Квадратична функція приклади рішення 9. Квадратична функція та її графік

Важливі зауваження!
1. Якщо замість формул ти бачиш абракадабру, почисти кеш. Як це зробити у твоєму браузері написано тут:
2. Перш ніж почнеш читати статтю, зверни увагу на наш навігатор по самих корисним ресурсудля

Щоб зрозуміти, що тут буде написано, тобі потрібно добре знати, що таке квадратична функція, і з чим її їдять. Якщо ти вважаєш себе профі щодо квадратичних функцій, ласкаво просимо. Але якщо ні, тобі варто прочитати тему.

Почнемо з невеликої перевірки:

Як виглядає квадратична функція у загальному вигляді (формула)?
Як називається графік квадратичної функції?
Як впливає старший коефіцієнт графік квадратичної функції?

Якщо ти одразу зміг відповісти на ці запитання, продовжуй читати. Якщо хоч одне питання викликало труднощі, перейди .

Отже, ти вже вмієш поводитися з квадратичною функцією, аналізувати її графік та будувати графік за точками.

Ну що ж, ось вона: .

Давай коротко згадаємо, що роблять коефіцієнти.

Старший коефіцієнт відповідає за «крутість» параболи, або, по-іншому, за її ширину: чим більше, тим парабола вже (крутіше), а чим менше, тим парабола ширше (полога).
Вільний член – це координата перетину параболи з віссю ординат.
А коефіцієнт якимось чином відповідає за усунення параболи від центру координат. Ось про це зараз докладніше.

З чого ми починаємо будувати параболу? Яка має відмінна точка?

Це вершина. А як знайти координати вершини, пам'ятаєш?

Абсцисса шукається за такою формулою:

Ось так: чим більше, тим ліворучзміщується вершина параболи.

Ординату вершини можна знайти, підставивши у функцію:

Підстав сам і порахуй. Що вийшло?

Якщо зробити все правильно і максимально спростити отриманий вираз, вийде:

Виходить, що чим більше за модулем, тим вищебуде вершинапараболи.

Перейдемо нарешті до побудови графіка.
Найпростіший спосіб – будувати параболу, починаючи з вершини.

Приклад:

Побудувати графік функції.

Рішення:

Спочатку визначимо коефіцієнти: .

Тепер обчислимо координати вершини:

А тепер згадуємо: усі параболи з однаковим старшим коефіцієнтом виглядають однаково. Значить, якщо ми побудуємо параболу і перемістимо її вершиною в точку, вийде потрібний графік:

Просто, правда?

Залишається лише одне питання: як швидко малювати параболу? Навіть якщо ми малюємо параболу з вершиною на початку координат, все одно доводиться будувати її за точками, а це довго й незручно. Адже всі параболи виглядають однаково, може, є спосіб прискорити їх малювання?

Коли я навчався у школі, вчителька математики сказала всім вирізати з картону трафарет у формі параболи, щоб швидко її креслити. Але з трафаретом скрізь ходити не вдасться, та й на іспит його взяти не дозволять. Значить, не користуватимемося сторонніми предметами, а шукатимемо закономірність.

Розглянемо найпростішу параболу. Побудуємо її за точками:

Закономірність тут така. Якщо з вершини зміститися вправо (вздовж осі) на, і вгору (вздовж осі) на то потрапимо в точку параболи. Далі: якщо з цієї точки зміститися праворуч і нагору, знову потрапимо в точку параболи. Далі: праворуч і нагору. Далі що? Праворуч і вгору. І так далі: зміщуємось направо, і на наступне непарне числовгору. Те саме потім робимо з лівою гілкою (адже парабола симетрична, тобто її гілки виглядають однаково):

Відмінно, це допоможе побудувати з вершини будь-яку параболу зі старшим рівним коефіцієнтом. Наприклад, нам стало відомо, що вершина параболи знаходиться у точці. Побудуй (самостійно, на папері) цю параболу.

Збудував?

Повинно вийти так:

Тепер з'єднуємо отримані точки:

От і все.

ОК, ну що ж, тепер будувати лише параболи з?

Звичайно, ні. Тепер розберемося, що з ними робити, якщо.

Розглянемо кілька типових випадків.

Добре, параболу малювати навчилися, давай тепер потренуємося на реальних функціях.

Отже, намалюй графіки таких функцій:

Відповіді:

3. Вершина: .

Пам'ятаєш, що робити, якщо старший коефіцієнт менший?

Дивимося на знаменник дробу: він дорівнює. Отже, рухатимемося так:

вправо - вгору
вправо - вгору
вправо - вгору

і так само вліво:

4. Вершина: .

Ой, а що з цим робити? Як відміряти клітини, якщо вершина десь між лініями?

А ми схитруємо. Намалюємо спочатку параболу, а вже потім перемістимо її вершиною в крапку. Навіть ні, зробимо ще хитрішим: Намалюємо параболу, а потім перемістимо осі:- на вниз, а - на праворуч:

Цей прийом дуже зручний у разі будь-якої параболи, запам'ятай його.

Нагадаю, що ми можемо уявити функцію в такому вигляді:

Наприклад: .

Що нам це дає?

Справа в тому, що число, яке віднімається з дужок () - це абсцис вершини параболи, а доданок за дужками () - ордината вершини.

Це означає, що, збудувавши параболу, потрібно буде просто змістити вісь на ліворуч і вісь на вниз.

Приклад: збудуємо графік функції.

Виділимо повний квадрат:

Яке число віднімаєтьсяз у дужках? Це (а не, як можна вирішити, не подумавши).

Отже, будуємо параболу:

Тепер зміщуємо вісь на вниз, тобто на вгору:

А тепер - наліво, тобто направо:

От і все. Це те саме, як перемістити параболу вершиною з початку координат в точку, тільки прямі вісь рухати набагато легше, ніж криву параболу.

Тепер, як завжди, сам:

І не забувай прати гумкою старі осі!

Я як відповідейдля перевірки напишу тобі ординати вершин цих парабол:

Все зійшлося?

Якщо так, то ти молодець! Вміти поводитися з параболою – дуже важливо та корисно, і тут ми з'ясували, що це зовсім не важко.

ПОБУДУВАННЯ ГРАФІКА КВАДРАТИЧНОЇ ФУНКЦІЇ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Квадратична функція- функція виду, де, і - будь-які числа (коефіцієнти), - вільний член.

Графік квадратичної функції-парабола.

Вершина параболи:
, тобто. чим більше \displaystyle b тим лівіше зміщується вершина параболи.
Підставляємо у функцію, і отримуємо:
, тобто. чим \displaystyle b більше за модулем , тим вище буде вершина параболи

Вільний член – це координата перетину параболи з віссю ординат.

Ну ось тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, то ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторю, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для чого?

Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ.

Люди, які отримали гарна освіта, заробляють набагато більше, ніж ті, хто його не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШ ЩАСТЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей, і життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… щасливішим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоб виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розбором і вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті
Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. Купити підручник - 499 руб

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.

Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.

І насамкінець...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Умію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!

Що таке парабола знають, мабуть, усі. А ось як її правильно, грамотно використовувати під час вирішення різних практичних завдань, розберемося нижче.

Спочатку позначимо основні поняття, що дає цьому терміну алгебра та геометрія. Розглянемо все можливі видицього графіка.

Дізнаємося всі основні характеристики цієї функції. Зрозуміємо основи побудови кривої (геометрія). Навчимося знаходити вершину, інші основні величини графіка цього типу.

Дізнаємося: як правильно будується крива за рівнянням, на що треба звернути увагу. Подивимося головне практичне застосуванняцієї унікальної величини у житті людини.

Що таке парабола і як вона виглядає

Алгебра: під цим терміном розуміється графік квадратичної функції.

Геометрія: це крива другого порядку, має ряд певних особливостей:

Канонічне рівняння параболи

На малюнку зображена прямокутна система координат (XOY), екстремум, напрямок гілок креслення функції вздовж осі абсцис.

Канонічне рівняння має вигляд:

y 2 = 2 * p * x,

де коефіцієнт p – фокальний параметр параболи (AF).

В алгебрі воно запишеться інакше:

y = a x 2 + b x + c (відомий шаблон: y = x 2).

Властивості та графік квадратичної функції

Функція має віссю симетрії та центром (екстремум). Область визначення – всі значення осі абсцис.

Область значень функції – (-∞, М) або (М, +∞) залежить від напрямку гілок кривої. Параметр М тут означає величину функції у вершині лінії.

Як визначити, куди спрямовані гілки параболи

Щоб знайти напрямок кривої такого типу із виразу, потрібно визначити знак перед першим параметром алгебраїчного виразу. Якщо а 0 , то вони спрямовані вгору. Якщо навпаки – вниз.

Як знайти вершину параболи за формулою

Знаходження екстремуму є основним етапом під час вирішення безлічі практичних завдань. Звичайно, можна відкрити спеціальні онлайн калькуляториАле краще це вміти робити самому.

Як її визначити? Є спеціальна формула. Коли b дорівнює 0, треба шукати координати цієї точки.

Формули знаходження вершини:

x 0 = -b/(2*a);
y0 = y(x0).

приклад.

Є функція у = 4 * x 2 + 16 * x - 25. Знайдемо вершини цієї функції.

Для такої лінії:

х = -16/(2*4) = -2;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Отримуємо координати вершини (-2, -41).

Зміщення параболи

Класичний випадок, коли у квадратичній функції y = a x 2 + b x + c, другий та третій параметри дорівнюють 0, а = 1 – вершина знаходиться в точці (0; 0).

Рух осями абсцис або ординат обумовлено зміною параметрів b і c відповідно.Зсув лінії на площині буде здійснюватися рівно на кількість одиниць, чому дорівнює значення параметра.

приклад.

Маємо: b=2, c=3.

Це означає, що класичний вид кривої зрушить на 2 одиничні відрізки по осі абсцис і на 3 - по осі ординат.

Як будувати параболу за квадратним рівнянням

Школярам важливо засвоїти, як правильно накреслити параболу за заданими параметрами.

Аналізуючи вирази та рівняння, можна побачити наступне:

Точка перетину шуканої лінії з вектором ординат матиме значення, що дорівнює величині с.
Усі точки графіка (по осі абсцис) будуть симетричні щодо основного екстремуму функції.

Крім того, місця перетину з ОХ можна знайти, знаючи дискримінант (D) такої функції:

D = (b 2 - 4 * a * c).

Для цього потрібно прирівняти вираз до нуля.

Наявність коріння параболи залежить від результату:

D 0 , то х 1,2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
D = 0, то х 1, 2 = -b/(2*a);
D 0 0, то немає точок перетину з вектором ОХ.

Отримуємо алгоритм побудови параболи:

визначити напрямок гілок;
знайти координати вершини;
знайти перетин з віссю ординат;
знайти перетин з віссю абсцис.

приклад 1.

Дана функція у = х 2 - 5 * х + 4. Необхідно побудувати параболу. Діємо за алгоритмом:

а = 1, отже, гілки спрямовані нагору;
координати екстремуму: х = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5*(5/2) + 4 = -15/4;
з віссю ординат перетинається у значенні у = 4;
знайдемо дискримінант: D = 25 – 16 = 9;
шукаємо коріння:

Х 1 = (5 + 3)/2 = 4; (4, 0);
Х 2 = (5 – 3) / 2 = 1; (1, 0).

приклад 2.

Для функції у = 3 * х 2 - 2 * х - 1 потрібно побудувати параболу. Діємо за наведеним алгоритмом:

а = 3, отже, гілки спрямовані нагору;
координати екстремуму: х = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
з віссю у перетинатиметься у значенні у = -1;
знайдемо дискримінант: D = 4 + 12 = 16. Значить коріння:

Х 1 = (2 + 4)/6 = 1; (1; 0);
Х 2 = (2 – 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

За отриманими точками можна побудувати параболу.

Директриса, ексцентриситет, фокус параболи

З канонічного рівняння, фокус F має координати (p/2, 0).

Пряма АВ – директриса (свого роду хорда параболи певної довжини). Її рівняння: х = -Р/2.

Ексцентриситет (константа) = 1.

Висновок

Ми розглянули тему, яку вивчають школярі середній школі. Тепер ви знаєте, дивлячись на квадратичну функцію параболи, як знайти її вершину, в яку сторону будуть направлені гілки, чи є зміщення по осях, і, маючи алгоритм побудови, можете накреслити її графік.