Коренем якого рівняння буде дріб. Найпростіші раціональні рівняння

Розв'язання рівнянь із дробамирозглянемо з прикладів. Приклади прості та показові. З їхньою допомогою ви найбільш зрозумілим чином зможете засвоїти, .
Наприклад, потрібно вирішити просте рівняння x/b + c = d.

Рівняння цього називається лінійним, т.к. у знаменнику знаходяться лише числа.

Рішення виконується шляхом множення обох частин рівняння на b, тоді рівняння набуває вигляду x = b*(d – c), тобто. знаменник дробу у лівій частині скорочується.

Наприклад, як вирішити дробове рівняння:
x/5+4=9
Помножуємо обидві частини на 5. Отримуємо:
х+20=45
x=45-20=25

Інший приклад, коли невідоме перебуває у знаменнику:

Рівняння такого типу називаються дробово-раціональними або просто дробовими.

Вирішувати дробове рівняння будемо шляхом позбавлення від дробів, після чого це рівняння, найчастіше, перетворюється на лінійне або квадратне, яке вирішується звичайним способом. Слід лише врахувати такі моменти:

• значення змінної, що звертає до 0 знаменник, коренем бути не може;
• не можна ділити чи множити рівняння вираз =0.

Тут набуває чинності таке поняття, як область допустимих значень (ОДЗ) – це значення коренів рівняння, у яких рівняння має сенс.

Таким чином, вирішуючи рівняння, необхідно знайти коріння, після чого перевірити їх на відповідність ОДЗ. Те коріння, яке не відповідає нашій ОДЗ, з відповіді виключається.

Наприклад, потрібно вирішити дробове рівняння:

З вищевказаного правила х може бути = 0, тобто. ОДЗ у разі: х – будь-яке значення, відмінне від нуля.

Позбавляємося знаменника шляхом множення всіх членів рівняння на х

І вирішуємо нормальне рівняння

5x - 2х = 1
3x = 1
х = 1/3

Відповідь: х = 1/3

Розв'яжемо рівняння складніше:

Тут також є ОДЗ: х -2.

Вирішуючи це рівняння, ми не будемо переносити все в один бік і приводити дроби до спільного знаменника. Ми одразу помножимо обидві частини рівняння на вираз, який скоротить одразу всі знаменники.

Для скорочення знаменників потрібно ліву частину помножити на х+2, а праву - на 2. Отже, обидві частини рівняння треба множити на 2(х+2):

Це звичайнісіньке множення дробів, яке ми вже розглянули вище

Запишемо це ж рівняння, але дещо по-іншому

Ліва частина скорочується на (х+2), а права на 2. Після скорочення отримуємо звичайне лінійне рівняння:

х = 4 – 2 = 2, що відповідає нашій ОДЗ

Відповідь: х = 2.

Розв'язання рівнянь із дробамине так складно, як може здатися. У цій статті ми на прикладах показали це. Якщо у вас виникли якісь труднощі з тим, як вирішувати рівняння з дробами, то відписуйтесь у коментарях.

Презентація та урок на тему: "Раціональні рівняння. Алгоритм та приклади вирішення раціональних рівнянь"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 8 класу
Посібник до підручника Макарічева Ю.М. Посібник до підручника Мордковича О.Г.

Знайомство з ірраціональними рівняннями

Діти, ми навчилися вирішувати квадратні рівняння. Але математика лише ними не обмежується. Сьогодні ми навчимося вирішувати раціональні рівняння. Концепція раціональних рівняньбагато в чому схоже з поняттям раціональних чисел. Тільки крім чисел тепер у нас запроваджено деяку змінну $х$. І таким чином ми отримуємо вираз, в якому присутні операції складання, віднімання, множення, поділу та зведення в цілу міру.

Нехай $r(x)$ – це раціональний вираз . Такий вираз може являти собою простий багаточлен від змінної $х$ або відношення багаточленів (вводиться операція поділу, як для раціональних чисел).
Рівняння $ r (x) = 0 $ називається раціональним рівнянням.
Будь-яке рівняння виду $p(x)=q(x)$, де $p(x)$ і $q(x)$ – раціональні висловлювання, також буде раціональним рівнянням.

Розглянемо приклади розв'язання раціональних рівнянь.

приклад 1.
Розв'язати рівняння: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Рішення.
Перенесемо всі вирази в ліву частину: $ frac (5x-3) (x-3) - frac (2x-3) (x) = 0 $.
Якби в лівій частині рівняння були представлені звичайні числа, ми привели б два дроби до спільного знаменника.
Давайте так і зробимо: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x )=\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) *x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Отримали рівняння: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Дроб дорівнює нулю, тоді і тільки тоді, коли чисельник дробу дорівнює нулю, А знаменник відмінний від нуля. Тоді окремо прирівняємо чисельник до нуля і знайдемо коріння чисельника.
$3(x^2+2x-3)=0$ або $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Тепер перевіримо знаменник дробу: $(x-3)*x≠0$.
Добуток двох чисел дорівнює нулю, коли хоча б одне з цих чисел дорівнює нулю. Тоді: $x≠0$ або $x-3≠0$.
$x≠0$ або $x≠3$.
Коріння, отримані в чисельнику та знаменнику, не збігаються. Значить у відповідь записуємо обидва корені чисельника.
Відповідь: $ х = 1 $ або $ х = -3 $.

Якщо раптом, один з коренів чисельника збігся з коренем знаменника, його слід виключити. Таке коріння називається стороннім!

Алгоритм розв'язання раціональних рівнянь:

1. Всі вирази, що містяться в рівнянні, перенести до лівий біквід знаку одно.
2. Перетворити цю частину рівняння до алгебраїчного дробу: $ \ frac (p (x)) (q (x)) = 0 $.
3. Прирівняти отриманий чисельник до нуля, тобто розв'язати рівняння $ p (x) = 0 $.
4. Прирівняти знаменник до нуля та вирішити отримане рівняння. Якщо коріння знаменника збіглося з корінням чисельника, їх слід виключити з відповіді.

приклад 2.
Розв'яжіть рівняння: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Рішення.
Вирішимо згідно з пунктами алгоритму.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Прирівняємо чисельник до нуля: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1) (3); 1 $.
4. Прирівняємо знаменник до нуля:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ та $x=-1$.
Один із коренів $х=1$ співпав із коренем із чисельника, тоді ми його у відповідь не записуємо.
Відповідь: $ х = -1 $.

Вирішувати раціональні рівняння зручно за допомогою методу заміни змінних. Давайте продемонструємо це.

Приклад 3.
Розв'язати рівняння: $x^4+12x^2-64=0$.

Рішення.
Введемо заміну: $ t = x ^ 2 $.
Тоді наше рівняння набуде вигляду:
$t^2+12t-64=0$ - звичайне квадратне рівняння.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4$.
Введемо зворотну заміну: $ x ^ 2 = 4 $ або $ x ^ 2 = -16 $.
Корінням першого рівняння є пара чисел $х=±2$. Друге – не має коріння.
Відповідь: $ х = ± 2 $.

Приклад 4.
Розв'язати рівняння: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Рішення.
Введемо нову змінну: $ t = x ^ 2 + x + 1 $.
Тоді рівняння набуде вигляду: $t=\frac(15)(t+2)$.
Далі діятимемо за алгоритмом.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $ t ^ 2 + 2t-15 = 0 $.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3$.
4. $t≠-2$ - коріння не співпадає.
Введемо зворотну заміну.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Розв'яжемо кожне рівняння окремо:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - ні коріння.
І друге рівняння: $ x ^ 2 + x-2 = 0 $.
Корінням даного рівняннябудуть числа $х=-2$ та $х=1$.
Відповідь: $ х = -2 $ і $ х = 1 $.

Приклад 5.
Розв'язати рівняння: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Рішення.
Введемо заміну: $ t = x + \ frac (1) (x) $.
Тоді:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ або $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Здобули рівняння: $t^2-2+t=4$.
$ t ^ 2 + t-6 = 0 $.
Корінням даного рівняння є пара:
$ t = -3 $ і $ t = 2 $.
Введемо зворотну заміну:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Вирішимо окремо.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Розв'яжемо друге рівняння:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Коренем цього рівняння є число $х = 1 $.
Відповідь: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Завдання для самостійного вирішення

Розв'язати рівняння:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

Рівняння» ми ввели вище в § 7. Спочатку нагадаємо, що таке раціональне вираження. Це - алгебраїчний вираз, Складене з чисел і змінної х за допомогою операцій складання, віднімання, множення, поділу та зведення в ступінь з натуральним показником.

Якщо r(х) – раціональний вираз, то рівняння r(х) = 0 називають раціональним рівнянням.

Втім, на практиці зручніше користуватися дещо більше широким тлумаченнямтерміна «раціональне рівняння»: це рівняння виду h(x) = q(x), де h(x) та q(x) - раціональні вирази.

Досі ми могли вирішити не будь-яке раціональне рівняння, а тільки таке, яке в результаті різних перетворень та міркувань зводилося до лінійному рівнянню. Тепер наші можливості значно більші: ми зуміємо вирішити раціональне рівняння, яке зводиться не тільки до лінійного рівняння.
му, але й до квадратного рівняння.

Нагадаємо, як ми вирішували раціональні рівняння раніше, і спробуємо сформулювати алгоритм розв'язання.

приклад 1.Розв'язати рівняння

Рішення. Перепишемо рівняння у вигляді

При цьому, як завжди, ми користуємося тим, що рівності А = В і А - В = 0 виражають ту саму залежність між А і В. Це і дозволило нам перенести член у ліву частину рівняння з протилежним знаком.

Виконаємо перетворення лівої частини рівняння. Маємо

Згадаймо умови рівності дробинулю: тоді, і тільки тоді, коли одночасно виконуються два співвідношення:

1) чисельник дробу дорівнює нулю (а = 0); 2) знаменник дробу відмінний від нуля).
Прирівнявши нулю чисельник дробу в лівій частині рівняння (1), отримаємо

Залишилося перевірити виконання другого зазначеного вище умови. Співвідношення означає рівняння (1), що . Значення х 1 = 2 і х 2 = 0,6 зазначеним співвідношенням задовольняють і тому є корінням рівняння (1), а разом з тим і корінням заданого рівняння.

1) Перетворимо рівняння до виду

2) Виконаємо перетворення лівої частини цього рівняння:

(одночасно змінили знаки в чисельнику та
дроби).
Таким чином, задане рівняннянабуває вигляду

3) Розв'яжемо рівняння х 2 - 6x + 8 = 0. Знаходимо

4) Для знайдених значень перевіримо виконання умови . Число 4 цій умові задовольняє, а число 2 - ні. Значить, 4 – корінь заданого рівняння, а 2 – сторонній корінь.
Відповідь: 4.

2. Вирішення раціональних рівнянь методом запровадження нової змінної

Метод введення нової змінної вам знайомий, ми не раз ним користувалися. Покажемо з прикладів, як і застосовується під час вирішення раціональних рівнянь.

Приклад 3.Розв'язати рівняння х 4 + х 2 – 20 = 0.

Рішення. Введемо нову змінну у = х2. Оскільки х 4 = (х 2) 2 = у 2 то задане рівняння можна переписати у вигляді

у 2 + у – 20 = 0.

Це – квадратне рівняння, коріння якого знайдемо, використовуючи відомі формули; отримаємо у 1 = 4, у 2 = – 5.
Але у = х 2, отже, завдання звелося до розв'язання двох рівнянь:
x 2 = 4; х 2 =-5.

З першого рівняння знаходимо друге рівняння не має коріння.
Відповідь: .
Рівняння виду ах 4 + bx 2 +c = 0 називають біквадратним рівнянням («бі» - два, тобто як би «двічі квадратне» рівняння). Щойно вирішене рівняння було саме біквадратним. Будь-яке біквадратне рівняння вирішується так само, як рівняння з прикладу 3: вводять нову змінну у = х 2 вирішують отримане квадратне рівняння щодо змінної у, а потім повертаються до змінної х.

Приклад 4.Розв'язати рівняння

Рішення. Зауважимо, що тут двічі зустрічається те саме вираз х 2 + Зх. Отже, має сенс запровадити нову змінну у = х 2 + Зх. Це дозволить переписати рівняння у більш простому та приємному вигляді (що, власне кажучи, і становить мету введення нової змінної- і запис спрощення
ється, і структура рівняння стає більш ясною):

А тепер скористаємося алгоритмом розв'язання раціонального рівняння.

1) Перенесемо всі члени рівняння в одну частину:

= 0
2) Перетворимо ліву частину рівняння

Отже, ми перетворили задане рівняння до виду

3) З рівняння - 7у 2 + 29у -4 = 0 знаходимо (ми з вами вже вирішили досить багато квадратних рівнянь, так що завжди наводити в підручнику докладні викладки, напевно, не варто).

4) Виконаємо перевірку знайденого коріння за допомогою умови 5 (у - 3) (у + 1). Обидва корені цієї умови задовольняють.
Отже, квадратне рівняння щодо нової змінної вирішено:
Оскільки у = х 2 + Зх, а у, як ми встановили, набуває двох значень: 4 і , - нам ще належить вирішити два рівняння: х 2 + Зх = 4; х 2 + Зх =. Корінням першого рівняння є числа 1 і - 4, корінням другого рівняння - числа

У розглянутих прикладах метод запровадження нової змінної був, як люблять висловлюватися математики, адекватний ситуації, т. е. добре їй відповідав. Чому? Та тому, що один і той же вираз явно зустрічався в записі рівняння кілька разів і був сенс позначити цей вираз новою літерою. Але так не завжди, іноді нова змінна «виявляється» лише у процесі перетворень. Саме так буде справа в наступному прикладі.

Приклад 5.Розв'язати рівняння
х(х-1)(x-2)(x-3) = 24.
Рішення. Маємо
х(х – 3) = х 2 – 3х;
(х - 1) (x - 2) = x2-Зx +2.

Отже, задане рівняння можна переписати як

(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24

Ось тепер нова змінна «проявилася»: у = х 2 – Зх.

З її допомогою рівняння можна переписати як у (у + 2) = 24 і далі у 2 + 2у - 24 = 0. Корінням цього рівняння служать числа 4 і -6.

Повертаючись до вихідної змінної х, отримуємо два рівняння х 2 – Зх = 4 та х 2 – Зх = – 6. З першого рівняння знаходимо х 1 = 4, х 2 = – 1; друге рівняння не має коріння.

Відповідь: 4, - 1.

Зміст уроку конспект урокуопорний каркас презентація уроку акселеративні методи інтерактивні технології Практика завдання та вправи самоперевірка практикуми, тренінги, кейси, квести домашні завдання дискусійні питання риторичні питання від учнів Ілюстрації аудіо-, відеокліпи та мультимедіафотографії, картинки графіки, таблиці, схеми гумор, анекдоти, приколи, комікси притчі, приказки, кросворди, цитати Доповнення рефератистатті фішки для допитливих шпаргалки підручники основні та додаткові словник термінів інші Вдосконалення підручників та уроківвиправлення помилок у підручникуоновлення фрагмента у підручнику елементи новаторства на уроці заміна застарілих знань новими Тільки для вчителів ідеальні уроки календарний планна рік методичні рекомендаціїпрограми обговорення Інтегровані уроки

Давайте познайомимося з раціональними та дробовими раціональними рівняннями, дамо їх визначення, наведемо приклади, а також розберемо найпоширеніші типи завдань.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Раціональне рівняння: визначення та приклади

Знайомство з раціональними висловлюваннями починається у 8 класі школи. У цей час під час уроків алгебри учні дедалі частіше починають зустрічати завдання з рівняннями, які містять раціональні висловлювання у записах. Давайте освіжимо у пам'яті, що це таке.

Визначення 1

Раціональне рівняння- Це таке рівняння, в обох частинах якого містяться раціональні вирази.

У різних посібниках можна зустріти ще одне формулювання.

Визначення 2

Раціональне рівняння- Це таке рівняння, запис лівої частини якого містить раціональний вираз, а права - нуль.

Визначення, які ми привели для раціональних рівнянь, є рівнозначними, тому що говорять про те саме. Підтверджує правильність наших слів той факт, що для будь-яких раціональних виразів Pі Qрівняння P = Qі P − Q = 0будуть рівносильними виразами.

А тепер звернемося до прикладів.

Приклад 1

Раціональні рівняння:

x = 1 , 2 · x − 12 · x 2 · y · z 3 = 0 , xx 2 + 3 · x - 1 = 2 + 2 7 · x - a · (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x-1 = 3 .

Раціональні рівняння так само, як і рівняння інших видів, можуть містити будь-яку кількість змінних від 1 до декількох. Для початку ми розглянемо прості приклади, У яких рівняння будуть містити тільки одну змінну. А потім почнемо поступово ускладнювати завдання.

Раціональні рівняння поділяються на дві великі групи: цілі та дробові. Подивимося, які рівняння ставитимуться до кожної групи.

Визначення 3

Раціональне рівняння буде цілим у тому випадку, якщо в записі лівої та правої його частин містяться цілі раціональні вирази.

Визначення 4

Раціональне рівняння буде дробовим у тому випадку, якщо одна або обидві його частини містять дріб.

Дробно раціональні рівняння обов'язково містять розподіл на змінну або змінна є в знаменнику. У запису цілих рівнянь такого поділу немає.

Приклад 2

3 · x + 2 = 0і (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5- Цілі раціональні рівняння. Тут обидві частини рівняння представлені цілими виразами.

1 x - 1 = x 3 та x: (5 · x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5- Це дрібно раціональні рівняння.

До цілих раціональних рівнянь можна віднести лінійні та квадратні рівняння.

Вирішення цілих рівнянь

Розв'язання таких рівнянь зазвичай зводиться до перетворення їх на рівносильні рівняння алгебри. Досягти цього можна шляхом проведення рівносильних перетворень рівнянь відповідно до наступного алгоритму:

• спочатку отримаємо нуль у правій частині рівняння, для цього на необхідно перенести вираз, який знаходиться в правій частині рівняння, у його ліву частину та поміняти знак;
• потім перетворимо вираз у лівій частині рівняння на многочлен стандартного виду.

Ми маємо отримати алгебраїчне рівняння. Це рівняння буде рівносильним по відношенню до вихідного рівняння. Легкі випадки дозволяють нам вирішити завдання звести ціле рівняння з лінійному чи квадратному. У випадку ми вирішуємо алгебраїчне рівняння ступеня n.

Приклад 3

Необхідно знайти коріння цілого рівняння 3 · (x + 1) · (x - 3) = x · (2 ​​· x - 1) - 3.

Рішення

Проведемо перетворення вихідного висловлювання з метою отримати рівносильне йому рівняння алгебри. Для цього зробимо перенесення виразу, що міститься у правій частині рівняння, у ліву частину та замінимо знак на протилежний. У результаті отримаємо: 3 · (x + 1) · (x - 3) - x · (2 ​​· x - 1) + 3 = 0.

Тепер проведемо перетворення виразу, яке знаходиться в лівій частині в багаточлен стандартного виду і зробимо необхідні діїіз цим багаточленом:

3 · (x + 1) · (x − 3) − x · (2 ​​· x − 1) + 3 = (3 · x + 3) · (x − 3) − 2 · x 2 + x + 3 = = 3 · x 2 − 9 · x + 3 · x − 9 − 2 · x 2 + x + 3 = x 2 − 5 · x − 6

У нас вдалося звести рішення вихідного рівняння до рішення квадратного рівняннявиду x 2 − 5 · x − 6 = 0. Дискримінант цього рівняння позитивний: D = (−5) 2−4 · 1 · (−6) = 25 + 24 = 49 .Це означає, дійсних коренів буде два. Знайдемо їх, скориставшись формулою коренів квадратного рівняння:

x = - - 5 ± 49 2 · 1

x 1 = 5 + 7 2 або x 2 = 5 - 7 2

x 1 = 6 або x 2 = - 1

Перевіримо вірність коріння рівняння, яке ми знайшли в ході рішення. Для цього числа, які ми отримали, підставимо у вихідне рівняння: 3 · (6 + 1) · (6 − 3) = 6 · (2 ​​· 6 − 1) − 3і 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 ​​· (− 1) − 1) − 3. У першому випадку 63 = 63 , у другому 0 = 0 . Коріння x = 6і x = − 1справді є корінням рівняння, даного за умови прикладу.

Відповідь: 6 , − 1 .

Давайте розберемо, що означає "ступінь цілого рівняння". З цим терміном ми часто зустрічатимемося у тих випадках, коли нам треба буде уявити ціле рівняння у вигляді алгебраїчного. Дамо визначення поняття.

Визначення 5

Ступінь цілого рівняння- це ступінь алгебраїчного рівняння, рівносильного вихідного цілого рівняння

Якщо подивитися на рівняння прикладу, наведеного вище, можна встановити: ступінь даного цілого рівняння другий.

Якби наш курс обмежувався вирішенням рівнянь другого ступеня, то розгляд теми на цьому можна було б закінчити. Але все не так просто. Вирішення рівнянь третього ступеня пов'язане з труднощами. А для рівнянь вище четвертого ступеня взагалі не існує загальних формулкоріння. У зв'язку з цим розв'язання цілих рівнянь третього, четвертого та інших ступенів вимагає від нас застосування цілого ряду інших прийомів та методів.

Найчастіше використовується підхід до вирішення цілих раціональних рівнянь, який ґрунтується на методі розкладання на множники. Алгоритм дій у разі наступний:

• переносимо вираз із правої частини в ліву для того, щоб у правій частині запису залишився нуль;
• представляємо вираз у лівій частині як добуток множників, а потім переходимо до сукупності кількох простіших рівнянь.

Приклад 4

Знайдіть рішення рівняння (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) .

Рішення

Переносимо вираз із правої частини запису до лівої з протилежним знаком: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0. Перетворення лівої частини на багаточлен стандартного виду недоцільно у зв'язку з тим, що це дасть нам рівняння алгебри четвертого ступеня: x 4 − 12 · x 3 + 32 · x 2 − 16 · x − 13 = 0. Легкість перетворення не виправдовує всіх труднощів із рішенням такого рівняння.

Набагато простіше піти іншим шляхом: винесемо за дужки спільний множник x 2 − 10 · x + 13 .Так ми прийдемо до рівняння виду (x 2 − 10 · x + 13) · (x 2 − 2 · x − 1) = 0. Тепер замінимо отримане рівняння сукупністю двох квадратних рівнянь x 2 − 10 · x + 13 = 0і x 2 − 2 · x − 1 = 0і знайдемо їх коріння через дискримінант: 5 + 2 · 3, 5 - 2 · 3, 1 + 2, 1 - 2.

Відповідь: 5 + 2 · 3, 5-2 · 3, 1 + 2, 1-2.

Так само ми можемо використовувати метод запровадження нової змінної. Цей метод дозволяє нам переходити до рівносильних рівнянь зі ступенями нижчими, ніж були ступеня у вихідному цілому рівнянні.

Приклад 5

Чи є коріння у рівняння (x 2 + 3 · x + 1) 2 + 10 = − 2 · (x 2 + 3 · x − 4)?

Рішення

Якщо ми зараз спробуємо звести ціле раціональне рівняння до алгебраїчного, то отримаємо рівняння 4 ступеня, яке не має раціонального коріння. Тому нам буде простіше піти іншим шляхом: ввести нову змінну у, яка замінить у рівнянні вираз x 2 + 3 · x.

Тепер ми працюватимемо з цілим рівнянням (y + 1) 2 + 10 = − 2 · (y − 4). Перенесемо праву частину рівняння на ліву з протилежним знаком і проведемо необхідні перетворення. Отримаємо: y 2 + 4 · y + 3 = 0. Знайдемо коріння квадратного рівняння: y = − 1і y = − 3.

Тепер проведемо зворотну заміну. Отримаємо два рівняння x 2 + 3 · x = − 1і x 2 + 3 · x = −3.Перепишемо їх як x 2 + 3 · x + 1 = 0 x 2 + 3 · x + 3 = 0. Використовуємо формулу коренів квадратного рівняння для того, щоб знайти коріння першого рівняння з отриманих: - 3 ± 5 2 . Дискримінант другого рівняння негативний. Це означає, що справжнього коріння другого рівняння немає.

Відповідь:- 3 ± 5 2

Цілі рівняння високих ступенів трапляються у завданнях досить часто. Лякатися їх не треба. Потрібно бути готовим застосувати нестандартний спосіб їх вирішення, зокрема і ряд штучних перетворень.

Розв'язання дробово раціональних рівнянь

Почнемо розгляд цієї підтеми з алгоритму розв'язання дробово раціональних рівнянь виду p (x) q (x) = 0 , де p(x)і q (x)- Цілі раціональні висловлювання. Вирішення інших дробово раціональних рівнянь завжди можна звести до розв'язання рівнянь зазначеного виду.

В основу найбільш уживаного методу розв'язання рівнянь p(x) q(x) = 0 покладено таке твердження: числовий дріб u v, де v- Це число, яке відмінно від нуля, дорівнює нулю тільки в тих випадках, коли чисельник дробу дорівнює нулю. Наслідуючи логіку наведеного твердження, ми можемо стверджувати, що рішення рівняння p(x) q(x) = 0 може бути зведене у виконанні двох умов: p(x) = 0і q (x) ≠ 0. На цьому побудований алгоритм розв'язання дробових раціональних рівнянь виду p(x) q(x) = 0:

• знаходимо рішення цілого раціонального рівняння p(x) = 0;
• перевіряємо, чи виконується для коренів, знайдених у ході рішення, умова q (x) ≠ 0.

Якщо ця умова виконується, то знайдений корінь. Якщо ні, то корінь не є вирішенням задачі.

Приклад 6

Знайдемо коріння рівняння 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0.

Рішення

Ми маємо справу з дробовим раціональним рівнянням виду p (x) q (x) = 0, в якому p (x) = 3 · x − 2, q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Приступимо до вирішення лінійного рівняння 3 · x − 2 = 0. Коренем цього рівняння буде x = 2 3.

Проведемо перевірку знайденого кореня, чи він задовольняє умові 5 · x 2 − 2 ≠ 0. Для цього підставимо числове значення у вираз. Отримаємо: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0 .

Умови виконуються. Це означає що x = 2 3є коренем вихідного рівняння.

Відповідь: 2 3 .

Є ще один варіант розв'язання дробових раціональних рівнянь p(x)q(x)=0. Згадаймо, що це рівняння рівносильне цілому рівнянню p(x) = 0області допустимих значень змінної x вихідного рівняння. Це дозволяє нам використовувати наступний алгоритм у розв'язанні рівнянь p(x) q(x) = 0:

• вирішуємо рівняння p(x) = 0;
• знаходимо область допустимих значень змінної x;
• беремо коріння, яке лежить в області допустимих значень змінної x , як шукане коріння вихідного дробового раціонального рівняння.

Приклад 7

Розв'яжіть рівняння x 2 - 2 · x - 11 x 2 + 3 · x = 0 .

Рішення

Для початку вирішимо квадратне рівняння x 2 − 2 · x − 11 = 0. Для обчислення його коріння ми використовуємо формулу коренів для парного другого коефіцієнта. Отримуємо D 1 = (−1) 2−1 · (−11) = 12і x = 1 ± 2 3 .

Тепер ми можемо знайти ОДЗ змінної x для вихідного рівняння. Це все числа, для яких x 2 + 3 · x ≠ 0. Це те саме, що x · (x + 3) ≠ 0, звідки x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Тепер перевіримо, чи входять отримані першому етапі рішення коріння x = 1 ± 2 3 у область допустимих значень змінної x . Ми бачимо, що вони входять. Це означає, що вихідне дробове раціональне рівняння має два корені x = 1 ± 2 3 .

Відповідь: x = 1 ± 2 3

Другий описаний метод вирішення простіше першогоу випадках, коли легко знаходиться область допустимих значень змінної x , а корені рівняння p(x) = 0ірраціональні. Наприклад, 7 ± 4 · 26 9 . Коріння може бути і раціональним, але з великим чисельником або знаменником. Наприклад, 127 1101 і − 31 59 . Це дозволяє заощадити час на проведенні перевірки умови q (x) ≠ 0: набагато простіше виключити коріння, яке не підходить, по ОДЗ

У тих випадках, коли коріння рівняння p(x) = 0цілі, доцільніше використовувати перший із описаних алгоритмів розв'язання рівнянь виду p(x) q(x) = 0 . Швидше одразу знаходити коріння цілого рівняння p(x) = 0, після чого перевіряти, чи виконується для них умова q (x) ≠ 0, а не знаходити ОДЗ, після чого вирішувати рівняння p(x) = 0на цій ОДЗ. Це з тим, що у разі зробити перевірку зазвичай простіше, ніж знайти ОДЗ.

Приклад 8

Знайдіть корені рівняння (2 · x - 1) · (x - 6) · (x 2 - 5 · x + 14) · (x + 1) x 5 - 15 · x 4 + 57 · x 3 - 13 · x 2 + 26 · x + 112 = 0.

Рішення

Почнемо з розгляду цілого рівняння (2 · x − 1) · (x − 6) · (x 2 − 5 · x + 14) · (x + 1) = 0та знаходження його коріння. Для цього застосуємо метод розв'язання рівнянь через розкладання на множники. Виходить, що вихідне рівняння рівносильне сукупності чотирьох рівнянь 2 · x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 · x + 14 = 0, x + 1 = 0, з яких три лінійні і одне квадратне. Знаходимо коріння: з першого рівняння x = 1 2, з другого – x = 6з третього – x = 7 , x = − 2 , з четвертого – x = − 1.

Проведемо перевірку отриманого коріння. Визначити ОДЗ в даному випадку нам складно, тому що для цього доведеться провести рішення рівняння алгебри п'ятого ступеня. Найпростіше буде перевірити умову, за якою знаменник дробу, який знаходиться в лівій частині рівняння, не повинен звертатися в нуль.

По черзі підставимо коріння на місце змінної х у вираз x 5 − 15 · x 4 + 57 · x 3 − 13 · x 2 + 26 · x + 112і обчислимо його значення:

1 2 5 − 15 · 1 2 4 + 57 · 1 2 3 − 13 · 1 2 2 + 26 · 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 12 + ≠ 0;

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0;

7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0;

(−2) 5 − 15 · (−2) 4 + 57 · (−2) 3 − 13 · (−2) 2 + 26 · (−2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(−1) 5−15 · (−1) 4 + 57 · (−1) 3−13 · (−1) 2 + 26 · (−1) + 112 = 0 .

Проведена перевірка дозволяє нам встановити, що корінням вихідного дробового рацинального рівняння є 1 2 , 6 − 2 .

Відповідь: 1 2 , 6 , - 2

Приклад 9

Знайдіть корені дробового раціонального рівняння 5 · x 2 - 7 · x - 1 · x - 2 x 2 + 5 · x - 14 = 0.

Рішення

Почнемо роботу з рівнянням (5 · x 2 − 7 · x − 1) · (x − 2) = 0. Знайдемо його коріння. Нам простіше уявити це рівняння як сукупність квадратного та лінійного рівнянь 5 · x 2 − 7 · x − 1 = 0і x − 2 = 0.

Використовуємо формулу коренів квадратного рівняння для пошуку коренів. Отримуємо з першого рівняння два корені x = 7 ± 69 10 , а з другого x = 2.

Підставляти значення коренів у вихідне рівняння для перевірки умов буде досить складно. Найпростіше буде визначити ОДЗ змінною x. В даному випадку ОДЗ змінної x – це всі числа, крім тих, для яких виконується умова x 2 + 5 · x − 14 = 0. Отримуємо: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Тепер перевіримо, чи належить коріння до області допустимих значень змінної x .

Коріння x = 7 ± 69 10 - належать, тому вони є корінням вихідного рівняння, а x = 2– не належить, тому це сторонній корінь.

Відповідь: x = 7±69 10 .

Розберемо окремо випадки, як у чисельнику дробового раціонального рівняння виду p (x) q (x) = 0 перебуває число. У разі, якщо у чисельнику перебуває число, відмінне від нуля, то рівняння нічого очікувати мати коріння. Якщо це число дорівнює нулю, то коренем рівняння буде будь-яке число з ОДЗ.

Приклад 10

Розв'яжіть дробове раціональне рівняння - 3, 2 x 3 + 27 = 0.

Рішення

Дане рівняння не матиме коріння, тому що в чисельнику дробу з лівої частини рівняння знаходиться відмінне від нуля число. Це означає, що при жодних значеннях x значення наведеного в умові завдання дробу не дорівнюватиме нулю.

Відповідь:немає коріння.

Приклад 11

Розв'яжіть рівняння 0 x 4 + 5 · x 3 = 0 .

Рішення

Оскільки в чисельнику дробу знаходиться нуль, розв'язком рівняння буде будь-яке значення x з ОДЗ змінної x .

Тепер визначимо ОДЗ. Воно буде включати всі значення x, при яких x 4 + 5 · x 3 ≠ 0. Рішеннями рівняння x 4 + 5 · x 3 = 0є 0 і − 5 , так як, це рівняння рівносильне рівнянню x 3 · (x + 5) = 0, а воно у свою чергу рівносильне сукупності двох рівнянь x 3 = 0 x + 5 = 0, звідки і видно це коріння. Ми приходимо до того, що шуканою областю допустимих значень є будь-які x, крім x = 0і x = − 5.

Виходить, що дробове раціональне рівняння 0 x 4 + 5 · x 3 = 0 має безліч рішень, якими є будь-які числа крім нуля і - 5 .

Відповідь: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Тепер поговоримо про дробові раціональні рівняння довільного виду та методи їх вирішення. Їх можна записати як r(x) = s(x), де r(x)і s(x)– раціональні висловлювання, причому хоча б одне їх дробове. Розв'язання таких рівнянь зводиться до розв'язання рівнянь виду p(x) q(x) = 0 .

Ми вже знаємо, що ми можемо отримати рівносильне рівняння при перенесенні виразу з правої частини рівняння до лівого з протилежним знаком. Це означає, що рівняння r(x) = s(x)рівносильне рівняння r(x) − s(x) = 0. Також ми вже розібрали способи перетворення раціонального вираження на раціональний дріб. Завдяки цьому ми легко можемо перетворити рівняння r(x) − s(x) = 0в тотожний йому раціональний дріб виду p (x) q (x) .

Так ми переходимо від вихідного дробового раціонального рівняння r(x) = s(x)до рівняння виду p (x) q (x) = 0, вирішувати які ми вже навчилися.

Слід враховувати, що під час проведення переходів від r(x) − s(x) = 0 p (x) q (x) = 0 , а потім до p(x) = 0ми можемо не враховувати розширення області допустимих значень змінної x.

Цілком реальна ситуація, коли вихідне рівняння r(x) = s(x)та рівняння p(x) = 0внаслідок перетворень перестануть бути рівносильними. Тоді рішення рівняння p(x) = 0може дати нам коріння, яке буде стороннім для r(x) = s(x). У зв'язку з цим у кожному випадку необхідно проводити перевірку будь-яким із описаних вище способів.

Щоб полегшити вам роботу з вивчення теми, ми узагальнили всю інформацію в алгрітмі рішення дробового раціонального рівняння виду r(x) = s(x):

• переносимо вираз із правої частини з протилежним знаком та отримуємо праворуч нуль;
• перетворимо вихідний вираз у раціональний дріб p (x) q (x) , послідовно виконуючи дії з дробами та багаточленами;
• вирішуємо рівняння p(x) = 0;
• виявляємо стороннє коріння шляхом перевірки їх належності ОДЗ або методом підстановки у вихідне рівняння.

Візуально ланцюжок дій виглядатиме так:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → відс і в а н і е п о с т о р о н н і х к о р н й

Приклад 12

Розв'яжіть дробове раціональне рівняння x x + 1 = 1 x + 1 .

Рішення

Перейдемо до рівняння x x + 1 – 1 x + 1 = 0 . Перетворимо дробовий раціональний вираз у лівій частині рівняння до виду p(x)q(x).

Для цього нам доведеться привести раціональні дроби до спільного знаменника та спростити вираз:

xx + 1 - 1 x - 1 = x · x - 1 · (x + 1) - 1 · x · (x + 1) x · (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - xx · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

Для того, щоб знайти коріння рівняння - 2 · x - 1 x · (x + 1) = 0, нам необхідно вирішити рівняння − 2 · x − 1 = 0. Отримуємо один корінь x = - 1 2.

Нам залишилося виконати перевірку будь-яким із методів. Розглянемо їх обоє.

Підставимо отримане значення у вихідне рівняння. Отримаємо - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Ми прийшли до вірної числової рівності − 1 = − 1 . Це означає що x = − 1 2є коренем вихідного рівняння.

Тепер проведемо перевірку через ОДЗ. Визначимо область допустимих значень змінної x. Це буде все безліч чисел, за винятком − 1 та 0 (при x = − 1 та x = 0 перетворюються на нуль знаменники дробів). Отриманий нами корінь x = − 1 2належить ОДЗ. Це означає, що він є коренем вихідного рівняння.

Відповідь: − 1 2 .

Приклад 13

Знайдіть корені рівняння x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x.

Рішення

Ми маємо справу з дрібним раціональним рівнянням. Отже, діятимемо за алгоритмом.

Перенесемо вираз із правої частини до лівої з протилежним знаком: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = 0

Проведемо необхідні перетворення: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.

Приходимо до рівняння x = 0. Корінь цього рівняння – нуль.

Перевіримо, чи це корінь стороннім для вихідного рівняння. Підставимо значення вихідне рівняння: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0 . Як бачите, отримане рівняння не має сенсу. Це означає, що 0 – це сторонній корінь, а вихідне дробове раціональне рівняння коріння немає.

Відповідь:немає коріння.

Якщо ми не включили в алгоритм інші рівносильні перетворення, це зовсім не означає, що ними не можна користуватися. Алгоритм є універсальним, але він створений для того, щоб допомагати, а не обмежувати.

Приклад 14

Розв'яжіть рівняння 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Рішення

Найпростіше буде вирішити наведене дробове раціональне рівняння згідно з алгоритмом. Але є й інший шлях. Розглянемо його.

Віднімемо від правої та лівої частин 7, отримуємо: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24 .

Звідси можна зробити висновок, що вираз у знаменнику лівої частини має дорівнювати числу, зворотному числу з правої частини, тобто, 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Віднімемо з обох частин 3: 1 2 + 1 5 – x 2 = 3 7 . За аналогією 2 + 1 5 - x 2 = 7 3 , звідки 1 5 - x 2 = 1 3 і далі 5 - x 2 = 3 , x 2 = 2 , x = ± 2

Проведемо перевірку для того, щоб встановити, чи є знайдені коріння корінням вихідного рівняння.

Відповідь: x = ±2

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

У цій статті я покажу вам алгоритми розв'язання семи типів раціональних рівнянь, які за допомогою заміни змінних зводяться до квадратних. Найчастіше перетворення, які призводять до заміни, дуже нетривіальні, і самостійно здогадатися досить важко.

Для кожного типу рівнянь я поясню, як у ньому робити заміну змінною, а потім у відповідному відеоуроці покажу детальне рішення.

У вас є можливість продовжити розв'язання рівнянь самостійно, а потім звірити своє рішення із відеоуроком.

Тож почнемо.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Зауважимо, що у лівій частині рівняння стоїть твір чотирьох дужок, а правій - число.

1. Згрупуємо дужки по дві так, щоб сума вільних членів була однаковою.

2. Перемножити їх.

3. Введемо заміну змінної.

У нашому рівнянні згрупуємо першу дужку з третьою, а другу з четвертою, оскільки (-1)+(-4)=(-7)+2:

У цьому місці заміна змінної стає очевидною:

Отримуємо рівняння

Відповідь:

2 .

Рівняння цього типу схоже попереднє з однією відмінністю: у правій частині рівняння стоїть твір числа на . І вирішується воно зовсім інакше:

1. Групуємо дужки по дві так, щоби твір вільних членів був однаковим.

2. Перемножуємо кожну пару дужок.

3. З кожного множника виносимо за дужку х.

4. Ділимо обидві частини рівняння на .

5. Вводимо заміну змінної.

У цьому рівнянні згрупуємо першу дужку з четвертою, а другу з третьою, тому що :

Зауважимо, що у кожній дужці коефіцієнт при і вільний член однакові. Винесемо з кожної дужки множник:

Оскільки х=0 перестав бути коренем вихідного рівняння, розділимо обидві частини рівняння на . Отримаємо:

Отримаємо рівняння:

Відповідь:

3 .

Зауважимо, що у знаменниках обох дробів стоять квадратні тричлени, у яких старший коефіцієнт та вільний член однакові. Винесемо, як і рівнянні другого типу х за дужку. Отримаємо:

Розділимо чисельник та знаменник кожного дробу на х:

Тепер можемо ввести заміну змінної:

Отримаємо рівняння щодо змінної t:

4 .

Зауважимо, що коефіцієнти рівняння симетричні щодо центрального. Таке рівняння називається зворотним .

Щоб його вирішити,

1. Розділимо обидві частини рівняння на (Ми можемо це зробити, тому що х = 0 не є коренем рівняння.) Отримаємо:

2. Згрупуємо доданки таким чином:

3. У кожній групі винесемо за дужку загальний множник:

4. Введемо заміну:

5. Виразимо через t вираз:

Звідси

Отримаємо рівняння щодо t:

Відповідь:

5. Однорідні рівняння.

Рівняння, що мають структуру однорідного, можуть зустрітися при вирішенні показових, логарифмічних та тригонометричних рівняньтому її потрібно вміти розпізнавати.

Однорідні рівняння мають таку структуру:

У цьому рівні А, У і З - числа, а квадратиком і кружечком позначені однакові висловлювання. Тобто в лівій частині однорідного рівняння стоїть сума одночленів, що мають однаковий ступінь (у даному випадку ступінь одночленів дорівнює 2), і вільний член відсутній.

Щоб вирішити однорідне рівняння, розділимо обидві частини на

Увага! При розподілі правої та лівої частини рівняння на вираз, що містить невідоме, можна втратити коріння. Тому необхідно перевірити, чи не є коріння того виразу, на яке ми ділимо обидві частини рівняння, корінням вихідного рівняння.

Ходімо першим шляхом. Отримаємо рівняння:

Тепер ми вводимо заміну змінної:

Спростимо вираз і отримаємо біквадратичне рівняння щодо t:

Відповідь:або

7 .

Це рівняння має таку структуру:

Щоб його вирішити, потрібно у лівій частині рівняння виділити повний квадрат.

Щоб виділити повний квдарат, потрібно додати або відняти удовоєний твір. Тоді ми отримаємо квадрат суми різниці. Для успішної заміни змінної це має значення.

Почнемо зі знаходження подвоєного твору. Саме воно буде ключиком для заміни змінної. У нашому рівнянні подвоєний твір дорівнює

Тепер прикинемо, що нам зручніше мати – квадрат суми чи різниці. Розглянемо, для початку суму виразів:

Чудово! це висловлювання точно точно подвоєному твору. Тоді, щоб у дужках отримати квадрат суми, потрібно додати та відняти подвоєний твір: