Що називається дробом. Звичайні дроби

Чисельник та знаменник дробу. Види дробів. Продовжуємо розглядати дроби. Спочатку невелике застереження – ми, розглядаючи дроби та відповідні приклади з ними, поки працюватимемо лише з числовим її поданням. Бувають ще й подрібнені буквені вирази(З числами та без них).Втім, усі «принципи» та правила також поширюються і на них, але про такі вислови поговоримо в майбутньому окремо. Рекомендую відвідати та вивчати (згадувати) тему дробів крок за кроком.

Найголовніше зрозуміти, запам'ятати і усвідомити, що ДРОБІВ - це ЧИСЛО!!!

Звичайний дріб- Це число виду:

Число розташоване «згори» (в даному випадку m) називається чисельником, число розташоване знизу (число n) називається знаменником. У тих, хто тільки торкнувся теми часто з'являється плутанина - що як називається.

Ось вам приймач, як назавжди запам'ятати – де чисельник, а де знаменник. Цей прийом пов'язаний із словесно-подібною асоціацією. Уявіть банку з каламутною водою. Відомо, що в міру відстою води чиста вода залишається зверху, а каламута (бруд) осідає, запам'ятовуємо:

ЧІССС та вода ВВЕРХУ (ЧІССС литель зверху)

Грязь ЗЗННН я вода Внизу (ЗННН аменатель внизу)

Так що, як тільки виникне потреба згадати, де чисельник, а де знаменник, то одразу візуально представили банку з відстояною водою, в якій зверху Чиста вода, а знизу брудна вода. Є й інші прийоми для запам'ятовування, якщо вони допоможуть, то добре.

Приклади звичайних дробів:

Що означає горизонтальна рисочка між числами? Це не що інше, як знак розподілу. Виходить, що дріб можна розглядати як приклад з дією поділом. Просто записано цю дію ось у такому вигляді. Тобто верхнє число (числитель) ділиться на нижнє (знаменник):

Крім того, є ще форма запису – дріб може записуватись і так (через косу межу):

1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64 тощо…

Можемо записати вищевказані нами дроби так:

Результат поділу, як відомо, це число.

Усвідомили - ДРОБЕЦЬ ЦЕ ЧИСЛО!!!

Як ви вже помітили, у звичайного дробу чисельник може бути меншим за знаменник, може бути більшим за знаменник і може дорівнювати йому. Тут є безліч важливих моментів, які зрозумілі інтуїтивно, без будь-яких теоретичних вишукувань. Наприклад:

1. Дроби 1 та 3 можна записати як 0,5 та 0,01. Забіжимо трохи вперед – це десяткові дроби, про них поговоримо трохи нижче.

2. Дроби 4 та 6 в результаті дають ціле число 45:9 = 5, 11:1 = 11.

3. Дроб 5 в результаті дає одиницю 155:155 = 1.

Які висновки напрошуються самі собою? Наступні:

1. Чисельник при розподілі на знаменник може дати кінцеве число. Може й не вийде, розділіть стовпчиком 7 на 13 чи 17 на 11 – ніяк! Ділити можна нескінченно, але про це також поговоримо трохи нижче.

2. Дроб в результаті може дати ціле число. Отже і будь-яке ціле число ми можемо уявити у вигляді дробу, вірніше нескінченного ряду дробів, подивіться, всі ці дроби рівні 2:

Ще! Будь-яке ціле число ми завжди можемо записати у вигляді дробу – саме це число у чисельнику, одиниця у знаменнику:

3. Одиницю ми завжди можемо подати у вигляді дробу з будь-яким знаменником:

*Вказані моменти дуже важливі для роботи з дробами при обчисленнях та перетвореннях.

Види дробів.

А тепер про теоретичний поділ звичайних дробів. Їх поділяють на правильні та неправильні.

Дроб у якої чисельник менше знаменника називається правильним. Приклади:

Дроб у якої чисельник більший за знаменник або дорівнює йому називається неправильним. Приклади:

Змішаний дріб(Змішане число).

Змішаним дробом називається дріб, записаний у вигляді цілого числа та правильного дробу і розуміється як сума цього числа та дробової його частини. Приклади:

Змішаний дріб завжди можна подати у вигляді неправильного дробу і навпаки. Ідемо далі!

Десяткові дроби.

Вище ми їх уже торкнулися, це приклади (1) та (3), тепер докладніше. Ось приклади десяткових дробів: 0,3 0,89 0,001 5,345.

Дроб, знаменник якого є ступінь числа 10, наприклад 10, 100, 1000 і так далі, називається десятковим. Записати перші три вказані дроби у вигляді звичайних дробів нескладно:

Четверта є змішаним дробом (змішаним числом):

Десятковий дріб має наступну форму запису — зпочала ціла частина, потім роздільник цілої та дробової частини точка або кома і потім дробова частина, кількість цифр дробової частини строго визначається розмірністю дробової частини: якщо це десяті частки, дробова частина записується однією цифрою; якщо тисячні – трьома; десятитисячні - чотирма і т.д.

Дані дроби бувають кінцевими та нескінченними.

Приклади кінцевих десяткових дробів: 0,234; 0,87; 34,00005; 5,765.

Приклади нескінченних. Наприклад число Пі це нескінченний десятковий дріб, ще - 0,333333333333 ...... 0,16666666666 .... та інші. Також результат вилучення кореня з чисел 3, 5, 7 тощо. буде нескінченним дробом.

Дробова частина може бути циклічна (у ній присутній цикл), два приклади вищі саме такі, ще приклади:

0,123123123123 ...... цикл 123

0,781781781718 ...... цикл 781

0,0250102501. цикл 02501

Записати їх можна як 0(123) 0(781) 0(02501).

Число Пі не є циклічним дробом як і, наприклад, корінь із трьох.

Нижче в прикладах будуть звучати такі слова як «перевертаємо» дріб – це означає, що чисельник і знаменник міняємо місцями. Насправді такий дроб має назву – зворотний дріб. Приклади взаємно-зворотних дробів:

Невеликий підсумок! Дроби бувають:

Звичайні (правильні та неправильні).

Десяткові (кінцеві та нескінченні).

Змішані (змішані числа).

На цьому все!

З повагою, Олександр.

Чисельником, а те, на яке ділять – знаменником.

Щоб записати дріб, напишіть спочатку його чисельник, потім проведіть під цим числом горизонтальну межу, а під лінією напишіть знаменник. Горизонтальна , що розділяє чисельник і знаменник, називається дробовою рисою. Іноді її зображують у вигляді похилої "/" або "∕". При цьому чисельник записується зліва від риси, а знаменник праворуч. Так, наприклад, дріб «дві треті» запишеться як 2/3. Для наочності чисельник зазвичай пишуть у верхній частині рядка, а знаменник – у нижній, тобто замість 2/3 можна зустріти: ⅔.

Щоб розрахувати добуток дробів, помножте спочатку чисельник одного дробина чисельник інший. Запишіть результат у чисельник нової дроби. Після цього перемножте знаменники. Підсумкове значення вкажіть у новій дроби. Наприклад, 1/3? 1/5 = 1/15 (1? 1 = 1; 3? 5 = 15).

Щоб поділити один дріб на інший, помножте спочатку чисельник першого на знаменник другого. Те саме зробіть і з другим дробом (ділителем). Або перед виконанням усіх дій спочатку «переверніть» дільник, якщо вам так зручніше: на місці чисельника має бути знаменник. Після цього помножте знаменник діленого на новий знаменник дільника та перемножте чисельники. Наприклад, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).

Джерела:

• Основні завдання на дроби

Дробові числа дозволяють виражати в різному вигляді точне значеннявеличини. З дробами можна виконувати ті ж самі математичні операції, що з цілими числами: віднімання, додавання, множення і розподіл. Щоб навчитися вирішувати дроби, треба пам'ятати про деякі їх особливості. Вони залежать від виду дроби, наявності цілої частини загального знаменника. Деякі арифметичні діїпісля виконання вимагають скорочення дробової частини результату.

Вам знадобиться

• - Калькулятор

Інструкція

Уважно подивіться на числа. Якщо серед дробів є десяткові та неправильні, іноді зручніше спочатку виконати дії з десятковими, а потім перевести їх у неправильний вигляд. Можете перекласти дробиу такий вид спочатку, записавши значення після коми в чисельник і поставивши 10 знаменник. При необхідності скоротите дріб, розділивши числа вище та нижче на один дільник. Дроби, у яких виділяється ціла частина, приведіть до неправильного вигляду, помноживши її на знаменник і додавши до результату чисельник. Це значеннястане новим чисельником дроби. Щоб виділити цілу частину спочатку неправильної дроби, Треба поділити чисельник на знаменник. Цілий результат записати від дроби. А залишок від поділу стане новим чисельником, знаменник дробиу своїй не змінюється. Для дробів із цілою частиною можливе виконання дій окремо спочатку для цілої, а потім для дробової частин. Наприклад, сума 1 2/3 і 2 ¾ може бути обчислена:
- Переведення дробів у неправильний вигляд:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Підсумовування окремо цілих та дробових частин доданків:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Для дробу . Те саме проробіть для знаменників. При розподілі однієї дробина інший запишіть один дріб, а потім помножте його чисельник на знаменник другого. У цьому знаменник першої дробимножиться відповідно на чисельник другий. У цьому відбувається своєрідний переворот другий дроби(Дільника). Підсумковий дріб буде з результатів множення чисельників та знаменників обох дробів. Нескладно навчитися дроби, записані за умови у вигляді «чотириповерхової» дроби. Якщо поділяє дві дроби, перепишіть їх через роздільник: і продовжіть звичайний поділ.

Для отримання кінцевого результату отриманий дріб скоротить, розділивши чисельник і знаменник на одне ціле число, найбільше можливе в даному випадку. При цьому вище та нижче риси мають бути цілі числа.

Зверніть увагу

Не виконуйте арифметичні дії з дробами, знаменники яких відрізняються. Підберіть таке число, щоб при множенні на нього чисельника та знаменника кожного дробу в результаті знаменники обох дробів дорівнювали.

Корисна порада

При записі дробових чисел ділене пишеться над межею. Ця величина позначається як чисельник дробу. Під рисою записується дільник, чи знаменник, дроби. Наприклад, півтора кілограма рису у вигляді дробу запишеться так: 1 ½ кг рису. Якщо знаменник дробу дорівнює 10, такий дріб називають десятковим. При цьому чисельник (ділене) пишеться праворуч від цілої частини через кому: 1,5 кг рису. Для зручності обчислень такий дріб завжди можна записати в неправильному вигляді: 1 2/10 кг картоплі. Для спрощення можна скоротити значення чисельника та знаменника, поділивши їх на одне ціле число. У даному прикладіможливий поділ на 2. В результаті вийде 1 1/5 кг картоплі. Переконайтеся, що числа, з якими ви збираєтесь виконувати арифметичні дії, представлені в одному вигляді.

Часткою одиниці і представляється у вигляді \frac(a)(b).

Чисельник дробу (a)- Число, що знаходиться над межею дробу і показує кількість часток, на які була поділена одиниця.

Знаменник дробу (b)- Число, що знаходиться під межею дробу і показує на скільки часток поділили одиницю.

Приховати Показати

Основна властивість дробу

Якщо ad = bc, то два дроби \frac(a)(b)і \frac(c)(d)вважаються рівними. Наприклад, рівними будуть дроби \frac35і \frac(9)(15), Так як 3 \ cdot 15 = 15 \ cdot 9 , \frac(12)(7)і \frac(24)(14), Так як 12 \ cdot 14 = 7 \ cdot 24 .

З визначення рівності дробів випливає, що рівними будуть дроби \frac(a)(b)і \frac(am)(bm), тому що a(bm)=b(am) — наочний приклад застосування сполучного та переміщувального властивостей множення натуральних чиселв дії.

Значить \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- Так виглядає основна властивість дробу.

Іншими словами, ми отримаємо дріб, рівний даній, помноживши або розділивши чисельник і знаменник вихідного дробу на те саме натуральне число.

Скорочення дробу- Це процес заміни дробу, при якому новий дріб виходить рівною вихідною, але з меншим чисельником і знаменником.

Скорочувати дроби прийнято, спираючись на основну властивість дробу.

Наприклад, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(числитель та знаменник ділиться на число 3); отриманий дріб знову можна скоротити, розділивши на 5 , тобто \frac(15)(20)=\frac 34.

Нескоротний дріб- це дріб виду \frac 34, де чисельник та знаменник є взаємно простими числами. Основна мета скорочення дробу - зробити дріб нескоротним.

Приведення дробів до спільного знаменника

Візьмемо як приклад два дроби: \frac(2)(3)і \frac(5)(8)з різними знаменниками 3 та 8 . Для того, щоб привести ці дроби до спільного знаменника і спочатку перемножимо чисельник і знаменник дробу \frac(2)(3)на 8 . Отримуємо наступний результат: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Потім множимо чисельник і знаменник дробу \frac(5)(8)на 3 . Отримуємо в результаті: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Отже, вихідні дроби наведено до спільного знаменника 24 .

Арифметичні події над звичайними дробами

Додавання звичайних дробів

а) При однакових знаменникахчисельник першого дробу складають із чисельником другого дробу, залишаючи знаменник колишнім. Як видно з прикладу:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

б) При різних знаменникахдроби спочатку призводять до спільного знаменника, а потім виконують додавання чисельників за правилом а) :

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +frac(3)(12)=frac(31)(12).

Віднімання звичайних дробів

а) При однакових знаменниках з чисельника першого дробу віднімають чисельник другого дробу, залишаючи знаменник тим самим:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

б) Якщо ж знаменники дробів різні, спочатку дроби призводять до спільного знаменника, та був повторюють дії як у пункті а) .

Розмноження звичайних дробів

Примноження дробів підпорядковується наступному правилу:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

тобто перемножують окремо чисельники та знаменники.

Наприклад:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

Розподіл звичайних дробів

Розподіл дробів виробляють наступним способом:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

тобто дріб \frac(a)(b)множиться на дріб \frac(d)(c).

Приклад: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

Взаємно зворотні числа

Якщо ab=1 , число b є зворотним числомдля числа a.

Приклад: для числа 9 оберненим є \frac(1)(9), так як 9 \cdot \frac(1)(9)=1для числа 5 - \frac(1)(5), так як 5 \cdot \frac(1)(5)=1.

Десяткові дроби

Десятичним дробомназивається правильний дріб, знаменник якого дорівнює 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n.

Наприклад: \frac(6)(10)=0,6;\enspace \frac(44)(1000)=0,044.

Так само пишуться неправильні зі знаменником 10^n або змішані числа.

Наприклад: 5\frac(1)(10)=5,1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7,63.

У вигляді десяткового дробу представляється кожен звичайний дріб зі знаменником, який є дільником певного ступеня числа 10 .

Приклад: 5 — дільник числа 100 тому дроб \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0,2.

Арифметичні дії над десятковими дробами

Додавання десяткових дробів

Для складання двох десяткових дробів, потрібно їх розташувати так, щоб один під одним виявилися однакові розряди і кома під комою, а потім виконати додавання дробів як звичайних чисел.

Віднімання десяткових дробів

Виконується аналогічно до додавання.

Розмноження десяткових дробів

При множенні десяткових чиселдостатньо перемножити задані числа, не звертаючи уваги на коми (як натуральні числа), а в отриманій відповіді комою праворуч відокремлюється стільки цифр, скільки їх коштує після коми в обох множниках сумарно.

Давайте виконаємо множення 2,7 на 1,3. Маємо 27 \cdot 13 = 351. Відокремлюємо праворуч дві цифри коми (у першого та другого числа — одна цифра після коми; 1+1=2). У результаті отримуємо 2,7 1,3 = 3,51.

Якщо в отриманому результаті виходить менше цифр, ніж треба відокремити комою, то попереду пишуть нулі, що бракують, наприклад:

Для множення на 10, 100, 1000, треба в десятковому дробі перенести кому на 1, 2, 3 цифри вправо (у разі необхідності праворуч приписується певна кількістьнулів).

Наприклад: 1,47 \ cdot 10 \, 000 = 14700 .

Розподіл десяткових дробів

Розподіл десяткового дробу на натуральне число роблять також, як і розподіл натурального числа на натуральне. Кома в приватному ставиться після того, як закінчено розподіл цілої частини.

Якщо ціла частина діленого менше дільника, то у відповіді виходить нуль цілих, наприклад:

Розглянемо розподіл десяткового дробу на десятковий. Нехай потрібно розділити 2,576 на 1,12. Насамперед, помножимо ділене і дільник дробу на 100 , тобто перенесемо кому вправо в ділимому і дільнику на стільки знаків, скільки їх коштує в дільнику після коми (у даному прикладі на дві). Потім потрібно виконати поділ дробу 257,6 на натуральне число 112 тобто завдання зводиться до вже розглянутого випадку:

Буває так, що не завжди виходить кінцевий десятковий дріб при розподілі одного числа на інше. В результаті виходить нескінченний десятковий дріб. У разі переходять до звичайним дробам.

2,8: 0,09= \frac(28)(10) : \frac(9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31 \frac(1)(9).

Ця стаття про звичайні дроби. Тут ми познайомимося з поняттям частки цілого, яке приведе нас до визначення звичайного дробу. Далі зупинимося на прийнятих позначеннях для звичайних дробів і наведемо приклади дробів, скажімо про чисельник та знаменник дробу. Після цього дамо визначення правильних та неправильних, позитивних та негативних дробів, а також розглянемо положення дробових чисел на координатному промені. На закінчення перерахуємо основні події з дробами.

Навігація на сторінці.

Частки цілого

Спочатку введемо поняття частки.

Припустимо, що ми маємо певний предмет, складений із кількох абсолютно однакових (тобто, рівних) частин. Для наочності можна, наприклад, яблуко, розрізане на кілька рівних частин, або апельсин, що складається з кількох рівних часточок. Кожну з цих рівних частин, що становлять цілий предмет, називають часткою цілогоабо просто часткою.

Зауважимо, що частки бувають різні. Пояснимо це. Нехай у нас є два яблука. Розріжемо перше яблуко на дві рівні частини, а друге – на шість рівних частин. Зрозуміло, частка першого яблука відрізнятиметься від частки другого яблука.

Залежно від кількості часток, що становлять цілий предмет, ці частки мають свої назви. Розберемо назви часток. Якщо предмет становлять дві частки, кожна їх називається одна друга частка цілого предмета; якщо предмет становлять три частки, то кожна з них називається одна третя частка, і таке інше.

Одна друга частка має спеціальну назву – половина. Одна третя частка називається третю, а одна четверна частка – чвертю.

Для стислості запису було введено такі позначення часток. Одну другу частку позначають як або 1/2, одну третю частку – як або 1/3; одну четверту частку - як або 1/4 і так далі. Зазначимо, що запис із горизонтальною характеристикою використовується частіше. Для закріплення матеріалу наведемо ще один приклад: запис означає одну сто шістдесят сьому частку цілого.

Поняття частки природно поширюється з предметів на величини. Наприклад, одним із заходів вимірювання довжини є метр. Для вимірювання довжин менших за метр можна використовувати частки метра. Так можна скористатися, наприклад, половиною метра або десятою або тисячною часткою метра. Аналогічно застосовуються частки інших величин.

Звичайні дроби, визначення та приклади дробів

Для опису кількості часток використовуються звичайні дроби. Наведемо приклад, який дозволить нам підійти до визначення звичайних дробів.

Нехай апельсин складається з 12 часток. Кожна частка у разі представляє одну дванадцяту частку цілого апельсина, тобто, . Дві частки позначимо як , три частки - як , і так далі, 12 часток позначимо як . Кожен із наведених записів називають звичайним дробом.

Тепер дамо спільне визначення звичайних дробів.

Озвучене визначення звичайних дробів дозволяє навести приклади звичайних дробів: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . А ось записи не підходять під озвучене визначення звичайних дробів, тобто не є звичайними дробами.

Чисельник і знаменник

Для зручності у звичайному дробі розрізняють чисельник та знаменник.

Визначення.

Чисельникзвичайного дробу (m/n) – це натуральне число m.

Визначення.

Знаменникзвичайного дробу (m/n ) – це натуральне число n .

Отже, чисельник розташований зверху над межею дробу (ліворуч від похилої межі), а знаменник – знизу під межею дробу (праворуч від похилої межі). Для прикладу наведемо звичайний дріб 17/29, чисельником цього дробу є число 17, а знаменником - число 29.

Залишилося обговорити зміст, укладений у чисельнику і знаменнику звичайного дробу. Знаменник дробу показує, з скільки частин складається один предмет, чисельник у свою чергу вказує кількість таких часток. Наприклад, знаменник 5 дробу 12/5 означає, що один предмет складається з п'яти часток, а чисельник 12 означає, що взято 12 таких часток.

Натуральне число як дріб із знаменником 1

Знаменник звичайного дробу може бути дорівнює одиниці. У цьому випадку можна вважати, що предмет неподільний, іншими словами, є чимось цілим. Чисельник такого дробу вказує, скільки цілих предметів взято. Таким чином, звичайний дріб виду m/1 має сенс натурального числа m. Так ми довели справедливість рівності m/1=m .

Перепишемо останню рівність так: m=m/1. Ця рівність дає нам можливість будь-яке натуральне число m представляти у вигляді звичайного дробу. Наприклад, число 4 – це дріб 4/1, а число 103498 дорівнює дробу 103498/1.

Отже, будь-яке натуральне число m можна подати у вигляді звичайного дробу зі знаменником 1 як m/1 , а будь-який звичайний дріб виду m/1 можна замінити натуральним числом m.

Чорта дробу як знак розподілу

Уявлення вихідного предмета як n часток є нічим іншим як поділ на n рівних частин. Після того, як предмет розділений на n частиною, ми можемо розділити порівну між n людьми – кожен отримає по одній частці.

Якщо ж у нас є спочатку m однакових предметів, кожен з яких розділений на n частиною, то ці m предметів ми можемо порівну поділити між n людьми, роздавши кожній людині по одній частці кожного з m предметів. При цьому у кожної людини буде m часткою 1/n, а m часткою 1/n дає звичайний дріб m/n. Таким чином, звичайний дріб m/n можна застосовувати для позначення розподілу предметів m між n людьми.

Так ми отримали явний зв'язок між звичайними дробами та поділом (дивіться загальне уявлення про розподіл натуральних чисел). Цей зв'язок виражається в наступному: рису дробу можна розуміти як знак розподілу, тобто m/n=m:n.

За допомогою звичайного дробу можна записати результат поділу двох натуральних чисел, для яких не виконується поділ націло. Наприклад, результат розподілу 5 яблук на 8 чоловік можна записати як 5/8, тобто, кожному дістанеться п'ять восьмих часток яблука: 5:8 = 5/8.

Рівні та нерівні звичайні дроби, порівняння дробів

Досить природною дією є порівняння звичайних дробів, адже зрозуміло, що 1/12 апельсина відрізняється від 5/12, а 1/6 частка яблука така сама, як інша 1/6 частка цього яблука.

В результаті порівняння двох звичайних дробів виходить один із результатів: дроби або рівні, або не рівні. У першому випадку ми маємо рівні звичайні дроби, а у другому – нерівні звичайні дроби. Дамо визначення рівних та нерівних звичайних дробів.

Визначення.

рівні, якщо справедлива рівність a d = b c .

Визначення.

Два звичайні дроби a/b та c/d не рівні, якщо рівність a d = b c не виконується.

Наведемо кілька прикладів рівних дробів. Наприклад, звичайний дріб 1/2 дорівнює дробу 2/4, так як 1 · 4 = 2 · 2 (при необхідності дивіться правила та приклади множення натуральних чисел). Для наочності можна уявити два однакових яблука, перше розрізане навпіл, а друге – на 4 частки. При цьому очевидно, що дві четверті частки яблука становлять 1/2 частку. Іншими прикладами рівних звичайних дробів є дроби 4/7 і 36/63, а також пара дробів 81/50 та 1620/1000.

А прості дроби 4/13 і 5/14 не рівні, оскільки 4·14=56 , а 13·5=65 , тобто, 4·14≠13·5 . Іншим прикладом нерівних звичайних дробів є дроби 17/7 та 6/4.

Якщо при порівнянні двох звичайних дробів з'ясувалося, що вони не рівні, то можливо знадобиться дізнатися, який із цих звичайних дробів меншеінший, а яка – більше. Щоб це з'ясувати, використовується правило порівняння звичайних дробів, суть якого зводиться до приведення порівнюваних дробів до спільного знаменника та подальшого порівняння чисельників. Детальна інформація з цієї теми зібрана у статті порівняння дробів: правила, приклади, рішення.

Дробові числа

Кожен дріб є записом дробового числа. Тобто, дріб – це лише «оболонка» дробового числа, його зовнішній вигляд, а все смислове навантаження міститься саме у дробовому числі. Однак для стислості та зручності поняття дробу та дробового числа поєднують і говорять просто дріб. Тут доречно перефразувати відомий вислів: ми говоримо дріб – маємо на увазі дробове число, ми говоримо дробове число - маємо на увазі дріб.

Дроби на координатному промені

Усі дробові числа, що відповідають звичайним дробам, мають своє унікальне місцена , тобто існує однозначна відповідність між дробами і точками координатного променя.

Щоб на координатному промені потрапити в точку, що відповідає дробу m/n, потрібно від початку координат у позитивному напрямку відкласти m відрізків, довжина яких становить 1/n частку одиничного відрізка. Такі відрізки можна отримати, розділивши одиничний відрізок на n рівних частин, що можна зробити з допомогою циркуля і лінійки.

Наприклад покажемо точку М на координатному промені, відповідну дробу 14/10 . Довжина відрізка з кінцями в точці O і найближчої до неї точці, позначеної маленьким штрихом, становить 1/10 частку одиничного відрізка. Крапка з координатою 14/10 віддалена від початку координат на відстань 14 таких відрізків.

Рівним дробам відповідає те саме дробове число, тобто, рівні дробиє координатами однієї й тієї точки на координатному промені. Наприклад, координатам 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 на координатному промені відповідає одна точка, оскільки всі записані дроби рівні (вона розташована на відстані половини одиничного відрізка, відкладеного від початку відліку в позитивному напрямку).

На горизонтальному і спрямованому праворуч координатному промені точка, координатою якої є великий дріб, розташовується правіше точки, координатою якої є менший дріб. Аналогічно, точка з меншою координатою лежить лівіше від точки з більшою координатою.

Правильні та неправильні дроби, визначення, приклади

Серед звичайних дробів розрізняють правильні та неправильні дроби. Цей поділ у своїй основі має порівняння чисельника та знаменника.

Дамо визначення правильних і неправильних звичайних дробів.

Визначення.

Правильний дріб– це звичайний дріб, чисельник якого менший за знаменник, тобто, якщо m

Визначення.

Неправильний дріб– це звичайний дріб, у якому чисельник більший або дорівнює знаменнику, тобто якщо m≥n , то звичайний дріб є неправильним.

Наведемо кілька прикладів правильних дробів: 1/4 , 32 765/909 003 . Дійсно, у кожному із записаних звичайних дробів чисельник менший за знаменник (за потреби дивіться статтю порівняння натуральних чисел), тому вони правильні за визначенням.

А ось приклади неправильних дробів: 9/9, 23/4,. Справді, чисельник першою із записаних звичайних дробів дорівнює знаменнику, а інших дробах чисельник більше знаменника.

Також мають місце визначення правильних та неправильних дробів, що базуються на порівнянні дробів з одиницею.

Визначення.

правильноюякщо вона менше одиниці.

Визначення.

Звичайний дріб називається неправильною, Якщо вона або дорівнює одиниці, або більше 1 .

Так звичайний дріб 7/11 – правильний, оскільки 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1, а 27/27=1.

Давайте поміркуємо, чим звичайні дроби з чисельником, вищим або рівним знаменнику, заслужили таку назву - «неправильні».

Для прикладу візьмемо неправильний дріб 9/9. Цей дріб означає, що взято дев'ять часток предмета, що складається з дев'яти часток. Тобто з наявних дев'яти часток ми можемо скласти цілий предмет. Тобто, неправильний дріб 9/9 насправді дає цілий предмет, тобто, 9/9=1 . Взагалі, неправильні дроби з чисельником рівним знаменнику позначають один цілий предмет, і такий дріб може замінити натуральне число 1 .

Тепер розглянемо неправильні дроби 7/3 та 12/4. Досить очевидно, що з цих семи третіх часток ми можемо скласти два цілих предмети (один цілий предмет складають 3 частки, тоді для складання двох цілих предметів нам знадобиться 3+3=6 часток) і залишиться ще одна третя частка. Тобто неправильний дріб 7/3 по суті означає 2 предмети та ще 1/3 частку такого предмета. А з дванадцяти четвертих часток ми можемо скласти три цілих предмети (три предмети по чотири частки в кожному). Тобто, дріб 12/4 насправді означає 3 цілих предмета.

Розглянуті приклади приводять нас до наступного висновку: неправильні дроби, можуть бути замінені або натуральними числами, коли чисельник ділиться націло на знаменник (наприклад, 9/9=1 і 12/4=3 ), або сумою натурального числа та правильного дробу, коли чисельник не ділиться націло на знаменник (наприклад, 7/3=2+1/3). Можливо, саме цим і заслужили неправильні дроби таку назву - "неправильні".

Окремий інтерес викликає подання неправильного дробу у вигляді суми натурального числа та правильного дробу (7/3=2+1/3). Цей процес називається виділенням цілої частини з неправильного дробу, і заслуговує на окремий і більш уважний розгляд.

Також варто зауважити, що існує дуже тісний зв'язок між неправильними дробами та змішаними числами.

Позитивні та негативні дроби

Кожен звичайний дріб відповідає позитивному дробовому числу (дивіться статтю позитивні та негативні числа). Тобто, звичайні дроби є позитивними дробами. Наприклад, прості дроби 1/5 , 56/18 , 35/144 – позитивні дроби. Коли потрібно особливо виділити позитивність дробу, перед нею ставиться знак плюс, наприклад, +3/4 , +72/34 .

Якщо перед звичайним дробом поставити знак мінус, то цей запис відповідатиме негативному дробовому числу. У цьому випадку можна говорити про негативних дробах. Наведемо кілька прикладів негативних дробів: −6/10 , −65/13 , −1/18 .

Позитивний і негативний дроби m/n і −m/n є протилежними числами . Наприклад, дроби 5/7 та −5/7 – протилежні дроби.

Позитивні дроби, як і позитивні числа загалом, позначають додаток, дохід, зміна будь-якої величини у бік збільшення тощо. Негативні дроби відповідають витратам, боргу, зміні будь-якої величини у бік зменшення. Наприклад, негативний дріб −3/4 можна трактувати як борг, величина якого дорівнює 3/4 .

На горизонтальній і спрямованій праворуч негативні дроби розташовуються лівіше початку відліку. Точки координатної прямої, координатами яких є позитивний дріб m/n і негативний дріб m/n розташовані на однаковій відстані від початку координат, але по різні сторони від точки O .

Тут варто сказати про дроби виду 0/n . Ці дроби дорівнюють числу нуль, тобто, 0/n=0 .

Позитивні дроби, негативні дроби, і навіть дроби 0/n об'єднуються у раціональні числа .

Дії з дробами

Одна дія зі звичайними дробами – порівняння дробів – ми вже розглянули вище. Визначено ще чотири арифметичні дії з дробами– додавання, віднімання, множення та поділ дробів. Зупинимося кожному з них.

Загальна суть дій із дробами аналогічна суті відповідних дій із натуральними числами. Проведемо аналогію.

Розмноження дробівможна розглядати як дію, при якій знаходиться дріб від дробу. Для пояснення наведемо приклад. Нехай ми маємо 1/6 частину яблука і нам потрібно взяти 2/3 частини від неї. Потрібна нам частина є результатом множення дробів 1/6 та 2/3. Результатом множення двох звичайних дробів є звичайний дріб (який окремо дорівнює натуральному числу). Далі рекомендуємо до вивчення інформацію статті множення дробів – правила, приклади та рішення.

Список літератури.

• Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. Математика: підручник для 5 кл. загальноосвітніх установ.
• Віленкін Н.Я. та ін Математика. 6 клас: підручник для загальноосвітніх закладів.
• Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).

Частину одиниці або кілька її частин називають простим або звичайним дробом. Кількість рівних частин, куди ділиться одиниця, називається знаменником, а кількість взятих частин - чисельником. Дроб записується у вигляді:

У разі а - чисельник, b - знаменник.

Якщо чисельник менший за знаменник, то дріб менше 1 і називається правильним дробом. Якщо чисельник більший за знаменник, то дріб більше 1, тоді дріб називається неправильним.

Якщо чисельник і знаменник дробу дорівнюють, то дріб дорівнює.

1. Якщо чисельник можна розділити на знаменник, то цей дріб дорівнює частці від поділу:

Якщо поділ виконується з залишком, то цей неправильний дріб може бути представлений змішаним числом, наприклад:

Тоді 9 - неповне приватне (ціла частина змішаного числа),
1 - залишок (числитель дробової частини),
5 – знаменник.

Щоб звернути змішане число в дріб, необхідно помножити цілу частину змішаного числа на знаменник і додати чисельник дробової частини.

Отриманий результат буде чисельником звичайного дробу, а знаменник залишиться тим самим.

Дії з дробами

Розширення дробу.Значення дробу не змінюється, якщо помножити його чисельник і знаменник на те саме число, відмінне від нуля.
Наприклад:

Скорочення дробу.Значення дробу не змінюється, якщо розділити її чисельник і знаменник одне й те число, відмінне від нуля.
Наприклад:

Порівняння дробів.З двох дробів з однаковими чисельниками та більша, знаменник якої менший:

З двох дробів з однаковими знаменниками той більший, чисельник якого більший:

Для порівняння дробів, у яких чисельники та знаменники різні, необхідно розширити їх, тобто привести до спільного знаменника. Розглянемо, наприклад, такі дроби:

Складання та віднімання дробів.Якщо знаменники дробів однакові, то щоб скласти дроби, необхідно скласти їх чисельники, а щоб відняти дроби, треба відняти їх чисельники. Отримана сума чи різницю буде чисельником результату, а знаменник залишиться тим самим. Якщо знаменники дробів різні, спочатку необхідно привести дроби до спільного знаменника. При додаванні змішаних чисел їх цілі та дробові частини складаються окремо. При відніманні змішаних чисел спочатку необхідно перетворити їх до виду неправильних дробів, потім відняти з одного інший, а після цього знову привести результат, якщо потрібно вид змішаного числа.

Розмноження дробів. Для перемноження дробів необхідно перемножити окремо їх чисельники та знаменники та розділити перший твір на другий.

Розподіл дробів. Для того, щоб розділити деяке число на дріб, необхідно помножити це число на дріб.

Десятковий дріб- це результат розподілу одиниці на десять, сто, тисячу тощо. частин. Спочатку пишеться ціла частина числа, потім праворуч ставиться десяткова точка. Перша цифра після десяткової точки означає число десятих, друга – число сотих, третя – число тисячних тощо. буд. Цифри, розташовані після десяткової точки, називаються десятковими знаками.

Наприклад:

Властивості десяткових дробів

Властивості:

• Десятковий дріб не змінюється, якщо праворуч додати нулі: 4,5 = 4,5000.
• Десятковий дріб не змінюється, якщо видалити нулі, розташовані в кінці десяткового дробу: 0,0560000 = 0,056.
• Десятковий дріб зростає в 10, 100, 1000 і т.д. разів, якщо перенести десяткову точку на одну, дві, три тощо. позиції вправо: 4,5 45 (дроб зріс у 10 разів).
• Десятковий дріб зменшується в 10, 100, 1000 і т.д. разів, якщо перенести десяткову точку на одну, дві, три тощо. позиції вліво: 4,5 0,45 (дроб зменшився в 10 разів).

Періодична десяткова дріб містить групу цифр, що нескінченно повторюється, звану періодом: 0,321321321321…=0,(321)

Дії з десятковими дробами

Додавання і віднімання десяткових дробів виконуються так само, як і додавання і віднімання цілих чисел, необхідно тільки записати відповідні десяткові знаки один під одним.
Наприклад:

Умноження десяткових дробів проводиться у кілька етапів:

• Перемножуємо десяткові дроби як цілі числа, не зважаючи на десяткову точку.
• Застосовується правило: кількість десяткових знаків у творі дорівнює сумі десяткових знаків у всіх співмножниках.

Наприклад:

Сума чисел десяткових знаків у співмножниках дорівнює: 2+1=3. Тепер необхідно з кінця числа, що вийшло, відрахувати 3 знаки і поставити десяткову точку: 0,675.

Розподіл десяткових дробів. Розподіл десяткового дробу на ціле число: якщо ділене менше від дільника, тоді потрібно записати нуль у цілій частині приватного і поставити після нього десяткову точку. Потім, не беручи до уваги десяткову точку ділимого, приєднати до цілої частини наступну цифру дробової частини і знову порівняти отриману цілу частину ділимого з дільником. Якщо нове число знову менше від дільника, треба повторити операцію. Цей процес повторюється до того часу, поки отримане ділене стане більше дільника. Після цього поділ виконується як для цілих чисел. Якщо ділене більше дільника або дорівнює йому, спочатку ділимо його цілу частину, записуємо результат поділу в приватному та ставимо десяткову точку. Після цього розподіл продовжується, як у разі цілих чисел.

Розподіл одного десяткового дробу в інший: спочатку переносяться десяткові крапки в ділимому і дільнику на число десяткових знаків у дільнику, тобто робимо дільник цілим числом, і виконуються дії, описані вище.

Для того щоб звернути десятковий дріб у звичайний, необхідно як чисельник взяти число, що стоїть після десяткової точки, а як знаменник взяти k-у ступінь десяти (k - кількість десяткових знаків). Відмінна від нуля ціла частина зберігається у звичайному дробі; нульова ціла частина опускається.
Наприклад:

Щоб звернути звичайну дріб у десятковий, треба розділити чисельник на знаменник відповідно до правил поділу.

Відсоток – це сота частина одиниці, наприклад: 5% означає 0,05. Відношення - це окреме від розподілу одного числа на інше. Пропорція – це рівність двох відносин.

Наприклад:

Основна властивість пропорції: добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку її середніх членів, тобто 5х30 = 6х25. Дві взаємно залежні величини називаються пропорційними, якщо відношення їх величин зберігається незмінним (коефіцієнт пропорційності).

Таким чином, виявлено такі арифметичні дії.
Наприклад:

Безліч раціональних чисел включає позитивні і негативні числа (цілі та дробові) і нуль. Більш точне визначення раціональних чисел, прийняте в математиці, таке: число називається раціональним, якщо воно може бути представлене у вигляді звичайного нескоротного дробу виду: де a і b цілі числа.

Для від'ємного числа абсолютна величина (модуль) - це позитивне число, що отримується від зміни його знака з "-" на "+"; для позитивного числа та нуля - саме це число. Для позначення модуля числа використовуються дві прямі риси, у яких записується це число, наприклад: |–5|=5.

Властивості абсолютної величини

Нехай дано модуль числа для якого справедливі властивості:

Одночлен - це добуток двох або кількох співмножників, кожен з яких або число, або літера, або ступінь літери: 3 х a х b. Коефіцієнтом найчастіше називають лише числовий множник. Одночлени називаються подібними, якщо вони однакові чи відрізняються лише коефіцієнтами. Ступінь одночлена – це сума показників ступенів усіх його букв. Якщо серед суми одночленів є подібні, то сума може бути приведена до більш простого виду: 3 х a х b + 6 х a = 3 х a х (b + 2). Ця операція називається приведенням таких членів або винесенням за дужки.

Багаточлен - це сума алгебри одночленів. Ступінь багаточлена є найбільшою зі ступенів одночленів, що входять до цього багаточлена.

Існують такі формули скороченого множення:

Методи розкладання на множники:

Алгебраїчна дріб - це вираз виду , де A і B можуть бути числом, одночлен, багаточлен.

Якщо два вирази (числові та буквені) з'єднані знаком «=», то кажуть, що вони утворюють рівність. Будь-яка правильна рівність, справедлива при всіх допустимих числових значеннях букв, що входять до нього, називається тотожністю.

Рівняння - це буквене рівність, яке справедливе за певних значень входять до нього букв. Ці букви називаються невідомими (змінними), які значення, у яких дане рівняння перетворюється на тотожність, - корінням рівняння.

Вирішити рівняння - значить знайти все його коріння. Два або кілька рівнянь називаються рівносильними, якщо вони мають одне і те ж коріння.

• нуль був коренем рівняння;
• рівняння мало лише кінцеве число коренів.

Основні типи рівнянь алгебри:

У лінійного рівняння ax + b = 0:

• якщо a х 0 є єдиний корінь x = -b/a;
• якщо a = 0, b ≠ 0, немає коріння;
• якщо a = 0, b = 0, коренем є будь-яке дійсне число.

Рівняння xn = a, n N:

• якщо n - непарне число, має за будь-якого а дійсний корінь, рівний a/n;
• якщо n – парне число, то при a 0, то має два корені.

Основні тотожні перетворення: заміна одного виразу іншим, тотожно рівним йому; перенесення членів рівняння з одного боку до іншого зі зворотними знаками; множення або розподіл обох частин рівняння на те саме вираз (число), відмінне від нуля.

Лінійним рівнянням з одним невідомим називається рівняння виду: ax+b=0, де a та b - відомі числа, а x - невідома величина.

Системи двох лінійних рівнянь із двома невідомими мають вигляд:

Де a, b, c, d, e, f – задані числа; x, y – невідомі.

Числа a, b, c, d – коефіцієнти при невідомих; e, f – вільні члени. Розв'язання цієї системи рівнянь може бути знайдено двома основними методами: метод підстановки: з одного рівняння виражаємо одне з невідомих через коефіцієнти та інше невідоме, а потім підставляємо у друге рівняння, вирішуючи останнє рівняння, знаходимо спочатку одне невідоме, потім підставляємо знайдене значення у перше рівняння і знаходимо друге невідоме; метод складання чи віднімання одного рівняння з іншого.

Операції з корінням:

Арифметичним коренем n-го ступеня з неотрицательного числа a називається неотрицательное число, n-я ступінь якого дорівнює a. Алгебраїчним коренем n-го ступеня з цього числа називається безліч всіх коренів з цього числа.

Ірраціональні числа на відміну раціональних не можуть бути представлені у вигляді звичайного нескоротного дробу виду m/n, де m і n - цілі числа. Це числа нового типу, які можуть бути обчислені з будь-якою точністю, але не можуть бути замінені на раціональне число. Вони можуть з'явитися як результат геометричних вимірів, наприклад: відношення довжини діагоналі квадрата до довжини сторони дорівнює.

Квадратне рівняння є рівняння алгебри другого ступеня ax2+bx+c=0, де a, b, c - задані числові або буквені коефіцієнти, x - невідоме. Якщо розділити всі члени цього рівняння на а, то отримаємо x2+px+q=0 - наведене рівняння p=b/a, q=c/a. Його коріння знаходиться за формулою:

Якщо b2-4ac>0, тоді є два різні корені, b2- 4ac=0, тоді є два рівних кореня; b2-4ac Рівняння, що містять модулі

Основні типи рівнянь, що містять модулі:
1) | f (x) | = | g (x) |;
2) | f (x) | = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn (x) | gn (x) | =0, n N де f(x), g(x), fk(x), gk(x) - задані функції.