Ինչի՞ց են կախված ուժային ֆունկցիայի հատկությունները: Power ֆունկցիա

Այս դասում մենք կշարունակենք ուժային ֆունկցիաների ուսումնասիրությունը ռացիոնալ ցուցանիշ, դիտարկենք բացասական ռացիոնալ ցուցիչով ֆունկցիաներ։

1. Հիմնական հասկացություններ և սահմանումներ

Հիշեք բացասական ամբողջ թվով ցուցիչով հզորության ֆունկցիաների հատկությունները և գրաֆիկները:

Համար նույնիսկ n, :

Գործառույթի օրինակ.

Նման ֆունկցիաների բոլոր գրաֆիկներն անցնում են երկու ֆիքսված կետերով՝ (1;1), (-1;1): Այս տիպի ֆունկցիաների առանձնահատկությունը դրանց հավասարությունն է, գրաֆիկները սիմետրիկ են op-y առանցքի նկատմամբ:

Բրինձ. 1. Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Կենտ n-ի համար՝

Գործառույթի օրինակ.

Նման ֆունկցիաների բոլոր գրաֆիկներն անցնում են երկու ֆիքսված կետերով՝ (1;1), (-1;-1): Այս տեսակի ֆունկցիաների առանձնահատկությունը դրանց տարօրինակությունն է, գծապատկերները սիմետրիկ են ծագման նկատմամբ։

Բրինձ. 2. Ֆունկցիայի գրաֆիկ

2. Բացասական ռացիոնալ ցուցիչով ֆունկցիա, գրաֆիկներ, հատկություններ

Հիշենք հիմնական սահմանումը.

Ռացիոնալ դրական ցուցիչ ունեցող ոչ բացասական a թվի աստիճանը կոչվում է թիվ։

Ռացիոնալ բացասական ցուցիչ ունեցող a դրական թվի աստիճանը կոչվում է թիվ։

Հետևյալ հավասարությունը պահպանվում է.

Օրինակ: ; - արտահայտությունը գոյություն չունի բացասական ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող աստիճանի սահմանմամբ. գոյություն ունի, քանի որ ցուցիչը ամբողջ թիվ է,

Դառնանք ռացիոնալ բացասական ցուցիչով ուժային ֆունկցիաների դիտարկմանը։

Օրինակ:

Այս ֆունկցիան գծագրելու համար կարող եք աղյուսակ կազմել: Մենք այլ կերպ կանենք. նախ՝ մենք կկառուցենք և կուսումնասիրենք հայտարարի գրաֆիկը՝ մենք գիտենք այն (Նկար 3):

Բրինձ. 3. Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Հայտարար ֆունկցիայի գրաֆիկն անցնում է ֆիքսված կետով (1;1): Բնօրինակ ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելիս այս կետը մնում է, երբ արմատը նույնպես ձգտում է զրոյի, ֆունկցիան ձգտում է դեպի անսահմանություն։ Եվ, ընդհակառակը, քանի որ x-ը ձգտում է դեպի անսահմանություն, ֆունկցիան ձգտում է զրոյի (Նկար 4):

Բրինձ. 4. Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Դիտարկենք ևս մեկ գործառույթ ուսումնասիրվող գործառույթների ընտանիքից:

Կարևոր է, որ ըստ սահմանման

Դիտարկենք ֆունկցիայի գրաֆիկը հայտարարի մեջ. , մենք գիտենք այս ֆունկցիայի գրաֆիկը, այն մեծանում է իր սահմանման տիրույթում և անցնում (1; 1) կետով (Նկար 5):

Բրինձ. 5. Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Բնօրինակ ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելիս մնում է (1; 1) կետը, երբ արմատը նույնպես ձգտում է զրոյի, ֆունկցիան ձգտում է դեպի անսահմանություն։ Եվ, ընդհակառակը, քանի որ x-ը ձգտում է դեպի անսահմանություն, ֆունկցիան ձգտում է զրոյի (Նկար 6):

Բրինձ. 6. Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Դիտարկված օրինակները օգնում են հասկանալ, թե ինչպես է ընթանում գրաֆիկը և ինչ հատկություններ ունի ուսումնասիրվող ֆունկցիան՝ բացասական ռացիոնալ ցուցիչով ֆունկցիա:

Այս ընտանիքի ֆունկցիաների գրաֆիկներն անցնում են (1;1) կետով, ֆունկցիան նվազում է սահմանման ողջ տիրույթում։

Գործառույթի շրջանակը.

Ֆունկցիան սահմանափակված չէ վերևից, այլ սահմանափակված է ներքևից: Ֆունկցիան չունի ոչ առավելագույն, ոչ էլ ամենափոքր արժեքը.

Ֆունկցիան շարունակական է, այն վերցնում է բոլոր դրական արժեքները զրոյից մինչև գումարած անսահմանություն:

Ուռուցիկ ներքևի ֆունկցիա (Նկար 15.7)

A և B կետերը վերցված են կորի վրա, դրանց միջով գծվում է հատված, ամբողջ կորը գտնվում է հատվածից ցածր, այս պայմանը բավարարվում է կորի կամայական երկու կետերի դեպքում, հետևաբար ֆունկցիան ուռուցիկ է դեպի ներքև։ Բրինձ. 7.

Բրինձ. 7. Ֆունկցիայի ուռուցիկություն

3. Տիպիկ խնդիրների լուծում

Կարևոր է հասկանալ, որ այս ընտանիքի գործառույթները ներքևից սահմանափակված են զրոյով, բայց դրանք ամենափոքր արժեք չունեն։

Օրինակ 1 - գտեք ֆունկցիայի առավելագույնը և նվազագույնը \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty) x^(2n)\ )=+\infty \] միջակայքում:

Գրաֆիկ (նկ. 2):

Նկար 2. $f\left(x\right)=x^(2n)$ ֆունկցիայի գրաֆիկ.

Բնական կենտ ցուցիչով հզորության ֆունկցիայի հատկությունները

Սահմանման տիրույթը բոլոր իրական թվերն են:

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$-ը կենտ ֆունկցիա է:

$f(x)$-ը շարունակական է սահմանման ողջ տիրույթում:

Տարածքը բոլոր իրական թվերն են:

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Ֆունկցիան մեծանում է սահմանման ողջ տիրույթում:

$f\left(x\right)0$, $x\in (0,+\infty)$-ի համար:

$f(""\left(x\աջ))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\աջ))\աջ)"=2 \ձախ(2n-1\աջ)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Ֆունկցիան գոգավոր է $x\in (-\infty ,0)$-ի համար և ուռուցիկ է $x\in (0,+\infty)$-ի համար։

Գրաֆիկ (նկ. 3):

Նկար 3. $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ ֆունկցիայի գրաֆիկ.

Հզորության ֆունկցիա՝ ամբողջ թվի ցուցիչով

Սկզբից մենք ներկայացնում ենք աստիճանի հասկացությունը ամբողջ թվի ցուցիչով:

Սահմանում 3

Աստիճան իրական թիվ$a$ $n$ ամբողջ թվային ինդեքսով որոշվում է բանաձևով.

Նկար 4

Այժմ դիտարկենք հզորության ֆունկցիան՝ ամբողջ թվի ցուցիչով, նրա հատկություններով և գրաֆիկով:

Սահմանում 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$-ը կոչվում է հզորության ֆունկցիա՝ ամբողջ թվի ցուցիչով։

Եթե ​​աստիճանը զրոյից մեծ է, ապա գալիս ենք բնական ցուցիչով հզորության ֆունկցիայի դեպքին։ Մենք դա արդեն վերը դիտարկել ենք։ $n=0$-ի համար մենք ստանում ենք $y=1$ գծային ֆունկցիա: Դրա նկատառումը թողնում ենք ընթերցողին։ Մնում է դիտարկել բացասական ամբողջ թվով ցուցիչով հզորության ֆունկցիայի հատկությունները

Բացասական ամբողջ թվի ցուցիչով հզորության ֆունկցիայի հատկությունները

Շրջանակը $\left(-\infty,0\right)(0,+\infty)$ է:

Եթե ​​ցուցանիշը զույգ է, ապա ֆունկցիան զույգ է, եթե կենտ է, ապա ֆունկցիան կենտ է:

$f(x)$-ը շարունակական է սահմանման ողջ տիրույթում:

Արժեքի միջակայք.

Եթե ​​ցուցանիշը զույգ է, ապա $(0,+\infty)$, եթե տարօրինակ է, ապա $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$:

Եթե ​​ցուցիչը կենտ է, ֆունկցիան նվազում է որպես $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$: Զույգ ցուցանիշի դեպքում ֆունկցիան նվազում է որպես $x\in (0,+\infty)$: և աճում է որպես $x\in \left(-\infty,0\right)$:

$f(x)\ge 0$ ամբողջ տիրույթում

«Հզորության ֆունկցիաներ. Հատկություններ. Գրաֆիկներ» թեմայով դաս և շնորհանդես.

Լրացուցիչ նյութեր
Հարգելի օգտատերեր, մի մոռացեք թողնել ձեր մեկնաբանությունները, կարծիքները, առաջարկությունները: Բոլոր նյութերը ստուգվում են հակավիրուսային ծրագրով։

Ուսումնական միջոցներ և սիմուլյատորներ «Ինտեգրալ» առցանց խանութում 11-րդ դասարանի համար
Ինտերակտիվ ձեռնարկ 9-11-րդ դասարանների համար «Եռանկյունաչափություն»
Ինտերակտիվ ձեռնարկ 10-11-րդ դասարանների համար «Լոգարիթմներ»

Ուժային ֆունկցիաներ, սահմանման տիրույթ։

Տղերք, վերջին դասին մենք սովորեցինք, թե ինչպես աշխատել թվերի հետ ռացիոնալ ցուցիչով: Այս դասում մենք կդիտարկենք ուժային ֆունկցիաները և կսահմանափակվենք միայն այն դեպքով, երբ ցուցանիշը ռացիոնալ է:
Մենք կդիտարկենք ձևի ֆունկցիաները՝ $y=x^(\frac(m)(n))$:
Եկեք նախ դիտարկենք ֆունկցիաները, որոնց ցուցիչը $\frac(m)(n)>1$ է:
Եկեք մեզ տրվի հատուկ գործառույթ $y=x^2*5$:
Վերջին դասում մեր տված սահմանման համաձայն՝ եթե $x≥0$, ապա մեր ֆունկցիայի տիրույթը $(x)$ ճառագայթն է։ Եկեք սխեմատիկորեն պատկերենք մեր ֆունկցիայի գրաֆիկը:

$y=x^(\frac(m)(n))$, $0 ֆունկցիայի հատկությունները 2. Ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ։
3. Աճում է $$-ով,
բ) $(2,10) $,
գ) $$ ճառագայթի վրա:
Որոշում.
Տղերք, հիշու՞մ եք, թե ինչպես 10-րդ դասարանի հատվածի վրա գտանք ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքը:
Ճիշտ է, մենք օգտագործեցինք ածանցյալը: Եկեք լուծենք մեր օրինակը և կրկնենք ամենափոքր և ամենամեծ արժեքը գտնելու ալգորիթմը։
1. Գտի՛ր տրված ֆունկցիայի ածանցյալը.
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Ածանցյալը գոյություն ունի սկզբնական ֆունկցիայի ողջ տիրույթում, ապա կրիտիկական կետեր չկան: Գտնենք անշարժ կետեր.
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$:
$8*\sqrt(x^3)=x^3$։
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$:
$x^3(x^3-64)=0$:
$x_1=0$ և $x_2=\sqrt(64)=4$:
Միայն մեկ լուծում $x_2=4$ է պատկանում տվյալ հատվածին։
Եկեք կառուցենք մեր ֆունկցիայի արժեքների աղյուսակը հատվածի ծայրերում և ծայրամասային կետում.
Պատասխան՝ $y_(անուն)=-862,65$ $x=9$-ով; $y_(max)=38.4$ $x=4$-ի դիմաց:

Օրինակ. Լուծե՛ք հավասարումը $x^(\frac(4)(3))=24-x$։
Որոշում. $y=x^(\frac(4)(3))$ ֆունկցիայի գրաֆիկը մեծանում է, իսկ $y=24-x$ ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ նվազում։ Տղերք, ես և դուք գիտենք, եթե մի ֆունկցիան մեծանում է, իսկ մյուսը նվազում է, ապա դրանք հատվում են միայն մեկ կետում, այսինքն՝ մենք ունենք միայն մեկ լուծում։
Նշում:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$:
$24-8=16$.
Այսինքն՝ $х=8$-ի համար մենք ստացել ենք $16=16$ ճիշտ հավասարություն, սա մեր հավասարման լուծումն է։
Պատասխան՝ $x=8$։

Օրինակ.
Գրեք ֆունկցիան՝ $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$:
Որոշում.
Մեր ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվում է $y=x^(\frac(3)(4))$ ֆունկցիայի գրաֆիկից՝ այն տեղափոխելով 3 միավոր աջ և 2 միավոր վեր։

Օրինակ. Գրե՛ք $y=x^(-\frac(4)(5))$ ուղղի շոշափողի հավասարումը $x=1$ կետում։
Որոշում. Շոշափող հավասարումը որոշվում է մեզ հայտնի բանաձևով.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$:
Մեր դեպքում $a=1$:
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$:
Գտնենք ածանցյալը.
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$:
Եկեք հաշվարկենք.
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$:
Գտեք շոշափող հավասարումը.
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$:
Պատասխան՝ $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$:

Անկախ լուծման առաջադրանքներ

1. Գտե՛ք ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքը՝ $y=x^\frac(4)(3)$ հատվածում.
ա) $$.
բ) $ (4,50) $.
գ) $$ ճառագայթի վրա:
3. Լուծե՛ք հավասարումը $x^(\frac(1)(4))=18-x$։
4. Գծապատկերե՛ք ֆունկցիան՝ $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$։
5. Գրի՛ր $y=x^(-\frac(3)(7))$ ուղղի շոշափողի հավասարումը $x=1$ կետում:

Հիշեք բացասական ամբողջ թվով ցուցիչով հզորության ֆունկցիաների հատկությունները և գրաֆիկները:

Համար նույնիսկ n, :

Գործառույթի օրինակ.

Նման ֆունկցիաների բոլոր գրաֆիկներն անցնում են երկու ֆիքսված կետերով՝ (1;1), (-1;1): Այս տիպի ֆունկցիաների առանձնահատկությունը դրանց հավասարությունն է, գրաֆիկները սիմետրիկ են op-y առանցքի նկատմամբ:

Բրինձ. 1. Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Կենտ n-ի համար՝

Գործառույթի օրինակ.

Նման ֆունկցիաների բոլոր գրաֆիկներն անցնում են երկու ֆիքսված կետերով՝ (1;1), (-1;-1): Այս տեսակի ֆունկցիաների առանձնահատկությունը դրանց տարօրինակությունն է, գծապատկերները սիմետրիկ են ծագման նկատմամբ։

Բրինձ. 2. Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Հիշենք հիմնական սահմանումը.

Ռացիոնալ դրական ցուցիչ ունեցող ոչ բացասական a թվի աստիճանը կոչվում է թիվ։

Ռացիոնալ բացասական ցուցիչ ունեցող a դրական թվի աստիճանը կոչվում է թիվ։

Հետևյալ հավասարությունը պահպանվում է.

Օրինակ: ; - արտահայտությունը գոյություն չունի բացասական ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող աստիճանի սահմանմամբ. գոյություն ունի, քանի որ ցուցիչը ամբողջ թիվ է,

Դառնանք ռացիոնալ բացասական ցուցիչով ուժային ֆունկցիաների դիտարկմանը։

Օրինակ:

Այս ֆունկցիան գծագրելու համար կարող եք աղյուսակ կազմել: Մենք այլ կերպ կանենք. նախ՝ մենք կկառուցենք և կուսումնասիրենք հայտարարի գրաֆիկը՝ մենք գիտենք այն (Նկար 3):

Բրինձ. 3. Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Հայտարար ֆունկցիայի գրաֆիկն անցնում է ֆիքսված կետով (1;1): Բնօրինակ ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելիս այս կետը մնում է, երբ արմատը նույնպես ձգտում է զրոյի, ֆունկցիան ձգտում է դեպի անսահմանություն։ Եվ, ընդհակառակը, քանի որ x-ը ձգտում է դեպի անսահմանություն, ֆունկցիան ձգտում է զրոյի (Նկար 4):

Բրինձ. 4. Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Դիտարկենք ևս մեկ գործառույթ ուսումնասիրվող գործառույթների ընտանիքից:

Կարևոր է, որ ըստ սահմանման

Դիտարկենք ֆունկցիայի գրաֆիկը հայտարարի մեջ. , մենք գիտենք այս ֆունկցիայի գրաֆիկը, այն մեծանում է իր սահմանման տիրույթում և անցնում (1; 1) կետով (Նկար 5):

Բրինձ. 5. Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Բնօրինակ ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելիս մնում է (1; 1) կետը, երբ արմատը նույնպես ձգտում է զրոյի, ֆունկցիան ձգտում է դեպի անսահմանություն։ Եվ, ընդհակառակը, քանի որ x-ը ձգտում է դեպի անսահմանություն, ֆունկցիան ձգտում է զրոյի (Նկար 6):

Բրինձ. 6. Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Դիտարկված օրինակները օգնում են հասկանալ, թե ինչպես է ընթանում գրաֆիկը և ինչ հատկություններ ունի ուսումնասիրվող ֆունկցիան՝ բացասական ռացիոնալ ցուցիչով ֆունկցիա:

Այս ընտանիքի ֆունկցիաների գրաֆիկներն անցնում են (1;1) կետով, ֆունկցիան նվազում է սահմանման ողջ տիրույթում։

Գործառույթի շրջանակը.

Ֆունկցիան սահմանափակված չէ վերևից, այլ սահմանափակված է ներքևից: Ֆունկցիան չունի ոչ առավելագույն, ոչ էլ նվազագույն արժեք:

Ֆունկցիան շարունակական է, այն վերցնում է բոլոր դրական արժեքները զրոյից մինչև գումարած անսահմանություն:

Ուռուցիկ ներքևի ֆունկցիա (Նկար 15.7)

A և B կետերը վերցված են կորի վրա, դրանց միջով գծվում է հատված, ամբողջ կորը գտնվում է հատվածից ցածր, այս պայմանը բավարարվում է կորի կամայական երկու կետերի դեպքում, հետևաբար ֆունկցիան ուռուցիկ է դեպի ներքև։ Բրինձ. 7.

Բրինձ. 7. Ֆունկցիայի ուռուցիկություն

Կարևոր է հասկանալ, որ այս ընտանիքի գործառույթները ներքևից սահմանափակված են զրոյով, բայց դրանք ամենափոքր արժեք չունեն։

Օրինակ 1 - գտե՛ք ֆունկցիայի առավելագույնը և նվազագույնը միջակայքում )