Зведення дробу куб. Зведення алгебраїчного дробу до ступеня

Настав час ознайомитися з зведенням алгебраїчного дробуу ступінь. Ця дія з алгебраїчними дробами за змістом ступеня зводиться до множення однакових дробів. У цій статті ми дамо відповідне правило і розглянемо приклади зведення алгебраїчних дробів у натуральний ступінь.

Навігація на сторінці.

Правило зведення алгебраїчного дробу до ступеня, його доказ

Перш ніж говорити про зведення в ступінь алгебраїчного дробу, не завадить згадати, що є добутком однакових множників, що стоять на підставі ступеня, а їх кількість визначається показником. Наприклад, 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 .

А тепер згадаємо правило зведення у ступінь звичайного дробу – для цього потрібно окремо звести у вказаний ступінь чисельник, та окремо – знаменник. Наприклад, . Зазначене правило поширюється на зведення алгебраїчного дробу до натурального ступеня.

Зведення алгебраїчного дробу в натуральний ступіньдає новий дріб, у чисельнику якого зазначена ступінь чисельника вихідного дробу, а знаменнику – ступінь знаменника. У буквеному вигляді цьому правилу відповідає рівність , де a і b – довільні багаточлени (у окремих випадках одночлени чи числа), причому b – ненульовий многочлен, а n – .

Доказ озвученого правила зведення алгебраїчного дробу на ступінь засновано на визначенні ступеня з натуральним показником і на тому, як ми визначили множення алгебраїчних дробів: .

Приклади, рішення

Отримане в попередньому пункті правило зводить зведення алгебраїчного дробу у ступінь до зведення в цей ступінь чисельника та знаменника вихідного дробу. Оскільки чисельником і знаменником вихідної алгебраїчної дробу є багаточлени (у окремому випадку одночлени чи числа), то вихідне завдання зводиться до спорудження ступінь многочленов . Після виконання цієї дії буде отримано новий алгебраїчний дріб, тотожно рівний зазначеного ступеня вихідного алгебраїчного дробу.

Розглянемо рішення кількох прикладів.

приклад.

Зведіть алгебраїчну дріб у квадрат.

Рішення.

Запишемо ступінь. Тепер звертаємося до правила зведення алгебраїчного дробу у ступінь, воно нам дає рівність . Залишилося перетворити отриманий дріб до виду дробу алгебри, виконавши зведення одночленів в ступінь . Так .

Зазвичай при зведенні дробу алгебри в ступінь хід рішення не пояснюють, а рішення записують коротко. Нашому прикладу відповідає запис .

Відповідь:

.

Коли в чисельнику та/або в знаменнику алгебраїчного дробу знаходяться багаточлени, особливо двочлени, то при її зведенні до міри доцільно використовувати відповідні формули скороченого множення .

приклад.

Зведіть алгебраїчну дріб на другий ступінь.

Рішення.

За правилом зведення дробу у ступінь маємо .

Для перетворення отриманого виразу в чисельнику скористаємося формулою квадрата різниці, а знаменнику – формулою квадрата суми трьох доданків :

Відповідь:

На закінчення відзначимо, що якщо ми зводимо в натуральну міру нескоротний алгебраїчну дріб, то в результаті теж вийде нескоротний дріб. Якщо ж вихідний дріб скоротний, то перед зведенням його в ступінь доцільно виконати скорочення алгебраїчного дробу, щоб не виконувати скорочення після зведення в ступінь.

Список літератури.

• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. - М.: Просвітництво, 2008. - 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 год. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ/ А. Г. Мордкович. - 11-те вид., стер. – М.: Мнемозіна, 2009. – 215 с.: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників у технікуми): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.

Copyright by cleverstudents

Всі права захищені.
Охороняється законом про авторське право. Жодну частину сайту www.сайт, включаючи внутрішні матеріалиі зовнішнє оформлення, не можна відтворювати у будь-якій формі або використовувати без попереднього письмового дозволу правовласника.

Протягом розмови про рівень числа логічно дати раду знаходженням значення ступеня. Цей процес отримав назву зведення в ступінь. У цій статті ми вивчимо, як виконується зведення в ступінь, при цьому торкнемося всіх можливих показників ступеня – натуральний, цілий, раціональний та ірраціональний. І за традицією докладно розглянемо рішення прикладів зведення чисел у різні ступені.

Навігація на сторінці.

Що означає «зведення до ступеня»?

Почати слід із пояснення, що називають зведенням у ступінь. Ось відповідне визначення.

Визначення.

Зведення в ступінь- Це знаходження значення ступеня числа.

Таким чином, знаходження значення ступеня числа a з показником r та зведення числа a у ступінь r – це одне й те саме. Наприклад, якщо поставлено завдання «обчисліть значення ступеня (0,5) 5», то його можна переформулювати так: «Зведіть число 0,5 до ступеня 5».

Тепер можна переходити безпосередньо до правил, за якими виконується зведення у ступінь.

Зведення числа в натуральний ступінь

Насправді рівність виходячи з звичайно застосовується як . Тобто, при зведенні числа a в дробовий ступінь m/n спочатку витягується корінь n-го ступеня з числа a після чого отриманий результат зводиться в цілий ступінь m.

Розглянемо розв'язання прикладів зведення на дробовий ступінь.

приклад.

Обчисліть значення ступеня.

Рішення.

Покажемо два способи вирішення.

Перший метод. За визначенням ступеня з дробовим показником. Обчислюємо значення ступеня під знаком кореня, після чого отримуємо кубічний корінь: .

Другий спосіб. За визначенням ступеня з дробовим показником і на підставі властивостей коріння справедливі рівність . Тепер витягаємо корінь , нарешті, зводимо в цілий ступінь .

Очевидно, що отримані результати зведення в дрібний ступінь збігаються.

Відповідь:

Зазначимо, що дробовий показник ступеня може бути записаний у вигляді десяткового дробу або змішаного числа, у цих випадках його слід замінити відповідним звичайним дробом, після чого виконувати зведення у ступінь.

приклад.

Обчисліть (44,89) 2,5.

Рішення.

Запишемо показник ступеня у вигляді звичайного дробу (при необхідності дивіться статтю): . Тепер виконуємо зведення в дробовий ступінь:

Відповідь:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Слід також сказати, що зведення чисел у раціональні ступені є досить трудомістким процесом (особливо коли в чисельнику та знаменнику дробового показника ступеня знаходяться достатньо великі числа), що зазвичай проводиться з використанням обчислювальної техніки.

На закінчення цього пункту зупинимося на зведенні числа нуль у дрібний ступінь. Дробного ступеня нуля виду ми надали наступного сенсу: маємо , а за нуль у ступені m/n не визначено. Отже, нуль у дрібному позитивному ступені дорівнює нулю, наприклад, . А нуль у дробовій негативною мірою немає сенсу, наприклад, немає сенсу висловлювання і 0 -4,3 .

Зведення в ірраціональний ступінь

Іноді виникає необхідність дізнатися значення ступеня числа з ірраціональним показником. При цьому в практичних цілях зазвичай достатньо отримати значення ступеня з точністю деякого знака. Відразу зазначимо, що це значення на практиці обчислюється за допомогою електронної обчислювальної техніки, оскільки зведення в ІР раціональний ступіньвручну вимагає великої кількостігроміздких обчислень. Але все ж таки опишемо в загальних рисахсутність дій.

Щоб отримати наближене значення ступеня числа a с ірраціональним показником, береться деяке десяткове наближення показника ступеня і обчислюється значення ступеня . Це і є наближеним значенням ступеня числа a з ірраціональним показником . Чим точне десяткове наближення числа буде взято спочатку, тим більше точне значенняступеня буде отримано у результаті.

Як приклад обчислимо наближене значення ступеня 2 1,174367. Візьмемо наступне десяткове наближення ірраціонального показника: . Тепер зведемо 2 раціональний ступінь 1,17 (суть цього процесу ми описали в попередньому пункті), отримуємо 2 1,17 ≈2,250116 . Таким чином, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Якщо взяти більш точне десяткове наближення ірраціонального показника ступеня, наприклад, то отримаємо більш точне значення вихідного ступеня: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Список літератури.

• Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. МатематикаЖ підручник для 5 кл. загальноосвітніх установ.
• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 7 кл. загальноосвітніх установ.
• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх установ.
• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 9 кл. загальноосвітніх установ.
• Колмогоров А.М., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін Алгебра та початку аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
• Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).

На уроці буде розглянуто узагальнений варіант множення дробів - це зведення в ступінь. Насамперед, мова йтиме про натуральний ступінь дробу та про приклади, що демонструють подібні дії з дробами. На початку уроку, також, ми повторимо зведення в натуральний ступінь цілих виразів і побачимо, як це знадобиться для вирішення подальших прикладів.

Тема: Алгебраїчні дроби. Арифметичні операції над алгебраїчними дробами

Урок: Зведення алгебраїчного дробу до ступеня

1. Правила зведення дробів та цілих виразів у натуральний ступінь з елементарними прикладами

Правило зведення звичайних та алгебраїчних дробів у натуральний ступінь:

Можна провести аналогію зі ступенем цілого виразу та згадати, що розуміється під зведенням його у ступінь:

приклад 1. .

Як видно з прикладу, зведення дробу до ступеня - це окремий випадокмноження дробів, що вивчалося на попередньому уроці.

Приклад 2. а) б) - Мінус йде, тому що ми звели вираз у парний ступінь.

Для зручності роботи зі ступенями згадаємо основні правила зведення в натуральний ступінь:

- добуток ступенів;

- розподіл степенів;

Зведення ступеня до ступеня;

Ступінь твору.

Приклад 3 - це відомо нам ще з теми "Зведення в ступінь цілих виразів", крім одного випадку: не існує.

2. Найпростіші приклади на зведення алгебраїчних дробів у натуральний ступінь

Приклад 4. Звести дріб у ступінь.

Рішення. При зведенні в парний ступінь мінус йде:

Приклад 5. Звести дріб у ступінь.

Рішення. Тепер користуємося правилами зведення ступеня в ступінь одразу без окремого розписування:

.

Тепер розглянемо комбіновані завдання, в яких нам буде необхідно і зводити дроби до ступеня, і множити їх, і ділити.

Приклад 6. Виконати дії.

Рішення. . Далі необхідно зробити скорочення. Розпишемо один раз докладно, як ми це робитимемо, а потім будемо вказувати результат відразу за аналогією: . Аналогічно (або за правилом розподілу ступенів). Маємо: .

Приклад 7. Виконати дії.

Рішення. . Скорочення здійснено за аналогією з прикладом, розібраним раніше.

Приклад 8. Виконати дії.

Рішення. . В даному прикладіми ще раз детальніше розписали процес скорочення ступенів у дробах, щоб закріпити цей спосіб.

3. Більш складні приклади на зведення алгебраїчних дробів у натуральний ступінь (з урахуванням знаків та з доданками в дужках)

Приклад 9. Виконати дії .

Рішення. У цьому прикладі вже пропустимо окреме множення дробів, а відразу скористаємося правилом їх множення і запишемо під один знаменник. При цьому слідкуємо за знаками - у зазначеному випадку дроби зводяться парними ступенями, тому мінуси зникають. Наприкінці виконаємо скорочення.

Приклад 10. Виконати дії .

Рішення. У даному прикладі присутній розподіл дробів, пригадаємо, що при цьому перший дріб множиться на другий, але перевернутий.

Тема зводиться до того, що нам необхідно множити однакові дроби. Ця стаття розповість, яке необхідно використовувати правило, щоб правильно зводити алгебраїчні дроби в натуральну міру.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Правило зведення алгебраїчного дробу до ступеня, його доказ

Перед тим, як почати зводити в ступінь, необхідно поглибити знання за допомогою статті про ступінь з натуральним показником, де є добуток однакових множників, які знаходяться на підставі ступеня, причому їхня кількість визначена показником. Наприклад, число 23 = 2 · 2 · 2 = 8 .

При зведенні до ступеня найчастіше використовуємо правило. Для цього окремо зводять у ступінь чисельник та окремо знаменник. Розглянемо з прикладу 2 3 2 = 2 2 3 2 = 4 9 . Правило застосовується для зведення дробу в натуральну міру.

При зведенні алгебраїчного дробу в натуральний ступіньотримуємо новий, де чисельник має ступінь вихідного дробу, а знаменник – ступінь знаменника. Все це має вигляд a b n = a n b n , де а і b є довільними багаточленами, b є ненульовим, а n натуральним числом.

Доказ цього правила записується як дробу, яку необхідно звести у ступінь, грунтуючись на самому визначенні з натуральним показником. Тоді отримуємо множення дробів виду a b n = a b · a b · . . . · a b = a · a · . . . · a b · b · . . . · b = a n b n

Приклади, рішення

Правило зведення алгебраїчної дробу на ступінь проводиться послідовно: спочатку чисельник, потім знаменник. Коли в чисельнику та знаменнику є багаточлен, тоді саме завдання зведеться до зведення заданого багаточлена у ступінь. Після чого буде вказано новий дріб, який дорівнює вихідному.

Приклад 1

Зробити зведення дробу x 2 3 · y · z 3 квадрат.

Рішення

Необхідно зафіксувати ступінь x 2 3 · y · z 3 2 . За правилом зведення алгебраїчної дробу в ступінь отримуємо рівність виду x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 . Тепер необхідно зробити перетворення отриманого дробу до алгебраїчної виду, виконуючи зведення в ступінь. Тоді отримаємо вираз виду

x 2 2 3 · y · z 3 2 = x 2 · 2 3 2 · y 2 · z 3 2 = x 4 9 · y 2 · z 6

Всі випадки зведення на ступінь не припускають докладного роз'яснення, тому саме рішення має короткий запис. Тобто отримуємо, що

x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 = x 4 9 · y 2 · z 6

Відповідь: x 2 3 · y · z 3 2 = x 4 9 · y 2 · z 6 .

Якщо чисельник та знаменник мають багаточлени, тоді необхідно зводити весь дріб у ступінь, після чого застосовувати формули скороченого множення для його спрощення.

Приклад 2

Звести дріб 2 · x - 1 x 2 + 3 · x · y - y у квадрат.

Рішення

З правила маємо, що

2 · x - 1 x 2 + 3 · x · y - y 2 = 2 · x - 1 2 x 2 + 3 · x · y - y 2

Щоб перетворити вираз, необхідно скористатися формулою квадрата суми трьох доданків у знаменнику, а чисельнику – квадратом різниці, що дозволить спростити вираз. Отримаємо:

2 · x - 1 2 x 2 + 3 · x · y - y 2 = = 2 · x 2 - 2 · 2 · x · 1 + 1 2 x 2 2 + 3 · x · y 2 + - y 2 + 2 · x 2 · 3 · x · y + 2 · x 2 · (- y) + 2 · 3 · x · y · - y = = 4 · x 2 - 4 · x + 1 x 4 + 9 · x 2 · y 2 + y 2 + 6 · x 3 · y - 2 · x 2 · y - 6 · x · y 2

Відповідь: 2 · x - 1 2 x 2 + 3 · x · y - y 2 = 4 · x 2 - 4 · x + 1 x 4 + 9 · x 2 · y 2 + y 2 + 6 · x 3 · y - 2 · x 2 · y - 6 · x · y 2

Зауважимо, що з зведенні в натуральну ступінь дріб, яку можемо скоротити, отримуємо також нескоротний дріб. Це не спрощує її для подальшого вирішення. Коли заданий дріб може бути скорочений, тоді при зведенні в ступінь отримуємо, що необхідно виконання скорочення дробу алгебри, щоб уникнути виконання скорочення після того, як зведемо в ступінь.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Ми розібралися, що взагалі являє собою ступінь числа. Тепер треба зрозуміти, як правильно виконувати її обчислення, тобто. зводити числа до ступеня. У цьому матеріалі ми розберемо основні правила обчислення ступеня у разі цілого, натурального, дробового, раціонального та ірраціонального показника. Усі визначення будуть проілюстровані прикладами.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Поняття зведення у ступінь

Почнемо з формулювання базових визначень.

Визначення 1

Зведення в ступінь- це обчислення значення ступеня певного числа.

Тобто слова "обчислення значення ступеня" і "зведення в ступінь" означають те саме. Так, якщо в задачі стоїть "Зведіть число 0, 5 у п'ятий ступінь", це слід розуміти як "обчисліть значення ступеня (0, 5) 5 .

Тепер наведемо основні правила, яким потрібно дотримуватись при таких обчисленнях.

Згадаймо, що таке ступінь числа із натуральним показником. Для ступеня з основою a та показником n це буде добуток n-ного числа множників, кожен з яких дорівнює a. Це можна записати так:

Щоб обчислити значення ступеня, потрібно виконати дію множення, тобто перемножити основи ступеня вказане число разів. На вмінні швидко множити та засноване саме поняття ступеня з натуральним показником. Наведемо приклади.

Приклад 1

Умова: зведіть - 2 на ступінь 4 .

Рішення

Використовуючи визначення вище, запишемо: (−2) 4 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) . Далі нам потрібно просто виконати зазначені дії та отримати 16 .

Візьмемо приклад складніше.

Приклад 2

Обчисліть значення 3 2 7 2

Рішення

Цей запис можна переписати у вигляді 3 2 7 · 3 2 7 . Раніше ми розглядали, як правильно множити змішані числа, згадані за умови.

Виконаємо ці дії та отримаємо відповідь: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Якщо завдання зазначено необхідність зводити ірраціональні числа в натуральну міру, нам потрібно попередньо округлити їх підстави до розряду, який дозволить нам отримати відповідь потрібної точності. Розберемо приклад.

Приклад 3

Виконайте зведення в квадрат числа π.

Рішення

Для початку округлимо його до сотих. Тоді π 2 ≈ (3 , 14) 2 = 9,8596. Якщо ж π ≈ 3 . 14159 , ми отримаємо більш точний результат: π 2 ≈ (3 , 14159) 2 = 9 , 8695877281 .

Зазначимо, необхідність вираховувати ступеня ірраціональних чисел практично виникає порівняно рідко. Ми можемо тоді записати відповідь у вигляді ступеня (ln 6) 3 або перетворити, якщо це можливо: 5 7 = 125 5 .

Окремо слід зазначити, що таке перший рівень числа. Тут можна легко запам'ятати, що будь-яке число, зведене в першу міру, залишиться самим собою:

Це зрозуміло із запису .

Від основи це не залежить.

Приклад 4

Так, (−9) 1 = − 9 , а 7 3 , зведене в першу міру, залишиться 7 3 .

Для зручності розберемо окремо три випадки: якщо показник ступеня - ціле позитивне число, якщо це нуль і якщо це негативне число.

У першому випадку це те саме, що і зведення в натуральну міру: адже цілі позитивні числа належать до безлічі натуральних. Про те, як працювати з такими ступенями, ми вже розповіли вище.

Тепер подивимося, як правильно зводити на нульовий ступінь. При підставі, яка відрізняється від нуля, це обчислення дає завжди на виході 1 . Раніше ми вже пояснювали, що 0 -я ступінь a може бути визначена для будь-якого дійсного числа, не рівного 0 і a 0 = 1 .

Приклад 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 – не визначено.

У нас залишився лише випадок ступеня із цілим негативним показником. Ми вже розбирали, що такі ступеня можна записати як дробу 1 a z , де а - будь-яке число, а z - цілий негативний показник. Ми бачимо, що знаменник цього дробу є не що інше, як звичайний ступіньз цілим позитивним показником, а її обчислювати ми вже навчилися. Наведемо приклади задач.

Приклад 6

Зведіть 3 на ступінь - 2 .

Рішення

Використовуючи визначення вище, запишемо: 2 - 3 = 1 2 3

Підрахуємо знаменник цього дробу та отримаємо 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 .

Тоді відповідь така: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Приклад 7

Зведіть 1 , 43 у ступінь - 2 .

Рішення

Переформулюємо: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Обчислюємо квадрат у знаменнику: 1,43 · 1,43. Десяткові дроби можна помножити в такий спосіб:

У результаті ми вийшло (1 , 43) - 2 = 1 (1 , 43) 2 = 1 2 , 0449 . Цей результат нам залишилося записати у вигляді звичайного дробу, для чого необхідно помножити його на 10 тисяч (див. матеріал про перетворення дробів).

Відповідь: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Окремий випадок – зведення числа у мінус перший ступінь. Значення такого ступеня дорівнює числу, зворотному вихідному значенню підстави: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

Приклад 8

Приклад: 3 − 1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Як звести число в дрібний ступінь

Для виконання такої операції нам потрібно згадати базове визначення ступеня з дробовим показником: a m n = a m n за будь-якого позитивного a , цілому m і натурального n .

Визначення 2

Таким чином, обчислення дробового ступеня потрібно виконувати у дві дії: зведення в цілий ступінь і знаходження кореня n-ного ступеня.

Ми маємо рівність a m n = a m n , яка, враховуючи властивості коренів, зазвичай застосовується для розв'язання задач у вигляді a m n = a n m . Це означає, що й ми зводимо число a в дробову ступінь m / n , то ми отримуємо корінь n -ної ступеня з а, потім зводимо результат у ступінь із цілим показником m .

Проілюструємо з прикладу.

Приклад 9

Обчисліть 8-2 3 ​​.

Рішення

Спосіб 1. Відповідно до основного визначення, ми можемо уявити це у вигляді: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Тепер підрахуємо ступінь під коренем і вилучимо корінь третього ступеня з результату: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Спосіб 2. Перетворимо основну рівність: 8 – 2 3 = 8 – 2 3 = 8 3 – 2

Після цього витягнемо корінь 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 і результат зведемо в квадрат: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Бачимо, що рішення є ідентичними. Можна користуватися будь-яким способом, що сподобався.

Бувають випадки, коли міра має показник, виражений змішаним числом або десятковим дробом. Для простоти обчислень його краще замінити звичайним дробом і рахувати, як зазначено вище.

Приклад 10

Зведіть 44, 89 у ступінь 2, 5.

Рішення

Перетворимо значення показника на звичайний дріб - 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .

А тепер виконуємо по порядку всі дії, зазначені вище: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 0 3 501 , 25107

Відповідь: 13 501, 25107.

Якщо в чисельнику та знаменнику дробового показника ступеня стоять великі числа, то обчислення таких ступенів з раціональними показниками – досить складна робота. Для неї зазвичай потрібна обчислювальна техніка.

Окремо зупинимося на ступені з нульовою основою та дробовим показником. Виразу виду 0 m n можна надати такий зміст: якщо m n > 0, то 0 m n = 0 m n = 0; якщо m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Як звести число до ірраціонального ступеня

Необхідність обчислити значення ступеня, у показнику якої стоїть ірраціональне число, виникає не так часто. Насправді зазвичай завдання обмежується обчисленням приблизного значення (до деякої кількості знаків після коми). Зазвичай це вважають на комп'ютері через складність таких підрахунків, тому докладно зупинятись на цьому не будемо, зазначимо лише основні положення.

Якщо потрібно обчислити значення ступеня a з ірраціональним показником a , ми беремо десяткове наближення показника і вважаємо у ньому. Результат і буде наближеною відповіддю. Чим точніше взяте десяткове наближення, тим точніше відповідь. Покажемо на прикладі:

Приклад 11

Обчисліть наближене значення 21, 174367.

Рішення

Обмежимося десятковим наближенням a n = 1,17. Проведемо обчислення з використанням цього числа: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Якщо взяти, наприклад, наближення a n = 1 , 1743 , то відповідь трохи точніше: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 , 1743 ≈ 2 , 256833 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter