Формула суми геометрії прогресії. Геометрична прогресія

Мета уроку: ознайомлення учнів з новим видом послідовності – нескінченно спадаючою геометричною прогресією.
Завдання:
формулювання початкового ставлення до межі числової послідовності;
знайомство з ще одним способом обігу нескінченних періодичних дробів у звичайні за допомогою формули суми нескінченно спадної геометричної прогресії;
розвиток інтелектуальних якостей особистості школярів такі, як логічне мислення, здатність до оцінних дій, узагальнення;
виховання активності, взаємодопомоги, колективізму, інтересу до предмета.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Урок на тему "Нескінченна спадна геометрична прогресія" (алгебра, 10кл.)

Мета уроку: ознайомлення учнів з новим видом послідовності – нескінченно спадаючою геометричною прогресією.

Завдання:

формулювання початкового ставлення до межі числової послідовності; знайомство з ще одним способом обігу нескінченних періодичних дробів у звичайні за допомогою формули суми нескінченно спадної геометричної прогресії;

розвиток інтелектуальних якостей особистості школярів такі, як логічне мислення, здатність до оцінних дій, узагальнення;

виховання активності, взаємодопомоги, колективізму, інтересу до предмета.

Обладнання: комп'ютерний клас, проектор, екран.

Тип уроку: урок – засвоєння нової теми.

Хід уроку

I. Орг. момент. Повідомлення теми та мети уроку.

ІІ. Актуалізація знань учнів.

У 9 класі ви вивчали арифметичну та геометричну прогресії.

Запитання

1. Визначення арифметичної прогресії.

(Арифметичною прогресією називається послідовність, кожен член якої,

Починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, складеному з тим самим числом).

2. Формула n -го члена арифметичної прогресії

3. Формула суми перших n членів арифметичної прогресії.

( або )

4. Визначення геометричної прогресії.

(Геометричною прогресією називається послідовність відмінних від нуля чисел,

Кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на

Одне й те число).

5. Формула n -го члена геометричної прогресії

6. Формула суми перших n членів геометричної прогресії.

7. Які формули ви знаєте?

(, Де ; ;

; , )

Завдання

1. Арифметична прогресія задана формулою a n = 7 - 4n. Знайдіть a 10 . (-33)

2. В арифметичній прогресії a 3 = 7 та a 5 = 1 . Знайдіть a4. (4)

3. В арифметичній прогресії a 3 = 7 та a 5 = 1 . Знайдіть a17. (-35)

4. В арифметичній прогресії a 3 = 7 та a 5 = 1 . Знайдіть S 17 . (-187)

5. Для геометричної прогресіїЗнайдіть п'ятий член.

6. Для геометричної прогресіїзнайдіть n-й член.

7. У геометричній прогресії b 3 = 8 та b 5 = 2 . Знайдіть b4. (4)

8. У геометричній прогресії b 3 = 8 та b 5 = 2 . Знайдіть b1 і q.

9. У геометричній прогресії b 3 = 8 та b 5 = 2 . Знайдіть S 5 . (62)

ІІІ. Вивчення нової теми(Демонстрація презентації).

Розглянемо квадрат зі стороною, що дорівнює 1. Намалюємо ще один квадрат, сторона якого дорівнює половині першого квадрата, потім ще один, сторона якого половина другого, потім наступний і т.д. Щоразу сторона нового квадрата дорівнює половині попереднього.

В результаті, ми отримали послідовність сторін квадратівутворюють геометричну прогресію зі знаменником.

І, що дуже важливо, чим більше ми будуватимемо таких квадратів, тим меншою буде сторона квадрата.Наприклад,

Тобто. зі зростанням номера n члени прогресії наближаються до нуля.

За допомогою цього малюнка можна розглянути ще одну послідовність.

Наприклад, послідовність площ квадратів:

І, знову, якщо n Необмежено зростає, то площа, як завгодно близько наближається до нуля.

Розглянемо ще один приклад. Рівносторонній трикутник зі стороною, що дорівнює 1см. Побудуємо наступний трикутник з вершинами в серединах сторін 1-го трикутника, за теоремою про середню лінію трикутника - сторона 2-го дорівнює половині сторони першого, сторона 3-го - половині сторони 2-го і т.д. Знову отримуємо послідовність довжин сторін трикутників.

При .

Якщо розглянути геометричну прогресію із негативним знаменником.

Те, знову, зі зростанням номера n члени прогресії наближаються до нуля.

Звернімо увагу на знаменники цих послідовностей. Скрізь знаменники були меншими за 1 за модулем.

Можна зробити висновок: геометрична прогресія буде нескінченно спадною, якщо модуль її знаменника менший за 1.

Фронтальна робота.

Визначення:

Геометрична прогресія називається нескінченно спадною, якщо модуль її знаменника менше одиниці..

За допомогою визначення можна вирішити питання про те, чи є геометрична прогресія нескінченно спадною чи ні.

Завдання

Чи є послідовність нескінченно спадаючою геометричною прогресією, якщо вона задана формулою:

Рішення:

Знайдемо q.

; ; ; .

дана геометрична прогресія є нескінченно спадною.

б) дана послідовність не є нескінченно спадною геометричною прогресією.

Розглянемо квадрат зі стороною, що дорівнює 1. Розділимо його навпіл, одну з половинок ще навпіл і т.д. площі всіх отриманих прямокутників при цьому утворюють нескінченно спадну геометричну прогресію:

Сума площ всіх отриманих таким чином прямокутників дорівнюватиме площі 1-го квадрата і дорівнює 1.

Але в лівій частині цієї рівності – сума нескінченного числа доданків.

Розглянемо суму n перших доданків.

За формулою суми n перших членів геометричної прогресії вона дорівнює.

Якщо n необмежено зростає, то

або . Тому, тобто. .

Сума нескінченно спадної геометричної прогресіїє межа послідовності S 1, S 2, S 3, …, S n, ….

Наприклад, для прогресії,

маємо

Так як

Суму нескінченно спадної геометричної прогресіїможна знаходити за формулою.

ІІІ. Осмислення та закріплення(виконання завдань).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. Підбиття підсумків.

З якою послідовністю сьогодні познайомились?

Дайте визначення нескінченно спадної геометричної прогресії.

Як довести, що геометрична прогресія є нескінченно спадною?

Назвіть формулу суми нескінченно спадної геометричної прогресії.

V. Домашнє завдання.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

Попередній перегляд:

Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Думати послідовно, судити доказово, спростовувати неправильні висновки має вміти кожен: фізик і поет, тракторист і хімік. Е.Кольман У математиці слід пам'ятати не формули, а процеси мислення. В.П.Ермаков Легше знайти квадратуру кола, ніж перехитрити математику. Огастес де Морган Яка наука може бути благородніша, чудовіша, корисніша для людства, ніж математика? Франклін

Безмежно спадна геометрична прогресія 10 клас

I. Арифметична та геометрична прогресії. Запитання 1. Визначення арифметичної прогресії. Арифметичною прогресією називається послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, складеному з тим самим числом. 2. Формула n-го члена арифметичної прогресії. 3. Формула суми перших n членів арифметичної прогресії. 4. Визначення геометричної прогресії. Геометричною прогресією називається послідовність відмінних від нуля чисел, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на те саме число 5. Формула n -го члена геометричної прогресії. 6. Формула суми перших n членів геометричної прогресії.

II. Арифметична прогресія. Арифметична прогресія задана формулою a n = 7 – 4 n Знайдіть a 10 . (-33) 2. В арифметичній прогресії a 3 = 7 та a 5 = 1 . Знайдіть a4. (4) 3. В арифметичній прогресії a 3 = 7 та a 5 = 1 . Знайдіть a17. (-35) 4. В арифметичній прогресії a 3 = 7 та a 5 = 1 . Знайдіть S 17 . (-187)

II. Геометрична прогресія. Завдання 5. Для геометричної прогресії знайдіть п'ятий член 6. Для геометричної прогресії знайдіть n-й член. 7. У геометричній прогресії b 3 = 8 та b 5 = 2 . Знайдіть b4. (4) 8. У геометричній прогресії b 3 = 8 та b 5 = 2 . Знайдіть b1 і q. 9. У геометричній прогресії b 3 = 8 та b 5 = 2 . Знайдіть S 5 . (62)

Визначення: Геометрична прогресія називається нескінченно спадною, якщо модуль її знаменника менше одиниці.

Завдання №1 Чи є послідовність нескінченно спадаючою геометричною прогресією, якщо вона задана формулою: Рішення: а) дана геометрична прогресія є нескінченно спадною. б) дана послідовність не є нескінченно спадною геометричною прогресією.

Сума нескінченно спадної геометричної прогресії є межа послідовності S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … . Наприклад, для прогресії маємо Так як Суму нескінченно спадної геометричної прогресії можна знаходити за формулою

Виконання завдань Знайти суму нескінченно спадної геометричної прогресії з першим членом 3, другим 0,3. 2. №13; №14; підручник, стор 138 3. №15 (1; 3); №16 (1; 3) № 18 (1; 3); 4. №19; №20.

З якою послідовністю сьогодні познайомились? Дайте визначення нескінченно спадної геометричної прогресії. Як довести, що геометрична прогресія є нескінченно спадною? Назвіть формулу суми нескінченно спадної геометричної прогресії. Запитання

Відомий польський математик Гуго Штейнгаус жартівливо стверджує, що є закон, який формулюється так: математик зробить це краще. А саме якщо доручити двом людям, один з яких математик, виконання будь-якої незнайомої їм роботи, то результат завжди буде наступним: математик зробить її краще. Гуго Штейнгаус 14.01.1887-25.02.1972

Це число називається знаменником геометричної прогресії, тобто кожен член відрізняється від попереднього в q разів. (Вважатимемо, що q ≠ 1, інакше все аж надто тривіально). Неважко бачити, що загальна формула n-го члена геометричної прогресії b n = b 1 q n - 1; члени з номерами b n та b m відрізняються у q n – m разів.

Вже у Стародавньому Єгипті знали як арифметичну, а й геометричну прогресію. Ось, наприклад, завдання з папірусу Райнда: «У семи осіб по сім котів; кожна кішка з'їдає по сім мишей, кожна миша з'їдає по сім колосків, з кожного колосу може зрости по сім заходів ячменю. Які великі числа цього ряду та їх сума?»

Рис. 1. Давньоєгипетська задача про геометричну прогресію

Це завдання багато разів з різними варіаціями повторювалося і в інших народів за інших часів. Наприклад, у написаній у XIII ст. «Книзі про абак» Леонардо Пізанського (Фібоначчі) є завдання, в якому фігурують 7 старих, що прямують до Риму (очевидно, паломниць), у кожної з яких 7 мулів, на кожному з яких по 7 мішків, у кожному з яких по 7 хлібів , у кожному з яких по 7 ножів, кожен з яких у 7 піхвах. У задачі питається, скільки всього предметів.

Сума перших членів n членів геометричної прогресії S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Цю формулу можна довести, наприклад: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 .

Додамо до S n число b 1 q n і отримаємо:

S n + b 1 qn = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 qn – 1 + b 1 qn = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 qn -1) q = b 1 + S nq.

Звідси S n (q – 1) = b 1 (q n – 1) і ми отримуємо необхідну формулу.

Вже на одній із глиняних табличок Стародавнього Вавилону, що відноситься до VI ст. до зв. е., міститься сума 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Правда, як і в інших випадках ми не знаємо, звідки цей факт був відомий вавилонянам.

Швидке зростання геометричної прогресії у низці культур, – зокрема, в індійській, – неодноразово використовують як наочний символ неоглядності світобудови. У відомій легенді про появу шахів владар надає їх винахіднику можливість самому вибрати нагороду, і той просить таку кількість пшеничних зерен, яку вдасться, якщо одне покласти на першу клітинку шахівниці, два – на другу, чотири – на третю, вісім – на четверту та т. д., щоразу число збільшується вдвічі. Владика думав, що йдеться, найбільше, про кілька мішок, але він прорахувався. Неважко бачити, що за всі 64 клітини шахівниці винахідник мав би отримати (2 64 – 1) зерно, що виражається 20-значним числом; навіть якщо засівати всю поверхню Землі, знадобилося б щонайменше 8 років, щоб зібрати необхідну кількість зерен. Цю легенду іноді інтерпретують як вказівку на практично необмежені можливості, приховані у шахівниці.

Те, що це число справді 20-значне, побачити неважко:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (точніший розрахунок дає 1,84∙10 19). А ось цікаво, чи зможете ви дізнатися, якою цифрою закінчується це число?

Геометрична прогресія буває зростаючою, якщо знаменник за модулем більше 1, або спадною, якщо він менше одиниці. В останньому випадку число q n за досить великих n може стати як завгодно малим. У той час як зростаюча геометрична прогресія зростає несподівано швидко, спадаюча так само швидко зменшується.

Чим більше n , тим слабкіше число q n відрізняється від нуля, і тим ближче сума n членів геометричної прогресії S n = b 1 (1 – q n ) / (1 – q ) до S = b 1 / (1 – q ) . (Так міркував, наприклад, Ф. Вієт). Число S називається сумою нескінченно спадної геометричної прогресії. Тим не менш, довгі століття питання про те, який сенс має підсумовування всієї геометричної прогресії, з її нескінченним числом членів, не був досить зрозумілий математикам.

Зменшуючу геометричну прогресію можна бачити, наприклад, в апоріях Зенона «Поділ навпіл» та «Ахіллес і черепаха». У першому випадку наочно показується, що вся дорога (припустимо, довжини 1) є сумою нескінченного числа відрізків 1/2, 1/4, 1/8 і т. д. Так воно, звичайно, є з точки зору уявлень про кінцеву суму нескінченної геометричної прогресії. І все ж таки – як таке може бути?

Рис. 2. Прогресія з коефіцієнтом 1/2

У апорії для Ахіллеса ситуація трохи складніша, тому що тут знаменник прогресії дорівнює не 1/2, а якомусь іншому числу. Нехай, наприклад, Ахіллес біжить зі швидкістю v, черепаха рухається зі швидкістю u, а початкова відстань між ними дорівнює l. Ця відстань Ахіллес пробіжить за час l/v, черепаха за цей час зрушить на відстань lu/v. Коли Ахіллес пробіжить і цей відрізок, дистанція між ним і черепахою стане рівною l (u /v ) 2 і т. д. Виходить, що наздогнати черепаху - значить знайти суму нескінченно спадної геометричної прогресії з першим членом l і знаменником u /v . Ця сума – відрізок, який у результаті пробіжить Ахілес до місця зустрічі з черепахою – дорівнює l/(1 – u/v) = lv/(v – u). Але, знову-таки, як треба інтерпретувати цей результат і чому він взагалі має якийсь сенс, довгий час було не дуже зрозумілим.

Рис. 3. Геометрична прогресія з коефіцієнтом 2/3

Суму геометричної прогресії використав Архімед щодо площі сегмента параболи. Нехай даний сегмент параболи відмежований хордою AB і нехай у точці D параболи дотична паралельна AB. Нехай C – середина AB, E – середина AC, F – середина CB. Проведемо прямі, паралельні DC через точки A , E , F , B ; нехай дотичну, проведену в точці D, ці прямі перетинають у точках K, L, M, N. Проведемо також відрізки AD і DB. Нехай пряма EL перетинає пряму AD у точці G, а параболу у точці H; пряма FM перетинає пряму DB у точці Q, а параболу у точці R. Відповідно до загальної теорії конічних перерізів, DC – діаметр параболи (тобто відрізок, паралельний її осі); він і дотична в точці D можуть бути осями координат x і y , в яких рівняння параболи записується як y 2 = 2px (x - відстань від D до будь-якої точки даного діаметра, y - довжина паралельного даної дотичної відрізка від цієї точки діаметра до деякої точки на самій параболі).

Через рівняння параболи, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , а оскільки DK = 2DL , то KA = 4LH . Оскільки KA = 2LG, LH = HG. Площа сегмента ADB параболи дорівнює площі трикутника ADB і площам сегментів AHD і DRB, разом узятих. У свою чергу, площа сегмента AHD аналогічним чином дорівнює площі трикутника AHD і сегментів AH і HD, що залишилися, з кожним з яких можна провести ту ж операцію – розбити на трикутник (Δ) і два залишилися сегменти (), і т. д.:

Площа трикутника ΔAHD дорівнює половині площі трикутника ΔALD (у них загальна основа AD , а висоти відрізняються в 2 рази), яка, у свою чергу, дорівнює половині площі трикутника ΔAKD , а отже, і половині площі трикутника ΔACD . Таким чином, площа трикутника AHD дорівнює чверті площі трикутника ACD . Аналогічно площа трикутника ΔDRB дорівнює чверті площі трикутника ΔDFB . Отже, площі трикутників AHD і DRB, разом узяті, рівні чверті площі трикутника ADB. Повторення цієї операції у застосуванні до сегментів AH , HD , DR і RB виділить і з них трикутники, площа яких, разом узятих, буде в 4 рази менше, ніж площа трикутників AHD і DRB , разом узятих, а значить, в 16 разів менше, ніж площі трикутника ADB . І так далі:

Таким чином, Архімед довів, що «будь-який сегмент, укладений між прямою і параболою, становить чотири третини трикутника, що має з ним одну і ту ж основу і рівну висоту».

Геометрична прогресіяне менш важлива у математиці порівняно з арифметичною. Геометричною прогресією називають таку послідовність чисел b1, b2,..., b[n] кожен наступний член якої виходить множенням попереднього на постійне число. Це число, яке також характеризує швидкість зростання або спадання прогресії називають знаменником геометричної прогресіїі позначають

Для повного завдання геометричної прогресії, крім знаменника, необхідно знати або визначити перший її член. Для позитивного значення знаменника прогресія є монотонною послідовністю, причому якщо ця послідовність чисел є монотонно спадною і при монотонно зростаючою. Випадок, коли знаменник дорівнює одиниці на практиці не розглядається, оскільки маємо послідовність однакових чисел, а їхнє підсумовування не викликає практичного інтересу

Загальний член геометричної прогресіїобчислюють за формулою

Сума n перших членів геометричної прогресіївизначають за формулою

Розглянемо розв'язання класичних задач на геометричну прогресію. Почнемо для розуміння з найпростіших.

Приклад 1. Перший член геометричної прогресії дорівнює 27 а її знаменник дорівнює 1/3. Знайти шість перших членів геометричної прогресії.

Рішення: Запишемо умову завдання у вигляді

Для обчислень використовуємо формулу n-го члена геометричної прогресії

На її основі знаходимо невідомі члени прогресії

Як можна переконатися, обчислення членів геометричної прогресії нескладні. Сама прогресія буде виглядати так

Приклад 2. Дано три перших члени геометричної прогресії: 6; -12; 24. Знайти знаменник та сьомий її член.

Рішення: Обчислюємо знаменник геомітричної прогресії, виходячи з його визначення

Отримали знакозмінну геометричну прогресію знаменник якої дорівнює -2. Сьомий член обчислюємо за формулою

На цьому завдання вирішено.

Приклад 3. Геометрична прогресія задана двома членами . Знайти десятий член прогресії.

