Քառակուսի եռանդամի գործոնացման թեորեմը. Քառակուսի եռանկյունների ֆակտորիզացիա. օրինակներ և բանաձևեր

Արտադրյալ ստանալու համար բազմանդամների ընդլայնումը երբեմն շփոթեցնող է թվում: Բայց դա այնքան էլ դժվար չէ, եթե դուք քայլ առ քայլ հասկանաք գործընթացը։ Հոդվածը մանրամասնում է, թե ինչպես կարելի է ֆակտորիզացնել քառակուսի եռանկյունը:

Շատերը չեն հասկանում, թե ինչպես կարելի է ֆակտորիզացնել քառակուսի եռանկյունը և ինչու է դա արվում: Սկզբում կարող է թվալ, որ սա անօգուտ վարժություն է։ Բայց մաթեմատիկայում ոչինչ հենց այնպես չի արվում։ Փոխակերպումն անհրաժեշտ է արտահայտությունը պարզեցնելու և հաշվարկի հարմարության համար:

Բազմանդամ, որն ունի ax² + bx + c ձև, կոչվում է քառակուսի եռանկյուն:«ա» տերմինը պետք է լինի բացասական կամ դրական: Գործնականում այս արտահայտությունը կոչվում է քառակուսային հավասարում: Հետեւաբար, երբեմն այլ կերպ են ասում՝ ինչպես քայքայվել քառակուսային հավասարում.

Հետաքրքիր է!Քառակուսի բազմանդամը կոչվում է իր ամենամեծ աստիճանի պատճառով՝ քառակուսի: Եվ եռանկյուն՝ 3 բաղադրիչ տերմինների պատճառով։

Բազմանդամների մի քանի այլ տեսակներ.

գծային երկանդամ (6x+8);
խորանարդ քառանկյուն (x³+4x²-2x+9):

Քառակուսի եռանդամի ֆակտորիզացիա

Նախ, արտահայտությունը հավասար է զրոյի, ապա պետք է գտնել x1 և x2 արմատների արժեքները: Կարող է արմատներ չլինեն, կարող են լինել մեկ կամ երկու արմատ: Արմատների առկայությունը որոշվում է տարբերակիչով: Դրա բանաձեւը պետք է անգիր հայտնի լինի՝ D=b²-4ac:

Եթե D-ի արդյունքը բացասական է, արմատներ չկան։ Եթե դրական է, ապա երկու արմատ կա. Եթե արդյունքը զրոյական է, ապա արմատը մեկ է: Արմատները նույնպես հաշվարկվում են բանաձևով.

Եթե դիսկրիմինանտի հաշվարկը զրոյի է բերում, կարող եք կիրառել բանաձևերից որևէ մեկը: Գործնականում բանաձևը պարզապես կրճատ է՝ -b / 2a:

Բանաձևեր համար տարբեր արժեքներտարբերակիչները տարբեր են.

Եթե D-ն դրական է.

Եթե D-ն զրո է.

Առցանց հաշվիչներ

Համացանցն ունի առցանց հաշվիչ. Այն կարող է օգտագործվել ֆակտորիզացիայի համար: Որոշ ռեսուրսներ լուծումը քայլ առ քայլ տեսնելու հնարավորություն են տալիս։ Նման ծառայություններն օգնում են ավելի լավ հասկանալ թեման, բայց պետք է փորձել լավ հասկանալ։

Օգտակար տեսանյութ՝ քառակուսի եռանկյունի ֆակտորինգ

Օրինակներ

Հրավիրում ենք դիտելու պարզ օրինակներինչպես ֆակտորիզացնել քառակուսի հավասարումը:

Օրինակ 1

Այստեղ հստակ ցույց է տրվում, որ արդյունքը կլինի երկու x, քանի որ D-ն դրական է։ Նրանք պետք է փոխարինվեն բանաձևով: Եթե արմատները բացասական են, ապա բանաձևի նշանը հակադարձվում է:

Մենք գիտենք ընդլայնման բանաձևը քառակուսի եռանկյունբազմապատկիչներ՝ a(x-x1)(x-x2): Արժեքները դնում ենք փակագծերում՝ (x+3)(x+2/3): Ցուցանիշում տերմինից առաջ թիվ չկա: Սա նշանակում է, որ կա միավոր, այն իջեցված է։

Օրինակ 2

Այս օրինակը հստակ ցույց է տալիս, թե ինչպես կարելի է լուծել մեկ արմատ ունեցող հավասարումը:

Փոխարինեք ստացված արժեքը.

Օրինակ 3

Տրված է՝ 5x²+3x+7

Նախ, մենք հաշվարկում ենք խտրականությունը, ինչպես նախորդ դեպքերում:

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Խտրականը բացասական է, ինչը նշանակում է, որ արմատներ չկան:

Արդյունքը ստանալուց հետո արժե բացել փակագծերը և ստուգել արդյունքը։ Բնօրինակ եռանկյունը պետք է հայտնվի:

Այլընտրանքային լուծում

Որոշ մարդիկ երբեք չեն կարողացել ընկերանալ խտրականի հետ։ Քառակուսի եռանկյունը ֆակտորիզացնելու մեկ այլ եղանակ կա: Հարմարության համար մեթոդը ներկայացված է օրինակով:

Տրված է՝ x²+3x-10

Մենք գիտենք, որ պետք է ավարտենք 2 փակագիծ՝ (_)(_): Երբ արտահայտությունն այսպիսի տեսք ունի՝ x² + bx + c, յուրաքանչյուր փակագծի սկզբում դնում ենք x՝ (x_) (x_): Մնացած երկու թվերն այն արտադրյալն են, որը տալիս է «c», այսինքն՝ -10 այս դեպքում: Պարզելու համար, թե որոնք են այս թվերը, կարող եք օգտագործել միայն ընտրության մեթոդը: Փոխարինված թվերը պետք է համապատասխանեն մնացած ժամկետին:

Օրինակ՝ հետևյալ թվերը բազմապատկելով՝ ստացվում է -10.

-1, 10;
-10, 1;
-5, 2;
-2, 5.

(x-1) (x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Ոչ
(x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Ոչ
(x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Ոչ
(x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Տեղավորվում է.

Այսպիսով, x2+3x-10 արտահայտության փոխակերպումն ունի հետևյալ տեսքը՝ (x-2)(x+5):

Կարևոր!Դուք պետք է զգույշ լինեք, որպեսզի չշփոթեք նշանները:

Բարդ եռանդամի տարրալուծում

Եթե «ա»-ն մեկից մեծ է, ապա սկսվում են դժվարությունները: Բայց ամեն ինչ այնքան էլ դժվար չէ, որքան թվում է։

Ֆակտորիզացնելու համար նախ պետք է տեսնել, թե արդյոք հնարավոր է ինչ-որ բան հանել:

Օրինակ՝ տրված է 3x²+9x-30 արտահայտությունը: Այստեղ փակագծերից հանված է 3 թիվը.

3 (x² + 3x-10): Արդյունքը արդեն հայտնի եռանդամն է։ Պատասխանն ունի հետևյալ տեսքը՝ 3(x-2)(x+5)

Ինչպե՞ս քայքայվել, եթե քառակուսի տերմինը բացասական է: Այս դեպքում փակագծից հանվում է -1 թիվը։ Օրինակ՝ -x²-10x-8: Այնուհետև արտահայտությունը կունենա հետևյալ տեսքը.

Սխեման քիչ է տարբերվում նախորդից: Միայն մի քանի նոր բան կա։ Ենթադրենք տրված է արտահայտությունը՝ 2x²+7x+3: Պատասխանը գրված է նաև 2 փակագծերում, որոնք պետք է լրացվեն (_) (_): 2-րդ փակագծում գրվում է X, իսկ 1-ինում՝ ինչ է մնացել։ Կարծես հետևյալն է՝ (2x_)(x_): Հակառակ դեպքում կրկնվում է նախորդ սխեման։

3 համարը տալիս է թվերը.

-1, -3;
-3, -1;
3, 1;
1, 3.

Հավասարումները լուծում ենք՝ փոխարինելով տրված թվերը։ Վերջին տարբերակը տեղավորվում է. Այսպիսով, 2x²+7x+3 արտահայտության փոխակերպումն ունի հետևյալ տեսքը՝ (2x+1)(x+3):

Այլ դեպքեր

Միշտ չէ, որ հնարավոր է փոխակերպել արտահայտությունը: Երկրորդ մեթոդով հավասարման լուծումը պարտադիր չէ։ Բայց տերմինները ապրանքի վերածելու հնարավորությունը ստուգվում է միայն դիսկրիմինատորի միջոցով։

Արժե զբաղվել քառակուսի հավասարումների լուծումով, որպեսզի բանաձևեր օգտագործելիս դժվարություններ չլինեն։

Օգտակար տեսանյութ՝ եռանդամի ֆակտորիզացիա

Արդյունք

Դուք կարող եք այն օգտագործել ցանկացած ձևով: Բայց ավելի լավ է աշխատել երկուսն էլ դեպի ավտոմատիզմ: Նաև նրանք, ովքեր պատրաստվում են իրենց կյանքը կապել մաթեմատիկայի հետ, պետք է սովորեն, թե ինչպես լավ լուծել քառակուսի հավասարումները և բազմանդամները տարրալուծել գործոնների: Սրա վրա են կառուցված բոլոր հետևյալ մաթեմատիկական թեմաները։

Քառակուսի եռանդամների ֆակտորիզացիան վերաբերում է դպրոցական առաջադրանքներոր բոլորը վաղ թե ուշ կբախվեն։ Ինչպե՞ս դա անել: Ո՞րն է քառակուսի եռանդամի գործակցման բանաձևը: Եկեք քայլ առ քայլ անցնենք օրինակներով:

Ընդհանուր բանաձև

Քառակուսի եռանդամների ֆակտորիզացիան իրականացվում է քառակուսի հավասարման լուծումով։ Սա պարզ խնդիր է, որը կարելի է լուծել մի քանի մեթոդներով. գտնելով տարբերակիչը՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը, գոյություն ունի և գրաֆիկական ճանապարհլուծումներ։ Առաջին երկու մեթոդներն ուսումնասիրվում են ավագ դպրոցում։

Ընդհանուր բանաձևն ունի հետևյալ տեսքը.lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Առաջադրանքի կատարման ալգորիթմ

Քառակուսի եռանկյունները ֆակտորիզացնելու համար պետք է իմանալ Վիթի թեորեմը, ձեռքի տակ ունենալ լուծման ծրագիր, կարողանալ գրաֆիկորեն լուծում գտնել կամ դիսկրիմինանտ բանաձևի միջոցով փնտրել երկրորդ աստիճանի հավասարման արմատները։ Եթե տրված է քառակուսի եռանկյուն, և այն պետք է գործոնավորվի, ապա գործողությունների ալգորիթմը հետևյալն է.

1) Բնօրինակ արտահայտությունը հավասարեցնել զրոյի՝ հավասարումը ստանալու համար:

2) Տրե՛ք նմանատիպ տերմիններ (անհրաժեշտության դեպքում):

3) Գտեք ցանկացածի արմատները հայտնի ճանապարհ. Գրաֆիկական մեթոդը լավագույնս օգտագործվում է, եթե նախապես հայտնի է, որ արմատները ամբողջ թվեր են և փոքր թվեր: Պետք է հիշել, որ արմատների թիվը հավասար է հավասարման առավելագույն աստիճանին, այսինքն՝ քառակուսի հավասարումն ունի երկու արմատ։

4) փոխարինող արժեք Xարտահայտության մեջ (1):

5) Գրի՛ր քառակուսի եռանկյունների գործոնացումը.

Օրինակներ

Պրակտիկան թույլ է տալիս վերջապես հասկանալ, թե ինչպես է կատարվում այս խնդիրը: Օրինակները ցույց են տալիս քառակուսի եռանկյունի ֆակտորիզացիան.

պետք է ընդլայնել արտահայտությունը.

Եկեք օգտագործենք մեր ալգորիթմը.

1) x 2 -17x+32=0

2) համանման ժամկետները կրճատվում են

3) ըստ Վիետայի բանաձևի, դժվար է գտնել այս օրինակի արմատները, հետևաբար ավելի լավ է օգտագործել տարբերակիչ արտահայտությունը.

D=289-128=161=(12.69) 2

4) Փոխարինեք արմատները, որոնք մենք գտել ենք ընդլայնման հիմնական բանաձևում.

(x-2.155) * (x-14.845)

5) Այնուհետև պատասխանը կլինի.

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)

Եկեք ստուգենք, թե արդյոք դիսկրիմինատորի կողմից հայտնաբերված լուծումները համապատասխանում են Վիետայի բանաձևերին.

14,845 . 2,155=32

Այս արմատների համար կիրառվում է Վիետայի թեորեմը, դրանք ճիշտ են գտնվել, ինչը նշանակում է, որ մեր ստացած ֆակտորիզացիան նույնպես ճիշտ է։

Նմանապես, մենք ընդլայնում ենք 12x 2 + 7x-6:

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

Նախորդ դեպքում լուծումները եղել են ոչ ամբողջ թվեր, բայց իրական թվեր, որոնք հեշտ է գտնել ձեր առջև գտնվող հաշվիչով: Հիմա հաշվի առեք ավելին բարդ օրինակ, որում արմատները բարդ կլինեն՝ ֆակտորիզացնել x 2 + 4x + 9։ Վիետայի բանաձևի համաձայն՝ արմատները հնարավոր չէ գտնել, իսկ տարբերակիչը բացասական է։ Արմատները կլինեն բարդ հարթության վրա:

D=-20

Դրա հիման վրա մենք ստանում ենք մեզ հետաքրքրող արմատները -4 + 2i * 5 1/2 և -4-2i * 5 1/2 քանի որ (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Մենք ստանում ենք ցանկալի ընդլայնում, արմատները փոխարինելով ընդհանուր բանաձևով:

Մեկ այլ օրինակ՝ պետք է ֆակտորիզացնել 23x 2 -14x + 7 արտահայտությունը:

Մենք ունենք հավասարումը 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Այսպիսով, արմատները 14+21,166i են և 14-21,166i. Պատասխանը կլինի.

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21.166i ).

Բերենք մի օրինակ, որը կարելի է լուծել առանց խտրականի օգնության։

Թող անհրաժեշտ լինի քայքայել քառակուսի հավասարումը x 2 -32x + 255: Ակնհայտ է, որ դա կարող է լուծել նաև խտրականը, բայց այս դեպքում ավելի արագ է արմատները գտնելը։

x 1 = 15

x2=17

Միջոցներ x 2 -32x + 255 =(x-15) (x-17).

Աշխարհը ընկղմված է հսկայական թվով: Ցանկացած հաշվարկ տեղի է ունենում նրանց օգնությամբ:

Մարդիկ սովորում են թվեր, որպեսզի հետագայում չընկնեն խաբեության մեջ: Պետք է հսկայական ժամանակ հատկացնել կրթվելու և սեփական բյուջեն հաշվարկելու համար։

Մաթեմատիկան ճշգրիտ գիտություն է, որը մեծ դեր է խաղում կյանքում։ Դպրոցում երեխաները սովորում են թվեր, իսկ հետո՝ գործողություններ դրանց վրա:

Թվերի վրա գործողությունները բոլորովին տարբեր են՝ բազմապատկում, ընդլայնում, գումարում և այլն։ Բացի պարզ բանաձևերից, մաթեմատիկայի ուսումնասիրության ժամանակ օգտագործվում են նաև ավելի բարդ գործողություններ։ Կան մեծ թվով բանաձևեր, որոնցով հայտնի են ցանկացած արժեք:

Դպրոցում, հենց որ հանրահաշիվ է հայտնվում, պարզեցման բանաձևեր են ավելացվում աշակերտի կյանքին։ Կան հավասարումներ, երբ կան երկու անհայտ թվեր, բայց գտե՛ք պարզ ձևովչի աշխատի. Եռանդամը երեք միանդամների միացություն է, որի օգնությամբ պարզ մեթոդհանումներ և գումարումներ. Եռանկյունը լուծվում է Վիետայի թեորեմի և դիսկրիմինանտի միջոցով։

Քառակուսի եռանկյունը գործակիցների վերածելու բանաձևը

Կան երկու ճիշտ և պարզ լուծումներօրինակ:

տարբերակիչ;
Վիետայի թեորեմա.

Քառակուսի եռանկյունն ունի անհայտ քառակուսի, ինչպես նաև առանց քառակուսու թիվ: Խնդիրը լուծելու առաջին տարբերակը օգտագործում է Վիետա բանաձեւը։ Դա պարզ բանաձեւ էեթե անհայտից առաջ թվանշանները կլինեն նվազագույն արժեքը:

Այլ հավասարումների դեպքում, որտեղ թիվը գտնվում է անհայտի դիմաց, հավասարումը պետք է լուծվի տարբերակիչի միջոցով: Վերջացավ դժվար որոշում, բայց դիսկրիմինանտը շատ ավելի հաճախ է օգտագործվում, քան Վիետայի թեորեմը։

Սկզբում հավասարման բոլոր փոփոխականները գտնելու համար անհրաժեշտ է օրինակը հասցնել 0-ի։ Օրինակի լուծումը կարելի է ստուգել և պարզել՝ արդյոք թվերը ճիշտ են ճշգրտված։

Խտրական

1. Հավասարումը պետք է հավասարեցնել 0-ի։

2. X-ից առաջ յուրաքանչյուր թիվ կոչվելու է a, b, c թվեր: Քանի որ x առաջին քառակուսուց առաջ թիվ չկա, այն հավասար է 1-ի:

3. Այժմ հավասարման լուծումը սկսվում է դիսկրիմինանտի միջոցով.

4. Այժմ մենք գտել ենք դիսկրիմինատորը և գտնում ենք երկու x: Տարբերությունն այն է, որ մի դեպքում b-ին նախորդելու է գումարած, իսկ մյուս դեպքում՝ մինուս.

5. Երկու թիվ լուծելով ստացվեց -2 և -1: Փոխարինեք սկզբնական հավասարման ներքո.

6. Այս օրինակում պարզվեց երկու ճիշտ ընտրանքներ. Եթե երկու լուծումներն էլ ճիշտ են, ապա դրանցից յուրաքանչյուրը ճշմարիտ է։

Ավելի բարդ հավասարումներ նույնպես լուծվում են դիսկրիմինանտի միջոցով: Բայց եթե ինքնին դիսկրիմինանտի արժեքը 0-ից փոքր է, ապա օրինակը սխալ է: Որոնման մեջ դիսկրիմինանտը միշտ արմատի տակ է, և բացասական արժեքը չի կարող լինել արմատում:

Վիետայի թեորեմա

Այն օգտագործվում է հեշտ խնդիրներ լուծելու համար, որտեղ առաջին x-ին չի նախորդում թիվ, այսինքն՝ a=1։ Եթե տարբերակը համընկնում է, ապա հաշվարկն իրականացվում է Վիետայի թեորեմի միջոցով։

Ցանկացած եռանկյուն լուծելու համարանհրաժեշտ է հավասարումը հասցնել 0-ի: Դրիմինանտի և Վիետայի թեորեմի առաջին քայլերը նույնն են:

2. Այժմ կան տարբերություններ երկու մեթոդների միջև: Վիետայի թեորեմն օգտագործում է ոչ միայն «չոր» հաշվարկ, այլև տրամաբանություն և ինտուիցիա։ Յուրաքանչյուր թիվ ունի իր a, b, c տառերը: Թեորեմն օգտագործում է երկու թվերի գումարը և արտադրյալը:

Հիշիր. b թիվը միշտ գումարվում է հակառակ նշանով, իսկ c թիվը մնում է անփոփոխ։

Օրինակում տվյալների արժեքների փոխարինում , մենք ստանում ենք.

3. Օգտագործելով տրամաբանական մեթոդը՝ փոխարինում ենք ամենահարմար թվերը։ Դիտարկենք բոլոր հնարավոր լուծումները.

Թվերը 1 և 2 են: Երբ գումարվում ենք, ստանում ենք 3, բայց եթե բազմապատկենք, չենք ստանում 4: Հարմար չէ:
Արժեք 2 և -2: Երբ բազմապատկվում է, կլինի -4, բայց երբ գումարվում է, ստացվում է 0։ Հարմար չէ։
4 և -1 համարներ. Քանի որ բազմապատկումը բացասական արժեք է պարունակում, նշանակում է, որ թվերից մեկը կլինի մինուսով։ Հարմար է գումարման և բազմապատկման համար։ Ճիշտ տարբերակ.

4. Մնում է միայն ստուգել՝ թվերը դնելով և տեսնել, թե արդյոք ընտրված տարբերակը ճիշտ է։

5. Առցանց ստուգման շնորհիվ մենք պարզեցինք, որ -1-ը չի համապատասխանում օրինակի պայմանին, ինչը նշանակում է, որ դա սխալ լուծում է։

Ավելացնելիս բացասական արժեքօրինակում համարը պետք է փակագծերում դնել:

Մաթեմատիկայի մեջ միշտ կլինի պարզ առաջադրանքներև բարդ. Գիտությունն ինքնին ներառում է մի շարք խնդիրներ, թեորեմներ և բանաձևեր: Եթե դուք հասկանում եք և ճիշտ կիրառում գիտելիքը, ապա հաշվարկների հետ կապված ցանկացած դժվարություն չնչին կլինի:

Մաթեմատիկան մշտական մտապահման կարիք չունի։ Պետք է սովորել հասկանալ լուծումը և սովորել մի քանի բանաձև: Աստիճանաբար, ըստ տրամաբանական եզրակացությունների, հնարավոր է լուծել նմանատիպ խնդիրներ, հավասարումներ։ Նման գիտությունն առաջին հայացքից կարող է շատ դժվար թվալ, բայց եթե մեկը սուզվի թվերի և առաջադրանքների աշխարհ, ապա տեսակետը կտրուկ կփոխվի. ավելի լավ կողմ.

Տեխնիկական մասնագիտություններմիշտ մնալ աշխարհում ամենապահանջվածը: Հիմա՝ աշխարհում ժամանակակից տեխնոլոգիաներՄաթեմատիկան դարձել է ցանկացած բնագավառի անփոխարինելի հատկանիշ։ Դուք պետք է միշտ հիշեք դրա մասին օգտակար հատկություններՄաթեմատիկա.

Եռյակի տարրալուծում փակագծերով

Սովորական եղանակներով լուծելուց բացի կա ևս մեկը՝ փակագծերի տարրալուծումը։ Օգտագործվում է Վիետայի բանաձեւով.

1. Հավասարեք հավասարումը 0-ի:

կացին 2 + bx+ գ= 0

2. Հավասարման արմատները մնում են նույնը, բայց զրոյի փոխարեն այժմ օգտագործում են փակագծերի ընդլայնման բանաձևերը։

կացին 2 + bx + c = a (x-x 1) (x-x 2)

2 x 2 – 4 x – 6 = 2 (x + 1) (x – 3)

4. Լուծում x=-1, x=3

Քառակուսի եռանդամի ֆակտորիզացիակարող է օգտակար լինել C3 խնդրից կամ C5 պարամետրով խնդրի անհավասարությունները լուծելիս: Բացի այդ, շատ B13 բառային խնդիրներ շատ ավելի արագ կլուծվեն, եթե իմանաք Վիետայի թեորեմը:

Այս թեորեմը, անշուշտ, կարելի է դիտարկել 8-րդ դասարանի տեսանկյունից, որով այն առաջինն է անցել։ Բայց մեր խնդիրն է լավ պատրաստվել քննությանը և սովորել, թե ինչպես լուծել քննական առաջադրանքները հնարավորինս արդյունավետ: Ուստի այս դասին մոտեցումը փոքր-ինչ տարբերվում է դպրոցականից։

Վիետայի թեորեմի համաձայն հավասարման արմատների բանաձևըգիտեք (կամ գոնե տեսել եք) շատերին.

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

որտեղ «a, b» և «c» քառակուսի եռանդամի «ax^2+bx+c» գործակիցներն են:

Թեորեմը հեշտությամբ օգտագործել սովորելու համար եկեք հասկանանք, թե որտեղից է այն առաջացել (այսպես իսկապես ավելի հեշտ կլինի հիշել):

Եկեք ունենանք «ax^2+ bx+ c = 0» հավասարումը: Լրացուցիչ հարմարության համար մենք այն բաժանում ենք «a»-ի և ստանում ենք «x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0»: Նման հավասարում կոչվում է կրճատված քառակուսի հավասարում:

Դասի կարևոր կետեր. ցանկացած քառակուսի բազմանդամ, որն ունի արմատներ, կարելի է բաժանել փակագծերի:Ենթադրենք մերը կարող է ներկայացվել որպես «x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)», որտեղ «k» և «l» - որոշ հաստատուններ.

Տեսնենք, թե ինչպես են բացվում փակագծերը.

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Այսպիսով, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`:

Սա մի փոքր տարբերվում է դասական մեկնաբանությունից Վիետայի թեորեմները- դրանում մենք փնտրում ենք հավասարման արմատները: Ես առաջարկում եմ փնտրել պայմաններ փակագծերի ընդլայնումներ- այնպես որ դուք պետք չէ հիշել բանաձևի մինուսի մասին (նշանակում է՝ «x_1+x_2 = -\frac(b)(a)»): Բավական է ընտրել երկու այդպիսի թիվ, որոնց գումարը հավասար է միջին գործակցի, իսկ արտադրյալը՝ ազատ անդամին։

Եթե մեզ հավասարման լուծում է պետք, ապա դա ակնհայտ է՝ «x=-k» կամ «x=-l» արմատները (քանի որ այս դեպքերում փակագծերից մեկը դրվելու է զրոյի, ինչը նշանակում է, որ ամբողջ արտահայտությունը. հավասար կլինի զրոյի):

Օրինակ, ես ցույց կտամ ալգորիթմը, ինչպես քառակուսի բազմանդամը բաժանել փակագծերի:

Օրինակ մեկ. Քառակուսի եռանկյունի ֆակտորինգի ալգորիթմ

Մեր ունեցած ուղին «x^2+5x+4» քառակուսի եռանկյունն է:

Այն կրճատվում է («x^2» գործակից մեկին հավասար): Նա արմատներ ունի։ (Վստահ լինելու համար կարող եք գնահատել դիսկրիմինատորը և համոզվել, որ այն զրոյից մեծ է):

Հաջորդ քայլերը (դրանք պետք է սովորել՝ ամեն ինչ անելով վերապատրաստման առաջադրանքներ):

Կատարեք հետևյալ նշումը՝ $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Կետերի փոխարեն ազատ տեղ թողեք, այնտեղ կավելացնենք համապատասխան թվեր և նշաններ։
Դիտել բոլորը հնարավոր տարբերակներըԻնչպես կարող եք «4» թիվը տարրալուծել երկու թվերի արտադրյալի: Մենք ստանում ենք զույգ «թեկնածուներ» հավասարման արմատների համար՝ «2, 2» և «1, 4»:
Գնահատեք, թե որ զույգից կարող եք ստանալ միջին գործակիցը։ Ակնհայտորեն դա «1, 4» է:
Գրեք $$x^2+5x+4=(x \քառյակ 4)(x \քառյակ 1)$$։
Հաջորդ քայլը զետեղված թվերի դիմաց նշաններ տեղադրելն է։
Ինչպե՞ս հասկանալ և ընդմիշտ հիշել, թե ինչ նշաններ պետք է լինեն փակագծերում գտնվող թվերի դիմաց: Փորձեք ընդլայնել դրանք (փակագծեր): «x»-ից առաջ առաջին աստիճանի գործակիցը կլինի «(± 4 ± 1)» (մենք դեռ չգիտենք նշանները, պետք է ընտրել), և այն պետք է հավասար լինի «5»-ի: Ակնհայտ է, որ այստեղ կլինեն երկու գումարած $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$:
Կատարեք այս գործողությունը մի քանի անգամ (բարև ձեզ, ուսուցողական առաջադրանքներ!) և դրա հետ կապված խնդիրներ երբեք չեն լինի:

Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է լուծել «x^2+5x+4» հավասարումը, ապա այժմ դրա լուծումը դժվար չէ։ Նրա արմատները `-4, -1` են:

Երկրորդ օրինակ. Տարբեր նշանների գործակիցներով քառակուսի եռանդամի ֆակտորիզացիա

Եկեք լուծենք «x^2-x-2=0» հավասարումը: Անշուշտ, խտրականությունը դրական է:

Մենք հետևում ենք ալգորիթմին.

$$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
2-ի միայն մեկ ամբողջ թվային գործոնավորում կա՝ «2 · 1»:
Մենք բաց ենք թողնում կետը. ընտրություն չկա:
$$x^2-x-2=(x \չորս 2) (x \քառյակ 1).$$
Մեր թվերի արտադրյալը բացասական է (`-2` ազատ անդամ է), ինչը նշանակում է, որ դրանցից մեկը կլինի բացասական, իսկ մյուսը դրական:
Քանի որ դրանց գումարը հավասար է «-1»-ի («x»-ի գործակից), ապա «2»-ը կլինի բացասական (ինտուիտիվ բացատրություն. երկուսը երկու թվերից ավելի մեծ է, այն ավելի շատ «կքաշի» բացասական ուղղությամբ): Մենք ստանում ենք $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$

Երրորդ օրինակ. Քառակուսի եռանդամի ֆակտորիզացիա

«x^2+5x -84 = 0» հավասարումը:

$$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
84-ի տարրալուծումը ամբողջ թվերի՝ «4 21, 6 14, 12 7, 2 42»:
Քանի որ մեզ անհրաժեշտ է, որ թվերի տարբերությունը (կամ գումարը) լինի 5, «7, 12» զույգը կկատարվի:
$$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x \quad 7).$$
$$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

Հույս, այս քառակուսի եռանկյունի տարրալուծումը փակագծերի մեջպարզ.

Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է հավասարման լուծում, ապա ահա այն՝ «12, -7»: