Էքսպոնենցիալ հավասարումների և անհավասարությունների օրինակներ. էքսպոնենցիալ անհավասարություններ

Բելգորոդի պետական ​​համալսարան

ԱԹՈՌ հանրահաշիվ, թվերի տեսություն և երկրաչափություն

Աշխատանքային թեմա. Էքսպոնենցիալ հզորության հավասարումներ և անհավասարություններ:

Ավարտական ​​աշխատանքֆիզիկամաթեմատիկական ֆակուլտետի ուսանող

Վերահսկիչ:

______________________________

Գրախոս՝ _________________________________

________________________

Բելգորոդ. 2006թ

Ներածություն			3
Առարկա Ի.	Հետազոտության թեմայի վերաբերյալ գրականության վերլուծություն:
Առարկա II.	Ֆունկցիաները և դրանց հատկությունները, որոնք օգտագործվում են էքսպոնենցիալ հզորության հավասարումների և անհավասարությունների լուծման ժամանակ:
	I.1.	Հզորության գործառույթև դրա հատկությունները։
	I.2.	Էքսպոնենցիալ ֆունկցիաև դրա հատկությունները։
Առարկա III.	Էքսպոնենցիալ հզորության հավասարումների լուծում, ալգորիթմ և օրինակներ։
Առարկա IV.	Էքսպոնենցիալ հզորության անհավասարությունների լուծում, լուծման պլան և օրինակներ։
Առարկա v.	Դպրոցականների հետ դասեր անցկացնելու փորձ՝ «Էքսպոնենցիալ-ուժային հավասարումների և անհավասարությունների լուծում» թեմայով։
v. 1.	Ուսումնական նյութ.
v. 2.	Անկախ լուծման առաջադրանքներ.
Եզրակացություն.	Եզրակացություններ և առաջարկներ.
Մատենագիտություն.
Դիմումներ

Ներածություն.

«... տեսնելու և հասկանալու բերկրանքը…»

Ա.Էյնշտեյն.

Այս աշխատանքում ես փորձեցի փոխանցել մաթեմատիկայի ուսուցչի իմ փորձը, փոխանցել, գոնե որոշ չափով, իմ վերաբերմունքը այն դասավանդելու նկատմամբ՝ մարդկային խնդիր, որում զարմանալիորեն մաթեմատիկական գիտությունը, մանկավարժությունը, դիդակտիկան, հոգեբանությունը և նույնիսկ փիլիսոփայությունը։ միահյուսված.

Ես հնարավորություն ունեցա աշխատել երեխաների և շրջանավարտների հետ, մտավոր զարգացման բևեռներում կանգնած երեխաների հետ. նրանց, ովքեր գրանցված էին հոգեբույժի մոտ և ովքեր իսկապես հետաքրքրված էին մաթեմատիկայով:

Ես ստիպված էի շատ մեթոդական խնդիրներ լուծել։ Ես կփորձեմ խոսել նրանց մասին, որոնք ինձ հաջողվել է լուծել։ Բայց առավել եւս՝ դա հնարավոր չէր, և դրանցում, որոնք կարծես թե լուծված են, նոր հարցեր են առաջանում։

Բայց նույնիսկ ավելի կարևոր է, քան ինքնին փորձը, ուսուցչի մտորումները և կասկածները.

Իսկ ամառը հիմա այլ է, և կրթության հերթն ավելի հետաքրքիր է դարձել։ «Յուպիտերի տակ» այսօր ոչ թե «բոլորին և ամեն ինչի» ուսուցման առասպելական օպտիմալ համակարգի որոնումն է, այլ հենց ինքը՝ երեխան: Բայց հետո - անհրաժեշտությամբ - և ուսուցիչը:

Դպրոցական դասընթացի հանրահաշիվ եւ սկսեց վերլուծություն, դասարաններ 10 - 11, հետ քննություն հանձնելըմեկ դասընթացի համար ավագ դպրոցիսկ բուհերի ընդունելության քննությունների ժամանակ կան հավասարումներ և անհավասարումներ, որոնք պարունակում են հիմքում անհայտը և աստիճաններ. դրանք էքսպոնենցիալ հզորության հավասարումներ և անհավասարություններ են:

Դպրոցում նրանց քիչ ուշադրություն է դարձվում, դասագրքերում այս թեմայով առաջադրանքներ գործնականում չկան։ Սակայն դրանց լուծման տեխնիկայի տիրապետումը, ինձ թվում է, շատ օգտակար է. այն մեծացնում է մտավոր և Ստեղծագործական հմտություններուսանողներ, բոլորովին նոր հորիզոններ են բացվում մեր առջեւ։ Խնդիրներ լուծելիս ուսանողները ձեռք են բերում առաջին հմտությունները հետազոտական ​​աշխատանք, հարստանում է նրանց մաթեմատիկական մշակույթը, նրանց կարողությունը տրամաբանական մտածողություն. Դպրոցականների մոտ ձևավորվում են անհատականության այնպիսի գծեր, ինչպիսիք են նպատակասլացությունը, նպատակասլացությունը, անկախությունը, ինչը նրանց օգտակար կլինի հետագա կյանքում։ Եվ նաև առկա է ուսումնական նյութի կրկնություն, ընդլայնում և խորը յուրացում։

Ես սկսեցի աշխատել իմ թեզի հետազոտության այս թեմայի շուրջ կուրսային աշխատանք գրելով: Որի ընթացքում ես ավելի խորությամբ ուսումնասիրեցի և վերլուծեցի այս թեմայի վերաբերյալ մաթեմատիկական գրականությունը, բացահայտեցի էքսպոնենցիալ հզորության հավասարումների և անհավասարությունների լուծման ամենահարմար մեթոդը:

Դա կայանում է նրանում, որ ի հավելումն ընդհանուր ընդունված մոտեցման՝ էքսպոնենցիալ հզորության հավասարումներ լուծելիս (հիմքը վերցվում է 0-ից մեծ) և նույն անհավասարությունները լուծելիս (հիմքը վերցվում է 1-ից մեծ կամ 0-ից մեծ, բայց փոքր. 1), դիտարկվում են նաև այն դեպքերը, երբ հիմքերը բացասական են՝ 0 և 1։

Գրավոր վերլուծություն քննական թերթիկներԱշակերտները ցույց են տալիս, որ դպրոցական դասագրքերում էքսպոնենցիալ-ուժային ֆունկցիայի փաստարկի բացասական արժեքի հարցի լուսաբանման բացակայությունը նրանց առաջացնում է մի շարք դժվարություններ և հանգեցնում սխալների։ Եվ նաև խնդիրներ ունեն ստացված արդյունքների համակարգման փուլում, որտեղ հավասարմանը անցնելու պատճառով՝ հետևանք կամ անհավասարություն՝ հետևանք, կարող են առաջանալ կողմնակի արմատներ։ Սխալները վերացնելու համար մենք օգտագործում ենք սկզբնական հավասարման կամ անհավասարության ստուգում և էքսպոնենցիալ հզորության հավասարումների լուծման ալգորիթմ կամ էքսպոնենցիալ հզորության անհավասարությունների լուծման պլան։

Ավարտական ​​և ընդունելության քննությունները ուսանողների հաջողությամբ հանձնելու համար, կարծում եմ, պետք է ավելի մեծ ուշադրություն դարձնել դասասենյակում կամ լրացուցիչ ընտրովի առարկաներում և օղակներում էքսպոնենցիալ ուժային հավասարումների և անհավասարությունների լուծմանը։

Այսպիսով առարկա , իմ թեզսահմանվում է հետևյալ կերպ. «Էքսպոնենցիալ-ուժային հավասարումներ և անհավասարություններ».

Նպատակներ այս աշխատանքից են.

1. Վերլուծե՛ք այս թեմայով գրականությունը:

2. Տալ ամբողջական վերլուծությունէքսպոնենցիալ հզորության հավասարումների և անհավասարությունների լուծումներ։

3. Բերե՛ք բավարար թվով օրինակներ այս թեմայի վերաբերյալ տարբեր տեսակի:

4. Դասի, ընտրովի և շրջանագծի դասերին ստուգեք, թե ինչպես են ընկալվելու էքսպոնենցիալ հզորության հավասարումների և անհավասարությունների լուծման առաջարկվող մեթոդները: Տվեք համապատասխան առաջարկություններ այս թեմայի ուսումնասիրության համար:

Առարկա մեր հետազոտությունը էքսպոնենցիալ հզորության հավասարումների և անհավասարությունների լուծման տեխնիկայի մշակումն է:

Ուսումնասիրության նպատակը և առարկան պահանջում էին հետևյալ խնդիրների լուծումը.

1. Ուսումնասիրեք գրականությունը՝ «Էքսպոնենցիալ-ուժային հավասարումներ և անհավասարումներ» թեմայով։

2. Տիրապետել էքսպոնենցիալ-ուժային հավասարումների և անհավասարությունների լուծման մեթոդներին:

3. Ընտրեք ուսումնական նյութ և մշակեք տարբեր մակարդակների վարժությունների համակարգ՝ «Էքսպոնենցիալ-ուժային հավասարումների և անհավասարությունների լուծում» թեմայով։

Ատենախոսության հետազոտության ընթացքում ավելի քան 20 աշխատանք նվիրված է կիրառմանը տարբեր մեթոդներէքսպոնենցիալ հզորության հավասարումների և անհավասարությունների լուծումներ։ Այստեղից մենք ստանում ենք.

Թեզի պլան.

Ներածություն.

Գլուխ I. Հետազոտության թեմայի վերաբերյալ գրականության վերլուծություն:

Գլուխ II. Ֆունկցիաները և դրանց հատկությունները, որոնք օգտագործվում են էքսպոնենցիալ հզորության հավասարումների և անհավասարությունների լուծման ժամանակ:

II.1. Հզորության ֆունկցիան և դրա հատկությունները:

II.2. Էքսպոնենցիալ ֆունկցիան և դրա հատկությունները:

Գլուխ III. Էքսպոնենցիալ հզորության հավասարումների լուծում, ալգորիթմ և օրինակներ։

Գլուխ IV. Էքսպոնենցիալ հզորության անհավասարությունների լուծում, լուծման պլան և օրինակներ։

Գլուխ V. Դպրոցականների հետ այս թեմայով դասեր անցկացնելու փորձ:

1. Ուսումնական նյութ.

2. Անկախ լուծման առաջադրանքներ.

Եզրակացություն. Եզրակացություններ և առաջարկներ.

Օգտագործված գրականության ցանկ.

I գլխում վերլուծված գրականություն

Այս դասում մենք կքննարկենք տարբեր էքսպոնենցիալ անհավասարություններ և կսովորենք, թե ինչպես լուծել դրանք՝ հիմնվելով ամենապարզ էքսպոնենցիալ անհավասարումների լուծման մեթոդի վրա։

1. Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի սահմանումը և հատկությունները

Հիշեք էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի սահմանումը և հիմնական հատկությունները: Հատկությունների վրա է հիմնված բոլոր էքսպոնենցիալ հավասարումների և անհավասարությունների լուծումը:

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիաձևի ֆունկցիան է, որտեղ հիմքը աստիճանն է, իսկ այստեղ x-ը անկախ փոփոխական է՝ արգումենտ; y - կախյալ փոփոխական, ֆունկցիա:

Բրինձ. 1. Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկ

Գրաֆիկը ցույց է տալիս աճող և նվազող ցուցիչ՝ ցույց տալով էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիան համապատասխանաբար մեկից մեծ և մեկից փոքր, բայց զրոյից մեծ հիմքի վրա:

Երկու կորերն էլ անցնում են կետով (0;1)

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկությունները:

Դոմեն՝ ;

Արժեքների միջակայք.

Ֆունկցիան միապաղաղ է, մեծանում է, ինչպես նվազում է:

Միապաղաղ ֆունկցիան ընդունում է իր արժեքներից յուրաքանչյուրը փաստարկի մեկ արժեքով:

Երբ, երբ արգումենտը մեծանում է մինուսից մինչև գումարած անվերջություն, ֆունկցիան զրոյից, ոչ ներառականից, ավելանում է դեպի գումարած անսահմանություն, այսինքն՝ փաստարկի տրված արժեքների համար մենք ունենք միապաղաղ աճող ֆունկցիա (): Երբ, ընդհակառակը, երբ արգումենտը մեծանում է մինուսից մինչև գումարած անվերջություն, ֆունկցիան անսահմանությունից նվազում է զրոյի, ներառյալ, այսինքն՝ փաստարկի տրված արժեքների համար մենք ունենք միապաղաղ նվազող ֆունկցիա ():

2. Ամենապարզ էքսպոնենցիալ անհավասարությունները, լուծման տեխնիկան, օրինակ

Ելնելով վերոգրյալից՝ մենք ներկայացնում ենք պարզագույն էքսպոնենցիալ անհավասարությունների լուծման մեթոդ.

Անհավասարությունների լուծման մեթոդ.

Հավասարեցնել աստիճանների հիմքերը;

Համեմատեք ցուցանիշները՝ պահելով կամ փոխելով անհավասարության հակառակ նշանը:

Բարդ էքսպոնենցիալ անհավասարությունների լուծումը, որպես կանոն, բաղկացած է դրանց կրճատումից մինչև ամենապարզ ցուցողական անհավասարությունները։

Աստիճանի հիմքը մեկից մեծ է, ինչը նշանակում է, որ անհավասարության նշանը պահպանվում է.

Եկեք փոխակերպենք աջ կողմը ըստ աստիճանի հատկությունների.

Աստիճանի հիմքը մեկից փոքր է, անհավասարության նշանը պետք է հակադարձվի.

Քառակուսային անհավասարությունը լուծելու համար լուծում ենք համապատասխան քառակուսային հավասարումը.

Վիետայի թեորեմով մենք գտնում ենք արմատները.

Պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր։

Այսպիսով, մենք ունենք անհավասարության լուծում.

Հեշտ է կռահել, որ աջ կողմը կարող է ներկայացվել որպես զրոյական ցուցիչ ունեցող ուժ.

Աստիճանի հիմքը մեկից մեծ է, անհավասարության նշանը չի փոխվում, ստանում ենք.

Հիշեք նման անհավասարությունների լուծման կարգը.

Դիտարկենք կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիա.

Գտնել սահմանման տիրույթը.

Մենք գտնում ենք ֆունկցիայի արմատները.

Ֆունկցիան ունի մեկ արմատ,

Մենք առանձնացնում ենք նշանի կայունության միջակայքերը և յուրաքանչյուր ինտերվալի վրա որոշում ֆունկցիայի նշանները.

Բրինձ. 2. Նշանի կայունության միջակայքերը

Այսպիսով, մենք ստացանք պատասխանը.

Պատասխան.

3. Տիպիկ էքսպոնենցիալ անհավասարությունների լուծում

Դիտարկենք նույն ցուցիչներով, բայց տարբեր հիմքերով անհավասարությունները:

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկություններից մեկն այն է, որ այն խստորեն դրական արժեքներ է ընդունում փաստարկի ցանկացած արժեքի համար, ինչը նշանակում է, որ այն կարելի է բաժանել էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի: Տրված անհավասարությունը բաժանենք աջ կողմի վրա.

Աստիճանի հիմքը մեկից մեծ է, անհավասարության նշանը պահպանված է։

Եկեք պատկերացնենք լուծումը.

Նկար 6.3-ում ներկայացված են ֆունկցիաների գրաֆիկները և . Ակնհայտ է, որ երբ արգումենտը զրոյից մեծ է, ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է ավելի բարձր, այս ֆունկցիան ավելի մեծ է։ Երբ փաստարկի արժեքները բացասական են, ֆունկցիան անցնում է ներքևում, այն ավելի քիչ է: Եթե ​​փաստարկի արժեքը հավասար է, ապա տվյալ կետը նույնպես լուծում է տրված անհավասարությանը։

Բրինձ. 3. Նկարազարդում օրինակ 4

Տրված անհավասարությունը փոխակերպում ենք ըստ աստիճանի հատկությունների.

Ահա նմանատիպ անդամներ.

Եկեք երկու մասերը բաժանենք.

Այժմ մենք շարունակում ենք լուծել օրինակ 4-ի նման, մենք երկու մասերը բաժանում ենք հետևյալի.

Աստիճանի հիմքը մեկից մեծ է, անհավասարության նշանը պահպանվում է.

4. Էքսպոնենցիալ անհավասարությունների գրաֆիկական լուծում

Օրինակ 6 - լուծեք անհավասարությունը գրաֆիկորեն.

Դիտարկենք ձախ և աջ կողմերի ֆունկցիաները և գծագրե՛ք դրանցից յուրաքանչյուրը:

Ֆունկցիան ցուցիչ է, այն մեծանում է իր ամբողջ սահմանման տիրույթում, այսինքն՝ փաստարկի բոլոր իրական արժեքների համար:

Ֆունկցիան գծային է, որը նվազում է իր ամբողջ սահմանման տիրույթում, այսինքն՝ փաստարկի բոլոր իրական արժեքների համար:

Եթե ​​այս ֆունկցիաները հատվում են, այսինքն՝ համակարգն ունի լուծում, ապա նման լուծումը եզակի է և կարելի է հեշտությամբ կռահել։ Դա անելու համար կրկնեք ամբողջ թվերի վրա ()

Հեշտ է տեսնել, որ այս համակարգի արմատը հետևյալն է.

Այսպիսով, ֆունկցիայի գրաֆիկները հատվում են մեկին հավասար արգումենտով մի կետում:

Հիմա մենք պետք է պատասխան ստանանք։ Տրված անհավասարության իմաստն այն է, որ ցուցիչը պետք է մեծ կամ հավասար լինի գծային ֆունկցիայից, այսինքն՝ մեծ կամ հավասար լինի նրան։ Պատասխանն ակնհայտ է. (Նկար 6.4)

Բրինձ. 4. Նկարազարդում օրինակ 6

Այսպիսով, մենք դիտարկել ենք տարբեր բնորոշ էքսպոնենցիալ անհավասարությունների լուծումը: Հաջորդը, մենք դիմում ենք ավելի բարդ էքսպոնենցիալ անհավասարությունների դիտարկմանը:

Մատենագիտություն

Մորդկովիչ Ա.Գ. Հանրահաշիվ և սկիզբ մաթեմատիկական վերլուծություն. - M.: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravina O. V. Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական վերլուծության սկիզբը: - Մ.: Բաստարդ: Կոլմոգորով Ա. Ն., Աբրամով Ա. - Մ.: Լուսավորություն:

Մաթեմատիկա. մդ . Մաթեմատիկա-կրկնություն. com. Դիֆուր. քեմսու. ru.

Տնային աշխատանք

1. Հանրահաշիվը և վերլուծության սկիզբը, 10-11 դասարաններ (Ա. Ն. Կոլմոգորով, Ա. Մ. Աբրամով, Յու. Պ. Դուդնիցին) 1990 թ., թիվ 472, 473;

2. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

3. Լուծի՛ր անհավասարությունը։

Շատերը կարծում են, որ էքսպոնենցիոնալ անհավասարությունները այնքան բարդ և անհասկանալի բան են: Եվ որ դրանք լուծել սովորելը գրեթե մեծ արվեստ է, որը միայն ընտրյալներն են կարողանում ընկալել...

Կատարյալ անհեթեթություն! Էքսպոնենցիալ անհավասարությունները հեշտ են: Եվ դրանք միշտ հեշտ է լուծել: Դե, գրեթե միշտ: :)

Այսօր մենք կվերլուծենք այս թեման հեռու և լայնորեն: Այս դասը շատ օգտակար կլինի նրանց համար, ովքեր նոր են սկսում հասկանալ դպրոցական մաթեմատիկայի այս բաժինը: Սկսենք նրանից պարզ առաջադրանքներև եկեք անցնենք ավելիին դժվար հարցեր. Այսօր ոչ մի պսակ չի լինի, բայց այն, ինչ դուք հիմա կկարդաք, բավական կլինի լուծելու բոլոր տեսակի վերահսկողության և կառավարման անհավասարությունների մեծ մասը: անկախ աշխատանք. Եվ այս հարցում նույնպես ձեր քննությունը:

Ինչպես միշտ, եկեք սկսենք սահմանումից. Էքսպոնենցիալ անհավասարություն ցանկացած անհավասարություն է, որը պարունակում է էքսպոնենցիալ ֆունկցիա։ Այլ կերպ ասած, այն միշտ կարող է կրճատվել ձևի անհավասարության

\[((a)^(x)) \gt b\]

Որտեղ $b$-ի դերը կարող է լինել սովորական թիվ, կամ գուցե ավելի կոշտ բան: Օրինակներ. Այո խնդրում եմ:

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((2)^(x)) \gt 4;\քառակուսի ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ քառակուսի ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\քառակուսի ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Իմ կարծիքով իմաստը պարզ է՝ կա $((a)^(x))$ էքսպոնենցիալ ֆունկցիա, այն համեմատվում է ինչ-որ բանի հետ, հետո խնդրում են գտնել $x$։ Հատկապես կլինիկական դեպքերում $x$ փոփոխականի փոխարեն նրանք կարող են տեղադրել $f\left(x \right)$ ինչ-որ ֆունկցիա և դրանով իսկ մի փոքր բարդացնել անհավասարությունը: :)

Իհարկե, որոշ դեպքերում անհավասարությունը կարող է ավելի խիստ թվալ: Օրինակ:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Կամ նույնիսկ սա.

Ընդհանուր առմամբ, նման անհավասարությունների բարդությունը կարող է շատ տարբեր լինել, բայց ի վերջո դրանք դեռ հանգում են $((a)^(x)) \gt b$ պարզ կառուցվածքին: Եվ մենք ինչ-որ կերպ կզբաղվենք նման դիզայնի հետ (հատկապես կլինիկական դեպքերում, երբ մտքին ոչինչ չի գալիս, լոգարիթմները մեզ կօգնեն): Հետեւաբար, հիմա մենք կսովորենք, թե ինչպես լուծել նման պարզ կոնստրուկցիաները:

Պարզագույն էքսպոնենցիալ անհավասարությունների լուծում

Եկեք նայենք մի շատ պարզ բանի. Օրինակ, ահա այն.

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Ակնհայտ է, որ աջ կողմում գտնվող թիվը կարող է վերագրվել որպես երկուի ուժ՝ $4=((2)^(2))$: Այսպիսով, սկզբնական անհավասարությունը վերագրվում է շատ հարմար ձևով.

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Իսկ հիմա ձեռքերը քոր են գալիս աստիճանների հիմքերում կանգնած դյուզերը «խաչելու» համար, որպեսզի ստանան $x \gt 2$ պատասխանը։ Բայց նախքան որևէ բան հատելը, եկեք հիշենք երկուսի ուժերը.

\[((2)^(1))=2;\չորս ((2)^(2))=4;\քառակուսի ((2)^(3))=8;\չորս ((2)^( 4))=16;...\]

Ինչպես տեսնում ենք, թե ինչ ավելինկանգնած է ցուցիչում, այնքան մեծ է ելքային թիվը: «Շնորհակալ եմ, Կապի՛կ»: ուսանողներից մեկը կբացականչի. Արդյո՞ք դա այլ կերպ է տեղի ունենում: Ցավոք, դա տեղի է ունենում: Օրինակ:

\[((\left(\frac(1)(2) \աջ))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ աջ))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \աջ))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Այստեղ էլ ամեն ինչ տրամաբանական է՝ որքան մեծ է աստիճանը, այնքան 0,5 թիվը բազմապատկվում է ինքն իրեն (այսինքն՝ կիսով չափ բաժանվում է)։ Այսպիսով, ստացված թվերի հաջորդականությունը նվազում է, և առաջին և երկրորդ հաջորդականությունների միջև տարբերությունը միայն հիմքում է.

• Եթե ​​$a \gt աստիճանի հիմքը 1$ է, ապա $n$ ցուցիչի աճի հետ $((a)^(n))$ թիվը նույնպես կաճի.
• Եվ հակառակը, եթե $0 \lt a \lt 1$, ապա $n$ ցուցիչի աճի հետ $((a)^(n))$ թիվը կնվազի:

Ամփոփելով այս փաստերը՝ մենք ստանում ենք ամենակարևոր պնդումը, որի վրա հիմնված է էքսպոնենցիալ անհավասարությունների ամբողջ լուծումը.

Եթե ​​$a \gt 1$, ապա $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ անհավասարությունը համարժեք է $x \gt n$ անհավասարությանը։ Եթե ​​$0 \lt a \lt 1$, ապա $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ անհավասարությունը համարժեք է $x \lt n$ անհավասարությանը:

Այլ կերպ ասած, եթե հիմքը մեկից մեծ է, կարող եք պարզապես հեռացնել այն, անհավասարության նշանը չի փոխվի: Իսկ եթե հիմքը մեկից պակաս է, ապա այն նույնպես կարելի է հեռացնել, բայց անհավասարության նշանը նույնպես պետք է փոխվի։

Նկատի ունեցեք, որ մենք չենք դիտարկել $a=1$ և $a\le 0$ տարբերակները: Որովհետեւ այս դեպքերում անորոշություն կա։ Ենթադրենք՝ ինչպե՞ս լուծել $((1)^(x)) \gt 3$ ձևի անհավասարությունը։ Մեկը ցանկացած ուժի կրկին կտա մեկ. մենք երբեք չենք ստանա երեք կամ ավելի: Նրանք. լուծումներ չկան.

Բացասական հիմքերով էլ ավելի հետաքրքիր է։ Դիտարկենք, օրինակ, հետևյալ անհավասարությունը.

\[((\ձախ(-2 \աջ))^(x)) \gt 4\]

Առաջին հայացքից ամեն ինչ պարզ է.

Ճի՞շտ է: Բայց ոչ! Բավական է $x$-ի փոխարեն մի քանի զույգ թվեր և զույգեր փոխարինել կենտ թվերհամոզվելու համար, որ լուծումը սխալ է: Նայել:

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & x=4\Աջ սլաք ((\ձախ(-2 \աջ))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Աջ սլաք ((\ձախ(-2 \աջ))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Աջ սլաք ((\ձախ(-2 \աջ))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Աջ սլաք ((\ձախ(-2 \աջ))^(7))=-128 \lt 4. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Ինչպես տեսնում եք, նշանները հերթափոխ են լինում։ Բայց դեռ կան կոտորակային աստիճաններ և այլ թիթեղներ: Ինչպե՞ս, օրինակ, կհրամայեիք հաշվել $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (մինուս երկու բարձրացված յոթի արմատին): Ոչ մի դեպքում!

Հետևաբար, որոշակիության համար մենք ենթադրում ենք, որ բոլոր էքսպոնենցիալ անհավասարություններում (և, ի դեպ, նաև հավասարումներում) $1\ne a \gt 0$։ Եվ հետո ամեն ինչ լուծվում է շատ պարզ.

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Աջ սլաք \ձախ[ \սկիզբ (հավասարեցնել) & x \gt n\չորս \ձախ (a \gt 1 \աջ), \\ & x \lt n\չորս \ձախ (0 \lt a \lt 1 \աջ): \\\վերջ (հավասարեցնել) \աջ:\]

Ընդհանուր առմամբ, ևս մեկ անգամ հիշեք հիմնական կանոնը. եթե էքսպոնենցիալ հավասարման հիմքը մեկից մեծ է, կարող եք պարզապես հեռացնել այն. իսկ եթե հիմքը մեկից փոքր է, այն նույնպես կարելի է հեռացնել, բայց դա կփոխի անհավասարության նշանը։

Լուծման օրինակներ

Այսպիսով, հաշվի առեք մի քանի պարզ էքսպոնենցիալ անհավասարություններ.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1) ^ (1-x)) \lt 0.01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25): \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Առաջնային խնդիրը բոլոր դեպքերում նույնն է՝ անհավասարությունները կրճատել $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ամենապարզ ձևի: Սա այն է, ինչ մենք հիմա կանենք յուրաքանչյուր անհավասարության հետ, և միևնույն ժամանակ կկրկնենք հզորությունների հատկությունները և էքսպոնենցիալ ֆունկցիան։ Ուրեմն գնանք։

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Ի՞նչ կարելի է անել այստեղ: Դե, ձախում մենք արդեն ցուցադրական արտահայտություն ունենք՝ ոչինչ պետք չէ փոխել։ Բայց աջ կողմում կա ինչ-որ հիմարություն. կոտորակ, և նույնիսկ արմատը հայտարարի մեջ:

Այնուամենայնիվ, հիշեք կոտորակների և հզորությունների հետ աշխատելու կանոնները.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Ինչ է դա նշանակում? Նախ՝ մենք հեշտությամբ կարող ենք ազատվել կոտորակից՝ այն վերածելով բացասական ցուցիչի։ Եվ երկրորդը, քանի որ հայտարարը արմատն է, լավ կլիներ այն վերածել աստիճանի, այս անգամ կոտորակային ցուցիչով:

Եկեք այս գործողությունները հաջորդաբար կիրառենք անհավասարության աջ կողմում և տեսնենք, թե ինչ է տեղի ունենում.

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \աջ))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \աջ))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \աջ)))=(2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Մի մոռացեք, որ աստիճանը բարձրացնելիս ավելացվում են այդ աստիճանների ցուցիչները: Եվ ընդհանրապես, էքսպոնենցիալ հավասարումների և անհավասարությունների հետ աշխատելիս բացարձակապես անհրաժեշտ է իմանալ հզորությունների հետ աշխատելու առնվազն ամենապարզ կանոնները.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \աջ))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Իրականում, վերջին կանոնըմենք նոր ենք դիմել։ Հետևաբար, մեր սկզբնական անհավասարությունը կվերագրվի հետևյալ կերպ.

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ ֆրակ (1) (3)))\]

Այժմ մենք ազատվում ենք հիմքում ընկած դյուցիայից: Քանի որ 2 > 1, անհավասարության նշանը մնում է նույնը.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & x-1\le -\frac(1)(3)\Աջ սլաք x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \աջ]: \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Սա է ամբողջ լուծումը: Հիմնական դժվարությունը ամենևին էլ էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիայի մեջ չէ, այլ բնօրինակ արտահայտության իրավասու վերափոխման մեջ. անհրաժեշտ է զգույշ և որքան հնարավոր է արագ այն հասցնել իր ամենապարզ ձևին:

Դիտարկենք երկրորդ անհավասարությունը.

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Այնպես ոչինչ. Այստեղ մենք սպասում ենք տասնորդական կոտորակների: Ինչպես բազմիցս ասել եմ, հզորություններ ունեցող ցանկացած արտահայտությունում պետք է ազատվել տասնորդական կոտորակներից. հաճախ դա արագ և հեշտ լուծում տեսնելու միակ միջոցն է: Ահա թե ինչից մենք կազատվենք.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ ճիշտ)) ^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Աջ սլաք ((\ ձախ(\frac(1)(10) \աջ))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \աջ))^(2)). \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Մեր առջև կրկին ամենապարզ անհավասարությունն է, և նույնիսկ 1/10 հիմքով, այսինքն. մեկից պակաս: Դե, մենք հանում ենք հիմքերը՝ միաժամանակ նշանը «պակաս»-ից «մեծ» փոխելով և ստանում ենք.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Մենք ստացանք վերջնական պատասխանը՝ $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ պատասխանը հենց սահմանված է, և ոչ մի դեպքում $x \lt -1$ ձևի կառուցումը: Որովհետև ֆորմալ առումով նման շինարարությունն ամենևին էլ բազմություն չէ, այլ անհավասարություն $x$ փոփոխականի նկատմամբ։ Այո, դա շատ պարզ է, բայց դա պատասխան չէ:

Կարևոր նշում. Այս անհավասարությունը կարող է լուծվել այլ կերպ՝ երկու մասերն էլ հասցնելով մեկից մեծ հիմք ունեցող հզորության: Նայել:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Աջ սլաք ((\ ձախ(((10)^(-1)) \աջ))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \աջ))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \աջ))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Այս փոխակերպումից հետո մենք կրկին ստանում ենք էքսպոնենցիալ անհավասարություն, բայց հիմքով 10 > 1: Իսկ դա նշանակում է, որ դուք կարող եք պարզապես հատել տասը - անհավասարության նշանը չի փոխվի: Մենք ստանում ենք.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & -1\cdot \left(1-x \աջ) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Ինչպես տեսնում եք, պատասխանը միանգամայն նույնն է. Միևնույն ժամանակ, մենք մեզ փրկեցինք նշանը փոխելու և այնտեղ ընդհանրապես որոշ կանոններ հիշելու անհրաժեշտությունից: :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Այնուամենայնիվ, թույլ մի տվեք, որ դա ձեզ վախեցնի: Ինչ էլ որ լինի ցուցանիշներում, անհավասարությունը լուծելու տեխնոլոգիան ինքնին մնում է նույնը։ Հետեւաբար, մենք նախ նշում ենք, որ 16 = 2 4: Վերաշարադրենք սկզբնական անհավասարությունը՝ հաշվի առնելով այս փաստը.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Ուռա՜ Մենք ստացանք սովորականը քառակուսի անհավասարություն! Նշանը ոչ մի տեղ չի փոխվել, քանի որ հիմքը դյուզ է՝ մեկից մեծ թիվ։

Թվային տողի վրա զրո ֆունկցիաներ

Մենք դասավորում ենք $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ ֆունկցիայի նշանները - ակնհայտորեն, նրա գրաֆիկը կլինի պարաբոլա՝ ճյուղերով վերև, հետևաբար կլինեն «պլյուսներ» » կողմերի վրա: Մեզ հետաքրքրում է այն տարածաշրջանը, որտեղ ֆունկցիան զրոյից փոքր է, այսինքն. $x\in \left(2;5 \right)$-ը սկզբնական խնդրի պատասխանն է:

Վերջապես, հաշվի առեք ևս մեկ անհավասարություն.

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Կրկին մենք տեսնում ենք էքսպոնենցիալ ֆունկցիա՝ հիմքում տասնորդական կոտորակով: Այս կոտորակը փոխարկենք ընդհանուր կոտորակի.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=(5)^(-1))\Աջ սլաք \\ & \Աջ սլաք ((0) ,2)^(1+((x)^(2)))=((\ձախ(((5)^(-1)) \աջ))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \աջ)))\վերջ (հավասարեցնել)\]

Այս դեպքում մենք օգտվեցինք ավելի վաղ արված դիտողությունից՝ հիմքը իջեցրեցինք մինչև 5\u003e 1 թիվը՝ մեր հետագա որոշումը պարզեցնելու համար։ Եկեք նույնն անենք աջ կողմի հետ.

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \աջ))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ ճիշտ))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Եկեք վերաշարադրենք սկզբնական անհավասարությունը՝ հաշվի առնելով երկու փոխակերպումները.

\[((0,2)^(1+((x)^(2)))\ge \frac(1)(25)\Աջ սլաք ((5)^(-1\cdot \ձախ(1+ ((x)^(2)) \աջ)))\ge ((5)^(-2))\]

Երկու կողմերի հիմքերը նույնն են և մեկից մեծ: Աջ և ձախ այլ տերմիններ չկան, ուստի մենք պարզապես «հատում ենք» հինգերը և ստանում ենք շատ պարզ արտահայտություն.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \աջ)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\քառյակ \ձախ| \cdot \left(-1 \աջ) \աջ. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Այստեղ պետք է զգույշ լինել։ Շատ ուսանողներ սիրում են պարզապես հանել Քառակուսի արմատանհավասարության երկու մասերից և գրեք $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$-ի նման մի բան: Դուք երբեք չպետք է դա անեք, քանի որ ճշգրիտ քառակուսու արմատը մոդուլ է, և ոչ մի դեպքում բնօրինակ փոփոխականը.

\[\sqrt(((x)^(2)))=\ձախ| x\աջ|\]

Այնուամենայնիվ, մոդուլների հետ աշխատելը ամենահաճելի փորձը չէ, չէ՞: Այսպիսով, մենք չենք աշխատի: Փոխարենը, մենք պարզապես տեղափոխում ենք բոլոր տերմինները դեպի ձախ և լուծում ենք սովորական անհավասարությունը՝ օգտագործելով միջակայքի մեթոդը.

$\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \ձախ (x-1 \աջ)\ձախ (x+1 \աջ)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\քառակուսի ((x)_(2)) =-1; \\\վերջ (հավասարեցնել)$

Կրկին թվային տողի վրա նշում ենք ստացված կետերը և նայում նշաններին.

Խնդրում ենք նկատի ունենալ. կետերը ստվերված են:

Քանի որ մենք լուծում էինք ոչ խիստ անհավասարություն, գրաֆիկի բոլոր կետերը ստվերված են: Հետևաբար, պատասխանը կլինի․ $x\in \left[ -1;1 \right]$-ը ոչ թե միջակայք է, այլ հատված։

Ընդհանուր առմամբ, ուզում եմ նշել, որ էքսպոնենցիալ անհավասարությունների մեջ բարդ բան չկա։ Բոլոր փոխակերպումների իմաստը, որոնք մենք այսօր կատարեցինք, հանգում է մի պարզ ալգորիթմի.

• Գտեք այն հիմքը, որին մենք կնվազեցնենք բոլոր աստիճանները.
• Զգուշորեն կատարեք փոխակերպումներ՝ $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ձևի անհավասարություն ստանալու համար։ Իհարկե, $x$ և $n$ փոփոխականների փոխարեն կարող են լինել շատ ավելի բարդ ֆունկցիաներ, բայց դա չի փոխում իմաստը.
• Անջատեք աստիճանների հիմքերը: Այս դեպքում անհավասարության նշանը կարող է փոխվել, եթե հիմքը $a \lt 1$ է:

Փաստորեն, սա ունիվերսալ ալգորիթմ է բոլոր նման անհավասարությունները լուծելու համար։ Իսկ մնացած ամեն ինչ, որ կպատմվի ձեզ այս թեմայով, ընդամենը կոնկրետ հնարքներ ու հնարքներ են՝ փոխակերպումը պարզեցնելու և արագացնելու համար։ Ահա այդ հնարքներից մեկը, որի մասին հիմա կխոսենք: :)

ռացիոնալացման մեթոդ

Դիտարկենք անհավասարությունների մեկ այլ խմբաքանակ.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \աջ))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\ ձախ (\frac(1)(3) \աջ))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \աջ))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \աջ))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Դե, ինչն է այդքան առանձնահատուկ նրանց մեջ: Նրանք նաև թեթև են: Չնայած, կանգ առե՛ք։ Արդյո՞ք pi-ն բարձրացված է իշխանության: Ինչպիսի անհեթեթություն:

Իսկ ինչպե՞ս կարելի է $2\sqrt(3)-3$ թիվը հասցնել հզորության։ Կամ $3-2\sqrt(2)$? Խնդիրները կազմողները ակնհայտորեն չափից շատ «ալոճեն» են խմել մինչև աշխատանքի նստելը։ :)

Փաստորեն, այս առաջադրանքների մեջ ոչ մի վատ բան չկա: Հիշեցնեմ՝ էքսպոնենցիալ ֆունկցիան $((a)^(x))$ ձևի արտահայտությունն է, որտեղ $a$ հիմքը ցանկացած դրական թիվ է, բացի մեկից։ π թիվը դրական է - մենք արդեն գիտենք դա: $2\sqrt(3)-3$ և $3-2\sqrt(2)$ թվերը նույնպես դրական են. սա հեշտ է տեսնել, եթե դրանք համեմատենք զրոյի հետ:

Ստացվում է, որ այս բոլոր «սարսափելի» անհավասարությունները ոչնչով չեն տարբերվում վերը քննարկված պարզներից։ Իսկ նրանք նույն կերպ են անում? Այո, միանգամայն ճիշտ: Այնուամենայնիվ, օգտագործելով նրանց օրինակը, ես կցանկանայի դիտարկել մեկ հնարք, որը շատ ժամանակ է խնայում ինքնուրույն աշխատանքի և քննությունների վրա: Մենք կխոսենք ռացիոնալացման մեթոդի մասին: Այսպիսով, ուշադրություն.

$((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ձևի ցանկացած էքսպոնենցիալ անհավասարություն համարժեք է $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \) անհավասարությանը: աջ) \gt 0 $.

Սա է ամբողջ մեթոդը: :) Մտածում էիք, որ հաջորդ խաղը կլինի: Ոչ մի նման բան! Բայց այս պարզ փաստը, որը գրված է բառացիորեն մեկ տողով, մեծապես կպարզեցնի մեր աշխատանքը։ Նայել:

\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^((x)^(2))-3x+2)) \\ \Ներքև \\ \ձախ(x+7-\ձախ((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\ end (matrix)\]

Այստեղ այլևս էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիաներ չկան: Եվ պետք չէ հիշել՝ նշանը փոխվում է, թե ոչ։ Բայց մի նոր խնդիր է առաջանում՝ ի՞նչ անել կատաղած բազմապատկիչի հետ: Մենք չգիտենք, թե դա ինչպես է ճշգրիտ արժեքթվեր π. Այնուամենայնիվ, կապիտանը կարծես ակնարկում է ակնհայտը.

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\մոտ 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]

Ընդհանրապես, π-ի ճշգրիտ արժեքը մեզ այնքան էլ չի անհանգստացնում. մեզ համար միայն կարևոր է հասկանալ, որ ամեն դեպքում $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2: $, t .e. դրական հաստատուն է, և մենք կարող ենք դրա վրա բաժանել անհավասարության երկու կողմերը.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & \ձախ(x+7-\ձախ(((x)^(2))-3x+2 \աջ) \աջ)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\քառյակ \ձախ| \cdot \left(-1 \աջ) \աջ. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \ձախ (x-5 \աջ)\ձախ (x+1 \աջ) \lt 0. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Ինչպես տեսնում եք, որոշակի կետում մենք պետք է բաժանեինք մինուս մեկի, և անհավասարության նշանը փոխվեց: Վերջում ես ընդլայնեցի քառակուսի եռանկյունը՝ ըստ Վիետայի թեորեմի - ակնհայտ է, որ արմատները հավասար են $((x)_(1))=5$-ի և $((x)_(2))=- 1$. Այնուհետև ամեն ինչ լուծվում է ինտերվալների դասական մեթոդով.

Անհավասարությունը լուծում ենք ինտերվալների մեթոդով

Բոլոր կետերը ծակված են, քանի որ սկզբնական անհավասարությունը խիստ է: Մեզ հետաքրքրում է բացասական արժեքներով տարածքը, ուստի պատասխանը $x\in \left(-1;5 \right)$ է։ Սա է լուծումը: :)

Անցնենք հաջորդ առաջադրանքին.

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \աջ))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Այստեղ ամեն ինչ պարզ է, քանի որ աջ կողմում կա միավոր: Եվ մենք հիշում ենք, որ միավորը զրոյի մեծացված ցանկացած թիվ է: Նույնիսկ եթե այս թիվը իռացիոնալ արտահայտություն է, ձախ կողմում կանգնած հիմքում.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((\ ձախ (2\sqrt (3)-3 \աջ))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\ձախ (2) \sqrt(3)-3\աջ))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \աջ))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \աջ)) ^ (0)); \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Այսպիսով, եկեք հիմնավորենք.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \ձախ (((x)^(2))-2x-0 \աջ)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \աջ) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\վերջ (հավասարեցնել)\ ]

Մնում է միայն զբաղվել նշաններով։ $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ բազմապատկիչը չի պարունակում $x$ փոփոխականը, դա ուղղակի հաստատուն է, և մենք պետք է պարզենք դրա նշանը: Դա անելու համար նշեք հետևյալը.

\[\ սկիզբ (մատրիցան) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Ներքև \\ 2\ ձախ (\sqrt(3)-2 \աջ) \lt 2\cdot \left(2) -2 \աջ)=0 \\\վերջ (մատրիցան)\]

Ստացվում է, որ երկրորդ գործոնը պարզապես հաստատուն չէ, այլ բացասական հաստատուն։ Իսկ դրա վրա բաժանելիս սկզբնական անհավասարության նշանը կփոխվի հակառակի.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \ձախ (((x)^(2))-2x-0 \աջ)\cdot 2\ ձախ (\sqrt(3)-2 \աջ) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\ ձախ (x-2 \աջ) \gt 0. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Հիմա ամեն ինչ միանգամայն ակնհայտ է դառնում։ Արմատներ քառակուսի եռանկյունաջ կողմում՝ $((x)_(1))=0$ և $((x)_(2))=2$: Մենք դրանք նշում ենք թվային տողի վրա և դիտում ենք $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ ֆունկցիայի նշանները:

Այն դեպքը, երբ մեզ հետաքրքրում են կողային միջակայքերը

Մեզ հետաքրքրում են գումարած նշանով նշված միջակայքերը։ Մնում է միայն գրել պատասխանը.

Անցնենք հաջորդ օրինակին.

\[((\left(\frac(1)(3) \աջ))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ ճիշտ))^(16-x))\]

Դե, այստեղ ամեն ինչ միանգամայն ակնհայտ է՝ հիմքերը նույն թվի ուժեր են։ Ուստի ամեն ինչ հակիրճ կգրեմ.

\[\սկիզբ(մատրիցան) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Ներքև \\ ((\ձախ((3)^(-1)) \աջ))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\ ձախ (((3)^(-2)) \աջ))^(16-x)) \\\վերջ (մատրիցան)\]

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \աջ))) \gt ((3)^(-2\cdot \ ձախ (16-x\աջ))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \աջ) \աջ)\cdot \left(3-1 \աջ) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\քառյակ \ձախ| \cdot \left(-1 \աջ) \աջ. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \ձախ (x+8 \աջ)\ձախ (x-4 \աջ) \lt 0. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Ինչպես տեսնում եք, փոխակերպումների գործընթացում մենք ստիպված էինք բազմապատկել բացասական թվով, ուստի անհավասարության նշանը փոխվեց։ Հենց վերջում ես կրկին կիրառեցի Վիետայի թեորեմը՝ քառակուսի եռանկյունը գործոնացնելու համար։ Արդյունքում պատասխանը կլինի հետևյալը՝ $x\in \left(-8;4 \right)$ - ցանկացողները կարող են դա հաստատել՝ գծելով թվային գիծ, ​​նշելով կետեր և հաշվելով նշաններ։ Միևնույն ժամանակ, մենք կանցնենք մեր «բազմությունից» վերջին անհավասարությանը.

\[((\ձախ(3-2\sqrt(2) \աջ))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Ինչպես տեսնում եք, հիմքում նորից է իռացիոնալ թիվ, և միավորը կրկին աջ կողմում է: Հետևաբար, մենք վերագրում ենք մեր էքսպոնենցիալ անհավասարությունը հետևյալ կերպ.

\[((\left(3-2\sqrt(2) \աջ))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ ճիշտ է))^(0))\]

Եկեք հիմնավորենք.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \ձախ (3x-((x)^(2))-0 \աջ)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \աջ) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \աջ)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\վերջ (հավասարեցնել)\ ]

Այնուամենայնիվ, միանգամայն ակնհայտ է, որ $1-\sqrt(2) \lt 0$, քանի որ $\sqrt(2)\մոտ 1.4... \gt 1$: Հետևաբար, երկրորդ գործոնը կրկին բացասական հաստատուն է, որով կարելի է բաժանել անհավասարության երկու մասերը.

\[\ սկիզբ (մատրիցան) \left(3x-((x)^(2))-0 \աջ)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \ներքև \ \\վերջ (մատրիցան)\]

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \ձախ| \cdot \left(-1 \աջ) \աջ. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\ ձախ (x-3 \աջ) \lt 0. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Փոխել մեկ այլ բազա

Էքսպոնենցիալ անհավասարությունների լուծման առանձին խնդիր է «ճիշտ» հիմքի որոնումը։ Ցավոք սրտի, առաջադրանքի առաջին հայացքից միշտ էլ պարզ չէ, թե ինչ պետք է հիմք ընդունել և ինչ անել՝ որպես այս հիմքի աստիճան:

Բայց մի անհանգստացեք. այստեղ կախարդական և «գաղտնի» տեխնոլոգիաներ չկան։ Մաթեմատիկայի մեջ ցանկացած հմտություն, որը հնարավոր չէ ալգորիթմացնել, կարելի է հեշտությամբ զարգացնել պրակտիկայի միջոցով: Բայց դրա համար պետք է խնդիրներ լուծել տարբեր մակարդակներումդժվարություններ. Օրինակ՝ սրանք են.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\ ձախ (\ frac (1) (3) \ աջ)) ^ (\ frac (3) (x)))\ge ((3) ^ (2 + x)); \\ & ((\left(0,16 \աջ))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \աջ))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \աջ))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ վերջ (հավասարեցնել)\]

Բարդ? Վախկոտ? Այո, դա ավելի հեշտ է, քան հավը ասֆալտի վրա: Արի փորձենք. Առաջին անհավասարություն.

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Դե, կարծում եմ, այստեղ ամեն ինչ պարզ է.

Մենք վերագրում ենք սկզբնական անհավասարությունը՝ ամեն ինչ նվազեցնելով «երկու» հիմքի վրա.

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Աջ սլաք \ձախ(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \աջ)\cdot \ձախ(2-1 \աջ) \lt 0\]

Այո, այո, դուք ճիշտ հասկացաք. ես պարզապես կիրառել եմ վերը նկարագրված ռացիոնալացման մեթոդը։ Այժմ մենք պետք է ուշադիր աշխատենք. մենք ստացանք կոտորակային-ռացիոնալ անհավասարություն (սա այն մեկն է, որն ունի հայտարարի փոփոխական), այնպես որ նախքան ինչ-որ բան հավասարեցնելը զրոյի, դուք պետք է ամեն ինչ կրճատեք ընդհանուր հայտարարի և ձերբազատվեք հաստատուն գործոնից: .

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \ձախ (\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \աջ)\cdot \left(2-1 \աջ) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \աջ)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Այժմ մենք օգտագործում ենք ստանդարտ միջակայքի մեթոդը: Համարիչի զրոներ՝ $x=\pm 4$։ Հայտարարը զրոյի է հասնում միայն այն դեպքում, երբ $x=0$: Ընդհանուր առմամբ, կան երեք կետեր, որոնք պետք է նշվեն թվային գծի վրա (բոլոր կետերը բռունցքով հարվածված են, քանի որ անհավասարության նշանը խիստ է): Մենք ստանում ենք.

Ավելին դժվար գործերեք արմատ

Ինչպես դուք կարող եք կռահել, hatching-ը նշում է այն ընդմիջումները, որոնցով անցնում է ձախ կողմում գտնվող արտահայտությունը բացասական արժեքներ. Հետևաբար, վերջնական պատասխանին միանգամից երկու միջակայք կանցնեն.

Ինտերվալների ծայրերը ներառված չեն պատասխանում, քանի որ սկզբնական անհավասարությունը խիստ էր: Այս պատասխանի լրացուցիչ վավերացում չի պահանջվում: Այս առումով էքսպոնենցիալ անհավասարությունները շատ ավելի պարզ են, քան լոգարիթմականները՝ առանց DPV, սահմանափակումների և այլն։

Անցնենք հաջորդ առաջադրանքին.

\[((\ ձախ (\frac(1)(3) \աջ))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Այստեղ նույնպես խնդիրներ չկան, քանի որ մենք արդեն գիտենք, որ $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, այնպես որ ամբողջ անհավասարությունը կարելի է վերաշարադրել այսպես.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((\ ձախ (((3)^(-1)) \աջ))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \աջ) \աջ)\cdot \left(3-1 \աջ)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\ձախ(-2\աջ)\աջ: \\ & \frac (3) (x) + 2 + x\ le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Խնդրում ենք նկատի ունենալ. երրորդ տողում ես որոշեցի ժամանակ չվատնել մանրուքների վրա և անմիջապես ամեն ինչ բաժանել (−2) վրա։ Մինուլը մտավ առաջին փակագիծ (այժմ ամենուր պլյուսներ կան), և դյուզը կրճատվեց հաստատուն բազմապատկիչով։ Սա հենց այն է, ինչ դուք պետք է անեք, երբ իրական հաշվարկներ եք կատարում անկախ և վերահսկողական աշխատանք- կարիք չկա ուղղակիորեն նկարել յուրաքանչյուր գործողություն և վերափոխում:

Հաջորդը, գործի է դրվում ինտերվալների ծանոթ մեթոդը: Համարիչի զրոներ, բայց չկան: Որովհետև խտրականը բացասական կլինի։ Իր հերթին, հայտարարը սահմանվում է զրոյի միայն այն դեպքում, երբ $x=0$-ը, ինչպես նախորդ անգամ: Դե, պարզ է, որ կոտորակը դրական արժեքներ կընդունի $x=0$-ի աջ կողմում, իսկ բացասական արժեքները ձախից: Քանի որ մեզ հետաքրքրում են միայն բացասական արժեքները, վերջնական պատասխանը $x\in \left(-\infty ;0 \right)$ է։

\[((\left(0,16 \աջ))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \աջ))^(x))\ge 1\]

Իսկ ի՞նչ անել տասնորդական կոտորակների հետ էքսպոնենցիալ անհավասարություններում։ Ճիշտ է, ազատվեք դրանցից՝ դրանք սովորականի վերածելով: Ահա մենք թարգմանում ենք.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Աջ սլաք ((\ձախ(0,16 \աջ))^(1+2x)) =((\left(\frac(4)(25) \աջ))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\ ձախ(6,25 \աջ))^(x))=((\ձախ(\ frac(25)(4) \աջ))^(x)). \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Լավ, ի՞նչ ստացանք էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների հիմքերում։ Եվ մենք ստացանք երկու փոխադարձ թվեր.

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \աջ))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ աջ))^(x))=((\ձախ(((\left(\frac(4)(25) \աջ))^(-1)) \աջ))^(x))=((\ ձախ (\frac(4)(25) \աջ))^(-x))\]

Այսպիսով, սկզբնական անհավասարությունը կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((\ ձախ (\frac(4)(25) \աջ))^(1+2x))\cdot ((\ ձախ (\frac(4)(25) \աջ) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \աջ))^(1+2x+\left(-x \աջ)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \աջ)) ^ (0)); \\ & ((\ ձախ (\frac(4)(25) \աջ))^(x+1))\ge ((\ ձախ (\frac(4)(25) \աջ))^(0) ): \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Իհարկե, նույն հիմքով հզորությունները բազմապատկելիս դրանց ցուցիչները գումարվում են, ինչը տեղի ունեցավ երկրորդ տողում։ Բացի այդ, մենք ներկայացրել ենք միավորը աջ կողմում, ինչպես նաև որպես հզորություն 4/25 բազայում: Մնում է միայն հիմնավորել.

\[((\left(\frac(4)(25) \աջ))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \աջ))^(0)) \Աջ սլաք \ձախ(x+1-0 \աջ)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \աջ)\ge 0\]

Նշենք, որ $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, այսինքն. երկրորդ գործոնը բացասական հաստատուն է, և երբ բաժանվում է դրա վրա, անհավասարության նշանը կփոխվի.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & x+1-0\le 0\Աջ սլաք x\le -1; \\ & x\in \ձախ (-\infty ;-1 \աջ]. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Վերջապես, վերջին անհավասարությունը ընթացիկ «բազմությունից».

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \աջ))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

Սկզբունքորեն, այստեղ լուծման գաղափարը նույնպես պարզ է. անհավասարությունը կազմող բոլոր էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիաները պետք է կրճատվեն «3» բազային: Բայց դրա համար դուք պետք է մի փոքր շփվեք արմատների և աստիճանների հետ.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\քառատ 81=((3)^(4)): \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Հաշվի առնելով այս փաստերը, սկզբնական անհավասարությունը կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((\ ձախ (((3)^(\frac(8)(3))) \աջ))^(-x)) \lt ((\ ձախ ((3) ^(2)) \աջ))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3)) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)): \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Ուշադրություն դարձրեք հաշվարկների 2-րդ և 3-րդ տողերին՝ անհավասարությամբ որևէ բան անելուց առաջ անպայման հասցրեք այն ձևին, որի մասին մենք խոսում էինք դասի սկզբից՝ $((a)^(x)) \lt ( (ա)^(n))$. Քանի դեռ ունեք ձախ կամ աջ ձախ բազմապատկիչներ, լրացուցիչ հաստատուններ և այլն, հիմքերի ռացիոնալացում ու «հատում» չի կարող կատարվել! Այս պարզ փաստի թյուրիմացության պատճառով անթիվ առաջադրանքներ են կատարվել սխալ: Ես ինքս անընդհատ դիտարկում եմ այս խնդիրը իմ ուսանողների հետ, երբ մենք նոր ենք սկսում վերլուծել էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական անհավասարությունները:

Բայց վերադառնանք մեր առաջադրանքին: Փորձենք այս անգամ անել առանց ռացիոնալացման: Հիշում ենք․ Մենք ստանում ենք.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac (4x) (3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Այսքանը: Վերջնական պատասխան՝ $x\in \left(-\infty ;3 \աջ)$:

Ընդգծելով կայուն արտահայտությունը և փոխարինելով փոփոխականը

Եզրափակելով՝ առաջարկում եմ լուծել ևս չորս էքսպոնենցիալ անհավասարություններ, որոնք արդեն բավականին դժվար են անպատրաստ ուսանողների համար։ Դրանց հետ հաղթահարելու համար հարկավոր է հիշել աստիճանների հետ աշխատելու կանոնները։ Մասնավորապես՝ փակագծերից դուրս դնելով ընդհանուր գործոնները։

Բայց ամենակարևորը սովորել հասկանալ, թե կոնկրետ ինչ կարելի է փակագծել: Նման արտահայտությունը կոչվում է կայուն - այն կարելի է նշել նոր փոփոխականով և այդպիսով ազատվել էքսպոնենցիալ ֆունկցիայից։ Այսպիսով, եկեք նայենք առաջադրանքներին.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((5)^(x+2))+(5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\ձախ(0,5 \աջ))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Սկսենք հենց առաջին տողից։ Առանձին-առանձին գրենք այս անհավասարությունը.

\[((5)^(x+2))+(5)^(x+1))\ge 6\]

Նկատի ունեցեք, որ $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, այնպես որ աջ կողմը կարող է վերաշարադրել.

Նկատի ունեցեք, որ անհավասարության մեջ բացառությամբ $((5)^(x+1))$-ի այլ էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիաներ չկան: Իսկ ընդհանուր առմամբ, $x$ փոփոխականը այլ տեղ չի հանդիպում, ուստի եկեք ներկայացնենք նոր փոփոխական՝ $((5)^(x+1))=t$։ Մենք ստանում ենք հետևյալ շինարարությունը.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Մենք վերադառնում ենք սկզբնական փոփոխականին ($t=((5)^(x+1))$), և միևնույն ժամանակ հիշում ենք, որ 1=5 0: Մենք ունենք:

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Սա է ամբողջ լուծումը: Պատասխան՝ $x\in \ձախ[ -1;+\infty \աջ)$: Անցնենք երկրորդ անհավասարությանը.

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Այստեղ ամեն ինչ նույնն է. Նկատի ունեցեք, որ $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$: Այնուհետև ձախ կողմը կարող է վերաշարադրվել.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \ձախ| ((3)^(x))=t \ճիշտ. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Աջ սլաք x\in \ձախ[2;+\infty \աջ): \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Մոտավորապես այսպես պետք է որոշում կայացնել իրական վերահսկողության և անկախ աշխատանքի վերաբերյալ:

Դե, եկեք ավելի դժվար բան փորձենք։ Օրինակ, այստեղ անհավասարություն է.

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Ի՞նչ խնդիր կա այստեղ։ Նախ, ձախ կողմում էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների հիմքերը տարբեր են՝ 5 և 25: Այնուամենայնիվ, 25 \u003d 5 2, այնպես որ առաջին անդամը կարող է փոխակերպվել.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((25)^(x+1,5))=((\ձախ(((5)^(2)) \աջ))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\վերջ (հավասարեցնել )\]

Ինչպես տեսնում եք, սկզբում մենք ամեն ինչ բերեցինք նույն բազայի վրա, իսկ հետո նկատեցինք, որ առաջին անդամը հեշտությամբ կրճատվում է երկրորդի վրա. բավական է միայն ընդլայնել ցուցանիշը: Այժմ մենք կարող ենք ապահով կերպով ներմուծել նոր փոփոխական՝ $((5)^(2x+2))=t$, և ամբողջ անհավասարությունը կվերագրվի այսպես.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Կրկին, խնդիր չկա: Վերջնական պատասխան՝ $x\in \left[ 1;+\infty \right)$: Անցնելով այսօրվա դասի վերջնական անհավասարությանը.

\[((\ձախ(0,5 \աջ))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Առաջին բանը, որին դուք պետք է ուշադրություն դարձնեք, իհարկե, տասնորդական կոտորակն է առաջին աստիճանի հիմքում: Պետք է ազատվել դրանից և միևնույն ժամանակ բոլոր էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիաները բերել նույն հիմքին՝ «2» համարին.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & 0,5=\frac(1)(2)=(2)^(-1))\Աջ սլաք ((\ձախ(0,5 \աջ))^(-4x- 8))=((\ ձախ (((2)^(-1)) \աջ))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Աջ սլաք ((16)^(x+1,5))=((\ ձախ(((2)^(4)) \աջ))^( x+1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Հիանալի է, մենք արել ենք առաջին քայլը՝ ամեն ինչ հանգեցրել է նույն հիմքին։ Այժմ մենք պետք է ընդգծենք սահմանել արտահայտությունը. Նկատի ունեցեք, որ $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$: Եթե ​​ներմուծենք նոր փոփոխական $((2)^(4x+6))=t$, ապա սկզբնական անհավասարությունը կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Բնականաբար, կարող է հարց առաջանալ՝ ինչպե՞ս պարզեցինք, որ 256 = 2 8: Ցավոք սրտի, այստեղ պարզապես անհրաժեշտ է իմանալ երկուսի (և միևնույն ժամանակ երեքի և հինգի) ուժերը: Դե կամ բաժանեք 256-ը 2-ի (կարող եք բաժանել, քանի որ 256-ը զույգ թիվ է), մինչև ստացվի արդյունքը։ Դա նման բան կլինի.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\վերջ (հավասարեցնել )\]

Նույնը երեքի դեպքում է (9, 27, 81 և 243 համարները նրա ուժերն են), և յոթի դեպքում (49 և 343 համարները նույնպես հաճելի կլինի հիշել): Դե, հինգը նույնպես ունեն «գեղեցիկ» աստիճաններ, որոնք դուք պետք է իմանաք.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5) ^ (3)) = 125; \\ & ((5) ^ (4)) = 625; \\ & ((5) ^ (5)) = 3125. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Իհարկե, այս բոլոր թվերը, ցանկության դեպքում, կարող են վերականգնվել մտքում՝ ուղղակի հաջորդաբար իրարով բազմապատկելով։ Այնուամենայնիվ, երբ դուք պետք է լուծեք մի քանի էքսպոնենցիալ անհավասարություններ, և յուրաքանչյուր հաջորդն ավելի դժվար է, քան նախորդը, ապա վերջին բանը, ինչի մասին ցանկանում եք մտածել, այնտեղ որոշ թվերի ուժերն են: Եվ այս առումով այս խնդիրներն ավելի բարդ են, քան «դասական» անհավասարությունները, որոնք լուծվում են ինտերվալ մեթոդով։

«Էքսպոնենցիալ հավասարումներ և էքսպոնենցիալ անհավասարումներ» թեմայով դաս և ներկայացում.

Լրացուցիչ նյութեր
Հարգելի օգտատերեր, մի մոռացեք թողնել ձեր մեկնաբանությունները, կարծիքները, առաջարկությունները: Բոլոր նյութերը ստուգվում են հակավիրուսային ծրագրով։

Ուսումնական միջոցներ և սիմուլյատորներ «Ինտեգրալ» առցանց խանութում 11-րդ դասարանի համար
Ինտերակտիվ ձեռնարկ 9-11-րդ դասարանների համար «Եռանկյունաչափություն»
Ինտերակտիվ ձեռնարկ 10-11-րդ դասարանների համար «Լոգարիթմներ»

Էքսպոնենցիալ հավասարումների սահմանում

Տղերք, մենք ուսումնասիրեցինք էքսպոնենցիալ ֆունկցիաները, սովորեցինք դրանց հատկությունները և կառուցեցինք գրաֆիկներ, վերլուծեցինք հավասարումների օրինակներ, որոնցում հանդիպում էին էքսպոնենցիալ ֆունկցիաներ: Այսօր մենք կուսումնասիրենք էքսպոնենցիալ հավասարումները և անհավասարությունները:

Սահմանում. Ձևի հավասարումներ՝ $a^(f(x))=a^(g(x))$, որտեղ $a>0$, $a≠1$ կոչվում են էքսպոնենցիալ հավասարումներ։

Հիշելով «Էքսպոնենցիալ ֆունկցիա» թեմայով մեր ուսումնասիրած թեորեմները՝ կարող ենք ներկայացնել նոր թեորեմ.
Թեորեմ. $a^(f(x))=a^(g(x))$ էքսպոնենցիալ հավասարումը, որտեղ $a>0$, $a≠1$ համարժեք է $f(x)=g(x) հավասարմանը: $.

Էքսպոնենցիալ հավասարումների օրինակներ

Օրինակ.
Լուծել հավասարումներ.
ա) $3^(3x-3)=27$.
բ) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$:
գ) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$:
Որոշում.
ա) Մենք լավ գիտենք, որ $27=3^3$:
Եկեք նորից գրենք մեր հավասարումը` $3^(3x-3)=3^3$:
Օգտագործելով վերը նշված թեորեմը, մենք ստանում ենք, որ մեր հավասարումը վերածվում է $3x-3=3$ հավասարման, լուծելով այս հավասարումը, ստանում ենք $x=2$:
Պատասխան՝ $x=2$։

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$:
Այնուհետև մեր հավասարումը կարելի է վերաշարադրել՝ $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) )=((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2x+0.2=$0.2:
$x=0$.
Պատասխան՝ $x=0$:

Գ) Սկզբնական հավասարումը համարժեք է հավասարմանը` $x^2-6x=-3x+18$:
$x^2-3x-18=0$:
$(x-6)(x+3)=0$:
$x_1=6$ և $x_2=-3$:
Պատասխան՝ $x_1=6$ և $x_2=-3$։

Օրինակ.
Լուծե՛ք հավասարումը $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$։
Որոշում:
Մենք հաջորդաբար կկատարենք մի շարք գործողություններ և մեր հավասարման երկու մասերը կբերենք նույն հիմքերին:
Եկեք կատարենք մի շարք գործողություններ ձախ կողմում.
1) $((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4)))^(x-0.5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$:
3) $\frac((((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Եկեք անցնենք աջ կողմը.
4) $16=4^2$.
5) $((0.0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$:
6) $16*((0.0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x)= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Բնօրինակ հավասարումը համարժեք է հավասարմանը.
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Պատասխան՝ $x=0$:

Օրինակ.
Լուծե՛ք հավասարումը $9^x+3^(x+2)-36=0$։
Որոշում:
Եկեք վերաշարադրենք մեր հավասարումը` $((3^2))^x+9*3^x-36=0$:
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$։
Եկեք փոփոխականների փոփոխություն կատարենք, թող $a=3^x$։
Նոր փոփոխականներում հավասարումը կունենա $a^2+9a-36=0$:
$(a+12)(a-3)=0$:
$a_1=-12$ և $a_2=3$:
Կատարենք փոփոխականների հակադարձ փոփոխությունը՝ $3^x=-12$ և $3^x=3$։
Վերջին դասին իմացանք, որ էքսպոնենցիալ արտահայտությունները կարող են միայն դրական արժեքներ ընդունել, հիշե՛ք գրաֆիկը։ Սա նշանակում է, որ առաջին հավասարումը լուծումներ չունի, երկրորդը ունի մեկ լուծում՝ $x=1$։
Պատասխան՝ $x=1$։

Եկեք կազմենք էքսպոնենցիալ հավասարումների լուծման ուղիների հուշագիր.
1. Գրաֆիկական մեթոդ.Մենք հավասարման երկու մասերն էլ ներկայացնում ենք որպես ֆունկցիաներ և կառուցում դրանց գրաֆիկները, գտնում գրաֆիկների հատման կետերը։ (Այս մեթոդը մենք օգտագործեցինք վերջին դասին):
2. Ցուցանիշների հավասարության սկզբունքը.Սկզբունքը հիմնված է այն փաստի վրա, որ երկու արտահայտություններ հետ նույն հիմքերըհավասար են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե այս հիմքերի աստիճանները (ցուցանիշները) հավասար են: $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Փոփոխականների մեթոդի փոփոխություն.Այս մեթոդը պետք է օգտագործվի, եթե հավասարումը, փոփոխականները փոխելիս, պարզեցնում է իր ձևը և շատ ավելի հեշտ է լուծել:

Օրինակ.
Լուծե՛ք հավասարումների համակարգը՝ $\սկիզբ (դեպքեր) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12։ \վերջ (դեպքեր)$.
Որոշում.
Առանձին դիտարկենք համակարգի երկու հավասարումները.
$27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$։
$3^(3y+x)=3^0$։
$x+3y=0$:
Դիտարկենք երկրորդ հավասարումը.
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$:
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$:
Եկեք օգտագործենք փոփոխականների փոփոխության մեթոդը, թող $y=2^(x+y)$։
Այնուհետև հավասարումը կստանա հետևյալ ձևը.
$y^2-y-12=0$:
$(y-4)(y+3)=0$:
$y_1=4$ և $y_2=-3$:
Անցնենք սկզբնական փոփոխականներին, առաջին հավասարումից ստանում ենք $x+y=2$։ Երկրորդ հավասարումը լուծումներ չունի։ Այնուհետև մեր սկզբնական հավասարումների համակարգը համարժեք է համակարգին՝ $\begin (դեպքեր) x+3y=0, \\ x+y=2։ \վերջ (դեպքեր)$.
Առաջին հավասարումից հանում ենք երկրորդ հավասարումը, ստանում ենք՝ $\begin (դեպքեր) 2y=-2, \\ x+y=2։ \վերջ (դեպքեր)$.
$\սկիզբ (դեպքեր) y=-1, \\ x=3. \վերջ (դեպքեր)$.
Պատասխան՝ $(3;-1)$:

էքսպոնենցիալ անհավասարություններ

Անցնենք անհավասարություններին։ Անհավասարությունները լուծելիս պետք է ուշադրություն դարձնել աստիճանի հիմքին։ Անհավասարությունները լուծելիս իրադարձությունների զարգացման երկու հնարավոր սցենար կա.

Թեորեմ. Եթե ​​$a>1$, ապա $a^(f(x))>a^(g(x))$ էքսպոնենցիալ անհավասարությունը համարժեք է $f(x)>g(x)$ անհավասարությանը:
Եթե ​​$0 a^(g(x))$-ը համարժեք է $f(x)-ին

Օրինակ.
Լուծել անհավասարություններ.
ա) $3^(2x+3)>81$:
բ) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) գ) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Որոշում.
ա) $3^(2x+3)>81$:
$3^(2x+3)>3^4$:
Մեր անհավասարությունը համարժեք է անհավասարությանը.
$2x+3>4$:
$2x>1$.
$x>0,5$.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) Մեր հավասարման մեջ հիմքը աստիճանով պակաս է. 1-ից, ապա անհավասարությունը համարժեքով փոխարինելիս անհրաժեշտ է փոխել նշանը։
$2x-4>2$:
$x>3$.

Գ) Մեր անհավասարությունը համարժեք է անհավասարությանը.
$x^2+6x≥4x+15$:
$x^2+2x-15≥0$:
$(x-3)(x+5)≥0$:
Եկեք օգտագործենք ինտերվալ մեթոդլուծումներ:
Պատասխան՝ $(-∞;-5]U)