Ինչպես լուծել քառակուսի արմատը: Ինչպես արագ հանել քառակուսի արմատները

Գրագիտության նշան հանդիսացող բազմաթիվ գիտելիքների մեջ առաջին տեղում այբուբենն է։ Հաջորդ՝ նույն «նշան» տարրը գումարում-բազմապատկման հմտություններն են և դրանց կից, բայց իմաստով հակադարձ՝ հանում-բաժանման թվաբանական գործողությունները։ Հեռավոր դպրոցական մանկության մեջ սովորած հմտությունները հավատարմորեն ծառայում են գիշեր-ցերեկ՝ հեռուստացույց, թերթ, SMS, Եվ ամենուր, որտեղ մենք կարդում ենք, գրում, հաշվում, ավելացնում, հանում, բազմապատկում: Եվ, ասա, հաճա՞խ եք ստիպված եղել արմատներ գցել կյանքում, բացի երկրից։ Օրինակ, այնպիսի զվարճալի խնդիր, ինչպիսին է 12345 թվի քառակուսի արմատը… Կարո՞ղ ենք դա անել: Այո, ավելի հեշտ բան չկա: Որտե՞ղ է իմ հաշվիչը... Իսկ առանց դրա՝ ձեռք-ձեռքի, թույլ։

Նախ, եկեք պարզաբանենք, թե դա ինչ է. Քառակուսի արմատթվեր։ Ընդհանրապես, «արմատ հանել թվից» նշանակում է կատարել թվաբանական գործողություն, որը հակառակ է հզորության բարձրացմանը. այստեղ դուք ունեք հակադրությունների միասնությունը կյանքի կիրառման մեջ: ասենք քառակուսին ինքն իրենով թվի բազմապատկումն է, այսինքն՝ ինչպես սովորեցնում էին դպրոցում՝ X * X = A կամ մեկ այլ նշումով X2 = A, իսկ բառերով՝ «X քառակուսի հավասար է A»: Այնուհետև հակադարձ խնդիրը հնչում է այսպես. A թվի քառակուսի արմատը X թիվն է, որը քառակուսու դեպքում հավասար է Ա-ին:

Քառակուսի արմատի հանում

Թվաբանության դպրոցական դասընթացից հայտնի են «սյունակում» հաշվարկների մեթոդներ, որոնք օգնում են կատարել ցանկացած հաշվարկ՝ օգտագործելով առաջին չորսը. թվաբանական գործողություններ. Ավաղ... Քառակուսու, և ոչ միայն քառակուսու համար, նման ալգորիթմների արմատներ գոյություն չունեն: Իսկ այս դեպքում ինչպե՞ս հանել քառակուսի արմատն առանց հաշվիչի։ Ելնելով քառակուսի արմատի սահմանումից՝ կա միայն մեկ եզրակացություն՝ անհրաժեշտ է ընտրել արդյունքի արժեքը թվերի հաջորդական թվարկումով, որոնց քառակուսին մոտենում է արմատային արտահայտության արժեքին։ Միայն և ամեն ինչ։ Մեկ-երկու ժամ չանցած, այն կարելի է հաշվարկել «սյունակի»՝ ցանկացած քառակուսի արմատի մեջ բազմապատկելու հայտնի մեթոդով։ Եթե ​​ունեք հմտություններ, դրա համար մի քանի րոպեն բավական է։ Նույնիսկ ոչ այնքան առաջադեմ հաշվիչը կամ համակարգչի օգտագործողը դա անում է մեկ հարվածով` առաջընթաց:

Բայց եթե լուրջ, ապա քառակուսի արմատի հաշվարկը հաճախ կատարվում է «հրետանային պատառաքաղ» տեխնիկայի միջոցով. նախ վերցնում են մի թիվ, որի քառակուսին մոտավորապես համապատասխանում է արմատային արտահայտությանը: Ավելի լավ է «մեր հրապարակը» այս արտահայտությունից մի փոքր պակաս լինի։ Հետո ըստ իրենց հմտության-ըմբռնման ուղղում են թիվը, օրինակ՝ բազմապատկում են երկուսով, և ... նորից քառակուսի են տալիս։ Եթե ​​արդյունքը ավելի մեծ է, քան արմատի տակ գտնվող թիվը, հաջորդաբար կարգավորելով սկզբնական թիվը, աստիճանաբար մոտենալով արմատի տակ գտնվող իր «գործընկերոջը»: Ինչպես տեսնում եք, հաշվիչ չկա, միայն «սյունակում» հաշվելու հնարավորություն: Իհարկե, կան բազմաթիվ գիտականորեն հիմնավորված և օպտիմիզացված ալգորիթմներ քառակուսի արմատը հաշվարկելու համար, սակայն «տնային օգտագործման» համար վերը նշված տեխնիկան արդյունքի նկատմամբ 100% վստահություն է տալիս:

Այո, ես գրեթե մոռացել էի, որպեսզի հաստատենք մեր բարձրացված գրագիտությունը, մենք հաշվարկում ենք նախկինում նշված 12345 թվի քառակուսի արմատը: Դա անում ենք քայլ առ քայլ.

1. Վերցրեք, զուտ ինտուիտիվ, X=100: Եկեք հաշվարկենք՝ X * X = 10000: Ինտուիցիան վերևում է՝ արդյունքը 12345-ից փոքր է:

2. Փորձենք, նաև զուտ ինտուիտիվ, X = 120. Հետո՝ X * X = 14400. Եվ նորից ինտուիցիայով հերթականությունը՝ արդյունքը 12345-ից ավելի է։

3. Վերևում ստացվում է 100 և 120 թվերի «պատառաքաղ», ընտրենք նոր թվեր՝ 110 և 115։ Ստանում ենք համապատասխանաբար 12100 և 13225՝ պատառաքաղը նեղանում է։

4. Փորձում ենք «գուցե» X = 111-ի վրա: Մենք ստանում ենք X * X = 12321: Այս թիվն արդեն բավականին մոտ է 12345-ին: Պահանջվող ճշգրտության համաձայն, «կցումը» կարելի է շարունակել կամ դադարեցնել ստացված արդյունքը: Այսքանը: Ինչպես խոստացել էր, ամեն ինչ շատ պարզ է և առանց հաշվիչի:

Բավականին պատմություն...

Մտածելով օգտագործելու մասին քառակուսի արմատներդեռ Պյութագորասները՝ դպրոցի աշակերտները և Պյութագորասի հետևորդները, մ.թ.ա. 800 տարի։ և հենց այնտեղ «բախվեց» թվերի ոլորտում նոր բացահայտումների։ Իսկ որտեղի՞ց է այն առաջացել։

1. Արմատի արդյունահանմամբ խնդրի լուծումը, արդյունքը տալիս է նոր դասի թվերի տեսքով։ Նրանց անվանել են իռացիոնալ, այլ կերպ ասած՝ «անհիմն», քանի որ. դրանք որպես ամբողջական թիվ չեն գրվում։ Այս տեսակի ամենադասական օրինակը 2-ի քառակուսի արմատն է: Այս դեպքը համապատասխանում է 1-ին հավասար կողմ ունեցող քառակուսու անկյունագծի հաշվարկին. ահա, Պյութագորասի դպրոցի ազդեցությունը: Պարզվեց, որ կողմերի շատ կոնկրետ միավորի չափով եռանկյունու մեջ հիպոթենուսն ունի չափ, որն արտահայտվում է «վերջ չունեցող» թվով։ Այսպիսով, մաթեմատիկայի մեջ հայտնվեց

2. Հայտնի է, որ պարզվել է, որ սա մաթեմատիկական գործողությունպարունակում է ևս մեկ բռնում` արմատից հանելը, մենք չգիտենք, թե որ թվի որ քառակուսին, դրական թե բացասական, արմատային արտահայտությունն է: Այս անորոշությունը՝ մեկ գործողության կրկնակի արդյունքը, գրված է:

Այս երեւույթի հետ կապված խնդիրների ուսումնասիրությունը մաթեմատիկայի մեջ դարձել է ուղղություն, որը կոչվում է բարդ փոփոխականի տեսություն, որը մեծ գործնական նշանակություն ունի մաթեմատիկական ֆիզիկայում։

Հետաքրքիր է, որ արմատային նշանակումը՝ արմատական, օգտագործվել է իր «Համընդհանուր թվաբանությունում» նույն ամենուրեք տարածված Ի. Նյուտոնի կողմից, բայց հենց ժամանակակից տեսքԱրմատային գրառումը հայտնի է 1690 թվականից ֆրանսիացի Ռոլլի «Հանրահաշվի ուղեցույց» գրքից։

Մաթեմատիկան ծնվել է այն ժամանակ, երբ մարդը գիտակցել է իր մասին և սկսել իրեն դիրքավորել որպես աշխարհի ինքնավար միավոր: Չափելու, համեմատելու, հաշվարկելու ցանկությունը, թե ինչ է ձեզ շրջապատում, ահա թե ինչի հիմքում ընկած է մեր օրերի հիմնարար գիտություններից մեկը: Սկզբում դրանք տարրական մաթեմատիկայի մասնիկներ էին, որոնք հնարավորություն տվեցին թվերը կապել նրանց ֆիզիկական արտահայտությունների հետ, հետագայում եզրակացությունները սկսեցին ներկայացվել միայն տեսականորեն (դրանց վերացականության պատճառով), բայց որոշ ժամանակ անց, ինչպես ասում էր մի գիտնական. մաթեմատիկան հասավ բարդության առաստաղին, երբ բոլոր թվերը »: «Քառակուսի արմատ» հասկացությունը ի հայտ եկավ այն ժամանակ, երբ այն հեշտությամբ կարող էր հաստատվել էմպիրիկ տվյալների միջոցով՝ դուրս գալով հաշվարկների հարթությունից:

Ինչպես ամեն ինչ սկսվեց

Արմատի առաջին հիշատակումը, որը վրա այս պահիննշվում է որպես √, գրանցվել է բաբելոնացի մաթեմատիկոսների գրվածքներում, որոնք հիմք են դրել ժամանակակից թվաբանությանը։ Իհարկե, դրանք մի փոքր նման էին ներկայիս ձևին՝ այն տարիների գիտնականներն առաջին անգամ օգտագործեցին մեծածավալ հաբեր։ Սակայն մ.թ.ա. երկրորդ հազարամյակում։ ե. նրանք եկան մոտավոր հաշվարկման բանաձև, որը ցույց էր տալիս, թե ինչպես կարելի է վերցնել քառակուսի արմատը: Ստորև բերված լուսանկարը ցույց է տալիս մի քար, որի վրա բաբելոնացի գիտնականները փորագրել են ելքային գործընթացը √2, և այն այնքան ճիշտ է պարզվել, որ պատասխանի անհամապատասխանությունը հայտնաբերվել է միայն տասներորդ տասնորդական տեղում:

Բացի այդ, արմատն օգտագործվում էր, եթե անհրաժեշտ էր գտնել եռանկյան կողմը, պայմանով, որ մյուս երկուսը հայտնի լինեն: Դե, քառակուսի հավասարումներ լուծելիս արմատը հանելուց փախուստ չկա։

Բաբելոնյան աշխատությունների հետ մեկտեղ հոդվածի առարկան ուսումնասիրվել է նաև չինական «Մաթեմատիկան ինը գրքում» աշխատությունում, և հին հույները եկել են այն եզրակացության, որ ցանկացած թիվ, որից արմատը չի հանվում առանց մնացորդի, տալիս է իռացիոնալ արդյունք։ .

Այս տերմինի ծագումը կապված է թվի արաբական ներկայացման հետ. հին գիտնականները կարծում էին, որ կամայական թվի քառակուսին աճում է արմատից, ինչպես բույսը: Լատիներեն այս բառը հնչում է որպես radix (կարելի է հետևել օրինաչափությանը. այն ամենը, ինչ ունի «արմատ» իմաստային բեռ, համահունչ է, լինի դա բողկ, թե ռադիկուլիտ):

Հետագա սերունդների գիտնականներն ընդունեցին այս գաղափարը՝ այն անվանելով Rx: Օրինակ՝ 15-րդ դարում, որպեսզի նշեն, որ քառակուսի արմատը վերցված է կամայական ա թվից, գրել են Ռ 2 ա։ Սովորական ժամանակակից տեսք«տիզը» √ հայտնվել է միայն 17-րդ դարում Ռենե Դեկարտի շնորհիվ։

Մեր օրերը

Մաթեմատիկորեն y-ի քառակուսի արմատը այն z թիվն է, որի քառակուսին y է: Այլ կերպ ասած, z 2 =y-ը համարժեք է √y=z-ին: Այնուամենայնիվ, այս սահմանումը տեղին է միայն թվաբանական արմատի համար, քանի որ այն ենթադրում է արտահայտության ոչ բացասական արժեք: Այլ կերպ ասած, √y=z, որտեղ z-ը մեծ է կամ հավասար է 0-ի:

Ընդհանուր առմամբ, որը վավեր է հանրահաշվական արմատը որոշելու համար, արտահայտության արժեքը կարող է լինել կամ դրական կամ բացասական։ Այսպիսով, շնորհիվ z 2 =y և (-z) 2 =y, մենք ունենք՝ √y=±z կամ √y=|z|:

Շնորհիվ այն բանի, որ մաթեմատիկայի հանդեպ սերը միայն աճել է գիտության զարգացման հետ մեկտեղ, կան դրան կապվածության տարբեր դրսեւորումներ, որոնք արտահայտված չեն չոր հաշվարկներով։ Օրինակ, այնպիսի հետաքրքիր իրադարձությունների հետ, ինչպիսին է Պի օրը, նշվում են նաև քառակուսի արմատի տոները։ Հարյուր տարում դրանք նշվում են ինը անգամ և որոշվում են հետևյալ սկզբունքով՝ այն թվերը, որոնք հերթականությամբ նշում են օրն ու ամիսը, պետք է լինեն տարվա քառակուսի արմատը։ Այո, ներս հաջորդ անգամԱյս տոնը կնշվի 2016 թվականի ապրիլի 4-ին։

Քառակուսի արմատի հատկությունները դաշտի վրա Ռ

Գրեթե բոլոր մաթեմատիկական արտահայտություններն ունեն երկրաչափական հիմք, այս ճակատագիրը չի անցել և √y, որը սահմանվում է որպես y մակերեսով քառակուսի կողմ։

Ինչպե՞ս գտնել թվի արմատը:

Կան մի քանի հաշվարկային ալգորիթմներ. Ամենապարզը, բայց միևնույն ժամանակ բավականին ծանրաբեռնված, սովորական թվաբանական հաշվարկն է, որը հետևյալն է.

1) այն թվից, որի արմատը մեզ անհրաժեշտ է, կենտ թվերը հերթով հանվում են, քանի դեռ ելքի մնացորդը պակաս է հանվածից կամ զույգ. զրո. Շարժումների քանակը ի վերջո կդառնա ցանկալի թիվը: Օրինակ՝ 25-ի քառակուսի արմատը հաշվարկելը.

Հաջորդ կենտ թիվը 11 է, մնացորդը՝ 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Նման դեպքերի համար կա Taylor շարքի ընդլայնում.

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n, որտեղ n-ը արժեքներ է ընդունում 0-ից մինչև

+∞, և |y|≤1.

z=√y ֆունկցիայի գրաֆիկական ներկայացում

Դիտարկենք տարրական z=√y ֆունկցիա R իրական թվերի դաշտում, որտեղ y-ը մեծ է կամ հավասար է զրոյի: Նրա աղյուսակն ունի հետևյալ տեսքը.

Կորը աճում է սկզբից և անպայման անցնում է կետը (1; 1):

R իրական թվերի դաշտում z=√y ֆունկցիայի հատկությունները

1. Դիտարկվող ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը զրոյից մինչև գումարած անվերջություն միջակայքն է (զրոն ներառված է):

2. Դիտարկվող ֆունկցիայի արժեքների միջակայքը զրոյից մինչև գումարած անվերջություն միջակայքն է (զրոն կրկին ներառված է):

3. Ֆունկցիան ընդունում է նվազագույն արժեքը (0) միայն (0; 0) կետում։ Առավելագույն արժեք չկա:

4. Z=√y ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ:

5. Z=√y ֆունկցիան պարբերական չէ։

6. Կա z=√y ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետը կոորդինատային առանցքների հետ՝ (0; 0):

7. z=√y ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետը նույնպես այս ֆունկցիայի զրո է։

8. Z=√y ֆունկցիան անընդհատ աճում է։

9. Z=√y ֆունկցիան ընդունում է միայն դրական արժեքներ, հետևաբար, նրա գրաֆիկը զբաղեցնում է առաջին կոորդինատային անկյունը։

z=√y ֆունկցիան ցուցադրելու տարբերակներ

Մաթեմատիկայում բարդ արտահայտությունների հաշվարկը հեշտացնելու համար երբեմն օգտագործում են քառակուսի արմատը գրելու ուժային ձևը՝ √y=y 1/2։ Այս տարբերակը հարմար է, օրինակ, ֆունկցիան հզորության հասցնելու համար՝ (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2: Այս մեթոդը նաև լավ ներկայացում է ինտեգրման հետ տարբերակման համար, քանի որ դրա շնորհիվ քառակուսի արմատը ներկայացված է սովորական հզորության ֆունկցիայով։

Իսկ ծրագրավորման մեջ √ նշանի փոխարինումը sqrt տառերի համակցությունն է։

Հարկ է նշել, որ այս տարածքում քառակուսի արմատը մեծ պահանջարկ ունի, քանի որ այն հաշվարկների համար անհրաժեշտ երկրաչափական բանաձևերի մեծ մասի մաս է կազմում։ Հաշվիչ ալգորիթմն ինքնին բավականին բարդ է և հիմնված է ռեկուրսիայի վրա (գործառույթ, որն իրեն կանչում է):

Քառակուսի արմատը բարդ դաշտում C

Մեծ հաշվով, հենց այս հոդվածի թեման խթանեց C բարդ թվերի դաշտի հայտնաբերումը, քանի որ մաթեմատիկոսներին հետապնդում էր բացասական թվից զույգ աստիճանի արմատ ստանալու հարցը: Այսպես հայտնվեց i երևակայական միավորը, որը բնութագրվում է մի շատ հետաքրքիր հատկությամբ՝ նրա քառակուսին -1 է։ Դրա շնորհիվ քառակուսի հավասարումները նույնպես լուծվեցին բացասական դիսկրիմինանտով։ C-ում քառակուսի արմատի համար համապատասխան են նույն հատկությունները, ինչ R-ում, միակ բանն այն է, որ արմատական ​​արտահայտության սահմանափակումները հանվում են։

Քառակուսի հողամասի մակերեսը կազմում է 81 դմ²։ Գտեք նրա կողմը: Ենթադրենք, քառակուսու կողմի երկարությունը հավասար է Xդեցիմետրեր։ Այնուհետև հողամասի մակերեսն է X² քառակուսի դեցիմետր: Քանի որ, պայմանի համաձայն, այս տարածքը կազմում է 81 դմ², ապա X² = 81. Քառակուսու կողմի երկարությունը դրական թիվ է: Դրական թիվը, որի քառակուսին 81 է, դա 9 թիվն է։ Խնդիրը լուծելիս պահանջվում էր գտնել x թիվը, որի քառակուսին 81 է, այսինքն՝ լուծել հավասարումը։ X² = 81: Այս հավասարումն ունի երկու արմատ. x 1 = 9 և x 2 \u003d - 9, քանի որ 9² \u003d 81 և (- 9)² \u003d 81: 9 և - 9 թվերն էլ կոչվում են 81 թվի քառակուսի արմատներ:

Նշենք, որ քառակուսի արմատներից մեկը X= 9-ը դրական թիվ է: Այն կոչվում է 81 թվի թվաբանական քառակուսի արմատ և նշանակվում է √81, ուստի √81 = 9:

Թվի թվաբանական քառակուսի արմատ բայցոչ բացասական թիվ է, որի քառակուսին հավասար է բայց.

Օրինակ, 6 և -6 թվերը 36-ի քառակուսի արմատներն են: 6 թիվը 36-ի թվաբանական քառակուսի արմատն է, քանի որ 6-ը ոչ բացասական թիվ է, իսկ 6² = 36: -6 թիվը թվաբանական արմատ չէ:

Թվի թվաբանական քառակուսի արմատ բայցնշվում է հետևյալ կերպ՝ √ բայց.

Նշանը կոչվում է թվաբանական քառակուսի արմատի նշան; բայցկոչվում է արմատային արտահայտություն: Արտահայտություն √ բայցկարդալ այսպես՝ թվի թվաբանական քառակուսի արմատ բայց.Օրինակ, √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7: Այն դեպքերում, երբ պարզ է, որ մենք խոսում ենքթվաբանական արմատի մասին հակիրճ ասում են՝ «քառակուսի արմատը բայց«.

Թվի քառակուսի արմատը գտնելու գործողությունը կոչվում է քառակուսի արմատ վերցնել: Այս գործողությունը քառակուսու հակառակն է:

Ցանկացած թիվ կարող է քառակուսի լինել, բայց ոչ բոլոր թվերը կարող են լինել քառակուսի արմատներ: Օրինակ՝ անհնար է հանել թվի քառակուսի արմատը՝ 4։ Եթե այդպիսի արմատ է եղել, ապա այն նշելով տառով։ X, մենք կստանանք սխալ հավասարություն x² \u003d - 4, քանի որ ձախ կողմում կա ոչ բացասական թիվ, իսկ աջ կողմում բացասական թիվ:

Արտահայտություն √ բայցիմաստ ունի միայն այն ժամանակ, երբ a ≥ 0. Քառակուսի արմատի սահմանումը հակիրճ կարելի է գրել այսպես՝ √ a ≥ 0, (√բայց)² = բայց. Հավասարություն (√ բայց)² = բայցվավերական է a ≥ 0. Այսպիսով, համոզվելու համար, որ ոչ բացասական թվի քառակուսի արմատը բայցհավասար է բ, այսինքն, որ √ բայց =բ, դուք պետք է ստուգեք, որ հետևյալ երկու պայմանները բավարարված են. b ≥ 0, բ² = բայց.

Կոտորակի քառակուսի արմատը

Եկեք հաշվարկենք. Նկատի ունեցեք, որ √25 = 5, √36 = 6, և ստուգեք, արդյոք հավասարությունը պահպանվում է:

Որովհետեւ և , ապա հավասարությունը ճշմարիտ է: Այսպիսով, .

Թեորեմ.Եթե բայց≥ 0 և բ> 0, այսինքն կոտորակի արմատը հավասար է արմատինհայտարարի արմատի վրա բաժանված համարիչից. Պահանջվում է ապացուցել, որ և .

Քանի որ √ բայց≥0 և √ բ> 0, ապա .

Կոտորակը մեծացնելու և քառակուսի արմատը որոշելու հատկությամբ թեորեմն ապացուցված է. Դիտարկենք մի քանի օրինակ։

Հաշվիր՝ ըստ ապացուցված թեորեմի .

Երկրորդ օրինակ. Ապացուցիր դա , եթե բայց ≤ 0, բ < 0. .

Մեկ այլ օրինակ՝ Հաշվիր։

.

Քառակուսի արմատի փոխակերպում

Արմատի նշանի տակից հանելով բազմապատկիչը։ Թող արտահայտություն լինի. Եթե բայց≥ 0 և բ≥ 0, ապա արտադրյալի արմատի թեորեմով կարող ենք գրել.

Նման փոխակերպումը կոչվում է արմատային նշանի ֆակտորինգ: Դիտարկենք մի օրինակ;

Հաշվել ժամը X= 2. Ուղղակի փոխարինում X= 2 արմատական ​​արտահայտության մեջ հանգեցնում է բարդ հաշվարկների: Այս հաշվարկները կարող են պարզեցվել, եթե սկզբում հանենք գործոնները արմատային նշանի տակից. Այժմ փոխարինելով x = 2, մենք ստանում ենք.

Այսպիսով, արմատական ​​նշանի տակից գործակիցը հանելիս արմատական ​​արտահայտությունը ներկայացվում է որպես արտադրյալ, որում մեկ կամ մի քանի գործակից ոչ բացասական թվերի քառակուսիներն են։ Այնուհետև կիրառվում է արմատային արտադրանքի թեորեմը և վերցվում է յուրաքանչյուր գործոնի արմատը: Դիտարկենք օրինակ. Պարզեցրե՛ք A = √8 + √18 - 4√2 արտահայտությունը՝ առաջին երկու անդամներում արմատի նշանի տակից հանելով գործոնները, ստանում ենք. Շեշտում ենք, որ հավասարությունը վավեր է միայն այն ժամանակ, երբ բայց≥ 0 և բ≥ 0. եթե բայց < 0, то .

Շատ հաճախ խնդիրներ լուծելիս բախվում ենք մեծ թվերի, որոնցից պետք է քաղել Քառակուսի արմատ. Շատ ուսանողներ որոշում են, որ դա սխալ է և սկսում են լուծել ամբողջ օրինակը: Ոչ մի դեպքում դա չպետք է արվի: Դրա համար երկու պատճառ կա.

1. Արմատները սկսած մեծ թվերիրականում առաջանում են առաջադրանքներում: Հատկապես տեքստում;
2. Կա ալգորիթմ, որով այս արմատները դիտարկվում են գրեթե բանավոր:

Մենք այսօր կքննարկենք այս ալգորիթմը: Միգուցե որոշ բաներ ձեզ անհասկանալի թվան։ Բայց եթե ուշադրություն դարձնեք այս դասին, դուք կստանաք ամենահզոր զենքը դրա դեմ քառակուսի արմատներ.

Այսպիսով, ալգորիթմը.

1. Սահմանափակեք ցանկալի արմատը վերևից և ներքևից մինչև 10-ի բազմապատիկ: Այսպիսով, մենք կնվազեցնենք որոնման տիրույթը մինչև 10 համար;
2. Այս 10 թվերից մաքրեք նրանց, որոնք հաստատ արմատներ չեն կարող լինել: Արդյունքում կմնա 1-2 թիվ;
3. Այս 1-2 թվերը քառակուսի դարձրեք: Դրանցից այն, որի քառակուսին հավասար է սկզբնական թվին, կլինի արմատը։

Մինչ այս ալգորիթմի գործնականում աշխատելը, եկեք նայենք յուրաքանչյուր առանձին քայլին:

Արմատների սահմանափակում

Նախևառաջ պետք է պարզել, թե որ թվերի միջև է գտնվում մեր արմատը։ Շատ ցանկալի է, որ թվերը լինեն տասի բազմապատիկ.

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Մենք ստանում ենք թվերի շարք.

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Ի՞նչ են մեզ տալիս այս թվերը: Դա պարզ է՝ մենք սահմաններ ենք ստանում: Վերցնենք, օրինակ, 1296 թիվը: Այն գտնվում է 900-ի և 1600-ի միջև: Հետևաբար, դրա արմատը չի կարող լինել 30-ից փոքր և 40-ից մեծ:

[Նկարի վերնագիր]

Նույնը ցանկացած այլ թվի դեպքում, որից կարող եք գտնել քառակուսի արմատը: Օրինակ, 3364:

[Նկարի վերնագիր]

Այսպիսով, անհասկանալի թվի փոխարեն մենք ստանում ենք շատ կոնկրետ տիրույթ, որի մեջ ընկած է սկզբնական արմատը: Որոնման շրջանակն ավելի նեղացնելու համար անցեք երկրորդ քայլին:

Ակնհայտ ավելորդ թվերի վերացում

Այսպիսով, մենք ունենք 10 թիվ՝ արմատի թեկնածուներ։ Մենք դրանք շատ արագ ստացանք՝ առանց բարդ մտածելու ու սյունակում բազմապատկելու։ Շարժվելու ժամանակն է.

Հավատում եք, թե ոչ, հիմա մենք կնվազեցնենք թեկնածուների թիվը երկուսի, և կրկին առանց որևէ բարդ հաշվարկի: բավական է իմանալ հատուկ կանոն. Ահա այն:

Քառակուսու վերջին թվանշանը կախված է միայն վերջին թվանշանից բնօրինակ համարը.

Այլ կերպ ասած, բավական է նայել քառակուսու վերջին թվանշանին, և մենք անմիջապես կհասկանանք, թե որտեղ է ավարտվում սկզբնական թիվը։

Կան ընդամենը 10 թվանշան, որոնք կարող են կանգնել վերջին տեղը. Փորձենք պարզել, թե ինչի են դրանք վերածվում քառակուսու վրա։ Նայեք աղյուսակին.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Այս աղյուսակը ևս մեկ քայլ է արմատը հաշվարկելու համար: Ինչպես տեսնում եք, երկրորդ տողի թվերը հինգի նկատմամբ սիմետրիկ են ստացվել։ Օրինակ:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Ինչպես տեսնում եք, վերջին թվանշանը երկու դեպքում էլ նույնն է։ Իսկ սա նշանակում է, որ, օրինակ, 3364-ի արմատը անպայման ավարտվում է 2-ով կամ 8-ով։ Մյուս կողմից, մենք հիշում ենք նախորդ պարբերության սահմանափակումը։ Մենք ստանում ենք.

[Նկարի վերնագիր]

Կարմիր քառակուսիները ցույց են տալիս, որ մենք դեռ չգիտենք այս ցուցանիշը։ Բայց ի վերջո, արմատը գտնվում է 50-ի և 60-ի միջև, որի վրա կան միայն երկու թվեր, որոնք ավարտվում են 2-ով և 8-ով.

[Նկարի վերնագիր]

Այսքանը: Բոլոր հնարավոր արմատներից մենք թողեցինք միայն երկու տարբերակ: Եվ սա ամենադժվար դեպքում է, քանի որ վերջին թվանշանը կարող է լինել 5 կամ 0: Եվ այդ դեպքում արմատների միակ թեկնածուն կմնա:

Վերջնական հաշվարկներ

Այսպիսով, մեզ մնացել է 2 թեկնածուական համար։ Ինչպե՞ս գիտեք, թե որն է արմատը: Պատասխանն ակնհայտ է՝ երկու թվերն էլ քառակուսի։ Այն մեկը, որը քառակուսի է դնում, կտա սկզբնական թիվը և կլինի արմատը:

Օրինակ՝ 3364 թվի համար մենք գտանք երկու թեկնածուական թիվ՝ 52 և 58։ Եկեք դրանք քառակուսի դարձնենք.

52 2 \u003d (50 +2) 2 \u003d 2500 + 2 50 2 + 4 \u003d 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 60 2 + 4 \u003d 3364:

Այսքանը: Պարզվեց, որ արմատը 58 է: Միաժամանակ, հաշվարկները պարզեցնելու համար օգտագործեցի գումարի և տարբերության քառակուսիների բանաձևը։ Դրա շնորհիվ դուք նույնիսկ ստիպված չեք եղել բազմապատկել թվերը սյունակում: Սա հաշվարկների օպտիմալացման ևս մեկ մակարդակ է, բայց, իհարկե, լրիվ ընտրովի է :)

Արմատային հաշվարկի օրինակներ

Տեսությունը լավն է, իհարկե։ Բայց եկեք փորձարկենք դա գործնականում:

[Նկարի վերնագիր]

Նախ, եկեք պարզենք, թե որ թվերի միջև է գտնվում 576 թիվը.

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Հիմա նայենք վերջին թվին։ Այն հավասար է 6-ի: Ե՞րբ է դա տեղի ունենում: Միայն եթե արմատն ավարտվում է 4-ով կամ 6-ով: Ստանում ենք երկու թիվ.

Մնում է յուրաքանչյուր թիվը քառակուսի դնել և համեմատել բնօրինակի հետ.

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Լավ! Առաջին քառակուսին պարզվեց, որ հավասար է սկզբնական թվին։ Այսպիսով, սա է արմատը:

Առաջադրանք. Հաշվիր քառակուսի արմատը.

[Նկարի վերնագիր]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Դիտարկենք վերջին թիվը.

1369 → 9;
33; 37.

Եկեք հրապարակենք այն.

33 2 \u003d (30 + 3) 2 \u003d 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 ≠ 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 \u003d 1600 - 2 40 3 + 9 \u003d 1369:

Ահա պատասխանը՝ 37.

Առաջադրանք. Հաշվիր քառակուսի արմատը.

[Նկարի վերնագիր]

Մենք սահմանափակում ենք թիվը.

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Դիտարկենք վերջին թիվը.

2704 → 4;
52; 58.

Եկեք հրապարակենք այն.

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Պատասխանը ստացանք՝ 52։ Երկրորդ թիվն այլևս քառակուսի դնելու կարիք չի լինի։

Առաջադրանք. Հաշվիր քառակուսի արմատը.

[Նկարի վերնագիր]

Մենք սահմանափակում ենք թիվը.

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Դիտարկենք վերջին թիվը.

4225 → 5;
65.

Ինչպես տեսնում եք, երկրորդ քայլից հետո մնում է միայն մեկ տարբերակ՝ 65. Սա ցանկալի արմատն է։ Բայց եկեք այն դեռ քառակուսի դարձնենք և ստուգենք.

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Ամեն ինչ ճիշտ է։ Գրում ենք պատասխանը.

Եզրակացություն

Ավաղ, ավելի լավ չէ: Եկեք նայենք պատճառներին: Դրանցից երկուսն են.

• Արգելվում է հաշվիչներ օգտագործել ցանկացած նորմալ մաթեմատիկայի քննության ժամանակ, լինի դա GIA կամ միասնական պետական ​​քննություն: Իսկ հաշվիչը դասարան տանելու համար նրանց հեշտությամբ կարող են դուրս հանել քննությունից:
• Մի նմանվեք հիմար ամերիկացիներին. Որոնք արմատների նման չեն. նրանք չեն կարող ավելացնել երկու պարզ թվեր: Իսկ ֆրակցիաներ տեսնելիս հիմնականում հիստերիայի մեջ են ընկնում։

Այս հոդվածում մենք կներկայացնենք թվի արմատ հասկացությունը. Գործելու ենք հաջորդաբար՝ կսկսենք քառակուսի արմատից, դրանից կանցնենք նկարագրությանը խորանարդի արմատ, դրանից հետո ընդհանրացնում ենք արմատ հասկացությունը՝ սահմանելով n-րդ աստիճանի արմատը։ Միաժամանակ կներկայացնենք սահմանումներ, նշումներ, կտանք արմատների օրինակներ և կտանք անհրաժեշտ բացատրություններ և մեկնաբանություններ։

Քառակուսի արմատ, թվաբանական քառակուսի արմատ

Թվի արմատի և մասնավորապես քառակուսի արմատի սահմանումը հասկանալու համար պետք է ունենալ . Այս պահին մենք հաճախ կհանդիպենք թվի երկրորդ հզորության՝ թվի քառակուսու:

Սկսենք նրանից քառակուսի արմատների սահմանումներ.

Սահմանում

ա–ի քառակուսի արմատըայն թիվն է, որի քառակուսին a է:

Բերելու համար քառակուսի արմատների օրինակներՎերցրեք մի քանի թվեր, օրինակ՝ 5, −0.3, 0.3, 0 և քառակուսիացրեք դրանք, ստանում ենք համապատասխանաբար 25, 0.09, 0.09 և 0 թվերը (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25, (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0.3) 2 =0.3 0.3=0.09 և 0 2 =0 0=0): Այնուհետև, ըստ վերը նշված սահմանման, 5-ը 25-ի քառակուսի արմատն է, −0.3-ը և 0.3-ը 0.09-ի քառակուսի արմատներն են, իսկ 0-ը զրոյի քառակուսի արմատն է:

Հարկ է նշել, որ ոչ մի թվի համար գոյություն չունի a, որի քառակուսին հավասար է a-ի: Մասնավորապես, ցանկացած բացասական թվի համար չկա իրական թիվ b, որի քառակուսին հավասար կլինի a-ի: Իրոք, a=b 2 հավասարությունն անհնար է որևէ բացասական a-ի համար, քանի որ b 2-ը ոչ բացասական թիվ է ցանկացած b-ի համար: Այս կերպ, Իրական թվերի բազմության վրա բացասական թվի քառակուսի արմատ չկա. Այսինքն՝ իրական թվերի բազմության վրա բացասական թվի քառակուսի արմատը սահմանված չէ և իմաստ չունի։

Սա հանգեցնում է տրամաբանական հարցի. «Արդյո՞ք a-ի քառակուսի արմատ կա որևէ ոչ բացասական a-ի համար»: Պատասխանը այո է: Այս փաստի հիմնավորումը կարելի է համարել կառուցողական մեթոդ, որն օգտագործվում է քառակուսի արմատի արժեքը գտնելու համար:

Այնուհետև առաջանում է հետևյալ տրամաբանական հարցը՝ «Որքա՞ն է տրված ոչ բացասական a թվի բոլոր քառակուսի արմատների թիվը՝ մեկ, երկու, երեք, կամ նույնիսկ ավելի»։ Ահա դրա պատասխանը. եթե a-ն զրո է, ապա զրոյի միակ քառակուսի արմատը զրո է. եթե a-ն ինչ-որ դրական թիվ է, ապա a թվից քառակուսի արմատների թիվը հավասար է երկուսի, իսկ արմատները՝ . Սա հիմնավորենք.

Սկսենք a=0 դեպքից: Նախ ցույց տանք, որ զրոն իսկապես զրոյի քառակուսի արմատն է: Սա բխում է 0 2 =0·0=0 ակնհայտ հավասարությունից և քառակուսի արմատի սահմանումից։

Հիմա ապացուցենք, որ 0-ը զրոյի միակ քառակուսի արմատն է։ Եկեք օգտագործենք հակառակ մեթոդը. Ենթադրենք, որ կա b ոչ զրոյական թիվ, որը զրոյի քառակուսի արմատն է: Այնուհետև b 2 =0 պայմանը պետք է բավարարվի, ինչը անհնար է, քանի որ ցանկացած ոչ զրոյական b-ի համար b 2 արտահայտության արժեքը դրական է։ Մենք եկել ենք հակասության. Սա ապացուցում է, որ 0-ն զրոյի միակ քառակուսի արմատն է:

Անցնենք այն դեպքերին, երբ a-ն դրական թիվ է։ Վերևում ասացինք, որ ցանկացած ոչ բացասական թվի մեջ միշտ կա քառակուսի արմատ, թող b լինի a-ի քառակուսի արմատը: Ասենք, որ կա c թիվ, որը նույնպես a-ի քառակուսի արմատն է: Այնուհետև քառակուսի արմատի սահմանմամբ վավեր են b 2 =a և c 2 =a հավասարությունները, որից հետևում է, որ b 2 −c 2 =a−a=0, բայց քանի որ b 2 −c 2 =( b−c) (b+c) , ապա (b−c) (b+c)=0 . Ստացված հավասարությունը ուժի մեջ Իրական թվերով գործողությունների հատկություններըհնարավոր է միայն, երբ b−c=0 կամ b+c=0 . Այսպիսով, b և c թվերը հավասար են կամ հակադիր:

Եթե ​​ենթադրենք, որ կա d թիվ, որը a թվի մեկ այլ քառակուսի արմատն է, ապա արդեն տրվածներին նման պատճառաբանությամբ ապացուցվում է, որ d-ն հավասար է b թվին կամ c թվին։ Այսպիսով, դրական թվի քառակուսի արմատների թիվը երկու է, իսկ քառակուսի արմատները հակադիր թվեր են։

Քառակուսի արմատներով աշխատելու հարմարության համար բացասական արմատառանձնանում է դրականից. Այդ նպատակով այն ներկայացնում է թվաբանական քառակուսի արմատի սահմանում.

Սահմանում

Ոչ բացասական թվի թվաբանական քառակուսի արմատ աոչ բացասական թիվ է, որի քառակուսին հավասար է a-ի:

a թվի թվաբանական քառակուսի արմատի համար նշումն ընդունված է։ Նշանը կոչվում է թվաբանական քառակուսի արմատի նշան։ Այն նաև կոչվում է ռադիկալի նշան։ Հետևաբար, մասամբ կարող եք լսել և՛ «արմատ», և՛ «արմատական», ինչը նշանակում է նույն օբյեկտը:

Թվաբանական քառակուսի արմատի նշանի տակ գտնվող թիվը կոչվում է արմատային համարը, և արտահայտությունը արմատային նշանի տակ - արմատական ​​արտահայտություն, մինչդեռ «արմատական ​​թիվ» տերմինը հաճախ փոխարինվում է «արմատական ​​արտահայտությամբ»։ Օրինակ՝ նշման մեջ 151 թիվը արմատական ​​թիվ է, իսկ նշումում՝ a արտահայտությունը արմատական ​​արտահայտություն է։

Ընթերցանության ժամանակ «թվաբանություն» բառը հաճախ բաց է թողնվում, օրինակ՝ մուտքն ընթերցվում է որպես «Յոթ կետի քսանինը հարյուրերորդականի քառակուսի արմատ»։ «Թվաբանություն» բառն արտասանվում է միայն այն ժամանակ, երբ ուզում են ընդգծել, որ խոսքը թվի դրական քառակուսի արմատի մասին է։

Ներածված նշումի լույսի ներքո թվաբանական քառակուսի արմատի սահմանումից հետևում է, որ ցանկացած ոչ բացասական թվի համար a .

Դրական a թվի քառակուսի արմատները գրվում են՝ օգտագործելով քառակուսի արմատի թվաբանական նշանը և . Օրինակ, 13-ի քառակուսի արմատներն են և . Զրոյի թվաբանական քառակուսի արմատը զրո է, այսինքն՝ . Բացասական ա թվերի համար մենք գրառումներին նշանակություն չենք տա, քանի դեռ չենք ուսումնասիրել կոմպլեքս թվեր. Օրինակ, արտահայտությունները եւ անիմաստ են։

Քառակուսի արմատի սահմանման հիման վրա ապացուցված են քառակուսի արմատների հատկությունները, որոնք հաճախ օգտագործվում են գործնականում։

Այս ենթաբաժինը եզրափակելու համար մենք նշում ենք, որ թվի քառակուսի արմատները x 2 =a ձևի լուծումներ են x փոփոխականի նկատմամբ:

խորանարդի արմատը

Խորանարդի արմատի սահմանումը a թիվը տրված է քառակուսի արմատի սահմանման նման ձևով: Միայն այն հիմնված է ոչ թե քառակուսի, այլ թվի խորանարդի գաղափարի վրա:

Սահմանում

ա–ի խորանարդ արմատըկոչվում է այն թիվը, որի խորանարդը հավասար է a-ի:

Եկեք բերենք օրինակներ խորանարդի արմատներ . Դա անելու համար վերցրեք մի քանի թվեր, օրինակ՝ 7 , 0 , −2/3 , և դրանք խորանարդեք՝ 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Այնուհետև, հիմնվելով խորանարդի արմատի սահմանման վրա, կարող ենք ասել, որ 7 թիվը 343-ի խորանարդային արմատն է, 0-ը զրոյի խորանարդային արմատն է, իսկ −2/3-ը −8/27-ի խորանարդի արմատն է։

Կարելի է ցույց տալ, որ a թվի խորանարդ արմատը, ի տարբերություն քառակուսի արմատի, միշտ գոյություն ունի, և ոչ միայն ոչ բացասական a, այլ նաև ցանկացած իրական թվի համար։ Դա անելու համար կարող եք օգտագործել նույն մեթոդը, որը մենք նշեցինք քառակուսի արմատն ուսումնասիրելիս:

Ընդ որում, տրված a թվի միայն մեկ խորանարդ արմատ կա։ Փաստենք վերջին պնդումը. Դա անելու համար հաշվի առեք երեք դեպք առանձին՝ a-ն դրական թիվ է, a=0, իսկ a-ն՝ բացասական թիվ։

Հեշտ է ցույց տալ, որ դրական a-ի համար a-ի խորանարդ արմատը չի կարող լինել ոչ բացասական, ոչ էլ զրո: Իսկապես, թող b լինի a-ի խորանարդային արմատը, ապա ըստ սահմանման մենք կարող ենք գրել b 3 =a հավասարությունը: Պարզ է, որ այս հավասարությունը չի կարող ճշմարիտ լինել b-ի և b=0-ի համար, քանի որ այս դեպքերում b 3 =b·b·b կլինի համապատասխանաբար բացասական թիվ կամ զրո: Այսպիսով, a դրական թվի խորանարդային արմատը դրական թիվ է:

Հիմա ենթադրենք, որ b թվից բացի a թվից կա ևս մեկ խորանարդ արմատ, նշանակենք այն c։ Ապա c 3 =a. Հետևաբար, b 3 −c 3 =a−a=0, բայց b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(սա կրճատված բազմապատկման բանաձևն է խորանարդների տարբերությունը), որտեղից (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Ստացված հավասարությունը հնարավոր է միայն այն դեպքում, երբ b−c=0 կամ b 2 +b c+c 2 =0: Առաջին հավասարությունից ունենք b=c, իսկ երկրորդ հավասարությունը լուծումներ չունի, քանի որ նրա ձախ կողմը դրական թիվ է b և c դրական թվերի համար՝ որպես b 2, b c և c 2 երեք դրական անդամների գումար: Սա ապացուցում է դրական a թվի խորանարդային արմատի եզակիությունը։

a=0-ի համար a-ի միակ խորանարդ արմատը զրո է: Իսկապես, եթե ենթադրենք, որ կա b թիվը, որը զրոյի ոչ զրոյական խորանարդ արմատ է, ապա պետք է պահպանվի b 3 =0 հավասարությունը, որը հնարավոր է միայն b=0 .

Բացասական a-ի համար կարելի է վիճարկել դրական a-ի դեպքի նման: Նախ, մենք ցույց ենք տալիս, որ բացասական թվի խորանարդային արմատը չի կարող հավասար լինել ոչ դրական թվի, ոչ էլ զրոյի: Երկրորդ, մենք ենթադրում ենք, որ կա բացասական թվի երկրորդ խորանարդային արմատ և ցույց ենք տալիս, որ այն անպայման կհամընկնի առաջինի հետ:

Այսպիսով, ցանկացած իրական a թվի խորանարդ արմատը միշտ կա և միայն մեկը:

Եկեք տանք թվաբանական խորանարդի արմատի սահմանում.

Սահմանում

Ոչ բացասական թվի թվաբանական խորանարդ արմատը aկոչվում է ոչ բացասական թիվը, որի խորանարդը հավասար է a-ի:

Ոչ բացասական a թվի թվաբանական խորանարդի արմատը նշվում է որպես , նշանը կոչվում է թվաբանական խորանարդ արմատի նշան, այս նշման մեջ 3 թիվը կոչվում է. արմատային ցուցիչ. Արմատային նշանի տակ թիվն է արմատային համարը, արմատային նշանի տակ արտահայտությունն է արմատական ​​արտահայտություն.

Թեև թվաբանական խորանարդի արմատը սահմանվում է միայն ոչ բացասական a թվերի համար, սակայն հարմար է նաև օգտագործել այն գրառումները, որոնցում բացասական թվերը գտնվում են թվաբանական խորանարդի արմատի նշանի տակ։ Մենք դրանք կհասկանանք հետևյալ կերպ՝ , որտեղ a-ն դրական թիվ է։ Օրինակ, .

Արմատների հատկությունների ընդհանուր հոդվածում կխոսենք խորանարդի արմատների հատկությունների մասին։

Խորանարդային արմատի արժեքը հաշվարկելը կոչվում է խորանարդի արմատ հանելը, այս գործողությունը քննարկվում է արմատներ հանող հոդվածում՝ մեթոդներ, օրինակներ, լուծումներ։

Այս ենթաբաժինը եզրափակելու համար ասում ենք, որ a-ի խորանարդ արմատը x 3 =a ձևի լուծումն է:

N-րդ արմատ, n-ի թվաբանական արմատ

Մենք ընդհանրացնում ենք թվից արմատ հասկացությունը՝ ներկայացնում ենք n-րդ արմատի որոշումհամար n.

Սահմանում

ա-ի n-րդ արմատըթիվ է, որի n-րդ աստիճանը հավասար է a-ի։

Այս սահմանումից պարզ է դառնում, որ a թվից առաջին աստիճանի արմատը հենց a թիվն է, քանի որ աստիճանը բնական ցուցիչով ուսումնասիրելիս վերցրել ենք 1 = ա։

Վերևում դիտարկել ենք n-րդ աստիճանի արմատի հատուկ դեպքեր n=2 և n=3-ի համար՝ քառակուսի և խորանարդ արմատ: Այսինքն՝ քառակուսի արմատը երկրորդ աստիճանի արմատն է, իսկ խորանարդը՝ երրորդ աստիճանի արմատը։ n=4, 5, 6, ... n-րդ աստիճանի արմատներն ուսումնասիրելու համար հարմար է դրանք բաժանել երկու խմբի՝ առաջին խումբ՝ զույգ աստիճանների արմատներ (այսինքն՝ n=4, 6-ի համար։ , 8, ...), երկրորդ խումբը՝ արմատները կենտ աստիճաններ (այսինքն՝ n=5, 7, 9, ... ի համար)։ Դա պայմանավորված է նրանով, որ զույգ աստիճանների արմատները նման են քառակուսի արմատին, իսկ կենտ աստիճանի արմատները՝ խորանարդ արմատին։ Եկեք հերթով զբաղվենք դրանցով:

Մենք սկսում ենք արմատներից, որոնց ուժերն են զույգ թվեր 4, 6, 8, ... Ինչպես արդեն ասացինք, դրանք նման են a-ի քառակուսի արմատին։ Այսինքն՝ a թվից ցանկացած զույգ աստիճանի արմատ գոյություն ունի միայն ոչ բացասական a-ի համար։ Ընդ որում, եթե a=0, ապա a-ի արմատը եզակի է և հավասար է զրոյի, իսկ եթե a>0, ապա a թվից զույգ աստիճանի երկու արմատ կա, և դրանք հակադիր թվեր են։

Արդարացնենք վերջին պնդումը. Թող b լինի զույգ աստիճանի արմատ (մենք այն նշում ենք 2 մ, որտեղ m-ը որոշ է բնական թիվ) ա թվից. Ենթադրենք, որ կա c թիվը, ևս 2 մ արմատ a-ի: Ապա b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Բայց մենք գիտենք b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) ձևը: (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), ապա (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Այս հավասարությունից հետևում է, որ b−c=0 , կամ b+c=0 , կամ b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Առաջին երկու հավասարությունները նշանակում են, որ b և c թվերը հավասար են, կամ b և c թվերը հակառակ են: Իսկ վերջին հավասարությունը վավեր է միայն b=c=0-ի համար, քանի որ նրա ձախ կողմը պարունակում է արտահայտություն, որը ոչ բացասական է ցանկացած b-ի և c-ի համար՝ որպես ոչ բացասական թվերի գումար։

Ինչ վերաբերում է կենտ n-ի n-րդ աստիճանի արմատներին, ապա դրանք նման են խորանարդի արմատին։ Այսինքն՝ a թվից ցանկացած կենտ աստիճանի արմատ գոյություն ունի a ցանկացած իրական թվի համար, իսկ տրված a թվի համար այն եզակի է։

a թվից 2·m+1 կենտ աստիճանի արմատի եզակիությունն ապացուցվում է a-ից խորանարդ արմատի եզակիության ապացույցի անալոգիայով։ Միայն այստեղ՝ հավասարության փոխարեն a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) b 2 m+1 −c 2 m+1 = ձևի հավասարություն (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Վերջին փակագծում արտահայտությունը կարելի է վերաշարադրել այսպես b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Օրինակ m=2-ի համար ունենք b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Երբ a-ն և b-ն երկուսն էլ դրական են կամ երկուսն էլ բացասական, նրանց արտադրյալը դրական թիվ է, ապա b 2 +c 2 +b·c արտահայտությունը, որը գտնվում է բնադրման ամենաբարձր աստիճանի փակագծերում, դրական է որպես դրականի գումար: թվեր։ Այժմ, հաջորդաբար անցնելով նախորդ բնադրման աստիճանների փակագծերի արտահայտություններին, համոզվում ենք, որ դրանք նույնպես դրական են որպես դրական թվերի գումարներ։ Արդյունքում մենք ստանում ենք, որ հավասարությունը b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0հնարավոր է միայն, երբ b−c=0 , այսինքն՝ երբ b թիվը հավասար է c թվին:

Ժամանակն է զբաղվել n-րդ աստիճանի արմատների նշումով։ Դրա համար տրված է n-րդ աստիճանի թվաբանական արմատի որոշում.

Սահմանում

Ոչ բացասական թվի n-րդ աստիճանի թվաբանական արմատըկոչվում է ոչ բացասական թիվ, որի n-րդ աստիճանը հավասար է a-ի։