4 ірраціональні числа із прикладами. Що таке раціональні та ірраціональні числа

Безліч ірраціональних чисел зазвичай позначається великою латинською літерою I (\displaystyle \mathbb (I) )у напівжирному контурі без заливки. Таким чином: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ), тобто безліч ірраціональних чисел є різниця множин речових і раціональних чисел.

Про існування ірраціональних чисел, точніше відрізків, несумірних з відрізком одиничної довжини, знали вже давні математики: їм була відома, наприклад, несумірність діагоналі та сторони квадрата, що рівносильне ірраціональності числа.

Енциклопедичний YouTube

1 / 5
Іраціональними є:

Приклади доказу ірраціональності

Корінь з 2

Допустимо неприємне: 2 (\displaystyle (\sqrt (2)))раціональний, тобто представляється у вигляді дробу m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), де m (\displaystyle m)- ціле число, а n (\displaystyle n)- натуральне число .
Зведемо передбачувану рівність у квадрат:
2 = mn ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Rightarrow m^(2)=2n^(2)).
Історія

Античність

Концепція ірраціональних чисел була неявно сприйнята індійськими математиками в VII столітті до нашої ери, коли Манава (бл. 750 р. до н. е. - бл. 690 р. до н. е.) з'ясував, що квадратне коріннядеяких натуральних чисел, таких як 2 та 61, не можуть бути явно виражені [ ] .
Перший доказ існування ірраціональних чисел зазвичай приписується Гіппас з Метапонта (бл. 500 рр. до н. е.), піфагорійця. За часів піфагорійців вважалося, що існує єдина одиниця довжини, досить мала і неподільна, яка ціле число разів входить у будь-який відрізок [ ] .
Немає точних даних про те, ірраціональність якого числа було підтверджено Гіппасом. Згідно з легендою, він знайшов його вивчаючи довжини сторін пентаграми. Тому розумно припустити, що це було золоте перетин [ ] .
Грецькі математики назвали це відношення непорівнянних величин алогос(невимовним), проте згідно з легендами не віддали Гіппасу належної поваги. Існує легенда, що Гіппас здійснив відкриття, перебуваючи в морському поході, і був викинутий за борт іншими піфагорійцями «за створення елемента всесвіту, який заперечує доктрину, що всі сутності у всесвіті можуть бути зведені до цілих чисел та їхніх стосунків». Відкриття Гіппас поставило перед піфагорійською математикою серйозну проблему, Зруйнувавши основу всієї теорії припущення, що числа і геометричні об'єкти єдині і нероздільні.

З відрізком одиничної довжини, знали вже давні математики: їм була відома, наприклад, несумірність діагоналі та сторони квадрата, що рівносильне ірраціональності числа .

Іраціональними є:

Приклади доказу ірраціональності

Корінь з 2

Допустимо неприємне: раціональний , тобто представляється у вигляді нескоротного дробу , де і - цілі числа . Зведемо передбачувану рівність у квадрат:
.
Звідси випливає, що парно, отже, парно і . Нехай де ціле. Тоді

Отже, парно, отже, парно і . Ми отримали, як і парні, що суперечить нескоротності дробу . Отже, вихідне припущення було неправильним, і - ір раціональне число.

Двійковий логарифм 3

Допустимо неприємне: раціональний , тобто представляється у вигляді дробу , де і - цілі числа . Оскільки і можуть бути обрані позитивними. Тоді

Але парно, а непарно. Отримуємо протиріччя.

e

Історія

Концепція ірраціональних чисел була неявним чином сприйнята індійськими математиками у VII столітті до нашої ери, коли Манава (бл. 750 р. до н. е. – бл. 690 р. до н. е.) з'ясував, що квадратне коріння деяких натуральних чисел, таких як 2 та 61, не можуть бути явно виражені.

Перший доказ існування ірраціональних чисел зазвичай приписується Гіппасу з Метапонта (бл. 500 р. до н. е.), піфагорійцеві, який знайшов цей доказ, вивчаючи довжини сторін пентаграми. За часів піфагорійців вважалося, що існує єдина одиниця довжини, досить мала і неподільна, яка ціле число входить у будь-який відрізок. Проте Гіппас обгрунтував, що немає єдиної одиниці довжини, оскільки припущення про її існування призводить до суперечності. Він показав, що якщо гіпотенуза рівнобедреного прямокутного трикутникамістить ціле число одиничних відрізків, це число має бути одночасно і парним, і непарним. Доказ виглядав так:
- Відношення довжини гіпотенузи до довжини катета рівнобедреного прямокутного трикутника може бути виражене як a:b, де aі bобрані найменшими із можливих.
- За теоремою Піфагора: a² = 2 b².
- Так як a² парне, aмає бути парним (оскільки квадрат непарного числа був би непарним).
- Оскільки a:bнескоротна, bмає бути непарним.
- Так як aпарне, позначимо a = 2y.
- Тоді a² = 4 y² = 2 b².
- b² = 2 y², отже b² парне, тоді і bпарно.
- Проте було доведено, що bнепарне. Протиріччя.
Грецькі математики назвали це відношення непорівнянних величин алогос(невимовним), проте згідно з легендами не віддали Гіппасу належної поваги. Існує легенда, що Гіппас здійснив відкриття, перебуваючи в морському поході, і був викинутий за борт іншими піфагорійцями «за створення елемента всесвіту, який заперечує доктрину, що всі сутності у всесвіті можуть бути зведені до цілих чисел та їхніх стосунків». Відкриття Гіппаса поставило перед піфагорійської математикою серйозну проблему, зруйнувавши припущення, що лежало в основі всієї теорії, що числа і геометричні об'єкти єдині і нероздільні.

Див. також

Примітки

Числові системи
Рахункові
множини Натуральні числа () Цілі ()

Раціональне число- Число, що представляється звичайним дробом m / n, де чисельник m - ціле число, а знаменник n - натуральне число. Будь-яке раціональне число представимо у вигляді періодичного нескінченного десяткового дробу. Безліч раціональних чисел позначається Q.

Якщо дійсне число не є раціональним, то воно ірраціональне число . Десяткові дроби, що виражають ірраціональні числа, нескінченні і не періодичні. Безліч ірраціональних чисел зазвичай позначається великою латинською літерою I.

Справжнє число називається алгебраїчнимякщо воно є коренем деякого багаточлена (ненульового ступеня) з раціональними коефіцієнтами. Будь-яке неалгебраїчне число називається трансцендентним.

Деякі властивості:
При розв'язанні задач буває зручно разом з ірраціональним числом a + b√ c (де a, b – раціональні числа, с – ціле, що не є квадратом натурального числа) розглянути «пов'язане» з ним число a – b√ c : його сума та добуток з вихідним – раціональні числа. Так що a + b√c та a – b√c є корінням квадратного рівняння з цілими коефіцієнтами.

Завдання з рішеннями

1. Доведіть, що

а) число √ 7;

б) число lg 80;

в) число √ 2 + 3 √ 3;

є ірраціональним.

а) Припустимо, що число √7 раціональне. Тоді є такі взаємно прості p і q, що √ 7 = p/q, звідки отримуємо p 2 = 7q 2 . Так як p і q взаємно прості, то p 2 а отже і p ділиться на 7. Тоді р = 7k, де k - деяке натуральне число. Звідси q2 = 7k2=pk, що суперечить тому, що p і q взаємно прості.

Отже, припущення хибне, значить, число √7 ірраціональне.

б) Припустимо, що число lg 80 раціональне. Тоді є такі натуральні p і q, що lg 80 = p/q, або 10 p = 80 q , звідки отримуємо 2 p–4q = 5 q–p . Враховуючи, що числа 2 і 5 взаємно прості, отримуємо, що остання рівність можлива лише за p–4q = 0 та q–p = 0. Звідки p = q = 0, що неможливо, тому що p та q обрані натуральними.

Отже, припущення хибне, отже, число lg 80 ірраціональне.

в) Позначимо це число через х.

Тоді (х - √ 2) 3 = 3, або х 3 + 6х - 3 = √ 2 · (3х 2 + 2). Після зведення цього рівняння квадрат отримуємо, що х повинен задовольняти рівнянню

х 6 - 6х 4 - 6х 3 + 12х 2 - 36х + 1 = 0.

Його раціональним корінням може бути тільки числа 1 і -1. Перевірка показує, що 1 і –1 є корінням.

Отже, це число √2 + 3√3 є ірраціональним.

2. Відомо, що числа a, b, √ a –√ b ,- Раціональні. Доведіть, що √ a та √ b- Теж раціональні числа.

Розглянемо твір

(√ a – √ b )·(√ a + √ b ) = a – b.

Число √ a +√ b ,яке дорівнює відношенню чисел a – b і √ a –√ b ,є раціональним, оскільки приватне від розподілу двох раціональних чисел – число раціональне. Сума двох раціональних чисел

½ (√ a + √ b ) + ½ (√ a – √ b ) = √ a

- Число раціональне, їх різниця,

½ (√ a + √ b ) – ½ (√ a – √ b ) = √ b ,

теж раціональне число, що й потрібно було довести.

3. Доведіть, що існують позитивні ірраціональні числа a та b, для яких число a b є натуральним.

4. Чи існують раціональні числа a, b, c, d, які відповідають рівності

(a + b √ 2 ) 2n + (c + d√ 2 ) 2n = 5 + 4√ 2 ,

де n - натуральне число?

Якщо виконано рівність, дану за умови, а числа a, b, c, d – раціональні, то виконано й рівність:

(a – b √ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n = 5 – 4√ 2.

Але 5 – 4√2 (a – b√2) 2n + (c – d√2) 2n > 0. Отримана суперечність доводить те, що вихідна рівність неможлива.

Відповідь: немає.

5. Якщо відрізки із довжинами a, b, c утворюють трикутник, то для всіх n = 2, 3, 4, . . . відрізки з довжинами n√a, n√b, n√c так само утворюють трикутник. Доведіть це.

Якщо відрізки з довжинами a, b, c утворюють трикутник, то нерівність трикутника дає

Тому ми маємо

( n √ a + n √ b ) n > a + b > c = ( n √ c ) n ,

N √ a + n √ b > n √ c .

Інші випадки перевірки нерівності трикутника розглядаються аналогічно, звідки і слідує висновок.

6. Доведіть, що нескінченний десятковий дріб 0,1234567891011121314... (після коми поспіль виписані всі натуральні числапо порядку) є ірраціональним числом.

Як відомо, раціональні числа виражаються десятковими дробами, які мають період, починаючи з деякого знака. Тому достатньо довести, що цей дріб не є періодичним ні з якого знака. Припустимо, що це не так, і деяка послідовність T, що складається з n цифр, є періодом дробу, починаючи з m знаку після коми. Зрозуміло, серед цифр після m-го знака зустрічаються ненульові, у послідовності цифр T є ненульова цифра. Це означає, що починаючи з m-ої цифри після коми, серед будь-яких n цифр поспіль є ненульова цифра. Однак у десятковому записі даного дробу має бути присутнім десятковий запис числа 100...0 = 10 k , де k > m і k > n. Зрозуміло, що цей запис зустрінеться правіше m-ої цифри і містить більше n нулів поспіль. Тим самим, отримуємо протиріччя, що завершує підтвердження.

7. Дано нескінченний десятковий дріб 0,a 1 a 2 ... . Доведіть, що цифри в її десятковому записі можна переставити так, щоб отриманий дріб виражав раціональне число.

Нагадаємо, що дріб виражає раціональне число в тому і тільки тому випадку, коли він періодичний, починаючи з деякого знака. Цифри від 0 до 9 розділимо на два класи: у перший клас включимо ті цифри, які зустрічаються у вихідному дробі кінцеве число разів, у другий клас – ті, які зустрічаються у вихідному дробі нескінченне число разів. Почнемо виписувати періодичний дріб, який може бути отриманий з вихідною перестановкою цифр. Спочатку після нуля та комою напишемо у довільному порядку всі цифри з першого класу - кожну стільки разів, скільки вона зустрічається у записі вихідного дробу. Записані цифри першого класу передуватимуть періоду в дрібній частині десяткового дробу. Далі, запишемо у певному порядку по одному разу цифри з другого класу. Цю комбінацію оголосимо періодом і повторюватимемо її нескінченну кількість разів. Таким чином, ми виписали шуканий періодичний дріб, що виражає деяке раціональне число.

8. Довести, що у кожному нескінченному десятковому дробі існує послідовність десяткових знаків довільної довжини, що у розкладанні дробу зустрічається нескінченно багато разів.

Нехай m – довільно задане натуральне число. Розіб'ємо цей нескінченний десятковий дріб на відрізки, по m цифр у кожному. Таких відрізків буде дуже багато. З іншого боку, різних систем, Що складаються з m цифр, існує лише 10 m , тобто кінцеве число. Отже, хоча б одна з цих систем має повторюватися тут нескінченно багато разів.

Зауваження. Для ірраціональних чисел √ 2 , π або еми навіть не знаємо, яка цифра повторюється нескінченно багато разів у нескінченних десяткових дробах, що представляють їх, хоча кожне з цих чисел, як легко можна довести, містить принаймні дві різні такі цифри.

9. Доведіть елементарним шляхом, що позитивний корінь рівняння

є ірраціональним.

Для х > 0 ліва частина рівняння зростає зі зростанням х, і легко помітити, що при х = 1,5 вона менша за 10, а при х = 1,6 – більше 10. Тому єдиний позитивний корінь рівняння лежить усередині інтервалу (1,5 1,6).

Запишемо корінь як нескоротний дріб p/q, де p і q – деякі взаємно прості натуральні числа. Тоді при х = p/q рівняння набуде наступного вигляду:

p 5 + pq 4 = 10q 5

звідки слідує, що р - дільник 10, отже, р одно одному з чисел 1, 2, 5, 10. Проте виписуючи дроби з чисельниками 1, 2, 5, 10, відразу ж помічаємо, що жодна з них не потрапляє всередину інтервалу (1,5; 1,6).

Отже, позитивний корінь вихідного рівняння може бути представлений як звичайного дробу, отже є ірраціональним числом.

10. а) Чи існують на площині три такі точки A, B та C, що для будь-якої точки X довжина хоча б одного з відрізків XA, XB та XC ірраціональна?

б) Координати вершин трикутника раціональні. Доведіть, що координати центру його описаного кола також раціональні.

в) Чи існує така сфера, на якій є рівно одна раціональна точка? (Раціональна точка - точка, у якої всі три декартові координати - раціональні числа.)

а) Так, є. Нехай C – середина відрізка AB. Тоді XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 – AB 2)/2. Якщо число AB 2 ірраціонально, числа XA, XB і XC не можуть одночасно бути раціональними.

б) Нехай (a 1 ; b 1), (a 2 ; b 2) та (a 3 ; b 3) – координати вершин трикутника. Координати центру його описаного кола задаються системою рівнянь:

(x – a 1) 2 + (y – b 1) 2 = (x – a 2) 2 + (y – b 2) 2 ,

(x – a 1) 2 + (y – b 1) 2 = (x – a 3) 2 + (y – b 3) 2 .

Легко перевірити, що ці рівняння лінійні, а значить, рішення системи рівнянь, що розглядається, раціонально.

в) Така галузь існує. Наприклад, сфера з рівнянням

(x – √2) 2 + y 2 + z 2 = 2.

Точка O з координатами (0; 0; 0) – раціональна точка, що лежить у цій сфері. Інші точки сфери ірраціональні. Доведемо це.

Допустимо неприємне: нехай (x; y; z) - раціональна точка сфери, відмінна від точки O. Зрозуміло, що х відмінний від 0, так як при x = 0 є єдине рішення (0; 0; 0), яке нас зараз не цікавить. Розкриємо дужки і висловимо √2:

x 2 – 2√2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2

√ 2 = (x 2 + y 2 + z 2)/(2x),

чого не може бути при раціональних x, y, z та ірраціональному √ 2 . Отже, О(0; 0; 0) – єдина раціональна точка на аналізованої сфері.

Завдання без рішень

1. Доведіть, що число

\[ \sqrt(10+\sqrt(24)+\sqrt(40)+\sqrt(60)) \]

є ірраціональним.

2. За яких цілих m і n виконується рівність (5 + 3√ 2 ) m = (3 + 5√ 2 ) n ?

3. Чи існує таке число а, щоб числа а – √3 та 1/а + √3 були цілими?

4. Чи можуть числа 1, √2,4 бути членами (не обов'язково сусідніми) арифметичної прогресії?

5. Доведіть, що за будь-якого натурального n рівняння (х + у√ 3 ) 2n = 1 + √ 3 немає рішень у раціональних числах (х; у).

Раціональним називається число, яке можна представити у вигляді дробу, де . Q - безліч всіх раціональних чисел.

Раціональні числа поділяються на: позитивні, негативні та нуль.

Кожному раціональному числу можна поставити у відповідність єдину точку координатної прямої. Відношенню "лівіше" для точок відповідає відношення "менше" для координат цих точок. Можна помітити, що будь-яке негативне число менше нуля та будь-якого позитивного числа; із двох негативних чисел менше те, модуль якого більший. Так, -5.3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.

Будь-яке раціонально число можна уявити десятковим періодичним дробом. Наприклад, .

Алгоритми дій над раціональними числами випливають із правил знаків відповідних дій над нулем та позитивними дробами. Q виконується розподіл, крім розподілу на нуль.

Будь-яке лінійне рівняння, тобто. рівняння виду ax+b=0, де , дозволимо на множині Q, але не будь-яке квадратне рівняннявиду , Роздільна в раціональних числах. Не кожна точка координатної прямої має раціональну точку. Ще наприкінці VI ст. н. е. у школі Піфагора було доведено, що діагональ квадрата не співмірна з його висотою, що рівносильно твердженню: «Рівняння не має раціонального коріння». Все перераховане призвело до необхідності розширення множини Q, було запроваджено поняття ірраціонального числа. Позначимо безліч ірраціональних чисел буквою J .

На координатній прямій ірраціональні координати маю всі точки, які не мають раціональних координат. , де r-множин дійсних чисел. Універсальним способомЗавдання дійсних чисел є десяткові дроби. Періодичні десяткові дроби задають раціональні числа, а неперіодичні – ірраціональні числа. Так, 2,03(52) – раціональне число, 2,03003000300003… (період кожної наступні цифрою «3» записується однією нуль більше) – ірраціональне число.

Багато Qі Rволодіють властивостями позитивності: між будь-якими двома раціональними числами існує раціональне число, наприклад, есої a
Для будь-якого ірраціонального числа α можна вказати раціональне наближення як із недоліком, так і з надлишком з будь-якою точністю: a< α
Операція вилучення кореня з деяких раціональних чисел призводить до ірраціональних чисел. Вилучення кореня натурального ступеня – алгебраїчна операція, тобто. її введення пов'язане з розв'язанням алгебраїчного рівняння виду . Якщо nнепарне, тобто. n=2k+1, де , то рівняння має єдиний корінь. Якщо nчетне, n=2k, де , то при a=0 рівняння має єдиний корінь х=0 при a<0 корней нет, при a>0 має два корені, які протилежні один одному. Вилучення кореня - операція зворотна операції зведення в натуральний ступінь.

Арифметичним коренем (для стислості коренем) n-го ступеня з неотрицательного числа а називається неотрицательное число b яке є коренем рівняння . Корінь n-ого ступеня у складі а позначається символом . При n=2 рівень кореня 2 не вказується: .

Наприклад, т.к. 2 2 = 4 і 2> 0; , т.к. 3 3 =27 та 3>0; немає т.к. -4<0.

При n=2kі a>0 корені рівняння (1) записуються так і . Наприклад, коріння рівняння х 2 =4 дорівнюють 2 і -2.

При nнепарному рівняння (1) має єдиний корінь для кожного. Якщо a≥0, то корінь цього рівняння. Якщо a<0, то –а>0 і – корінь рівняння. Так, рівняння х3 = 27 має корінь.

Усі раціональні числа можна у вигляді звичайного дробу. Це стосується і цілих чисел (наприклад, 12, -6, 0), і кінцевих десяткових дробів (наприклад, 0,5; -3,8921) і нескінченних періодичних десяткових дробів (наприклад, 0,11 (23); -3 , (87)).

Проте нескінченні неперіодичні десяткові дробиуявити у вигляді звичайних дробів неможливо. Вони то й є ірраціональними числами(тобто нераціональними). Приклад такого числа є число π, яке приблизно дорівнює 3,14. Однак чому воно точно одно, визначити не можна, так як після цифри 4 йде нескінченний ряд інших цифр, в яких не можна виділити періоди, що повторюються. При цьому, хоча число π не можна точно виразити, він має конкретний геометричний сенс. Число π – це відношення довжини будь-якого кола до довжини її діаметра. Таким чином, ірраціональні числа дійсно існують у природі, також як раціональні.

Іншим прикладом ірраціональних чисел можуть бути квадратні коріння з позитивних чисел. Вилучення коріння з одних чисел дає раціональні значення, з інших - ірраціональне. Наприклад, √4 = 2, тобто корінь із 4 - це раціональне число. А ось √2, √5, √7 та багато інших дають у результаті ірраціональні числа, тобто їх можна витягти лише з наближенням, округливши до певного знака після коми. При цьому дріб виходить неперіодичним. Тобто не можна точно і точно сказати, чому дорівнює корінь з цих чисел.

Так √5 - це число, що лежить між числами 2 і 3, так як √4 = 2, а √9 = 3. Можна також зробити висновок, що √5 ближче до 2, ніж до 3, т. к. √4 ближче до √5, ніж √9 до √5. Справді, √5 ≈ 2,23 або √5 ≈ 2,24.

Ірраціональні числа виходять також в інших обчисленнях (а не тільки при витягуванні коріння), бувають негативними.

По відношенню до ірраціональних чисел можна сказати, що який би одиничний відрізок ми не взяли для вимірювання довжини, вираженої таким числом, ми не зможемо її виміряти.

В арифметичних операціях ірраціональні числа можуть брати участь поряд із раціональними. При цьому є низка закономірностей. Наприклад, якщо в арифметичній операції беруть участь лише раціональні числа, то в результаті завжди виходить раціональне число. Якщо ж операції беруть участь лише ірраціональні, то сказати однозначно, чи вийде раціональне чи ірраціональне число, не можна.

Наприклад, якщо помножити два ірраціональні числа √2 * √2, то вийде 2 – це раціональне число. З іншого боку, √2 * √3 = √6 – це ірраціональне число.

Якщо в арифметичній операції бере участь раціональне та ірраціональне числа, то вийде ірраціональний результат. Наприклад, 1 + 3,14 ... = 4,14 ...; √17 – 4.

Чому √17 – 4 – це ірраціональне число? Припустимо, що вийде раціональне число x. Тоді √17 = x + 4. Але x + 4 – це раціональне число, тому що ми припустили, що x раціональне. Число 4 також раціональне, значить x + 4 раціонально. Однак раціональне число не може бути рівним до ірраціонального √17. Тому припущення, що √17 – 4 дає раціональний результат не так. Результат арифметичної операції буде ірраціональним.

Однак із цього правила є виняток. Якщо ми множимо ірраціональне число 0, то вийде раціональне число 0.
Рекомендуємо також