Մեկ փոփոխականի ֆունկցիաների տեսություն. Մաթեմատիկական վերլուծություն

Թող փոփոխականը x nվերցնում է արժեքների անսահման հաջորդականություն

x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)

և հայտնի է փոփոխականի փոփոխության օրենքը x n, այսինքն. յուրաքանչյուր բնական թվի համար nկարող եք նշել համապատասխան արժեքը x n. Այսպիսով, ենթադրվում է, որ փոփոխականը x n-ի ֆունկցիա է n:

x n = f(n)

Եկեք սահմանենք մաթեմատիկական վերլուծության ամենակարևոր հասկացություններից մեկը՝ հաջորդականության սահմանը կամ, նույնը, փոփոխականի սահմանը։ x nվազքի հաջորդականությունը x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .

Սահմանում.հաստատուն թիվ ականչեց հաջորդականության սահմանը x 1 , x 2 , ..., x n , ... . կամ փոփոխականի սահմանը x n, եթե կամայականորեն փոքր դրական e թվի համար գոյություն ունի այդպիսի բնական թիվ Ն(այսինքն համարը Ն) փոփոխականի բոլոր արժեքները x n, սկսած x Ն, տարբերվում են աբացարձակ արժեքով ավելի քիչ, քան էլ. Այս սահմանումը հակիրճ գրված է հետևյալ կերպ.

| x n - ա |< (2)

բոլորի համար n  Նկամ, որը նույնն է,

Քոշիի սահմանի սահմանում. A թիվը կոչվում է f (x) ֆունկցիայի սահման a կետում, եթե այս ֆունկցիան սահմանված է a կետի ինչ-որ հարևանությամբ, բացառությամբ, հավանաբար, հենց a կետի, և յուրաքանչյուր ε > 0-ի համար գոյություն ունի δ > 0: այնպիսին, որ բոլոր x-ի համար բավարարող պայմանի համար |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Հայնեի սահմանի սահմանում. A թիվը կոչվում է f (x) ֆունկցիայի սահման a կետում, եթե այս ֆունկցիան սահմանված է a կետի ինչ-որ հարևանությամբ, բացառությամբ, հավանաբար, հենց a կետի և ցանկացած հաջորդականության, զուգորդվելով a թվին, ֆունկցիայի արժեքների համապատասխան հաջորդականությունը համընկնում է A թվին:

Եթե ​​f(x) ֆունկցիան a կետում սահման ունի, ապա այս սահմանը եզակի է։

A 1 թիվը կոչվում է f (x) ֆունկցիայի ձախ սահման a կետում, եթե յուրաքանչյուր ε > 0-ի համար գոյություն ունի δ >

A 2 թիվը կոչվում է f (x) ֆունկցիայի ճիշտ սահման a կետում, եթե յուրաքանչյուր ε > 0-ի համար գոյություն ունի δ > 0 այնպես, որ անհավասարությունը.

Ձախ սահմանը նշանակվում է աջ կողմի սահման - Այս սահմանները բնութագրում են ֆունկցիայի վարքագիծը a կետից աջ և ձախ: Դրանք հաճախ կոչվում են միակողմանի սահմանափակումներ: Միակողմանի սահմանների x → 0 նշման ժամանակ առաջին զրոն սովորաբար բաց է թողնվում՝ և . Այսպիսով, գործառույթի համար

Եթե ​​յուրաքանչյուր ε > 0-ի համար գոյություն ունի a կետի δ-հարևանություն, որ բոլոր x-ի համար, որոնք բավարարում են |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, ապա ասում ենք, որ f (x) ֆունկցիան ունի անսահման սահման a կետում.

Այսպիսով, ֆունկցիան ունի անսահման սահման x = 0 կետում: Հաճախ առանձնանում են սահմանները, որոնք հավասար են +∞-ին և –∞-ին: Այսպիսով,

Եթե ​​յուրաքանչյուր ε > 0-ի համար գոյություն ունի δ > 0 այնպիսին, որ ցանկացած x > δ-ի համար անհավասարությունը |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Գոյության թեորեմ նվազագույն վերին սահմանի համար

Սահմանում: AR mR, m - A-ի վերին (ներքևի) երեսը, եթե аА аm (аm):

Սահմանում: A բազմությունը սահմանափակված է վերևից (ներքևից), եթե կա m այնպես, որ аА, ապա am (аm) բավարարվում է։

Սահմանում: SupA=m, եթե 1) m - A-ի վերին սահմանը

2) m’: m’ m'-ը Ա-ի վերին երես չէ

InfA = n, եթե 1) n-ը Ա-ի ինֆիմումն է

2) n’: n’>n => n’-ը A-ի ինֆիմում չէ

Սահմանում SupA=m այնպիսի թիվ է, որ՝ 1)  aA am

2) >0 a  A, այնպիսին, որ a  a-

InfA = n կոչվում է այնպիսի թիվ, որ.

2) >0 a  A, այնպիսին, որ a E a+

Թեորեմ.Ցանկացած ոչ դատարկ ԱR բազմություն, որը սահմանափակված է վերևից, ունի նվազագույն վերին սահման, ընդ որում՝ եզակի:

Ապացույց:

Մենք իրական ուղիղի վրա կառուցում ենք m թիվը և ապացուցում, որ սա A-ի ամենափոքր վերին սահմանն է։

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - A-ի վերին երես

Հատված [[m],[m]+1] - բաժանված է 10 մասի

m 1 = max:aA)]

m 2 = max, m 1:aA)]

m-ից մինչև =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K, [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - վերին դեմք Ա

Ապացուցենք, որ m=[m],m 1 ...m K-ն ամենաքիչ վերին սահմանն է և որ այն եզակի է.

 դեպի.

Բրինձ. 11. y arcsin x ֆունկցիայի գրաֆիկը:

Այժմ ներկայացնենք բարդ ֆունկցիայի հայեցակարգը ( ցուցադրել կոմպոզիցիաներ): Տրված լինեն D, E, M երեք բազմություններ, իսկ f՝ D→E, g՝ E→M: Ակնհայտորեն, հնարավոր է կառուցել նոր քարտեզագրում h՝ D→M, որը կոչվում է f և g քարտեզագրման կազմ կամ կոմպլեքս ֆունկցիա (նկ. 12):

Կոմպլեքս ֆունկցիան նշանակում են հետևյալ կերպ՝ z =h(x)=g(f(x)) կամ h = f o g:

Բրինձ. 12. Կոմպլեքս ֆունկցիա հասկացության նկարազարդում:

Կանչվում է f (x) ֆունկցիան ներքին գործառույթըև g ( y) ֆունկցիան - արտաքին ֆունկցիա.

1. Ներքին ֆունկցիա f (x) = x², արտաքին g (y) sin y: Կոմպլեքս ֆունկցիա z= g(f(x))=sin(x²)

2. Հիմա հակառակը։ Ներքին ֆունկցիա f (x)= sinx, արտաքին g (y) y 2: u=f(g(x))=sin²(x)