Числові послідовності та способи їх завдання. Завдання для практичної роботи "Завдання числових послідовностей різними способами, обчислення членів послідовності

На цьому уроці ми розпочнемо вивчення прогресій. Тут ми познайомимося з числовою послідовністю та способами її завдання.

Спочатку нагадаємо визначення та властивості функцій числових аргументів і розглянемо окремий випадок функції, коли х належить безлічі натуральних чисел. Дамо визначення числової послідовності та наведемо кілька прикладів. Покажемо аналітичний спосіб завдання послідовності через формулу її n-го члена та розглянемо кілька прикладів на завдання та визначення послідовності. Далі розглянемо словесне та рекурентне завдання послідовності.

Тема: Прогресії

Урок: Числова послідовністьта способи її завдання

1. Повторення

Числова послідовністьЯк ми побачимо, це окремий випадок функції, тому згадаємо визначення функції.

Функцією називається закон, яким кожному припустимому значенню аргументу ставиться у відповідність єдине значення функції.

Ось приклади відомих функцій.

Рис. 1. Графік функції

Допустимі всі значення, крім 0. Графіком цієї функції є гіпербола (див. рис.1).

2.. Допустимі всі значення, .

Рис. 2. Графік функції

Графік квадратичної функції- парабола, характерні точки теж відзначені (див. мал.2).

3..

Рис. 3. Графік функції

Допустимі всі значення х. Графік лінійної функції – пряма (див. рис.3).

2. Визначення числової послідовності

Якщо х набуває лише натуральних значень (), то маємо окремий випадок, а саме числову послідовність.

Нагадаємо, що натуральними є числа 1, 2, 3, …, n, …

Функцію , де називають функцією натурального аргументу, або числової послідовністю, і позначають наступним чином: або , або .

Пояснимо, що означає, наприклад, запис .

Це значення функції, коли n = 1, тобто.

Це значення функції, коли n=2, т. е. тощо.

Це значення функції, коли аргумент дорівнює n, тобто.

3. Приклади послідовностей

1. – це формула загального члена. Задаємо різні значення n, отримуємо різні значення у - членів послідовності.

Коли n = 1; , Коли n = 2 і т. д., .

Числа є членами заданої послідовності, а точки лежать на гіперболі – графіку функції (див. рис.4).

Рис. 4. Графік функції

Якщо n=1, то; якщо n=2, то; якщо n=3, то й т.д.

Числа є членами заданої послідовності, а точки лежать на параболі – графіку функції (див. рис.5).

Рис. 5. Графік функції

Рис. 6. Графік функції

Якщо n=1, то; якщо n = 2, то ; якщо n = 3, то і т.д.

Числа є членами заданої послідовності, а точки лежать на прямій – графіку функції (див. рис.6).

4. Аналітичний спосіб завдання послідовності

Існує три способи завдання послідовностей: аналітичний, словесний та рекурентний. Розглянемо кожен із них докладно.

Послідовність задана аналітично, якщо вказано формулу її n-го члена.

Розглянемо кілька прикладів.

1. Знайти кілька членів послідовності, заданої формулою n-го члена: (аналітичний спосіб завдання послідовності).

Рішення. Якщо n=1, то; якщо n=2, то; якщо n = 3, то і т.д.

Для заданої послідовності знайдемо та .

.

.

2. Розглянемо послідовність, задану формулою n-го члена: (Аналітичний спосіб завдання послідовності).

Знайдемо кілька членів цієї послідовності.

Якщо n=1, то; якщо n = 2, то ; якщо n = 3, то і т.д.

Взагалі легко зрозуміти, що членами цієї послідовності є ті числа, які при розподілі на 4 дають у залишку 1.

а. Для заданої послідовності знайти.

Рішення: . Відповідь: .

б. Дано два числа: 821, 1282. Чи є ці числа членами заданої послідовності?

Щоб число 821 було членом послідовності, необхідно, щоб виконувалася рівність: або . Остання рівність є рівнянням щодо n. Якщо рішенням даного рівнянняє натуральне число, то відповідь позитивна.

У разі це так. .

Відповідь: так, 821 - член заданої послідовності, .

Переходимо до другого числа. Аналогічні міркування призводять до вирішення рівняння: .

Відповідь: оскільки n не є натуральним числом, число 1282 не є членом заданої послідовності.

Формули, які аналітично задають послідовність, можуть бути різними: простими, складними і т. д. Вимога до них одна: кожному значенню n має відповідати однину.

3. Дано: послідовність задана такою формулою.

Знайти три перші члени послідовності.

, , .

Відповідь: , , .

4. Чи є числа членами послідовності?

а. , тобто . Вирішуючи це рівняння, отримуємо, що . Це натуральне число.

Відповідь: перше задане число є членом цієї послідовності, а саме п'ятим її членом.

б. , тобто . Вирішуючи це рівняння, отримуємо, що . Це натуральне число.

Відповідь: друге задане число також є членом даної послідовності, саме дев'яносто дев'ятим її членом.

5. Словесний спосіб завдання послідовності

Ми розглянули аналітичний метод завдання числової послідовності. Він зручний, розповсюджений, але не єдиний.

Наступний спосіб – це словесне завдання послідовності.

Послідовність, кожен її член, можливість обчислення кожного члена можна задати словами, необов'язково формулами.

приклад 1.Послідовність простих чисел.

Нагадаємо, що просте число - це таке натуральне число, яке має рівно два різні дільники: 1 і саме це число. Простими є числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 тощо.

Їх безліч. Ще Евклід довів, що послідовність цих чисел нескінченна, тобто немає найбільшого простого числа. Послідовність задана, кожен член можна обчислити, нудно, але можна обчислити. Ця послідовність задана словесно. Формули, на жаль, не вдається підібрати.

приклад 2.Розглянемо число = 1,41421 ...

Це ірраціональне число, десятковий його запис передбачає нескінченну кількість цифр. Розглянемо послідовність десяткових наближень числа за нестачею: 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; і т.д.

Членів цієї послідовності безліч, кожна з них можна обчислити. Задати цю послідовність формулою не можна, тому описуємо її словесно.

6. Рекурентний спосіб завдання послідовності

Ми розглянули два способи завдання числової послідовності:

1. Аналітичний метод, коли задається формула n-го члена.

2. Словове завдання послідовності.

І, нарешті, існує рекурентне завдання послідовності, коли задаються правила обчислення n-го члена за попередніми членами.

Розглянемо

приклад 1.Послідовність Фібоначчі (13 століття).

Історична довідка:

Леонардо Пізанський (близько 1170, Піза - близько 1250) - перший великий математик середньовічної Європи. Найбільш відомий під прізвиськом Фібоначчі (Fibonacci).

Значну частину засвоєних ним знань він виклав у своїй видатній «Книзі абака» (Liber abaci, 1202; до наших днів зберігся тільки доповнений рукопис 1228). Ця книга містить майже всі арифметичні та алгебраїчні відомості того часу, викладені з винятковою повнотою та глибиною. «Книга абака» різко височіє над європейською арифметико-алгебраїчною літературою XII—XIV ст. різноманітністю та силою методів, багатством завдань, доказовістю викладу. Наступні математики широко черпали з неї як завдання, і прийоми їх вирішення. За першою книгою багато поколінь європейських математиків вивчали індійську позиційну систему числення.

Задаються перші два члени і кожен наступний член – це сума двох попередніх

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; … – перші кілька членів послідовності Фібоначчі.

Це послідовність задана рекурентно, n-й члензалежить від двох попередніх.

приклад 2.

У цій послідовності кожен наступний член більший за попередній на 2. Така послідовність називається арифметичною прогресією.

Числа 1, 3, 5, 7 ... - перші кілька членів цієї послідовності.

Наведемо ще один приклад рекурентного завдання послідовності.

Приклад 3.

Послідовність визначається наступним чином:

Кожен наступний член цієї послідовності виходить множенням попереднього члена одне й те число q. Така послідовність має спеціальну назву – геометрична прогресія. Арифметична та геометрична прогресії будуть об'єктами нашого вивчення на наступних уроках.

Знайдемо кілька членів зазначеної послідовності за b=2 і q=3.

Числа 2; 6; 18; 54; 162 … – перші кілька членів цієї послідовності.

Цікаво, що цю послідовність можна поставити і аналітичним способом, тобто можна підібрати формулу. В даному випадку формула буде такою.

Дійсно: якщо n=1, то; якщо n=2, то; якщо n = 3, то і т.д.

Таким чином, ми констатуємо: та сама послідовність може бути задана і аналітично і рекурентно.

7. Підсумок уроку

Отже, ми розглянули, що таке числова послідовність і її завдання.

На наступному уроці ми познайомимося із властивостями числових послідовностей.

1. Макарічев Ю. Н. та ін Алгебра 9 клас (підручник для середньої школи).-М: Просвітництво, 1992.

2. Макарічев Ю. Н., Міндюк Н. Г., Нешков, К. І. Алгебра для 9 класу з поглибл. вивч. математики.-М.: Мнемозіна, 2003.

3. Макарічев Ю. Н., Міндюк Н. Г. Додаткові розділи до шкільного підручника алгебри 9 класу.-М.: Просвітництво, 2002.

4. Галицький М. Л., Гольдман А. М., Звавіч Л. І. Збірник завдань з алгебри для 8-9 класів ( навчальний посібникдля учнів шкіл та класів з поглибл. вивч. математики).-М.: Просвітництво, 1996.

5. Мордкович А. Г. Алгебра 9 клас, підручник для загальноосвітніх закладів. - М: Менімозіна, 2002.

6. Мордкович А. Г., Мішутіна Т. Н., Тульчинська Є. Є. Алгебра 9 клас, задачник для загальноосвітніх установ. - М: Менімозіна, 2002.

7. Глейзер Г. І. Історія математики у школі. 7-8 класи (посібник для вчителів).-М: Просвітництво, 1983.

1. Розділ College. ru з математики.

2. Портал Природних Наук.

3. Exponenta. jw.org uk Освітній математичний сайт.

1. № 331, 335, 338 (Макарич Ю. Н. та ін Алгебра 9 клас).

2. № 12.4 (Галицький М. Л., Гольдман А. М., Звавіч Л. І. Збірник завдань з алгебри для 8-9 класів).

Алгебра. 9 клас
Урок №32
Дата:_____________
Вчитель: Горбенко Олена Сергіївна
Тема: Числова послідовність, способи її завдання та властивості
Тип уроку: комбінований
Мета уроку: дати поняття та визначення числової послідовності, розглянути способи
завдання числових послідовностей
Завдання:
Освітні: ознайомити учнів із поняттям числової послідовності та членом
числової послідовності; ознайомитися з аналітичним, словесним, рекурентним та
графічним способом завдання числової послідовності; розглянути види числової
послідовності; підготовка до ВОУД;
Розвиваючі: розвиток математичної грамотності, мислення, техніки обчислення, навички
порівняння під час виборів формули; прищеплення інтересу до математики;
Виховні: виховання навичок самостійної діяльності; чіткість та
організованість у роботі; дати кожному учню досягти успіху;
Обладнання: Шкільне приладдя, дошка, крейда, підручник, роздатковий матеріал.
Хід уроку
I. Організаційний момент
 Взаємне вітання;
 Фіксація відсутніх;
 Оголошення теми уроку;
 Постановка цілей та завдань уроку учнями.
Послідовність одне з найголовніших понять математики. Послідовність може
бути складена з чисел, точок, функцій, векторів тощо.
Сьогодні на уроці ми познайомимося з поняттям "числова послідовність", дізнаємось, які
може бути послідовності, познайомимося зі знаменитими послідовностями.

ІІ. Актуалізація опорних знань.
Вам відомі функції, визначені на всій числовій прямій або на її безперервних
ІІІ.
проміжках:
лінійна функція у = кх+в,
квадратична функція у = ах2 + вх + с,


 функція у =



 функція у = | х |.
Підготовка до сприйняття нових знань
пряма пропорційність у = кх,
зворотна пропорційність у =к/х,
кубічна функція у = х3,
,
Але бувають функції, задані інших множинах.
приклад. У багатьох сім'ях є звичай, свого роду ритуал: у день народження дитини
батьки підводять його до дверному одвіркуі урочисто відзначають на ньому зростання іменинника.
Дитина росте, і на одвірку з роками виникає ціла драбинка позначок. Три, п'ять, два: Така
послідовність приростів рік у рік. Але є й інша послідовність, і саме
її члени акуратно виписують поруч із засічками. Це послідовність значень зростання.
Дві послідовності пов'язані один з одним.
Друга виходить із першою додаванням.
Зростання це сума приростів за попередні роки.
Розглянути ще кілька завдань.
Завдання 1. На складі є 500 т вугілля, щодня підвозять по 30 т. Скільки вугілля буде
на складі 1 день? 2 день? 3 день? 4 день? 5 день?
(Відповіді учнів записуються на дошці: 500, 530, 560, 590, 620).
Задача 2. У період інтенсивного зростання людина зростає в середньому на 5 см на рік. Зараз зростання
у учня С. 180 см. Якого зростання він буде у 2026 році? (2м 30 см). Але цього не бути
може. Чому?
Завдання 3. Щодня кожна хворіє на грип людина може заразити 4 оточуючих.
Через скільки днів захворіють усі учні нашої школи (300 людей)? (Через 4 дні).
Це приклади функцій, заданих на безлічі натуральних чисел – числові
послідовність.
Ставиться мета уроку: Знайти способи знаходження будь-якого члена послідовності.
Завдання уроку: З'ясувати, що таке числова послідовність та як задаються
послідовність.
IV. Вивчення нового матеріалу
Визначення: Числова послідовність – це функція, задана на множині
натуральних чисел (послідовності складають такі елементи природи, які
можна пронумерувати).
Поняття числової послідовності виникло і розвинулося задовго до створення вчення про
функції. Ось приклади нескінченних числових послідовностей, відомих ще
старовини:
1, 2, 3, 4, 5: послідовність натуральних чисел;
2, 4, 6, 8, 10: послідовність парних чисел;
1, 3, 5, 7, 9: послідовність непарних чисел;
1, 4, 9, 16, 25: послідовність квадратів натуральних чисел;
2, 3, 5, 7, 11: послідовність простих чисел;
,
1,
Число членів кожного з цих рядів нескінченне; перші п'ять послідовностей
, : послідовність чисел, обернених натуральним.
,
монотонно зростаючі, остання монотонно спадна.

Позначення: у1, у2, у3, у4, у5
1, 2, 3, 4, 5, :п,:порядковий номер члена послідовності.
(уп) послідовність, уп пий член послідовності.
(ап) послідовність, ап пий член послідовності.
ап1 попередній член послідовності,
ап+1 наступний член послідовності.
Послідовності бувають кінцевими та нескінченними, зростаючі та спадні.
Завдання учням: Записати перші 5 членів послідовності:
З першого натурального числа збільшення на 3.
Від 10 збільшення в 2 рази та зменшення на 1.
Від числа 6 чергувати збільшення на 2 та збільшення в 2 рази.
Ці числові ряди також називаються числовими послідовностями.
Способи завдання послідовностей:
Словесний метод.
Правила завдання послідовності описуються словами, без зазначення формул або
коли закономірності між елементами послідовності немає.
Приклад 1.Послідовність простих чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .
Приклад 2. Довільний набір чисел: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .
Приклад 3. Послідовність парних чисел 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...
Аналітичний метод.
Будь-який елемент послідовності можна визначити за допомогою формули.
Приклад 1. Послідовність парних чисел: y = 2n.
Приклад 2. Послідовність квадрата натуральних чисел: y = n2;
1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, ....
Приклад 3. Стаціонарна послідовність: y = C; C, C, C, ..., C, ...
Окремий випадок: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ....
Приклад 4. Послідовність y = 2n;
2, 22, 23, 24, ..., 2n, ... .
Рекурентний метод.
Вказується правило, що дозволяє обчислити nй елемент послідовності, якщо
відомі її попередні елементи.
Приклад 1. Арифметична прогресія: a1=a, an+1=an+d де a і d – задані числа, d
різницю арифметичної прогресії. Нехай a1 = 5, d = 0,7, тоді арифметична прогресія
матиме вигляд: 5; 5,7; 6,4; 7,1; 7,8; 8,5; ....
Приклад 2. Геометрична прогресія: b1= b, bn+1= bnq, де b та q – задані числа, b
0,
0; q – знаменник геометричної прогресії. Нехай b1=23, q=½, тоді геометрична
q
прогресія матиме вигляд: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ....
4) Графічний спосіб. Числова послідовність
задається графіком, який є
ізольовані точки. Абсциси цих точок – натуральні
числа: n = 1; 2; 3; 4; .... Ординати – значення членів
послідовності: a1; a2; a3; a4;…
Приклад: Запишіть усі п'ять членів числової послідовності,
заданою графічним способом.
Рішення.
Кожна точка в цій координатній площині має
координати (n; an). Випишемо координати зазначених точок
за зростанням абсциси n.
Отримуємо: (1; 3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7).
Отже, a1 = 3; a2=1; a3 = 4; a4 = 6; a5 =7.

Відповідь: 3; 1; 4; 6; 7.
V. Первинне закріплення вивченого матеріалу
Приклад 1. Скласти можливу формулу n-го елемента послідовності (yn):
а) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;
б) 4, 8, 12, 16, 20, ...;
Рішення.
а) Це послідовність непарних чисел. Аналітично цю послідовність можна
поставити формулою y = 2n+1.
б) Це числова послідовність, у якої наступний елемент більший за попередній
4. Аналітично цю послідовність можна задати формулою y = 4n.
Приклад 2. Виписати перші десять елементів послідовності, заданої рекурентно: y1=1,
y2 = 2, yn = yn2 + yn1, якщо n = 3, 4, 5, 6, ....
Рішення.
Кожен наступний елемент цієї послідовності дорівнює сумі двох попередніх
елементів.
y1=1;
y2=2;
y3=1+2=3;
y4=2+3=5;
y5=3+5=8;
y6=5+8=13;
y7=8+13=21;
y8 = 13 +21 = 34;
y9 = 21 +34 = 55;
y10 = 34 +55 = 89.
VI. Підбиття підсумків уроку. Рефлексія
1. Що у вас вдалося під час виконання завдання?
2. Чи була злагоджена робота?
3. Що не вийшло, на вашу думку?

Числова послідовність – окремий випадок числової функції, тому ряд властивостей функцій розглядаються й у послідовностей.

1. Визначення . Послідовність ( y n} називають зростаючою, якщо кожен її член (крім першого) більший за попередній:

y 1 < y 2 < y 3 < … < y n < y n+1 < ….

2. Визначення. Послідовність ( y n} називають спадною, якщо кожен її член (крім першого) менший за попередній:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n+1 > … .

3. Зростаючі та спадні послідовності поєднують загальним терміном – монотонні послідовності.

Наприклад: y 1 = 1; y n= n 2 ... - Зростаюча послідовність. y 1 = 1; – спадна послідовність. y 1 = 1; - ця послідовність не є не зростаючою не спадною.

4. Визначення. Послідовність називається періодичною, якщо існує таке натуральне число T, що, починаючи з деякого n, виконується рівність yn = yn+T . Число T називається довжиною періоду.

5. Послідовність називається обмеженою знизу, якщо всі її члени не менші за деяке число.

6. Послідовність називається обмеженою зверху, якщо всі її члени не більші за деяке число.

7. Послідовність називається обмеженою, якщо вона обмежена і згори, і знизу, тобто. Існує таке позитивне число, що всі члени даної послідовності за модулем не перевищують це число. (Але її обмеженість із двох сторін не обов'язково означає, що вона є кінцевою).

8. Послідовність може мати лише одну межу.

9. Будь-яка неубутня і обмежена зверху послідовність має межу (lim).

10. Будь-яка зростаюча і обмежена знизу послідовність має межу.

Межа послідовності - така точка (число), на околицях якої розташована більшість членів послідовності, вони щільно підходять до цієї межі, але не досягають його.

Геометрична та арифметична прогресіяє окремими випадками послідовності.

Способи завдання послідовності:

Послідовності можна задавати у різний спосіб, Серед яких особливо важливі три: аналітичний, описовий та рекурентний.

1. Послідовність задана аналітично, якщо задана формула її n-го члена:

приклад. yn = 2n – 1 – послідовність непарних чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Описовий спосіб завдання числової послідовності у тому, що пояснюється, яких елементів будується послідовність.

Приклад 1. "Усі члени послідовності дорівнюють 1". Це означає, мова йдепро стаціонарну послідовність 1, 1, 1, …, 1, ….

Приклад 2. "Послідовність складається з усіх простих чисел у порядку зростання". Таким чином, задана послідовність 2, 3, 5, 7, 11, …. При такому способі завдання послідовності даному прикладіважко відповісти, чому дорівнює, скажімо, 1000 елемент послідовності.

3. Рекурентний спосіб завдання послідовності полягає в тому, що вказується правило, що дозволяє обчислити n член послідовності, якщо відомі її попередні члени. Назва рекурентний спосіб походить від латинського слова recurrere – повертатись. Найчастіше в таких випадках вказують формулу, що дозволяє виразити n-й член послідовності через попередні, і задають 1-2 початкові члени послідовності.

Приклад 1. y1 = 3; yn = yn-1 + 4, якщо n = 2, 3, 4, ....

Тут y1 = 3; y2 = 3 + 4 = 7; y3 = 7 + 4 = 11; ….

Можна бачити, що отриману цьому прикладі послідовність може бути задана і аналітично: yn = 4n – 1.

приклад 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n–2 + y n-1 , якщо n = 3, 4,….

Тут: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Послідовність, складену в цьому прикладі, спеціально вивчають у математиці, оскільки вона має поряд цікавих властивостейта додатків. Її називають послідовністю Фібоначчі – на ім'я італійського математика 13 в. Задати послідовність Фібоначчі дуже легко, а аналітично - дуже важко. n-е число Фібоначчі виражається через його порядковий номер наступною формулою.

На перший погляд, формула для n-го числа Фібоначчі здається неправдоподібною, так як у формулі, що задає послідовність одних лише натуральних чисел, містяться квадратне коріння, але можна перевірити «вручну» справедливість цієї формули для кількох перших n.

Історія Фібоначчі:

Fibonacci (Leonardo of Pisa), прибл. 1175-1250

Італійський математик. Народився Пізі, став першим великим математиком Європи пізнього Середньовіччя. У математику його привела практична потреба встановити ділові контакти. Він видавав свої книги з арифметики, алгебри та інших математичних дисциплін. Від мусульманських математиків він дізнався про систему цифр, вигадану в Індії і вже прийняту в арабському світі, і переконався в її перевагі (ці цифри були попередниками сучасних арабських цифр).

Леонардо з Пізи, відомий як Фібоначчі, був першим великим математиком Європи пізнього Середньовіччя. Будучи народженим у Пізі у багатій купецькій сім'ї, він прийшов у математику завдяки суто практичній потребі встановити ділові контакти. У молодості Леонардо багато подорожував, супроводжуючи батька у ділових поїздках. Наприклад, ми знаємо про його тривале перебування у Візантії та на Сицилії. Під час таких поїздок багато спілкувався з місцевими вченими.

Числовий ряд, що носить сьогодні його ім'я, виріс із проблеми з кроликами, яку Фібоначчі виклав у своїй книзі «Liber abacci», написаній у 1202 році:

Чоловік посадив пару кроликів у загін, оточений з усіх боків стіною. Скільки пар кроликів за рік може зробити ця пара, якщо відомо, що кожен місяць, починаючи з другого, кожна пара кроликів виробляє на світ одну пару?

Можете переконатися, що кількість пар у кожен із дванадцяти наступних місяців місяців буде відповідно 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Іншими словами, кількість пар кроликів створює ряд, кожен член у якому – сума двох попередніх. Він відомий як ряд Фібоначчі, а самі числа – числа Фібоначчі. Виявляється, ця послідовність має безліч цікавих з погляду математики властивостей. Ось приклад: ви можете розділити лінію на два сегменти, так що співвідношення між більшим та меншим сегментом буде пропорційно співвідношенню між усією лінією та великим сегментом. Цей коефіцієнт пропорційності, приблизно рівний 1,618, відомий як Золотий перетин. В епоху Відродження вважалося, що ця пропорція, дотримана в архітектурних спорудах, найбільше тішить око. Якщо ви візьмете послідовні пари з ряду Фібоначчі і ділитимете більша кількістьз кожної пари на менше, ваш результат поступово наближатиметься до золотого перетину.

Відколи Фібоначчі відкрив свою послідовність, було знайдено навіть явища природи, у яких ця послідовність, схоже, грає важливу роль. Одне з них - філлотаксис (лісторозташування) - правило, за яким розташовуються, наприклад, насіння в суцвітті соняшника. Насіння у соняшника впорядковане у дві спіралі. Числа, що позначають кількість насіння в кожній із спіралей, є членами дивовижної математичної послідовності. Насіння впорядковане у два ряди спіралей, один з яких йде за годинниковою стрілкою, інший проти. І яке число насіння у кожному разі? 34 та 55.

Завдання №1:

Напишіть перші п'ять членів послідовності.

1. а n = 2 n +1/2 n

а n =2 n +1/2 n

Завдання №2:

Напишіть формулу загального члена послідовності натуральних чисел, кратних 3.

Відповідь: 0,3,6,9,12,15,.... 3n, а n =3n

Завдання №3:

Напишіть формулу загального члена послідовності натуральних чисел, які при розподілі на 4 дають у залишку 1.

Відповідь:5,9,13,17,21....... 4 n +1 , а n =4n+1

№19. функція.

Функція (відображення, оператор, перетворення) - математичне поняття, що відбиває зв'язок між елементами множин. Можна сміливо сказати, що функція - це «закон», яким кожному елементу однієї множини (званому областю визначення) ставиться у відповідність певний елемент іншого множини (названого областю значень).

Функція – це залежність однієї змінної величинивід іншої. Інакше кажучи, взаємозв'язок між величинами.

Математичне поняття функції виражає інтуїтивне уявлення у тому, як одна величина повністю визначає значення інший величини. Так значення змінної х однозначно визначає значення висловлювання , а значення місяця однозначно визначає значення наступного його місяця, також будь-якій людині можна зіставити іншу людину - його батька. Аналогічно, деякий задуманий заздалегідь алгоритм за вхідними даними, що варіюються, видає певні вихідні дані.

Часто під терміном "функція" розуміється числова функція; тобто функція, яка ставить одні числа у відповідність до інших. Ці функції зручно представляються на малюнках як графіків.

Можна дати інше визначення. Функція – це певне діянад змінною.

Це означає, що ми беремо величину, робимо з нею певну дію (наприклад, зводимо в квадрат або обчислюємо її логарифм) – і отримуємо величину.

Дамо ще одне визначення функції – те, що найчастіше зустрічається у підручниках.

Функція – це відповідність між двома множинами, причому кожному елементу першої множини відповідає один і лише один елемент другої множини.

Наприклад, функція кожному дійсному числуставить у відповідність число вдвічі більше, ніж .

Багато елементів деякої Ф., підставлюються замість х, називають областю її визначення, а безліч елементів у деякій Ф. називають областю її значень.

Історія терміна:

Термін «функція» (в деякому вужчому сенсі) був вперше використаний Лейбніцем (1692). У свою чергу, Йоганн Бернуллі в листі до того ж Лейбніцу вжив цей термін у сенсі, ближчому до сучасного. Спочатку, поняття функції не відрізнялося від поняття аналітичного уявлення. Згодом з'явилося визначення функції, дане Ейлером (1751), потім - у Лакруа (1806) - вже практично в сучасному вигляді. Нарешті, загальне визначення функції (у сучасній формі, але для числових функцій) було дано Лобачевським (1834) і Діріхле (1837). До кінцю XIXстоліття поняття функції переросло рамки числових систем. Першими це зробили векторні функції, невдовзі Фреге ввів логічні функції (1879), а після появи теорії множин Дедекінд (1887) та Пеано (1911) сформулювали сучасне універсальне визначення.

№20. Способи завдання функції.

Розрізняють 4 способи завдання функції:

1. табличнийДосить поширений, полягає в заданні таблиці окремих

значень аргументу та відповідних їм значень функції. Такий спосіб завдання функції застосовується у разі, коли область визначення функції є дискретним кінцевим безліччю.

Зручний, коли f -кінцева множина, коли ж f нескінченне, вказується лише обрані пари (х, у).

При табличному способі завдання функції можна приблизно обчислити значення функції, що не містяться в таблиці, відповідні проміжним значенням аргументу. Для цього використовують спосіб інтерполяції.

Переваги: точність, швидкість, по таблиці значень легко знайти потрібне значенняфункції. Переваги табличного способу завдання функції полягають у тому, що дає можливість визначити ті чи інші конкретні значення відразу, без додаткових вимірів чи обчислень.

Недоліки: неповнота, відсутність наочності У деяких випадках таблиця визначає функцію в повному обсязі, лише для деяких значень аргументу і дає наочного зображення характеру зміни функції залежно від зміни аргументу.

2. аналітичний(Формули). Найчастіше закон, що встановлює зв'язок між

аргументом та функцією, задається за допомогою формул. Такий спосіб завдання функції називається аналітичним. Є найважливішим для МА (мат.анализу), оскільки методи МА (диференціального, інтегрального числення) припускають цей спосіб завдання. Одна й та сама функція може бути задана різними формулами: y=∣sin( x)∣y=√1−cos2( x) Іноді в різних частинахсвоїх областей обумовлена ​​функція може бути задана різними формулами f(x)={f 1(x),x∈D 1 fn(x),x∈Dn ∪nk=1Dk=D(f). Часто при цьому способі завдання функції область визначення не вказується, тоді під областю визначення розуміється природна областьвизначення, тобто. безліч всіх значень x, при яких функція набуває дійсного значення.

Цей спосіб дає можливість за кожним чисельним значенням аргументу x знайти відповідне йому чисельне значення функції y точно або з деякою точністю.

Приватним випадком аналітичного способу завдання функції є завдання функції рівнянням виду F(x,y)=0 (1) Якщо це рівняння має властивість, що ∀ x∈Доставляється єдине y, таке, що F(x,y)=0, то кажуть, що рівняння (1) на Д неявно задає функцію. Ще один окремий випадок завдання функції - параметричний, при цьому кожна пара ( x,y)∈fзадається за допомогою пари функцій x=ϕ( t),y=ψ( t) де t∈M.

Наводиться визначення числової послідовності. Розглянуто приклади необмежено зростаючих, схожих і послідовностей, що розходяться. Розглянуто послідовність, що містить усі раціональні числа.

Визначення.
Числовою послідовністю ( x n ) називається закон (правило), згідно з яким, кожному натуральному числу n = 1, 2, 3, . . . ставиться у відповідність деяке число x n.
Елемент x n називають n-м членомабо елементом послідовності.

Послідовність позначається як n -го члена, укладеного у фігурні дужки: . Також можливі наступні позначення: . Вони явно вказується, що індекс n належить безлічі натуральних чисел і сама послідовність має нескінченне число членів. Ось кілька прикладів послідовностей:
, , .

Тобто числова послідовність - це функція, областю визначення якої є безліч натуральних чисел. Число елементів послідовності нескінченне. Серед елементів можуть зустрічатися члени, які мають однакові значення. Також послідовність можна розглядати як нумеровану множину чисел, що складається з нескінченного числа членів.

Головним чином нас буде цікавити питання - як поводяться послідовності, що при n прагне до нескінченності: . Цей матеріал викладається в розділі Межа послідовності – основні теореми та властивості. А тут ми розглянемо кілька прикладів послідовностей.

Приклади послідовностей

Приклади послідовностей, що необмежено зростають

Розглянемо послідовність. Загальний член цієї послідовності. Випишемо кілька перших членів:
.
Видно, що зі зростанням номера n елементи необмежено зростають у бік позитивних значень. Можна сміливо сказати, що це послідовність прагне : при .

Тепер розглянемо послідовність із загальним членом. Ось її кілька перших членів:
.
Зі зростанням номера n елементи цієї послідовності необмежено зростають по абсолютній величині, але не мають постійного знака. Тобто ця послідовність прагне: при.

Приклади послідовностей, що сходяться до кінцевого числа

Розглянемо послідовність. Її спільний член. Перші члени мають такий вигляд:
.
Видно, що зі зростанням номера n елементи цієї послідовності наближаються до свого граничного значення a = 0 : при . Отже, кожен наступний член ближче до нуля, ніж попередній. У певному сенсі вважатимуться, що є наближене значення числа a = 0 з похибкою. Ясно, що зі зростанням n ця похибка прагне нуля, тобто вибором n , похибка можна зробити як завгодно малою. Причому для будь-якої похибки ε > 0 можна вказати такий номер N, що для всіх елементів з номерами більшими за N:, відхилення числа від граничного значення a не перевершить похибки ε:.

Далі розглянемо послідовність. Її спільний член. Ось кілька її перших членів:
.
У цій послідовності члени з парними номерами дорівнюють нулю. Члени з непарними n рівні. Тому, зі зростанням n, їх величини наближаються до граничного значення a = 0 . Це також випливає з того, що
.
Також як і в попередньому прикладі, ми можемо вказати як завгодно малу похибку ε > 0 , для якої можна знайти такий номер N , що елементи з номерами більшими ніж N будуть відхилятися від граничного значення a = 0 на величину, що не перевищує заданої похибки. Тому ця послідовність сходить до значення a = 0 : при .

Приклади послідовностей, що розходяться

Розглянемо послідовність із наступним загальним членом:

Ось її перші члени:


.
Видно, що члени з парними номерами:
,
сходяться до значення a 1 = 0 . Члени з непарними номерами:
,
сходяться до значення a 2 = 2 . Сама ж послідовність, зі зростанням n, не сходиться до жодного значення.

Послідовність із членами, розподіленими в інтервалі (0;1)

Тепер розглянемо цікавішу послідовність. На числовий прямий візьмемо відрізок. Поділимо його навпіл. Отримаємо два відрізки. Нехай
.
Кожен із відрізків знову поділимо навпіл. Отримаємо чотири відрізки. Нехай
.
Кожен відрізок знову поділимо навпіл. Візьмемо


.
І так далі.

В результаті отримаємо послідовність, елементи якої розподілені у відкритому інтервалі (0; 1) . Яку б ми не взяли крапку із закритого інтервалу , ми завжди можемо знайти члени послідовності, які виявляться як завгодно близько до цієї точки, або збігаються з нею.

Тоді з вихідної послідовності можна виділити таку підпослідовність, яка сходитиметься до довільної точки з інтервалу . Тобто зі зростанням номера n, члени підпослідовності все ближче підходитимуть до наперед обраної точки.

Наприклад, для точки a = 0 можна вибрати наступну підпослідовність:
.
= 0 .

Для точки a = 1 виберемо таку підпослідовність:
.
Члени цієї підпослідовності сходяться до значення a = 1 .

Оскільки існують підпослідовності, що сходяться до різним значенням, То сама вихідна послідовність не сходиться до якого числа.

Послідовність, що містить усі раціональні числа

Тепер побудуємо послідовність, яка містить усі раціональні числа. Причому кожне раціональне число входитиме в таку послідовність нескінченне число разів.

Раціональне число r можна подати у такому вигляді:
,
де – ціле; - Натуральне.
Нам потрібно кожному натуральному числу n поставити у відповідність пару чисел p і q так, щоб будь-яка пара p і q входила до нашої послідовності.

Для цього на площині проводимо осі p і q. Проводимо лінії сітки через цілі значення p і q. Тоді кожен вузол цієї сітки буде відповідати раціонального числа. Усі безліч раціональних чисел буде представлено безліччю вузлів. Нам потрібно знайти спосіб пронумерувати всі вузли, щоби не пропустити жоден вузол. Це легко зробити, якщо нумерувати вузли по квадратах, центри яких розташовані у точці (0; 0) (Див. малюнок). При цьому нижні частини квадратів з q < 1 нам не потрібні. Тому вони не відображені на малюнку.

Отже, для верхнього боку першого квадрата маємо:
.
Далі нумеруємо верхню частинунаступного квадрата:

.
Нумеруємо верхню частину наступного квадрата:

.
І так далі.

Таким способом ми отримуємо послідовність, що містить усі раціональні числа. Можна помітити, що будь-яке раціональне число входить у цю послідовність нескінченне число разів. Справді, поруч із вузлом , у цю послідовність також входитимуть вузли , де - натуральне число. Але всі ці вузли відповідають тому самому раціональному числу.

Тоді з побудованої нами послідовності, ми можемо виділити підпослідовність (що має нескінченну кількість елементів), всі елементи якої дорівнюють заданому раціональному числу. Оскільки побудована нами послідовність має підпослідовності, що сходяться до різним числам, то послідовність не сходиться до якого числа.

Висновок

Тут ми дали точне визначення числової послідовності. Також ми порушили питання про її збіжність, ґрунтуючись на інтуїтивних уявленнях. Точне визначення збіжності розглядається на сторінці Визначення межі послідовності. Пов'язані з цим властивості та теореми викладені на сторінці

Урок № 32 Дата ____________

Алгебра

Клас: 9 «Б»

Тема: « Числова послідовність і її завдання ».

Мета уроку:учні повинні знати, що таке числова послідовність; способи завдання числової послідовності; вміти розрізняти різні способи завдання числових послідовностей.

Дидактичні матеріали: роздатковий матеріал, опорні конспекти.

Технічні коштинавчання:презентація на тему «Числові послідовності».

Хід уроку.

1.Організаційний момент.

2. Постановка цілей уроку.

Сьогодні на уроці ви, хлопці, дізнаєтесь:

Що таке послідовність?

Які види послідовностей існують?

Як задається числова послідовність?

Навчіться записувати послідовність за допомогою формули та безлічі її елементів.

Навчіться знаходити члени послідовності.

3.Робота над досліджуваним матеріалом.

3.1. Підготовчий етап.

Хлопці, перевіримо ваші логічні здібності. Я називаю кілька слів, а ви повинні продовжити:

-понеділок вівторок,…..

- січень лютий березень…;

- Глібова Л, Ганович Є, Дряхлов В, Ібраєва Г, ..... (список класу);

–10,11,12,…99;

З відповідей хлопців робиться висновок, що вищеназвані завдання – це послідовності, тобто якийсь упорядкований ряд чисел чи понять, коли кожне число чи поняття стоїть суворо своєму місці, і, якщо поміняти місцями члени, то послідовність порушиться (вівторок, четвер, понеділок – це просто перерахування днів тижня. Отже, тема уроку – числова послідовність.

3.1. Пояснення нового матеріалу. (Демонстраційний матеріал)

Аналізуючи відповіді учнів, дати визначення числової послідовності та показати способи завдання числових послідовностей.

(Робота з підручником с. 66 - 67)

Визначення 1. Функцію y = f(x), xN називають функцією натурального аргументу або числової послідовністю і позначають: y = f(n) або y 1 , y 2 , y 3 , ..., y n , ... або (y n).

У разі незалежна змінна – натуральне число.

Найчастіше послідовності будемо позначати так: ( а n), (b n), (з n) і т.д.

Визначення 2. Члени послідовності.

Елементи, що утворюють послідовність, називаються членами послідовності.

Нові поняття: попередній та наступний член послідовності,

а 1 …а п. (1-ий і п-ий член послідовності)

Способи завдання числової послідовності.

Аналітичний метод.

Будь-який n-й елементпослідовності можна визначити за допомогою формули. (Демонстраційний матеріал)

Розібрати приклади

приклад 1.Послідовність парних чисел: y = 2n.

приклад 2.Послідовність квадрата натуральних чисел: y = n2;

1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, ....

Приклад 3.Стаціонарна послідовність: y = C;

C, C, C, ..., C, ....

Окремий випадок: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ....

Приклад 4. Послідовність y = 2 n;

2, 2 2, 2 3, 2 4, ..., 2 n, ....

Словесний метод.

Правила завдання послідовності описуються словами без зазначення формул або коли закономірності між елементами послідовності немає.

Приклад 1. Наближення числаπ.

приклад 2.Послідовність простих чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .

Приклад 3.Послідовність чисел, що діляться на 5.

приклад 2.Довільний набір чисел: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .

Приклад 3.Послідовність парних чисел 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ....

Рекурентний метод.

Рекурентний спосіб полягає в тому, що вказується правило, що дозволяє обчислити n-й член послідовності, якщо вказано її кілька перших членів (як мінімум один перший член) та формула, що дозволяє за попередніми членами обчислити її наступний член. Термін рекурентний походить від латинського слова recurrere , що означає повертатися . При обчисленні членів послідовності за цим правилом ми як би весь час повертаємося назад, обчислюючи наступний член на основі попереднього. Особливістю цього способу є те, що для визначення, наприклад, 100 члена послідовності необхідно спочатку визначити всі попередні 99 членів.

Приклад 1 . a 1 = a, a n +1 = a n +0,7. Нехай a 1 =5, тоді послідовність матиме вигляд: 5; 5,7; 6,4; 7,1; 7,8; 8,5; ....

приклад 2. b 1 = b, b n +1 = b n . Нехай b 1 =23, тоді послідовність матиме вигляд: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ....

Приклад 3.Послідовність Фібоначчі. Ця послідовність легко задається рекурентно: y 1 =1, y 2 =1,y n -2 +y n -1 якщо n=3, 4, 5, 6, ... . Вона матиме вигляд:

1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... . (п-ий член цієї послідовності дорівнює сумі двох попередніх членів)

Аналітично послідовність Фібоначчі поставити важко, але можливо. Формула, за якою визначається будь-який елемент цієї послідовності, виглядає так:

додаткова інформація:

Італійський купець Леонардо з Пізи (1180-1240), найбільш відомий під прізвиськом Фібоначчі, був значним математиком середньовіччя. За допомогою даної послідовності Фібоначчі визначив число φ (фі); φ=1,618033989.

Графічний спосіб

Члени послідовності можна зображати крапками на координатній площині. Для цього по горизонтальній осі відкладають номер, а по вертикальній - значення члена послідовності.

Для закріплення способів завдання прошу навести кілька прикладів послідовностей, які задаються або словесним, або аналітичним або рекурентним способом.

Види числових послідовностей

(На наведених нижче послідовностях відпрацьовуються види послідовностей).

Робота з підручником стор.69-70

1) Зростаюча – якщо кожен член менше наступного його, тобто. a n a n +1.

2) спадна - якщо кожен член більше наступного за ним, тобто. a n a n +1 .

3) Нескінченна.

4) Кінцева.

5) Знак чергою.

6) Постійна (стаціонарна).

Зростаючу або спадну послідовність називають монотонними.

3; 6; 9; 12; 15; 18;…

1. –1; 2; –3; 4; –5; …

   1, 4, 9, 16 ,…

   –1; 2; –3; 4; –5; 6; …

   3; 3; 3; 3; …; 3; … .

Робота з підручником: виконаємо усно №150, 159 стор.71, 72

3.2. Закріплення нового матеріалу. Розв'язання задач.

Для закріплення знань вибираються приклади залежно від рівня підготовки учнів.

приклад 1.Скласти можливу формулу n-го елемента послідовності (y n):

а) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;

б) 4, 8, 12, 16, 20, ...;

Рішення.

а) Це послідовність непарних чисел. Аналітично цю послідовність можна встановити формулою y = 2n+1.

б) Це числова послідовність, у якої наступний елемент більший за попередній на 4. Аналітично цю послідовність можна задати формулою y = 4n.

Приклад 2. Виписати перші десять елементів послідовності, заданої рекурентно: y 1 =1, y 2 =2, y n = y n -2 + y n -1 якщо n = 3, 4, 5, 6, ... .

Рішення.

Кожен наступний елемент цієї послідовності дорівнює сумі двох попередніх елементів.

Приклад 3.Послідовність (y n) задана рекурентно: y 1 = 1, y 2 = 2, y n = 5y n -1 - 6y n -2. Поставити цю послідовність аналітично.

Рішення.

Знайдемо кілька перших елементів послідовності.

y 3 = 5y 2 -6y 1 = 10-6 = 4;

y 4 = 5y 3 -6y 2 = 20-12 = 8;

y 5 = 5y 4 -6y 3 = 40-24 = 16;

y 6 = 5y 5 -6y 4 = 80-48 = 32;

y 7 = 5y 6 -6y 5 = 160-96 = 64.

Отримуємо послідовність: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; ..., яку можна представити у вигляді

2 0 ; 2 1 ; 2 2 ; 2 3 ; 2 4 ; 2 5 ; 2 6 ... .

n = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7... .

Аналізуючи послідовність, отримуємо таку закономірність: y = 2 n-1.

Приклад 4.Дано послідовність y n =24n+36-5n 2 .

а) Скільки у ній позитивних членів?

б) Визначити найбільший елемент послідовності.

в) Чи є в цій послідовності найменший елемент?

Ця числова послідовність – це функція виду y = -5x2+24x+36, де x

а) Знайдемо значення функції, у яких -5x 2 +24x+360. Розв'яжемо рівняння -5x 2 +24x+36=0.

D = b 2 -4ac = 1296, X 1 = 6, X 2 = -1,2.

Рівняння осі симетрії параболи y = -5x2+24x+36 можна знайти за формулою x=, отримаємо: x=2,4.

Нерівність -5x 2 +24x+360 виконується при -1,2 У цьому інтервалі є п'ять натуральних чисел (1, 2, 3, 4, 5). Значить у заданій послідовності п'ять позитивних елементівпослідовність.

б) Найбільший елемент послідовності визначається методом підбору, і він дорівнює y 2 =64.

в) Найменшого елемента немає.

3.4.Завдання для самостійної роботи