Перетворення раціональних виразів: види перетворень, приклади. Раціональний вираз

У далекому минулому, коли ще не була придумана система числення, люди підраховували все на пальцях. З появою арифметики та основ математики стало набагато простіше та практичніше вести облік товарів, продуктів, а також побутових предметів. Однак як виглядає сучасна системаобчислення: які види діляться існуючі числа і що означає " раціональний вид чисел " ? Давайте розберемося.

Скільки різновидів чисел існує у математиці?

Саме поняття "число" означає якусь одиницю будь-якого предмета, яка характеризує його кількісні, порівняльні чи порядкові показники. Для того, щоб правильно підрахувати кількість певних речей або провести деякі математичні операціїз числами (скласти, помножити та інших.), насамперед слід ознайомитися з різновидами цих чисел.

Отже, існуючі числа можна розділити за такими категоріями:

Натуральні - це числа, якими ми підраховуємо кількість предметів (найменше натуральне число одно 1, логічно, що ряд натуральних чиселнескінченний, т. е. немає найбільшого натурального числа). Безліч натуральних чисел прийнято позначати літерою N.
Цілі числа. До цієї множини відносяться всі при цьому до нього додаються і від'ємні значення, включаючи число "нуль". Позначення множини цілих чисел записують у вигляді латинської літери Z.
Раціональні числа - це, які ми подумки можемо перетворити на дріб, чисельник якої належатиме безлічі цілих чисел, а знаменник - натуральних. Трохи нижче ми розберемо докладніше, що означає раціональне число, і наведемо кілька прикладів.
- множина, в яку входять всі раціональні і позначається ця множина літерою R.
Комплексні числа містять у собі частину дійсного та частину змінного числа. Використовуються у розв'язанні різних кубічних рівнянь, які, своєю чергою, можуть мати у формулах під негативний вираз (i 2 = -1).

Що означає "раціональний": розбираємо на прикладах

Якщо раціональними вважаються ті числа, які ми можемо подати у вигляді звичайного дробу, то виходить, що це позитивні і негативні цілі числа також входять у безліч раціональних. Адже будь-яке ціле число, наприклад 3 або 15, можна у вигляді дробу, де знаменнику буде одиниця.

Дроби: -9/3; 7/5, 6/55 – ось приклади раціональних чисел.

Що означає "раціональний вираз"?

Йдемо далі. Ми вже розібрали, що означає раціональний вигляд чисел. Давайте тепер уявімо собі математичний вираз, який складається із суми, різниці, твору чи приватного різних чиселта змінних. Ось приклад: дріб, у чисельнику якої сума двох чи кількох цілих чисел, а знаменник містить у собі як ціле число, і якусь змінну. Саме такий вираз і називають раціональним. З правила " на нуль ділити не можна " можна здогадатися, що значення цієї змінної може бути таким, щоб значення знаменника зверталося в нуль. Тому при рішенні раціонального виразу слід спочатку визначити область значення змінної. Наприклад, якщо в знаменнику такий вираз: x+5-2, то виходить, що "x" не може дорівнювати -3. Адже в такому випадку весь вираз перетворюється на нуль, тому при вирішенні необхідно виключити ціле число -3 для цієї змінної.

Як правильно вирішувати раціональні рівняння?

Раціональні висловлювання можуть містити в собі досить-таки велика кількістьчисел і навіть 2 змінні, тому іноді їх вирішення стає скрутним. Для полегшення рішення такого висловлювання рекомендується зробити деякі операції раціональним шляхом. Отже, що означає раціональним способом і які правила необхідно застосовувати при вирішенні?

Перший вид, коли досить лише спростити вираз. Для цього можна вдатися до операції скорочення чисельника та знаменника до нескорочуваної величини. Наприклад, якщо в чисельнику є вираз 18x, а в знаменнику 9х, то скорочуючи обидва показники на 9x, отримуємо просто ціле число, що дорівнює 2.
Другий спосіб практичний тоді, як у чисельнику маємо одночлен, а знаменнику - многочлен. Розберемо з прикладу: у чисельнику маємо 5x, а знаменнику - 5x + 20x 2 . У такому разі найкраще винести змінну у знаменнику за дужки, отримаємо наступний вид знаменника: 5x(1+4x). А тепер можна скористатися першим правилом і спростити вираз, скоротивши 5x у чисельнику та у знаменнику. У результаті отримаємо дріб типу 1/1+4x.

Які дії можна виконувати з раціональними числами?

Безліч раціональних чисел має низку своїх особливостей. Багато хто з них дуже схожі з характеристикою, що присутня у цілих і натуральних чисел, зважаючи на те, що останні завжди входять у безліч раціональних. Ось кілька властивостей раціональних чисел, знаючи які, можна легко вирішити будь-який раціональний вираз.

Властивість комутативності дозволяє підсумовувати два або кілька чисел, незалежно від їхньої черговості. Простіше кажучи, від зміни місць доданків сума не змінюється.
Властивість дистрибутивності дозволяє вирішувати задачі за допомогою розподільчого закону.
І, нарешті, операції складання та віднімання.

Навіть школярі знають, що означає "раціональний вид чисел" і як вирішувати завдання на основі таких виразів, тому дорослій освіченій людині просто необхідно згадати хоча б ази безлічі раціональних чисел.

Раціональний вираз алгебраїчний вираз, що не містить радикалів. Іншими словами, це одна або кілька алгебраїчних величин (чисел і букв), з'єднаних між собою знаками арифметичних дій: додавання, віднімання, множення… … Вікіпедія

Алгебраїчне вираз, що не містить радикалів і включає тільки дії додавання, віднімання, множення та поділу. Напр., a2 + b, x/(y z2). Великий Енциклопедичний словник

Алгебраїчне вираз, що не містить радикалів і включає тільки дії додавання, віднімання, множення та поділу. Наприклад, a2 + b, х/(у z2). * * * РАЦІОНАЛЬНЕ ВИРАЗ РАЦІОНАЛЬНЕ ВИРАЗ, алгебраїчне вираз, що не містить… Енциклопедичний словник

Алгебраїчне вираз, що не містить радикалів, наприклад a2 + b, х/(у z3). Якщо входять до Р. в. літери вважати змінними, то Р. в. задає раціональну функцію від цих змінних … Велика Радянська Енциклопедія

Алгебраричний вираз, що не містить радикалів і включає тільки дії додавання, віднімання, множення та поділу. Напр., а2 + b, х/(y z2). Природознавство. Енциклопедичний словник

ВИРАЗ- первинне математичне поняття, під яким мають на увазі запис із букв і чисел, з'єднаних знаками арифметичних дій, у своїй можуть бути використані дужки, позначення функцій тощо; Традиційно в формулі млн. її частина. Розрізняють В (1)… … Велика політехнічна енциклопедія

РАЦІОНАЛЬНЕ- (Rational; Rational) термін, що використовується для опису думок, почуттів та дій, що узгоджуються з розумом; установка, що базується на об'єктивних цінностях, отриманих в результаті практичного досвіду. «Об'єктивні цінності встановлюються у досвіді… Словник з аналітичної психології

РАЦІОНАЛЬНЕ ПІЗНАННЯ- Суб'єктивний образ об'єктивного світу, отриманий за допомогою мислення. Мислення – активний процесузагальненого та опосередкованого відображення дійсності, що забезпечує відкриття на основі чуттєвих даних її закономірних зв'язків та їх вираження. Філософія науки та техніки: тематичний словник

РІВНЯННЯ, РАЦІОНАЛЬНЕ- Логічне або математичне вираз, заснований на (раціональних) припущеннях про процеси. Такі рівняння відрізняються від емпіричних рівнянь тим, що їх параметри утворюються в результаті дедуктивних висновків з теоретичних… Тлумачний словникз психології

РАЦІОНАЛЬНИЙ, раціональний, раціональний; раціональний, раціональний, раціональний. 1. дод. до раціоналізму (книжн.). Раціональна філософія. 2. Цілком розумний, обґрунтований, доцільний. Він вніс раціональну пропозицію. Раціональне… Тлумачний словник Ушакова

1) р. алгебраїчне рівняння g(y)=0з коефіцієнтами, що раціонально залежать від коефіцієнтів f(x), таке, що знання коренів цього рівняння дозволяє знайти коріння даного рівняння… … Математична енциклопедія

Ціле вираз - це математичне вираз, складене з чисел і літерних змінних за допомогою дій складання, віднімання та множення. Також до цілих відносяться висловлювання, які мають у своєму складі розподіл на якесь число, відмінне від нуля.

Приклади цілого виразу

Нижче наведено кілька прикладів цілих виразів:

1. 12 * a ^ 3 + 5 * (2 * a -1);

3. 4*y- ((5*y+3)/5) -1;

Дробові вирази

Якщо ж у виразі присутній розподіл на змінну або інше вираз містить змінну, то такий вираз не є цілим. Такий вираз називається дробовим. Дамо повне визначення дробового виразу.

Дробне вираз - це математичне вираз, яке крім дій складання, віднімання та множення, виконаних з числами та літерними змінними, а також поділу на число не рівне нулюмістить так само розподіл на вирази з літерними змінними.

Приклади дробових виразів:

1. (12 * a ^ 3 +4) / a

3. 4*x- ((5*y+3)/(5-y)) +1;

Дробові та цілі вирази становлять дві великі множини математичних виразів. Якщо ці множини об'єднати, то отримаємо нову множину, яка називається раціональними виразами. Тобто раціональні вирази це все цілий і дрібні вирази.

Нам відомо, що цілі вирази мають сенс за будь-яких значень змінних, які до нього входять. Це випливає з того, що для знаходження значення цілого виразу необхідно виконувати дії, які завжди можливі: додавання, віднімання, множення, розподіл на число відмінне від нуля.

Дробні ж висловлювання, на відміну від цілих, можуть не мати сенсу. Так як присутня операція поділу на змінну або вираз, що містить змінні, і цей вираз може звернутися в нуль, а ділити на нуль не можна. Значення змінних, за яких дробовий виразматиме сенс, називають допустимими значеннями змінних.

Раціональний дріб

Одним із окремих випадків раціональних виразівбуде дроб, чисельник і знаменник якого багаточлени. Для такого дробу в математиці теж існує своя назва – раціональний дріб.

Раціональний дріб матиме сенс у тому випадку, якщо його знаменник не дорівнює нулю. Тобто допустимими будуть всі значення змінних, у яких знаменник дробу відмінний від нуля.

На даному уроці будуть розглянуті основні відомості про раціональні висловлювання та їх перетворення, а також приклади перетворення раціональних виразів. Ця тема хіба що узагальнює вивчені нами раніше теми. Перетворення раціональних виразів мають на увазі додавання, віднімання, множення, розподіл, зведення в ступінь алгебраїчних дробів, скорочення, розкладання на множники тощо. п. У межах уроку ми розглянемо, що таке раціональне вираження, і навіть розберемо приклади їх перетворення.

Тема:Алгебраїчні дроби. Арифметичні операції над алгебраїчними дробами

Урок:Основні відомості про раціональні висловлювання та їх перетворення

Визначення

Раціональний вираз- це вираз, що складається з чисел, змінних, арифметичних операцій та операції зведення у ступінь.

Розглянемо приклад раціонального виразу:

Окремі випадки раціональних виразів:

1. ступінь: ;

2. одночлен: ;

3. дріб: .

Перетворення раціонального вираження- це спрощення оптимального висловлювання. Порядок дій при перетворенні раціональних виразів: спочатку йдуть дії в дужках, потім операції множення (поділу), а потім уже операції додавання (віднімання).

Розглянемо кілька прикладів перетворення раціональних выражений.

Приклад 1

Рішення:

Розв'яжемо цей приклад за діями. Першим виконується дія у дужках.

Відповідь:

Приклад 2

Рішення:

Відповідь:

Приклад 3

Рішення:

Відповідь: .

Примітка:можливо, у вас побачивши даного прикладувиникла ідея: скоротити дріб перед тим, як призводити до спільного знаменника. Справді, вона абсолютно правильною: спочатку бажано максимально спростити вираз, та був його перетворювати. Спробуємо вирішити цей приклад другим способом.

Як бачимо, відповідь вийшла абсолютно аналогічною, а ось рішення виявилося дещо простішим.

На цьому уроці ми розглянули раціональні висловлювання та їх перетворення, а також кілька конкретних прикладівданих перетворень.

Список літератури

1. Башмаков М.І. Алгебра 8 клас. - М: Просвітництво, 2004.

2. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Бунімович Є.А. та ін Алгебра 8. - 5-те вид. - М: Просвітництво, 2010.

З курсу алгебри шкільної програмипереходимо до конкретики. У цій статті ми докладно вивчимо особливий видраціональних виразів – раціональні дроби, а також розберемо, які характерні тотожні перетворення раціональних дробівмають місце.

Відразу зазначимо, що раціональні дроби у тому сенсі, у якому їх визначимо нижче, у деяких підручниках алгебри називають алгебраїчними дробами. Тобто, у цій статті ми під раціональними та алгебраїчними дробами розумітимемо одне й те саме.

Зазвичай почнемо з визначення та прикладів. Далі поговоримо про приведення раціонального дробу до нового знаменника та про зміну знаків у членів дробу. Після цього розберемо, як скорочення дробів. Нарешті, зупинимося на поданні раціонального дробу як суми кількох дробів. Усю інформацію постачатимемо прикладами з докладними описамирішень.

Навігація на сторінці.

Визначення та приклади раціональних дробів

Раціональні дроби вивчаються під час уроків алгебри у 8 класі. Ми використовуватимемо визначення раціонального дробу, яке дається в підручнику алгебри для 8 класів Ю. Н. Макарічева та ін.

У даному визначенні не уточнюється, чи багаточлени в чисельнику і знаменнику раціонального дробу повинні бути багаточленами стандартного видучи ні. Тому, вважатимемо, що у записах раціональних дробів можуть бути як многочлены стандартного виду, і не стандартного.

Наведемо кілька прикладів раціональних дробів. Так, x/8 і - раціональні дроби. А дроби і не підходять під озвучене визначення раціонального дробу, тому що в першій з них у чисельнику стоїть не багаточлен, а в другій і в чисельнику та в знаменнику знаходяться вирази, що не є багаточленами.

Перетворення чисельника та знаменника раціонального дробу

Чисельник і знаменник будь-якого дробу є самодостатніми математичними виразами, у разі раціональних дробів – це багаточлени, в окремому випадку – одночлени та числа. Тому, з чисельником та знаменником раціонального дробу, як і з будь-яким виразом, можна проводити тотожні перетворення. Іншими словами, вираз у чисельнику раціонального дробу можна замінювати тотожно рівним йому виразом, як і знаменник.

У чисельнику і знаменнику раціонального дробу можна виконувати тотожні перетворення. Наприклад, у чисельнику можна провести угруповання та приведення подібних доданків, а у знаменнику – добуток кількох чисел замінити його значенням. Оскільки чисельник і знаменник раціонального дробу є багаточлени, то з ними можна виконувати і характерні для багаточленів перетворення, наприклад, приведення до стандартного виду або уявлення у вигляді твору.

Для наочності розглянемо рішення кількох прикладів.

приклад.

Перетворіть раціональний дріб так, щоб у чисельнику виявився багаточлен стандартного виду, а у знаменнику – добуток багаточленів.

Рішення.

Приведення раціональних дробів до нового знаменника в основному застосовується при складанні та відніманні раціональних дробів.

Зміна знаків перед дробом, а також у його чисельнику та знаменнику

Основну властивість дробу можна використовувати для зміни знаків у членів дробу. Справді, множення чисельника і знаменника раціонального дробу на -1 рівносильне зміні їх знаків, а результаті вийде дріб, тотожно рівний даної. До такого перетворення доводиться часто звертатися під час роботи з раціональними дробами.

Таким чином, якщо одночасно змінити знаки у чисельника та знаменника дробу, то вийде дріб, рівний вихідному. Цьому твердженню відповідає рівність.

Наведемо приклад. Раціональний дріб можна замінити тотожно рівним їй дробом із зміненими знаками чисельника та знаменника виду.

Із дробами можна провести ще одне тотожне перетворення, При якому змінюється знак або у чисельнику, або у знаменнику. Озвучимо відповідне правило. Якщо замінити знак дробу разом із знаком чисельника чи знаменника, то вийде дріб, тотожно рівний вихідному. Записаному твердженню відповідають рівності та .

Довести ці рівності нескладно. В основі доказу лежать властивості множення чисел. Доведемо перше їх: . За допомогою аналогічних перетворень доводиться і рівність.

Наприклад, дріб можна замінити виразом або .

На закінчення цього пункту наведемо ще дві корисні рівності. Тобто, якщо змінити знак лише у чисельника чи тільки знаменника, то дріб змінить свій знак. Наприклад, і .

Розглянуті перетворення, що дозволяють змінювати знак членів дробу, часто застосовуються при перетворенні дробово раціональних виразів.

Скорочення раціональних дробів

В основі наступного перетворення раціональних дробів, що має назву скорочення раціональних дробів, лежить все також основна властивість дробу. Цьому перетворенню відповідає рівність , де a, b та c – деякі багаточлени, причому b та c – ненульові.

З наведеної рівності стає зрозуміло, що скорочення раціонального дробу передбачає порятунок від загального множника в його чисельнику та знаменнику.

приклад.

Скоротіть раціональний дріб.

Рішення.

Відразу видно загальний множник 2 виконаємо скорочення на нього (при записі загальні множники, на які скорочують, зручно закреслювати). Маємо . Так як x 2 = x x і y 7 = y 3 y 4 (при необхідності дивіться ), то зрозуміло, що x є загальним множником чисельника і знаменника отриманого дробу, як і y 3 . Проведемо скорочення на ці множники: . На цьому скорочення завершено.

Вище ми виконували скорочення раціонального дробу послідовно. А можна було виконати скорочення в один крок, відразу скоротивши дріб на 2 x 3 . В цьому випадку рішення виглядало б так: .

Відповідь:

При скороченні раціональних дробів основна проблема у тому, що загальний множник чисельника і знаменника які завжди видно. Більше того, вона не завжди існує. Для того, щоб знайти загальний множник або переконатися в його відсутності, потрібно чисельник і знаменник раціонального дробу розкласти на множники. Якщо загального множника немає, то вихідний раціональний дріб не потребує скорочення, інакше – проводиться скорочення.

У процесі скорочення раціональних дробів можуть виникати різні нюанси. Основні тонкощі на прикладах і деталях розібрані у статті скорочення алгебраїчних дробів.

Завершуючи розмову про скорочення раціональних дробів, відзначимо, що це перетворення є тотожним, а основна складність у його проведенні полягає у розкладанні на множники багаточленів у чисельнику та знаменнику.

Подання раціонального дробу як суми дробів

Досить специфічним, але у деяких випадках дуже корисним, виявляється перетворення раціонального дробу, що полягає у її поданні у вигляді суми кількох дробів, або сумі цілого виразу та дробу.

Раціональний дріб, у чисельнику якого знаходиться многочлен, що є сумою кількох одночленів, завжди можна записати як суму дробів з однаковими знаменниками, у чисельниках яких є відповідні одночлени. Наприклад, . Таке уявлення пояснюється правилом складання та віднімання алгебраїчних дробів з однаковими знаменниками.

Взагалі, будь-який раціональний дріб можна у вигляді суми дробів безліччю різних способів. Наприклад, дріб a/b можна як суму двох дробів – довільної дробу c/d і дробу, рівної різниці дробів a/b і c/d . Це твердження справедливе, оскільки має місце рівність . Наприклад, раціональний дріб можна у вигляді суми дробів у різний спосіб: Подаємо вихідний дріб у вигляді суми цілого виразу та дробу. Виконавши розподіл чисельника на знаменник стовпчиком, ми отримаємо рівність . Значення вираз n 3 +4 за будь-якого цілому n є цілим числом. А значення дробу є цілим числом і тоді, коли його знаменник дорівнює 1 , −1 , 3 або −3 . Цим значенням відповідають значення n=3 n=1 n=5 і n=−1 відповідно.

Відповідь:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Список літератури.

Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. - М.: Просвітництво, 2008. - 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Мордковіч А. Г.Алгебра. 7 клас. У 2 год. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ/ А. Г. Мордкович. - 13-те вид., Випр. – М.: Мнемозіна, 2009. – 160 с.: іл. ISBN 978-5-346-01198-9.
Мордковіч А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 год. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх закладів/А. Г. Мордкович. - 11-те вид., стер. – М.: Мнемозіна, 2009. – 215 с.: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.
Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників у технікуми): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.