie mniejsza niż dzielnik. Kiedy tak się dzieje, liczba uzyskana pod słupkiem jest ilorazem, a ostatnia reszta to pozostała część operacji. Czyli operacja dzielenia liczby binarnej przebiega dokładnie w ten sam sposób. Spróbujmy

Przykład: 10010111 / 101

Szukamy liczby z najwyższego rzędu, z której pierwsza byłaby większa od dzielnika. To jest czterocyfrowa liczba 1001. Jest pogrubiona. Teraz musisz znaleźć dzielnik dla wybranej liczby. I tu znowu wygrywamy w porównaniu w systemie dziesiętnym. Faktem jest, że wybrany dzielnik jest koniecznie cyfrą, a my mamy tylko dwie cyfry. Ponieważ 1001 jest wyraźnie większe niż 101, wszystko jest jasne z dzielnikiem, to jest 1. Wykonajmy krok operacji.

Tak więc pozostała część operacji to 100. To mniej niż 101, więc aby wykonać drugi krok dzielenia, musisz dodać kolejną cyfrę do 100, to jest liczba 0. Teraz mamy następującą liczbę:

1000 jest większe niż 101, więc w drugim kroku ponownie dodajemy 1 do cyfry prywatnej i otrzymujemy następujący wynik (aby zaoszczędzić miejsce, od razu pomijamy kolejną cyfrę).

Trzeci krok. Wynikowa liczba 110 jest większa od 101, więc na tym etapie zapiszemy ją do ilorazu 1. Wyjdzie tak:

Wynikowa liczba 11 jest mniejsza niż 101, więc zapisujemy ją w prywatnej cyfrze 0 i obniżamy następną cyfrę w dół. Okazuje się tak:

Wynikowa liczba jest większa niż 101, więc wpisujemy liczbę 1 do ilorazu i wykonujemy czynności ponownie. Okazuje się, że to zdjęcie:

1

0

Wynikowa reszta 10 jest mniejsza niż 101, ale skończyły się cyfry w dywidendzie, więc 10 to końcowa reszta, a 1110 to pożądany iloraz.

Sprawdź w ułamkach dziesiętnych

Na tym kończy się opis najprostszych operacji arytmetycznych, które musisz znać, aby korzystać z arytmetyki binarnej, a teraz postaramy się odpowiedzieć na pytanie „Po co nam arytmetyka binarna”. Oczywiście już powyżej pokazano, że zapisanie liczby w systemie dwójkowym znacznie upraszcza operacje arytmetyczne, ale jednocześnie sam zapis staje się znacznie dłuższy, co zmniejsza wartość uzyskanego uproszczenia, więc trzeba patrzeć dla takich problemów, których rozwiązanie jest znacznie prostsze w liczbach binarnych.

Zadanie 1: Pobranie wszystkich próbek

Bardzo często zdarzają się zadania, w których trzeba umieć zbudować wszystkie możliwe kombinacje z danego zestawu przedmiotów. Na przykład takie zadanie:

Mając duży stos kamieni, ułóż je w dwa stosy w taki sposób, aby masa tych dwóch stosów była jak najbardziej taka sama.

Zadanie to można sformułować w następujący sposób:

Znajdź próbkę kamieni z dużego stosu tak, aby jej całkowita masa różniła się jak najmniej od połowy masy dużego stosu.

Takich zadań jest sporo. A wszystkie one sprowadzają się, jak już wspomniano, do możliwości uzyskania wszystkich możliwych kombinacji (poniżej nazwiemy je selekcjami) z danego zestawu elementów. A teraz rozważymy ogólną metodę uzyskiwania wszystkich możliwych próbek za pomocą operacji dodawania binarnego. Zacznijmy od przykładu. Niech będzie zestaw trzech przedmiotów. Konstruujemy wszystkie możliwe próbki. Pozycje będą oznaczone numerami seryjnymi. Oznacza to, że są następujące elementy: 1, 2, 3.

Próbki: (0, 0, 1); (0, 1, 0); (0, 1, 1); (100); (1, 0, 1); (1, 1, 0); (1, 1, 1);

Jeżeli na pozycji o kolejnym numerze jest jeden, oznacza to, że element o numerze równym tej pozycji jest obecny w selekcji, a jeżeli jest zero, to element nie występuje. Na przykład próbka (0, 1, 0); składa się z jednego elementu o numerze 2, a próbka to (1, 1, 0); składa się z dwóch elementów o numerach 1 i 2.

Ten przykład wyraźnie pokazuje, że próbkę można przedstawić jako liczbę binarną. Ponadto łatwo zauważyć, że powyżej zostały zapisane wszystkie możliwe jedno-, dwu- i trzycyfrowe liczby binarne. Przepiszmy je w następujący sposób:

001; 010; 011; 100; 101; 110; 111

1; 10; 11; 100; 101; 110; 111

Otrzymaliśmy serię kolejnych liczb binarnych, z których każdą otrzymujemy z poprzedniej przez dodanie jednej. Możesz to sprawdzić. Korzystając z tej zaobserwowanej prawidłowości, możemy skonstruować następujący algorytm pozyskiwania próbek.

Dane początkowe algorytmu

Podany zestaw przedmiotów N - sztuk. W dalszej części będziemy odnosić się do tego zbioru jako do zbioru elementów początkowych. Ponumerujmy wszystkie elementy oryginalnego zestawu od 1 do N. Stwórzmy liczbę binarną od N nieznacznych zer. 0000… 0 N Ta zerowa liczba binarna będzie oznaczać zerową próbkę, od której rozpocznie się proces próbkowania. Cyfry liczby są liczone od prawej do lewej, tzn. najbardziej znacząca jest cyfra znajdująca się najbardziej na lewo.

Zgódźmy się na oznaczenie tej liczby binarnej wielkimi literami BINARY

Algorytm

Jeśli liczba BINARNA składa się wyłącznie z jedynek

Następnie zatrzymujemy algorytm

• Dodajemy jeden do liczby BINARNEJ zgodnie z zasadami arytmetyki binarnej.
• Z otrzymanego numeru BINARNEGO komponujemy kolejną próbkę, jak opisano powyżej.

Zadanie 2: Odnajdywanie dużych liczb pierwszych

Po pierwsze, pamiętaj, że liczba pierwsza to liczba naturalna podzielna tylko przez 1 i samą siebie. Przykłady liczb pierwszych: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31

Znalezienie dużych liczb pierwszych jest bardzo ważnym problemem matematycznym. Do bezpiecznego szyfrowania wiadomości za pomocą niektórych algorytmów szyfrowania potrzebne są duże liczby pierwsze. I potrzebne są nie tylko duże liczby, ale bardzo duże. Im większa liczba, tym bezpieczniejszy szyfr oparty na tej liczbie.

Notatka. Silny szyfr to szyfr, którego odszyfrowanie zajmuje bardzo dużo czasu.

Czemu? Liczba pierwsza odgrywa rolę klucza w szyfrowaniu i deszyfrowaniu. Ponadto wiemy, że liczby pierwsze nie występują zbyt często w ciągach liczb naturalnych. Wśród pierwszych tysięcy jest ich całkiem sporo, potem ich liczba zaczyna gwałtownie spadać. Dlatego też, jeśli jako klucz przyjmiemy niezbyt dużą liczbę, deszyfrator, nawet przy użyciu niezbyt szybkiego komputera, będzie mógł się do niego dostać (poprzez sortowanie wszystkich liczb pierwszych jedna po drugiej jako klucz) w ograniczonym czasie.

Dość niezawodny kod można uzyskać, biorąc prosty, na przykład 150 znaków. Jednak znalezienie tak prostego nie jest takie proste. Załóżmy, że jakaś liczba A (bardzo duża) musi zostać przetestowana pod kątem liczby pierwszej. To to samo, co szukanie jego dzielników. Jeśli możemy znaleźć dzielniki między 2 a pierwiastkiem kwadratowym z A, to nie jest to liczba pierwsza. Oszacujmy liczbę liczb, które należy sprawdzić pod kątem możliwości dzielenia liczby A.

Załóżmy, że liczba A ma 150 cyfr. Jego pierwiastek kwadratowy będzie zawierał co najmniej 75 znaków. Aby przebrnąć przez taką liczbę możliwych dzielników, potrzebujemy bardzo wydajnego komputera i dużo czasu, co oznacza, że ​​problem jest praktycznie nie do rozwiązania.

Jak sobie z tym poradzić.

Po pierwsze możesz nauczyć się szybko sprawdzać podzielność jednej liczby przez drugą, a po drugie możesz spróbować wybrać liczbę A w taki sposób, aby była prosta z dużym prawdopodobieństwem. Okazuje się, że jest to możliwe. Matematyk Mersen odkrył, że liczby o następującej postaci:

Są proste z dużym prawdopodobieństwem.

Aby zrozumieć powyższe zdanie, policzmy, ile liczb pierwszych jest w pierwszym tysiącu i ile liczb Mersenne'a w tym samym tysiącu jest liczbami pierwszymi. Tak więc liczby Mersena w pierwszym tysiącu są następujące:

2 1 - 1 = 1 ; 2 2 -1 = 3 ; 2 3 - 1 = 7 ; 2 4 - 1 = 15; 2 5 - 1 = 31 ; 2 6 -1 = 63;

2 7 - 1 =127 ; 2 8 -1 = 255; 2 9 - 1 = 511;

Liczby pierwsze są pogrubione. W sumie istnieje 5 liczb pierwszych dla 9 liczb Mersenne'a. W procentach jest to 5/9 * 100 \u003d 55,6%. Jednocześnie istnieje tylko 169 liczb pierwszych dla pierwszych 1000 liczb naturalnych. W procentach jest to 169/1000 * 100 = 16,9%. Oznacza to, że w pierwszym tysiącu liczby pierwsze wśród liczb Mersenne'a występują prawie 4 razy częściej niż wśród zwykłych liczb naturalnych.

___________________________________________________________

A teraz weźmy konkretną liczbę Mersena, na przykład 2 4 - 1. Zapiszmy ją jako liczbę binarną.

2 4 - 1 = 10000 - 1 = 1111

Weźmy następną liczbę Mersena 2 5 -1 i zapiszmy ją jako liczbę binarną. Otrzymujemy:

2 5 -1 = 100000 - 1 = 11111

Jest już jasne, że wszystkie liczby Mersenne'a są ciągiem jedynek i już sam ten fakt daje duży zysk. Po pierwsze w systemie dwójkowym bardzo łatwo jest uzyskać kolejną liczbę Mersenne'a, wystarczy do kolejnej liczby dodać jedynkę, a po drugie dużo łatwiej jest szukać dzielników w systemie dwójkowym niż dziesiętnym.

Szybka konwersja dziesiętna na binarną

Jednym z głównych problemów związanych z używaniem systemu liczb binarnych jest trudność w zamianie liczby dziesiętnej na binarną. To dość pracochłonne zadanie. Oczywiście nie jest trudno przetłumaczyć małe liczby składające się z trzech lub czterech cyfr, ale w przypadku liczb dziesiętnych, w których jest 5 lub więcej cyfr, jest to już trudne. Oznacza to, że potrzebujemy sposobu na szybką konwersję dużych liczb dziesiętnych na reprezentację binarną.

Ta metoda została wymyślona przez francuskiego matematyka Legendre'a. Niech zostanie podana np. liczba 11183445. Dzielimy ją przez 64, otrzymujemy resztę 21 i iloraz 174741. Dzielimy tę liczbę ponownie przez 64, otrzymujemy resztę 21 i iloraz 2730. Na koniec 2730 podzielone przez 64 daje resztę 42 i iloraz 42 Ale 64 binarnie to 1000000, 21 binarnie to 10101, a 42 to 101010, więc pierwotna liczba zostanie zapisana binarnie w następujący sposób:

101010 101010 010101 010101

Aby było jaśniej, inny przykład z mniejszą liczbą. Przetłumaczmy binarną reprezentację liczby 235. Podzielmy 235 przez 64 z resztą. Otrzymujemy:

PRYWATNE = 3, binarne 11 lub 000011

ROZDZIELCZOŚĆ = 43, binarnie 101011

Wtedy 235 = 11101011, Sprawdź ten wynik:

11101011 = 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 1 + 2 0 = 128+64+32+8+2+1 = 235

Uwagi:

1. Łatwo zauważyć, że ostateczna liczba binarna zawiera wszystkie reszty, aw ostatnim kroku zarówno resztę, jak i iloraz.
2. Iloraz jest zapisywany przed resztą.
3. Jeśli otrzymany iloraz lub reszta ma mniej niż 6 cyfr w reprezentacji binarnej (6 zer zawiera binarną reprezentację liczby 64 = 1000000), to dodawane są do niego zera nieznaczące.

I kolejny trudny przykład. Numer 25678425.

Krok 1: 25678425 podzielone przez 64

Prywatny = 401225

Reszta = 25 = 011001

Krok 2: 401225 podzielone przez 64

Prywatny = 6269

Reszta = 9 = 001001

Krok 3: 6269 podzielone przez 64

Prywatny = 97

Reszta = 61 = 111101

Krok 4: 97 podzielone przez 64

Prywatny = 1 = 000001

Reszta = 33 = 100001

Wynik liczbowy = 1,100001.111101.001001.011001

W tej liczbie kropka oddziela zawarte w niej wyniki pośrednie.

Konwertuj na binarną reprezentację liczby:

DODATEK: TABELA 1

		0,015625
		0,0078125
		0,00390625
		0,001953125
		0,0009765625
		0,00048828125
		0,000244140625
		0,0001220703125
		0,00006103515625
		0,000030517578125
		0,0000152587890625
		0,00000762939453125
		0,000003814697265625
		0,0000019073486328125
		0,00000095367431640625
		0,000000476837158203125

1. Miejsce lekcji: lekcja 9 klasy-3 badanej sekcji
2. Temat lekcji: Operacje arytmetyczne w systemie binarnym.

Rodzaj zajęć: wykład, rozmowa, samodzielna praca.

Cele Lekcji:

Dydaktyczny: wprowadzić zasady wykonywania operacji arytmetycznych (dodawanie, mnożenie, odejmowanie) w systemie liczb binarnych.

Edukacyjny: wpajanie umiejętności samodzielności w pracy, wychowanie dokładności, dyscypliny.

Rozwijanie: rozwój uwagi, pamięć uczniów, rozwój umiejętności porównywania otrzymanych informacji.

Połączenia interdyscyplinarne: Matematyka:

Zajęcia ze sprzętu (sprzętu) edukacyjnego:projektor, stół, karty zadań.

Wsparcie metodyczne lekcji:prezentacja w programie PowerPoint.

Plan lekcji

1. Moment organizacyjny (2 min).
2. Powtórzenie (10)
3. Wyjaśnianie nowego materiału (15 min)
4. Konsolidacja pokrytego materiału (10 min)
5. Praca domowa
6. Odbicie (2 min)
7. Podsumowując (2 min)

Podczas zajęć

1. Organizowanie czasu
2. Aktualizacja wiedzy.Nadal zgłębiamy temat systemu liczbowego, a celem naszej dzisiejszej lekcji będzie nauczenie się wykonywania operacji arytmetycznych w systemie liczb binarnych, a mianowicie rozważymy z tobą zasadę wykonywania operacji takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie.
3. Sprawdzenie wiedzy (badanie czołowe).

Zapamiętajmy:

1. Jaki jest system liczbowy?
2. Jaka jest podstawa systemu liczbowego?
3. Jaka jest podstawa systemu liczb binarnych?
4. Wskaż, które liczby są napisane z błędami i uzasadnij swoją odpowiedź:
   123 8, 3006 2, 12ААС09 20, 13476 10,
5. Jaka jest minimalna podstawa systemu liczbowego, jeśli można w nim zapisać liczby: 10, 21, 201, 1201
6. Jaki jest koniec parzystej liczby binarnej?
   Jaka cyfra kończy się nieparzystą liczbą binarną?

4 . Badaniu nowego materiału towarzyszy prezentacja

/ Załącznik 1/

Nauczyciel wyjaśnia nowy temat na slajdach prezentacji, uczniowie robią notatki i wypełniają zaproponowane przez nauczyciela zadania w zeszycie.

Ze wszystkich systemów pozycyjnych system liczb binarnych jest szczególnie prosty. Rozważ wykonanie podstawowych operacji arytmetycznych na liczbach binarnych.

Wszystkie systemy liczb pozycyjnych są „takie same”, a mianowicie we wszystkich operacje arytmetyczne są wykonywane według tych samych zasad:

jeden . obowiązują te same prawa arytmetyki: przemienne, asocjacyjne, rozdzielcze;

2. zasady dodawania, odejmowania i mnożenia przez kolumnę są sprawiedliwe;

3. Zasady wykonywania operacji arytmetycznych oparte są na tabliczkach dodawania i mnożenia.

Dodatek

Rozważ przykłady dodawania.

Dodając kolumnę dwóch cyfr od prawej do lewej w systemie liczb binarnych, tak jak w każdym systemie pozycyjnym, do następnego bitu można przejść tylko jedną.

Wynik dodania dwóch liczb dodatnich ma albo taką samą liczbę cyfr, jak maksymalna wartość dwóch terminów, albo o jedną cyfrę więcej, ale ta cyfra może być tylko jedna.

1011022+111112=?

1110112+110112=?

Odejmowanie

Samodzielna praca uczniów w zeszycie w celu utrwalenia materiału

101101 2 -11111 2 =?

110011 2 -10101 2 =?
Mnożenie
Rozważ przykłady mnożenia.

Operacja mnożenia odbywa się za pomocą tabliczki mnożenia według zwykłego schematu (stosowanego w systemie liczb dziesiętnych) z kolejnym mnożeniem mnożnika przez kolejną cyfrę mnożnika.
Rozważ przykłady mnożenia
Podczas mnożenia w przykładzie 2, trzy jednostki są dodawane 1+1+1=11 w odpowiedniej cyfrze, 1 jest zapisywane, a druga jednostka jest przenoszona na najwyższą cyfrę.
W systemie liczb binarnych operacja mnożenia sprowadza się do przesunięć wielokrotności i dodania wyników pośrednich.
Dział

Operacja dzielenia jest wykonywana według algorytmu podobnego do algorytmu operacji dzielenia w systemie liczb dziesiętnych.

Rozważ przykład podziału

Konsolidacja (samodzielna praca uczniów na kartach wykonywana jest w zeszycie) /Załącznik 2/

Dla studentów, którzy w krótkim czasie wykonali samodzielną pracę, oferowane jest dodatkowe zadanie.

5. Praca domowa

2. Poznaj zasady wykonywania operacji arytmetycznych w systemie dwójkowym, poznaj tablice dodawania, odejmowania, mnożenia.

3. Wykonaj następujące kroki:

110010+111,01

11110000111-110110001

10101,101*111

6 Odbicie

Dzisiaj na lekcji najbardziej pouczające było dla mnie ...

Byłem zaskoczony, że…

Mogę zastosować to, czego nauczyłem się dzisiaj na zajęciach...

7. Podsumowanie lekcji

Dzisiaj dowiedzieliśmy się, jak wykonywać operacje arytmetyczne w systemie liczb binarnych (ocena lekcji).

Podpisy slajdów:

Temat lekcji: „Operacje arytmetyczne w systemach liczb pozycyjnych” Nauczyciel informatyki Marina Valentinovna Fedorchenko MOU Liceum Berezovskaya z dzielnicą Berezovka Taishet, obwód irkucki Pamiętajmy: jaki jest system liczbowy? Jaka jest podstawa systemu liczbowego? Co to jest podstawa binarnego systemu liczbowego liczby są zapisane z błędami i uzasadniają odpowiedź: 1238, 30062, 12AAC0920, 1347610, Jaka jest minimalna podstawa systemu liczbowego, jeśli można w nim zapisać liczby: 10, 21, 201 , 1201 Jaka cyfra kończy się parzystą liczbą binarną? Jaka cyfra kończy się nieparzystą liczbą binarną?
Laplace pisał o swoim podejściu do binarnego (binarnego) systemu liczb wielkiego matematyka Leibniza: „W swojej binarnej arytmetyce Leibniz widział prototyp stworzenia. Wydawało mu się, że jednostka reprezentuje boski pierwiastek, a zero - nieistnienie i że istota najwyższa tworzy wszystko z niebytu dokładnie w taki sam sposób, w jaki jedynka i zero w jego systemie wyrażają wszystkie liczby. Te słowa podkreślają uniwersalność alfabetu, który składa się z dwóch znaków. Wszystkie systemy liczb pozycyjnych są „takie same”, a mianowicie operacje arytmetyczne są wykonywane we wszystkich według tych samych zasad:
obowiązują te same prawa arytmetyki: --przemienne (przemieszczenie) m + n = n + m m n = n m asocjacyjne (kombinacyjne) (m + n) + k = m + (n + k) = m + n + k (m n ) k = m (n k) = m n k rozdzielne (rozdzielcze) (m + n) k = m k + n k
obowiązują zasady dodawania, odejmowania i mnożenia przez kolumnę;
zasady wykonywania operacji arytmetycznych oparte są na tabliczkach dodawania i mnożenia.
Dodawanie w systemach liczb pozycyjnych Ze wszystkich systemów liczb pozycyjnych system liczb binarnych jest szczególnie prosty. Rozważ wykonanie podstawowych operacji arytmetycznych na liczbach binarnych. Wszystkie systemy liczb pozycyjnych są „takie same”, czyli operacje arytmetyczne są wykonywane we wszystkich według tych samych zasad: obowiązują te same: przemienne, asocjacyjne, rozdzielcze; zasady dodawania, odejmowania i mnożenia przez kolumnę są prawidłowe; zasady wykonywania operacji arytmetycznych opierają się na tablicach dodawania i mnożenia.
Dodając kolumnę dwóch cyfr od prawej do lewej w systemie liczb binarnych, tak jak w każdym systemie pozycyjnym, do następnego bitu można przejść tylko jedną. Wynik dodania dwóch liczb dodatnich ma albo taką samą liczbę cyfr, jak maksymalna wartość dwóch terminów, albo o jedną cyfrę więcej, ale ta cyfra może być tylko jedna. Rozważ przykłady Sam rozwiąż przykłady:
1011012 + 111112
1110112 + 110112
1001100
1010110
Podczas wykonywania operacji odejmowania, mniejsza liczba jest zawsze odejmowana od większej liczby w wartości bezwzględnej, a odpowiedni znak jest umieszczany na wyniku.
Odejmowanie Rozważ przykłady Przykłady:
1011012– 111112
1100112– 101012
1110
11110
Mnożenie w systemach liczb pozycyjnych Operację mnożenia wykonuje się za pomocą tabliczki mnożenia według zwykłego schematu (używanego w systemie dziesiętnym) z kolejnym mnożeniem mnożenia przez kolejną cyfrę mnożnika.Rozważmy przykłady mnożenia. Spójrzmy na przykłady Spójrzmy na przykład dzielenia
Rozwiążmy przykłady:
11012 1112

111102:1102=
1011011
101
Praca domowa 1.&3.1.22 Naucz się zasad wykonywania operacji arytmetycznych w systemie binarnym, poznaj tablice dodawania, odejmowania, mnożenia. Wykonaj następujące czynności: 110010+111.0111110000111-11011000110101.101*111 Refleksja Dzisiaj na lekcji najbardziej pouczająca była dla mnie... byłam zdziwiona, że... zdobytą dzisiaj wiedzę potrafię zastosować na lekcji...