Інженерний калькулятор онлайн

Поспішаємо представити всім охочим безкоштовний інженерний калькулятор. З його допомогою будь-який учень може швидко і, що найголовніше, легко виконувати різні математичні обчислення онлайн.

Калькулятор взятий із сайту - web 2.0 scientific calculator

Простий і зручний у використанні інженерний калькулятор з ненав'язливим і зрозумілим інтерфейсом буде корисний найширшому колу користувачів мережі Інтернет. Тепер, коли вам буде необхідний калькулятор, заходьте на наш сайт та користуйтесь безкоштовним інженерним калькулятором.

Інженерному калькулятору виконати як прості арифметичні дії, так і досить складні математичні розрахунки.

Web20calc - інженерний калькулятор, який має безліч функцій, наприклад, як обчислення всіх елементарних функцій. Також калькулятор підтримує тригонометричні функції, матриці, логарифми та навіть побудова графіків.

Безперечно, Web20calc буде цікавий тій групі людей, яка в пошуку простих рішень набирає в пошукових системах запит: математичний онлайн калькулятор. Безкоштовне веб-додаток допоможе миттєво порахувати результат якогось математичного висловлювання, наприклад, відняти, скласти, поділити, витягти корінь, звести на ступінь і т.д.

У виразі можна скористатися операціями зведення в ступінь, додавання, віднімання, множення, поділу, відсотком, константою ПІ. Для складних обчислень слід зазначати дужки.

Можливості інженерного калькулятора:

1. основні арифметичні дії;
2. робота з цифрами у стандартному вигляді;
3. обчислення тригонометричних коренів, функцій, логарифмів, зведення на ступінь;
4. статистичні розрахунки: додавання, середнє арифметичне або середньоквадратичне відхилення;
5. застосування осередку пам'яті та користувальницьких функцій 2-х змінних;
6. робота з кутами в радіанному та градусному заходах.

Інженерний калькулятор дозволяє використовувати різноманітні математичні функції:

Вилучення коренів (корінь квадратний, кубічний, а також корінь n-ого ступеня);
ex (e x ступеня), експонента;
тригонометричні функції: синус – sin, косинус – cos, тангенс – tan;
зворотні тригонометричні функції: арксинус – sin-1, арккосинус – cos-1, арктангенс – tan-1;
гіперболічні функції: синус – sinh, косинус – cosh, тангенс – tanh;
логарифми: двійковий логарифм на підставі два - log2x, десятковий логарифм на підставі десять - log, натуральний логарифм – ln.

До цього інженерного калькулятора також включено калькулятор величин з можливістю конвертування фізичних величин для різних систем вимірювань – комп'ютерні одиниці, відстань, вага, час тощо. За допомогою цієї функції можна миттєво зробити переклад миль на кілометри, фунтів на кілограми, секунд на години і т.д.

Щоб зробити математичні розрахунки, для початку введіть послідовність математичних виразів у відповідне поле, потім натисніть на знак рівності і бачте результат. Можна вводити значення прямо з клавіатури (для цього область калькулятора має бути активною, отже, не зайвим буде поставити курсор у полі введення). Крім того, дані можна вносити за допомогою кнопок самого калькулятора.

Для побудови графіків у полі введення слід записати функцію так, як зазначено в полі з прикладами або скористайтеся спеціально призначеною для цього панеллю інструментів (щоб у неї перейти натисніть кнопку з іконкою у вигляді графіка). Для конвертації величин натисніть Unit, щодо робіт з матрицями – Matrix.

Початковий рівень

Перетворення виразів. Детальна теорія (2019)

Часто ми чуємо цю неприємну фразу: "спростіть вираз".Зазвичай при цьому перед нами якесь страшнисько типу цього:

"Та куди вже простіше" - говоримо ми, але така відповідь зазвичай не прокочує.

Зараз я навчу тебе не боятися жодних таких завдань.

