Անհավասարությունների լուծում ինտերվալների մեթոդով. Քառակուսային անհավասարությունների լուծում միջակայքի մեթոդով

Անհավասարությունների լուծման համար ինտերվալային մեթոդը համարվում է ունիվերսալ: Երբեմն այս մեթոդը կոչվում է նաև բաց մեթոդ: Այն կարող է օգտագործվել ինչպես մեկ փոփոխականով ռացիոնալ անհավասարություններ լուծելու, այնպես էլ այլ տեսակների անհավասարությունների համար։ Մեր նյութում մենք փորձել ենք ուշադրություն դարձնել հարցի բոլոր կողմերին:

Ի՞նչ է ձեզ սպասում այս բաժնում: Մենք կվերլուծենք բացերի մեթոդը և կդիտարկենք դրա միջոցով անհավասարությունների լուծման ալգորիթմներ: Եկեք շոշափենք տեսական ասպեկտներորի վրա հիմնված է մեթոդի կիրառումը։

Մենք հատուկ ուշադրություն ենք դարձնում թեմայի նրբություններին, որոնք սովորաբար չեն լուսաբանվում դպրոցական ծրագիր. Օրինակ՝ հաշվի առեք միջակայքերի վրա նշանների տեղադրման կանոնները և միջակայքի միջակայքերի մեթոդը ընդհանուր տեսարանառանց այն կապելու ռացիոնալ անհավասարությունների հետ:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ալգորիթմ

Ո՞վ է հիշում, թե ինչպես է դպրոցական հանրահաշվի դասընթացում ներդրվում բաց մեթոդը։ Սովորաբար ամեն ինչ սկսվում է f (x) ձևի անհավասարությունները լուծելով.< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , >կամ ≥). Այստեղ f(x)-ը կարող է լինել բազմանդամ կամ բազմանդամների հարաբերակցություն։ Բազմանդամն իր հերթին կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ.

x փոփոխականի համար 1 գործակցով գծային երկանդամների արտադրյալը;
1 առաջատար գործակից ունեցող քառակուսի եռանկյունների արտադրյալը և դրանց արմատների բացասական տարբերակիչով։

Ահա այսպիսի անհավասարությունների մի քանի օրինակ.

(x + 3) (x 2 − x + 1) (x + 2) 3 ≥ 0,

(x - 2) (x + 5) x + 3 > 0,

(x − 5) (x + 5) ≤ 0,

(x 2 + 2 x + 7) (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 (x - 1) (x - 3) 7 ≤ 0 .

Մենք գրում ենք ալգորիթմ այս տեսակի անհավասարությունների լուծման համար, ինչպես օրինակներում ենք տվել՝ օգտագործելով ինտերվալ մեթոդը.

մենք գտնում ենք համարիչի և հայտարարի զրոները, դրա համար անհավասարության ձախ կողմի արտահայտության համարիչն ու հայտարարը հավասարեցնում ենք զրոյի և լուծում ստացված հավասարումները.
որոշել այն կետերը, որոնք համապատասխանում են գտնված զրոներին և դրանք նշել կոորդինատային առանցքի վրա գծիկներով.
սահմանել արտահայտչական նշաններ f(x)յուրաքանչյուր ինտերվալի վրա լուծված անհավասարության ձախ կողմից և դրեք դրանք գրաֆիկի վրա.
կիրառեք ելուստ գրաֆիկի ցանկալի հատվածների վրա՝ առաջնորդվելով հաջորդ կանոնըԵթե անհավասարությունն ունի նշաններ< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки >կամ ≥ , ապա ստվերով ընտրում ենք «+» նշանով նշված հատվածները։

Գծանկարը, որով մենք աշխատելու ենք, կարող է ունենալ սխեմատիկ տեսք։ Ավելորդ մանրամասները կարող են ծանրաբեռնել գծագիրը և դժվարացնել որոշում կայացնելը: Մեզ մասշտաբով քիչ կհետաքրքրի։ Կպցնելը բավական կլինի ճիշտ գտնվելու վայրըմիավորներ, քանի որ դրանց կոորդինատների արժեքները մեծանում են:

Խիստ անհավասարությունների հետ աշխատելիս մենք կօգտագործենք կետի նշումը չլրացված (դատարկ) կենտրոնով շրջանագծի տեսքով։ Ոչ խիստ անհավասարությունների դեպքում այն կետերը, որոնք համապատասխանում են հայտարարի զրոներին, կցուցադրվեն դատարկ, իսկ մնացած բոլորը՝ սովորական սև։

Նշված կետերը կոորդինատային գիծը բաժանում են մի քանի թվային ընդմիջումների։ Սա թույլ է տալիս ստանալ թվերի բազմության երկրաչափական պատկերը, որն իրականում տվյալ անհավասարության լուծումն է։

Բացը մեթոդի գիտական հիմքը

Ինտերվալային մեթոդի հիմքում ընկած մոտեցումը հիմնված է շարունակական ֆունկցիայի հետևյալ հատկության վրա. ֆունկցիան պահպանում է հաստատուն նշան այն միջակայքի վրա (a, b), որի վրա այս ֆունկցիան շարունակական է և չի անհետանում։ Նույն հատկությունը բնորոշ է թվային ճառագայթներ(−∞ , ա) և (a, +∞).

