տուն > մեքենաշինություն

Նույն հիմքով լոգարիթմների տարբերությունը. Լոգարիթմների հատկությունները և դրանց լուծումների օրինակները

Ինչպես գիտեք, արտահայտությունները հզորություններով բազմապատկելիս դրանց ցուցիչները միշտ գումարվում են (a b * a c = a b + c): Այս մաթեմատիկական օրենքը ստացվել է Արքիմեդի կողմից, իսկ ավելի ուշ՝ 8-րդ դարում, մաթեմատիկոս Վիրասենը ստեղծեց ամբողջ թվերի ցուցիչների աղյուսակը։ Հենց նրանք էլ ծառայեցին լոգարիթմների հետագա հայտնաբերմանը։ Այս ֆունկցիայի օգտագործման օրինակները կարելի է գտնել գրեթե ամենուր, որտեղ պահանջվում է բարդ բազմապատկումը պարզեցնել պարզ գումարման: Եթե ​​դուք 10 րոպե ծախսեք այս հոդվածը կարդալու համար, մենք ձեզ կբացատրենք, թե ինչ են լոգարիթմները և ինչպես աշխատել դրանց հետ: Պարզ և մատչելի լեզու.

Սահմանում մաթեմատիկայի մեջ

Լոգարիթմը հետևյալ ձևի արտահայտությունն է՝ log a b=c, այսինքն՝ ցանկացած ոչ բացասական թվի (այսինքն՝ ցանկացած դրական) լոգարիթմը իր «a» հիմքով համարվում է «c»-ի հզորություն։ , որի վրա պետք է բարձրացնել «a» հիմքը, որպեսզի վերջում ստացվի «b» արժեքը։ Օրինակներով վերլուծենք լոգարիթմը, ասենք կա արտահայտություն log 2 8. Ինչպե՞ս գտնել պատասխանը: Դա շատ պարզ է, դուք պետք է այնպիսի աստիճան գտնեք, որ 2-ից մինչև անհրաժեշտ աստիճանը ստանաք 8: Մտքում կատարելով որոշ հաշվարկներ, մենք ստանում ենք 3 թիվը: Եվ ճիշտ է, քանի որ 2-ը 3-ի չափով պատասխանում տալիս է 8 թիվը։

Լոգարիթմների տարատեսակներ

Շատ աշակերտների և ուսանողների համար այս թեման բարդ և անհասկանալի է թվում, բայց իրականում լոգարիթմներն այնքան էլ սարսափելի չեն, գլխավորը հասկանալ դրանց ընդհանուր իմաստը և հիշել դրանց հատկությունները և որոշ կանոններ: Գոյություն ունեն երեք տարբեր տեսակի լոգարիթմական արտահայտություններ.

  1. Բնական լոգարիթմ ln a, որտեղ հիմքը Էյլերի թիվն է (e = 2.7):
  2. Տասնորդական a, որտեղ հիմքը 10 է:
  3. Ցանկացած b թվի լոգարիթմը a>1 հիմքի նկատմամբ:

Դրանցից յուրաքանչյուրը լուծվում է ստանդարտ եղանակով, ներառյալ պարզեցումը, կրճատումը և հետագա կրճատումը մեկ լոգարիթմի՝ օգտագործելով լոգարիթմական թեորեմները: Լոգարիթմների ճիշտ արժեքները ստանալու համար պետք է հիշել դրանց հատկությունները և գործողությունների կարգը նրանց որոշումներում:

Կանոններ և որոշ սահմանափակումներ

Մաթեմատիկայի մեջ կան մի քանի կանոն-սահմանափակումներ, որոնք ընդունված են որպես աքսիոմ, այսինքն՝ քննարկման ենթակա չեն և ճշմարիտ են։ Օրինակ, անհնար է թվերը բաժանել զրոյի, ինչպես նաև անհնար է բացասական թվերից հանել զույգ աստիճանի արմատը։ Լոգարիթմներն ունեն նաև իրենց կանոնները, որոնց հետևելով կարող եք հեշտությամբ սովորել, թե ինչպես աշխատել նույնիսկ երկար և տարողունակ լոգարիթմական արտահայտություններով.

  • «ա» հիմքը միշտ պետք է լինի զրոյից մեծ և միևնույն ժամանակ հավասար լինի 1-ի, հակառակ դեպքում արտահայտությունը կկորցնի իր նշանակությունը, քանի որ «1»-ը և «0»-ը ցանկացած աստիճանի միշտ հավասար են իրենց արժեքներին.
  • եթե a > 0, ապա a b > 0, ստացվում է, որ «c»-ն պետք է լինի զրոյից մեծ:

Ինչպե՞ս լուծել լոգարիթմները:

Օրինակ՝ առաջադրանք տալով գտնել 10 x \u003d 100 հավասարման պատասխանը: Դա շատ հեշտ է, դուք պետք է ընտրեք այդպիսի հզորություն՝ բարձրացնելով տասը թիվը, որին մենք ստանում ենք 100: Սա, իհարկե, 10 2 է: \u003d 100.

Այժմ այս արտահայտությունը ներկայացնենք որպես լոգարիթմական։ Մենք ստանում ենք log 10 100 = 2: Լոգարիթմները լուծելիս բոլոր գործողությունները գործնականում համընկնում են գտնելու այն աստիճանը, որով պետք է մուտքագրվի լոգարիթմի հիմքը՝ տրված թիվ ստանալու համար:

Անհայտ աստիճանի արժեքը ճշգրիտ որոշելու համար դուք պետք է սովորեք, թե ինչպես աշխատել աստիճանների աղյուսակի հետ: Այն կարծես այսպիսին է.

