Ամենապարզ լոգարիթմական անհավասարությունների լուծումը. Քննության նախապատրաստում

Ձեր գաղտնիությունը կարևոր է մեզ համար: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տեղեկությունները: Խնդրում ենք կարդալ մեր գաղտնիության քաղաքականությունը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ նրա հետ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

• Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, էլփոստի հասցեն և այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

• Մեր հավաքած անձնական տվյալները թույլ են տալիս կապվել ձեզ հետ և տեղեկացնել ձեզ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ իրադարձությունների և գալիք իրադարձությունների մասին:
• Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները՝ ձեզ կարևոր ծանուցումներ և հաղորդակցություններ ուղարկելու համար:
• Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տեղեկությունները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտի, տվյալների վերլուծության և տարբեր հետազոտությունների անցկացումը՝ մեր կողմից մատուցվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
• Եթե ​​դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ խրախուսանքի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Բացահայտում երրորդ կողմերին

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

• Այն դեպքում, երբ դա անհրաժեշտ է՝ օրենքին համապատասխան, դատական ​​կարգով, դատական ​​վարույթում և (կամ) հիմնվելով Ռուսաստանի Դաշնության տարածքում պետական ​​մարմինների հանրային խնդրանքների կամ խնդրանքների վրա, բացահայտեք ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային շահի այլ նկատառումներից ելնելով:
• Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան երրորդ կողմի իրավահաջորդին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, այդ թվում՝ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական՝ պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Պահպանեք ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք գաղտնիության և անվտանգության պրակտիկաները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան:

Լոգարիթմական անհավասարությունների ողջ բազմազանության մեջ առանձին ուսումնասիրվում են փոփոխական հիմքով անհավասարությունները։ Դրանք լուծվում են հատուկ բանաձևի համաձայն, որը ինչ-ինչ պատճառներով հազվադեպ է սովորեցնում դպրոցում.

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

«∨»-ի փոխարեն կարելի է անհավասարության ցանկացած նշան դնել՝ քիչ թե շատ։ Գլխավորն այն է, որ երկու անհավասարություններում էլ նշանները նույնն են։

Այսպիսով, մենք ազատվում ենք լոգարիթմներից և խնդիրը հասցնում ռացիոնալ անհավասարության: Վերջինս շատ ավելի հեշտ է լուծել, բայց լոգարիթմները դեն նետելիս կարող են առաջանալ լրացուցիչ արմատներ։ Դրանք կտրելու համար բավական է գտնել թույլատրելի արժեքների միջակայքը։ Եթե ​​մոռացել եք լոգարիթմի ODZ-ը, ես խստորեն խորհուրդ եմ տալիս կրկնել այն՝ տես «Ինչ է լոգարիթմը»։

Ընդունելի արժեքների շրջանակի հետ կապված ամեն ինչ պետք է դուրս գրվի և լուծվի առանձին.

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Այս չորս անհավասարությունները կազմում են համակարգ և պետք է կատարվեն միաժամանակ: Երբ գտնվի ընդունելի արժեքների միջակայքը, մնում է այն հատել ռացիոնալ անհավասարության լուծմամբ, և պատասխանը պատրաստ է։

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

Նախ, եկեք գրենք լոգարիթմի ODZ.

Առաջին երկու անհավասարությունները կատարվում են ավտոմատ կերպով, իսկ վերջինը պետք է գրվի։ Քանի որ թվի քառակուսին զրո է, եթե և միայն այն դեպքում, երբ թիվն ինքնին զրո է, մենք ունենք.

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Ստացվում է, որ լոգարիթմի ODZ-ը բոլոր թվերն են, բացի զրոյից՝ x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞): Այժմ մենք լուծում ենք հիմնական անհավասարությունը.

Կատարում ենք անցում լոգարիթմական անհավասարությունից ռացիոնալին։ Սկզբնական անհավասարության մեջ կա «պակաս» նշան, հետևաբար ստացված անհավասարությունը պետք է լինի նաև «պակաս» նշանով։ Մենք ունենք:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.

Այս արտահայտության զրոները՝ x = 3; x = -3; x = 0. Ընդ որում x = 0-ը երկրորդ բազմակի արմատն է, ինչը նշանակում է, որ դրա միջով անցնելիս ֆունկցիայի նշանը չի փոխվում։ Մենք ունենք:

Ստանում ենք x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Այս հավաքածուն ամբողջությամբ պարունակվում է լոգարիթմի ODZ-ում, ինչը նշանակում է, որ սա է պատասխանը։

Լոգարիթմական անհավասարությունների փոխակերպում

Հաճախ սկզբնական անհավասարությունը տարբերվում է վերը նշվածից: Սա հեշտ է շտկել լոգարիթմների հետ աշխատելու ստանդարտ կանոնների համաձայն. տե՛ս «Լոգարիթմների հիմնական հատկությունները»: Այսինքն:

1. Ցանկացած թիվ կարող է ներկայացվել որպես տրված հիմքով լոգարիթմ;
2. Նույն հիմքով լոգարիթմների գումարն ու տարբերությունը կարելի է փոխարինել մեկ լոգարիթմով։

Առանձին-առանձին, ես ուզում եմ ձեզ հիշեցնել ընդունելի արժեքների շրջանակի մասին: Քանի որ սկզբնական անհավասարության մեջ կարող են լինել մի քանի լոգարիթմներ, անհրաժեշտ է գտնել դրանցից յուրաքանչյուրի DPV-ն: Այսպիսով, լոգարիթմական անհավասարությունների լուծման ընդհանուր սխեման հետևյալն է.

1. Գտե՛ք անհավասարության մեջ ներառված յուրաքանչյուր լոգարիթմի ODZ-ը.
2. Կրճատել անհավասարությունը ստանդարտին` օգտագործելով լոգարիթմների գումարման և հանման բանաձևերը.
3. Ստացված անհավասարությունը լուծեք վերը նշված սխեմայի համաձայն:

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

Գտեք առաջին լոգարիթմի սահմանման տիրույթը (ODZ).

Մենք լուծում ենք ինտերվալ մեթոդով. Գտնելով համարիչի զրոները.

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Այնուհետև - հայտարարի զրոները.

x − 1 = 0;
x = 1.

Կոորդինատների սլաքի վրա նշում ենք զրոներ և նշաններ.

Մենք ստանում ենք x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞): ODZ-ի երկրորդ լոգարիթմը կլինի նույնը: Եթե ​​ինձ չեք հավատում, կարող եք ստուգել։ Այժմ մենք փոխակերպում ենք երկրորդ լոգարիթմը, որպեսզի հիմքը լինի երկու.

Ինչպես տեսնում եք, հիմքում և լոգարիթմից առաջ եռապատիկները փոքրացել են: Ստացեք նույն հիմքով երկու լոգարիթմ: Եկեք դրանք միասին հավաքենք.

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Մենք ստացել ենք ստանդարտ լոգարիթմական անհավասարություն: Բանաձևով ազատվում ենք լոգարիթմներից. Քանի որ սկզբնական անհավասարության մեջ պակաս նշան կա, արդյունքում ստացված ռացիոնալ արտահայտությունը նույնպես պետք է զրոյից փոքր լինի: Մենք ունենք:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2) (2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Մենք ստացանք երկու հավաքածու.

1. ՕՁ՝ x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Պատասխան՝ x ∈ (−1; 3):

Մնում է հատել այս հավաքածուները. մենք ստանում ենք իրական պատասխանը.

Մեզ հետաքրքրում է բազմությունների խաչմերուկը, ուստի մենք ընտրում ենք երկու սլաքների վրա ստվերավորված միջակայքերը: Մենք ստանում ենք x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - բոլոր կետերը ծակված են:

Ի՞նչ եք կարծում, մինչև քննությունը դեռ ժամանակ կա՞, և պատրաստվելու ժամանակ կունենա՞ք։ Թերևս այդպես է։ Բայց ամեն դեպքում, որքան շուտ ուսանողը սկսի պարապել, այնքան ավելի հաջող է հանձնում քննությունները։ Այսօր մենք որոշեցինք հոդված նվիրել լոգարիթմական անհավասարություններին։ Սա այն առաջադրանքներից է, որը նշանակում է լրացուցիչ միավոր ստանալու հնարավորություն։

