Дробові раціональні вирази є прикладами з рішеннями. Раціональний вираз

Стаття розповідає про перетворення раціональних виразів. Розглянемо види раціональних виразів, їх перетворення, угруповання, винесення за дужки загального множника. Навчимося представляти дробові раціональні вирази у вигляді раціональних дробів.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Визначення та приклади раціональних виразів

Визначення 1

Вирази, складені з чисел, змінних, дужок, ступенів з діями складання, віднімання, множення, поділу з наявністю риси дробу, називають раціональними висловлюваннями.

Для прикладу маємо, що 5 , 2 3 · x - 5 , - 3 · a · b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) · (y - 2) x 5 - 5 · x · y · 2 - 1 11 · x 3 .

Тобто це такі вирази, які не мають поділу на вирази зі змінними. Вивчення раціональних виразів починається з 8 класу, де їх називають дробовими раціональними виразами. Особливу увагу приділяють дробам у чисельнику, які перетворюють за допомогою правил перетворення.

Це дозволяє переходити до перетворення раціональних дробів довільного вигляду. Такий вираз може бути розглянуто як вираз із наявністю раціональних дробів та цілих виразів зі знаками дій.

Основні види перетворень раціональних виразів

Раціональні висловлювання використовуються у тому, щоб виконувати тотожні перетворення, угруповання, приведення подібних, виконання інших дій з числами. Мета таких виразів – це спрощення.

Приклад 1

Перетворити раціональний вираз 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .

Рішення

Видно, що таке раціональне вираз – це різниця 3 · x x · y - 1 та 2 · x x · y - 1 . Зауважуємо, що знаменник у них ідентичний. Це означає, що приведення подібних доданків набуде вигляду

3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 · 3 - 2 = x x · y - 1

Відповідь: 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 .

Приклад 2

Виконати перетворення 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) .

Рішення

Спочатку виконуємо дії у дужках 3 · x − x = 2 · x. Даний вираз представляємо у вигляді 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x . Ми приходимо до виразу, який містить дії з одним щаблем, тобто має складання та віднімання.

Позбавляються від дужок за допомогою застосування властивості розподілу. Тоді отримуємо, що 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x .

Групуємо числові множники зі змінною x , після цього можна виконувати дії зі ступенями. Отримуємо, що

2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x = (2 · (- 4) : 2) · (x · x 2: x) · y 4 = - 4 · x 2 · y 4

Відповідь: 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = - 4 · x 2 · y 4 .

Приклад 3

Перетворити вираз виду x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .

Рішення

Для початку перетворюємо чисельник та знаменник. Тоді отримуємо вираз виду (x · (x + 3) - (3 · x + 1)) : 1 2 · x · 4 + 2, причому дії в дужках роблять насамперед. У чисельнику виконуються дії та групуються множники. Після чого отримуємо вираз виду x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x - 3 · x - 1 1 2 · 4 · x + 2 = x 2 - 1 2 · x + 2 .

Перетворимо в чисельнику формулу різниці квадратів, тоді отримуємо, що

x 2 - 1 2 · x + 2 = (x - 1) · (x + 1) 2 · (x + 1) = x - 1 2

Відповідь: x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x - 1 2 .

Подання у вигляді раціонального дробу

Алгебраїчна дріб найчастіше піддається спрощенню при вирішенні. Кожне раціональне наводиться до цього різними способами. Необхідно виконати все необхідні діїз многочленами у тому, щоб раціональне вираз у результаті змогло дати раціональну дріб.

Приклад 4

Подати у вигляді раціонального дробу a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a .

Рішення

Даний вираз можна подати у вигляді a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a. Множення виконується насамперед за правилами.

Слід почати з множення, тоді матимемо, що

a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a - 5 · (a + 5) a + 3 · 1 a · (a + 5) = a - 5 · (a + 5) · 1 ( a + 3) · a · (a + 5) = a - 5 (a + 3) · a

Проводимо уявлення отриманого результату з вихідним. Отримаємо, що

a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a

Тепер виконуємо віднімання:

a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a = a + 5 · a + 3 a · (a - 3) · (a + 3) - (a - 5) · (a - 3) (a + 3) · a · (a - 3) = = a + 5 · a + 3 - (a - 5) · (a - 3) a · (a - 3) · (a + 3) = a 2 + 3 · a + 5 · a + 15 - (a 2 - 3 · a - 5 · a + 15) a · (a - 3) · (a + 3) = = 16 · aa · (a - 3) · (a + 3) = 16 a - 3 · (a + 3) = 16 a 2 - 9

Після чого очевидно, що вихідний вираз набуде вигляду 16 a 2 - 9 .

Відповідь: a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 - 9 .

Приклад 5

Уявити x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x у вигляді раціонального дробу.

Рішення

Задане вираз записується як дріб, у чисельнику якого є x x + 1 + 1 , а знаменнику 2 · x - 1 1 + x . Необхідно зробити перетворення x x + 1 + 1 . Для цього потрібно виконати складання дробу та числа. Отримуємо, що xx + 1 + 1 = xx + 1 + 1 1 = xx + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = xx + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 · x + 1 x + 1

Слід, що x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 x + 1 2 · x - 1 1 + x

Дріб, що вийшов, може бути записаний як 2 · x + 1 x + 1: 2 · x - 1 1 + x .

Після поділу прийдемо до раціонального дробу виду

2 · x + 1 x + 1: 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 x + 1 · 1 + x 2 · x - 1 = 2 · x + 1 · (1 + x) (x + 1) · (2 ​​· x - 1) = 2 · x + 1 2 · x - 1

Можна вирішити це інакше.

Замість розподілу на 2 · x - 1 1 + x виробляємо множення на зворотний їй 1 + x 2 · x - 1 . Застосуємо розподільну властивість та отримуємо, що

xx + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = xx + 1 + 1: 2 · x - 1 1 + x = xx + 1 + 1 · 1 + x 2 · x - 1 = = xx + 1 · 1 + x 2 · x - 1 + 1 · 1 + x 2 · x - 1 = x · 1 + x (x + 1) · 2 · x - 1 + 1 + x 2 · x - 1 = = x 2 · x - 1 + 1 + x 2 · x - 1 = x + 1 + x 2 · x - 1 = 2 · x + 1 2 · x - 1

Відповідь: x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x - 1 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

На даному уроці будуть розглянуті основні відомості про раціональні висловлювання та їх перетворення, а також приклади перетворення раціональних виразів. Ця тема хіба що узагальнює вивчені нами раніше теми. Перетворення раціональних виразів мають на увазі додавання, віднімання, множення, розподіл, зведення в ступінь алгебраїчних дробів, скорочення, розкладання на множники тощо. п. У межах уроку ми розглянемо, що таке раціональне вираження, і навіть розберемо приклади їх перетворення.

Тема:Алгебраїчні дроби. Арифметичні операції над алгебраїчними дробами

Урок:Основні відомості про раціональні висловлювання та їх перетворення

Визначення

Раціональний вираз- це вираз, що складається з чисел, змінних, арифметичних операцій та операції зведення у ступінь.

Розглянемо приклад раціонального виразу:

Окремі випадки раціональних виразів:

1. ступінь: ;

2. одночлен: ;

3. дріб: .

Перетворення раціонального вираження- це спрощення оптимального висловлювання. Порядок дій при перетворенні раціональних виразів: спочатку йдуть дії в дужках, потім операції множення (поділу), а потім уже операції додавання (віднімання).

Розглянемо кілька прикладів перетворення раціональних выражений.

Приклад 1

Рішення:

Розв'яжемо цей приклад за діями. Першим виконується дія у дужках.

Відповідь:

Приклад 2

Рішення:

Відповідь:

Приклад 3

Рішення:

Відповідь: .

Примітка:можливо, у вас побачивши даного прикладувиникла ідея: скоротити дріб перед тим, як призводити до спільного знаменника. Справді, вона абсолютно правильною: спочатку бажано максимально спростити вираз, та був його перетворювати. Спробуємо вирішити цей приклад другим способом.

Як бачимо, відповідь вийшла абсолютно аналогічною, а ось рішення виявилося дещо простішим.

На цьому уроці ми розглянули раціональні висловлювання та їх перетворення, а також кілька конкретних прикладівданих перетворень.

Список літератури

1. Башмаков М.І. Алгебра 8 клас. - М: Просвітництво, 2004.

2. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Бунімович Є.А. та ін Алгебра 8. - 5-те вид. - М: Просвітництво, 2010.

Ця стаття присвячена перетворення раціональних виразів, переважно дрібно раціональних, – одному з ключових питань курсу алгебри для 8 класів. Спочатку ми нагадаємо, вирази якого виду називають раціональними. Далі зупинимося на проведенні стандартних перетворень з раціональними виразами, таких як угруповання доданків, винесення за дужки загальних множників, приведення подібних доданків тощо. Нарешті, навчимося представляти дробові раціональні вирази у вигляді раціональних дробів.

Навігація на сторінці.

Визначення та приклади раціональних виразів

Раціональні висловлювання є одним із видів виразів, що вивчаються на уроках алгебри в школі. Дамо визначення.

Визначення.

Вирази, складені з чисел, змінних, дужок, ступенів із цілими показниками, з'єднаних за допомогою знаків арифметичних дій+, −, · і:, де розподіл може бути позначений рисою дробу, називаються раціональними виразами.

Наведемо кілька прикладів оптимальних выражений: .

Раціональні висловлювання починають цілеспрямовано вивчатися у 7 класі. Причому в 7 класі пізнаються основи роботи з так званими цілими раціональними виразами, тобто, з раціональними виразами, які містять поділу на висловлювання зі змінними. І тому послідовно вивчаються одночлени і многочлени , і навіть принципи виконання з ними. Всі ці знання в результаті дозволяють виконувати перетворення цілих виразів.

У 8 класі переходять до вивчення раціональних виразів, що містять розподіл на вираз зі змінними, які називають дробовими раціональними виразами. При цьому особливу увагуприділяється так званим раціональним дробам(їх також називають алгебраїчними дробами), тобто дробів, у чисельнику та знаменнику яких знаходяться багаточлени. Це дає можливість виконувати перетворення раціональних дробів.

Набуті навички дозволяють перейти до перетворення раціональних виразів довільного вигляду. Це пояснюється тим, що будь-який раціональний вираз можна розглядати як вираз, складений з раціональних дробів та цілих виразів, сполучених знаками арифметичних дій. А працювати з цілими виразами та алгебраїчними дробами ми вже вміємо.

Основні види перетворень раціональних виразів

З раціональними висловлюваннями можна проводити будь-які з основних тотожних перетворень , чи це угруповання доданків або множників, приведення подібних доданків, виконання дій з числами і т.п. Зазвичай метою виконання цих перетворень є спрощення раціонального вираження.

приклад.

.

Рішення.

Зрозуміло, що це раціональне вираз є різниця двох виразів і , причому дані висловлювання є подібними, оскільки мають однакову буквену частину. Таким чином, ми можемо виконати приведення подібних доданків:

Відповідь:

.

Зрозуміло, що з проведенні перетворень з раціональними висловлюваннями, як, втім, і з будь-якими іншими висловлюваннями, слід залишатися у межах прийнятого порядку виконання действий .

приклад.

Виконайте перетворення раціонального виразу.

Рішення.

Ми знаємо, що спочатку виконуються дії у дужках. Тому в першу чергу перетворимо вираз у дужках: 3 x-x = 2 x .

Тепер можна підставити отриманий результат у вихідний раціональний вираз: . Так ми дійшли виразу, що містить дії одного ступеня – додавання та множення.

Позбавимося дужок наприкінці висловлювання, застосувавши властивість розподілу на твір: .

Нарешті, ми можемо згрупувати числові множники та множники зі змінною x, після чого виконати відповідні дії з числами та застосувати : .

У цьому перетворення раціонального висловлювання завершено, й у результаті отримали одночлен.

Відповідь:

приклад.

Перетворіть раціональний вираз .

Рішення.

Спочатку перетворимо чисельник і знаменник. Такий порядок перетворення дробів пояснюється тим, що риса дробу за своєю сутністю є інше позначення поділу, і вихідне раціональне вираження по суті є окремим видом. , А дії в дужках виконуються насамперед.

Отже, в чисельнику виконуємо дії з багаточленами, спочатку множення, потім - віднімання, а в знаменнику згрупуємо числові множники, і обчислимо їх добуток: .

Ще представимо чисельник і знаменник отриманого дробу як твори: раптом можливе скорочення алгебраїчної дробу . Для цього в чисельнику скористаємося формулою різниці квадратів, а у знаменнику винесемо двійку за дужки, маємо .

Відповідь:

.

Отже, початкове знайомство з перетворенням раціональних виразів вважатимуться таким, що відбулося. Переходимо, так би мовити, до найсолодшого.

Подання у вигляді раціонального дробу

Найчастіше кінцевою метою перетворення висловів є спрощення їхнього виду. У цьому світі най простим виглядом, До якого можна перетворити дробово раціональне вираз, є раціональна (алгебраїчна) дріб, і в окремому випадку багаточлен, одночлен або число.

А чи будь-який раціональний вираз можна у вигляді раціонального дробу? Відповідь ствердна. Пояснимо, чому це так.

Як ми вже сказали, будь-який раціональний вираз можна розглядати як багаточлени та раціональні дроби, сполучені знаками плюс, мінус, помножити та розділити. Усі відповідні дії з багаточленами дають багаточлен або раціональний дріб. У свою чергу будь-який многочлен можна перетворити на алгебраїчну дріб, записавши його зі знаменником 1 . А додавання, віднімання, множення та розподіл раціональних дробів у результаті дають новий раціональний дріб. Отже, виконавши всі дії з багаточленами та раціональними дробами у раціональному вираженні, ми отримаємо раціональний дріб.

приклад.

Подайте у вигляді раціонального дробу вираз .

Рішення.

Вихідний раціональний вираз є різницею дробу і добутку дробів виду . Відповідно до порядку виконання дій ми спочатку маємо виконати множення, а вже потім – додавання.

Починаємо з множення алгебраїчних дробів:

Підставляємо отриманий результат у вихідний раціональний вираз: .

Ми прийшли до віднімання алгебраїчних дробів з різними знаменниками:

Отже, виконавши дії з раціональними дробами, що становлять вихідний раціональний вираз, ми його представили у вигляді раціонального дробу.

Відповідь:

.

Для закріплення матеріалу розберемо рішення ще одного прикладу.

приклад.

Подайте раціональний вираз у вигляді раціонального дробу.

Будь-яке дробовий вираз(п. 48) можна записати у вигляді , де Р і Q - раціональні вирази, причому Q обов'язково містить змінні. Такий дріб - називають раціональним дробом.

Приклади раціональних дробів:

Основна властивість дробу виражається тотожністю справедливою за умов тут - ціле раціональне вираження. Це означає, що чисельник і знаменник раціонального дробу можна помножити чи розділити одне й те відмінне від нуля число, одночлен чи многочлен.

Наприклад, властивість дробу може бути використана для зміни знаків членів дробу. Якщо чисельник і знаменник дробу – помножити на -1, отримаємо Таким чином, значення дробу не зміниться, якщо одночасно змінити знаки у чисельнику та знаменника. Якщо ж змінити знак лише у чисельника або тільки у знаменника, то й дріб змінить свій знак:

Наприклад,

60. Скорочення раціональних дробів.

Скоротити дріб - це означає розділити чисельник та знаменник дробу на загальний множник. Можливість такого скорочення обумовлена ​​основною властивістю дробу.

Щоб скоротити раціональний дріб, потрібно чисельник і знаменник розкласти на множники. Якщо виявиться, що чисельник та знаменник мають спільні множники, то дріб можна скоротити. Якщо загальних множників немає, перетворення дробу за допомогою скорочення неможливо.

приклад. Скоротити дріб

Рішення. Маємо

Скорочення дробу виконано за умови.

61. Приведення раціональних дробів до спільного знаменника.

Загальним знаменником кількох раціональних дробів називається цілий раціональний вираз, який поділяється на знаменник кожного дробу (див. п. 54).

Наприклад, загальним знаменником дробів і служить многочлен оскільки він ділиться і на і багаточлен і многочлен і многочлен тощо. буд. Зазвичай беруть такий спільний знаменник, що будь-який інший спільний знаменник ділиться на Еібранний. Такий найпростіший знаменник іноді називають найменшим загальним знаменником.

У розглянутому вище прикладі загальний знаменник дорівнює Маємо

Приведення даних дробів до спільного знаменника досягнуто шляхом множення чисельника та знаменника першого дробу на 2. а чисельника та знаменника другого дробу на Многочлени називаються додатковими множниками відповідно для першого та другого дробу. Додатковий множник для даного дробу дорівнює частці від поділу загального знаменника на знаменник даного дробу.

Щоб кілька раціональних дробів привести до спільного знаменника, потрібно:

1) розкласти знаменник кожного дробу на множники;

2) скласти спільний знаменник, включивши в нього як співмножники всі множники отриманих у п. 1) розкладів; якщо деякий множник є у кількох розкладаннях, він береться з показником ступеня, рівним найбільшому з наявних;

3) знайти додаткові множники для кожного з дробів (для цього спільний знаменник ділять на знаменник дробу);

4) домноживши чисельник і знаменник кожного дробу на додатковий множник, привести дроб до загального знаменника.

приклад. Привести до спільного знаменника дробу

Рішення. Розкладемо знаменники на множники:

До загального знаменника треба включити такі множники: і найменше загальне кратне чисел 12, 18, 24, тобто . Отже, спільний знаменник має вигляд

Додаткові множники: для першого дробу для другого для третього Значить отримуємо:

62. Додавання та віднімання раціональних дробів.

Сума двох (і взагалі будь-якого кінцевого числа) раціональних дробів з однаковими знаменникамитотожно дорівнює дробу з тим же знаменником і з чисельником, рівним сумі чисельників дробів, що складаються:

Аналогічно справа у разі віднімання дробів з однаковими знаменниками:

Приклад 1. Спростити вираз

Рішення.

Для складання або віднімання раціональних дробів з різними знаменниками потрібно передусім привести дроби до спільного знаменника, та був виконати операції над отриманими дробами з однаковими знаменниками.

Приклад 2. Спростити вираз

Рішення. Маємо

63. Множення та розподіл раціональних дробів.

Твір двох (і взагалі будь-якого кінцевого числа) раціональних дробів тотожно дорівнює дробу, чисельник якого дорівнює добутку чисельників, а знаменник - добутку знаменників дробів, що перемножуються:

Приватне від розподілу двох раціональних дробів тотожно дорівнює дробу, чисельник якого дорівнює добутку чисельника першого дробу на знаменник другого дробу, а знаменник - добутку називника першого дробу на чисельник другого дробу:

Сформульовані правила множення та поділу поширюються і на випадок множення або поділу на многочлен: достатньо записати цей багаточлен у вигляді дробу зі знаменником 1.

Враховуючи можливість скорочення раціонального дробу, отриманого в результаті множення або поділу раціональних дробів, зазвичай прагнуть до виконання цих операцій розкласти на множники чисельники та знаменники вихідних дробів.

Приклад 1. Виконати множення

Рішення. Маємо

Використовуючи правило множення дробів, отримуємо:

Приклад 2. Виконати поділ

Рішення. Маємо

Використовуючи правило розподілу, отримуємо:

64. Зведення раціонального дробу на цілий ступінь.

Щоб звести раціональний дріб - в натуральний ступінь, потрібно звести в цей ступінь окремий чисельник і знаменник дробу; перший вираз – чисельник, а другий вираз – знаменник результату:

Приклад 1. Перетворити на дріб ступінь 3.

Рішення Рішення.

При зведенні дробу в цілий негативний ступінь використовується тотожність справедлива при всіх значеннях змінних, при яких .

Приклад 2. Перетворити на дріб вираз

65. Перетворення раціональних виразів.

Перетворення будь-якого раціонального виразу зводиться до складання, віднімання, множення та поділу раціональних дробів, а також до зведення дробу в натуральний ступінь. Будь-який раціональний вираз можна перетворити на дріб, чисельник і знаменник якої - цілі раціональні вирази; у цьому, як правило, полягає мета тотожних перетвореньраціональних виразів.

приклад. Спростити вираз

66. Найпростіші перетворення арифметичних коренів (радикалів).

При перетворенні арифметичної корії використовуються їх властивості (див. п. 35).

Розглянемо кілька прикладів застосування властивостей арифметичних коренівдля найпростіших перетворень радикалів. При цьому всі змінні вважатимемо такими, що приймають тільки невід'ємні значення.

Приклад 1. Вийняти корінь із твору

Рішення. Застосувавши властивість 1°, отримаємо:

Приклад 2. Винести множник із-під знака кореня

Рішення.

Таке перетворення називається винесенням множника з-під знаку кореня. Мета перетворення – спростити підкорене вираження.

Приклад 3. Спростити.

Рішення. За якістю 3° маємо Зазвичай намагаються підкорене вираз спростити, навіщо виносять множники за знак корію. Маємо

Приклад 4. Спростити

Рішення. Перетворимо вираз, внісши множник під знак кореня: За властивістю 4° маємо

Приклад 5. Спростити

Рішення. За властивістю 5° ми маємо право показник кореня та показник ступеня підкореного виразу розділити на те саме натуральне число. Якщо в аналізованому прикладі розділити зазначені показники на 3, то отримаємо .

Приклад 6. Спростити вирази:

Рішення, а) За якістю 1° отримуємо, що з перемноження коренів однієї й тієї ж ступеня досить перемножити підкорені висловлювання і з отриманого результату витягти корінь тієї самої ступеня. Значить,

б) Перш за все, ми повинні привести радикали до одного показника. Відповідно до властивості 5° ми можемо показник кореня показник ступеня підкореного виразу помножити на те саме натуральне число. Тому Далі маємо тепер в отриманому результаті розділивши показники кореня і ступеня підкореного виразу На 3, отримаємо .