RZECZYWISTE LICZBY II

§ 44 Geometryczna reprezentacja liczb rzeczywistych

Liczby geometryczne rzeczywiste, podobnie jak liczby wymierne, są reprezentowane przez punkty na linii prostej.

Zostawiać ja - dowolna linia prosta, a O - niektóre jej punkty (ryc. 58). Każda dodatnia liczba rzeczywista α umieść odpowiednio punkt A, leżący na prawo od O w odległości α jednostki długości.

Jeśli na przykład α = 2,1356..., to

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

itd. Oczywiste jest, że punkt A w tym przypadku musi leżeć na linii ja na prawo od punktów odpowiadających liczbom

2; 2,1; 2,13; ... ,

ale na lewo od punktów odpowiadających liczbom

3; 2,2; 2,14; ... .

Można wykazać, że te warunki określają na linii ja jedyny punkt A, który uważamy za geometryczny obraz liczby rzeczywistej α = 2,1356... .

Podobnie każda ujemna liczba rzeczywista β umieść odpowiednio punkt B leżący na lewo od O w odległości | β | jednostki długości. Na koniec przypisujemy punkt O liczbie „zero”.

Tak więc liczba 1 zostanie wyświetlona w linii prostej ja punkt A, położony na prawo od O w odległości jednej jednostki długości (ryc. 59), liczba - √2 - punkt B, leżący na lewo od O w odległości √2 jednostek długości itp.

Pokażmy, jak na linii prostej ja za pomocą kompasu i linijki można znaleźć punkty odpowiadające liczbom rzeczywistym √2, √3, √4, √5 itd. Aby to zrobić, najpierw pokażemy, jak konstruować odcinki, których długości są wyrażone przez te liczby. Niech AB będzie odcinkiem wziętym jako jednostka długości (ryc. 60).

W punkcie A przywracamy prostopadłość do tego odcinka i odkładamy na nim odcinek AC równy odcinkowi AB. Następnie, stosując twierdzenie Pitagorasa do trójkąta prostokątnego ABC, otrzymujemy; BC \u003d √AB 2 + AC 2 \u003d √1 + 1 \u003d √2

Dlatego odcinek BC ma długość √2. Teraz przywróćmy prostopadłą do odcinka BC w punkcie C i wybierzmy na nim punkt D tak, aby odcinek CD był równy jeden Długość AB. Następnie od trójkąt prostokątny Znajdź BCD:

ВD \u003d √BC 2 + CD 2 \u003d √2 + 1 \u003d √3

Dlatego odcinek BD ma długość √3. Kontynuując opisany proces dalej, możemy otrzymać odcinki BE, BF, ..., których długości wyrażone są liczbami √4, √5 itd.

Teraz na linii ja łatwo jest znaleźć te punkty, które służą jako geometryczna reprezentacja liczb √2, √3, √4, √5 itd.

Umieszczając na przykład na prawo od punktu O odcinek BC (ryc. 61), otrzymujemy punkt C, który służy jako geometryczna reprezentacja liczby √2. W ten sam sposób odkładając odcinek BD na prawo od punktu O, otrzymujemy punkt D”, który jest geometrycznym obrazem liczby √3 itd.

Nie należy jednak myśleć, że za pomocą cyrkla i linijki na osi liczbowej ja można znaleźć punkt odpowiadający dowolnej liczbie rzeczywistej. Udowodniono np., że mając do dyspozycji tylko cyrkiel i linijkę, nie da się skonstruować odcinka, którego długość wyrażona jest liczbą π = 3,14 ... . Więc na linii liczbowej ja przy użyciu takich konstrukcji nie można wskazać punktu odpowiadającego tej liczbie, niemniej jednak taki punkt istnieje.

Więc dla każdej liczby rzeczywistej α możliwe jest skojarzenie jakiegoś dobrze zdefiniowanego punktu linii ja . Ten punkt zostanie oddzielony od punktu początkowego O w odległości | α | jednostki długości i znajdować się na prawo od O jeśli α > 0 i na lewo od O jeśli α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две różne punkty prosty ja . Rzeczywiście, niech liczba α odpowiada punktowi A, a liczba β - punkt B. Wtedy, jeśli α > β , wtedy A będzie na prawo od B (ryc. 62, a); jeśli α < β , wtedy A będzie leżał na lewo od B (ryc. 62, b).

Mówiąc w § 37 o geometrycznej reprezentacji liczb wymiernych, postawiliśmy pytanie: czy dowolny punkt prostej można uznać za geometryczny obraz jakiejś racjonalny liczby? W tamtym czasie nie mogliśmy udzielić odpowiedzi na to pytanie; teraz możemy na nie odpowiedzieć całkiem zdecydowanie. Na linii prostej znajdują się punkty, które służą jako geometryczny obraz liczby niewymierne(np. √2 ). Dlatego nie każdy punkt na linii prostej reprezentuje liczbę wymierną. Ale w tym przypadku pojawia się kolejne pytanie: czy dowolny punkt linii rzeczywistej można uznać za geometryczny obraz jakiegoś? ważny liczby? Ten problem został już pozytywnie rozwiązany.

Rzeczywiście, niech A będzie dowolnym punktem na linii ja , leżący na prawo od O (ryc. 63).

Długość odcinka OA jest wyrażona przez pewną dodatnią liczbę rzeczywistą α (patrz § 41). Dlatego punkt A jest geometrycznym obrazem liczby α . Podobnie ustalono, że każdy punkt B, leżący na lewo od O, można uznać za geometryczny obraz ujemnej liczby rzeczywistej - β , gdzie β - długość segmentu VO. Wreszcie punkt O służy jako geometryczna reprezentacja liczby zero. Oczywiste jest, że dwa różne punkty linii ja nie może być geometrycznym obrazem tej samej liczby rzeczywistej.

Z powodów podanych powyżej linia prosta, na której jakiś punkt O jest wskazany jako punkt „początkowy” (dla danej jednostki długości) nazywa się Numer linii.

Wniosek. Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i zbiór wszystkich punktów prostej rzeczywistej są w korespondencji jeden do jednego.

Oznacza to, że każda liczba rzeczywista odpowiada jednemu, dobrze określonemu punktowi osi liczbowej i odwrotnie, każdemu punktowi osi liczbowej przy takiej korespondencji odpowiada jedna, dobrze określona liczba rzeczywista.

Ćwiczenia

320. Dowiedz się, który z dwóch punktów znajduje się na osi liczbowej po lewej, a który po prawej stronie, jeśli te punkty odpowiadają liczbom:

a) 1.454545... i 1.455454...; c) 0 i - 1,56673...;

b) - 12.0003... i - 12.0002...; d) 13.24... i 13.00....

321. Dowiedz się, który z dwóch punktów jest dalej od punktu początkowego O na osi liczbowej, jeśli te punkty odpowiadają liczbom:

a) 5,2397... i 4,4996...; .. c) -0,3567... i 0,3557... .

d) - 15.0001 i - 15.1000...;

322. W tej sekcji pokazano, że skonstruować odcinek o długości √ n używając cyrkla i linijki możesz wykonać następujące czynności: najpierw skonstruuj odcinek o długości √2, potem odcinek o długości √3 itd., aż dojdziemy do odcinka o długości √ n . Ale dla każdego ustalonego P > 3 proces ten można przyspieszyć. Jak na przykład zacząłbyś budować odcinek o długości √10?

323*. Jak za pomocą kompasu i linijki znaleźć punkt na osi liczbowej odpowiadający liczbie 1 / α , jeśli położenie punktu odpowiadającego liczbie α , znany?

Linia liczbowa, oś liczbowa, to linia, na której przedstawione są liczby rzeczywiste. Na linii prostej wybierany jest początek - punkt O (punkt O reprezentuje 0) i punkt L, reprezentujący jednostkę. Punkt L zwykle znajduje się na prawo od punktu O. Segment OL nazywany jest segmentem jednostkowym.

Punkty na prawo od punktu O reprezentują liczby dodatnie. Kropki po lewej stronie kropki. Och, przedstaw liczby ujemne. Jeżeli punkt X reprezentuje liczbę dodatnią x, to odległość OX = x. Jeżeli punkt X reprezentuje liczbę ujemną x, to odległość OX = - x.

Liczba wskazująca położenie punktu na linii prostej nazywana jest współrzędną tego punktu.

Punkt V pokazany na rysunku ma współrzędną 2, a punkt H ma współrzędną -2,6.

Moduł liczby rzeczywistej to odległość od początku do punktu odpowiadającego tej liczbie. Wyznacz moduł liczby x, więc: | x |. Oczywiście | 0 | = 0.

Jeśli liczba x jest większa od 0, to | x | = x, a jeśli x jest mniejsze od 0, to | x | =-x. Na tych właściwościach modułu opiera się rozwiązanie wielu równań i nierówności za pomocą modułu.

Przykład: Rozwiąż równanie | x-3 | = 1.

Rozwiązanie: Rozważ dwa przypadki - pierwszy przypadek, gdy x -3 > 0, i drugi przypadek, gdy x - 3 0.

1. x - 3 > 0, x > 3.

W tym przypadku | x-3 | = x - 3.

Równanie przyjmuje postać x - 3 \u003d 1, x \u003d 4, 4\u003e 3 - spełniają pierwszy warunek.

2. x -3 0, x 3.

W tym przypadku | x-3 | = - x + 3

Równanie przyjmuje postać x + 3 \u003d 1, x \u003d - 2. -2 3 - spełniają drugi warunek.

Odpowiedź: x = 4, x = -2.

Wyrażenia liczbowe.

Wyrażenie numeryczne to zbiór co najmniej jednej liczby i funkcji połączonych operatorami arytmetycznymi i nawiasami.
Przykłady wyrażeń liczbowych:

Wartość wyrażenia liczbowego jest liczbą.
Operacje w wyrażeniach liczbowych wykonywane są w następującej kolejności:

1. Akcje w nawiasach.

2. Obliczanie funkcji.

3. Potęgowanie

4. Mnożenie i dzielenie.

5. Dodawanie i odejmowanie.

6. Operacje tego samego typu wykonuje się od lewej do prawej.

Zatem wartością pierwszego wyrażenia będzie sama liczba 12,3
Aby obliczyć wartość drugiego wyrażenia, wykonamy czynności w następującej kolejności:

1. Wykonaj czynności w nawiasach w następującej kolejności - najpierw podnosimy 2 do trzeciej potęgi, a następnie od otrzymanej liczby odejmujemy 11:

3 4 + (23 - 11) = 3 4 + (8 - 11) = 3 4 + (-3)

2. Pomnóż 3 przez 4:

3 4 + (-3) = 12 + (-3)

3. Wykonaj operacje sekwencyjnie od lewej do prawej:

12 + (-3) = 9.
Wyrażenie ze zmiennymi to zbiór jednej lub więcej liczb, zmiennych i funkcji połączonych operatorami arytmetycznymi i nawiasami. Wartości wyrażeń ze zmiennymi zależą od wartości zawartych w nim zmiennych. Kolejność operacji jest tutaj taka sama jak w przypadku wyrażeń liczbowych. Czasami przydatne jest uproszczenie wyrażeń ze zmiennymi poprzez wykonanie różnych czynności - nawiasy, rozwinięcie nawiasów, grupowanie, redukcja ułamków, redukcja podobnych itp. Ponadto, aby uprościć wyrażenia, często stosuje się różne formuły, na przykład skrócone formuły mnożenia, właściwości różnych funkcji itp.

Wyrażenia algebraiczne.

Wyrażenie algebraiczne to jedna lub więcej wielkości algebraicznych (liczb i liter) połączonych znakami działań algebraicznych: dodawaniem, odejmowaniem, mnożeniem i dzieleniem, a także wyciąganiem pierwiastka i podnoszeniem do potęgi całkowitej (co więcej, pierwiastek i wykładnik muszą koniecznie być liczbami całkowitymi) i znakami sekwencji tych działań (zwykle nawiasy) różnego rodzaju). Liczba ilości zawartych w wyrażenie algebraiczne powinna być ostateczna.

Przykład wyrażenia algebraicznego:

„Wyrażenie algebraiczne” jest pojęciem składniowym, to znaczy, że coś jest wyrażeniem algebraicznym wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzega pewnych reguł gramatycznych (patrz Gramatyka formalna). Jeśli litery w wyrażeniu algebraicznym są uważane za zmienne, to wyrażenie algebraiczne nabiera znaczenia funkcji algebraicznej.

Z szerokiej gamy zestawy szczególnie interesujące są tzw zestawy liczb, czyli zbiory, których elementami są liczby. Oczywiste jest, że do wygodnej pracy z nimi trzeba umieć je spisywać. Od notacji i zasad pisania zbiorów liczbowych rozpoczniemy ten artykuł. A potem zastanowimy się, jak przedstawiane są zbiory liczbowe na linii współrzędnych.

Nawigacja po stronach.

Zapisywanie zestawów liczbowych

Zacznijmy od przyjętej notacji. Jak wiadomo, do oznaczania zestawów używa się wielkich liter alfabetu łacińskiego. Zestawy numeryczne, takie jak szczególny przypadek zestawy są również oznaczone. Na przykład możemy mówić o zbiorach liczbowych A , H , W , itd. Szczególne znaczenie mają zbiory liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, rzeczywistych, zespolonych itp., dla których przyjęto ich własne oznaczenia:

• N jest zbiorem wszystkich liczb naturalnych;
• Z jest zbiorem liczb całkowitych;
• Q jest zbiorem liczb wymiernych;
• J jest zbiorem liczb niewymiernych;
• R jest zbiorem liczb rzeczywistych;
• C to zbiór liczb zespolonych.

Z tego jasno wynika, że ​​nie jest konieczne oznaczanie zbioru składającego się na przykład z dwóch liczb 5 i -7 jako Q, to oznaczenie będzie mylące, ponieważ litera Q zwykle oznacza zbiór wszystkich liczb wymiernych. Aby wyznaczyć określony zestaw liczb, lepiej użyć innej „neutralnej” litery, na przykład A.

Skoro mówimy o notacji, to tutaj przywołujemy również notację zbioru pustego, czyli zbioru, który nie zawiera elementów. Jest oznaczony znakiem ∅.

Przypomnijmy też oznaczenie przynależności i nieprzynależności elementu do zbioru. Aby to zrobić, użyj znaków ∈ - należy i ∉ - nie należy. Na przykład wpis 5∈N oznacza, że ​​liczba 5 należy do zbioru liczb naturalnych, a 5.7∉Z - ułamek dziesiętny 5,7 nie należy do zbioru liczb całkowitych.

Przypomnijmy też notację przyjętą w celu włączenia jednego zestawu do drugiego. Jasne jest, że wszystkie elementy zbioru N są zawarte w zbiorze Z, a zatem: zestaw liczb N należy do Z , oznacza się to jako N⊂Z . Możesz także użyć notacji Z⊃N , co oznacza, że ​​zbiór wszystkich liczb całkowitych Z zawiera zbiór N . Relacje nieuwzględnione i nieuwzględnione oznaczono odpowiednio znakami ⊄ i . Stosowane są również nieścisłe znaki włączenia w postaci ⊆ i ⊇, co oznacza odpowiednio włączone lub dopasowania i obejmuje lub dopasowania.

Mówiliśmy o notacji, przejdźmy do opisu zbiorów liczbowych. W tym przypadku poruszymy tylko główne przypadki, które są najczęściej wykorzystywane w praktyce.

Zacznijmy od zbiorów liczbowych zawierających skończoną i małą liczbę elementów. Zbiory liczbowe składające się ze skończonej liczby elementów można wygodnie opisać, wymieniając wszystkie ich elementy. Wszystkie elementy liczbowe są oddzielone przecinkami i ujęte w , co jest zgodne ze wspólnym ustaw zasady opisu. Na przykład zbiór składający się z trzech liczb 0 , -0,25 i 4/7 można opisać jako (0, -0,25, 4/7 ).

Czasami, gdy liczba elementów w zbiorze liczbowym jest wystarczająco duża, ale elementy są zgodne z pewnym wzorcem, do opisu używa się wielokropka. Na przykład zbiór wszystkich liczb nieparzystych od 3 do 99 włącznie można zapisać jako (3, 5, 7, ..., 99) .

Płynnie więc podeszliśmy do opisu zbiorów liczbowych, których liczba elementów jest nieskończona. Czasami można je opisać za pomocą tych samych wielokropków. Na przykład opiszmy zbiór wszystkich liczb naturalnych: N=(1, 2. 3, …) .

Posługują się również opisem zbiorów liczbowych, wskazując właściwości ich elementów. W tym przypadku używany jest zapis (x| właściwości). Na przykład notacja (n| 8 n+3, n∈N) definiuje zbiór takich liczb naturalnych, które po podzieleniu przez 8 dają resztę 3 . Ten sam zestaw można opisać jako (11,19, 27, ...) .

W szczególnych przypadkach zbiory liczbowe o nieskończonej liczbie elementów to znane zbiory N , Z , R , itd. lub luki liczbowe. Ogólnie zbiory liczbowe są reprezentowane jako Unia poszczególne przedziały liczbowe, które je tworzą oraz zbiory liczbowe o skończonej liczbie elementów (o których mówiliśmy nieco wyżej).

Pokażmy przykład. Niech zbiorem liczb będą liczby −10 , −9 , −8.56 , 0 , wszystkie liczby z przedziału [−5, −1.3] oraz liczby promienia liczby otwartej (7, +∞) . Na mocy definicji unii zbiorów wskazany zbiór liczbowy można zapisać jako {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Taki zapis oznacza właściwie zbiór zawierający wszystkie elementy zbiorów (−10, −9, −8.56, 0) , [−5, −1.3] i (7, +∞) .

Podobnie, łącząc różne zakresy liczbowe i zbiory poszczególnych liczb, można opisać dowolny zbiór liczb (składający się z liczb rzeczywistych). Tutaj staje się jasne, dlaczego takie typy przedziałów liczbowych jak przedział, półodcinek, odcinek, otwarty wiązka liczbowa oraz promień liczbowy: wszystkie razem z zapisem zbiorów poszczególnych liczb umożliwiają opisanie dowolnych zbiorów liczbowych poprzez ich sumę.

Należy pamiętać, że podczas pisania zestawu liczbowego jego numery składowe i przedziały liczbowe są sortowane w kolejności rosnącej. Nie jest to warunek obowiązkowy, ale pożądany, ponieważ uporządkowany zestaw liczb jest łatwiejszy do przedstawienia i zobrazowania na linii współrzędnych. Należy również zauważyć, że takie rekordy nie używają przedziałów liczbowych z Pospolite elementy, ponieważ takie wpisy można zastąpić sumą przedziałów liczbowych bez elementów wspólnych. Na przykład suma zbiorów liczbowych o wspólnych elementach [−10, 0] i (−5, 3) jest półprzedziałem [−10, 3) . To samo dotyczy sumy przedziałów liczbowych z tymi samymi liczbami brzegowymi, na przykład suma (3, 5]∪(5, 7] jest zbiorem (3, 7) , rozpatrzymy to osobno, gdy nauczymy się znajdź przecięcie i sumę zbiorów liczbowych .

Obraz zestawów liczb na linii współrzędnych

W praktyce wygodnie jest korzystać z obrazów geometrycznych zbiorów liczbowych - ich obrazy na . Na przykład, kiedy rozwiązywanie nierówności, w którym konieczne jest uwzględnienie ODZ, konieczne jest przedstawienie zbiorów liczbowych w celu znalezienia ich przecięcia i / lub połączenia. Przyda się więc dobrze zrozumieć wszystkie niuanse reprezentacji zbiorów liczbowych na linii współrzędnych.

Wiadomo, że pomiędzy punktami linii współrzędnych a liczbami rzeczywistymi zachodzi zależność jeden do jednego, co oznacza, że ​​sama linia współrzędnych jest modelem geometrycznym zbioru wszystkich liczb rzeczywistych R. Tak więc, aby zobrazować zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, konieczne jest narysowanie linii współrzędnych z kreskowaniem na całej jej długości:

A często nie wskazują nawet pochodzenia i pojedynczego segmentu:

Porozmawiajmy teraz o obrazie zbiorów liczbowych, które są pewną skończoną liczbą pojedynczych liczb. Na przykład narysujmy zestaw liczb (−2, −0.5, 1.2) . Geometryczny obraz tego zestawu, składający się z trzech liczb -2, -0,5 i 1,2 będzie trzema punktami linii współrzędnych o odpowiadających im współrzędnych:

Zwróć uwagę, że zazwyczaj dla potrzeb praktyki nie ma potrzeby dokładnego rysowania. Często wystarczy schematyczny rysunek, co oznacza, że ​​nie jest konieczne zachowywanie skali, ważne jest jedynie zachowanie wzajemne porozumienie punkty względem siebie: każdy punkt o mniejszej współrzędnej musi znajdować się na lewo od punktu o większej współrzędnej. Poprzedni rysunek będzie wyglądał schematycznie tak:

Oddzielnie, ze wszystkich możliwych zestawów liczbowych, rozróżnia się przedziały liczbowe (przedziały, półprzedziały, promienie itp.), Które reprezentują ich obrazy geometryczne, które szczegółowo zbadaliśmy w sekcji. Nie będziemy się tutaj powtarzać.

Pozostaje tylko rozwodzić się nad obrazem zbiorów liczbowych, które są połączeniem kilku przedziałów liczbowych i zbiorów składających się z pojedynczych liczb. Nie ma w tym nic trudnego: zgodnie ze znaczeniem unii, w takich przypadkach na linii współrzędnych należy przedstawić wszystkie składniki zbioru danego zbioru liczbowego. Jako przykład pokażmy obraz zestawu liczb (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞) :

I zajmijmy się dość powszechnymi przypadkami, gdy przedstawiony zbiór liczb jest całym zbiorem liczb rzeczywistych, z wyjątkiem jednego lub więcej punktów. Takie zbiory są często określane przez warunki takie jak x≠5 lub x≠−1 , x≠2 , x≠3,7 itd. W takich przypadkach reprezentują one geometrycznie całą linię współrzędnych, z wyjątkiem odpowiednich punktów. Innymi słowy, punkty te muszą być „wycięte” z linii współrzędnych. Przedstawione są jako koła z pustym środkiem. Dla jasności narysujmy zestaw liczb, zgodnie z warunkami (ten zestaw to w zasadzie ):

Podsumować. Idealnie, informacje z poprzednich akapitów powinny tworzyć taki sam widok zapisu i reprezentacji zbiorów liczbowych, jak widok poszczególnych przedziałów liczbowych: zapis zbioru liczbowego powinien natychmiast dawać jego obraz na linii współrzędnych, a od obrazu dalej linii współrzędnych, powinniśmy być gotowi do łatwego opisania odpowiedniego zbioru liczbowego poprzez połączenie poszczególnych przerw i zbiorów składających się z pojedynczych liczb.

Bibliografia.

• Algebra: podręcznik na 8 ogniw. ogólne wykształcenie instytucje / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 16 wyd. - M. : Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich AG Algebra. Stopień 9 14.00 Część 1. Podręcznik ucznia instytucje edukacyjne/ A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - 13 wyd., Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: ch. ISBN 978-5-346-01752-3.

Kształtuj liczby

W urządzeniach cyfrowych istnieją dwie formy obrazów liczb: ze stałą і pływająca śpiączka.

W pierwszym akapicie widocznych było tylko kilka dodatnich liczb. Formuła (1.14) daje możliwość wyświetlenia liczby podwójnej z częścią całkowitą i ułamkową oraz przecinkiem stałym. Znak liczby dwucyfrowej ze stałym przecinkiem jest nadawany przez dodatkową rangę, która jest umieszczona przed liczbami. Dla liczb dodatkowych wartość zamówienia dodatkowego jest równa „ 0 ”, dla elementów wizualnych - „ 1 ”.

Przy stole 1.3 istnieją trzy opcje kodowania ostatniej i drugiej cyfry podwójnym kodem.

Tabela 1.3.

W pierwszym wariancie, jak wynika z tabel, w zakodowanej podwójnej sekwencji może występować miejsce zer dodatkowych i końcowych, co może prowadzić do problemów przy operacjach arytmetycznych wikonanna.

Przedstawienie podanych liczb w kodzie bramy również nie rozwiązuje powyższego problemu. Nie pomylisz się tylko raz, jeśli zobaczysz liczby dodatkowy kod, który jest obliczany według wzoru:

Na ryc. 1.12 przedstawia graficzną interpretację obrazu liczb dodatnich i ujemnych, które są zbliżone do zera do alternatyw kodów bezpośrednich i komplementarnych. Jak zostanie pokazane dalej, taka forma reprezentacji dziesiątych liczb po prostu uprości działania arytmetyczne.

Przykład 1.10. Poznaj kod uzupełniający do dziesiątych liczb: 0 10 , 17 10 , -127 10 .

Rozwiazannya. Znamy dwa odpowiedniki podanych liczb:

0 10 = 00000000 2 ; 17 10 = 00010001 2 ; -127 10 = 10000001 2 .

Znamy kod, zvorotnі dvіykovim - vіdpovіdno: 11111111; 11101110; 01111110.

Znane jest uzupełnianie kodów o podanych numerach: 11111111 + 1 = 100000000 2 = 0 10;

11101110 + 1 = 11101111 2 = -17 10 ; 01111110 + 1 = 01111111 2 = 127 10 .

Teraz wyjaśnimy istotę zapisywania liczb za pomocą stałej przecinki. Niezależnie od tego, czy liczba w systemach cyfrowych jest zajęta przez specjalne urządzenia pamięci, rząd skórek tworzony jest ze stałej liczby elementów. Koma, która wliczała do liczby strzałów część liczby strzałów, zajmuje w rzędzie pamięci stałą pozycję - przed rangą seniorów lub za młodą.

W przypadku pierwszego typu wartość bezwzględna liczby jest mniejsza niż jeden — na przykład 0,110101 2 . 1.13, ostateczna ranga opłaty pokazuje znak liczby, a reshta - rangę modułu. Młode wyładowania w Wilnie są wypełnione zerami. Oskіlki w recenzowanym vipadku w rzędzie pamięci są przenoszone w celu zarejestrowania tylko ułamkowej części liczby, a następnie wyniki wszystkich operacji wynikają z wartości bezwzględnych, mniej niż jeden. Wikonnannya tsієї pamiętaj, aby wybrać odpowiednie współczynniki skali, na których mnożone są dane zewnętrzne. Jeśli współczynnik skali drgań jest nieprawidłowy, to może nastąpić zmiana kolejności wyładowań i wygląd całej części, tak jakby została zużyta, odłamki w siatce wyładowczej nie zostaną przeniesione do wyglądu її. Mimo wszystko w rezultacie sprowadzę cię do piekła, któremu brakuje takiej metody.

W innym nastroju, jeśli śpiączka zostanie ustalona po najmłodszym zamówieniu, może to być prawidłowe z liczbami całkowitymi. Czyli np. liczba 10011 2 w rzędzie pamięci jest umieszczona w widoczności z ryc. 1.14, stopień de livy to znak, a po nim po prawej wolne cyfry są wypełnione zerami. W ten sposób wartością modułu jest chroniony rząd pamięci.

Liczby z pływającą komą przenoszą obraz liczby na modliszkę, która jest mnożona przez podstawę systemu liczbowego na scenie, który jest uporządkowany. Na przykład liczba 200 jest zapisywana jako 0,2 × 10 3, a liczba 0,000312 - jako 0,312 × 10 -3. Numery Vidpovidno zapisyutsya i dvіykovі. Modliszka i kolejność są wyświetlane w podwójnym kodzie, a podstawą są dwa. Na przykład liczba 0,111 × 2 10 \u003d 11,10 2 w dziesiątym systemie jest wyświetlana jako 0,875 × 2 2 \u003d 3,5 10. W rzędzie pamięci takie liczby są pobierane z dwóch grup liczb: pierwsza grupa - modliszka - określa samą liczbę, druga - kolejność - miejsce Komi w liczbie (ryc. 1.15).

Na zerowym elemencie wiersza pamięci wyświetlany jest znak liczby (dla danej liczby podwójnej, która jest zapisana w wierszu pamięci - „ 0 ”). Odległości są ustawiane w kolejności samej liczby (stowpts 1…8). Jeśli jest podana przez mniejszą liczbę wierszy, to elementy pamięci po prawej stronie liczby są wypełnione zerami. W dziewiątym porządku wyświetlany jest znak kolejności, a w pozostałej części, analogicznie do mantysy, liczba oznaczająca kolejność. Przy takim zapisie wartość liczby ustalana jest w taki sposób, aby pierwsza cyfra znacząca modliszki nie była równa „ 0 ”. Ta forma wpisu nazywa się normalna.

Minimalna dodatkowa liczba, którą można zapisać w postaci normalnej w wierszu pamięci, jest określona przez minimalną mantysę 0.1000..0 2 i maksymalny porządek wizualny 111..1 2 . Z ilością k w kolejności od minimum dziesięciu liczbę, którą można zapisać, określa wzór:

. (1.15)

Maksymalna liczba matimemo przy maksymalnej wartości modliszki (0,111 ... 1) 2 i maksymalna dodatkowa kolejność (111 ... 1 2) = 2 k– 1, to

Zakres D liczby reprezentowane w postaci normalnej, jak się okazuje ze wzorów (1.15) i (1.16), oznaczają tylko liczbę k. Na przykład dla k= 6 jest znane:

; .

Dokładność rejestracji liczby ustalana jest przez liczbę zamówień m Mantici. Jeśli liczba rang liczby odwraca liczbę rang wprowadzonych do modliszki, liczba jest zaokrąglana w górę do wymaganej liczby. Zasada zaokrąglania dwóch liczb w ten sposób jest następująca: jeśli wyższy porządek widocznej części słowa to jeden, to jedna jest dodawana do najmłodszego rzędu modliszki. Przy tak zaokrąglonej liczbie bezwzględnej obraz modliszki nie przekracza połowy współczynnika kategorii młodej modliszki, który jest brany, tobto:

Vrakhovuchi, że w normalnej formie zapisu modliszki nie może być mniej niż 0,5, oczywisty błąd η:

Na przykład, kiedy m= 24 maєmo:

.

W dzisiejszych systemach cyfrowych do wyświetlania liczb z pływającą przecinką używany jest rząd bajtów dozhinoy chotiri. Przy 23 wyładowaniach ustaw modliszkę, a 7 - wielkość rzędu. Zakres wyświetlanych liczb składa się z ± 2 127 do ± 2 -127 .

Wariant liczb z ruchomym przecinkiem rozszerzy i uprości reprezentację liczb, ale wszechstronność operacji na takich liczbach jest bardziej wspólna, mniejsza na liczbach ze stałym przecinkiem.

Ekspresyjną geometryczną reprezentację systemu liczb wymiernych można uzyskać w następujący sposób.

Ryż. 8. Oś liczbowa

Na jakiejś prostej, „osi numerycznej”, zaznaczamy odcinek od 0 do 1 (ryc. 8). Ustawia to długość segmentu jednostki, która, ogólnie rzecz biorąc, może być wybrana dowolnie. Liczby całkowite dodatnie i ujemne są następnie przedstawiane jako zbiór równo rozmieszczonych punktów na osi liczb, a mianowicie liczby dodatnie są oznaczone po prawej stronie, a ujemne po lewej stronie punktu 0. Aby przedstawić liczby z mianownikiem, dzielimy każdą otrzymanych odcinków o długości jednostkowej na równe części; punkty podziału będą reprezentować ułamki z mianownikiem.Jeśli zrobimy to dla wartości odpowiadających wszystkim liczbom naturalnym, to każda liczba wymierna zostanie przedstawiona przez jakiś punkt na osi liczbowej. Zgodzimy się nazwać te punkty „racjonalnymi”; ogólnie terminy „liczba wymierna” i „punkt wymierny” będą używane jako synonimy.

W rozdziale I § 1 zdefiniowano relację nierówności dla liczb naturalnych. Na osi liczbowej stosunek ten odzwierciedla się następująco: if Liczba naturalna A jest mniejsze niż liczba naturalna B, to punkt A leży na lewo od punktu B. Ponieważ określona zależność geometryczna jest ustalona dla dowolnej pary punktów wymiernych, naturalnym jest próba uogólnienia relacji nierówności arytmetycznej w takim sposób, aby zachować ten porządek geometryczny dla rozważanych punktów. Jest to możliwe, jeśli przyjmiemy następującą definicję: mówimy, że liczba wymierna A jest mniejsza niż Liczba wymierna lub że liczba B jest większa niż liczba, jeśli różnica jest dodatnia. Z tego (dla ) wynika, że ​​punktami (liczbami) pomiędzy nimi są te, które

jednocześnie każda taka para punktów, wraz ze wszystkimi punktami pomiędzy nimi, nazywana jest odcinkiem (lub odcinkiem) i jest oznaczona (a sam zbiór punktów pośrednich nazywa się odcinkiem (lub odcinkiem), oznaczonym przez

Odległość dowolnego punktu A od początku 0, traktowana jako liczba dodatnia, nazywana jest wartością bezwzględną A i jest oznaczona symbolem

Pojęcie „wartości bezwzględnej” definiuje się następująco: if , to if then Jest jasne, że jeśli liczby mają ten sam znak, to równość jest prawdziwa, jeśli mają różne znaki, następnie . Łącząc te dwa wyniki razem, dochodzimy do ogólnej nierówności

który jest ważny niezależnie od znaków

Fakt o fundamentalnym znaczeniu wyraża następujące twierdzenie: punkty wymierne są wszędzie gęste na osi liczbowej. Znaczenie tego stwierdzenia jest takie, że w każdym przedziale, bez względu na to, jak mały może on być, istnieją punkty racjonalne. Aby zweryfikować słuszność podanego stwierdzenia, wystarczy wziąć liczbę tak dużą, że przedział ( będzie mniejszy niż podany przedział ; wtedy przynajmniej jeden z punktów formularza będzie się znajdował wewnątrz tego przedziału. A więc jest nie ma takiego przedziału na osi liczbowej (nawet najmniejszego, co można sobie wyobrazić), w którym nie byłoby punktów wymiernych. Z tego wynika kolejny wniosek: każdy przedział zawiera nieskończoną liczbę punktów wymiernych. Rzeczywiście, jeśli jakiś przedział zawiera tylko skończoną liczbę punktów wymiernych, to wewnątrz przedziału utworzonego przez dwa sąsiednie takie punkty nie byłoby już punktów wymiernych, a to przeczy temu, co właśnie udowodniono.