Դուք արդեն գիտե՞ք, թե ինչ է լոգարիթմը (log). Մենք իսկապես հույս ունենք: Բայց եթե նույնիսկ այս հարցի պատասխանը չունեք, դա խնդիր չէ։ Շատ հեշտ է հասկանալ, թե ինչ է լոգարիթմը։

Ինչու հենց 4: 81 ստանալու համար 3 ​​թիվը պետք է բարձրացնես նման հզորության: Երբ հասկանաս սկզբունքը, կարող ես անցնել ավելի բարդ հաշվարկների:

Մի քանի տարի առաջ դուք անցել եք անհավասարությունների միջով: Եվ այդ ժամանակից ի վեր նրանց անընդհատ հանդիպում ես մաթեմատիկայի մեջ։ Եթե ​​դժվարանում եք լուծել անհավասարությունները, ստուգեք համապատասխան բաժինը:
Հիմա, երբ առանձին-առանձին ծանոթանանք հասկացություններին, կանցնենք ընդհանուր առմամբ դրանց դիտարկմանը։

Ամենապարզ լոգարիթմական անհավասարությունը.

Ամենապարզ լոգարիթմական անհավասարությունները չեն սահմանափակվում այս օրինակով, կան ևս երեքը, միայն տարբեր նշաններով։ Ինչու է սա անհրաժեշտ: Ավելի լավ հասկանալու համար, թե ինչպես լուծել անհավասարությունը լոգարիթմներով: Հիմա ավելի կիրառելի օրինակ ենք տալիս, դեռ բավականին պարզ, բարդ լոգարիթմական անհավասարությունները թողնում ենք հետագայի համար։

Ինչպե՞ս լուծել այն: Ամեն ինչ սկսվում է ODZ-ից: Դուք պետք է ավելին իմանաք դրա մասին, եթե ցանկանում եք միշտ հեշտությամբ լուծել ցանկացած անհավասարություն:

Ինչ է ODZ-ը: DPV լոգարիթմական անհավասարությունների համար

Հապավումը նշանակում է վավեր արժեքների տիրույթ: Քննության առաջադրանքների ժամանակ այս ձևակերպումը հաճախ հայտնվում է: DPV-ն ձեզ օգտակար է ոչ միայն լոգարիթմական անհավասարությունների դեպքում։

Կրկին նայեք վերը նշված օրինակին: Մենք դրա հիման վրա կդիտարկենք ODZ-ը, որպեսզի դուք հասկանաք սկզբունքը, իսկ լոգարիթմական անհավասարությունների լուծումը հարցեր չառաջացնի։ Լոգարիթմի սահմանումից բխում է, որ 2x+4-ը պետք է մեծ լինի զրոյից։ Մեր դեպքում դա նշանակում է հետեւյալը.

Այս թիվն ըստ սահմանման պետք է լինի դրական։ Լուծե՛ք վերը ներկայացված անհավասարությունը։ Դա կարելի է անել նույնիսկ բանավոր, այստեղ պարզ է, որ X-ը չի կարող 2-ից փոքր լինել։ Անհավասարության լուծումը կլինի ընդունելի արժեքների միջակայքի սահմանումը։
Այժմ անցնենք ամենապարզ լոգարիթմական անհավասարության լուծմանը։

Մենք հեռացնում ենք լոգարիթմները անհավասարության երկու մասերից: Ի՞նչ է մեզ մնում արդյունքում։ պարզ անհավասարություն.

Հեշտ է լուծել: X-ը պետք է լինի -0,5-ից մեծ: Այժմ մենք միավորում ենք ստացված երկու արժեքները համակարգում: Այսպիսով,

Սա կլինի թույլատրելի արժեքների շրջանը դիտարկված լոգարիթմական անհավասարության համար:

Ինչու՞ է ընդհանրապես անհրաժեշտ ODZ-ը: Սա սխալ և անհնար պատասխանները վերացնելու հնարավորություն է: Եթե ​​պատասխանն ընդունելի արժեքների միջակայքում չէ, ապա պատասխանն ուղղակի իմաստ չունի։ Սա արժե երկար հիշել, քանի որ քննության ժամանակ հաճախ անհրաժեշտություն է առաջանում փնտրել ODZ, և դա վերաբերում է ոչ միայն լոգարիթմական անհավասարություններին:

Լոգարիթմական անհավասարության լուծման ալգորիթմ

Լուծումը բաղկացած է մի քանի քայլից. Նախ, անհրաժեշտ է գտնել ընդունելի արժեքների շրջանակը: ODZ-ում կլինի երկու արժեք, մենք սա համարեցինք վերևում: Հաջորդ քայլը ինքնին անհավասարության լուծումն է: Լուծման մեթոդները հետևյալն են.

