Межа змінної величини. Межа послідовності

ФУНКЦІЇ І МЕЖІ IX

§ 201. Постійні та змінні величини. Поняття функції

З поняттям функції ми неодноразово зіштовхувалися. У частині I ми розглянули лінійну, квадратну, статечну і тригонометричні функції. Попередній розділ був присвячений вивченню показової та логарифмічної функцій. Тепер нам належить зробити загальний оглядте, що ми вже знаємо про функції, і розглянути деякі нові питання.

Спостерігаючи різні процеси, можна побачити, що величини, що у них, ведуть себе по-різному: одні їх змінюються, інші залишаються постійними. Якщо, наприклад, у трикутнику ABC вершину переміщати по прямій MN, паралельній основі АС (рис. 263), то величини кутів А, В і С при цьому будуть безперервно змінюватися, а сума їх, висота h і площа трикутника залишатиметься незмінною.

Інший приклад. Якщо якийсь газ стискати при постійній температурі, то обсяг його ( V) та тиск ( р) будуть змінюватися: обсяг зменшуватиметься, а тиск збільшуватиметься. Твір цих величин, як встановлює закон Бойля - Маріотта, буде залишатися постійним:

Vp = c ,

де з - Деяка константа.

Усі величини можна розділити на постійні та змінні.

Змінні величини, що у будь-якому процесі, зазвичай змінюються незалежно друг від друга, а тісному зв'язку друг з одним. Наприклад, стиснення газу (при постійній температурі) призводить до зміни його обсягу, а це, у свою чергу, зумовлює зміну тиску газу. Зміна радіусу основи циліндра викликає зміну площі цієї основи; останнє призводить до зміни обсягу циліндра тощо. Одне з плавних завдань математичного вивчення тієї чи іншої процесу у тому, щоб встановити, як зміна одних змінних величин впливає зміна інших змінних величин.

Розглянемо кілька прикладів. Згаданий вище закон Бойля - Маріотта каже, що за постійної температури обсяг газу V змінюється обернено пропорційно тиску р : V = c / p . Якщо відомий тиск, то за цією формулою можна обчислити обсяг газу. Аналогічно формула S = π r 2 дозволяє визначити площу кола S, якщо відомий його радіус r . За формулою β = π / 2 - α можна знайти гострий кут прямокутного трикутникаякщо відомий інший гострий кут цього трикутника, і т.д.

При порівнянні двох змінних величин одну з них зручно розглядати як незалежнузмінну, а іншу – як залежнузмінну величину. Наприклад, радіус кола r природно вважати незалежною змінною, а площа кола S = π r 2 - залежною змінною величиною. Аналогічно тиск газу р можна вважати незалежною змінною величиною; тоді його обсяг V = c / p буде залежною змінною величиною.

Яку ж із двох змінних величин вибрати як залежну і яку як незалежну? Це питання вирішується по-різному залежно від мети. Якщо, наприклад, нас цікавить, чого призводить зміна тиску газу за постійної температурі, то природно дпилення прийняти незалежну, а обсяг - залежну Змінну величину. У цьому випадку залежна змінна величина V виражатиметься через незалежну величину р за формулою: V = c / p . Якщо ж ми хочемо з'ясувати наслідки стиснення газу, то краще об'єм розглядати як незалежну, а тиск як залежну змінну величину. Тоді залежна змінна величина р виражатиметься через незалежну змінну величину V за формулою р = c / V . У кожному з цих випадків дві величини пов'язані між собою так, що кожному можливе значенняодній із них відповідає цілком певне значення інший.

Якщо кожному значенню однієї змінної величини хбудь-яким чином поставлене у відповідність цілком певне значення іншої величини у, то кажуть, що задана функція.

Величину у при цьому називають залежноюзмінною величиною або функцією, а величину х - незалежноїзмінною величиною або аргументом.

Для вираження того, що у є функція аргументу х зазвичай використовують позначення: у = f (х ), у = g (x ) , у = φ (х ) і т. д. (читається: гравець дорівнює еф від ікс, ігрок так само від ікс, ігрок дорівнює фі від ікс і т. д.). Вибір літери для позначення функції ( f, g, φ ) є, звичайно, несуттєвим. Істотно лише те, який зв'язок між величинами х і у висловлює ця літера.

Значення, яке набуває функції f (х ) при х = а , позначається f (a ). Якщо, наприклад, f (х ) = x 2 + 1, то

f (1) = 1 2 + 1 = 2;

f (2) = 2 2 + 1 = 5;

f (a + 1) = (а + 1) 2 + 1 = а 2 + 2а + 2;

f (2а ) = (2а ) 2 + 1 = 4а 2 + 1

Вправи

1515. Газ, що перебуває під тиском 2 атмосфери, стискається. Як змінюється у своїй: а) вага газу; б) його обсяг; в) його тиск?

1516. По електричному ланцюзі тече струм. За допомогою реостату ми змінюємо опір ланцюга. Чи змінюється при цьому: а) струм у ланцюзі; б) напруга струму?

1517. Вершина В трикутника ABC рухається по колу, діаметр якого збігається з основою АС цього трикутника. Які величини в цьому процесі залишаються незмінними і які змінюються?

1518.

Знайти: а) f (0); б) f (а 2); в) f ( 1 / a ); г) f (sin а ).

1519. Виразити f (2а ) через f (а ) для функцій:

а) f (х ) = sin х ; б) f (х ) = tg х ;

З різноманітних способів поведінки змінних величин найбільш важливим є той, при якому змінна величина прагне до певної межі. У цьому випадку значення, що приймаються змінною величиною х, стають як завгодно близькими до деякого постійного числа a -межі цієї змінної величини. Кажуть, що змінна величина прагне, необмежено наближається до постійного числа а(Своєю межею). Дамо більш докладно відповідне визначення.

Змінна величина х прагне межі a (a -постійне число), якщо абсолютна величина різниці між х і а стає в процесі зміни змінної величини як завгодно малою.

Те саме визначення можна сказати і іншими словами.

Визначення.Постійне число а називаєтьсямежею змінної величиних, якщо - Абсолютна величина різниці між х і а стає в процесі зміни змінної величини х скільки завгодно малою.

Той факт, що число а, є межею змінної величини, що записується наступним чином:

( - перші літери слова limes - межа) або х-> a

Уточнимо, що слід розуміти під словами "величина стає як завгодно малою", що є у визначенні межі. Задамося довільним позитивним числом , тоді, якщо, починаючи з деякого моменту зміни змінної величини х,значення зробляться, і ставатимуть менше, ніж це .

Змінна величина прагне межі, якщо будь-якого позитивного. починаючи з деякого моменту у зміні змінної виконується нерівність .

Визначення межі має простий геометричний сенс: нерівність означає, що у -околиці точки , тобто. в інтервалі (рис. 26). Таким чином, визначення межі в геометричній формі: число є межею змінної величини, якщо для будь-якої (довільно малої)-околиці точки можна вказати такий момент у зміні змінної, починаючи з якого всі її значення
потрапляють у зазначену околицю точки a.

Необхідно уявляти процес наближення до межі в динаміці. Взяли деяку - околиця точки a; починаючи з деякого моменту у зміні , всі значення потрапляють у цю околицю. Тепер візьмемо тіснішу - околиця точки a; починаючи з деякого (більш віддаленого порівняно з першим) моменту у зміні , всі її значення потраплять у - околиця точки а і т.д. (Рис. 1).

Ввівши визначення межі змінної величини, ми постаралися його докладно обговорити та розшифрувати. Однак у цьому визначенні залишилася нерозкрита одна, дуже істотна, деталь; що слід розуміти під словами "починаючи з деякого моменту у зміні змінної величини"? Це зрозуміло тоді, коли процес зміни змінної протікає у часі: починаючи з певного моменту (часу). Але не завжди ми маємо справу зі змінними величинами, зміна яких протікає у часі. Як же бути у цих випадках? Вихід полягає в розшифровці цього місця в загальному визначенні межі змінної специфічним чином для кожного типу змінних величин: для послідовностей, для функцій і т.д.

Межа послідовності.Насамперед необхідно згадати визначення послідовності: якщо всі значення, що приймаються змінною величиною х, можна занумерувати допомогою всіляких натуральних чисел х) ,х 2 ,...х п,...,причому значення з великим номером приймається після значення з меншим номером, то кажуть, що змінна хпробігає послідовність значень х х,х 2 ,...х п...; або просто, що є послідовність (числова послідовність).

Визначення. Числовою послідовністю називається дійсна функція натурального аргументу, тобто функція, у якої = N іЕÌR.

Вона позначається символом , де , або коротше, . Число , що залежить від n, називається n – ним членом послідовності. Розставивши значення послідовності по порядку номерів, отримуємо, що послідовність можна ототожнити з рахунковим набором дійсних чисел, тобто.

Приклади:

а) Послідовність є постійною і складається з рівних чисел (одиниць): ;

б) . Для неї

г) .

Для послідовностей що міститься у загальному визначенні межі змінної висловлювання "починаючи з деякого моменту у зміні " повинно означати - "починаючи з деякого номера", оскільки члени з великими номерами слідують (за визначенням послідовності) за членом з меншим номером. Отже, ми отримуємо таке визначення межі послідовності:

Визначення. Числоа називається межеюпослідовності, якщо для будь-якого числа знайдеться число, що всі числа, у яких задовольняють нерівності.

Відповідне позначення

Нерівність можна також записувати як або . У цих записах наголошено, що величина х пстає як завгодно мало відрізняється від a,коли номер члена необмежено збільшується. Геометрично визначення межі послідовності означає таке: скільки завгодно малої -околиці числа азнайдеться такий номер N, що всі члени послідовності з більшими, ніж N, номерами потрапляють у цю околицю,поза околицями виявляється лише кінцеве число початкових членів послідовності (рис. 2). Це все або деякі члени .

x 1 x 2 x N +1 a x N +2 x N x 3

Число в нашому визначенні залежить від : N= N(). Як говорилося раніше, визначення межі слід розуміти у розвитку, у динаміці, у русі: якщо ми візьмемо інше, менше значення для , наприклад, то знайдеться, взагалі кажучи, інший номер N x > N,такий, що нерівність , виконується за всіх .

Записуватимемо визначення межі за допомогою логічних символів (кванторів). Визначення межі послідовності з допомогою кванторов виглядає так.

Змінні та постійні величини – це не зовсім просто

Шкільна математика завжди переконувала і продовжує переконувати нас у тому, що питання про змінні та постійні величини вирішується дуже просто. Змінними вважаються величини, які в умовах даного завдання можуть приймати різні значення. Постійними вважаються величини, які за даного завдання свої значення не змінюють.

При цьому додатково повідомляється, що розподіл величин на змінні та постійні досить умовний і залежить від обставин, що супроводжують процес вирішення задачі. Одна й та сама величина, яка в одних умовах вважалася постійною, в інших умовах повинна розглядатися як змінна. Класичний приклад: опір провідника вважається постійним, доки ми не виявляємося вимушеними враховувати залежність величини його опору від температури довкілля.

Але, як показує практика, всього вищезгаданого для коректного вирішення того чи іншого завдання буває недостатньо.

Що таке величина, кожному ясно інтуїтивно. Уточнимо це поняття.

У випадку змістом процесу вирішення завдання є перетворення величин. У цьому слід розуміти, що у філософському сенсі величина, що становить результат розв'язання завдання, вже міститься у її формулюванні у неявному вигляді. Потрібно лише правильно побудувати процес перетворення величин завдання, щоб цей результат уявити явно.

Визначення

Будемо називати величиною будь-який математичний об'єкт, який несе (або може нести) інформацію про те чи інше значення.

Форма уявлення величин то, можливо різною. Наприклад, величина з числовим значенням, рівним дійсної одиниці, може бути представлена ​​десятковою константою 1,0, функцією Cos(0), а також арифметичним виразом 25,0 – 15,0 – 9,0.

Значення величин можна міняти. Так, в результаті виконання дії x = 1,0 величина у формі змінної x є носієм значення дійсної одиниці. При цьому попереднє значення змінної х втрачається. Наведені приклади вже кілька інших позицій показують, що величини можуть бути змінними і постійними.

Визначення

Змінні величини мають тим властивістю, що їх значення можуть бути змінені в результаті виконання тих чи інших процесів. І це означає, що поняття "змінна величина" відображає можливість, але не факт зміни.

Постійною величиною (константою) слід вважати ту, значення якої, на відміну змінної, змінити принципово неможливо.

Наприклад, значення постійної величини у вигляді виразу 12+3 дорівнює 15 і змінити його не можна. У цьому необхідно фіксувати сенс знаків, з допомогою яких представляється величина. В іншому випадку, якщо вважати, наприклад, знаки цього виразу цифрами в системі числення з основою 5, тоді його значення виявиться рівним 10.

Визначення

Отже, в математичних текстах носіями значень, тобто величинами є змінні, константи, звернення до функцій (або просто функції), а також вирази.

Особливості змінних

Позначення, з якими зв'язуються певні значення, в математиці називають змінними (термін використовується як іменник).

Наприклад, значення змінної величини x+1 залежить від значення, пов'язаного із позначенням x. Тут позначення x використовується як змінна. Змінивши значення змінної x, тим самим змінимо і значення змінної величини x+1.

Таким чином, значення змінних величин залежать від значень змінних, що входять до їх складу. Відмінною властивістюзмінною є те, що конкретне її значення має бути просто приписано (призначено).

Математичний підхід, визначальний можливість обчислення значень змінних, у цьому контексті виявляється неправильним. У математиці можна обчислювати лише значення виразів.

Основна умова використання змінної в математичних текстах у вигляді таке: звернення до змінної досить вказати її позначення.

Особливості констант

У математичних текстах можуть бути використані два різновиди констант: константи-лексеми та іменовані константи.

До речі, програмісти мовами високого рівня, користуються цим цілком формальних (законних) підставах.

За допомогою констант-лексем значення постійних величин вказуються безпосередньо без виконання будь-яких операцій. Наприклад, для отримання значення постійної величини 12+3, яка є виразом, необхідно виконати додавання двох констант-лексем 12 та 3.

Визначення

Іменована константа є позначення, зіставлене конкретному значенню, зазначеному у вигляді константи-лексеми.

Такий прийом широко використовується в природничих наукахз міркувань зручності запису фізичних, хімічних, математичних та інших формул. Наприклад: g = 9,81523 – прискорення вільного падінняна широті Москви; π = 3,1415926 – число $π$.

Крім компактного запису висловлювань, іменовані константи забезпечують наочність і суттєві зручності у роботі з математичними текстами.

Свого значення названа константа набуває як результат попередньої домовленості.

Важлива якість будь-якої іменованої константи у тому, що її значення не рекомендується змінювати у межах деякого математичного тексту.

Вирази

Вирази є складовими частинамипереважної більшості математичних текстів. З допомогою виразів задають порядок обчислення нових значень виходячи з інших заздалегідь відомих значень.

У випадку у складі висловлювань використовують операнди, знаки операцій та регулюючі круглі (квадратні, фігурні) дужки.

Визначення

Операнди – це загальна назваоб'єктів, значення яких використовують під час виконання операцій. Операндами можуть бути змінні, константи та функції. До речі, цей термін дуже популярний серед програмістів. Фрагмент виразу, укладений у регулюючі дужки, сприймається як окремий складовий операнд.

Знак операції символізує цілком певну сукупність дій, які мають бути виконані над відповідними операндами. Регулюючі дужки встановлюють необхідний порядок виконання операцій, що може відрізнятися від передбаченого пріоритетом операцій.

Найпростішим випадком висловлювання є окремий операнд. У такому вираженні немає знаків операцій.

Операнд-функція має свої особливості. Як правило, такий операнд є найменуванням (або знаком) функції з наступним зазначенням у круглих дужках переліку її аргументів. У разі круглі дужки є невід'ємною приналежністю функцій і до регулюючим не ставляться. Зазначимо, що у багатьох випадках операндах-функціях обходяться без дужок (наприклад, 5! – обчислення факторіалу цілого числа 5).

Математичні операції

Основні особливості математичних операційтакі:

• знаки операцій можуть бути вказані за допомогою спеціальних символів, а також за допомогою обумовлених слів;
• операції можуть бути унарними (які виконуються над одним операндом) і бінарними (виконуваними над двома операндами);
• для операцій встановлені чотири рівні пріоритетів, що визначають порядок обчислення виразу.

Правила обчислення складного виразу, що містить ланцюжок операцій за відсутності регулюючих дужок, такі:

1. спочатку обчислюються значення всіх функцій;
2. потім по черзі виконуються операції у порядку зменшення їх пріоритету;
3. операції рівного пріоритету виконуються по порядку зліва направо.

За наявності регулюючих дужок вираз містить складові операнди, значення яких мають бути обчислені насамперед.

Деякі особливості запису математичних виразів:

• не рекомендується пропускати знаки операцій, хоча у часто можна пропустити знак множення;
• аргументи функцій бажано вказуватись у круглих дужках;
• вказівка ​​поспіль двох і більше знаків бінарних операцій є неприпустимим; формально допустиме використання кількох знаків унарних операцій поспіль, зокрема і разом із бінарною.

Прикладами змінних можуть бути: температура повітря, параметр функції та багато іншого.

Змінна характеризується лише безліччю значень, які може приймати . Змінну позначають символом, загальним кожному за її значень.

Змінні у математиці

В математиці змінноїможливо як реальна фізична величина , і якась абстрактна величина, яка відбиває процесів реального світу.

Декарт вважав значення змінних завжди неотрицательными, а негативні величини висловлював знаком «мінус» перед змінною. Якщо знак коефіцієнта був невідомий, Декарт ставив трьома крапками . Нідерландський математик Йоганн Худде вже в 1657 дозволив літерним змінним приймати значення будь-якого знака.

Змінні у програмуванні

У програмуванні змінна- це ідентифікатор, який визначає дані. Зазвичай це ім'я, яке приховує за собою область пам'яті, куди можуть розміщуватись дані, що зберігаються в іншій області пам'яті. Змінна може мати тип значень, які може приймати. У програмуванні, змінні, як правило, позначаються одним або декількома словами або символами, такими як «time», «x», «

Змінні та постійні величини

величини, які у досліджуваному питанні приймають різні значення чи, відповідно, зберігають те саме значення. Наприклад, щодо падіння тіла відстань останнього від землі і швидкість падіння - змінні величини, прискорення ж (якщо знехтувати опором повітря) - величина постійна. Елементарна математика розглядала всі вивчені величини як постійні. Поняття змінної величини виникло математиці в 17 в. під впливом запитів природознавства, що висунув першому плані вивчення руху - процесів, а чи не лише станів. Це поняття не вкладалося у форми, вироблені математикою давнини та середньовіччя, і вимагало для свого вираження нових форм. Такими новими формами з'явилися літерна алгебра та аналітична геометрія Р. Декарта. У літерах декартової алгебри, що можуть набувати довільних числових значень, і знайшли своє символічне вираз змінні величини. «Поворотним пунктом математики була Декартова змінна величина. Завдяки цьому в математику увійшли рух і тим самим діалектика і завдяки цьому стало негайно необхідним диференціальне та інтегральне числення...» (Енгельс Ф., див. Маркс К. і Енгельс Ф., Соч., 2 видавництва, т. 20 , С. 573). У цей час і до середини 19 в. переважають механічні погляди на змінні величини. Найбільш яскраво вони були виражені І. Ньютоном, який називав змінні величини «флюентами», тобто поточними, і що розглядав їх «... не як складаються з вкрай малих частин, але як описуються безперервним рухом» («Математичні роботи», М.М. , 1937, с.167). Ці погляди виявилися дуже плідними і, зокрема, дозволили Ньютону зовсім по-новому підійти до знаходження площ криволінійних постатей. Ньютон вперше став розглядати площу криволінійної трапеції. ABNMна Рис. ) не як постійну величину (обчислювану підсумовуванням складових її нескінченно малих частин), бо як змінну величину, вироблену рухом ординати кривої ( NM); встановивши, що швидкість зміни площі, що розглядається, пропорційна ординаті NM,він тим самим звів завдання обчислення площ до задачі визначення змінної величини відомої швидкостіїї зміни. Законність внесення до математики поняття швидкості було обґрунтовано на початку 19 ст. теорією Межа , яка дала точне визначення швидкості як похідної. Однак протягом 19 ст. поступово з'ясовується обмеженість описаного вище погляди на змінні величини. Математичний аналізвсе більше стає загальною теорією функцій, розвиток якої неможливий без точного аналізу сутності та обсягу її основних понять. При цьому виявляється, що вже поняття безперервної функції насправді значно складніше, ніж наочні уявлення, що привели до нього. Відкриваються безперервні функції, які мають похідної у жодній точці; розуміти таку функцію як наслідок руху означало б допускати рух, що не має швидкості в жодний момент. Дедалі більшого значення набуває вивчення розривних функцій, і навіть функцій, заданих на множинах значно складнішої структури, ніж інтервал чи об'єднання кількох інтервалів. Ньютонівське тлумачення змінної величини стає недостатнім, а часто і марним.

З іншого боку, математика починає розглядати як змінні як величини, а й дедалі різноманітніші й широкі класи інших своїх об'єктів. На цьому ґрунті у 2-й половині 19 ст. та у 20 ст. розвиваються теорія множин, топологія та математична логіка. Про те, наскільки розширилося у 20 ст. поняття змінної величини, свідчить те що, що у математичної логіці розглядаються як змінні, пробігають довільні безлічі предметів, а й змінні, значеннями яких є висловлювання, предикати (відносини між предметами) тощо. (Див. Змінна).

Велика Радянська Енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. 1969-1978 .

Дивитися що таке "Змінні та постійні величини" в інших словниках:

У математиці величини, які у досліджуваному питанні набувають різних значень або зберігають одне й те саме значення. Відмінність між змінною та постійною величинами щодо: величина, постійна у деякому питанні, може бути змінною у … Великий Енциклопедичний словник

- (матем.), величини, які у досліджуваному питанні приймають різні значення чи зберігають одне й те значення. Відмінність між змінною та постійною величинами щодо: величина, постійна у деякому питанні, може бути змінною у… Енциклопедичний словник

Див Константа, Змінна. Філософська енциклопедія. У 5 х т. М: Радянська енциклопедія. За редакцією Ф. У. Константинова. 1960 1970 … Філософська енциклопедія

- (матем.), величини, які в досліджуваному нопросс приймають разл. значення або зберігають одне й те саме значення. Відмінність між змінною та постійною величинами щодо: величина, постійна в деякому питанні, може бути змінною в іншому … Природознавство. Енциклопедичний словник

I Змінні зірки П. з. зірки, видимий блиск яких схильний до коливань. Багато П. з. є нестаціонарними зірками; змінність блиску таких зірок пов'язана зі зміною їхньої температури та радіусу, закінченням речовини, … Велика Радянська Енциклопедія

Див. Змінні та постійні величини, Константа. * * * ПОСТІЙНА ВЕЛИЧИНА ПОСТІЙНА ВЕЛИЧИНА, див. Енциклопедичний словник