Ֆունկցիայի վերը նշված հատկությունը հաստատվում է Բոլցանո-Կոշիի թեորեմով, որը տրված է ընդունելության քննություններին նախապատրաստվելու բազմաթիվ ձեռնարկներում։

Նշանի կայունությունը միջակայքերի վրա կարելի է հիմնավորել նաև թվային անհավասարությունների հատկությունների հիման վրա։ Օրինակ, վերցրեք x - 5 x + 1 > 0 անհավասարությունը: Եթե գտնենք համարիչի և հայտարարի զրոները և դրանք դնենք թվային տողի վրա, ապա կստանանք մի շարք բացեր. (− ∞ , − 1) , (− 1 , 5) և (5, + ∞) .

Վերցնենք միջակայքներից որևէ մեկը և ցույց տանք, որ ամբողջ ինտերվալի վրա անհավասարության ձախ կողմի արտահայտությունը կունենա հաստատուն նշան: Թող սա լինի միջակայքը (− ∞ , − 1) ։ Այս միջակայքից վերցնենք t ցանկացած թիվ։ Այն կբավարարի պայմանները< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .

Օգտագործելով և՛ ստացված անհավասարությունները, և՛ թվային անհավասարությունների հատկությունը՝ կարող ենք ենթադրել, որ t + 1< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения տ(− ∞ , − 1) միջակայքի վրա։

Օգտագործելով բացասական թվերը բաժանելու կանոնը՝ կարող ենք պնդել, որ t - 5 t + 1 արտահայտության արժեքը դրական կլինի։ Սա նշանակում է, որ x - 5 x + 1 արտահայտության արժեքը դրական կլինի ցանկացած արժեքի համար xբացից (− ∞ , − 1) . Այս ամենը թույլ է տալիս պնդել, որ որպես օրինակ վերցված միջակայքում արտահայտությունն ունի հաստատուն նշան։ Մեր դեպքում սա «+» նշանն է։

Գտնել համարիչի և հայտարարի զրոները

Զրոներ գտնելու ալգորիթմը պարզ է՝ մենք համարիչից և հայտարարից արտահայտությունները հավասարեցնում ենք զրոյի և լուծում ենք ստացված հավասարումները։ Դժվարությունների դեպքում կարող եք անդրադառնալ «Հավասարումների լուծում ֆակտորինգով» թեմային։ Այս բաժնում մենք սահմանափակվում ենք մի օրինակով:

Դիտարկենք x · (x - 0, 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 կոտորակը: Համարի և հայտարարի զրոները գտնելու համար մենք դրանք հավասարեցնում ենք զրոյի՝ ստանալու և լուծելու համար x (x − 0, 6) = 0 և. x 7 (x 2 + 2 x + 7) 2 (x + 5) 3 = 0.

Առաջին դեպքում մենք կարող ենք անցնել երկու հավասարումների բազմությանը x = 0 և x − 0 , 6 = 0 , որը մեզ տալիս է երկու արմատ 0 և 0, 6: Սրանք համարիչի զրոներն են։

Երկրորդ հավասարումը համարժեք է երեք հավասարումների բազմությանը x7 = 0, (x 2 + 2 x + 7) 2 = 0, (x + 5) 3 = 0: Մենք իրականացնում ենք մի շարք փոխակերպումներ և ստանում ենք x \u003d 0, x 2 + 2 x + 7 \u003d 0, x + 5 \u003d 0: Առաջին հավասարման արմատը 0 է, երկրորդ հավասարումը չունի արմատներ, քանի որ այն ունի բացասական տարբերակիչ, երրորդ հավասարման արմատը 5 է։ Սրանք հայտարարի զրոներն են։

0-ն այս դեպքում և՛ համարիչի, և՛ հայտարարի զրոն է:

Ընդհանրապես, երբ անհավասարության ձախ կողմում կա կոտորակ, որը պարտադիր չէ ռացիոնալ, համարիչն ու հայտարարը նույնպես հավասարվում են զրոյի՝ հավասարումներ ստանալու համար։ Հավասարումների լուծումը թույլ է տալիս գտնել համարիչի և հայտարարի զրոները:

Ընդմիջման նշանը որոշելը պարզ է. Դա անելու համար կարող եք անհավասարության ձախ կողմից գտնել արտահայտության արժեքը տվյալ ինտերվալից կամայականորեն ընտրված ցանկացած կետի համար: Ընդմիջման կամայականորեն ընտրված կետում արտահայտության արժեքի նշանը կհամընկնի ամբողջ ինտերվալի նշանի հետ:

Դիտարկենք այս հայտարարությունը օրինակով.

Վերցրեք x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0 անհավասարությունը: Անհավասարության ձախ կողմում գտնվող արտահայտությունը համարիչում զրոներ չունի։ Զրոյական հայտարարը կլինի թիվը՝ 3: Թվային տողի վրա մենք ստանում ենք երկու բաց (− ∞ , − 3) և (− 3 , + ∞) .

Ինտերվալների նշանները որոշելու համար մենք հաշվարկում ենք x 2 - x + 4 x + 3 արտահայտության արժեքը յուրաքանչյուր ինտերվալում կամայականորեն վերցված կետերի համար:

Առաջին ընդմիջումից (− ∞ , − 3) վերցնել - 4. ժամը x = -4մենք ունենք (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 = - 24: Մենք ստացանք բացասական նշանակություն, այնպես որ ամբողջ միջակայքը կլինի «-» նշանով։

Տարածքի համար (− 3 , + ∞) եկեք հաշվարկներ կատարենք զրոյական կոորդինատ ունեցող կետով։ x = 0-ի համար մենք ունենք 0 2 - 0 + 4 0 + 3 = 4 3: Մենք ստացանք դրական արժեք, ինչը նշանակում է, որ ամբողջ միջակայքը կունենա «+» նշան:

Նշանները սահմանելու համար կարող եք օգտագործել մեկ այլ եղանակ: Դա անելու համար մենք կարող ենք ինտերվալներից մեկի նշանը գտնել և պահպանել կամ փոխել այն զրոյի միջով անցնելիս։ Ամեն ինչ ճիշտ անելու համար անհրաժեշտ է հետևել կանոնին՝ հայտարարի զրոյից անցնելիս, բայց ոչ համարիչի, կամ համարիչի, բայց ոչ հայտարարի միջով, մենք կարող ենք հակառակ նշանը փոխել, եթե աստիճանը Այս զրո տվող արտահայտությունը կենտ է, և մենք չենք կարող փոխել նշանը, եթե աստիճանը զույգ է: Եթե մենք ստանում ենք մի կետ, որը և՛ համարիչի, և՛ հայտարարի զրո է, ապա նշանը հնարավոր է փոխել միայն այն դեպքում, եթե այս զրո տվող արտահայտությունների հզորությունների գումարը կենտ լինի։

Եթե հիշենք անհավասարությունը, որը մենք դիտարկել ենք այս նյութի առաջին պարբերության սկզբում, ապա ծայրահեղ աջ միջակայքում կարող ենք «+» նշան դնել:

Այժմ անդրադառնանք օրինակներին։

Վերցրեք (x - 2) (x - 3) 3 (x - 4) 2 (x - 1) 4 (x - 3) 5 (x - 4) ≥ 0 անհավասարությունը և լուծեք այն միջակայքի մեթոդով։ Դա անելու համար մենք պետք է գտնենք համարիչի և հայտարարի զրոները և դրանք նշենք կոորդինատային գծի վրա: Համարիչի զրոները կլինեն միավորներ 2 , 3 , 4 , կետի հայտարարը 1 , 3 , 4 . Դրանք կոորդինատային առանցքի վրա նշում ենք գծիկներով։

Հայտարարի զրոները նշվում են դատարկ կետերով:

Քանի որ գործ ունենք ոչ խիստ անհավասարության հետ, մնացած գծիկները փոխարինում ենք սովորական կետերով։

Այժմ եկեք տեղադրենք կետերը միջակայքերի վրա: Ամենաաջ միջակայքը (4, +∞) կլինի + նշանը:

Աջից ձախ շարժվելով՝ մենք կնշենք մնացած բացերը։ Անցնում ենք 4 կոորդինատով կետով։ Այն և՛ համարիչի, և՛ հայտարարի զրո է։ Ընդհանուր առմամբ, այս զրոները տալիս են արտահայտությունները (x − 4) 2և x - 4. Մենք ավելացնում ենք նրանց ուժերը 2 + 1 = 3 և ստանում կենտ թիվ. Սա նշանակում է, որ անցումային նշանն այս դեպքում փոխվում է հակառակի։ Միջակայքում (3, 4) կլինի մինուս նշան:

3 կոորդինատով կետով անցնում ենք միջակայքին (2, 3): Սա նույնպես զրո է և՛ համարիչի, և՛ հայտարարի համար։ Մենք այն ստացել ենք երկու արտահայտությունների շնորհիվ (x − 3) 3 և (x − 3) 5, որի հզորությունների գումարը 3 + 5 = 8 է։ Զույգ թիվ ստանալը թույլ է տալիս անփոփոխ թողնել միջակայքի նշանը:

2 կոորդինատով կետը համարիչի զրո է։ x - 2 արտահայտության աստիճանը հավասար է 1-ի (կենտ): Սա նշանակում է, որ այս կետով անցնելիս նշանը պետք է հետ շրջվի։

Մեզ մնում է վերջին ինտերվալը (− ∞ , 1): 1 կոորդինատով կետը զրոյական հայտարարն է: Այն առաջացել է արտահայտությունից (x − 1) 4, հավասար աստիճանով 4 . Հետեւաբար, նշանը մնում է նույնը. Վերջնական գծագիրը կունենա հետևյալ տեսքը.

Ինտերվալ մեթոդի օգտագործումը հատկապես արդյունավետ է այն դեպքերում, երբ արտահայտության արժեքի հաշվարկը կապված է մեծ ծավալի աշխատանքի հետ։ Օրինակ կարող է լինել արտահայտության արժեքը գնահատելու անհրաժեշտությունը

x + 3 - 3 4 3 x 2 + 6 x + 11 2 x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 x - 2 3 5 (x - 12)

3 - 3 4, 3 - 2 4 միջակայքի ցանկացած կետում:

Այժմ ձեռք բերված գիտելիքներն ու հմտությունները կիրառենք գործնականում։

Օրինակ 1

Լուծե՛ք (x - 1) (x + 5) 2 (x - 7) (x - 1) 3 ≤ 0 անհավասարությունը։

Որոշում

Անհավասարությունը լուծելու համար նպատակահարմար է կիրառել ինտերվալների մեթոդը։ Գտե՛ք համարիչի և հայտարարի զրոները։ Համարիչի զրոները 1-ն են և -5-ը, հայտարարի զրոները՝ 7-ը և 1-ը: Նշենք դրանք թվային տողի վրա։ Մենք գործ ունենք ոչ խիստ անհավասարության հետ, ուստի հայտարարի զրոները կնշենք դատարկ կետերով, համարիչի զրոն՝ 5-ը կնշվի կանոնավոր լրացված կետով։

Մենք դնում ենք բացերի նշանները՝ օգտագործելով զրոյի միջով անցնելիս նշանը փոխելու կանոնները։ Սկսենք ամենաաջ միջակայքից, որի համար մենք հաշվարկում ենք արտահայտության արժեքը անհավասարության ձախ կողմից միջակայքից կամայականորեն վերցված կետում։ Մենք ստանում ենք «+» նշանը: Եկեք հաջորդաբար անցնենք կոորդինատային գծի բոլոր կետերով՝ տեղադրելով նշաններ և ստացենք.

Մենք աշխատում ենք ≤ նշան ունեցող ոչ խիստ անհավասարությամբ: Սա նշանակում է, որ «-» նշանով նշված բացերը պետք է նշենք ստվերով։

Պատասխան. (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .

Ռացիոնալ անհավասարությունների լուծումը շատ դեպքերում պահանջում է դրանց նախնական փոխակերպումը դեպի ճիշտ տեսակ. Միայն դրանից հետո է հնարավոր դառնում օգտագործել ինտերվալ մեթոդը։ Նման փոխակերպումների իրականացման ալգորիթմները դիտարկված են «Ռացիոնալ անհավասարությունների լուծում» նյութում։

Դիտարկենք քառակուսի եռանկյունները անհավասարությունների վերածելու օրինակ:

Օրինակ 2

Գտեք (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 x - 8 > 0 անհավասարության լուծումը:

Որոշում

Տեսնենք, թե արդյոք անհավասարության ռեկորդում քառակուսի եռանկյունների դիսկրիմինանտներն իսկապես բացասական են: Սա թույլ կտա մեզ որոշել, թե արդյոք այս անհավասարության ձևը թույլ է տալիս մեզ կիրառել ինտերվալային մեթոդը լուծման վրա:

Հաշվիր եռանդամի դիսկրիմինանտը x 2 + 3 x + 3: D = 3 2 − 4 1 3 = − 3< 0 . Հիմա եկեք հաշվարկենք x 2 + 2 x - 8 եռանդամի դիսկրիմինանտը՝ D ' = 1 2 - 1 (- 8) = 9 > 0 : Ինչպես տեսնում եք, անհավասարությունը պահանջում է նախնական փոխակերպում։ Դա անելու համար մենք ներկայացնում ենք x 2 + 2 x − 8 եռանկյունը որպես (x + 4) (x − 2), և այնուհետև կիրառեք միջակայքի մեթոդը՝ լուծելու անհավասարությունը (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) (x + 4) (x - 2) > 0:

Պատասխան. (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .

Ընդհանրացված բացերի մեթոդը օգտագործվում է f (x) ձևի անհավասարությունները լուծելու համար։< 0 (≤ , >, ≥), որտեղ f (x) մեկ փոփոխականով կամայական արտահայտություն է x.

Բոլոր գործողություններն իրականացվում են որոշակի ալգորիթմի համաձայն: Այս դեպքում ընդհանրացված միջակայքի մեթոդով անհավասարությունները լուծելու ալգորիթմը որոշ չափով կտարբերվի այն ամենից, ինչ մենք ավելի վաղ վերլուծել ենք.

գտնել f ֆունկցիայի տիրույթը և այս ֆունկցիայի զրոները.
նշեք սահմանային կետերը կոորդինատների առանցքի վրա;
ֆունկցիայի զրոները թվային տողի վրա գծագրել;
որոշել ընդմիջումների նշանները;
մենք կիրառում ենք hatching;
գրիր պատասխանը.

Թվային տողի վրա անհրաժեշտ է նշել նաև սահմանման տիրույթի առանձին կետեր։ Օրինակ՝ ֆունկցիայի տիրույթը բազմությունն է (− 5 , 1 ] ∪ ( 3 ) ∪ [ 4 , 7) ∪ ( 10 ) . Սա նշանակում է, որ մենք պետք է նշենք կետերը կոորդինատներով − 5, 1, 3, 4 , 7 և 10 . միավորներ − 5 իսկ 7-ը ցուցադրվում է որպես դատարկ, մնացածը կարելի է ընդգծել գունավոր մատիտով՝ դրանք ֆունկցիայի զրոներից տարբերելու համար։

Ոչ խիստ անհավասարությունների դեպքում ֆունկցիայի զրոները նշվում են սովորական (ստվերված) կետերով, իսկ խիստ անհավասարությունների դեպքում՝ դատարկ կետերով։ Եթե զրոները համընկնում են սահմանման տիրույթի սահմանային կետերի կամ առանձին կետերի հետ, ապա դրանք կարող են վերագունավորվել սևով՝ դրանք դարձնելով դատարկ կամ լցված՝ կախված անհավասարության տեսակից։

Պատասխանների գրառումն է համարների հավաքածուորը ներառում է.

բացված բացեր;
տիրույթի առանձին կետեր գումարած նշանով, եթե գործ ունենք անհավասարության հետ, որի նշանը > կամ ≥ է կամ մինուս նշանի հետ, եթե անհավասարության մեջ կան նշաններ.< или ≤ .

Այժմ պարզ դարձավ, որ ալգորիթմը, որը մենք ներկայացրել ենք թեմայի հենց սկզբում, ընդհանրացված միջակայքի մեթոդի կիրառման ալգորիթմի հատուկ դեպքն է։

Դիտարկենք ընդհանրացված միջակայքի մեթոդի կիրառման օրինակ:

Օրինակ 3

Լուծե՛ք x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7 անհավասարությունը< 0 .

Որոշում

Մենք ներկայացնում ենք f ֆունկցիան այնպես, որ f (x) = x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7: Գտեք ֆունկցիայի տիրույթը զ:

x 2 + 2 x - 24 ≥ 0 x ≠ 7 D (f) = (- ∞ , - 6 ] ∪ [ 4 , 7) ∪ (7 , + ∞) .

Հիմա եկեք գտնենք ֆունկցիայի զրոները։ Դա անելու համար մենք կլուծենք իռացիոնալ հավասարումը.

x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 = 0

Մենք ստանում ենք արմատ x = 12:

Կոորդինատների առանցքի վրա սահմանային կետեր նշանակելու համար մենք օգտագործում ենք նարնջագույն. Միավորները՝ 6, 4-ը կլրացվի, իսկ 7-ը կմնա դատարկ։ Մենք ստանում ենք.

Ֆունկցիայի զրոն նշում ենք դատարկ սև կետով, քանի որ աշխատում ենք խիստ անհավասարությամբ։

Նշանները որոշում ենք առանձին ընդմիջումներով։ Դա անելու համար յուրաքանչյուր ինտերվալից վերցրեք մեկ միավոր, օրինակ. 16 , 8 , 6 և − 8 , և հաշվարկեք դրանցում առկա ֆունկցիայի արժեքը զ:

f (16) = 16 2 + 2 16 - 24 - 3 4 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 f (8) = 8 2 + 2 8 - 24 - 3 4 8 - 3 8 - 7 = 56 - 9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 >0 f (- 8) \u003d - 8 2 + 2 (- 8) - 24 - 3 4 (- 8) - 3 - 8 - 7 \u003d 24 + 3 - 15< 0

Մենք տեղադրում ենք հենց նոր սահմանած նշանները, և բացերի վրա ներքևում ենք մինուս նշանով.

Պատասխանը կլինի երկու միջակայքի միավորումը «-» նշանով. (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) ։

Ի պատասխան՝ 6 կոորդինատով կետ ենք ներառել։ Սա ֆունկցիայի զրո չէ, որը մենք չէինք ներառի պատասխանում խիստ անհավասարություն լուծելիս, այլ սահմանման տիրույթի սահմանային կետը, որն ընդգրկված է սահմանման տիրույթում։ Ֆունկցիայի արժեքը այս պահին բացասական է, ինչը նշանակում է, որ այն բավարարում է անհավասարությունը։

Մենք պատասխանի մեջ չենք ներառել 4-րդ կետը, ինչպես որ ամբողջ ինտերվալը չենք ներառել [4, 7) ։ Այս պահին, ինչպես ամբողջ նշված միջակայքում, ֆունկցիայի արժեքը դրական է, որը չի բավարարում լուծվող անհավասարությանը։

Ավելի պարզ հասկանալու համար նորից գրենք՝ գունավոր կետերը պետք է ներառվեն պատասխանում հետևյալ դեպքերում.

այս կետերը բացված բացվածքի մի մասն են,
այս կետերը ֆունկցիայի տիրույթի առանձին կետեր են, ֆունկցիայի արժեքները, որոնցում բավարարում են լուծվող անհավասարությունը:

Պատասխան. (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

Եթե տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Տարածության մեթոդկոտորակային ռացիոնալ անհավասարությունները լուծելու պարզ միջոց է։ Սա ռացիոնալ (կամ կոտորակային-ռացիոնալ) արտահայտություններ պարունակող անհավասարությունների անունն է, որոնք կախված են փոփոխականից։

1. Դիտարկենք, օրինակ, հետևյալ անհավասարությունը

Ինտերվալ մեթոդը թույլ է տալիս լուծել այն մի քանի րոպեում։

Այս անհավասարության ձախ կողմում կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիան է: Ռացիոնալ, քանի որ այն չի պարունակում ոչ արմատներ, ոչ սինուսներ, ոչ լոգարիթմներ՝ միայն ռացիոնալ արտահայտություններ: Աջ կողմում զրո է:

Ինտերվալ մեթոդը հիմնված է կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիայի հետևյալ հատկության վրա.

Կոտորակի ռացիոնալ ֆունկցիան կարող է նշան փոխել միայն այն կետերում, որտեղ այն հավասար է զրոյի կամ գոյություն չունի:

Հիշեք, թե ինչպես ֆակտորիզացնել քառակուսի եռանկյուն, այսինքն՝ ձևի արտահայտություն։

Որտեղ և կան արմատները քառակուսային հավասարում.

Գծում ենք առանցք և դասավորում այն կետերը, որոնցում անհետանում են համարիչն ու հայտարարը։

Հայտարարի և զրոները ծակված կետեր են, քանի որ այդ կետերում անհավասարության ձախ կողմի ֆունկցիան սահմանված չէ (չես կարող բաժանել զրոյի): Համարիչի և - զրոները ստվերված են, քանի որ անհավասարությունը խիստ չէ։ Համար և մեր անհավասարությունը բավարարված է, քանի որ նրա երկու մասերը հավասար են զրոյի։

Այս կետերը առանցքը բաժանում են ընդմիջումներով:

Եկեք որոշենք կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիայի նշանը մեր անհավասարության ձախ կողմում այս միջակայքներից յուրաքանչյուրում: Մենք հիշում ենք, որ կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիան կարող է նշան փոխել միայն այն կետերում, որտեղ այն հավասար է զրոյի կամ գոյություն չունի: Սա նշանակում է, որ այն կետերից յուրաքանչյուրի միջև, որտեղ համարիչը կամ հայտարարը անհետանում է, անհավասարության ձախ կողմում արտահայտության նշանը հաստատուն կլինի՝ կա՛մ «գումարած», կա՛մ «մինուս»:

Եվ հետևաբար, յուրաքանչյուր նման ինտերվալի վրա ֆունկցիայի նշանը որոշելու համար վերցնում ենք այս ինտերվալին պատկանող ցանկացած կետ։ Նա, ով հարմար է մեզ:
. Վերցրեք, օրինակ, և ստուգեք անհավասարության ձախ կողմում գտնվող արտահայտության նշանը: «Փակագծերից» յուրաքանչյուրը բացասական է։ Ձախ կողմը նշան ունի.

Հաջորդ ընդմիջումը՝ . Եկեք ստուգենք նշանը. Մենք ստանում ենք, որ ձախ կողմը փոխել է նշանը:

Վերցնենք. Երբ արտահայտությունը դրական է, հետևաբար, այն դրական է ամբողջ միջակայքում մինչև .

Համար, անհավասարության ձախ կողմը բացասական է:

Եվ վերջապես class="tex" alt="(!LANG:x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Մենք պարզել ենք, թե որ ինտերվալներով է դրական արտահայտությունը։ Մնում է գրել պատասխանը.

Պատասխան.

Խնդրում ենք նկատի ունենալ. ինտերվալների վրա նշանները հերթափոխվում են: Սա տեղի ունեցավ, քանի որ յուրաքանչյուր կետով անցնելիս գծային գործոններից ճիշտ մեկը փոխել է նշանը, իսկ մնացածը պահել այն անփոփոխ.

Մենք տեսնում ենք, որ միջակայքի մեթոդը շատ պարզ է. Ինտերվալների մեթոդով կոտորակային-ռացիոնալ անհավասարությունը լուծելու համար այն բերում ենք ձևի.

Կամ class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \աջ)) > 0"> !}, կամ կամ .

(ձախ կողմում` կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիա, աջ կողմում` զրո):

Այնուհետև - մենք թվային տողի վրա նշում ենք այն կետերը, որոնցում անհետանում է համարիչը կամ հայտարարը:
Այս կետերը ամբողջ թվային ուղիղը բաժանում են ընդմիջումների, որոնցից յուրաքանչյուրի վրա կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիան պահպանում է իր նշանը։
Մնում է միայն պարզել դրա նշանը յուրաքանչյուր ընդմիջումով:
Մենք դա անում ենք՝ ստուգելով արտահայտության նշանը տվյալ ինտերվալի ցանկացած կետում։ Դրանից հետո գրում ենք պատասխանը։ Այսքանը:

Բայց հարց է առաջանում՝ նշանները միշտ հերթափոխի՞ են։ Ոչ միշտ չէ! Մենք պետք է զգույշ լինենք, որպեսզի նշանները մեխանիկորեն և չմտածված չտեղադրվեն։

2. Դիտարկենք մեկ այլ անհավասարություն.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \աջ) \ձախ(x-3\աջ))>0"> !}

Մենք կրկին կետեր ենք դնում առանցքի վրա: Կետերը և ծակվում են, քանի որ դրանք հայտարարի զրոներն են: Կետը նույնպես ծակված է, քանի որ անհավասարությունը խիստ է։

Երբ համարիչը դրական է, հայտարարի երկու գործոններն էլ բացասական են: Սա հեշտ է ստուգել՝ տվյալ ինտերվալից վերցնելով ցանկացած թիվ, օրինակ՝ . Ձախ կողմում կա նշան.

Երբ համարիչը դրական է; Առաջին գործոնը հայտարարում դրական է, երկրորդը` բացասական: Ձախ կողմում կա նշան.

Երբ իրավիճակը նույնն է. Համարիչը դրական է, հայտարարի առաջին գործոնը դրական է, երկրորդը՝ բացասական։ Ձախ կողմում կա նշան.

Վերջապես, class="tex" alt="(!LANG:x>3-ով"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Պատասխան.

Ինչու՞ խախտվեց կերպարների հերթափոխը: Որովհետև կետով անցնելիս դրա համար «պատասխանատու» է բազմապատկիչը նշանը չի փոխվել. Հետևաբար, մեր անհավասարության ամբողջ ձախ կողմը նույնպես չփոխեց նշանը։

Եզրակացություն: եթե գծային գործակիցը հավասարաչափ է (օրինակ՝ քառակուսիում), ապա կետով անցնելիս ձախ կողմի արտահայտության նշանը չի փոխվում.. Կենտ աստիճանի դեպքում նշանն, իհարկե, փոխվում է։

3. Մտածեք ավելին դժվար գործ. Այն տարբերվում է նախորդից նրանով, որ անհավասարությունը խիստ չէ.

Ձախ կողմը նույնն է, ինչ նախորդ խնդրի մեջ: Նշանների պատկերը նույնն է լինելու.

Միգուցե պատասխանը նույնն է՞լ լինի։ Ոչ Լուծումը ավելացված է Դա պայմանավորված է նրանով, որ անհավասարության և ձախ և աջ մասերում հավասար են զրոյի, հետևաբար, այս կետը լուծում է:

Պատասխան.

Մաթեմատիկայի քննության հարցում այս իրավիճակին հաճախ հանդիպում է. Այստեղ դիմորդներն ընկնում են ծուղակը և միավորներ կորցնում։ Զգույշ եղիր!

4. Ի՞նչ անել, եթե համարիչը կամ հայտարարը հնարավոր չէ վերագրել գծային գործոնների: Դիտարկենք այս անհավասարությունը.

Քառակուսի եռանկյունը չի կարող ֆակտորիզացվել՝ դիսկրիմինանտը բացասական է, արմատներ չկան։ Բայց սա լավ է! Սա նշանակում է, որ արտահայտության նշանը բոլորի համար նույնն է, իսկ կոնկրետ՝ դրական։ Այս մասին ավելին կարող եք կարդալ հատկությունների հոդվածում: քառակուսի ֆունկցիա.

Եվ հիմա մենք կարող ենք մեր անհավասարության երկու կողմերը բաժանել մի արժեքի վրա, որը դրական է բոլորի համար: Մենք հասնում ենք համարժեք անհավասարության.

Ինչը հեշտությամբ լուծվում է ինտերվալ մեթոդով։

Ուշադրություն դարձրեք՝ անհավասարության երկու կողմերն էլ բաժանեցինք արժեքով, որը հաստատ գիտեինք, որ դրական է։ Իհարկե, ընդհանուր դեպքում չպետք է բազմապատկել կամ բաժանել անհավասարությունը փոփոխական, որի նշանն անհայտ է։

5 . Դիտարկենք ևս մեկ անհավասարություն, թվացյալ բավականին պարզ.

Այսպիսով, ես ուզում եմ այն բազմապատկել: Բայց մենք արդեն խելացի ենք, և սա չենք անի։ Ի վերջո, դա կարող է լինել և՛ դրական, և՛ բացասական: Եվ մենք գիտենք, որ եթե անհավասարության երկու մասերը բազմապատկվում են բացասական արժեքով, ապա անհավասարության նշանը փոխվում է։

Մենք այլ կերպ ենք վարվելու՝ ամեն ինչ մի մասով կհավաքենք ու ընդհանուր հայտարարի կբերենք։ Զրոն կմնա աջ կողմում.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

Եվ դրանից հետո՝ կիրառելի ինտերվալ մեթոդ.

1. Դիտարկենք, օրինակ, հետևյալ անհավասարությունը

Ինտերվալ մեթոդը թույլ է տալիս լուծել այն մի քանի րոպեում։

Ինտերվալ մեթոդը հիմնված է կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիայի հետևյալ հատկության վրա.

Հիշեք, թե ինչպես է գործոնացվում քառակուսի եռանկյունը, այսինքն՝ ձևի արտահայտությունը:

Որտեղ և են քառակուսի հավասարման արմատները:

Գծում ենք առանցք և դասավորում այն կետերը, որոնցում անհետանում են համարիչն ու հայտարարը։

Այս կետերը առանցքը բաժանում են ընդմիջումներով:

Հաջորդ ընդմիջումը՝ . Եկեք ստուգենք նշանը. Մենք ստանում ենք, որ ձախ կողմը փոխել է նշանը:

Վերցնենք. Երբ արտահայտությունը դրական է, հետևաբար, այն դրական է ամբողջ միջակայքում մինչև .

Համար, անհավասարության ձախ կողմը բացասական է:

Մենք պարզել ենք, թե որ ինտերվալներով է դրական արտահայտությունը։ Մնում է գրել պատասխանը.

Պատասխան.

Կամ class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \աջ)) > 0"> !}, կամ կամ .

(ձախ կողմում` կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիա, աջ կողմում` զրո):

2. Դիտարկենք մեկ այլ անհավասարություն.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \աջ) \ձախ(x-3\աջ))>0"> !}

Երբ համարիչը դրական է; Առաջին գործոնը հայտարարում դրական է, երկրորդը` բացասական: Ձախ կողմում կա նշան.

Վերջապես, class="tex" alt="(!LANG:x>3-ով"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Պատասխան.

3. Դիտարկենք ավելի բարդ դեպք. Այն տարբերվում է նախորդից նրանով, որ անհավասարությունը խիստ չէ.

Ձախ կողմը նույնն է, ինչ նախորդ խնդրի մեջ: Նշանների պատկերը նույնն է լինելու.

Պատասխան.

Քառակուսի եռանկյունը չի կարող ֆակտորիզացվել՝ դիսկրիմինանտը բացասական է, արմատներ չկան։ Բայց սա լավ է! Սա նշանակում է, որ արտահայտության նշանը բոլորի համար նույնն է, իսկ կոնկրետ՝ դրական։ Այս մասին ավելին կարող եք կարդալ քառակուսի ֆունկցիայի հատկությունների մասին հոդվածում։

Ինչը հեշտությամբ լուծվում է ինտերվալ մեթոդով։

Ուշադրություն դարձրեք՝ անհավասարության երկու կողմերն էլ բաժանեցինք արժեքով, որը հաստատ գիտեինք, որ դրական է։ Իհարկե, ընդհանուր դեպքում չպետք է անհավասարությունը բազմապատկել կամ բաժանել այն փոփոխականով, որի նշանն անհայտ է։

5 . Դիտարկենք ևս մեկ անհավասարություն, թվացյալ բավականին պարզ.

Մենք այլ կերպ ենք վարվելու՝ ամեն ինչ մի մասով կհավաքենք ու ընդհանուր հայտարարի կբերենք։ Զրոն կմնա աջ կողմում.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

Եվ դրանից հետո՝ կիրառելի ինտերվալ մեթոդ.

Ինչպե՞ս լուծել անհավասարությունները՝ օգտագործելով ինտերվալ մեթոդը (ալգորիթմ օրինակներով)

Օրինակ . (առաջադրանք OGE-ից)Անհավասարությունը լուծիր \((x-7)^2 ինտերվալ մեթոդով< \sqrt{11}(x-7)\)
Որոշում:

Պատասխանել : \((7;7+\sqrt(11))\)

Օրինակ . Անհավասարությունը լուծել \(≥0\) ինտերվալ մեթոդով
Որոշում:

\(\frac((4-x)^3 (x+6)(6-x)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Այստեղ, առաջին հայացքից, ամեն ինչ նորմալ է թվում, և անհավասարությունն ի սկզբանե հասցվում է ցանկալի ձևի։ Բայց դա այդպես չէ. չէ՞ որ համարիչի առաջին և երրորդ փակագծերում x-ը մինուս նշանով է։ Փակագծերը փոխակերպում ենք՝ հաշվի առնելով այն, որ չորրորդ աստիճանը զույգ է (այսինքն՝ հանելու է մինուս նշանը), իսկ երրորդը՝ կենտ (այսինքն՝ չի հանի)։ \((4-x)^3=(-x+4)^3=(-(x-4))^3=-(x-4)^3\) \((6-x)^4=(-x+6)^4=(-(x-6))^4=(x-6)^4\) Սրա նման. Այժմ մենք վերադարձնում ենք փակագծերը «տեղում» արդեն փոխարկված:
\(\frac(-(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Այժմ բոլոր փակագծերը նայվում են այնպես, ինչպես պետք է (նախ՝ անստորագիր կոստյումը, հետո միայն համարը): Բայց համարիչից առաջ մինուս կար. Մենք հեռացնում ենք այն՝ բազմապատկելով անհավասարությունը \(-1\-ով)՝ չմոռանալով հակադարձել համեմատության նշանը։
\(\frac((x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≤0\)		Պատրաստ. Այժմ անհավասարությունը ճիշտ է թվում: Դուք կարող եք օգտագործել միջակայքի մեթոդը:
\(x=4;\) \(x=-6;\) \(x=6;\) \(x=-7.5\)		Եկեք առանցքի վրա տեղադրենք կետեր, նշաններ և ներկենք անհրաժեշտ բացերի վրա:
		\(4\)-ից մինչև \(6\) միջակայքում նշանը պետք չէ փոխել, քանի որ \((x-6)\) փակագիծը հավասարաչափ է (տես ալգորիթմի 4-րդ պարբերությունը) . Դրոշը հիշեցում կլինի, որ վեցը նաև անհավասարության լուծում է: Գրի առնենք պատասխանը.

Պատասխանել : \((-∞;7,5]∪[-6;4]∪\ձախ\(6\աջ\)\)

Օրինակ.(Հանձնարարություն OGE-ից)Անհավասարությունը լուծեք միջակայքի մեթոդով \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)
Որոշում:

\(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)		Ձախն ու աջը նույնն են. սա ակնհայտորեն պատահական չէ: Առաջին ցանկությունը \(-x^2-64\-ով) բաժանելն է, բայց սա սխալ է, քանի որ արմատը կորցնելու հավանականություն կա. Փոխարենը տեղափոխեք \(64(-x^2-64)\) դեպի ձախ կողմ
\(x^2 (-x^2-64)-64(-x^2-64)≤0\)
\((-x^2-64)(x^2-64)≤0\)		Առաջին փակագծում հանեք մինուսը և գործադրեք երկրորդը
\(-(x^2+64)(x-8)(x+8)≤0\)		Նկատի ունեցեք, որ \(x^2\)-ը կա՛մ զրո է, կա՛մ զրոյից մեծ: Սա նշանակում է, որ \(x^2+64\)-ը եզակիորեն դրական է x-ի ցանկացած արժեքի համար, այսինքն՝ այս արտահայտությունը ոչ մի կերպ չի ազդում ձախ կողմի նշանի վրա։ Այսպիսով, մենք կարող ենք ապահով կերպով բաժանել անհավասարության երկու մասերը այս արտահայտությամբ: Բաժանենք նաև անհավասարությունը \(-1\)-ի վրա՝ մինուսից ազատվելու համար։
\((x-8)(x+8)≥0\)		Այժմ դուք կարող եք կիրառել ինտերվալ մեթոդը
\(x=8;\) \(x=-8\)		Գրի առնենք պատասխանը