Ինչպես տեսնում եք, որոշ ցուցիչներ կարելի է ինտուիտիվ կերպով գուշակել, եթե ունեք տեխնիկական մտածելակերպ և գիտելիք բազմապատկման աղյուսակի վերաբերյալ: Այնուամենայնիվ, ավելի մեծ արժեքների համար կպահանջվի էլեկտրական աղյուսակ: Այն կարող են օգտագործել նույնիսկ նրանք, ովքեր ընդհանրապես ոչինչ չեն հասկանում բարդ մաթեմատիկական թեմաներից։ Ձախ սյունակը պարունակում է թվեր (հիմք ա), թվերի վերին շարքը c հզորության արժեքն է, որին բարձրացվում է a թիվը։ Բջիջների խաչմերուկում որոշվում են թվերի արժեքները, որոնք պատասխանն են (a c =b): Վերցնենք, օրինակ, 10 թվով հենց առաջին բջիջը և քառակուսի դարձնենք, ստանում ենք 100 արժեքը, որը նշված է մեր երկու բջիջների հատման կետում։ Ամեն ինչ այնքան պարզ և հեշտ է, որ նույնիսկ ամենաիսկական հումանիստը կհասկանա:

Հավասարումներ և անհավասարություններ

Ստացվում է, որ որոշակի պայմաններում ցուցիչը լոգարիթմն է։ Հետևաբար, ցանկացած մաթեմատիկական թվային արտահայտություն կարող է գրվել որպես լոգարիթմական հավասարում: Օրինակ, 3 4 =81 կարելի է գրել որպես 81-ի լոգարիթմ 3-ի հիմքում, որը չորս է (log 3 81 = 4): Բացասական հզորությունների համար կանոնները նույնն են՝ 2 -5 = 1/32 գրում ենք որպես լոգարիթմ, ստանում ենք log 2 (1/32) = -5։ Մաթեմատիկայի ամենահետաքրքիր բաժիններից մեկը «լոգարիթմների» թեման է։ Հավասարումների օրինակներն ու լուծումները կդիտարկենք մի փոքր ավելի ցածր՝ դրանց հատկություններն ուսումնասիրելուց անմիջապես հետո։ Հիմա եկեք տեսնենք, թե ինչ տեսք ունեն անհավասարությունները և ինչպես տարբերել դրանք հավասարումներից:

Տրված է հետևյալ ձևի արտահայտություն՝ log 2 (x-1) > 3 - դա լոգարիթմական անհավասարություն է, քանի որ «x» անհայտ արժեքը գտնվում է լոգարիթմի նշանի տակ։ Եվ նաև արտահայտության մեջ համեմատվում են երկու մեծություններ՝ երկու հիմքում ցանկալի թվի լոգարիթմը մեծ է երեքից։

Լոգարիթմական հավասարումների և անհավասարությունների միջև ամենակարևոր տարբերությունն այն է, որ լոգարիթմներով հավասարումները (օրինակ՝ 2 x = √9-ի լոգարիթմը) պատասխանում ենթադրում են մեկ կամ մի քանի հատուկ թվային արժեքներ, մինչդեռ անհավասարությունը լուծելիս երկուսն էլ տիրույթը. ընդունելի արժեքները և այս գործառույթը խախտող կետերը: Որպես հետևանք, պատասխանը առանձին թվերի պարզ բազմություն չէ, ինչպես հավասարման պատասխանում, այլ շարունակական շարք կամ թվերի բազմություն:

Հիմնական թեորեմներ լոգարիթմների մասին

Լոգարիթմի արժեքները գտնելու պարզունակ առաջադրանքներ լուծելիս նրա հատկությունները կարող են հայտնի չլինել: Այնուամենայնիվ, երբ խոսքը վերաբերում է լոգարիթմական հավասարումների կամ անհավասարություններին, առաջին հերթին անհրաժեշտ է հստակ հասկանալ և գործնականում կիրառել լոգարիթմների բոլոր հիմնական հատկությունները։ Հավասարումների օրինակների հետ կծանոթանանք ավելի ուշ, նախ ավելի մանրամասն վերլուծենք յուրաքանչյուր հատկություն։

  1. Հիմնական ինքնությունը հետևյալն է. a logaB =B: Այն կիրառվում է միայն այն դեպքում, երբ a-ն 0-ից մեծ է, հավասար չէ մեկին, իսկ B-ն մեծ է զրոյից:
  2. Արտադրանքի լոգարիթմը կարող է ներկայացվել հետևյալ բանաձևով. log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2: Այս դեպքում նախապայմանն է՝ d, s 1 և s 2 > 0; a≠1. Դուք կարող եք ապացուցել լոգարիթմների այս բանաձևը, օրինակներով և լուծումներով: Եկեք log a s 1 = f 1 և log a s 2 = f 2, ապա a f1 = s 1, a f2 = s 2: Մենք ստանում ենք, որ s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (աստիճանի հատկություններ ), և հետագայում ըստ սահմանման՝ log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, որը պետք է ապացուցվեր։
  3. Քվեորդի լոգարիթմն ունի հետևյալ տեսքը՝ log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2:
  4. Բանաձևի տեսքով թեորեմն ունի հետևյալ ձևը՝ log a q b n = n/q log a b.

Այս բանաձևը կոչվում է «լոգարիթմի աստիճանի հատկություն»։ Այն նման է սովորական աստիճանների հատկություններին, և դա զարմանալի չէ, քանի որ ամբողջ մաթեմատիկան հիմնված է կանոնավոր պոստուլատների վրա: Եկեք նայենք ապացույցին.

Թող գրանցվի a b \u003d t, ստացվում է a t \u003d b. Եթե ​​երկու մասերն էլ բարձրացնեք մինչև m հզորության՝ a tn = b n;

բայց քանի որ a tn = (a q) nt/q = b n, հետևաբար log a q b n = (n*t)/t, ապա log a q b n = n/q log a b. Թեորեմն ապացուցված է.

Խնդիրների և անհավասարությունների օրինակներ

Լոգարիթմի խնդիրների ամենատարածված տեսակներն են հավասարումների և անհավասարությունների օրինակները: Դրանք հանդիպում են գրեթե բոլոր խնդրագրքերում, ներառված են նաև մաթեմատիկայի քննությունների պարտադիր մասում։ Բուհ ընդունվելու կամ մաթեմատիկայի ընդունելության թեստեր հանձնելու համար պետք է իմանալ, թե ինչպես ճիշտ լուծել նման առաջադրանքները։

Ցավոք, չկա լոգարիթմի անհայտ արժեքը լուծելու և որոշելու մեկ պլան կամ սխեմա, այնուամենայնիվ, որոշակի կանոններ կարող են կիրառվել յուրաքանչյուր մաթեմատիկական անհավասարության կամ լոգարիթմական հավասարման համար: Առաջին հերթին, դուք պետք է պարզեք, թե արդյոք արտահայտությունը կարող է պարզեցվել կամ կրճատվել ընդհանուր ձևի: Դուք կարող եք պարզեցնել երկար լոգարիթմական արտահայտությունները, եթե ճիշտ օգտագործեք դրանց հատկությունները: Եկեք շուտով ճանաչենք նրանց:

Լոգարիթմական հավասարումներ լուծելիս անհրաժեշտ է որոշել, թե ինչպիսի լոգարիթմ ունենք մեր առջև. արտահայտության օրինակը կարող է պարունակել բնական լոգարիթմ կամ տասնորդական:

Ահա օրինակներ ln100, ln1026: Նրանց լուծումը հանգում է նրան, որ դուք պետք է որոշեք այն աստիճանը, որով հիմքը 10-ը հավասար կլինի համապատասխանաբար 100-ի և 1026-ի: Բնական լոգարիթմների լուծումների համար պետք է կիրառել լոգարիթմական նույնականացումներ կամ դրանց հատկությունները: Դիտարկենք տարբեր տեսակի լոգարիթմական խնդիրների լուծման օրինակներ:

Ինչպես օգտագործել լոգարիթմի բանաձևերը. օրինակներով և լուծումներով

Այսպիսով, եկեք նայենք լոգարիթմների վրա հիմնական թեորեմների օգտագործման օրինակներին:

  1. Արտադրանքի լոգարիթմի հատկությունը կարող է օգտագործվել այնպիսի առաջադրանքներում, որտեղ անհրաժեշտ է b թվի մեծ արժեքը տարրալուծել ավելի պարզ գործոնների։ Օրինակ՝ log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Պատասխանը 9 է։
  2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - ինչպես տեսնում եք, օգտագործելով լոգարիթմի աստիճանի չորրորդ հատկությունը, մեզ հաջողվեց առաջին հայացքից լուծել բարդ և անլուծելի արտահայտություն: Հարկավոր է միայն ֆակտորիզացնել հիմքը և այնուհետև լոգարիթմի նշանից հանել ցուցիչի արժեքները:

Առաջադրանքներ քննությունից

Լոգարիթմները հաճախ հանդիպում են ընդունելության քննություններին, հատկապես լոգարիթմական բազմաթիվ խնդիրներ միասնական պետական ​​քննության ժամանակ (պետական ​​քննություն բոլոր դպրոցների շրջանավարտների համար): Սովորաբար այս առաջադրանքները առկա են ոչ միայն A մասում (քննության ամենահեշտ թեստային մասը), այլ նաև C մասում (ամենադժվար և ծավալուն առաջադրանքները): Քննությունը ենթադրում է «Բնական լոգարիթմներ» թեմայի ճշգրիտ և կատարյալ իմացություն։

Օրինակները և խնդիրների լուծումը վերցված են քննության պաշտոնական տարբերակներից։ Տեսնենք, թե ինչպես են լուծվում նման խնդիրները։

Տրված է log 2 (2x-1) = 4. Լուծում:
եկեք վերաշարադրենք արտահայտությունը՝ մի փոքր պարզեցնելով այն log 2 (2x-1) = 2 2, ըստ լոգարիթմի սահմանման, մենք ստանում ենք, որ 2x-1 = 2 4, հետևաբար 2x = 17; x = 8,5:

  • Բոլոր լոգարիթմները լավագույնս կրճատվում են նույն հիմքի վրա, որպեսզի լուծումը ծանր ու շփոթեցնող չլինի:
  • Լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող բոլոր արտահայտությունները նշվում են որպես դրական, հետևաբար, լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող արտահայտության ցուցիչի ցուցիչը հանելիս և որպես դրա հիմք, լոգարիթմի տակ մնացած արտահայտությունը պետք է լինի դրական։

Այսօր մենք կխոսենք լոգարիթմի բանաձևերև ցույց տալ լուծման օրինակներ.

Իրենք, դրանք ենթադրում են լուծման ձևեր՝ ըստ լոգարիթմների հիմնական հատկությունների: Նախքան լուծման վրա լոգարիթմի բանաձևերը կիրառելը, մենք ձեզ համար հիշեցնում ենք նախ բոլոր հատկությունները.

Այժմ, հիմնվելով այս բանաձեւերի (հատկությունների) վրա, մենք ցույց ենք տալիս լոգարիթմների լուծման օրինակներ.

Բանաձևերի հիման վրա լոգարիթմների լուծման օրինակներ.

Լոգարիթմ a հիմքում դրական b թիվը (նշվում է log a b) այն ցուցիչն է, որին պետք է բարձրացվի a-ն, որպեսզի ստացվի b, երբ b > 0, a > 0 և 1:

Ըստ սահմանման log a b = x, որը համարժեք է a x = b-ին, ուստի log a x = x:

Լոգարիթմներ, օրինակներ:

log 2 8 = 3, քանի որ 2 3 = 8

log 7 49 = 2, քանի որ 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, քանի որ 5 -1 = 1/5

Տասնորդական լոգարիթմսովորական լոգարիթմ է, որի հիմքը 10 է. Նշվում է lg.

log 10 100 = 2 քանի որ 10 2 = 100

բնական լոգարիթմ- նաև սովորական լոգարիթմի լոգարիթմ, բայց e հիմքով (e \u003d 2.71828 ... - իռացիոնալ թիվ): Նշվում է որպես ln.

Ցանկալի է հիշել լոգարիթմների բանաձևերը կամ հատկությունները, քանի որ դրանք մեզ ավելի ուշ պետք կգան լոգարիթմներ, լոգարիթմական հավասարումներ և անհավասարումներ լուծելիս։ Եկեք նորից աշխատենք յուրաքանչյուր բանաձևի միջոցով օրինակներով:

  • Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը
    a log a b = b

    8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

  • Արտադրանքի լոգարիթմը հավասար է լոգարիթմների գումարին
    log a (bc) = log a b + log a c

    log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4

  • Քաղորդի լոգարիթմը հավասար է լոգարիթմների տարբերությանը
    log a (b/c) = log a b - log a c

    9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

  • Լոգարիթմական թվի աստիճանի և լոգարիթմի հիմքի հատկությունները

    Լոգարիթմական թվի ցուցիչ log a b m = mlog a b

    Լոգարիթմի հիմքի ցուցիչ log a n b =1/n*log a b

    log a n b m = m/n*log a b,

    եթե m = n, մենք ստանում ենք log a n b n = log a b

    log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

  • Անցում դեպի նոր հիմք
    log a b = log c b / log c a,

    եթե c = b, մենք ստանում ենք log b b = 1

    ապա log a b = 1/log b a

    log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1

Ինչպես տեսնում եք, լոգարիթմի բանաձևերը այնքան էլ բարդ չեն, որքան թվում է: Այժմ, հաշվի առնելով լոգարիթմների լուծման օրինակները, մենք կարող ենք անցնել լոգարիթմական հավասարումների: Լոգարիթմական հավասարումների լուծման օրինակները ավելի մանրամասն կքննարկենք հոդվածում՝ «»: Բաց մի թողեք:

Եթե ​​դեռ հարցեր ունեք լուծման վերաբերյալ, գրեք դրանք հոդվածի մեկնաբանություններում:

Ծանոթագրություն. որպես տարբերակ որոշել է արտերկրում մեկ այլ դասարանի կրթություն ստանալ:

Թվի լոգարիթմը Ն պատճառաբանությամբ ա կոչվում է ցուցիչ X , որին դուք պետք է բարձրացնեք ա համարը ստանալու համար Ն

Պայմանով, որ
,
,

Լոգարիթմի սահմանումից բխում է, որ
, այսինքն.
- այս հավասարությունը հիմնական լոգարիթմական ինքնությունն է:

10-րդ հիմքի լոգարիթմները կոչվում են տասնորդական լոգարիթմներ: Փոխարեն
գրել
.

բազային լոգարիթմներ ե կոչվում են բնական և նշանակվում
.

Լոգարիթմների հիմնական հատկությունները.

    Ցանկացած հիմքի համար միասնության լոգարիթմը զրո է

    Արտադրանքի լոգարիթմը հավասար է գործոնների լոգարիթմների գումարին։

3) քանորդի լոգարիթմը հավասար է լոգարիթմների տարբերությանը


Գործոն
կոչվում է հիմքում ընկած լոգարիթմներից անցման մոդուլ ա հիմքում ընկած լոգարիթմներին բ .

Օգտագործելով 2-5 հատկությունները, հաճախ հնարավոր է լինում բարդ արտահայտության լոգարիթմը կրճատել մինչև լոգարիթմների վրա պարզ թվաբանական գործողությունների արդյունք:

Օրինակ,

Լոգարիթմի նման փոխակերպումները կոչվում են լոգարիթմներ։ Լոգարիթմների փոխադարձ փոխակերպումները կոչվում են հզորացում:

Գլուխ 2. Բարձրագույն մաթեմատիկայի տարրեր.

1. Սահմանափակումներ

գործառույթի սահմանաչափ
վերջավոր A թիվ է, եթե, երբ ձգտում է xx 0 յուրաքանչյուր կանխորոշվածի համար
, կա թիվ
որ հենց որ
, ապա
.

Սահմանափակում ունեցող ֆունկցիան նրանից տարբերվում է անվերջ փոքր քանակությամբ.
, որտեղ - b.m.w., այսինքն.
.

Օրինակ. Հաշվի առեք գործառույթը
.

Երբ ձգտում է
, ֆունկցիա y գնում է զրոյի:

1.1. Հիմնական թեորեմներ սահմանների մասին.

    Հաստատուն արժեքի սահմանը հավասար է այս հաստատուն արժեքին

.

    Վերջավոր թվով ֆունկցիաների գումարի (տարբերության) սահմանը հավասար է այս ֆունկցիաների սահմանների գումարին (տարբերությանը):

    Վերջավոր թվով ֆունկցիաների արտադրյալի սահմանը հավասար է այս ֆունկցիաների սահմանների արտադրյալին։

    Երկու ֆունկցիաների քանորդի սահմանը հավասար է այս ֆունկցիաների սահմանների քանորդին, եթե հայտարարի սահմանը հավասար չէ զրոյի։

Ուշագրավ սահմաններ

,
, որտեղ

1.2. Սահմանաչափի հաշվարկման օրինակներ

Այնուամենայնիվ, ոչ բոլոր սահմաններն են այդքան պարզ հաշվարկված։ Ավելի հաճախ սահմանաչափի հաշվարկը կրճատվում է մինչև տիպային անորոշության բացահայտում. կամ .

.

2. Ֆունկցիայի ածանցյալ

Թող ֆունկցիա ունենանք
, շարունակական հատվածի վրա
.

Փաստարկ որոշակի խթան է ստացել
. Այնուհետև գործառույթը կավելացվի
.

Փաստարկի արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի արժեքին
.

Փաստարկի արժեքը
համապատասխանում է ֆունկցիայի արժեքին:

Հետևաբար, .

Եկեք գտնենք այս կապի սահմանը ժամը
. Եթե ​​այս սահմանը գոյություն ունի, ապա այն կոչվում է տվյալ ֆունկցիայի ածանցյալ։

Տրված ֆունկցիայի 3 ածանցյալի սահմանում
փաստարկով կոչվում է ֆունկցիայի աճի հարաբերակցության սահմանը արգումենտի աճին, երբ փաստարկի աճը կամայականորեն ձգտում է զրոյի:

Ֆունկցիայի ածանցյալ
կարելի է նշել հետևյալ կերպ.

; ; ; .

Սահմանում 4 Գործառույթի ածանցյալը գտնելու գործողությունը կոչվում է տարբերակում.

2.1. Ածանցյալի մեխանիկական նշանակությունը.

Դիտարկենք որոշ կոշտ մարմնի կամ նյութական կետի ուղղագիծ շարժումը:

Թող ժամանակի ինչ-որ պահի շարժվող կետ
հեռավորության վրա էր մեկնարկային դիրքից
.

Որոշ ժամանակ անց
նա հեռացավ հեռավորության վրա
. Վերաբերմունք =- նյութական կետի միջին արագությունը
. Գտնենք այս հարաբերակցության սահմանը՝ հաշվի առնելով այն
.

Հետևաբար, նյութական կետի ակնթարթային արագության որոշումը կրճատվում է մինչև ժամանակի նկատմամբ ուղու ածանցյալը գտնելը:

2.2. Ածանցյալի երկրաչափական արժեքը

Ենթադրենք, որ ունենք գրաֆիկորեն սահմանված ինչ-որ ֆունկցիա
.

Բրինձ. 1. Ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը

Եթե
, ապա կետը
, կշարժվի կորի երկայնքով՝ մոտենալով կետին
.

Ուստի
, այսինքն. ածանցյալի արժեքը՝ հաշվի առնելով փաստարկի արժեքը թվայինորեն հավասար է տվյալ կետում շոշափողի կողմից ձևավորված անկյան շոշափողին առանցքի դրական ուղղությամբ
.

2.3. Հիմնական տարբերակման բանաձևերի աղյուսակ.

Հզորության գործառույթ

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիա

լոգարիթմական ֆունկցիա

եռանկյունաչափական ֆունկցիա

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիա

2.4. Տարբերակման կանոններ.

-ի ածանցյալ

Գործառույթների գումարի (տարբերության) ածանցյալ


Երկու ֆունկցիայի արտադրյալի ածանցյալ


Երկու ֆունկցիաների քանորդի ածանցյալը


2.5. Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ։

Թող գործառույթը
այնպես, որ այն կարող է ներկայացվել որպես

և
, որտեղ փոփոխականը միջանկյալ փաստարկ է, ուրեմն

Կոմպլեքս ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է տվյալ ֆունկցիայի ածանցյալի արտադրյալին միջանկյալ արգումենտի նկատմամբ x-ի նկատմամբ միջանկյալ փաստարկի ածանցյալով։

Օրինակ 1.

Օրինակ 2.

3. Ֆունկցիայի դիֆերենցիալ:

Թող լինի
, տարբերվող որոշակի ընդմիջումով
թող գնա ժամը այս ֆունկցիան ունի ածանցյալ

,

ապա կարող ես գրել

(1),

որտեղ - անսահման փոքր մեծություն,

քանի որ ժամը

Հավասարության բոլոր պայմանները (1) բազմապատկելով
մենք ունենք:

Որտեղ
- բ.մ.վ. ավելի բարձր կարգ.

Արժեք
կոչվում է ֆունկցիայի դիֆերենցիալ
և նշվում է

.

3.1. Դիֆերենցիալի երկրաչափական արժեքը.

Թող գործառույթը
.

Նկ.2. Դիֆերենցիալի երկրաչափական նշանակությունը.

.

Ակնհայտ է, որ ֆունկցիայի դիֆերենցիալը
հավասար է տվյալ կետում շոշափողի օրդինատի աճին։

3.2. Տարբեր կարգերի ածանցյալներ և դիֆերենցիալներ:

Եթե ​​այնտեղ
, ապա
կոչվում է առաջին ածանցյալ:

Առաջին ածանցյալի ածանցյալը կոչվում է երկրորդ կարգի ածանցյալ և գրվում է
.

Ֆունկցիայի n-րդ կարգի ածանցյալ
կոչվում է (n-1) կարգի ածանցյալ և գրվում.

.

Ֆունկցիայի դիֆերենցիալի դիֆերենցիալը կոչվում է երկրորդ դիֆերենցիալ կամ երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ։

.

.

3.3 Կենսաբանական խնդիրների լուծում՝ օգտագործելով տարբերակումը:

Առաջադրանք 1. Ուսումնասիրությունները ցույց են տվել, որ միկրոօրգանիզմների գաղութի աճը ենթարկվում է օրենքին
, որտեղ Ն - միկրոօրգանիզմների թիվը (հազարներով), տ - ժամանակը (օր):

բ) Այս ընթացքում գաղութի բնակչությունը կավելանա՞, թե՞ կնվազի:

Պատասխանել. Գաղութը կմեծանա չափերով։

Առաջադրանք 2. Լճում ջուրը պարբերաբար ստուգվում է ախտածին բակտերիաների պարունակությունը վերահսկելու համար: միջոցով տ Փորձարկումից օրեր անց բակտերիաների կոնցենտրացիան որոշվում է հարաբերակցությամբ

.

Ե՞րբ բակտերիաների նվազագույն կոնցենտրացիան կգա լճում և հնարավոր կլինի լողալ այնտեղ։

Լուծում Ֆունկցիան հասնում է max կամ min, երբ նրա ածանցյալը զրո է:

,

Եկեք որոշենք, որ առավելագույնը կամ նվազագույնը կլինի 6 օրից: Դա անելու համար մենք վերցնում ենք երկրորդ ածանցյալը:


Պատասխան՝ 6 օր հետո բակտերիաների նվազագույն կոնցենտրացիան կլինի։

    Սկսենք նրանից Միասնության լոգարիթմի հատկությունները. Դրա ձևակերպումը հետևյալն է. միասնության լոգարիթմը հավասար է զրոյի, այսինքն. գրանցվեք 1=0ցանկացած a>0, a≠1 համար: Ապացույցը պարզ է. քանի որ a 0 =1 ցանկացած a-ի համար, որը բավարարում է վերը նշված պայմանները a>0 և a≠1, ապա ապացուցված հավասարության գրանցամատյանը a 1=0 անմիջապես բխում է լոգարիթմի սահմանումից:

    Բերենք դիտարկվող հատկության կիրառման օրինակներ՝ log 3 1=0 , lg1=0 և .

    Անցնենք հաջորդ գույքին. հիմքին հավասար թվի լոգարիթմը հավասար է մեկի, այսինքն log a a=1համար a>0, a≠1: Իրոք, քանի որ a 1 =a ցանկացած a-ի համար, ապա լոգարիթմի սահմանմամբ log a=1:

    Լոգարիթմների այս հատկության օգտագործման օրինակներն են log 5 5=1, log 5.6 5.6 և lne=1:

    Օրինակ՝ log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 և .

    Երկու դրական թվերի արտադրյալի լոգարիթմ x և y-ը հավասար է այս թվերի լոգարիթմների արտադրյալին. log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Եկեք ապացուցենք արտադրանքի լոգարիթմի հատկությունը։ Շնորհիվ աստիճանի հատկությունների a log a x+log a y =a log a x a log a y, և քանի որ հիմնական լոգարիթմական նույնությամբ log a x =x և log a y =y, ապա log a x a log a y =x y: Այսպիսով, a log a x+log a y =x y, որտեղից պահանջվող հավասարությունը հետևում է լոգարիթմի սահմանմանը:

    Ներկայացնենք արտադրյալի լոգարիթմի հատկության օգտագործման օրինակներ՝ log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 և. .

    Արտադրյալի լոգարիթմի հատկությունը կարող է ընդհանրացվել x 1, x 2, …, x n դրական թվերի վերջավոր թվի արտադրյալին, ինչպես. log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Այս հավասարությունը հեշտությամբ ապացուցվում է։

    Օրինակ՝ արտադրյալի բնական լոգարիթմը կարելի է փոխարինել 4, e և . թվերի երեք բնական լոգարիթմների գումարով։

    Երկու դրական թվերի քանորդի լոգարիթմ x-ը և y-ը հավասար է այս թվերի լոգարիթմների տարբերությանը: Քաղորդի լոգարիթմի հատկությունը համապատասխանում է ձևի բանաձևին, որտեղ a>0, a≠1, x և y որոշ դրական թվեր են: Այս բանաձևի վավերականությունը ապացուցված է արտադրանքի լոգարիթմի բանաձևի նման. քանի որ , ապա լոգարիթմի սահմանմամբ .

    Ահա լոգարիթմի այս հատկության օգտագործման օրինակ. .

    Անցնենք աստիճանի լոգարիթմի հատկություն. Աստիճանի լոգարիթմը հավասար է այս աստիճանի հիմքի ցուցիչի և մոդուլի լոգարիթմի արտադրյալին: Աստիճանի լոգարիթմի այս հատկությունը մենք գրում ենք բանաձևի տեսքով. log a b p =p log a |b|, որտեղ a>0, a≠1, b և p այնպիսի թվեր են, որ b p-ի աստիճանը իմաստ ունի, իսկ b p >0:

    Մենք նախ ապացուցում ենք այս հատկությունը դրական b-ի համար: Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը մեզ թույլ է տալիս b թիվը ներկայացնել որպես log a b , այնուհետև b p =(a log a b) p , և ստացված արտահայտությունը, շնորհիվ հզորության հատկության, հավասար է a p log a b: Այսպիսով, մենք գալիս ենք b p =a p log a b հավասարությանը, որից, ըստ լոգարիթմի սահմանման, եզրակացնում ենք, որ log a b p =p log a b:

    Մնում է ապացուցել այս հատկությունը բացասական b-ի համար: Այստեղ մենք նշում ենք, որ log a b p արտահայտությունը բացասական b-ի համար իմաստ ունի միայն p զույգ ցուցիչների համար (քանի որ b p աստիճանի արժեքը պետք է մեծ լինի զրոյից, հակառակ դեպքում լոգարիթմը իմաստ չի ունենա), և այս դեպքում b p =|b| էջ . Հետո b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, որտեղից log a b p =p log a |b| .

    Օրինակ, և ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3:

    Դա բխում է նախորդ գույքից լոգարիթմի հատկությունը արմատից n-րդ աստիճանի արմատի լոգարիթմը հավասար է 1/n կոտորակի և արմատային արտահայտության լոգարիթմի արտադրյալին, այսինքն. , որտեղ a>0, a≠1, n մեկից մեծ բնական թիվ է, b>0:

    Ապացույցը հիմնված է հավասարության վրա (տես), որը վավեր է ցանկացած դրական b-ի և աստիճանի լոգարիթմի հատկության վրա. .

    Ահա այս հատկության օգտագործման օրինակ. .

    Հիմա ապացուցենք փոխակերպման բանաձևը լոգարիթմի նոր հիմքինբարի . Դա անելու համար բավական է ապացուցել հավասարության log c b=log a b log c a . Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը մեզ թույլ է տալիս b թիվը ներկայացնել որպես log a b, ապա log c b=log c a log a b: Մնում է օգտագործել աստիճանի լոգարիթմի հատկությունը. log c a log a b = log a b log c a. Այսպիսով, ապացուցված է հավասարության log c b=log a b log c a, ինչը նշանակում է, որ ապացուցված է նաև լոգարիթմի նոր հիմքին անցնելու բանաձևը։

    Եկեք ցույց տանք լոգարիթմների այս հատկության կիրառման մի քանի օրինակ՝ և .

    Նոր բազա տեղափոխվելու բանաձևը թույլ է տալիս անցնել «հարմար» հիմք ունեցող լոգարիթմների հետ աշխատելուն: Օրինակ, այն կարող է օգտագործվել բնական կամ տասնորդական լոգարիթմներին անցնելու համար, որպեսզի կարողանաք հաշվարկել լոգարիթմի արժեքը լոգարիթմների աղյուսակից: Լոգարիթմի նոր հիմքի անցնելու բանաձևը նաև թույլ է տալիս որոշ դեպքերում գտնել տվյալ լոգարիթմի արժեքը, երբ հայտնի են որոշ լոգարիթմների արժեքներ այլ հիմքերով:

    Հաճախ օգտագործվում է լոգարիթմի նոր հիմքին անցնելու բանաձևի հատուկ դեպք c=b ձևի համար. . Սա ցույց է տալիս, որ log a b և log b a – . Օրինակ, .

    Նաև հաճախ օգտագործվում է բանաձևը , որն օգտակար է լոգարիթմի արժեքները գտնելու համար։ Մեր խոսքերը հաստատելու համար մենք ցույց կտանք, թե ինչպես է ձևի լոգարիթմի արժեքը հաշվարկվում դրա միջոցով: Մենք ունենք . Բանաձևն ապացուցելու համար բավական է օգտագործել լոգարիթմի նոր հիմքի անցման բանաձևը a. .

    Մնում է ապացուցել լոգարիթմների համեմատական ​​հատկությունները։

    Եկեք ապացուցենք, որ ցանկացած դրական թվերի համար b 1 և b 2 , b 1 log a b 2, իսկ a>1-ի համար անհավասարությունը log a b 1

    Ի վերջո, մնում է ապացուցել լոգարիթմների թվարկված հատկություններից վերջինը։ Մենք սահմանափակվում ենք դրա առաջին մասի ապացուցմամբ, այսինքն՝ ապացուցում ենք, որ եթե a 1 >1 , a 2 >1 և a 1. 1 ճշմարիտ է log a 1 b>log a 2 b . Նմանատիպ սկզբունքով ապացուցված են լոգարիթմների այս հատկության մնացած պնդումները։

    Եկեք օգտագործենք հակառակ մեթոդը. Ենթադրենք, որ 1 >1, 2 >1 և 1-ի համար 1 log a 1 b≤log a 2 b ճիշտ է: Ըստ լոգարիթմների հատկությունների, այս անհավասարությունները կարող են վերագրվել որպես և համապատասխանաբար, և դրանցից հետևում է, որ համապատասխանաբար log b a 1 ≤log b a 2 և log b a 1 ≥log b a 2։ Այնուհետև, ըստ նույն հիմքերով հզորությունների հատկությունների, պետք է բավարարվեն b log b a 1 ≥b log b a 2 և b log b a 1 ≥b log b a 2 հավասարությունները, այսինքն՝ a 1 ≥a 2: Այսպիսով, մենք հասանք a 1 պայմանի հակասության

Մատենագիտություն.

  • Կոլմոգորով Ա.Ն., Աբրամով Ա.Մ., Դուդնիցին Յու.Պ. և այլք Հանրահաշիվը և վերլուծության սկիզբը. Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների 10-11-րդ դասարանների համար.
  • Գուսև Վ.Ա., Մորդկովիչ Ա.Գ. Մաթեմատիկա (ձեռնարկ տեխնիկում դիմորդների համար).

առնչությամբ

Տրված մյուս երկուսից երեք թվերից որևէ մեկը գտնելու խնդիր կարող է դրվել: Տրված է a-ն, ապա N-ը գտնվում է աստիճանականությամբ: Եթե ​​տրվի N, ապա գտնվի a-ն՝ հանելով x (կամ հզորության) արմատը։ Այժմ դիտարկենք այն դեպքը, երբ տրված a-ին և N-ին, պահանջվում է գտնել x-ը:

Թող N թիվը լինի դրական՝ a թիվը դրական է և հավասար չէ մեկին.

Սահմանում. N թվի լոգարիթմը a հիմքի վրա այն ցուցիչն է, որի վրա պետք է բարձրացնել a՝ N թիվը ստանալու համար; լոգարիթմը նշվում է

Այսպիսով, հավասարության մեջ (26.1) ցուցիչը գտնվում է որպես N-ի լոգարիթմ a հիմքի նկատմամբ: Գրառումներ

ունեն նույն իմաստը. Հավասարությունը (26.1) երբեմն կոչվում է լոգարիթմների տեսության հիմնական նույնականացում. իրականում այն ​​արտահայտում է լոգարիթմի հասկացության սահմանումը։ Այս սահմանմամբ a լոգարիթմի հիմքը միշտ դրական է և տարբերվում է միասնությունից. լոգարիթմական N թիվը դրական է: Բացասական թվերն ու զրոն լոգարիթմներ չունեն։ Կարելի է ապացուցել, որ տրված հիմքով ցանկացած թիվ ունի հստակ սահմանված լոգարիթմ։ Հետևաբար, հավասարությունը ենթադրում է: Նկատի ունեցեք, որ պայմանն այստեղ էական է, հակառակ դեպքում եզրակացությունը արդարացված չէր լինի, քանի որ հավասարությունը ճշմարիտ է x-ի և y-ի ցանկացած արժեքի համար:

Օրինակ 1. Գտեք

Որոշում. Թիվը ստանալու համար անհրաժեշտ է 2-րդ բազան հասցնել հզորության, հետևաբար:

Նման օրինակներ լուծելիս կարող եք ձայնագրել հետևյալ ձևով.

Օրինակ 2. Գտեք .

Որոշում. Մենք ունենք

Օրինակներ 1-ում և 2-ում մենք հեշտությամբ գտանք ցանկալի լոգարիթմը՝ ներկայացնելով լոգարիթմական թիվը որպես հիմքի աստիճան ռացիոնալ ցուցիչով: Ընդհանուր դեպքում, օրինակ, և այլնի համար դա հնարավոր չէ անել, քանի որ լոգարիթմն ունի իռացիոնալ արժեք։ Ուշադրություն դարձնենք այս հայտարարության հետ կապված մեկ հարցի. § 12-ում մենք տվել ենք տվյալ դրական թվի ցանկացած իրական հզորության որոշման հնարավորության հայեցակարգը: Սա անհրաժեշտ էր լոգարիթմների ներդրման համար, որոնք, ընդհանուր առմամբ, կարող են լինել իռացիոնալ թվեր։

Դիտարկենք լոգարիթմների որոշ հատկություններ:

Հատկություն 1. Եթե թիվը և հիմքը հավասար են, ապա լոգարիթմը հավասար է մեկի, և հակառակը, եթե լոգարիթմը հավասար է մեկին, ապա թիվը և հիմքը հավասար են։

Ապացույց. Թող Լոգարիթմի սահմանմամբ մենք ունենք և որտեղից

Ընդհակառակը, թող Հետո ըստ սահմանման

Հատկություն 2. Ցանկացած հիմքի միասնության լոգարիթմը հավասար է զրոյի:

Ապացույց. Լոգարիթմի սահմանմամբ (ցանկացած դրական հիմքի զրոյական հզորությունը հավասար է մեկի, տես (10.1)): Այստեղից

Ք.Ե.Դ.

Ճիշտ է նաև հակառակ պնդումը. եթե , ապա N = 1: Իսկապես, մենք ունենք .

Նախքան լոգարիթմների հետևյալ հատկությունը նշելը, մենք համաձայն ենք ասել, որ երկու a և b թվեր գտնվում են երրորդ c թվի նույն կողմում, եթե երկուսն էլ մեծ են c-ից կամ փոքր են c-ից: Եթե ​​այս թվերից մեկը մեծ է c-ից, իսկ մյուսը փոքր է c-ից, ապա ասում ենք, որ դրանք գտնվում են c-ի հակառակ կողմերում:

Հատկություն 3. Եթե թիվը և հիմքը գտնվում են միասնության նույն կողմում, ապա լոգարիթմը դրական է. եթե թիվը և հիմքը գտնվում են միասնության հակառակ կողմերում, ապա լոգարիթմը բացասական է:

3-ի հատկության ապացույցը հիմնված է այն փաստի վրա, որ a-ի աստիճանը մեկից մեծ է, եթե հիմքը մեծ է մեկից, և աստիճանը դրական է, կամ հիմքը մեկից փոքր է, իսկ աստիճանը բացասական է։ Աստիճանը մեկից փոքր է, եթե հիմքը մեկից մեծ է, և աստիճանը բացասական է, կամ հիմքը մեկից փոքր է, և աստիճանը դրական է:

Պետք է դիտարկել չորս դեպք.

Մենք սահմանափակվում ենք դրանցից առաջինի վերլուծությամբ, մնացածը ընթերցողն ինքնուրույն կդիտարկի։

Թող հավասարության չափանիշը լինի ոչ բացասական, ոչ էլ հավասար զրոյի, հետևաբար, այն դրական է, այսինքն՝ ինչն ապացուցել էր պահանջվում։

Օրինակ 3. Պարզեք, թե ստորև բերված լոգարիթմներից որոնք են դրական, որոնք՝ բացասական.

Լուծում, ա) քանի որ 15 թիվը և 12 հիմքը գտնվում են միավորի նույն կողմում.

բ) քանի որ 1000-ը և 2-ը գտնվում են միավորի նույն կողմում. Միևնույն ժամանակ, էական չէ, որ հիմքը մեծ լինի լոգարիթմական թվից.

գ), քանի որ 3.1-ը և 0.8-ը գտնվում են միասնության հակառակ կողմերում.

G) ; ինչու՞

ե) ; ինչու՞

Հետևյալ 4-6 հատկությունները հաճախ անվանում են լոգարիթմի կանոններ. դրանք թույլ են տալիս, իմանալով որոշ թվերի լոգարիթմները, գտնել նրանցից յուրաքանչյուրի արտադրյալի լոգարիթմները, քանորդը, աստիճանը։

Հատկություն 4 (արտադրանքի լոգարիթմի կանոն): Տվյալ հիմքում մի քանի դրական թվերի արտադրյալի լոգարիթմը հավասար է նույն բազայի այս թվերի լոգարիթմների գումարին։

Ապացույց. Թող տրվեն դրական թվեր։

Նրանց արտադրյալի լոգարիթմի համար մենք գրում ենք լոգարիթմը սահմանող հավասարությունը (26.1).

Այստեղից մենք գտնում ենք

Համեմատելով առաջին և վերջին արտահայտությունների ցուցիչները՝ ստանում ենք պահանջվող հավասարությունը.

Նշենք, որ պայմանը էական է. Երկու բացասական թվերի արտադրյալի լոգարիթմը իմաստ ունի, բայց այս դեպքում մենք ստանում ենք

Ընդհանուր առմամբ, եթե մի քանի գործոնների արտադրյալը դրական է, ապա դրա լոգարիթմը հավասար է այդ գործոնների մոդուլների լոգարիթմների գումարին։

Հատկություն 5 (քաղորդի լոգարիթմի կանոն): Դրական թվերի քանորդի լոգարիթմը հավասար է դիվիդենտի և բաժանարարի լոգարիթմների տարբերությանը, վերցված նույն հիմքում։ Ապացույց. Հետևողականորեն գտնել

Ք.Ե.Դ.

Հատկություն 6 (աստիճանի լոգարիթմի կանոն). Ցանկացած դրական թվի հզորության լոգարիթմը հավասար է այդ թվի լոգարիթմին՝ ցուցիչի վրա։

Ապացույց. Մենք նորից գրում ենք հիմնական ինքնությունը (26.1) համարի համար.

Ք.Ե.Դ.

Հետևանք. Դրական թվի արմատի լոգարիթմը հավասար է արմատային թվի լոգարիթմին, որը բաժանվում է արմատի ցուցիչի վրա.

Այս եզրակացության վավերականությունը կարող ենք ապացուցել՝ ներկայացնելով ինչպես և օգտագործելով 6 հատկությունը։

Օրինակ 4. Լոգարիթմ հիմքում a:

ա) (ենթադրվում է, որ բոլոր արժեքները b, c, d, e դրական են);

բ) (ենթադրվում է, որ):

Լուծում, ա) Այս արտահայտության մեջ հարմար է անցնել կոտորակային հզորությունների.

Ելնելով (26.5)-(26.7) հավասարություններից՝ այժմ կարող ենք գրել.

Նկատում ենք, որ թվերի լոգարիթմների վրա կատարվում են ավելի պարզ գործողություններ, քան բուն թվերը՝ թվերը բազմապատկելիս գումարվում են դրանց լոգարիթմները, բաժանելիս՝ հանվում և այլն։

Այդ իսկ պատճառով լոգարիթմներն օգտագործվել են հաշվողական պրակտիկայում (տե՛ս Բաժ. 29):

Լոգարիթմին հակադարձ գործողությունը կոչվում է հզորացում, այն է՝ հզորացումն այն գործողությունն է, որով այս թիվը ինքնին գտնվում է թվի տրված լոգարիթմով։ Ըստ էության, հզորացումը որևէ հատուկ գործողություն չէ. այն հանգում է բազայի բարձրացմանը մինչև հզորության (հավասար թվի լոգարիթմին): «Պոտենցիացիա» տերմինը կարելի է համարել «աստիճանավորում» տերմինի հոմանիշը։

Հզորացնելիս անհրաժեշտ է օգտագործել լոգարիթմի կանոններին հակադարձ կանոններ. լոգարիթմների գումարը փոխարինել արտադրյալի լոգարիթմով, լոգարիթմների տարբերությունը գործակցի լոգարիթմով և այլն։ Մասնավորապես, եթե կա. ցանկացած գործոն լոգարիթմի նշանի դիմաց, ապա հզորացման ժամանակ այն պետք է տեղափոխվի լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող ցուցիչի աստիճանների։

Օրինակ 5. Գտե՛ք N, եթե հայտնի է, որ

Որոշում. Հենց նոր ասված հզորացման կանոնի հետ կապված՝ 2/3 և 1/3 գործակիցները, որոնք գտնվում են այս հավասարության աջ կողմում գտնվող լոգարիթմների նշանների դիմաց, կփոխանցվեն այս լոգարիթմների նշանների տակ գտնվող ցուցիչներին. մենք ստանում ենք

Այժմ լոգարիթմների տարբերությունը փոխարինում ենք քանորդի լոգարիթմով.

Այս հավասարումների շղթայում վերջին կոտորակը ստանալու համար մենք ազատեցինք նախորդ կոտորակը հայտարարի իռացիոնալությունից (բաժին 25):

Հատկություն 7. Եթե հիմքը մեկից մեծ է, ապա մեծ թիվն ունի ավելի մեծ լոգարիթմ (իսկ փոքրը՝ փոքր), եթե հիմքը մեկից փոքր է, ապա մեծ թիվն ունի ավելի փոքր լոգարիթմ (իսկ փոքրը). մեկն ունի ավելի մեծ):

Այս հատկությունը նույնպես ձևակերպված է որպես կանոն անհավասարությունների լոգարիթմի համար, որի երկու մասերը դրական են.

Անհավասարությունների լոգարիթմը մեկից մեծ հիմքի վրա տանելիս պահպանվում է անհավասարության նշանը, իսկ լոգարիթմը մեկից փոքր հիմքի վրա վերցնելիս անհավասարության նշանը հակադարձվում է (տես նաև կետ 80):

Ապացույցը հիմնված է 5-րդ և 3-րդ հատկությունների վրա: Դիտարկենք այն դեպքը, երբ Եթե , ապա և, հաշվի առնելով լոգարիթմը, մենք ստանում ենք.

(a-ն և N/M-ը գտնվում են միասնության նույն կողմում): Այստեղից

Հետևյալ դեպքում ընթերցողն ինքը կպարզի:

Մենք նաև խորհուրդ ենք տալիս
Բեռնվում է...Բեռնվում է...