• բազմապատկիչի փոխարինման մեթոդ;
• տարրալուծում;
• ռացիոնալացման մեթոդ.

Կախված իրավիճակից, պետք է օգտագործվի վերը նշված մեթոդներից մեկը: Անցնենք անմիջապես լուծմանը։ Մենք կբացահայտենք ամենատարածված մեթոդը, որը հարմար է USE-ի առաջադրանքները լուծելու համար գրեթե բոլոր դեպքերում: Հաջորդը, մենք կքննարկենք տարրալուծման մեթոդը: Դա կարող է օգնել, եթե հանդիպեք հատկապես «բարդ» անհավասարության: Այսպիսով, լոգարիթմական անհավասարության լուծման ալգորիթմը.

Լուծման օրինակներ :

Իզուր չէ, որ մենք վերցրինք հենց այսպիսի անհավասարություն։ Ուշադրություն դարձրեք հիմքին. Հիշեք. եթե այն մեկից մեծ է, նշանը մնում է նույնը վավեր արժեքների միջակայքը գտնելիս. հակառակ դեպքում անհավասարության նշանը պետք է փոխվի։

Արդյունքում մենք ստանում ենք անհավասարություն.

Այժմ ձախ կողմը բերում ենք զրոյի հավասարման ձևի։ «Քիչ քան» նշանի փոխարեն դնում ենք «հավասար», լուծում ենք հավասարումը։ Այսպիսով, մենք կգտնենք ODZ-ը: Հուսով ենք, որ դուք խնդիրներ չեք ունենա լուծելու նման պարզ հավասարումը: Պատասխաններն են -4 և -2: Սա դեռ ամենը չէ: Դուք պետք է ցուցադրեք այս կետերը գծապատկերում, տեղադրեք «+» և «-»: Ի՞նչ է պետք անել դրա համար։ Ինտերվալներից թվերը փոխարինի՛ր արտահայտության մեջ: Այնտեղ, որտեղ արժեքները դրական են, մենք դնում ենք «+»:

Պատասխանել x-ը չի կարող լինել -4-ից մեծ և -2-ից փոքր:

Մենք գտանք վավեր արժեքների միջակայքը միայն ձախ կողմի համար, այժմ մենք պետք է գտնենք վավեր արժեքների միջակայքը աջ կողմի համար: Սա ոչ մի կերպ ավելի հեշտ չէ: Պատասխան՝ -2. Մենք հատում ենք երկու ստացված տարածքները։

Եվ միայն հիմա մենք սկսում ենք ինքնուրույն լուծել անհավասարությունը:

Եկեք հնարավորինս պարզեցնենք այն, որպեսզի ավելի հեշտ լինի որոշում կայացնելը:

Լուծման մեջ կրկին օգտագործում ենք միջակայքի մեթոդը։ Բաց թողնենք հաշվարկները, նրա մոտ ամեն ինչ արդեն պարզ է նախորդ օրինակից։ Պատասխանել.

Բայց այս մեթոդը հարմար է, եթե լոգարիթմական անհավասարությունն ունի նույն հիմքերը։

Տարբեր հիմքերով լոգարիթմական հավասարումների և անհավասարությունների լուծումը ներառում է սկզբնական կրճատում մեկ հիմքի վրա: Այնուհետեւ օգտագործեք վերը նշված մեթոդը: Բայց կա նաև ավելի բարդ դեպք. Դիտարկենք լոգարիթմական անհավասարությունների ամենաբարդ տեսակներից մեկը:

Փոփոխական հիմքով լոգարիթմական անհավասարություններ

Ինչպե՞ս լուծել անհավասարությունները նման բնութագրերով: Այո, և այդպիսիք կարելի է գտնել քննության մեջ։ Ձեր ուսումնական գործընթացի վրա բարերար ազդեցություն կունենա նաեւ անհավասարությունների լուծումը հետեւյալ կերպ. Մանրամասն նայենք հարցին։ Եկեք մի կողմ դնենք տեսությունը և անմիջապես անցնենք պրակտիկային: Լոգարիթմական անհավասարությունները լուծելու համար բավական է մեկ անգամ ծանոթանալ օրինակին։

Ներկայացված ձևի լոգարիթմական անհավասարությունը լուծելու համար անհրաժեշտ է աջ կողմը բերել նույն հիմքով լոգարիթմին։ Սկզբունքը նման է համարժեք անցումների. Արդյունքում անհավասարությունը կունենա այսպիսի տեսք.

Փաստորեն, մնում է ստեղծել անհավասարությունների համակարգ առանց լոգարիթմների։ Օգտագործելով ռացիոնալացման մեթոդը՝ անցնում ենք անհավասարությունների համարժեք համակարգի։ Դուք կհասկանաք կանոնն ինքնին, երբ փոխարինեք համապատասխան արժեքները և հետևեք դրանց փոփոխություններին: Համակարգը կունենա հետևյալ անհավասարությունները.

Օգտագործելով ռացիոնալացման մեթոդը, անհավասարությունները լուծելիս պետք է հիշել հետևյալը. հիմքից պետք է հանել մեկը, x-ը, ըստ լոգարիթմի սահմանման, հանվում է անհավասարության երկու մասերից (աջը՝ ձախից), երկու արտահայտություններ բազմապատկվում են և դրվում սկզբնական նշանի տակ՝ զրոյի հարաբերությամբ:

Հետագա լուծումն իրականացվում է ինտերվալային մեթոդով, այստեղ ամեն ինչ պարզ է։ Ձեզ համար կարևոր է հասկանալ լուծման մեթոդների տարբերությունները, այնուհետև ամեն ինչ հեշտությամբ կսկսի ընթանալ։

Լոգարիթմական անհավասարությունների մեջ կան բազմաթիվ նրբերանգներ: Դրանցից ամենապարզը բավականին հեշտ է լուծել: Ինչպե՞ս անել այնպես, որ դրանցից յուրաքանչյուրը լուծվի առանց խնդիրների: Այս հոդվածում դուք արդեն ստացել եք բոլոր պատասխանները։ Այժմ ձեզ երկար պրակտիկա է սպասվում։ Անընդհատ զբաղվեք քննության շրջանակներում տարբեր խնդիրներ լուծելով, և դուք կկարողանաք ստանալ ամենաբարձր միավորը։ Հաջողություն ձեր դժվարին աշխատանքում:

Անհավասարությունը կոչվում է լոգարիթմական, եթե այն պարունակում է լոգարիթմական ֆունկցիա։

Լոգարիթմական անհավասարությունների լուծման մեթոդները չեն տարբերվում բացառությամբ երկու բանից.

Նախ, երբ լոգարիթմական անհավասարությունից անցնելով ենթլոգարիթմական ֆունկցիաների անհավասարությանը, հետևում է. հետևեք ստացված անհավասարության նշանին. Այն ենթարկվում է հետևյալ կանոնին.

Եթե ​​լոգարիթմական ֆունկցիայի հիմքը $1$-ից մեծ է, ապա լոգարիթմական անհավասարությունից ենթալոգարիթմական ֆունկցիաների անհավասարությանը անցնելիս անհավասարության նշանը պահպանվում է, իսկ եթե $1$-ից պակաս է, ապա այն հակադարձվում է։

Երկրորդ, ցանկացած անհավասարության լուծումը միջակայք է, և, հետևաբար, ենթալոգարիթմական ֆունկցիաների անհավասարության լուծման վերջում անհրաժեշտ է կազմել երկու անհավասարությունների համակարգ. այս համակարգի առաջին անհավասարությունը կլինի անհավասարությունը. ենթալոգարիթմական ֆունկցիաներ, իսկ երկրորդը կլինի լոգարիթմական անհավասարության մեջ ներառված լոգարիթմական ֆունկցիաների սահմանման տիրույթի միջակայքը։

Պրակտիկա.

Եկեք լուծենք անհավասարությունները.

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

Լոգարիթմի հիմքը $2>1$ է, ուստի նշանը չի փոխվում։ Օգտագործելով լոգարիթմի սահմանումը, մենք ստանում ենք.

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \in )