Більше того, наприкінці заняття ти сам спростиш цей приклад до (всього!) звичайного числа (да-да, до біса ці літери).

Але перш ніж приступити до цього заняття, тобі необхідно вміти поводитися з дробамиі розкладати багаточлени на множники.

Тому, якщо ти цього не зробив раніше, обов'язково освою теми «» та «».

Прочитав? Якщо так, то тепер готовий.

Let"s go! (Поїхали!)

Важливе зауваження!Якщо замість формул ти бачиш абракадабру, почисти кеш. Для цього потрібно натиснути CTRL+F5 (Windows) або Cmd+R (Mac).

Базові операції спрощення виразів

Зараз розберемо основні прийоми, що використовуються при спрощенні виразів.

Найпростіший з них – це

1. Приведення подібних

Що таке? Ти проходив це у 7 класі, як тільки вперше в математиці з'явилися літери замість чисел.

Подібні- це доданки (одночлени) з однаковою літерною частиною.

Наприклад, у сумі подібні доданки - це і.

Згадав?

Навести подібні- означає скласти кілька подібних доданків один з одним і отримати один доданок.

А як нам скласти один з одним літери? - Запитаєш ти.

Це дуже легко зрозуміти, якщо уявити, що літери – це якісь предмети.

Наприклад, літера – це стілець. Тоді чому дорівнює вираз?

Два стільці плюс три стільці, скільки буде? Правильно, стільців: .

А тепер спробуй такий вираз: .

Щоб не заплутатися, нехай різні літери позначають різні предмети.

Наприклад, - це (як завжди) стілець, а - це стіл.

стільця столу стілець стільців стільців стільців столів

Числа, на які множаться літери в таких доданках, називаються коефіцієнтами.

Наприклад, в одночлен коефіцієнт дорівнює. А він дорівнює.

Отже, правило приведення таких:

Приклади:

Наведіть такі:

Відповіді:

2. (і подібні, тому що, отже у цих доданків однакова літерна частина).

2. Розкладання на множники

Це зазвичай найважливіша частина у спрощенні виразів.

Після того як ти навів подібні, найчастіше отриманий вираз потрібний розкласти на множники, тобто у вигляді твори.

Особливо це важливо у дробах:адже щоб можна було скоротити дріб, чисельник та знаменник мають бути представлені у вигляді твору.

Докладно способи розкладання виразів на множники ти проходив у темі «», тому тут тобі залишається лише згадати вивчене.

Для цього виріши кілька прикладів (потрібно розкласти на множники)

Приклади:

Рішення:

3. Скорочення дробу.

Ну що може бути приємніше, ніж закреслити частину чисельника та знаменника, та викинути їх зі свого життя?

У цьому вся краса скорочення.

Все просто:

Якщо чисельник і знаменник містять однакові множники, їх можна скоротити, тобто забрати з дробу.

Це правило випливає з основної властивості дробу:

Тобто суть операції скорочення в тому, що чисельник і знаменник дробу ділимо одне й те саме число (чи одне й те саме вираз).

Щоб скоротити дріб, потрібно:

1) чисельник та знаменник розкласти на множники

2) якщо в чисельнику та знаменнику є загальні множники, їх можна викреслити.

Приклади:

Принцип, я гадаю, зрозумілий?

Хочу звернути увагу на одну типову помилку під час скорочення. Хоч ця тема і проста, але дуже багато хто робить все неправильно, не розуміючи, що скоротити- це означає поділитичисельник і знаменник одне й те саме число.

Жодних скорочень, якщо в чисельнику чи знаменнику сума.

Наприклад: треба спростити.

Деякі роблять так: що абсолютно неправильно.

Ще приклад: скоротити.

«Найрозумніші» зроблять так:

Скажи мені, що тут не так? Здавалося б: це множник, значить можна скорочувати.

Але ні: - це множник лише одного доданку в чисельнику, але сам чисельник загалом на множники не розкладено.

Ось інший приклад: .

Це вираз розкладено на множники, отже, можна скоротити, тобто поділити чисельник і знаменник на, а потім і на:

Можна і відразу поділити на:

Щоб не допускати подібних помилок, запам'ятай легкий спосіб, як визначити, чи розкладено вираз на множники:

Арифметична дія, яка виконується останнім при підрахунку значення виразу, є «головною».

Тобто, якщо ти підставиш замість літер якісь (будь-які) числа, і спробуєш обчислити значення виразу, то якщо останньою дією буде множення - значить, у нас твір (вираз розкладено на множники).

Якщо останнім дією буде додавання чи віднімання, це означає, що вираз не розкладено на множники (отже, скорочувати не можна).

Для закріплення виріши самостійно кілька прикладів:

Приклади:

Рішення:

1. Сподіваюся, ти не кинувся зразу ж скорочувати і? Ще не вистачало «скоротити» одиниці типу:

Першим дією має бути розкладання на множники:

4. Додавання та віднімання дробів. Приведення дробів до спільного знаменника.

Додавання і віднімання звичайних дробів - операція добре знайома: шукаємо спільний знаменник, домножуємо кожен дріб на недостатній множник і складаємо/віднімаємо чисельники.

Давай згадаємо:

Відповіді:

1. Знаменники і – взаємно прості, тобто у них немає спільних множників. Отже, НОК цих чисел дорівнює їхньому твору. Це і буде спільний знаменник:

2. Тут спільний знаменник дорівнює:

3. Тут насамперед змішані дроби перетворюємо на неправильні, а далі – за звичною схемою:

Зовсім інша справа, якщо дроби містять букви, наприклад:

Почнемо з простого:

a) Знаменники не містять літер

Тут все те ж, що і зі звичайними числовими дробами: знаходимо спільний знаменник, домножуємо кожен дріб на множник, що бракує, і складаємо/віднімаємо чисельники:

тепер у чисельнику можна наводити подібні, якщо є, і розкладати на множники:

Спробуй сам:

Відповіді:

b) Знаменники містять літери

Пригадаймо принцип знаходження спільного знаменника без літер:

· Насамперед ми визначаємо загальні множники;

· Потім виписуємо всі загальні множники по одному разу;

· І домножуємо їх на всі інші множники, не спільні.

Щоб визначити спільні множники знаменників, спочатку розкладемо їх на прості множники:

Підкреслимо спільні множники:

Тепер випишемо спільні множники по одному разу і допишемо до них усі загальні (не підкреслені) множники:

Це і є спільний знаменник.

Повернемося до букв. Знаменники наводяться за такою ж схемою:

· Розкладаємо знаменники на множники;

· Визначаємо загальні (однакові) множники;

· Виписуємо всі загальні множники по одному разу;

· Домножуємо їх на всі інші множники, не загальні.

Отже, по порядку:

1) розкладаємо знаменники на множники:

2) визначаємо загальні (однакові) множники:

3) виписуємо всі загальні множники по одному разу і примножуємо їх на всі інші (непідкреслені) множники:

Виходить, спільний знаменник тут. Перший дріб потрібно домножити на, другий - на:

До речі, є одна хитрість:

Наприклад: .

Бачимо в знаменниках одні й ті самі множники, тільки всі з різними показниками. До спільного знаменника підуть:

у ступені

у ступені

у ступені

у ступені.

Ускладнимо завдання:

Як зробити у дробів однаковий знаменник?

Давай згадаємо основну властивість дробу:

Ніде не сказано, що з чисельника та знаменника дробу можна віднімати (або додавати) одне й те саме число. Тому що це не так!

Переконайся сам: візьми будь-який дріб, наприклад, і додай до чисельника і знаменника якесь число, наприклад, . Що повчилося?

Отже, чергове непорушне правило:

Коли наводиш дроби до спільного знаменника, користуйся лише операцією множення!

Але на що ж треба примножити, щоби отримати?

Ось на і домнож. А примножуй на:

Вирази, які неможливо розкласти на множники називатимемо «елементарними множниками».

Наприклад, це елементарний множник. - теж. А ось – ні: він розкладається на множники.

Що скажеш щодо виразу? Воно елементарне?

Ні, оскільки його можна розкласти на множники:

(про розкладання на множники ти вже читав у темі «Розділ»).

Так ось, елементарні множники, на які ти розкладаєш вираз із літерами – це аналог простих множників, на які ти розкладаєш числа. І робитимемо з ними таким же чином.

Бачимо, що в обох знаменниках є множник. Він піде у спільний знаменник у мірі (пам'ятаєш, чому?).

Множник - елементарний, і він у них не загальний, значить перший дріб на нього доведеться просто помножити:

Ще приклад:

Рішення:

Перш ніж у паніці перемножувати ці знаменники, треба подумати, як їх розкласти на множники? Обидва вони представляють:

Чудово! Тоді:

Ще приклад:

Рішення:

Як завжди, розкладемо знаменники на множники. У першому знаменнику просто виносимо за дужки; у другому - різниця квадратів:

Здавалося б, спільних множників немає. Але якщо придивитися, то й так схожі… І справді:

Так і напишемо:

Тобто вийшло так: усередині дужки ми поміняли подекуди, і при цьому знак перед дробом помінявся на протилежний. Візьми на замітку, так робити доведеться часто.

Тепер приводимо до спільного знаменника:

Засвоїв? Зараз перевіримо.

Завдання для самостійного вирішення:

Відповіді:

Тут треба згадати ще одну - різницю кубів:

Зверніть увагу, що у знаменнику другого дробу не формула «квадрат суми»! Квадрат суми виглядав так: .

А - це так званий неповний квадрат суми: другий доданок у ньому - це твір першого та останнього, а не подвоєний їхній твір. Неповний квадрат суми - це один із множників у розкладанні різниці кубів:

Що робити, якщо дробів аж три штуки?

Та те саме! Насамперед зробимо так, щоб максимальна кількість множників у знаменниках була однаковою:

Зверніть увагу: якщо поміняти знаки всередині однієї дужки, знак перед дробом змінюється на протилежний. Коли міняємо знаки у другій дужці, знак перед дробом знову змінюється на протилежний. В результаті він (знак перед дробом) не змінився.

До загального знаменника виписуємо повністю перший знаменник, а потім дописуємо до нього всі множники, які ще не написані, з другого, а потім із третього (і так далі, якщо дробів більше). Тобто виходить так:

Хм... З дробами зрозуміло що робити. Але як бути з двійкою?

Все просто: адже ти вмієш складати дроби? Отже, треба зробити так, щоб двійка стала дробом! Згадуємо: дріб – це операція поділу (числитель ділиться на знаменник, якщо ти раптом забув). І немає нічого простішого, ніж розділити число на. При цьому саме число не зміниться, але перетвориться на дріб:

Те що потрібно!

5. Множення та розподіл дробів.

Що ж, найскладніше тепер позаду. А попереду у нас найпростіше, але при цьому найважливіше:

Порядок дій

Який порядок дій при підрахунку числового виразу? Згадай, порахувавши значення такого виразу:

Порахував?

Повинно вийти.

Отже, нагадую.

Насамперед обчислюється ступінь.

Другим - множення та розподіл. Якщо множень і поділів одночасно кілька, робити їх можна у будь-якому порядку.

І наостанок виконуємо складання та віднімання. Знову ж таки, в будь-якому порядку.

Але: вираз у дужках обчислюється позачергово!

Якщо кілька дужок множаться або діляться один на одного, обчислюємо спочатку вираз у кожній із дужок, а потім множимо або поділи їх.

А якщо всередині дужок є ще одні дужки? Ну давай подумаємо: усередині дужок написаний якийсь вираз. А при обчисленні виразу насамперед треба робити що? Правильно, обчислювати дужки. Ну ось і розібралися: спочатку обчислюємо внутрішні дужки, потім решту.

Отже, порядок дій для вираження вище такий (червоним виділено поточне дію, тобто дію, яке виконую зараз):

Добре, це просто.

Але ж це не те саме, що вираз з літерами?

Ні, це те саме! Тільки замість арифметичних дій треба робити алгебраїчну, тобто дії, описані в попередньому розділі: приведення подібних, додавання дробів, скорочення дробів і так далі. Єдиною відмінністю буде дія розкладання багаточленів на множники (його часто застосовуємо під час роботи з дробами). Найчастіше для розкладання на множники потрібно застосовувати або просто виносити загальний множник за дужки.

Зазвичай наша мета - уявити вираз у вигляді твору чи приватного.

Наприклад:

Спростимо вираз.

1) Першим спрощуємо вираз у дужках. Там у нас різниця дробів, а наша мета – уявити її як твір чи приватний. Отже, наводимо дроби до спільного знаменника і складаємо:

Більше цього виразу спростити неможливо, всі множники тут - елементарні (ти ще пам'ятаєш, що це означає?).

2) Отримуємо:

Розмноження дробів: що може бути простішим.

3) Тепер можна і скоротити:

Ну от і все. Нічого складного, правда?

Ще приклад:

Спрости вираз.

Спочатку спробуй вирішити сам, і вже потім подивися рішення.

Рішення:

Насамперед визначимо порядок дій.

Спочатку виконаємо складання дробів у дужках, вийде замість двох дробів один.

Потім виконаємо поділ дробів. Ну і результат складемо з останнім дробом.

Схематично пронумерую дії:

Тепер покажу звістку процес, підфарбовуючи поточну дію червоним:

Насамкінець дам тобі дві корисні поради:

1. Якщо є такі, їх треба негайно навести. У який би момент у нас не утворилися подібні, їх бажано наводити одразу.

2. Те саме стосується скорочення дробів: як тільки з'являється можливість скоротити, їй треба скористатися. Виняток становлять дроби, які ти складаєш або віднімаєш: якщо у них зараз однакові знаменники, то скорочення потрібно залишити на потім.

Ось тобі завдання для самостійного вирішення:

І обіцяна на самому початку:

Відповіді:

Рішення (короткі):

Якщо ти впорався хоча б із першими трьома прикладами, то тему ти, вважай, опанував.

Тепер уперед до навчання!

ПЕРЕТВОРЕННЯ ВИРАЗІВ. КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

Базові операції спрощення:

• Приведення подібних: щоб скласти (навести) подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти і приписати літерну частину.
• Розкладання на множники:винесення загального множника за дужки, застосування тощо.
• Скорочення дробу: чисельник і знаменник дробу можна множити або ділити на те саме ненульове число, від чого величина дробу не змінюється.
  1) чисельник та знаменник розкласти на множники
  2) якщо в чисельнику та знаменнику є спільні множники, їх можна викреслити.

  ВАЖЛИВО: скорочувати можна лише множники!

• Додавання та віднімання дробів:
  ;
• Розмноження та розподіл дробів:
  ;

Примітка 1

Логічну функцію можна записати за допомогою логічного виразу, а потім можна перейти до логічної схеми. Спрощувати логічні висловлювання треба для того, щоб отримати якомога простішу (а значить, і дешевшу) логічну схему. По суті, логічна функція, логічне вираження та логічна схема - це три різні мови, що розповідають про одну сутність.

Для спрощення логічних виразів використовують закони алгебри логіки.

Якісь перетворення схожі на перетворення формул у класичній алгебрі (винесення загального множника за дужки, використання переміщувального та сполучного законів тощо), а інші перетворення засновані на властивостях, які операції класичної алгебри не мають (використання розподільчого закону для кон'юнкції, законів поглинання, склеювання, правил де Моргана та ін.).

Закони алгебри логіки формулюються для базових логічних операцій - "НЕ" - інверсія (заперечення), "І" - кон'юнкція (логічне множення) та "АБО" - диз'юнкція (логічне додавання).

Закон подвійного заперечення означає, що операція “НЕ” оборотна: якщо застосувати її двічі, то результаті логічне значення не зміниться.

Закон виключеного третього говорить, що будь-яке логічне вираз або істинно, або хибно ("третього не дано"). Тому якщо $A=1$, то $\bar(A)=0$ (і навпаки), отже, кон'юнкція цих величин завжди дорівнює нулю, а диз'юнкція дорівнює одиниці.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Спростимо цю формулу:

Рисунок 3.

Звідси випливає, що $A = 0 $, $ B = 1 $, $ C = 1 $, $ D = 1 $.

Відповідь:у шахи грають учні $B$, $C$ та $D$, а учень $A$ не грає.

При спрощенні логічних виразів можна виконувати таку послідовність дій:

1. Замінити всі “небазові” операції (еквівалентність, імплікацію, що виключає АБО та інших.) з їхньої висловлювання через базові операції інверсію, кон'юнкцію і диз'юнкцію.
2. Розкрити інверсії складних висловів за правилами де Моргана в такий спосіб, щоб операції заперечення залишилися лише в окремих змінних.
3. Потім спростити вираз, використовуючи розкриття дужок, винесення загальних множників за дужки та інші алгебри закони логіки.

Приклад 2

Тут послідовно використано правило де Моргана, розподільчий закон, закон виключеного третього, переміщувальний закон, закон повторення, знову переміщувальний закон та закон поглинання.

За допомогою будь-якої мови можна висловити ту саму інформацію різними словами та зворотами. Не є винятком і математична мова. Але те саме вираз можна еквівалентним чином записати по-різному. І в деяких ситуаціях один із записів є більш простим. Про спрощення висловлювань ми й поговоримо на цьому уроці.

Люди спілкуються різними мовами. Для нас важливим порівнянням є пара «російська мова – математична мова». Одну й ту саму інформацію можна повідомити різними мовами. Але, крім цього, її можна однією мовою вимовити по-різному.

Наприклад: «Петя товаришує з Васею», «Вася товаришує з Петею», «Петя з Васею друзі». Сказано по-різному, але те саме. За будь-якою з цих фраз ми зрозуміли б, про що йдеться.

Давайте подивимося таку фразу: «Хлопчик Петя і хлопчик Вася дружать». Ми зрозуміли, про що йдеться. Проте нам не подобається, як звучить ця фраза. Чи не можемо ми її спростити, сказати те саме, але простіше? «Хлопчик і хлопчик» - можна один раз сказати: «Хлопчики Петя і Вася дружать».

Хлопчики... Хіба за іменами не зрозуміло, що вони не дівчатка. Прибираємо «хлопчики»: «Петя та Вася дружать». А слово «дружать» можна замінити на «друзі»: «Петя та Вася – друзі». У результаті першу, довгу негарну фразу замінили еквівалентним висловлюванням, яке простіше сказати та простіше зрозуміти. Ми спростили цю фразу. Спростити- означає сказати простіше, але не втратити, не спотворити сенс.

У математичній мові відбувається приблизно те саме. Одне й те саме можна сказати, записати по-різному. Що означає спростити вираз? Це означає, що з вихідного висловлювання існує безліч еквівалентних виразів, тобто тих, що означають те саме. І з усієї цієї множини ми повинні вибрати найпростіше, на наш погляд, чи найпридатніше для наших подальших цілей.

Наприклад, розглянемо числове вираз . Йому еквівалентне буде.

Також буде еквівалентно першим двом: .

Виходить, що ми спростили наші вирази і знайшли найкоротший еквівалентний вираз.

Для числових виразів завжди потрібно виконувати всі дії та отримувати еквівалентний вираз у вигляді одного числа.

Розглянемо приклад літерного виразу . Очевидно, що найпростіше буде .

У разі спрощення буквених виразів необхідно виконати всі дії, які можливі.

Чи завжди потрібно спрощувати вираз? Ні, іноді нам зручніше буде еквівалентний, але довший запис.

Приклад: від числа потрібно відібрати число .

Обчислити можна, але якби перше число було представлено своїм еквівалентним записом: , то обчислення було б миттєвими: .

Тобто спрощене вираження який завжди нам вигідно подальших обчислень.

Тим не менш, дуже часто ми стикаємося із завданням, яке так і звучить «спростити вираз».

Спростити вираз: .

Рішення

1) Виконаємо події у перших та у других дужках: .

2) Обчислимо твори: .

Очевидно, останній вираз має більш простий вигляд, ніж початковий. Ми його спростили.

Щоб спростити вираз, його необхідно замінити на еквівалентне (рівне).

Для визначення еквівалентного виразу необхідно:

1) виконати всі можливі дії,

2) користуватися властивостями додавання, віднімання, множення та поділу для спрощення обчислень.

Властивості додавання та віднімання:

1. Переміщувальна властивість додавання: від перестановки доданків сума не змінюється.

2. Поєднувальна властивість додавання: щоб до суми двох чисел додати третє число, можна до першого числа додати суму другого та третього числа.

3. Властивість віднімання суми з числа: щоб відняти суму з числа, можна віднімати кожне доданок окремо.

Властивості множення та розподілу

1. Переміщувальна властивість множення: від перестановки множників твір не змінюється.

2. Поєднання: щоб помножити число на добуток двох чисел, можна спочатку помножити його на перший множник, а потім отриманий добуток помножити на другий множник.

3. Розподільча властивість множення: щоб число помножити на суму, потрібно його помножити на кожне доданок окремо.

Подивимося, як ми насправді робимо обчислення в умі.

Обчисліть:

Рішення

1) Уявимо як

2) Представимо перший множник як суму розрядних доданків та виконаємо множення:

3) можна уявити як і виконати множення:

4) Замінимо перший множник еквівалентною сумою:

Розподільний закон можна використовувати і у зворотний бік: .

Виконайте дії:

1) 2)

Рішення

1) Для зручності можна скористатися розподільним законом, тільки використовувати його у зворотний бік – винести загальний множник за дужки.

2) Винесемо за дужки загальний множник

Необхідно купити лінолеум на кухню та передпокій. Площа кухні - , вітальні - . Є три види лінолеумів: по , і за . Скільки коштуватиме кожен із трьох видів лінолеуму? (Мал. 1)

Рис. 1. Ілюстрація до умови завдання

Рішення

Спосіб 1. Можна окремо знайти, скільки грошей потрібно на покупку лінолеуму в кухню, а потім у передпокій та отримані твори скласти.

§ 1 Поняття спрощення літерного виразу

У цьому занятті познайомимося з поняттям «подібні доданки» і на прикладах навчимося виконувати приведення подібних доданків, спрощуючи таким чином буквені вирази.

З'ясуємо сенс поняття «спрощення». Слово «спрощення» утворене від слова «спростити». Спростити - це зробити простим, простіше. Отже, спростити буквене вираз - це зробити його коротшим, з мінімальною кількістю дій.

Розглянемо вираз 9х+4х. Це буквене вираз, що є сумою. Доданки тут представлені у вигляді творів числа та літери. Числовий множник таких доданків називається коефіцієнтом. У цьому виразі коефіцієнтами будуть числа 9 і 4. Зверніть увагу, множник, представлений буквою - однаковий в обох доданках цієї суми.

Згадаймо розподільчий закон множення:

Щоб помножити суму на число, можна помножити на це число кожне доданок та отримані твори скласти.

Загалом записується так: (а + b) ∙ с = ​​ac + bc.

Цей закон виконується в обидві сторони ac + bc = (а + b) ∙ с

Застосуємо його до нашого буквеного виразу: сума творів 9х і 4х дорівнює добутку, перший множник якого дорівнює сумі 9 і 4, другий множник – х.

9+4=13, виходить 13х.

9х + 4х = (9 + 4) х = 13х.

Замість трьох дій у виразі залишилася одна дія – множення. Отже, ми зробили наше літерне вираз простіше, тобто. спростили його.

§ 2 Приведення подібних доданків

Доданки 9х і 4х відрізняються лише своїми коефіцієнтами - такі доданки називають подібними. Літерна частина у подібних доданків однакова. До подібних доданків відносяться також числа та рівні доданки.

Наприклад, у виразі 9а + 12 - 15 подібними доданками будуть числа 12 і -15, а в сумі твори 12 і 6а, числа 14 і твори 12 і 6а (12 ∙ 6а + 14 + 12 ∙ 6а) подібними будуть рівні доданки, представлені творами 12 та 6а.

Важливо відзначити, що доданки, у яких рівні коефіцієнти, а буквені множники різні, подібними не є, хоча до них корисно іноді застосувати розподільний закон множення, наприклад, сума творів 5х і 5у дорівнює добутку числа 5 і суми х і у

5х + 5y = 5 (x + y).

Спростимо вираз -9а + 15а - 4 + 10.

Подібними доданками в даному випадку є доданки -9а і 15а, оскільки вони відрізняються лише своїми коефіцієнтами. Літерний множник у них однаковий, також подібними є доданки -4 і 10, оскільки є числами. Складаємо подібні доданки:

9а + 15а – 4 + 10

9а + 15а = 6а;

Отримуємо: 6а+6.

Спрощуючи вираз, ми знаходили суми подібних доданків, у математиці це називають приведенням подібних доданків.

Якщо приведення подібних доданків викликає утруднення, можна вигадати до них слова і складати предмети.

Наприклад, розглянемо вираз:

На кожну букву беремо свій предмет: b-яблуко, с-груша, тоді вийде: 2 яблука мінус 5 груш плюс 8 груш.

Чи можемо з яблук відняти груші? Звичайно, ні. А ось до мінус 5 груш додати 8 груш можемо.

Наведемо подібні доданки -5 груш + 8 груш. У подібних доданків буквена частина однакова, тому при приведенні подібних доданків достатньо виконати додавання коефіцієнтів і до результату дописати буквену частину:

(-5 + 8) груш – вийде 3 груші.

Повертаючись до нашого буквеного виразу, маємо -5 с + 8 с = 3 с. Таким чином, після приведення подібних доданків отримаємо вираз 2b + 3с.

Отже, на цьому занятті Ви познайомилися з поняттям «подібні доданки» та навчилися спрощувати буквені вирази шляхом приведення подібних доданків.

Список використаної литературы:

1. Математика. 6 клас: поурочні плани до підручника І.І. Зубарєвої, А.Г. Мордковича// автор-упорядник Л.А. Топілін. Менімозіна 2009.
2. Математика. 6 клас: підручник для учнів загальноосвітніх закладів. І.І.Зубарєва, А.Г. Мордкович .- М: Мнемозіна, 2013.
3. Математика. 6 клас: підручник для загальноосвітніх закладів/Г.В. Дорофєєв, І.Ф. Шаригін, С.Б. Суворова та ін/за редакцією Г.В. Дорофєєва, І.Ф. Шаригіна; Рос.акад.наук, Рос.акад.освіти. М.: "Освіта", 2010.
4. Математика. 6 клас: навч.для загальноосвіт.установ/Н.Я. Віленкін, В.І. Жохов, А.С. Чесноков, С.І. Шварцбурд. - М.: Мнемозіна, 2013.
5. Математика. 6 кл.: Підручник / Г.К. Муравін, О.В. Муравіні. - М.: Дрофа, 2014.

Використані зображення: