Розв'язання квадратних графіків. Як обчислити мінімум чи максимум за допомогою математичних операцій

Що таке парабола знають, мабуть, усі. А ось як її правильно, грамотно використовувати під час вирішення різних практичних завдань, розберемося нижче.

Спочатку позначимо основні поняття, що дає цьому терміну алгебра та геометрія. Розглянемо все можливі видицього графіка.

Дізнаємося всі основні характеристики цієї функції. Зрозуміємо основи побудови кривої (геометрія). Навчимося знаходити вершину, інші основні величини графіка цього типу.

Дізнаємося: як правильно будується крива за рівнянням, на що треба звернути увагу. Подивимося головне практичне застосуванняцієї унікальної величини у житті людини.

Що таке парабола і як вона виглядає

Алгебра: під цим терміном розуміється графік квадратичної функції.

Геометрія: це крива другого порядку, має ряд певних особливостей:

Канонічне рівняння параболи

На малюнку зображена прямокутна система координат (XOY), екстремум, напрямок гілок креслення функції вздовж осі абсцис.

Канонічне рівняння має вигляд:

y 2 = 2 * p * x,

де коефіцієнт p – фокальний параметр параболи (AF).

В алгебрі воно запишеться інакше:

y = a x 2 + b x + c (відомий шаблон: y = x 2).

Властивості та графік квадратичної функції

Функція має віссю симетрії та центром (екстремум). Область визначення – всі значення осі абсцис.

Область значень функції – (-∞, М) або (М, +∞) залежить від напрямку гілок кривої. Параметр М тут означає величину функції у вершині лінії.

Як визначити, куди спрямовані гілки параболи

Щоб знайти напрямок кривої такого типу із виразу, потрібно визначити знак перед першим параметром алгебраїчного виразу. Якщо а 0 , то вони спрямовані вгору. Якщо навпаки – вниз.

Як знайти вершину параболи за формулою

Знаходження екстремуму є основним етапом під час вирішення безлічі практичних завдань. Звичайно, можна відкрити спеціальні онлайн калькуляториАле краще це вміти робити самому.

Як її визначити? Є спеціальна формула. Коли b дорівнює 0, треба шукати координати цієї точки.

Формули знаходження вершини:

• x 0 = -b/(2*a);
• y0 = y(x0).

приклад.

Є функція у = 4 * x 2 + 16 * x - 25. Знайдемо вершини цієї функції.

Для такої лінії:

• х = -16/(2*4) = -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Отримуємо координати вершини (-2, -41).

Зміщення параболи

Класичний випадок, коли у квадратичній функції y = a x 2 + b x + c, другий та третій параметри дорівнюють 0, а = 1 – вершина знаходиться в точці (0; 0).

Рух осями абсцис або ординат обумовлено зміною параметрів b і c відповідно.Зсув лінії на площині буде здійснюватися рівно на кількість одиниць, чому дорівнює значення параметра.

приклад.

Маємо: b=2, c=3.

Це означає, що класичний вид кривої зрушить на 2 одиничні відрізки по осі абсцис і на 3 - по осі ординат.

Як будувати параболу за квадратним рівнянням

Школярам важливо засвоїти, як правильно накреслити параболу за заданими параметрами.

Аналізуючи вирази та рівняння, можна побачити наступне:

1. Точка перетину шуканої лінії з вектором ординат матиме значення, що дорівнює величині с.
2. Усі точки графіка (по осі абсцис) будуть симетричні щодо основного екстремуму функції.

Крім того, місця перетину з ОХ можна знайти, знаючи дискримінант (D) такої функції:

D = (b 2 - 4 * a * c).

Для цього потрібно прирівняти вираз до нуля.

Наявність коріння параболи залежить від результату:

• D 0 , то х 1,2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D = 0, то х 1, 2 = -b/(2*a);
• D 0 0, то немає точок перетину з вектором ОХ.

Отримуємо алгоритм побудови параболи:

• визначити напрямок гілок;
• знайти координати вершини;
• знайти перетин з віссю ординат;
• знайти перетин з віссю абсцис.

приклад 1.

Дана функція у = х 2 - 5 * х + 4. Необхідно побудувати параболу. Діємо за алгоритмом:

1. а = 1, отже, гілки спрямовані нагору;
2. координати екстремуму: х = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5*(5/2) + 4 = -15/4;
3. з віссю ординат перетинається у значенні у = 4;
4. знайдемо дискримінант: D = 25 – 16 = 9;
5. шукаємо коріння:

• Х 1 = (5 + 3)/2 = 4; (4, 0);
• Х 2 = (5 – 3) / 2 = 1; (1, 0).

приклад 2.

Для функції у = 3 * х 2 - 2 * х - 1 потрібно побудувати параболу. Діємо за наведеним алгоритмом:

1. а = 3, отже, гілки спрямовані нагору;
2. координати екстремуму: х = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. з віссю у перетинатиметься у значенні у = -1;
4. знайдемо дискримінант: D = 4 + 12 = 16. Значить коріння:

• Х 1 = (2 + 4)/6 = 1; (1; 0);
• Х 2 = (2 – 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

За отриманими точками можна побудувати параболу.

Директриса, ексцентриситет, фокус параболи

З канонічного рівняння, фокус F має координати (p/2, 0).

Пряма АВ – директриса (свого роду хорда параболи певної довжини). Її рівняння: х = -Р/2.

Ексцентриситет (константа) = 1.

Висновок

Ми розглянули тему, яку вивчають школярі середній школі. Тепер ви знаєте, дивлячись на квадратичну функцію параболи, як знайти її вершину, в яку сторону будуть направлені гілки, чи є зміщення по осях, і, маючи алгоритм побудови, можете накреслити її графік.