տուն > Առողջապահություն

Օրինակներ են ռացիոնալ և իռացիոնալ ցուցիչներով աստիճանները: Թվի աստիճան՝ սահմանումներ, նշանակումներ, օրինակներ


Այս հոդվածում մենք կհասկանանք, թե ինչ է դա աստիճանը. Այստեղ կտանք թվի աստիճանի սահմանումներ՝ միաժամանակ մանրամասնորեն դիտարկելով աստիճանի բոլոր հնարավոր ցուցիչները՝ սկսած բնական ցուցիչով, վերջացրած իռացիոնալով։ Նյութում դուք կգտնեք աստիճանների բազմաթիվ օրինակներ, որոնք ընդգրկում են ծագող բոլոր նրբությունները:

Էջի նավարկություն.

Աստիճան բնական ցուցիչով, թվի քառակուսի, թվի խորանարդ

Սկսենք նրանից. Առաջ նայելով, ասենք, որ a-ի աստիճանի սահմանումը բնական ցուցիչով n տրված է a-ի համար, որը մենք կանվանենք. աստիճանի հիմք, և n, որը մենք կանվանենք ցուցիչ. Մենք նաև նշում ենք, որ բնական ցուցիչով աստիճանը որոշվում է արտադրանքի միջոցով, ուստի ստորև ներկայացված նյութը հասկանալու համար անհրաժեշտ է պատկերացում ունենալ թվերի բազմապատկման մասին։

Սահմանում.

n բնական ցուցիչով a թվի հզորությունը a n ձևի արտահայտությունն է, որի արժեքը հավասար է n գործոնի արտադրյալին, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է a-ի, այսինքն՝ .
Մասնավորապես, 1 ցուցիչով a թվի աստիճանը ինքնին a թիվն է, այսինքն՝ a 1 =a:

Անմիջապես արժե նշել աստիճաններ կարդալու կանոնները։ Ունիվերսալ ճանապարհ a n մուտքը կարդալը հետևյալն է. Որոշ դեպքերում ընդունելի են նաև նման տարբերակները՝ «ա-ն n-րդ աստիճանին» և «ա թվի n-րդ աստիճանին»։ Օրինակ, եկեք վերցնենք 8 12-ի հզորությունը, սա «ութը տասներկուի ուժին», կամ «ութը տասներկուերորդ աստիճանին», կամ «ութի տասներկուերորդ ուժին»:

Թվի երկրորդ հզորությունը, ինչպես նաև թվի երրորդ ուժը, ունեն իրենց անունները։ Թվի երկրորդ հզորությունը կոչվում է թվի քառակուսին, օրինակ, 7 2-ը կարդացվում է որպես «յոթ քառակուսի» կամ «յոթ թվի քառակուսի»։ Թվի երրորդ ուժը կոչվում է խորանարդի համարը, օրինակ, 5 3-ը կարելի է կարդալ որպես «հինգ խորանարդ» կամ ասել «5 թվի խորանարդ»։

Ժամանակն է բերելու աստիճանների օրինակներ ֆիզիկական ցուցանիշներով. Սկսենք 5 7-ի հզորությունից, որտեղ 5-ը հզորության հիմքն է, իսկ 7-ը՝ ցուցանիշը։ Բերենք ևս մեկ օրինակ՝ 4.32-ը հիմքն է, իսկ 9-ը բնական թիվը (4.32) 9։

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ վերջին օրինակում 4.32 աստիճանի հիմքը գրված է փակագծերում՝ անհամապատասխանություններից խուսափելու համար փակագծերում կվերցնենք աստիճանի բոլոր այն հիմքերը, որոնք տարբերվում են բնական թվերից։ Որպես օրինակ՝ բնական ցուցանիշներով տալիս ենք հետևյալ աստիճանները , դրանց հիմքերը բնական թվեր չեն, ուստի դրանք գրված են փակագծերում։ Դե, այս պահին ամբողջական պարզության համար մենք ցույց կտանք (−2) 3 և −2 3 ձևերի գրառումներում պարունակվող տարբերությունը։ (−2) 3 արտահայտությունը −2-ի հզորությունն է 3 բնական ցուցիչով, իսկ −2 3 արտահայտությունը (այն կարելի է գրել −(2 3) ) համապատասխանում է թվին, 2 3 հզորության արժեքին։

Նկատի ունեցեք, որ կա a աստիճանի նշում a^n ձևի n ցուցիչով: Ընդ որում, եթե n-ը բազմարժեք բնական թիվ է, ապա ցուցիչը վերցվում է փակագծերում։ Օրինակ, 4^9-ը 4 9-ի հզորության ևս մեկ նշում է: Եվ ահա «^» նշանով աստիճաններ գրելու ավելի շատ օրինակներ՝ 14^(21) , (−2,1)^(155) : Հետևյալում մենք հիմնականում կօգտագործենք a n ձևի աստիճանի նշումը:

Բնական ցուցիչով հզորացման հակադարձ խնդիրներից մեկը աստիճանի հիմքը գտնելու խնդիրն է ըստ հայտնի արժեքաստիճան և հայտնի ցուցանիշ: Այս առաջադրանքը հանգեցնում է.

Հայտնի է, որ ռացիոնալ թվերի բազմությունը բաղկացած է ամբողջ թվերից և կոտորակային թվերից, և յուրաքանչյուրը. կոտորակային թիվկարող է ներկայացվել որպես դրական կամ բացասական ընդհանուր կոտորակ. Նախորդ պարբերությունում մենք աստիճանը սահմանեցինք ամբողջ թվով ցուցիչով, հետևաբար, աստիճանի սահմանումը լրացնելու համար ռացիոնալ ցուցանիշ, անհրաժեշտ է a թվի աստիճանի իմաստը տալ m/n կոտորակային ցուցիչով, որտեղ m-ն ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը՝ բնական թիվ։ Եկեք անենք դա.

Դիտարկենք աստիճանը ձևի կոտորակային ցուցիչով: Որպեսզի աստիճանի հատկությունը ուժի մեջ մնա, հավասարությունը պետք է պահպանվի . Եթե ​​հաշվի առնենք ստացված հավասարությունը և մեր սահմանած ձևը, ապա տրամաբանական է ընդունել, պայմանով, որ տրված m-ի, n-ի և a-ի համար արտահայտությունն իմաստ ունի։

Հեշտ է ստուգել, ​​որ ամբողջ թվով աստիճանի բոլոր հատկությունները վավեր են որպես (սա արվում է ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի հատկությունների բաժնում):

Վերոնշյալ պատճառաբանությունը թույլ է տալիս անել հետևյալը ելքըԵթե ​​տրված m-ի, n-ի և a-ի համար արտահայտությունն իմաստ ունի, ապա m/n կոտորակային ցուցիչով a թվի հզորությունը a-ի n-րդ աստիճանի արմատն է m հզորությանը:

Այս պնդումը մեզ մոտեցնում է աստիճանի սահմանմանը կոտորակային ցուցիչով: Մնում է միայն նկարագրել, թե m, n և a արտահայտությունն ինչ իմաստ ունի: Կախված m-ի, n-ի և a-ի վրա դրված սահմանափակումներից, կան երկու հիմնական մոտեցում.

    a-ն սահմանափակելու ամենահեշտ ձևը դրական m-ի համար a≥0 և բացասական m-ի համար a>0 (քանի որ m≤0-ն 0 մ հզորություն չունի): Այնուհետև ստանում ենք աստիճանի հետևյալ սահմանումը կոտորակային ցուցիչով.

    Սահմանում.

    m/n կոտորակային ցուցիչով դրական a թվի հզորությունը, որտեղ m-ն ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը՝ բնական թիվ, կոչվում է a թվի n-ի արմատը՝ m-ի հզորության, այսինքն՝ .

    Զրոյի կոտորակային աստիճանը նույնպես սահմանվում է միակ նախազգուշացմամբ, որ ցուցանիշը պետք է լինի դրական:

    Սահմանում.

    Մ/ն կոտորակային դրական ցուցիչով զրոյի հզորություն, որտեղ m-ը դրական ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը՝ բնական թիվ, սահմանվում է որպես .
    Երբ աստիճանը սահմանված չէ, այսինքն՝ զրո թվի աստիճանը կոտորակային բացասական ցուցիչով իմաստ չունի։

    Հարկ է նշել, որ կոտորակային ցուցիչով աստիճանի նման սահմանման դեպքում կա մեկ նրբերանգ՝ որոշ բացասական a-ի և որոշ m-ի և n-ի համար արտահայտությունն իմաստ ունի, և մենք այդ դեպքերը մերժեցինք՝ ներմուծելով a≥0 պայմանը: Օրինակ, իմաստ ունի գրել կամ , և վերը նշված սահմանումը մեզ ստիպում է ասել, որ աստիճանները ձևի կոտորակային ցուցիչով անիմաստ են, քանի որ հիմքը չպետք է բացասական լինի։

    Մ/ն կոտորակային ցուցիչով աստիճանը որոշելու մեկ այլ մոտեցում է արմատի զույգ և կենտ ցուցիչները առանձին դիտարկել: Այս մոտեցումը պահանջում է լրացուցիչ պայմանա թվի աստիճանը, որի ցուցիչը է, համարվում է ա թվի աստիճանը, որի ցուցիչը համապատասխան անկրճատելի կոտորակն է (այս պայմանի կարևորությունը կբացատրվի ստորև)։ Այսինքն, եթե m/n-ը անկրճատելի կոտորակ է, ապա ցանկացած բնական թվի համար k աստիճանը սկզբում փոխարինվում է .

    Նույնիսկ n-ի և դրական m-ի համար արտահայտությունը իմաստ ունի ցանկացած ոչ բացասական a-ի համար (բացասական թվից զույգ աստիճանի արմատը իմաստ չունի), բացասական m-ի համար a թիվը դեռ պետք է տարբերվի զրոյից (հակառակ դեպքում կա կլինի բաժանում զրոյի): Իսկ կենտ n-ի և դրական m-ի համար a թիվը կարող է լինել ցանկացած բան (կենտ աստիճանի արմատը սահմանվում է ցանկացածի համար իրական թիվ), իսկ բացասական m-ի համար a թիվը պետք է տարբերվի զրոյից (որպեսզի զրոյի բաժանում չլինի)։

    Վերոնշյալ պատճառաբանությունը մեզ տանում է աստիճանի այսպիսի սահմանման՝ կոտորակային ցուցիչով։

    Սահմանում.

    Թող m/n-ը լինի անկրճատելի կոտորակ, m-ը՝ ամբողջ, իսկ n-ը՝ բնական թիվ: Ցանկացած կրճատվող սովորական կոտորակի համար աստիճանը փոխարինվում է . Մ/ն անկրճատելի կոտորակային ցուցիչով a-ի հզորությունը համար է

    Եկեք բացատրենք, թե ինչու է կրճատվող կոտորակային ցուցիչով աստիճանը սկզբում փոխարինվում է անկրճատելի ցուցիչով աստիճանով: Եթե ​​մենք ուղղակի սահմանեինք աստիճանը որպես , և վերապահում չանեինք m/n կոտորակի անկրճատելիության վերաբերյալ, ապա կհանդիպեինք հետևյալի նման իրավիճակների. քանի որ 6/10=3/5, ապա հավասարությունը. , բայց , բայց .

«Ռացիոնալ ցուցիչով աստիճան» տեսադասը պարունակում է տեսողական ուսումնական նյութայս թեմայով դասավանդելու համար: Տեսանյութի ձեռնարկը պարունակում է տեղեկատվություն ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի հայեցակարգի, այդպիսի աստիճանների հատկությունների, ինչպես նաև օրինակներ, որոնք նկարագրում են ուսումնական նյութի օգտագործումը գործնական խնդիրների լուծման համար: Այս տեսադասի խնդիրն է տեսողական և հստակ ներկայացնել ուսումնական նյութը, հեշտացնել դրա մշակումն ու մտապահումը ուսանողների կողմից, ձևավորել սովորած հասկացությունների միջոցով խնդիրներ լուծելու կարողություն:

Տեսադասի հիմնական առավելություններն են տեսողական փոխակերպումներ և հաշվարկներ կատարելու ունակությունը, ուսուցման արդյունավետությունը բարելավելու համար անիմացիոն էֆեկտներ օգտագործելու ունակությունը: Ձայնի նվագակցությունը օգնում է ճիշտ մաթեմատիկական խոսքի զարգացմանը, ինչպես նաև հնարավորություն է տալիս փոխարինել ուսուցչի բացատրությունը՝ ազատելով նրան անհատական ​​աշխատանքի համար։

Տեսանյութի դասընթացը սկսվում է թեմայի ներկայացմամբ: Կապող ուսումնասիրություն նոր թեմաՆախկինում ուսումնասիրված նյութի հետ առաջարկվում է հիշել, որ n √ a-ն այլ կերպ նշանակվում է 1/n բնական n-ի և դրական a-ով: n-արմատի այս ներկայացումը ցուցադրվում է էկրանին: Այնուհետև, առաջարկվում է դիտարկել, թե ինչ է նշանակում a m/n արտահայտությունը, որում a-ն դրական թիվ է, իսկ m/n-ը՝ ինչ-որ կոտորակ: Վանդակում ընդգծված աստիճանի սահմանումը տրված է ռացիոնալ ցուցիչով՝ m/n = n √ a m: Նշվում է, որ n-ը կարող է լինել բնական թիվ, իսկ m-ը` ամբողջ թիվ:

Ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանը որոշելուց հետո դրա իմաստը բացահայտվում է օրինակներով՝ (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 ։ Ցուցադրված է նաև մի օրինակ, որտեղ տասնորդականով ներկայացված հզորությունը վերածվում է ընդհանուր կոտորակի՝ որպես արմատ ներկայացնելու համար՝ (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 և օրինակ բացասական արժեքաստիճաններ՝ 3 -1/8 \u003d 8 √3 -1:

Առանձին-առանձին նշվում է կոնկրետ դեպքի առանձնահատկությունը, երբ աստիճանի հիմքը զրո է: Նշվում է, որ այս աստիճանը իմաստ ունի միայն դրական կոտորակային ցուցանիշով: Այս դեպքում դրա արժեքը հավասար է զրոյի՝ 0 m/n =0։

Նշվում է ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի մեկ այլ առանձնահատկություն՝ այն, որ կոտորակային ցուցիչով աստիճանը չի կարող դիտարկվել կոտորակային ցուցիչով: Բերված են աստիճանի սխալ նշման օրինակներ՝ (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 ։

Հետագայում տեսադասում դիտարկվում են ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի հատկությունները: Նշվում է, որ ամբողջ թվով աստիճանի հատկությունները վավեր կլինեն նաև ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող աստիճանի համար։ Առաջարկվում է հիշել գույքերի ցանկը, որոնք գործում են նաև այս դեպքում.

  1. Ուժերը բազմապատկելիս նույն հիմքերըդրանց ցուցանիշները գումարվում են՝ a p a q =a p+q :
  2. Նույն հիմքերով աստիճանների բաժանումը կրճատվում է տրված հիմքով և աստիճանների տարբերությամբ՝ a p:a q =a p-q:
  3. Եթե ​​հզորությունը բարձրացնենք որոշակի հզորության, ապա արդյունքում ստանում ենք տրված հիմքով և ցուցանիշների արտադրյալի հզորությունը՝ (a p) q =a pq ։

Այս բոլոր հատկությունները վավեր են p, q ռացիոնալ ցուցիչներով և a>0 դրական հիմքով հզորությունների համար: Նաև աստիճանի փոխակերպումները ճշմարիտ են մնում փակագծերը բացելիս.

  1. (ab) p =a p b p - երկու թվերի արտադրյալը ռացիոնալ ցուցիչով որոշակի հզորության հասցնելը կրճատվում է թվերի արտադրյալի, որոնցից յուրաքանչյուրը բարձրացվում է տրված հզորության:
  2. (a/b) p =a p /b p - կոտորակի ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանականացումը կրճատվում է կոտորակի, որի համարիչն ու հայտարարը բարձրացված են տրված հզորության:

Տեսանյութում քննարկվում է օրինակների լուծումը, որոնք օգտագործում են աստիճանների դիտարկված հատկությունները ռացիոնալ ցուցիչով: Առաջին օրինակում առաջարկվում է գտնել այն արտահայտության արժեքը, որը պարունակում է x փոփոխականները կոտորակային հզորության՝ (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1): Չնայած արտահայտության բարդությանը, օգտագործելով աստիճանների հատկությունները, այն լուծվում է բավականին պարզ: Առաջադրանքի լուծումը սկսվում է արտահայտության պարզեցմամբ, որն օգտագործում է ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի բարձրացման կանոնը, ինչպես նաև նույն հիմքով հզորությունները բազմապատկելը։ Տրված x=8 արժեքը x 1/3 +48 պարզեցված արտահայտության մեջ փոխարինելուց հետո հեշտ է ստանալ 50 արժեքը։

Երկրորդ օրինակում պահանջվում է կրճատել այն կոտորակը, որի համարիչը և հայտարարը պարունակում են ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող ուժեր: Օգտագործելով աստիճանի հատկությունները՝ տարբերությունից ընտրում ենք x 1/3 գործակիցը, որն այնուհետև կրճատվում է համարիչով և հայտարարով, և օգտագործելով քառակուսիների տարբերության բանաձևը, համարիչը տարրալուծվում է գործոնների, ինչը տալիս է ավելի շատ կրճատումներ։ նույն գործոնները համարիչի և հայտարարի մեջ: Նման փոխակերպումների արդյունքը կարճ կոտորակն է x 1/4 +3:

Դասի նոր թեման ուսուցչի բացատրության փոխարեն կարելի է օգտագործել «Աստիճան ռացիոնալ ցուցիչով» տեսադասը։ Բացի այդ, այս ձեռնարկը պարունակում է բավարար տեղեկատվություն ինքնուսուցումուսանող. Նյութը կարող է օգտակար լինել հեռավար ուսուցման մեջ:

MBOU «Սիդորսկայա

հանրակրթական դպրոց»

Պլան-ուրվագծերի մշակում բաց դաս

հանրահաշվում 11-րդ դասարանում թեմայի շուրջ.

Պատրաստված և անցկացված

մաթեմատիկայի ուսուցիչ

Իսկակովա Է.Ֆ.

Հանրահաշվի բաց դասի ուրվագիծ 11-րդ դասարանում.

Թեմա «Դիպլոմ ռացիոնալ ցուցիչով».

Դասի տեսակը Նոր նյութի ուսուցում

Դասի նպատակները:

    Ուսանողներին ծանոթացնել ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի հայեցակարգին և դրա հիմնական հատկություններին` հիմնվելով նախկինում ուսումնասիրված նյութի վրա (ամբողջ թվով ցուցիչով աստիճան):

    Զարգացնել հաշվողական հմտությունները և թվերը ռացիոնալ ցուցիչով փոխակերպելու և համեմատելու կարողությունը:

    Աշակերտների մեջ զարգացնել մաթեմատիկական գրագիտությունը և մաթեմատիկական հետաքրքրությունը:

Սարքավորումներ Առաջադրանքների քարտեր, ուսանողի ներկայացում աստիճանի վերաբերյալ՝ ամբողջ թվով ցուցիչով, ուսուցչի ներկայացում աստիճանի վերաբերյալ ռացիոնալ ցուցիչով, նոութբուք, մուլտիմեդիա պրոյեկտոր, էկրան:

Դասերի ընթացքում.

    Կազմակերպման ժամանակ.

Անհատական ​​առաջադրանքների քարտերով ընդգրկված թեմայի յուրացման ստուգում:

Առաջադրանք թիվ 1.

=2;

Բ) = x + 5;

Լուծել համակարգը իռացիոնալ հավասարումներ: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Առաջադրանք թիվ 2.

Լուծե՛ք իռացիոնալ հավասարումը. = - 3;

Բ) = x - 2;

Լուծե՛ք իռացիոնալ հավասարումների համակարգ՝ 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

    Դասի թեմայի և նպատակների ներկայացում.

Մեր այսօրվա դասի թեման Աստիճան ռացիոնալ ցուցիչով».

    Նախկինում ուսումնասիրվածի օրինակով նոր նյութի բացատրություն:

Դուք արդեն ծանոթ եք աստիճան հասկացությանը ամբողջ թվով արտահայտիչով: Ո՞վ կարող է օգնել ինձ հիշել դրանք:

Կրկնություն ներկայացմամբ Աստիճան՝ ամբողջ թվով ցուցիչով».

Ցանկացած a , b և ցանկացած ամբողջ թվերի համար m և n հավասարությունները ճշմարիտ են.

a m * a n = a m + n;

a m: a n = a m-n (a ≠ 0);

(am) n = a mn;

(ա բ) n = a n * b n;

(a/b) n = a n / b n (b ≠ 0);

a 1 = a; a 0 = 1 (a ≠ 0)

Այսօր մենք կընդհանրացնենք թվի աստիճան հասկացությունը և իմաստ կտանք այն արտահայտություններին, որոնք ունեն կոտորակային ցուցիչ։ Ներկայացնենք սահմանումաստիճաններ ռացիոնալ ցուցանիշով (ներկայացում «Դիպլոմ ռացիոնալ ցուցանիշով»).

Ա աստիճանը > 0 ռացիոնալ ցուցիչով r = , որտեղ մ ամբողջ թիվ է, և n - բնական ( n > 1), զանգահարեց համարը մ .

Այսպիսով, ըստ սահմանման, մենք ստանում ենք դա = մ .

Փորձենք կիրառել այս սահմանումը առաջադրանք կատարելիս։

ՕՐԻՆԱԿ #1

Ես որպես թվի արմատ արտահայտում եմ արտահայտությունը.

ԲԱՅՑ) Բ) IN) .

Այժմ փորձենք կիրառել այս սահմանումը հակառակ ուղղությամբ

II Արտահայտությունը որպես ուժ արտահայտեք ռացիոնալ ցուցիչով.

ԲԱՅՑ) 2 Բ) IN) 5 .

0-ի հզորությունը սահմանվում է միայն դրական ցուցիչների համար:

0 r= 0 ցանկացածի համար r> 0.

Օգտագործելով այս սահմանումը, Տներդուք կլրացնեք #428 և #429։

Այժմ ցույց տանք, որ ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի վերը նշված սահմանումը պահպանում է աստիճանների հիմնական հատկությունները, որոնք ճշմարիտ են ցանկացած ցուցիչի համար:

Ցանկացած ռացիոնալ r և s թվերի և ցանկացած դրական a և b-ի համար հավասարությունները ճշմարիտ են.

1 0 . ա r ա ս =ա r+s ;

ՕՐԻՆԱԿ: *

քսան. a r: a s =a r-s;

ՕՐԻՆԱԿ: :

3 0 . (a r) s =a rs;

ՕՐԻՆԱԿ: ( -2/3

4 0 . ( աբ) r = ա r բ r ; 5 0 . ( = .

ՕՐԻՆԱԿ. (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

ՕՐԻՆԱԿ միանգամից մի քանի հատկությունների օգտագործման վերաբերյալ. * : .

    Ֆիզկուլտմինուտկա.

Գրասեղանին դրեցինք գրիչներ, մեջքն ուղղեցինք, հիմա առաջ ենք մեկնում, ուզում ենք տախտակին դիպչել։ Իսկ հիմա մենք բարձրացրինք ու թեքվեցինք աջ, ձախ, առաջ, հետ։ Նրանք ինձ ցույց տվեցին գրիչները, իսկ հիմա ցույց տվեք, թե ինչպես են ձեր մատները պարում:

    Աշխատեք նյութի վրա

Մենք նշում ենք ռացիոնալ ցուցիչներով հզորությունների ևս երկու հատկություն.

60 . Թող լինի r-ը ռացիոնալ թիվ է և 0< a < b . Тогда

ա r < b rժամը r> 0,

ա r < b rժամը r< 0.

7 0 . Ցանկացած ռացիոնալ թվերի համարrԵվ սանհավասարությունից r> սհետևում է դրան

ա r> ա rհամար > 1,

ա r < а r 0-ին< а < 1.

ՕՐԻՆԱԿ. Համեմատեք թվերը.

ԵՎ ; 2 300 և 3 200 .

    Դասի ամփոփում.

Այսօր դասին մենք հիշեցինք աստիճանի հատկությունները ամբողջ թվով չափորոշիչով, սովորեցինք ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի սահմանումը և հիմնական հատկությունները, դիտարկեցինք սրա կիրառությունը։ տեսական նյութպրակտիկայում վարժությունների ժամանակ: Ուզում եմ ձեր ուշադրությունը հրավիրել այն փաստի վրա, որ «Աստիճան ռացիոնալ ցուցանիշով» թեման պարտադիր է ք ՕԳՏԱԳՈՐԾԵԼ առաջադրանքներ. Տնային առաջադրանք պատրաստելիսթիվ 428 եւ թիվ 429


Թվի աստիճանը որոշելուց հետո տրամաբանական է խոսել աստիճանի հատկություններ. Այս հոդվածում մենք կտանք թվի աստիճանի հիմնական հատկությունները՝ միաժամանակ անդրադառնալով բոլոր հնարավոր ցուցանիշներին։ Այստեղ մենք կտանք աստիճանի բոլոր հատկությունների ապացույցները, ինչպես նաև ցույց կտանք, թե ինչպես են այդ հատկությունները կիրառվում օրինակներ լուծելիս:

Էջի նավարկություն.

Բնական ցուցանիշներով աստիճանների հատկությունները

Բնական ցուցիչ ունեցող հզորության սահմանմամբ a n-ի հզորությունը n գործոնի արտադրյալն է, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է a-ի: Այս սահմանման հիման վրա և օգտագործելով իրական թվերի բազմապատկման հատկությունները, կարող ենք ձեռք բերել և հիմնավորել հետևյալը աստիճանի հատկությունները բնական ցուցիչով:

  1. a m ·a n =a m+n աստիճանի հիմնական հատկությունը, դրա ընդհանրացումը;
  2. միևնույն հիմքերով մասնակի հզորությունների հատկությունը a m:a n =a m−n ;
  3. արտադրանքի աստիճանի հատկություն (a b) n =a n b n, դրա ընդլայնումը;
  4. քանորդ հատկություն տեսակի (a:b) n =a n:b n ;
  5. աստիճանավորում (a m) n =a m n, դրա ընդհանրացումը ((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
  6. աստիճանը զրոյի հետ համեմատելը.
    • եթե a>0, ապա a n >0 ցանկացած բնական n-ի համար;
    • եթե a=0 , ապա a n =0 ;
    • Եթե<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0, եթե ա<0 и показатель степени есть կենտ թիվ 2 մ−1, ապա՝ 2 մ−1<0 ;
  7. եթե a-ն և b-ը դրական թվեր են և a
  8. եթե m և n են ամբողջ թվեր, որ m>n , ապա 0-ի համար 0 a m >a n անհավասարությունը ճիշտ է:

Անմիջապես նշում ենք, որ բոլոր գրավոր հավասարություններն են նույնականնշված պայմաններում, և դրանց աջ և ձախ մասերը կարող են փոխանակվել: Օրինակ՝ a m a n = a m + n կոտորակի հիմնական հատկությունը արտահայտությունների պարզեցումհաճախ օգտագործվում է a m+n = a m a n ձևով:

Այժմ եկեք մանրամասն նայենք դրանցից յուրաքանչյուրին:

    Սկսենք նույն հիմքերով երկու հզորությունների արտադրյալի հատկությունից, որը կոչվում է աստիճանի հիմնական հատկությունըցանկացած իրական թվի և m և n բնական թվերի համար a m ·a n =a m+n հավասարությունը ճիշտ է:

    Եկեք ապացուցենք աստիճանի հիմնական հատկությունը. Բնական ցուցիչով աստիճանի սահմանմամբ՝ a m a n ձևի նույն հիմքերով հզորությունների արտադրյալը կարելի է գրել որպես արտադրյալ։ Բազմապատկման հատկությունների շնորհիվ ստացված արտահայտությունը կարելի է գրել այսպես , և այս արտադրյալը a-ի հզորությունն է՝ m+n բնական ցուցիչով, այսինքն՝ a m+n: Սա լրացնում է ապացույցը:

    Բերենք մի օրինակ, որը հաստատում է աստիճանի հիմնական հատկությունը։ Վերցնենք աստիճաններ նույն 2 հիմքերով և 2 և 3 բնական հզորություններով, ըստ աստիճանի հիմնական հատկության կարող ենք գրել 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 հավասարությունը։ Եկեք ստուգենք դրա վավերականությունը, որի համար մենք հաշվարկում ենք 2 2 · 2 3 և 2 5 արտահայտությունների արժեքները: Իրականացնելով էքսպոենտացիա՝ ունենք 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32և 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, քանի որ ստացվում են հավասար արժեքներ, ապա 2 2 2 3 \u003d 2 5 հավասարությունը ճիշտ է, և դա հաստատում է աստիճանի հիմնական հատկությունը:

    Բազմապատկման հատկությունների վրա հիմնված աստիճանի հիմնական հատկությունը կարելի է ընդհանրացնել երեք կամ ավելի հզորությունների արտադրյալին՝ նույն հիմքերով և բնական ցուցիչներով։ Այսպիսով, n 1 , n 2 , …, n k բնական թվերի ցանկացած k թվի համար հավասարությունը a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

    Օրինակ, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

    Դուք կարող եք անցնել աստիճանների հաջորդ հատկությանը բնական ցուցիչով. նույն հիմքերով մասնակի լիազորությունների սեփականությունըցանկացած ոչ զրոյական իրական թվի և m>n պայմանը բավարարող m և n կամայական բնական թվերի համար a m:a n =a m−n հավասարությունը ճիշտ է։

    Նախքան այս սեփականության ապացույցը տալը, եկեք քննարկենք հայտարարության լրացուցիչ պայմանների նշանակությունը: a≠0 պայմանն անհրաժեշտ է զրոյի բաժանումից խուսափելու համար, քանի որ 0 n=0, իսկ երբ ծանոթացանք բաժանմանը, պայմանավորվեցինք, որ հնարավոր չէ բաժանել զրոյի։ m>n պայմանը ներմուծվում է այնպես, որ բնական ցուցիչներից դուրս չգանք։ Իրոք, m>n-ի համար a m−n ցուցանիշը բնական թիվ է, հակառակ դեպքում այն ​​կլինի կամ զրո (ինչը տեղի է ունենում m−n-ի դեպքում), կամ բացասական թիվ (ինչը տեղի է ունենում m-ի համար):

    Ապացույց. Կոտորակի հիմնական հատկությունը թույլ է տալիս գրել հավասարությունը a m−n a n =a (m−n)+n =a m. Ստացված հավասարությունից a m−n ·a n =a m և դրանից բխում է, որ m−n-ը a m և a n հզորությունների քանորդն է։ Սա ապացուցում է նույն հիմքերով մասնակի լիազորությունների հատկությունը։

    Օրինակ բերենք. Վերցնենք երկու աստիճան միևնույն π հիմքերով և 5 և 2 բնական ցուցանիշներով, աստիճանի դիտարկվող հատկությունը համապատասխանում է π 5 հավասարությանը. π 2 = π 5−3 = π 3։

    Հիմա հաշվի առեք արտադրանքի աստիճանի հատկությունցանկացած երկու իրական թվերի արտադրյալի n աստիճանը հավասար է a n և b n աստիճանների արտադրյալին, այսինքն՝ (a b) n =a n b n:

    Իսկապես, բնական ցուցիչով աստիճանի սահմանմամբ մենք ունենք . Վերջին արտադրյալը, որը հիմնված է բազմապատկման հատկությունների վրա, կարող է վերաշարադրվել որպես , որը հավասար է a n b n-ի:

    Ահա մի օրինակ. .

    Այս հատկությունը տարածվում է երեք կամ ավելի գործոնների արտադրյալի աստիճանի վրա: Այսինքն, k գործակիցների արտադրյալի բնական հզորության հատկությունը n գրվում է այսպես (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n.

    Պարզության համար մենք ցույց ենք տալիս այս հատկությունը օրինակով: Երեք գործակիցների արտադրյալի համար 7-ի հզորությամբ մենք ունենք .

    Հաջորդ գույքն է բնական սեփականություն a և b , b≠0 իրական թվերի քանորդը n բնական հզորությանը հավասար է a n և b n հզորությունների քանորդին, այսինքն՝ (a:b) n =a n:b n։

    Ապացույցը կարող է իրականացվել՝ օգտագործելով նախորդ գույքը։ Այսպիսով (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, և (a:b) n b n =a n հավասարությունը ենթադրում է, որ (a:b) n-ը a n-ի քանորդն է, որը բաժանվում է b n-ի:

    Եկեք գրենք այս հատկությունը՝ օգտագործելով կոնկրետ թվերի օրինակը. .

    Հիմա եկեք բարձրաձայնենք հզորացման հատկությունցանկացած իրական թվի և m և n բնական թվերի համար a m-ի հզորությունը n-ի հզորությանը հավասար է a-ի հզորությանը m·n ցուցիչով, այսինքն՝ (a m) n =a m·n:

    Օրինակ՝ (5 2) 3 =5 2 3 =5 6:

    Մի աստիճանով ուժային հատկության ապացույցը հավասարումների հետևյալ շղթան է. .

    Դիտարկվող գույքը կարող է ընդլայնվել աստիճանի սահմաններում աստիճանի սահմաններում և այլն: Օրինակ՝ p, q, r և s ցանկացած բնական թվերի համար հավասարությունը . Ավելի մեծ պարզության համար, ահա կոնկրետ թվերով օրինակ. (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

    Մնում է անդրադառնալ աստիճանները բնական ցուցիչի հետ համեմատելու հատկություններին:

    Մենք սկսում ենք զրոյի և հզորության համեմատական ​​հատկությունն ապացուցելով բնական ցուցիչով։

    Նախ, եկեք հիմնավորենք, որ a n >0 ցանկացած a>0-ի համար:

    Երկու դրական թվերի արտադրյալը դրական թիվ է, ինչպես հետևում է բազմապատկման սահմանումից: Այս փաստը և բազմապատկման հատկությունները թույլ են տալիս պնդել, որ դրական թվերի ցանկացած քանակի բազմապատկման արդյունքը նույնպես դրական թիվ է լինելու։ Իսկ n բնական ցուցիչով a-ի հզորությունը, ըստ սահմանման, n գործոնի արտադրյալն է, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է a-ի: Այս փաստարկները մեզ թույլ են տալիս պնդել, որ ցանկացած դրական հիմքի համար a n-ի աստիճանը դրական թիվ է: Ապացուցված սեփականության ուժով 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 և. .

    Ակնհայտ է, որ a=0-ով ցանկացած բնական n-ի համար a n-ի աստիճանը զրո է: Իրոք, 0 n =0·0·…·0=0: Օրինակ՝ 0 3 =0 և 0 762 =0:

    Անցնենք բացասական հիմքերին։

    Սկսենք այն դեպքից, երբ ցուցանիշը զույգ թիվ է, այն նշանակենք 2 մ, որտեղ m-ը բնական թիվ է։ Հետո . a·a ձևի արտադրյալներից յուրաքանչյուրի համար հավասար է a և a թվերի մոդուլների արտադրյալին, հետևաբար, դրական թիվ է։ Հետեւաբար, ապրանքը նույնպես դրական կլինի: և աստիճան a 2 մ. Ահա օրինակներ՝ (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 և .

    Վերջապես, երբ a-ի հիմքը բացասական թիվ է, իսկ ցուցիչը՝ կենտ թիվ 2 m−1, ապա . Բոլոր արտադրյալները a·a դրական թվեր են, այս դրական թվերի արտադրյալը նույնպես դրական է, և դրա բազմապատկումը մնացած բացասական թվով a-ով ստացվում է բացասական թիվ։ Այս հատկության շնորհիվ (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

    Անդրադառնանք միևնույն բնական ցուցիչներով աստիճանները համեմատելու հատկությանը, որն ունի հետևյալ ձևակերպումը. նույն բնական ցուցիչներով երկու աստիճանի n-ը փոքր է նրանից, ում հիմքը փոքր է, և ավելի, քան այն, ում հիմքը մեծ է։ Եկեք ապացուցենք դա։

    Անհավասարություն a n անհավասարությունների հատկությունները a n ձևի անհավասարությունն ապացուցված (2,2) 7 և .

    Մնում է ապացուցել հզորությունների թվարկված հատկություններից վերջինը՝ բնական ցուցիչներով։ Եկեք այն ձևակերպենք. Բնական ցուցիչներով և միևնույն դրական հիմքերով երկու աստիճաններից մեկից պակաս, աստիճանն ավելի մեծ է, որի ցուցիչը փոքր է. և երկու աստիճանի բնական ցուցիչներով և մեկից մեծ նույն հիմքերով, ավելի մեծ է այն աստիճանը, որի ցուցիչը մեծ է։ Մենք դիմում ենք այս սեփականության ապացույցին:

    Ապացուցենք, որ m>n-ի և 0-ի համար 0՝ պայմանավորված m>n սկզբնական պայմանով, որտեղից հետևում է, որ 0-ում

    Մնում է ապացուցել սեփականության երկրորդ մասը։ Փաստենք, որ m>n-ի և a>1-ի համար a m >a n-ը ճիշտ է: a m −a n տարբերությունը n-ը փակագծերից հանելուց հետո ստանում է a n ·(a m−n −1) ձև: Այս արտադրյալը դրական է, քանի որ a>1-ի համար an-ի աստիճանը դրական թիվ է, իսկ am−n−1 տարբերությունը դրական թիվ է, քանի որ m−n>0 նախնական պայմանի շնորհիվ, իսկ a>1-ի համար։ am−n աստիճանը մեկից մեծ է։ Հետևաբար, a m − a n >0 և a m >a n, որը պետք է ապացուցվեր։ Այս հատկությունը պատկերված է 3 7 >3 2 անհավասարությամբ:

Ամբողջ թվերի ցուցիչներով աստիճանների հատկությունները

Քանի որ դրական ամբողջ թվերը բնական թվեր են, ապա դրական ամբողջ թվերի ցուցիչներով հզորությունների բոլոր հատկությունները ճիշտ համընկնում են նախորդ պարբերությունում թվարկված և ապացուցված բնական ցուցիչներով հզորությունների հատկությունների հետ:

Բացասական ամբողջ թվի ցուցիչով աստիճանը, ինչպես նաև զրոյական ցուցիչով աստիճանը, մենք սահմանեցինք այնպես, որ հավասարություններով արտահայտված բնական ցուցիչներով աստիճանների բոլոր հատկությունները մնան վավեր: Հետևաբար, այս բոլոր հատկությունները վավեր են և՛ զրոյական, և՛ բացասական ցուցիչների համար, մինչդեռ, իհարկե, աստիճանների հիմքերը զրոյական չեն։

Այսպիսով, ցանկացած իրական և ոչ զրոյական a և b թվերի, ինչպես նաև m և n ցանկացած ամբողջ թվերի համար հետևյալը ճշմարիտ են. աստիճանների հատկությունները ամբողջ թվային ցուցիչներով:

  1. a m a n \u003d a m + n;
  2. a m: a n = a m−n;
  3. (ա բ) n = a n b n;
  4. (a:b) n =a n:b n;
  5. (a m) n = a m n;
  6. եթե n-ը դրական ամբողջ թիվ է, ապա a-ն և b-ն դրական թվեր են, և a b-n;
  7. եթե m-ը և n-ն ամբողջ թվեր են, և m>n, ապա 0-ում 1 a m >a n անհավասարությունը լրացված է:

a=0-ի համար a m և a n ուժերն իմաստ ունեն միայն այն դեպքում, երբ և՛ m, և՛ n-ն դրական ամբողջ թվեր են, այսինքն՝ բնական թվեր: Այսպիսով, հենց նոր գրված հատկությունները վավեր են նաև այն դեպքերի համար, երբ a=0, իսկ m և n թվերը դրական ամբողջ թվեր են։

Դժվար չէ ապացուցել այս հատկություններից յուրաքանչյուրը, դրա համար բավական է օգտագործել աստիճանի սահմանումները բնական և ամբողջ թվային ցուցիչով, ինչպես նաև իրական թվերով գործողությունների հատկությունները։ Որպես օրինակ՝ եկեք ապացուցենք, որ հզորության հատկությունը գործում է ինչպես դրական, այնպես էլ ոչ դրական ամբողջ թվերի համար: Դա անելու համար մենք պետք է ցույց տանք, որ եթե p-ն զրո է կամ բնական թիվ, իսկ q-ն զրո է կամ բնական թիվ, ապա հավասարությունները (ap) q =ap q , (a −p) q =a (−p) q: , (ap ) −q =ap (−q) և (a−p)−q =a (−p) (−q). Եկեք անենք դա.

Դրական p-ի և q-ի համար (a p) q =a p·q հավասարությունն ապացուցվել է նախորդ ենթաբաժնում: Եթե ​​p=0, ապա մենք ունենք (a 0) q =1 q =1 և a 0 q =a 0 =1, որտեղից (a 0) q =a 0 q: Նմանապես, եթե q=0, ապա (a p) 0 =1 և a p 0 =a 0 =1, որտեղից (a p) 0 =a p 0: Եթե ​​և՛ p=0, և՛ q=0, ապա (a 0) 0 =1 0 =1 և a 0 0 =a 0 =1, որտեղից (a 0) 0 =a 0 0:

Այժմ ապացուցենք, որ (a −p) q =a (−p) q . Բացասական ամբողջ թվով ցուցիչով աստիճանի սահմանմամբ, ապա . Աստիճանի գործակիցի հատկությամբ ունենք . Քանի որ 1 p =1·1·…·1=1 և , ապա . Վերջին արտահայտությունը, ըստ սահմանման, a −(p q) ձևի ուժն է, որը բազմապատկման կանոնների հիման վրա կարելի է գրել որպես (−p) q:

Նմանապես .

ԵՎ .

Նույն սկզբունքով աստիճանի մյուս բոլոր հատկությունները կարելի է ապացուցել ամբողջ թվային ցուցիչով՝ գրված հավասարումների տեսքով։

Գրված հատկություններից նախավերջինում արժե կանգ առնել a −n >b −n անհավասարության ապացույցի վրա, որը ճիշտ է ցանկացած բացասական ամբողջ թվի համար −n և ցանկացած դրական a և b համար, որի համար a պայմանը. . Քանի որ պայմանով ա 0 . a n ·b n արտադրյալը նույնպես դրական է որպես a n և b n դրական թվերի արտադրյալ: Այնուհետև ստացված կոտորակը դրական է որպես b n − a n և a n b n դրական թվերի քանորդ: Այստեղից էլ՝ a −n >b −n, որը պետք է ապացուցվեր։

Ամբողջ թվային ցուցիչներով աստիճանների վերջին հատկությունն ապացուցվում է այնպես, ինչպես բնական ցուցիչներով աստիճանների անալոգային հատկությունը։

Ռացիոնալ ցուցիչներով հզորությունների հատկությունները

Աստիճանը սահմանեցինք կոտորակային ցուցիչով՝ ընդլայնելով նրան ամբողջ թվով աստիճանի հատկությունները: Այլ կերպ ասած, կոտորակային ցուցիչներով աստիճաններն ունեն նույն հատկությունները, ինչ ամբողջ թվով ցուցիչներով աստիճանները: Այսինքն:

Կոտորակային ցուցիչներով աստիճանների հատկությունների ապացույցը հիմնված է կոտորակային ցուցիչով աստիճանի սահմանման վրա, ամբողջ թվով աստիճան ունեցող աստիճանի հատկությունների վրա և դրանց վրա։ Եկեք ապացույցներ տանք.

Ըստ աստիճանի սահմանման կոտորակային ցուցիչով և , ապա . Թվաբանական արմատի հատկությունները թույլ են տալիս գրել հետևյալ հավասարումները. Այնուհետև, օգտագործելով աստիճանի հատկությունը ամբողջ թվով ցուցիչով, մենք ստանում ենք , որտեղից, կոտորակային ցուցիչով աստիճանի սահմանմամբ, մենք ունենք. , և ստացված աստիճանի ցուցիչը կարող է փոխարկվել հետևյալ կերպ. Սա լրացնում է ապացույցը:

Կոտորակի չափորոշիչներով հզորությունների երկրորդ հատկությունը ապացուցված է ճիշտ նույն կերպ.

Մնացած հավասարությունները ապացուցված են նմանատիպ սկզբունքներով.

Մենք դիմում ենք հաջորդ սեփականության ապացույցին. Ապացուցենք, որ ցանկացած դրական a-ի և b-ի դեպքում a բ p . p ռացիոնալ թիվը գրում ենք m/n, որտեղ m-ն ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը բնական թիվ։ Պայմաններ p<0 и p>0-ն այս դեպքում համարժեք կլինի m պայմաններին<0 и m>0 համապատասխանաբար: m>0 և a-ի համար

Նմանապես, մ<0 имеем a m >b m, որտեղից, այսինքն, և a p >b p.

Մնում է ապացուցել թվարկված հատկություններից վերջինը։ Փաստենք, որ p և q ռացիոնալ թվերի համար p>q 0-ի համար 0 – անհավասարություն a p >a q . Մենք միշտ կարող ենք p և q ռացիոնալ թվերը կրճատել ընդհանուր հայտարարի, եկեք ստանանք սովորական կոտորակներ և որտեղ m 1 և m 2 ամբողջ թվեր են, իսկ n-ը բնական թիվ: Այս դեպքում p>q պայմանը կհամապատասխանի m 1 >m 2 պայմանին, որը բխում է . Այնուհետև նույն հիմքերով և 0-ով բնական ցուցիչներով հզորությունները համեմատելու հատկությամբ 1 – անհավասարություն a m 1 >a m 2: Արմատների հատկությունների առումով այս անհավասարությունները կարող են վերաշարադրվել, համապատասխանաբար, ինչպես Եվ . Իսկ ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի սահմանումը թույլ է տալիս անցնել անհավասարություններին և համապատասխանաբար. Այստեղից մենք վերջնական եզրակացություն ենք անում՝ p>q-ի և 0-ի համար 0 – անհավասարություն a p >a q .

Իռացիոնալ ցուցիչներով աստիճանների հատկությունները

Այն բանից, թե ինչպես է սահմանվում իռացիոնալ ցուցիչով աստիճանը, կարելի է եզրակացնել, որ այն ունի ռացիոնալ ցուցիչներով աստիճանների բոլոր հատկությունները: Այսպիսով, ցանկացած a>0 , b>0 և իռացիոնալ թվեր p և q իռացիոնալ ցուցիչներով աստիճանների հատկությունները:

  1. a p a q = a p + q;
  2. a p:a q = a p−q;
  3. (ա բ) p = a p b p;
  4. (a:b) p =a p:b p ;
  5. (a p) q = a p q;
  6. ցանկացած դրական a և b թվերի համար, a 0 անհավասարությունը a p բ p ;
  7. p և q իռացիոնալ թվերի համար, p>q 0-ում 0 – անհավասարություն a p >a q .

Այստեղից կարող ենք եզրակացնել, որ p և q ցանկացած իրական ցուցիչներ ունեցող հզորությունները a>0-ի համար ունեն նույն հատկությունները:

Մատենագիտություն.

  • Վիլենկին Ն.Յ., Ժոխով Վ.Ի., Չեսնոկով Ա.Ս., Շվարցբուրդ Ս.Ի. Մաթեմատիկա Ժ դասագիրք 5 բջիջի համար. ուսումնական հաստատություններ.
  • Մակարիչև Յու.Ն., Մինդյուկ Ն.Գ., Նեշկով Կ.Ի., Սուվորովա Ս.Բ. Հանրահաշիվ՝ 7 բջիջների դասագիրք. ուսումնական հաստատություններ.
  • Մակարիչև Յու.Ն., Մինդյուկ Ն.Գ., Նեշկով Կ.Ի., Սուվորովա Ս.Բ. Հանրահաշիվ՝ 8 բջիջների դասագիրք. ուսումնական հաստատություններ.
  • Մակարիչև Յու.Ն., Մինդյուկ Ն.Գ., Նեշկով Կ.Ի., Սուվորովա Ս.Բ. Հանրահաշիվ՝ 9 բջիջների դասագիրք. ուսումնական հաստատություններ.
  • Կոլմոգորով Ա.Ն., Աբրամով Ա.Մ., Դուդնիցին Յու.Պ. և այլք Հանրահաշիվը և վերլուծության սկիզբը. Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների 10-11-րդ դասարանների համար.
  • Գուսև Վ.Ա., Մորդկովիչ Ա.Գ. Մաթեմատիկա (ձեռնարկ տեխնիկում դիմորդների համար).

Աստիճան ռացիոնալ ցուցիչով

Խասյանովա Թ.Գ.,

մաթեմատիկայի ուսուցիչ

Ներկայացված նյութը օգտակար կլինի մաթեմատիկայի ուսուցիչներին «Աստիճան ռացիոնալ ցուցանիշով» թեման ուսումնասիրելիս։

Ներկայացված նյութի նպատակը՝ «Ռացիոնալ ցուցիչով աստիճան» թեմայով դաս անցկացնելու իմ փորձի բացահայտում. աշխատանքային ծրագիր«Մաթեմատիկա» առարկան.

Դասի մեթոդաբանությունը համապատասխանում է իր տեսակին` նոր գիտելիքների ուսումնասիրության և առաջնային համախմբման դաս: Հիմնական գիտելիքներն ու հմտությունները թարմացվել են նախկինում ձեռք բերված փորձի հիման վրա. առաջնային անգիր, նոր տեղեկատվության համախմբում և կիրառում: Նոր նյութի համախմբումը և կիրառումը տեղի ունեցավ տարբեր բարդության խնդիրների լուծման տեսքով, որոնք ես փորձարկեցի, տալով. դրական արդյունքթեմայի յուրացում.

Դասի սկզբում սովորողների առջեւ դրել եմ հետեւյալ նպատակները՝ կրթական, զարգացնող, կրթական։ Դասարանում ես օգտագործել եմ տարբեր ուղիներգործունեություն՝ ճակատային, անհատական, գոլորշու, ինքնուրույն, փորձնական. Առաջադրանքները տարբերակվեցին և հնարավորություն տվեցին դասի յուրաքանչյուր փուլում բացահայտել գիտելիքների յուրացման աստիճանը: Առաջադրանքների ծավալը և բարդությունը համապատասխանում է տարիքային բնութագրերըուսանողները. Իմ փորձից - Տնային աշխատանքլուծված խնդիրների նման դասարանթույլ է տալիս ապահով կերպով համախմբել ձեռք բերված գիտելիքներն ու հմտությունները: Դասի վերջում իրականացվեց մտորում և գնահատվեց առանձին սովորողների աշխատանքը։

Նպատակները ձեռք են բերվել. Ուսանողները ռացիոնալ ցուցիչով ուսումնասիրեցին աստիճանի հասկացությունը և հատկությունները, սովորեցին, թե ինչպես օգտագործել այդ հատկությունները գործնական խնդիրներ լուծելիս: Հետևում անկախ աշխատանքգնահատականները հայտարարվում են հաջորդ դասին։

Կարծում եմ, որ մաթեմատիկայի դասերի անցկացման համար իմ կողմից կիրառվող մեթոդաբանությունը կարող է կիրառվել մաթեմատիկայի ուսուցիչների կողմից։

Դասի թեման՝ աստիճան ռացիոնալ ցուցանիշով

Դասի նպատակը.

Ուսանողների կողմից գիտելիքների և հմտությունների համալիրի յուրացման մակարդակի բացահայտում և դրա հիման վրա կրթական գործընթացի բարելավմանն ուղղված որոշակի լուծումների կիրառում:

Դասի նպատակները.

Ձեռնարկներ:ուսանողների շրջանում ձևավորել նոր գիտելիքներ հիմնական հասկացությունների, կանոնների, օրենքների վերաբերյալ ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանը որոշելու համար, ստանդարտ պայմաններում, փոփոխված և ոչ ստանդարտ պայմաններում գիտելիքը ինքնուրույն կիրառելու կարողություն.

զարգացող:տրամաբանորեն մտածեք և իրագործեք Ստեղծագործական հմտություններ;

մանկավարժներ:հետաքրքրություն ձևավորել մաթեմատիկայի նկատմամբ, բառապաշարը համալրել նոր տերմիններով, ստանալ Լրացուցիչ տեղեկությունշրջակա աշխարհի մասին: Մշակեք համբերություն, հաստատակամություն, դժվարությունները հաղթահարելու կարողություն:

    Կազմակերպման ժամանակ

    Հիմնական գիտելիքների թարմացում

    Միևնույն հիմքով հզորությունները բազմապատկելիս ցուցիչները գումարվում են, և հիմքը մնում է նույնը.

Օրինակ,

2. Նույն հիմքերով հզորությունները բաժանելիս աստիճանները հանվում են, իսկ հիմքը մնում է նույնը.


Օրինակ,

3. Աստիճանը մեծացնելիս աստիճանները բազմապատկվում են, իսկ հիմքը մնում է նույնը.


Օրինակ,

4. Արտադրանքի աստիճանը հավասար է գործոնների հզորությունների արտադրյալին.

Օրինակ,

5. Քաղորդի աստիճանը հավասար է դիվիդենտի և բաժանարարի լիազորությունների քանորդին.


Օրինակ,

Լուծման վարժություններ

Գտեք արտահայտության արժեքը.

Լուծում:

Այս դեպքում բնական ցուցիչ ունեցող աստիճանի հատկություններից ոչ մեկը չի կարող բացահայտորեն կիրառվել, քանի որ բոլոր աստիճաններն ունեն տարբեր հիմքեր. Եկեք գրենք որոշ աստիճաններ այլ ձևով.

(արտադրանքի աստիճանը հավասար է գործոնների աստիճանների արտադրյալին);


(Միևնույն հիմքով հզորությունները բազմապատկելիս աստիճանները գումարվում են, իսկ հիմքը մնում է նույնը, աստիճանը մինչև աստիճան բարձրացնելիս աստիճանները բազմապատկվում են, բայց հիմքը մնում է նույնը):

Այնուհետև մենք ստանում ենք.

IN այս օրինակըՕգտագործվել են աստիճանի առաջին չորս հատկությունները բնական ցուցիչով:

Թվաբանական քառակուսի արմատ
ոչ բացասական թիվ է, որի քառակուսին էա,
. ժամը
- արտահայտություն
սահմանված չէ, քանի որ չկա իրական թիվ, որի քառակուսին հավասար լինի բացասական թվիա.

Մաթեմատիկական թելադրանք(8-10 րոպե)

    Տարբերակ

II. Տարբերակ

1. Գտի՛ր արտահայտության արժեքը

բայց)

բ)

1. Գտի՛ր արտահայտության արժեքը

բայց)

բ)

2. Հաշվիր

բայց)

բ)

IN)

2. Հաշվիր

բայց)

բ)

մեջ)

Ինքնաթեստ(շերտավոր տախտակի վրա):

Արձագանքման մատրիցա.

№ տարբերակ/առաջադրանք

Առաջադրանք 1

Առաջադրանք 2

Տարբերակ 1

ա) 2

բ) 2

ա) 0,5

բ)

մեջ)

Տարբերակ 2

ա) 1.5

բ)

բայց)

բ)

4-ին

II. Նոր գիտելիքների ձևավորում

Դիտարկենք արտահայտության իմաստը, որտեղ - դրական թիվ– կոտորակային թիվ և m-ամբողջ թիվ, n-բնական (n>1)

Սահմանում. a›0 թվի աստիճան ռացիոնալ ցուցիչովr = , մ- ամբողջ, n- բնական ( n›1) կոչվում է թիվ.

Այսպիսով.

Օրինակ:

Նշումներ:

1. Ցանկացած դրական a-ի և ցանկացած ռացիոնալ r-ի համար թիվը դրականորեն։

2. Երբ
թվի ռացիոնալ ուժասահմանված չէ:

Արտահայտություններ, ինչպիսիք են
իմաստ չունի.

3. Եթե կոտորակային դրական թիվ
.

Եթե կոտորակային բացասական թիվ, ուրեմն -իմաստ չունի.

Օրինակ: -իմաստ չունի:

Դիտարկենք ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի հատկությունները:

Թող a>0, в>0; r, s - ցանկացած ռացիոնալ թվեր. Այնուհետև ցանկացած ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանն ունի հետևյալ հատկությունները.

1.
2.
3.
4.
5.

III. Միավորում. Նոր հմտությունների և կարողությունների ձևավորում:

Առաջադրանքների քարտերը աշխատում են փոքր խմբերով թեստի տեսքով:

Մենք նաև խորհուրդ ենք տալիս

Բեռնվում է...Բեռնվում է...