ДІЙСНІ ЧИСЛА II

§ 44 Геометричне зображення дійсних чисел

Геометрично дійсні числа, як і раціональні числа, зображуються точками прямої.

Нехай l - довільна пряма, а - деяка її точка (рис. 58). Кожному позитивному дійсному числу α поставимо у відповідність точку А, що лежить праворуч від Про на відстані в α одиниць довжини.

Якщо, наприклад, α = 2,1356..., то

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

і т. д. Очевидно, що точка А в цьому випадку має знаходитися на прямій l правіше точок, відповідних числам

2; 2,1; 2,13; ... ,

але ліворуч точок, що відповідають числам

3; 2,2; 2,14; ... .

Можна показати, що ці умови визначають на прямій l єдину точку А, яку ми розглядаємо як геометричний образ дійсного числа α = 2,1356... .

Аналогічно, кожному негативному дійсному числу β поставимо у відповідність точку В, що лежить ліворуч від Про на відстані в | β | одиниць довжини. Нарешті, числу «нуль» поставимо у відповідність точку О.

Так, число 1 зобразиться на прямій l точкою А, що знаходиться праворуч від Про на відстані в одну одиницю довжини (рис. 59), число - √2 - точкою, що лежить зліва від Про на відстані в √2 одиниць довжини, і т. д.

Покажемо, як на прямій l з допомогою циркуля і лінійки можна знайти точки, відповідні дійсним числам √2 , √3 , √4 , √5 тощо. буд. Для цього перш за все покажемо, як можна побудувати відрізки, довжини яких виражаються цими числами. Нехай АВ є відрізок, прийнятий за одиницю довжини (рис. 60).

У точці А відновимо до цього відрізка перпендикуляр і відкладемо на ньому відрізок АС, що дорівнює відрізку АВ. Тоді, застосовуючи теорему Піфагора до прямокутного трикутника ABC, отримаємо; ВС = √АВ 2 + АС 2 = √1+1 = √2

Отже, відрізок ПС має довжину √2 . Тепер відновимо перпендикуляр до відрізка ВС у точці З і виберемо на ньому точку D так, щоб відрізок CD був дорівнює одиниціДовжини АВ. Тоді з прямокутною трикутника BCD знайдемо:

ВD = √ВC 2 + СD 2 = √2+1 = √3

Отже, відрізок BD має довжину √3. Продовжуючи описаний процес далі, ми б отримати відрізки BE, BF, ..., довжини яких виражаються числами √4 , √5 тощо.

Тепер на прямій l легко знайти ті точки, які є геометричним зображенням чисел √2 , √3 , √4 , √5 тощо.

Відкладаючи, наприклад, праворуч від точки О відрізок ВС (рис. 61), ми отримаємо точку С, яка є геометричним зображенням числа √2 . Так само, відкладаючи праворуч від точки Про відрізок BD, ми отримаємо точку D", яка є геометричним чином числа √3 , і т.д.

Не слід, однак, думати, що за допомогою циркуля та лінійки на числовій прямій l можна знайти точку, що відповідає будь-якому заданому дійсному числу. Доведено, наприклад, що, маючи у своєму розпорядженні лише циркуль та лінійку, не можна побудувати відрізок, довжина якого виражається числом π = 3,14…. Тому на числовій прямій l за допомогою таких побудов не можна вказати точку, що відповідає цьому числу Проте така точка існує.

Отже, кожному дійсному числу α можна поставити у відповідність деяку цілком певну точку прямої l . Ця точка відстоятиме від початкової точки Про на відстані в | α | одиниць довжини і знаходитися праворуч від О, якщо α > 0, і зліва від О, якщо α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две різні точкипрямий l . Справді, нехай числу α відповідає точка А, а числу β - точка В. Тоді, якщо α > β , А буде перебувати правіше В (рис. 62, а); якщо ж α < β , А буде ліворуч В (рис. 62,б).

Говорячи в § 37 про геометричне зображення раціональних чисел, ми поставили питання: будь-яку точку прямої можна розглядати як геометричний образ деякого раціональногочисла? Тоді ми не могли дати відповіді на це запитання; тепер ми можемо відповісти на нього цілком виразно. На прямій є точки, які є геометричним зображенням ірраціональних чисел(наприклад, √2). Тому не всяка точка прямої зображує раціональне число. Але в такому випадку напрошується інше питання: будь-яку точку числової прямої можна розглядати як геометричний образ деякого дійсногочисла? Це питання вирішується вже позитивно.

Справді, нехай А - довільна точка пряма l , що лежить праворуч від О (рис. 63)

Довжина відрізка ОА виражається деяким позитивним дійсним числом α (див. § 41). Тому точка А є геометричним чином числа α . Аналогічно встановлюється, що кожна точка, що лежить зліва від Про, може розглядатися як геометричний образ негативного дійсного числа - β , де β - Довжина відрізка ВО. Нарешті, точка Про служить геометричним зображенням числа нуль. Зрозуміло, що дві різні точки прямої l неможливо знайти геометричним чином однієї й тієї ж дійсного числа.

В силу викладених вище причин пряма, на якій зазначена як «початкова» деяка точка О (при заданій одиниці довжини), називається числовий прямий.

Висновок. Багато всіх дійсних чисел і безліч усіх точок числової прямої знаходяться у взаємно однозначній відповідності.

Це означає, що кожному дійсному числу відповідає одна, цілком певна точка числової прямої і, навпаки, кожній точці числової прямої за такої відповідності відповідає одне, цілком певне дійсне число.

Вправи

320. З'ясувати, яка з двох точок знаходиться на числовій прямій ліворуч і яка правіше, якщо ці точки відповідають числам:

а) 1,454545... та 1,455454...; в) 0 та - 1,56673...;

б) - 12,0003... та - 12,0002...; г) 13,24... та 13,00....

321. З'ясувати, яка з двох точок знаходиться на числовій прямій далі від початкової точки О, якщо ці точки відповідають числам:

а) 5,2397... та 4,4996...; .. в) -0,3567... та 0,3557... .

г) - 15,0001 та - 15,1000...;

322. У цьому параграфі було показано, що для побудови відрізка завдовжки √ n за допомогою циркуля і лінійки можна зробити наступним чином: спочатку побудувати відрізок довжиною √2 , потім відрізок довжиною √3 і т. д., поки не дійдемо до відрізка довжиною √2 n . Але при кожному фіксованому п > 3 можна прискорити. Як би, наприклад, стали будувати відрізок довжиною √10 ?

323*. Як за допомогою циркуля та лінійки знайти на числовій прямій точку, що відповідає числу 1 / α , якщо положення точки, що відповідає числу α , Звісно?

Числова пряма, числова вісь, - це пряма де зображуються дійсні числа. На прямій вибирають початок відліку – точку О (точка Зображає 0) і точку L, що зображає одиницю. Точка L зазвичай стоїть праворуч від точки О. Відрізок ОL називають одиничним відрізком.

Точки, що стоять праворуч від точки Зображають позитивні числа. Крапки, що стоять ліворуч від точки. Про, зображують негативні числа. Якщо точка Х зображує позитивне число х то відстань ОХ = х. Якщо точка Х зображує негативне число х, то відстань ОХ = – х.

Число, що показує положення точки прямої, називається координатою цієї точки.

Точка V зображена малюнку має координату 2, а точка H має координату -2,6.

Модулем дійсного числа називається відстань від початку відліку до точки, що відповідає цьому числу. Позначають модуль числа x, так: | х |. Зрозуміло, що | 0 | = 0.

Якщо число x більше 0, то | х | = х, і якщо х менше 0, то | х | = - х. На цих властивостях модуля, засноване розв'язання багатьох рівнянь та нерівностей із модулем.

Приклад: Розв'язати рівняння | х – 3 | = 1.

Рішення: Розглянемо два випадки – перший випадок, коли х –3 > 0, і другий випадок, коли х – 3 0.

1. х – 3 > 0, х > 3.

І тут | х – 3 | = х – 3.

Рівняння набуває вигляду х – 3 = 1, х = 4. 4 > 3 – задовольнять першій умові.

2. х -3 0, х 3.

І тут | х – 3 | = - х + 3

Рівняння набуває вигляду х + 3 = 1, х = - 2. -2 3 – задовольнять другу умову.

Відповідь: х = 4, х = -2.

Числові висловлювання.

Числове вираз – це сукупність одного чи кількох чисел і функцій, сполучених знаками арифметичних операцій та дужками.
Приклади числових виразів:

Значенням числового виразу є число.
Операції у числовому вираженні виконуються в наступній послідовності:

1. Дії у дужках.

2. Обчислення функций.

3. Зведення на ступінь

4. Множення та розподіл.

5. Додавання та віднімання.

6. Однотипні операції виконуються зліва направо.

Так значенням першого виразу буде саме число 12,3
Для того щоб обчислити значення другого виразу, дії виконуватимемо в наступній послідовності:

1. Виконаємо дії в дужках у наступній послідовності - спочатку 2 зведемо в третій ступінь, потім від отриманого числа віднімемо 11:

3 4 + (23 - 11) = 3 4 + (8 - 11) = 3 4 + (-3)

2. Помножимо 3 на 4:

3 4 + (-3) = 12 + (-3)

3. Виконаємо послідовно операції зліва направо:

12 + (-3) = 9.
Вираз зі змінними – це сукупність одного чи кількох чисел, змінних та функцій, з'єднаних знаками арифметичних операцій та дужками. Значення виразів із змінними залежать від значень, що входять до нього змінних. Послідовність виконання операцій тут та сама, що й числових выражений. Висловлювання зі змінними іноді буває корисно спрощувати, виконуючи різні дії – винесення за дужки, розкриття дужок, угруповання, скорочення дробів, приведення подібних тощо. Також для спрощення виразів часто використовують різні формули, наприклад, формули скороченого множення, властивості різних функцій тощо.

Алгебраїчні вирази.

Алгебраїчним виразом називається одна або кілька алгебраїчних величин (чисел і букв), з'єднаних між собою знаками алгебраїчних дій: додавання, віднімання, множення та поділу, а також вилучення кореня та зведення в цілий ступінь (причому показники кореня та ступеня повинні обов'язково бути цілими числами) і знаками послідовності цих дій (зазвичай дужками різного виду). Кількість величин, що входять до алгебраїчний виразмає бути кінцевим.

Приклад алгебраїчного виразу:

«Алгебраїчне вираз» - поняття синтаксичне, тобто є алгебраїчним виразом тоді і лише тоді, коли підпорядковується деяким граматичним правилам (див. Формальна граматика). Якщо ж літери в виразі алгебри вважати змінними, то алгебраїчне вираз набуває сенсу алгебраїчної функції.

З величезного різноманіття всіляких множинособливий інтерес представляють так звані числові множини, тобто, множини, елементами яких є числа. Відомо, що з зручної роботи з ними необхідно вміти їх записувати. З позначень та принципів запису числових множин ми і почнемо цю статтю. А далі розглянемо, як числові множини зображаються на координатній прямій.

Навігація на сторінці.

Запис числових множин

Почнемо із прийнятих позначень. Як відомо, для позначення множин використовуються великі літери латинського алфавіту. Числові множини, як окремий випадокмножин, що позначаються також. Наприклад, можна говорити про числові множини A, H, W і т.п. Особливу важливість мають безліч натуральних, цілих, раціональних, дійсних, комплексних чисел тощо, для них було прийнято свої позначення:

• N – множина всіх натуральних чисел;
• Z – безліч цілих чисел;
• Q – безліч раціональних чисел;
• J – безліч ірраціональних чисел;
• R - безліч дійсних чисел;
• C – безліч комплексних чисел.

Звідси відомо, що не варто позначати безліч, що складається, наприклад, з двох чисел 5 і −7 як Q , це позначення вводитиме в оману, так як буквою Q зазвичай позначають безліч всіх раціональних чисел. Для позначення зазначеної числової множини краще використовувати якусь іншу «нейтральну» літеру, наприклад, A .

Якщо вже ми заговорили про позначення, то тут нагадаємо і про позначення порожньої множини, тобто множини, що не містить елементів. Його позначають знаком ∅.

Також нагадаємо про позначення власності та неналежності елемента безлічі. Для цього використовують знаки ∈ – належить та ∉ – не належить. Наприклад, запис 5∈N означає, що число 5 належить множині натуральних чисел, а 5,7∉Z – десятковий дріб 5,7 не належить множині цілих чисел.

І ще нагадаємо про позначення, прийняті для включення однієї множини до іншої. Зрозуміло, що всі елементи множини N входять до множини Z , таким чином, числове безліч N включено в Z, це позначається як N⊂Z. Також можна використовувати запис Z⊃N , яка означає, що безліч усіх цілих чисел включає безліч N . Відносини не включено та не включає позначаються відповідно знаками ⊄ та . Також використовуються знаки не суворого включення виду ⊆ та ⊇, що означають відповідно включено або збігається та включає або збігається.

Для позначення поговорили, переходимо до опису числових множин. При цьому торкнемося лише основних випадків, які найчастіше використовуються на практиці.

Почнемо з числових множин, що містять кінцеву та невелику кількість елементів. Числові множини, що складаються з кінцевого числа елементів, зручно описувати, перераховуючи всі їх елементи. Всі елементи-числа записуються через кому і полягають у , що узгоджується із загальними правилами опису множин. Наприклад, безліч, що складається з трьох чисел 0 −0,25 та 4/7 можна описати як (0, −0,25, 4/7) .

Іноді, коли число елементів числової множини досить велике, але елементи підпорядковуються деякої закономірності, для опису використовують трьома крапками. Наприклад, безліч всіх непарних чисел від 3 до 99 включно можна записати як (3, 5, 7, …, 99).

Так ми плавно підійшли до опису числових множин, кількість елементів яких нескінченна. Іноді їх можна описати, використовуючи все теж багатокрапка. Наприклад опишемо безліч всіх натуральних чисел: N = (1, 2. 3, ...).

Також користуються описом числових множин за допомогою вказівки властивостей елементів. У цьому застосовують позначення (x| властивості) . Наприклад, запис (n| 8·n+3, n∈N) задає безліч таких натуральних чисел, які при розподілі на 8 дають залишок 3 . Це безліч можна описати як (11,19, 27, …) .

У окремих випадках числові множини з нескінченним числом елементів є відомі множини N , Z , R , тощо. чи числові проміжки. А в основному числові множини представляються як об'єднанняскладових окремих числових проміжків і числових множин з кінцевим числом елементів (про які ми говорили трохи вище).

Покажемо приклад. Нехай числове безліч становлять числа −10 , −9 , −8,56 , 0 , усі числа відрізка [−5, −1,3] та числа відкритого числового променя (7, +∞) . В силу визначення об'єднання множин вказану числову множину можна записати як {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Такий запис фактично означає безліч, що містить у собі всі елементи множин (−10, −9, −8,56, 0) , [−5, −1,3] та (7, +∞) .

Аналогічно, поєднуючи різні числові проміжки та безлічі окремих чисел, можна описати будь-яку числову множину (що складається з дійсних чисел). Тут стає зрозуміло, чому були введені такі види числових проміжків як інтервал, напівінтервал, відрізок, відкритий числовий проміньі числовий промінь: всі вони в поєднанні з позначеннями множин окремих чисел дозволяють описувати будь-які числові множини через їх об'єднання.

Зверніть увагу, що при записі числової множини складові його числа та числові проміжки впорядковуються за зростанням. Це не обов'язкова, але бажана умова, тому що впорядковане числове безліч простіше уявити та зобразити на координатній прямій. Також зазначимо, що в подібних записах не використовуються числові проміжки з загальними елементамиТакі записи можна замінити об'єднанням числових проміжків без спільних елементів. Наприклад, об'єднання числових множин із загальними елементами [−10, 0] та (−5, 3) є напівінтервалом [−10, 3) . Це ж стосується і об'єднання числових проміжків з однаковими граничними числами, наприклад, об'єднання (3, 5]∪(5, 7] є безліч (3, 7] , на цьому ми окремо зупинимося, коли будемо вчитися знаходити перетин та об'єднання числових множин.

Зображення числових множин на координатній прямій

Насправді зручно користуватися геометричними образами числових множин – їх зображеннями на . Наприклад, при розв'язанні нерівностей, у яких необхідно враховувати ОДЗ, доводиться зображати числові множини, щоб знайти їх перетин та/або об'єднання. Так що корисно буде добре розібратися з усіма нюансами зображення числових множин на координатній прямій.

Відомо, що між точками координатної прямої та дійсними числами існує взаємно однозначна відповідність, що означає, що сама координатна пряма являє собою геометричну модель множини всіх дійсних чисел R . Таким чином, щоб зобразити безліч дійсних чисел, треба накреслити координатну пряму зі штрихуванням на всьому її протязі:

А часто навіть не вказують початок відліку та одиничний відрізок:

Тепер поговоримо про зображення числових множин, що є деякою кінцевою кількістю окремих чисел. Наприклад, зобразимо числову множину (−2, −0,5, 1,2) . Геометричним чином даної множини, що складається з трьох чисел −2 , −0,5 та 1,2 будуть три точки координатної прямої з відповідними координатами:

Зазначимо, що зазвичай потреб практики немає необхідності виконувати креслення точно. Часто досить схематичного креслення, що має на увазі необов'язкове витримування масштабу, при цьому важливо лише зберігати взаємне розташуванняточок відносно один одного: будь-яка точка з меншою координатою повинна бути лівішою від точки з більшою координатою. Попереднє креслення схематично виглядатиме так:

Окремо з різних числових множин виділяють числові проміжки (інтервали, напівінтервали, промені і т.д.), що представляють їх геометричні образи, ми докладно розібралися в розділі . Тут не повторюватимемося.

І залишається зупинитися лише на зображенні числових множин, які є об'єднання кількох числових проміжків і множин, що з окремих чисел. Тут немає нічого хитрого: за змістом об'єднання в цих випадках на координатній прямій потрібно зобразити всі складові множини цієї числової множини. Як приклад покажемо зображення числової множини (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞) :

І зупинимося ще досить поширених випадках, коли зображуване числове безліч є все безліч дійсних чисел, крім однієї чи кількох точок. Такі множини частенько задаються умовами типу x≠5 чи x≠−1 , x≠2 , x≠3,7 тощо. У цих випадках геометрично вони є всю координатну пряму, за винятком відповідних точок. Іншими словами, з координатної прямої потрібно «виколоти» ці точки. Їх зображають кружечками із порожнім центром. Для наочності зобразимо числову множину, відповідне умовам (це безліч по суті є):

Підведемо підсумок. В ідеалі інформація попередніх пунктів повинна сформувати такий самий погляд на запис і зображення числових множин, як і погляд на окремі числові проміжки: запис числової множини одразу має давати його образ на координатній прямій, а за зображенням на координатній прямій ми повинні бути готові з легкістю описати відповідне числове безліч через об'єднання окремих проміжків та множин, що складаються з окремих чисел.

Список літератури.

• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. - М.: Просвітництво, 2008. - 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 9 клас. У 2 год. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ/ А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-те вид., стер. – М.: Мнемозіна, 2011. – 222 с.: іл. ISBN 978-5-346-01752-3.

Форми зображення чисел

У цифрових пристроях використовуються дві форми зображення чисел: з фіксованою і плаваючою комою.

У попередньому параграфі розглядалися лише цілі позитивні числа. Формула (1.14) дає можливість зображати двойкові числа з цілою та дробовою частиною та з фіксованою комою. Знак двійкового числа з фіксованою комою задається допоміжним розрядом, який встановлюється перед числовими. Для додаткових чисел значення допоміжного розряду рівні “ 0 ”, для від'ємних – “ 1 ”.

У табл. 1.3 наводяться три варіанти кодування позитивних і від'ємних чисел чотирирозрядним двійковим кодом.

Таблиця 1.3.

У першому варіанті, як випливає з таблиці, у кодовій двійковій послідовності мають місце додатній і від'ємний нулі, що призводить до появи проблем при виконанні арифметичних операцій.

Представлення від'ємних чисел в зворотному коді також не вирішує відміченої проблеми. Вона вирішується лише тоді, коли від'ємні числа подаються у додатковому коді, який обчислюється за формулою:

На рис. 1.12 наведено графічну інтерпретацію зображення позитивних і негативних чисел щодо нуля з використанням прямого та доповнюючого кодів. Як буде показано пізніше, така форма представлення десяткових чисел суттєво спрощує виконання арифметичних операцій.

Приклад 1.10.Найти доповнюючі коди десятковим числам: 0 10 , 17 10 , -127 10 .

Розв'язання.Находимо двійкові еквіваленти заданих чисел:

0 10 = 00000000 2 ; 17 10 = 00010001 2 ; -127 10 = 10000001 2 .

Знаходимо коди, зворотні двійковим – відповідно: 11111111; 11101110; 01111110.

Находимо доповнюючі коди заданих чисел: 11111111 + 1 = 100000000 2 = 0 10;

11101110 + 1 = 11101111 2 = -17 10 ; 01111110 + 1 = 01111111 2 = 127 10 .

Тепер пояснимо суть запису чисел із фіксованою комою. Будь-яке число в цифрових системах зберігається спеціальними пристроями пам'яті, кожну строчку якого складаються з фіксованої кількості елементів. Кома, що відділяє в числі цілу частину від дробової, займає в рядку пам'яті фіксоване положення – перед старшим розрядом або після молодшого.

У першому випадку абсолютне значення числа менше одиниці – наприклад, 0,110101 2 .Якщо рядок пам'яті призначень для десяти розрядів, то число в ньому запишеться так, як показано на рис. 1.13, де крайній лівий розряд відображає знак числа, а решта – розряди модуля. Вільні молодші розряди заповнюються нулями. Оскільки в розглянутому випадку в рядку пам'яті передбачається записати лише дробову частину числа, то і результати всіх операцій повинні бути з абсолютним значенням, меншим за единицу. Виконання цієї умови забезпечується вибором відповідних масштабних коефіцієнтів, на які помножуються вихідні дані. Якщо масштабний коефіцієнт вибрань невірний, то може з'явитися переповнення розрядів і поява цілої частини, яка буде втрачена, оскільки в розрядній сітці не передбачено її поява. Все це призведе до помилки в результаті, що є недоліком такого способу.

В іншому випадку, коли кома фіксується після молодшого розряду, маємо справу з цілими числами. Тоді, наприклад, число 10011 2 у рядку пам'яті розміщується у відповідності з рис. 1.14, де лівий розряд знаковий, а наступні за ним праворуч вільні розряди заповнюються нулями. У цьому випадку величина модуля є обмеженою довжиною рядка пам'яті.

Числа з плаваючою комою передбачають зображення числа з використанням мантиси, що помножується на основу системи чисельності у ступеню, який задається порядком. Наприклад, число 200 записується у вигляді 0,2×10 3 , а число 0,000312 – як 0,312×10 -3 . Відповідно записуються і двійкові числа. Мантіса і порядок зображаються у двійковому коді, а основою є двійка. Наприклад, число 0,111 × 2 10 = 11.10 2 у десятковій системі зображається як 0,875 × 2 2 = 3,5 10 . У рядку пам'яті такі числа зберігаються у вигляді двох груп цифр: перша група – мантиса – визначає саме число, друга – порядок – місце комі у числі (рис. 1.15).

У нульовому елементі рядка пам'яті зображається знак числа (для наведеного вище двійкового числа, що записано в рядок пам'яті - “ 0 ”). Далі задаються вісім розрядів самого числа (стовпці 1…8). Якщо воно задається меншим кількістю розрядів, то вільні елементи пам'яті праворуч від числа заповнюються нулями. У дев'ятому розряді зображається знак порядку, а в решті, за аналогією з мантисою, – число, що визначає порядок. При використанні такої форми запису величина числа порядку задається так, щоб перша значуща цифра мантисі не дорівнювала “ 0 ”. Така форма запису називається нормальною.

Мінімальне позитивне число, що може бути записане за нормальної форми в рядку пам'яті, визначається мінімальною мантисою 0,1000..0 2 та максимальним від'ємним порядком 111..1 2 . При кількості kрозрядів порядку мінімальне десяткове число, що може бути записаним, визначається формулою:

. (1.15)

Максимальне число матимемо при максимальному значенні мантиси (0,111…1) 2 та максимальному позитивному порядку (111…1 2) = 2 k- 1, тобто

Діапазон Dчисел, поданих у нормальній формі, як витікає з формул (1.15) та (1.16), визначається лише числом k. Наприклад, для k= 6 знаходимо:

; .

Точність запису числа задається кількістю розрядів mмантіс. Якщо кількість розрядів числа перевершує відведену під мантису кількість розрядів, то число округляється до необхідної довжини. Правило округлення двойкових чисел у цьому випадку таке: якщо старший розряд у частині слова, що відкидається, є одиницею, то до молодшого розряду мантіс додається одиниця. При такому округленні абсолютна похибка e зображення мантисі не перевершує половини вагового коефіцієнта молодшого розряду, що зберігається, тобто:

Враховуючи, що при нормальній формі запису мантиса не може бути меншою за 0.5, відносна похибка η:

Наприклад, при m= 24 маємо:

.

У сучасних цифрових системах для зображення чисел з плаваючою комою використовується рядок завдовжки чотири байти. У цьому 23 розряди задають мантису, а 7 – величину порядку. Діапазон чисел, що зображуються, складає від ± 2127 до ± 2 -127 .

Використання чисел з плаваючою комою суттєво розширює та спрощує зображення чисел, але виконання операцій над такими числами більш складне, ніж над числами з фіксованою комою.

Виразне геометричне уявлення системи раціональних чисел може бути отримано в такий спосіб.

Рис. 8. Числова вісь

На деякій прямій лінії, "числової осі", відзначимо відрізок від 0 до 1 (рис. 8). Тим самим встановлюється довжина одиничного відрізка, яка, власне кажучи, може бути обрана довільно. Позитивні та негативні цілі числа тоді зображуються сукупністю рівновіддалених точок на числовій осі, саме позитивні числа відзначаються вправо, а негативні - вліво від точки 0. Щоб зобразити числа зі знаменником розділимо кожен із отриманих відрізків одиничної довжини на рівних частин; точки поділу будуть зображати дроби зі знаменником Якщо зробимо так для значень, що відповідають усім натуральним числам, то кожне раціональне число буде зображено деякою точкою числової осі. Ці точки ми умовимося називати "раціональними"; взагалі терміни «раціональне число» і «раціональна точка» вживатимемо як синоніми.

У розділі I § 1 було визначено співвідношення нерівності для натуральних чисел. На числовій осі це співвідношення відображено так: якщо натуральне числоА менше, ніж натуральне число, точка А лежить лівіше точки В. Оскільки зазначене геометричне співвідношення встановлюється для будь-якої пари раціональних точок, то природно намагатися узагальнити арифметичне відношення нерівності таким чином, щоб зберегти цей геометричний порядок для точок, що розглядаються. Це вдається, якщо прийняти таке визначення: кажуть, що раціональне число А менше, ніж Раціональне числоабо що число більше, ніж число якщо різниця позитивна. Звідси випливає (при ), що точки (числа) є між тими, які

одночасно Кожна така пара точок разом з усіма точками між ними називається сегментом (або відрізком) і позначається (а безліч одних тільки проміжних точок - інтервалом (або проміжком), що позначається

Відстань довільної точки А від початку 0, що розглядається як позитивне число, називається абсолютним значенням А та позначається символом

Поняття «абсолютне значення» визначається наступним чином: якщо , то якщо то Ясно, що якщо числа мають один і той самий знак, то справедлива рівність якщо ж мають різні знаки, то. Поєднуючи ці два результати разом, ми приходимо до загальної нерівності

яке справедливе незалежно від знаків

Факт фундаментальної важливості виражається такою пропозицією: раціональні точки розташовані на числовій прямій усюди щільно. Сенс цього твердження той, що всередині будь-якого інтервалу, хоч би як він був малий, містяться раціональні точки. Щоб переконатися в справедливості висловленого твердження, достатньо взяти число настільки велике, що інтервал ( буде менше, ніж даний інтервал; тоді щонайменше одна з точок виду виявиться всередині даного інтервалу. Отже, не існує такого інтервалу на числовій осі (навіть найменшого, який тільки можна уявити), всередині якого не було б раціональних точок.Звідси випливає подальше слідство: у всякому інтервалі міститься безліч раціональних точок. точками, раціональних точок вже не було б, а це суперечить тому, що щойно було доведено.