«հավանականության տեսությունը քննության և oge-ի առաջադրանքներում»: Պարզ խնդիրներ հավանականության տեսության մեջ

Մինչ օրս ներկայացված է մաթեմատիկայի USE խնդիրների բաց բանկում (mathege.ru), որի լուծումը հիմնված է միայն մեկ բանաձևի վրա, որը հավանականության դասական սահմանումն է։

Բանաձևը հասկանալու ամենահեշտ ձևը օրինակներով է:
Օրինակ 1Զամբյուղում կա 9 կարմիր և 3 կապույտ գնդակ: Գնդակները տարբերվում են միայն գույնով։ Պատահականորեն (առանց նայելու) մենք ստանում ենք դրանցից մեկը: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ այս կերպ ընտրված գնդակը կապույտ կլինի:

Մեկնաբանություն.Հավանականության խնդիրներում տեղի է ունենում մի բան (այս դեպքում՝ գնդակը քաշելու մեր գործողությունը), որը կարող է ունենալ տարբեր արդյունք- արդյունքը. Պետք է նշել, որ արդյունքը կարելի է տարբեր կերպ դիտարկել։ «Գնդակ հանեցինք»-ը նույնպես արդյունք է. «Մենք հանեցինք կապույտ գնդակը»՝ արդյունքը. «Մենք այս կոնկրետ գնդակը հանեցինք բոլոր հնարավոր գնդակներից», - արդյունքի այս ամենաքիչ ընդհանրացված տեսակետը կոչվում է տարրական արդյունք: Հավանականության հաշվարկման բանաձևում նախատեսված են տարրական արդյունքներ:

Որոշում.Այժմ մենք հաշվարկում ենք կապույտ գնդակ ընտրելու հավանականությունը։
Իրադարձություն A. «ընտրված գնդակը կապույտ է ստացվել».
Բոլոր հնարավոր արդյունքների ընդհանուր թիվը՝ 9+3=12 (բոլոր գնդակների թիվը, որոնք մենք կարող էինք նկարել)
A իրադարձության համար բարենպաստ արդյունքների քանակը՝ 3 (այդպիսի արդյունքների թիվը, որոնցում տեղի է ունեցել A իրադարձությունը, այսինքն՝ կապույտ գնդակների քանակը)
P(A)=3/12=1/4=0.25
Պատասխան՝ 0,25

Նույն խնդրի համար հաշվարկենք կարմիր գնդակ ընտրելու հավանականությունը։
Հնարավոր արդյունքների ընդհանուր թիվը կմնա անփոփոխ՝ 12. Բարենպաստ ելքերի քանակը՝ 9. Ցանկալի հավանականություն՝ 9/12=3/4=0.75

Ցանկացած իրադարձության հավանականությունը միշտ գտնվում է 0-ի և 1-ի միջև:
Երբեմն առօրյա խոսքում (բայց ոչ հավանականության տեսության մեջ) իրադարձությունների հավանականությունը գնահատվում է որպես տոկոս: Մաթեմատիկական և խոսակցական գնահատման միջև անցումը կատարվում է 100%-ով բազմապատկելով (կամ բաժանելով):
Այսպիսով,
Այս դեպքում հավանականությունը զրոյական է իրադարձությունների համար, որոնք չեն կարող տեղի ունենալ՝ անհավանական։ Օրինակ, մեր օրինակում սա կլինի զամբյուղից կանաչ գնդակ հանելու հավանականությունը: (Բարենպաստ արդյունքների թիվը 0 է, P(A)=0/12=0 եթե հաշվվում է ըստ բանաձևի)
Հավանականություն 1-ն ունի իրադարձություններ, որոնք անպայման տեղի կունենան՝ առանց տարբերակների: Օրինակ, հավանականությունը, որ «ընտրված գնդակը կլինի կամ կարմիր, կամ կապույտ», մեր խնդրի համար է։ (Բարենպաստ արդյունքների թիվը՝ 12, P(A)=12/12=1)

Մենք դիտարկել ենք դասական օրինակ, որը ցույց է տալիս հավանականության սահմանումը: Բոլորը նման են ՕԳՏԱԳՈՐԾԵԼ առաջադրանքներըստ հավանականությունների տեսության՝ լուծվում են այս բանաձևի կիրառմամբ.
Կարմիր և կապույտ գնդակների փոխարեն կարող են լինել խնձորներ և տանձեր, տղաներ և աղջիկներ, սովորած և չսովորած տոմսեր, որոշակի թեմայի վերաբերյալ հարց պարունակող և չպարունակող տոմսեր (նախատիպեր, ), թերի և բարձրորակ պայուսակներ կամ այգիների պոմպեր (նախատիպեր): , ) - սկզբունքը մնում է նույնը։

Նրանք փոքր-ինչ տարբերվում են USE հավանականության տեսության խնդրի ձևակերպման մեջ, որտեղ անհրաժեշտ է հաշվարկել որևէ իրադարձության հավանականությունը որոշակի օր: ( , ) Ինչպես նախորդ առաջադրանքներում, դուք պետք է որոշեք, թե որն է տարրական արդյունքը, ապա կիրառեք նույն բանաձևը։

Օրինակ 2Համաժողովը տեւում է երեք օր։ Առաջին և երկրորդ օրերին՝ 15-ական բանախոս, երրորդ օրը՝ 20. Որքա՞ն է հավանականությունը, որ պրոֆեսոր Մ.-ի զեկույցը երրորդ օրն ընկնի, եթե վիճակահանությամբ որոշվի հաշվետվությունների հերթականությունը։

Ո՞րն է այստեղ տարրական արդյունքը: - Պրոֆեսորի զեկույցի նշանակումը բոլոր հնարավոր սերիական համարներից մեկին ելույթի համար: Խաղարկությանը մասնակցում է 15+15+20=50 հոգի։ Այսպիսով, պրոֆեսոր Մ.-ի զեկույցը կարող է ստանալ 50 թվերից մեկը։ Սա նշանակում է, որ կան միայն 50 տարրական արդյունքներ:
Որո՞նք են բարենպաստ արդյունքները: -Նրանք, որոնցում պարզվում է, որ պրոֆեսորը կխոսի երրորդ օրը։ Այսինքն՝ վերջին 20 թվերը։
Ըստ բանաձևի՝ հավանականությունը P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
Պատասխան՝ 0.4

Այստեղ վիճակահանությունը մարդկանց և պատվիրված վայրերի միջև պատահական նամակագրության հաստատումն է։ Օրինակ 2-ում համընկնում էր այն առումով, թե կոնկրետ անձը որ վայրերից կարող էր զբաղեցնել: Նույն իրավիճակին կարող եք մոտենալ մյուս կողմից. մարդկանցից ով ինչ հավանականությամբ կարող էր հասնել որոշակի վայր (նախատիպեր , , , ).

Օրինակ 3Վիճակահանությանը մասնակցում են 5 գերմանացի, 8 ֆրանսիացի և 3 էստոնացի։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ առաջինը (/երկրորդը/յոթերորդը/վերջինը` կապ չունի) ֆրանսիացի կլինի։

Տարրական արդյունքների թիվը բոլորի թիվն է հնարավոր մարդիկով կարող էր վիճակահանությամբ մտնել տրված տեղը. 5+8+3=16 հոգի.
Բարենպաստ արդյունքներ - ֆրանսիացիներ. 8 հոգի.
Ցանկալի հավանականություն՝ 8/16=1/2=0,5
Պատասխան՝ 0,5

Նախատիպը մի փոքր այլ է. Կան առաջադրանքներ մետաղադրամների () և զառերի () վերաբերյալ, որոնք որոշ չափով ավելի ստեղծագործական են: Այս խնդիրների լուծումները կարելի է գտնել նախատիպի էջերում:

Ահա մետաղադրամ նետելու կամ զառ նետելու օրինակներ:

Օրինակ 4Երբ մետաղադրամ ենք նետում, ո՞րն է պոչեր ստանալու հավանականությունը:
Արդյունքներ 2 - գլուխներ կամ պոչեր: (կարծիք կա, որ մետաղադրամը երբեք չի ընկնում եզրին) Բարենպաստ արդյունք՝ պոչեր, 1.
Հավանականություն 1/2=0,5
Պատասխան՝ 0,5:

Օրինակ 5Իսկ եթե մետաղադրամը երկու անգամ շրջենք: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ երկու անգամ էլ այն կբարձրանա:
Հիմնական բանը որոշելն է, թե որ տարրական արդյունքները մենք հաշվի կառնենք երկու մետաղադրամ նետելիս: Երկու մետաղադրամ նետելուց հետո կարող է առաջանալ հետևյալ արդյունքներից մեկը.
1) PP - երկու անգամ էլ պոչ է եկել
2) PO - առաջին անգամ պոչեր, երկրորդ անգամ գլուխներ
3) OP - առաջին անգամ գլուխներ, երկրորդ անգամ պոչեր
4) OO - երկու անգամ էլ բարձրանում է
Այլ տարբերակներ չկան։ Սա նշանակում է, որ կան 4 տարրական արդյունքներ, միայն առաջինն է բարենպաստ՝ 1.
Հավանականություն՝ 1/4=0,25
Պատասխան՝ 0,25

Որքա՞ն է հավանականությունը, որ մետաղադրամի երկու նետում պոչերի վրա ընկնեն:
Տարրական արդյունքների թիվը նույնն է, 4. Բարենպաստ արդյունքներն են երկրորդը և երրորդը, 2.
Մեկ պոչ ստանալու հավանականությունը՝ 2/4=0,5

Նման խնդիրների դեպքում մեկ այլ բանաձև կարող է օգտակար լինել.
Եթե մետաղադրամի մեկ նետումով տարբերակներըունենք 2 արդյունք, ապա երկու նետումների դեպքում արդյունքները կլինեն 2 2=2 2 =4 (ինչպես օրինակ 5-ում), երեք նետումների համար՝ 2 2 2=2 3 =8, չորսի դեպքում՝ 2 2 2 2 =2 4 = 16, … N նետումների համար կա 2·2·...·2=2 N հնարավոր արդյունք:

Այսպիսով, դուք կարող եք գտնել 5 մետաղադրամի նետումից 5 պոչ ստանալու հավանականությունը:
Տարրական արդյունքների ընդհանուր թիվը՝ 2 5 =32:
Բարենպաստ արդյունքներ. 1. (RRRRRR - բոլոր 5 անգամ պոչերը)
Հավանականություն՝ 1/32=0,03125

Նույնը վերաբերում է զառերին: Մեկ նետումով հնարավոր է 6 արդյունք։Այսպիսով, երկու նետման դեպքում՝ 6 6=36, երեքի համար՝ 6 6 6=216 և այլն։

Օրինակ 6Մենք զառ ենք նետում: Որքա՞ն է զույգ թիվ ստանալու հավանականությունը:

Արդյունքների ընդհանուր թիվը՝ 6, ըստ դեմքերի քանակի։
Բարենպաստ: 3 արդյունք: (2, 4, 6)
Հավանականություն՝ 3/6=0,5

Օրինակ 7Նետեք երկու զառախաղ: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ ընդհանուրը գլորվի 10: (կլոր հարյուրերորդական)

Մեկ մահի համար կա 6 հնարավոր արդյունք: Այսպիսով, երկուսի համար, ըստ վերը նշված կանոնի՝ 6·6=36։
Ի՞նչ արդյունքներ կլինեն բարենպաստ, որպեսզի ընդհանուր առմամբ 10-ը դուրս գա:
10-ը պետք է կազմալուծվի 1-ից 6-ի երկու թվերի գումարի մեջ։ Դա կարելի է անել երկու եղանակով՝ 10=6+4 և 10=5+5։ Այսպիսով, խորանարդի համար հնարավոր են տարբերակներ.
(6-ը առաջինում և 4-ը երկրորդում)
(4-ը առաջինում և 6-ը երկրորդում)
(5-ը առաջինում և 5-ը երկրորդում)
Ընդհանուր առմամբ, 3 տարբերակ. Ցանկալի հավանականություն՝ 3/36=1/12=0,08
Պատասխան՝ 0.08

B6 խնդիրների այլ տեսակներ կքննարկվեն հետևյալ «Ինչպես լուծել» հոդվածներից մեկում:

Ներկայացման նկարագրությունը առանձին սլայդների վրա.

1 սլայդ

Սլայդի նկարագրությունը.

Հիմնական առաջադրանքներ հավանականության տեսության մեջ Նախապատրաստում OGE No. 9 MBOU «Գիմնազիա թիվ 4 անվ. Ա.Ս. Պուշկին» Կազմող՝ Սոֆինա Ն.Յու.

2 սլայդ

Սլայդի նկարագրությունը.

Հիմնական ստուգելի պահանջներ մաթեմատիկական պատրաստման համար թիվ 9 OGE մաթեմատիկայի մեջ Լուծել գործնական խնդիրներ, որոնք պահանջում են տարբերակների համակարգված թվարկում; համեմատել պատահական իրադարձությունների առաջացման հնարավորությունները, գնահատել պատահական իրադարձության հավանականությունը, համեմատել և ուսումնասիրել իրական իրավիճակի մոդելները՝ օգտագործելով հավանականության և վիճակագրության ապարատը: Թիվ 9 - հիմնական առաջադրանք. Առաջադրանքը կատարելու համար առավելագույն միավորը 1 է:

3 սլայդ

Սլայդի նկարագրությունը.

A իրադարձության հավանականությունը այս իրադարձության համար նպաստավոր արդյունքների m թվի հարաբերակցությունն է ընդհանուր թիվը n բոլոր հավասարապես հնարավոր անհամատեղելի իրադարձություններից, որոնք կարող են տեղի ունենալ մեկ փորձության կամ դիտարկման արդյունքում Հավանականության դասական սահմանում Հիշեք պատահական իրադարձության դասական հավանականության հաշվարկման բանաձևը Р = n m

4 սլայդ

Սլայդի նկարագրությունը.

Հավանականության դասական սահմանում Օրինակ. Ծնողական կոմիտեն գնել է 40 գունավոր էջ երեխաների ավարտական նվերների համար ուսումնական տարի. Դրանցից 14-ը հիմնված են Ա.Ս.-ի հեքիաթների վրա։ Պուշկինը և 26-ը՝ հիմնված Գ.Խ.Անդերսենի հեքիաթների վրա։ Նվերները բաշխվում են պատահականության սկզբունքով։ Գտեք հավանականությունը, որ Նաստյան ստանա գունազարդման գիրք՝ հիմնված Ա.Ս.-ի հեքիաթների վրա: Պուշկին. Լուծում` m= 14; n= 14 +26=40 Р= 14/40= 0,35 Պատասխան՝ 0,35։

5 սլայդ

Սլայդի նկարագրությունը.

Օրինակ. Քննությանը տրվել է 60 հարց: Դրանցից 3-ին Իվանը չի սովորել։ Գտեք հավանականությունը, որ նա կհանդիպի սովորած հարցին: Լուծում. Այստեղ n=60: Իվանը չի սովորել 3-ը, ուստի նա սովորել է մնացած բոլորը, այսինքն. մ=60-3=57. P=57/60=0,95։ Հավանականության դասական սահմանում Պատասխան՝ 0.95.

6 սլայդ

Սլայդի նկարագրությունը.

«Կարգը որոշվում է վիճակահանությամբ» Օրինակ՝ մարմնամարզության առաջնությանը մասնակցում է 20 մարզիկ՝ 8-ը՝ Ռուսաստանից, 7-ը՝ ԱՄՆ-ից, մնացածը՝ Չինաստանից։ Մարմնամարզիկների ելույթների հերթականությունը որոշվում է վիճակահանությամբ։ Գտե՛ք հավանականությունը, որ հինգերորդ մարզիկը Չինաստանից է։ Լուծում. Խնդրի պայմանում կա «կախարդական» բառը «շատ», ինչը նշանակում է, որ մենք մոռանում ենք խոսելու կարգի մասին։ Այսպիսով, m= 20-8-7=5 (Չինաստանից); n=20. P \u003d 5/20 \u003d 0,25: Պատասխան՝ 0,25:

7 սլայդ

Սլայդի նկարագրությունը.

Օրինակ՝ 5 օրում անցկացվում է գիտաժողով։ Նախատեսվում է ընդհանուր առմամբ 75 հաշվետվություն՝ առաջին 3 օրը, 17-ական հաշվետվություն, մնացածը հավասարապես բաշխվում են 4-րդ և 5-րդ օրերի միջև։ Հաշվետվությունների հերթականությունը որոշվում է վիճակահանությամբ։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ պրոֆեսոր Իվանովի զեկույցը կնշանակվի գիտաժողովի վերջին օրը։ Լուծում. Տվյալները դնենք աղյուսակում: Մենք ստացանք, որ m=12; n=75. P=12/75=0.16. Պատասխան՝ 0.16: «Վիճակախաղով որոշված պատվերը» օր I II III IV V Ընդհանուր ներկայացումների քանակը 17 17 17 12 12 75.

8 սլայդ

Սլայդի նկարագրությունը.

Իրադարձությունների հաճախականությունը Ինչպես հավանականությունը, հայտնաբերվում է իրադարձության հաճախականությունը, որի առաջադրանքները նույնպես կան նախատիպերում: Որն է տարբերությունը? Հավանականությունը կանխատեսելի արժեք է, իսկ հաճախականությունը՝ փաստի հայտարարություն: Օրինակ. Մեկ տարվա ընթացքում նոր պլանշետի վերանորոգման հավանականությունը 0,045 է: Որոշակի քաղաքում տարվա ընթացքում վաճառված 1000 պլանշետից երաշխիքային արտադրամաս է հասել 51 հատ։ Որքանո՞վ է տարբեր «երաշխիքային վերանորոգման» իրադարձության հաճախականությունը այս քաղաքում դրա հավանականությունից: Լուծում՝ Գտե՛ք իրադարձության հաճախականությունը՝ 51/1000=0,051։ Իսկ հավանականությունը հավասար է 0,045-ի (ըստ պայմանի), սա նշանակում է, որ այս քաղաքում «երաշխիքային վերանորոգում» իրադարձությունը տեղի է ունենում ավելի հաճախ, քան սպասվում էր։ Գտնենք ∆= 0,051- 0,045= 0,006 տարբերությունը։ Միաժամանակ պետք է հաշվի առնել, որ մեզ համար ՈՉ թե կարևոր է տարբերության նշանը, այլ միայն դրա բացարձակ արժեքը։ Պատասխան՝ 0.006։

9 սլայդ

Սլայդի նկարագրությունը.

Տարբերակների թվարկման հետ կապված խնդիրներ («մետաղադրամներ», «համընկնում») Թող k-ն լինի մետաղադրամի նետումների թիվը, ապա հնարավոր արդյունքների քանակը՝ n = 2k: Օրինակ. Պատահական փորձի ժամանակ սիմետրիկ մետաղադրամը երկու անգամ նետվում է: Գտեք հավանականությունը, որ գլուխները ճիշտ մեկ անգամ են բարձրանում: Լուծում. Մետաղադրամի անկման տարբերակներ. OO; ԿԱՄ; RR; RO. Այսպիսով, n=4: Բարենպաստ արդյունքներ՝ RR և RR: Այսինքն, m = 2. P = 2/4 = 1/2 = 0,5: Պատասխան՝ 0,5:

10 սլայդ

Սլայդի նկարագրությունը.

Օրինակ՝ սկսելուց առաջ ֆուտբոլային հանդիպումըՄրցավարը մետաղադրամ է նետում՝ որոշելու, թե որ թիմն առաջինը կունենա գնդակը: «Մերկուրի» թիմը հերթով խաղում է «Մարս», «Յուպիտեր», «Ուրան» թիմերի հետ։ Գտեք հավանականությունը, որ բոլոր հանդիպումներում գնդակին տիրելու իրավունք կստանա «Մերկուրի» թիմը։ Տարբերակների թվարկման հետ կապված խնդիրներ («մետաղադրամներ», «լուցկիներ») Լուծում. «Մերկուրի» թիմի առաջին գնդակի տիրանալու իրավունքը մյուս երեք թիմերից մեկի հետ խաղում նշանակենք որպես «Պոչեր»։ Այնուհետեւ այս թիմի երկրորդ գնդակին տիրելու իրավունքը «Արծիվն» է։ Այսպիսով, եկեք գրենք մետաղադրամը երեք անգամ նետելու բոլոր հնարավոր արդյունքները: «O» - գլուխներ, «P» - պոչեր: ; այսինքն, n=8; m=1. P=1/8=0,125: Պատասխան՝ 0.125 n = 23 «Մարս» «Յուպիտեր» «Ուրան»

11 սլայդ

Սլայդի նկարագրությունը.

Խնդիրներ «զառերով» (զառերով) Թող k-ն լինի զառի նետումների թիվը, ապա հնարավոր արդյունքների քանակը՝ n = 6k: Օրինակ՝ Դաշան երկու անգամ զառ է գցում: Գտեք հավանականությունը, որ նրա ընդհանուր թիվը 8 է: Արդյունքը կլորացրեք մինչև հարյուրերորդականը: Պատասխան՝ 0.14: Լուծում. Երկու զառերի գումարը պետք է լինի 8 միավոր: Դա հնարավոր է, եթե կան հետևյալ համակցությունները՝ 2 և 6 6 և 2 3 և 5 5 և 3 4 և 4 մ= 5 (5 հարմար համակցություններ) n \u003d 36 P \u003d 5/36 \u003d 0,13 (8)

12 սլայդ

Սլայդի նկարագրությունը.

Անկախ իրադարձությունները և բազմապատկման օրենքը Ե՛վ 1-ին, ե՛ւ 2-րդ, ե՛ւ n-րդ իրադարձությունները գտնելու հավանականությունը գտնում ենք բանաձևով՝ Р= Р1*Р2*…*Рn Օրինակ՝ բիաթլոնիստը հինգ անգամ կրակում է թիրախների վրա։ Մեկ կրակոցով թիրախին խոցելու հավանականությունը 0,8 է։ Գտե՛ք հավանականությունը, որ բիաթլոնիստը առաջին երեք անգամ հարվածել է թիրախներին և բաց թողել վերջին երկուսը։ Արդյունքը կլորացրեք մինչև հարյուրերորդականը: Պատասխան՝ 0.02: Լուծում. Յուրաքանչյուր հաջորդ կրակոցի արդյունքը կախված չէ նախորդներից։ Ուստի իրադարձությունները «խփեցին առաջին կրակոցին», «խփեցին երկրորդ կրակոցին» և այլն: անկախ. Յուրաքանչյուր հարվածի հավանականությունը 0,8 է։ Այսպիսով, բաց թողնելու հավանականությունը 1 - 0,8 = 0,2 է: 1 կրակոց՝ 0,8 2 կրակոց՝ 0,8 3 կրակոց՝ 0,8 4 կրակոց՝ 0,2 5 կրակոց՝ 0,2 ,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02։

13 սլայդ

Սլայդի նկարագրությունը.

«և» օրենքների և «կամ» օրենքների համակցություններ Օրինակ. Գրասենյակը գնում է գրենական պիտույքներ 3 տարբեր ֆիրմաների աշխատակիցների համար: Ընդ որում, 1-ին ընկերության արտադրանքը կազմում է բոլոր առաքումների 40%-ը, իսկ 2-րդ ընկերության մնացած մասը հավասարապես բաժանված է։ Պարզվել է, որ 2-րդ ընկերության գրիչների 2%-ը թերի է։ 1-ին և 3-րդ ընկերություններում ամուսնության տոկոսը համապատասխանաբար կազմում է 1% և 3%: Աշխատակից Ա-ն գրիչ է վերցրել նոր առաքումից: Գտեք հավանականությունը, որ այն ճիշտ կլինի: Լուծում. 2-րդ և 3-րդ ֆիրմաների արտադրանքը կազմում է (100%-40%):2=30% մատակարարում: P (ամուսնություն) \u003d 0,4 0,01 + 0,3 0,02 + 0,3 0,03 \u003d 0,019: P (սպասարկվող գրիչներ) \u003d 1 - 0,019 \u003d 0,981: Պատասխան՝ 0,981։

Հեշտ առաջադրանքներ

Սեղանին դրված է 25 կարկանդակ՝ 7-ը՝ ջեմով, 9-ը՝ կարտոֆիլով, մնացածը՝ կաղամբով։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված կարկանդակը կլինի կաղամբով:

0,36

Տաքսիում աշխատում է 40 մեքենա՝ 14-ը՝ Lada, 8-ը՝ Renault, 2-ը՝ Mercedes, մնացածը՝ Skoda մակնիշի։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ Mercedes-ը կգա ձեր զանգին:

0,05

Որոշեք հավանականությունը, որ զառ նետելիս կհայտնվի առնվազն երեքի թիվը:

Իրան, Դիման, Վասյան, Նատաշան և Անդրեյը ստանդարտ են անցնում 60 մետրում։ Ո՞րն է հավանականությունը, որ աղջիկն ամենաարագ է վազում:

Գետնանցումում գնված հեռախոսի կեղծ լինելու հավանականությունը 0,83 է։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ անցումային փուլում գնված հեռախոսը կեղծ չլինի։

0,17

Բասկետբոլի մրցաշարին մասնակցում է 20 թիմ, այդ թվում՝ «Տղերք» թիմը։ Բոլոր թիմերը բաժանված են 4 խմբի՝ A, B, C, D: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ «Տղաներ» թիմը կհայտնվի A խմբում:

0,25

Վիճակախաղի պայուսակը պարունակում է տակառներ 5-ից 94 ներառյալ: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ պարկից վերցված տակառը երկնիշ թիվ է պարունակում։ Կլորացրեք ձեր պատասխանը մինչև հարյուրերորդականը:

0,94

Քննությունից առաջ Իգորը դիմացավ մինչև վերջինը և հասցրեց սովորել 80 տոմսից միայն 5-ը: Որոշեք, թե որքանով է հավանականությունը, որ նա կհանդիպի սովորած տոմսի:

0,0625

Անյան միացնում է ռադիոն և պատահականորեն ընտրում ռադիոալիք: Ընդհանուր առմամբ, նրա ռադիոընդունիչը որսում է 20 ռադիոալիք և դրանցից միայն 7-ը այս պահիներաժշտություն է հնչում. Գտեք հավանականությունը, որ Անյան ընկնի երաժշտական ալիքի վրա։

0,35

Սոդայի յուրաքանչյուր քսաներորդ շշի մեջ կափարիչի տակ թաքնված է շահումով ծածկագիր: Որոշեք հավանականությունը, որ գնված շիշը կափարիչի տակ կունենա հաղթող ծածկագիր:

0,05

Առաջադրանքներն ավելի բարդ են

Որքա՞ն է հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված եռանիշ թիվը բաժանվի 5-ի:

0,2

Արձանագրված է հինգ աշակերտի հասակը (սմ)՝ 166, 158, 132, 136, 170։ Որքա՞ն է այս թվերի բազմության թվաբանական միջինը տարբերվում միջինից։

Մի փոքր երկրի վիճակագրության համաձայն՝ հայտնի է, որ ծնված փոքրիկի տղա լինելու հավանականությունը 0,507 է։ 2017 թվականին այս երկրում ծնվում էր միջինը 486 աղջիկ 1000 նորածնի հաշվով։ Որքանո՞վ է տարբերվում այս երկրում 2017 թվականին կանանց ծնունդների հաճախականությունը այս իրադարձության հավանականությունից:

0,007

Մահը նետվում է երկու անգամ: Գտե՛ք հավանականությունը, որ գծված երկու թվերի գումարը լինի 3 կամ 7: Ձեր պատասխանը կլորացրեք մինչև հարյուրերորդականը:

0,22

Որքա՞ն է հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված եռանիշ թիվը բաժանվի 2-ի:

0,5

Գտե՛ք այն հավանականությունը, որ երկու մետաղադրամ նետվելը ուղիղ մեկ անգամ վերև է գալիս:

0,5

Մատերը երկու անգամ են նետվում, գտե՛ք հավանականությունը, որ երկու անգամ էլ երեքից մեծ թիվ կհայտնվի: Կլորացրեք ձեր պատասխանը մինչև հարյուրերորդականը:

0,31

Մի փոքր երկրի վիճակագրության համաձայն՝ հայտնի է, որ ծնված երեխայի տղա լինելու հավանականությունը 0,594 է։ 2017 թվականին այս երկրում միջինը 513 աղջիկ է ծնվել 1000 նորածնի հաշվով։ Որքանո՞վ է տարբերվում այս երկրում 2017 թվականին կանանց ծնունդների հաճախականությունը այս իրադարձության հավանականությունից:

0,107

Արձանագրված է հինգ աշակերտի հասակը (սմ)՝ 184, 145, 176, 192, 174։ Որքա՞ն է այս թվերի բազմության թվաբանական միջինը տարբերվում նրա միջինից։

1,8

«Հսկաներ» գյուղի բնակիչների միջին հասակը 194 սմ է, Նիկոլայ Պետրովիչի հասակը 195 սմ։ Հետևյալ պնդումներից ո՞րն է ճիշտ.

1) գյուղացիներից մեկի հասակը պետք է լինի 194 սմ.

2) Նիկոլայ Պետրովիչը գյուղի ամենաբարձրահասակ բնակիչն է։

3) Նիկոլայ Պետրովիչից ցածր այս գյուղից անպայման կգտնվի գոնե մեկ մարդ։

4) Նիկոլայ Պետրովիչից ներքեւ այս գյուղից գոնե մեկ բնակիչ անպայման կլինի։

Դժվար առաջադրանքներ

Կրակողը ատրճանակով 4 անգամ կրակում է թիրախների վրա։ Մեկ կրակոցով թիրախին դրա ճշգրիտ հարվածի հավանականությունը 0,5 է։ Գտեք հավանականությունը, որ կրակողը առաջին երկու անգամ խոցում է թիրախը և բաց է թողնում վերջին երկուսը:

0,0625

Մարտկոցի թերի լինելու հավանականությունը 0,05 է։ Հաճախորդը խանութում ընտրում է պատահական փաթեթ՝ երկու մարտկոցով։ Գտեք հավանականությունը, որ երկու մարտկոցներն էլ լավն են:

0,9025

Կրակողը 5 անգամ անընդմեջ կրակում է թիրախների վրա։ Կրակելիս թիրախին խոցելու հավանականությունը 0,7 է։ Գտեք հավանականությունը, որ կրակողը առաջին չորս անգամ հարվածել է թիրախին և վերջին անգամ բաց է թողել: Արդյունքը կլորացրեք մինչև հարյուրերորդականը:

Իրականում կամ մեր երևակայության մեջ տեղի ունեցող իրադարձությունները կարելի է բաժանել 3 խմբի. Սրանք որոշակի իրադարձություններ են, որոնք անպայման տեղի կունենան, անհնարին իրադարձություններ և պատահական իրադարձություններ: Հավանականությունների տեսությունը ուսումնասիրում է պատահական իրադարձությունները, այսինքն. իրադարձություններ, որոնք կարող են լինել կամ չլինել: Այս հոդվածը կներկայացվի ամփոփումհավանականությունների տեսության բանաձևեր և խնդիրների լուծման օրինակներ հավանականության տեսության մեջ, որոնք կլինեն մաթեմատիկայի USE-ի 4-րդ առաջադրանքում (պրոֆիլի մակարդակ):

Ինչու է մեզ անհրաժեշտ հավանականության տեսությունը

Պատմականորեն այս խնդիրների ուսումնասիրության անհրաժեշտությունն առաջացել է 17-րդ դարում՝ կապված զարգացման և մասնագիտական զարգացման հետ. Դրամախաղև կազինոյի գալուստը. Դա իրական երեւույթ էր, որը պահանջում էր իր ուսումնասիրությունն ու հետազոտությունը։

Թղթախաղը, զառախաղը, ռուլետկա խաղալը ստեղծեցին իրավիճակներ, որտեղ կարող էր տեղի ունենալ որոշակի թվով հավասարապես հավանական իրադարձություններ: Իրադարձության առաջացման հնարավորության թվային գնահատականներ տալու անհրաժեշտություն կար։

20-րդ դարում պարզ դարձավ, որ այս անլուրջ թվացող գիտությունը կարևոր դեր է խաղում միկրոտիեզերքում տեղի ունեցող հիմնարար գործընթացները հասկանալու համար: Ստեղծվել է ժամանակակից տեսությունհավանականությունները։

Հավանականությունների տեսության հիմնական հասկացությունները

Հավանականությունների տեսության ուսումնասիրության առարկան իրադարձություններն են և դրանց հավանականությունները։ Եթե իրադարձությունը բարդ է, ապա այն կարելի է բաժանել պարզ բաղադրիչների, որոնց հավանականությունը հեշտ է գտնել։

A և B իրադարձությունների գումարը կոչվում է C իրադարձություն, որը բաղկացած է նրանից, որ կա՛մ իրադարձությունը, կա՛մ իրադարձությունը B, կա՛մ իրադարձությունները A և B են տեղի ունեցել միաժամանակ:

A և B իրադարձությունների արտադրյալը C իրադարձությունն է, որը բաղկացած է նրանից, որ տեղի են ունեցել և՛ A, և՛ B իրադարձությունները:

Իրադարձությունները A և B-ն անհամատեղելի են, եթե դրանք չեն կարող տեղի ունենալ միաժամանակ:

Իրադարձությունը A-ն անհնար է, եթե այն չի կարող տեղի ունենալ: Նման իրադարձությունը նշվում է խորհրդանիշով.

A իրադարձությունը կոչվում է որոշակի, եթե այն անպայման տեղի կունենա: Նման իրադարձությունը նշվում է խորհրդանիշով.

Թող յուրաքանչյուր իրադարձության A-ին վերագրվի P(A): Այս P(A) թիվը կոչվում է A իրադարձության հավանականություն, եթե այդպիսի համապատասխանությամբ բավարարվում են հետևյալ պայմանները.

Կարևոր առանձնահատուկ դեպք է այն իրավիճակը, երբ կան հավասարապես հավանական տարրական արդյունքներ, և դրանցից կամայական են իրադարձությունները A: Այս դեպքում հավանականությունը կարող է ներկայացվել բանաձևով: Այս կերպ ներկայացված հավանականությունը կոչվում է դասական հավանականություն. Կարելի է ապացուցել, որ այս դեպքում գործում են 1-4 հատկությունները:

Հավանականության տեսության խնդիրները, որոնք հանդիպում են մաթեմատիկայի քննության ժամանակ, հիմնականում կապված են դասական հավանականության հետ։ Նման առաջադրանքները կարող են լինել շատ պարզ: Հատկապես պարզ են հավանականությունների տեսության խնդիրները ցուցադրական տարբերակներ. Հեշտ է հաշվարկել բարենպաստ արդյունքների քանակը, բոլոր արդյունքների թիվը գրված է անմիջապես պայմանում:

Պատասխանը ստանում ենք ըստ բանաձևի.

Հավանականությունը որոշելու համար մաթեմատիկայի քննությունից առաջադրանքի օրինակ

Սեղանին դրված է 20 կարկանդակ՝ 5-ը՝ կաղամբով, 7-ը՝ խնձորով և 8-ը՝ բրինձով։ Մարինան ուզում է կարկանդակ վերցնել: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ նա կվերցնի բրնձի տորթը:

Որոշում.

Ընդհանուր առմամբ կա 20 հավասար հավանական տարրական արդյունք, այսինքն՝ Մարինան կարող է վերցնել 20 կարկանդակներից որևէ մեկը։ Բայց մենք պետք է գնահատենք հավանականությունը, որ Մարինան կվերցնի բրնձի կոտլետը, այսինքն, որտեղ Ա-ն բրնձի կարկանդակի ընտրությունն է։ Սա նշանակում է, որ մենք ունենք ընդհանուր առմամբ 8 բարենպաստ արդյունք (ընտրելով բրնձի կարկանդակներ), այնուհետև հավանականությունը կորոշվի բանաձևով.

Անկախ, հակառակ և կամայական իրադարձություններ

Այնուամենայնիվ, առաջադրանքների բաց բանկում ավելի քան դժվար առաջադրանքներ. Ուստի ընթերցողի ուշադրությունը հրավիրենք հավանականությունների տեսության մեջ ուսումնասիրված այլ հարցերի վրա։

A և B իրադարձությունները կոչվում են անկախ, եթե դրանցից յուրաքանչյուրի հավանականությունը կախված չէ նրանից, թե արդյոք տեղի է ունեցել մյուս իրադարձությունը:

B իրադարձությունը բաղկացած է նրանից, որ իրադարձություն A-ն տեղի չի ունեցել, այսինքն. Իրադարձությունը B-ն հակառակ է իրադարձության A-ին: Հակառակ իրադարձության հավանականությունը հավասար է մեկի՝ հանած ուղիղ իրադարձության հավանականությունը, այսինքն. .

Գումարման և բազմապատկման թեորեմներ, բանաձևեր

A և B կամայական իրադարձությունների համար այս իրադարձությունների գումարի հավանականությունը հավասար է նրանց հավանականությունների գումարին առանց դրանց համատեղ իրադարձության հավանականության, այսինքն. .

A և B անկախ իրադարձությունների համար այս իրադարձությունների արտադրյալի հավանականությունը հավասար է դրանց հավանականությունների արտադրյալին, այսինքն. այս դեպքում .

Վերջին 2 պնդումները կոչվում են հավանականությունների գումարման և բազմապատկման թեորեմներ։

Արդյունքների քանակը հաշվելը միշտ չէ, որ այդքան պարզ է: Որոշ դեպքերում անհրաժեշտ է օգտագործել կոմբինատորիկայի բանաձեւեր։ Ամենակարևորը որոշակի պայմաններին համապատասխանող իրադարձությունների քանակը հաշվելն է: Երբեմն նման հաշվարկները կարող են դառնալ ինքնուրույն առաջադրանքներ։

Քանի՞ ձևով կարելի է 6 աշակերտ նստեցնել 6 դատարկ նստատեղում: Առաջին աշակերտը կզբաղեցնի 6 տեղերից որևէ մեկը։ Այս տարբերակներից յուրաքանչյուրը համապատասխանում է երկրորդ աշակերտին տեղավորելու 5 եղանակի։ Երրորդ աշակերտի համար նախատեսված է 4 անվճար տեղ, չորրորդինը՝ 3, հինգերորդին՝ 2, վեցերորդը կզբաղեցնի միակ մնացած տեղը։ Բոլոր տարբերակների քանակը գտնելու համար անհրաժեշտ է գտնել արտադրանքը, որը նշվում է 6-րդ նշանով: և կարդալ «վեց գործոնային»:

Ընդհանուր դեպքում այս հարցի պատասխանը տրվում է n տարրի փոխակերպումների քանակի բանաձեւով։Մեր դեպքում՝ .

Դիտարկենք հիմա մեկ այլ դեպք մեր ուսանողների հետ: Քանի՞ ձևով կարելի է 2 աշակերտին նստեցնել 6 դատարկ նստատեղում: Առաջին աշակերտը կզբաղեցնի 6 տեղերից որևէ մեկը։ Այս տարբերակներից յուրաքանչյուրը համապատասխանում է երկրորդ աշակերտին տեղավորելու 5 եղանակի։ Բոլոր տարբերակների քանակը գտնելու համար անհրաժեշտ է գտնել ապրանքը:

Ընդհանուր դեպքում այս հարցի պատասխանը տրվում է k տարրերով n տարրերի տեղաբաշխման քանակի բանաձևով.

Մեր դեպքում.

Եվ այս շարքի վերջինը. Քանի՞ եղանակ կա 6 ուսանողներից 3-ին ընտրելու համար: Առաջին աշակերտին կարելի է ընտրել 6 եղանակով, երկրորդին՝ 5, երրորդին՝ 4 եղանակով։ Բայց այս տարբերակներից նույն երեք ուսանողները հանդիպում են 6 անգամ: Բոլոր տարբերակների քանակը գտնելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել արժեքը. Ընդհանուր դեպքում այս հարցի պատասխանը տրվում է ըստ տարրերի տարրերի համակցությունների քանակի բանաձևով.

Մեր դեպքում.

Հավանականությունը որոշելու համար մաթեմատիկայի քննությունից խնդիրների լուծման օրինակներ

Առաջադրանք 1. Ժողովածուից, խմբ. Յաշչենկո.

Ափսեի մեջ կա 30 կարկանդակ՝ 3-ը՝ մսով, 18-ը՝ կաղամբով, 9-ը՝ կեռասով։ Սաշան պատահականորեն ընտրում է մեկ կարկանդակ։ Գտեք հավանականությունը, որ նա վերջանում է բալով:

Պատասխան՝ 0.3:

Խնդիր 2. Ժողովածուից, խմբ. Յաշչենկո.

1000 լամպի յուրաքանչյուր խմբաքանակում՝ միջինը 20 թերի։ Գտեք հավանականությունը, որ խմբաքանակից պատահականորեն ընտրված լամպը լավ է:

Լուծում՝ սպասարկվող լամպերի քանակը 1000-20=980 է։ Այնուհետև հավանականությունը, որ խմբաքանակից պատահականորեն վերցված լամպը պիտանի կլինի.

Պատասխան՝ 0,98:

Հավանականությունը, որ ուսանող Ու.-ն մաթեմատիկայի թեստում ճիշտ է լուծել 9-ից ավելի խնդիր, 0,67 է: Հավանականությունը, որ U.-ն ճիշտ է լուծել 8-ից ավելի խնդիրներ, 0,73 է։ Գտե՛ք այն հավանականությունը, որ U.-ն ճիշտ է լուծում ուղիղ 9 խնդիր:

Եթե պատկերացնենք թվային ուղիղ և դրա վրա նշենք 8 և 9 կետերը, ապա կտեսնենք, որ պայմանը «U. ճիշտ լուծել ուղիղ 9 խնդիր» պայմանում ներառված է «U. ճիշտ է լուծել 8-ից ավելի խնդիր», սակայն չի տարածվում «Վ. ճիշտ է լուծել ավելի քան 9 խնդիր.

Սակայն պայմանը «Ու. ճիշտ է լուծել 9-ից ավելի խնդիր» պայմանը պարունակում է «U. ճիշտ է լուծել ավելի քան 8 խնդիր. Այսպիսով, եթե իրադարձություններ նշանակենք. «Վ. ճիշտ լուծել ուղիղ 9 խնդիր»՝ Ա-ի միջոցով, «Ու. ճիշտ է լուծել 8-ից ավելի խնդիր»՝ Բ-ի միջոցով, «Ու. ճիշտ է լուծել ավելի քան 9 խնդիր «C-ի միջոցով: Այնուհետև լուծումը կունենա հետևյալ տեսքը.

Պատասխան՝ 0.06:

Երկրաչափության քննության ժամանակ ուսանողը պատասխանում է քննական հարցերի ցանկից մեկ հարցի. Հավանականությունը, որ սա եռանկյունաչափության հարց է, 0,2 է: Հավանականությունը, որ սա արտաքին անկյունների հարց է, 0,15 է: Այս երկու թեմաների հետ միաժամանակ հարցեր չկան։ Գտեք հավանականությունը, որ ուսանողը քննության ընթացքում այս երկու թեմաներից մեկի վերաբերյալ հարց կստանա:

Եկեք մտածենք, թե ինչ իրադարձություններ ունենք։ Մեզ տրվում է երկու անհամատեղելի իրադարձություն. Այսինքն՝ կա՛մ հարցը վերաբերելու է «Եռանկյունաչափություն» թեմային, կա՛մ «Արտաքին անկյուններ» թեմային։ Ըստ հավանականության թեորեմի՝ անհամատեղելի իրադարձությունների հավանականությունը հավասար է յուրաքանչյուր իրադարձության հավանականությունների գումարին, մենք պետք է գտնենք այդ իրադարձությունների հավանականությունների գումարը, այսինքն.

Պատասխան՝ 0,35:

Սենյակը լուսավորված է երեք լամպերով լապտերով։ Մեկ տարվա ընթացքում մեկ լամպի այրվելու հավանականությունը 0,29 է։ Գտեք հավանականությունը, որ առնվազն մեկ լամպ չի այրվի մեկ տարվա ընթացքում:

Դիտարկենք հնարավոր իրադարձությունները։ Մենք ունենք երեք լամպ, որոնցից յուրաքանչյուրը կարող է այրվել կամ չվառվել ցանկացած այլ լամպից անկախ: Սրանք անկախ իրադարձություններ են։

Այնուհետև կնշենք նման միջոցառումների տարբերակները։ Մենք ընդունում ենք նշումը՝ - լամպը միացված է, - լամպը այրվել է: Եվ անմիջապես հաջորդիվ հաշվում ենք իրադարձության հավանականությունը։ Օրինակ՝ տեղի է ունեցել իրադարձության հավանականությունը, երբ տեղի է ունեցել երեք անկախ իրադարձություն՝ «լամպն այրվել է», «լամպը միացված է», «լամպը միացված է».

Նկատի ունեցեք, որ մեզ համար ձեռնտու է ընդամենը 7 անհամատեղելի իրադարձություն: Նման իրադարձությունների հավանականությունը հավասար է իրադարձություններից յուրաքանչյուրի հավանականությունների գումարին.

Պատասխան՝ 0.975608։

Նկարում կարող եք տեսնել մեկ այլ խնդիր.

Այսպիսով, ես և դուք հասկացանք, թե ինչ է իրենից ներկայացնում հավանականության տեսությունը, խնդրի լուծման բանաձևեր և օրինակներ, որոնց համար կարող եք հանդիպել քննության տարբերակում։

Այս ներկայացումը ներկայացնում է հավանականությունների տեսության քննության առավել հաճախ հանդիպող առաջադրանքները: Հիմնական մակարդակի առաջադրանքներ. Ներկայացումը կօգնի և՛ ուսուցիչներին, և՛ կրկնությունների ընդհանրացման դասերին, և՛ ուսանողներին ինքնուսուցումքննությանը։

Բեռնել:

Նախադիտում:

Ներկայացումների նախադիտումն օգտագործելու համար ստեղծեք ձեր համար հաշիվ ( հաշիվ) Google և մուտք գործեք՝ https://accounts.google.com

Սլայդների ենթագրեր.

ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅԱՆ ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ Պատրաստվում ենք OGE-ին

ՄԵՏԱԴՐԱՄԻ ՆԵՏՈՒՄ

1. Մետաղադրամը նետվում է երկու անգամ: Որքա՞ն է մեկ գլուխ և մեկ պոչ ստանալու հավանականությունը: Որոշում. Մեկ մետաղադրամ նետելիս հնարավոր է երկու արդյունք՝ «գլուխներ» կամ «պոչեր»: Երկու մետաղադրամ նետելիս՝ 4 արդյունք (2 * 2 = 4)՝ «արծիվ» - «պոչեր» «պոչեր» - «պոչեր» «պոչեր» - «արծիվներ» «արծիվներ» - «արծիվներ» Մեկ «արծիվ» և մեկ « պոչերը» չորսից երկու դեպքում կընկնի. P(A)=2:4=0.5. Պատասխան՝ 0,5:

2. Մետաղադրամը նետվում է երեք անգամ: Որքա՞ն է երկու գլուխ և մեկ պոչ ստանալու հավանականությունը: Լուծում. Երբ նետվում է երեք մետաղադրամՀնարավոր է 8 արդյունք (2*2*2=8)՝ «արծիվ» - «պոչեր» - «պոչեր» «պոչեր» - «պոչեր» - «պոչեր» «պոչեր» - «գլուխներ» - «պոչեր» «գլուխներ» - «արծիվ» - «պոչեր» «պոչեր» - «պոչեր» - «գլուխներ» «պոչեր» - «արծիվներ» - «արծիվներ» «արծիվներ» - «պոչեր» - «արծիվներ» «արծիվներ» - «արծիվներ» - « eagles» » Երկու «արծիվ» և մեկ «պոչ» ներս կընկնեն երեք դեպքութից. P(A)=3:8=0.375. Պատասխան՝ 0,375:

3. Պատահական փորձի ժամանակ սիմետրիկ մետաղադրամը չորս անգամ նետվում է: Գտեք հավանականությունը, որ գլուխները երբեք չեն բարձրանա: Լուծում. Չորս մետաղադրամ նետելիս հնարավոր է 16 արդյունք՝ (2*2*2*2=16)՝ բարենպաստ արդյունք՝ 1 (չորս պոչը կընկնի): P(A)=1:16=0.0625: Պատասխան՝ 0.0625։

ԶԱՌԵՐԻ ԽԱՂ

4. Որոշեք այն հավանականությունը, որ գլանափաթեթը գլորելիս երեքից ավելի կետ է ընկել: Լուծում. Ընդհանուր առմամբ կա 6 հնարավոր արդյունք: Մեծ թվերն են 3 - 4, 5, 6: P(A)=3:6=0.5. Պատասխան՝ 0,5:

5. Նետվում է մեռնել։ Գտեք զույգ միավորներ ստանալու հավանականությունը: Լուծում. Ընդհանուր հնարավոր արդյունքները - 6. 1, 3, 5 - կենտ թվեր; 2, 4, 6 զույգ թվեր են: Զույգ միավորներ ստանալու հավանականությունը 3:6=0.5 է։ Պատասխան՝ 0,5:

6. Պատահական փորձի ժամանակ գցվում են երկու զառախաղ: Գտե՛ք ընդհանուր 8 միավոր ստանալու հավանականությունը։ Արդյունքը կլորացրեք մինչև հարյուրերորդականը: Լուծում. Այս գործողությունը. երկու զառ նետելը ունի ընդհանուր 36 հնարավոր արդյունք, քանի որ 6² = 36: Բարենպաստ արդյունքներ. 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 Ութ միավոր ստանալու հավանականությունը 5:36 ≈ 0.14 է: Պատասխան՝ 0.14:

7. Երկու անգամ զառ նետեք: Ընդհանուր առմամբ դուրս է մնացել 6 միավոր։ Գտեք գլանափաթեթներից մեկի վրա 5 ստանալու հավանականությունը: Որոշում. 6 միավորի ընդհանուր արդյունքները՝ 5:2 և 4; 4 և 2; 3 և 3; 1 և 5; 5 և 1. Բարենպաստ ելքեր - 2. P(A)=2:5=0.4. Պատասխան՝ 0.4:

8. Քննությանը 50 տոմս կար, 5-ը Տիմոֆեյը չի սովորել։ Գտեք հավանականությունը, որ նա կստանա սովորած տոմսը։ Լուծում. Տիմոֆեյը սովորեց 45 տոմս։ P(A)=45:50=0.9. Պատասխան՝ 0,9։

ՄՐՑՈՒՅԹՆԵՐ

9. Մարմնամարզության առաջնությանը մասնակցում է 20 մարզիկ՝ 8-ը՝ Ռուսաստանից, 7-ը՝ ԱՄՆ-ից, մնացածը՝ Չինաստանից։ Կատարման կարգը որոշվում է վիճակահանությամբ։ Գտեք հավանականությունը, որ առաջինը մրցող մարզիկը Չինաստանից է։ Լուծում. Ընդհանուր արդյունքներ 20. Բարենպաստ արդյունքներ 20-(8+7)=5. P(A)=5:20=0.25. Պատասխան՝ 0,25:

10. Կրակոցների մրցմանը եկան 4 մարզիկներ Ֆրանսիայից, 5-ը՝ Անգլիայից, 3-ը՝ Իտալիայից։ Ներկայացումների հերթականությունը որոշվում է վիճակահանությամբ։ Գտե՛ք հավանականությունը, որ հինգերորդ մարզիկը Իտալիայից է։ Լուծում. Բոլոր հնարավոր արդյունքների թիվը 12 է (4 + 5 + 3 = 12): Բարենպաստ ելքերի թիվը 3 է. P(A)=3:12=0.25: Պատասխան՝ 0,25:

11. Բադմինտոնի առաջնության առաջին փուլի մեկնարկից առաջ մասնակիցները վիճակահանությամբ պատահականության սկզբունքով բաժանվում են խաղային զույգերի։ Ընդհանուր առմամբ առաջնությանը մասնակցում է 26 բադմինտոնիստ, այդ թվում՝ 12 մասնակից Ռուսաստանից, այդ թվում՝ Վլադիմիր Օրլովը։ Գտեք հավանականությունը, որ առաջին փուլում Վլադիմիր Օրլովը կխաղա Ռուսաստանից որևէ բադմինտոնիստի հետ: Որոշում. Ընդհանուր արդյունքները՝ 25 (Վլադիմիր Օրլովը 25 բադմինտոնիստներով): Բարենպաստ արդյունքներ - (12-1) = 11: P(A)=11:25=0.44. Պատասխան՝ 0.44:

12. Կատարողների մրցույթն անցկացվում է 5 օրում։ Ընդհանուր առմամբ հայտարարվել է 75 ներկայացում` յուրաքանչյուր երկրից մեկը: Առաջին օրը կա 27 ներկայացում, մնացածը հավասարապես բաշխվում են մնացած օրերի միջև։ Ներկայացումների հերթականությունը որոշվում է վիճակահանությամբ։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ Ռուսաստանի ներկայացուցչի ելույթը կկայանա մրցութային երրորդ օրը։ Որոշում. Արդյունքների ընդհանուր թիվը՝ 75. Ռուսաստանից ժամանած կատարողները ելույթ են ունենում երրորդ օրը։ Բարենպաստ արդյունքներ - (75-27): 4 = 12: P(A)=12՝ 75=0.16: Պատասխան՝ 0.16:

13. Կոլյան երկնիշ թիվ է ընտրում. Գտե՛ք այն 5-ի բաժանվելու հավանականությունը: Լուծում` Երկնիշ թվեր` 10;11;12;…;99: Արդյունքների ընդհանուր թիվը՝ 90. 5-ի բաժանվող թվեր՝ 10; տասնհինգ; 20; 25; …; 90; 95. Բարենպաստ ելքեր՝ 18. Պ(Ա)=18:90=0.2. Պատասխան՝ 0.2.

ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆԸ ՈՐՈՇԵԼՈՒ ՏԱՐԲԵՐ ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ

14. Գործարանը արտադրում է պայուսակներ։ Միջին հաշվով յուրաքանչյուր 170 որակյալ պայուսակին բաժին է ընկնում թաքնված թերություններով վեց պայուսակ։ Գտեք հավանականությունը, որ գնված պայուսակը որակյալ կլինի։ Արդյունքը կլորացրեք մինչև հարյուրերորդականը: Լուծում` Ընդհանուր արդյունքները - 176. Բարենպաստ արդյունքները - 170. Р(А)=170:176 ≈ 0.97. Պատասխան՝ 0,97:

15. Միջին հաշվով վաճառված յուրաքանչյուր 100 մարտկոցից լիցքավորվում է 94 մարտկոց։ Գտեք հավանականությունը, որ գնված մարտկոցը լիցքավորված չէ: Լուծում` Ընդհանուր արդյունքները` 100. Բարենպաստ արդյունքները` 100-94=6: P(A)=6:100=0.06. Պատասխան՝ 0.06:

ԱՂԲՅՈՒՐՆԵՐ http://mathgia.ru http:// www.schoolmathematics.ru