Рішення:

Запишемо задані значення через формули

За правилами потрібно було знайти знаменник, та був шукати потрібне значення, але для десятого члена маємо

Таку ж формулу можна отримати на основі нехитрих маніпуляцій із вхідними даними. Розділимо шостий член ряду на інший, в результаті отримаємо

Якщо отримане значення помножити на шостий член, отримаємо десятий

Таким чином, для подібних завдань за допомогою нескладних перетворень у швидкий спосіб можна знайти правильне рішення.

Приклад 4. Геометрична прогресія задано рекурентними формулами

Знайти знаменник геометричної прогресії та суму перших шести членів.

Рішення:

Запишемо задані дані у вигляді системи рівнянь

Виразимо знаменник розділивши друге рівняння на перше

Знайдемо перший член прогресії з першого рівняння

Обчислимо наступні п'ять членів для знаходження суми геометричної прогресії

Розглянемо певний ряд.

7 28 112 448 1792...

Цілком ясно видно, що значення будь-якого його елемента більше попереднього рівно вчетверо. Отже, цей ряд є прогресією.

Геометричною прогресією називається нескінченна послідовність чисел, головною особливістю якої є те, що наступне число виходить з попереднього за допомогою множення на якесь певне число. Це виявляється такою формулою.

a z +1 =a z ·q де z - номер обраного елемента.

Відповідно, z ∈ N.

Період, коли у школі вивчається геометрична прогресія – 9 клас. Приклади допоможуть розібратися у понятті:

0.25 0.125 0.0625...

Виходячи з цієї формули, знаменник прогресії можна знайти таким чином:

Ні q, ні b z не можуть дорівнювати нулю. Так само кожен із елементів прогресії не повинен дорівнювати нулю.

Відповідно, щоб дізнатися таку кількість ряду, потрібно помножити останнє на q.

Щоб задати цю прогресію, необхідно вказати її перший елемент і знаменник. Після цього можливе перебування будь-якого з наступних членів та їх суми.

Різновиди

Залежно від q і a 1 дана прогресія поділяється на кілька видів:

• Якщо і a 1 і q більше одиниці, то така послідовність - зростаюча з кожним наступним елементом геометрична прогресія. Приклад такий представлений далі.

Приклад: a 1 =3, q=2 - обидва параметри більше одиниці.

Тоді числова послідовність може бути записана так:

3 6 12 24 48 ...

• Якщо |q| менше одиниці, тобто, множення на нього еквівалентне поділу, то прогресія з подібними умовами – спадна геометрична прогресія. Приклад такий представлений далі.

Приклад: a 1 =6, q=1/3 - a 1 більше одиниці, q - менше.

Тоді числову послідовність можна записати таким чином:

6 2 2/3 ... - будь-який елемент більший за елемент, що йде за ним, у 3 рази.

• Знакозмінна. Якщо q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Приклад: a 1 = -3, q = -2 - обидва параметри менше нуля.

Тоді числову послідовність можна записати так:

3, 6, -12, 24,...

Формули

Для зручного використання геометричних прогресій існує безліч формул:

• Формула z-го члена. Дозволяє розрахувати елемент, що стоїть під конкретним номером, без розрахунку попередніх чисел.

Приклад:q = 3, a 1 = 4. Потрібно порахувати четвертий елемент прогресії.

Рішення:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Сума перших елементів, чия кількість дорівнює z. Дозволяє розрахувати суму всіх елементів послідовності доa zвключно.

Оскільки (1-q) стоїть у знаменнику, то (1 - q)≠ 0, отже, q не дорівнює 1.

Зауваження: якби q=1, то прогресія являла собою ряд з нескінченно повторюваного числа.

Сума геометричної прогресії, приклади:a 1 = 2, q= -2. Порахувати S 5 .

Рішення:S 5 = 22 – розрахунок за формулою.

• Сума, якщо |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Приклад:a 1 = 2 , q= 0.5. Знайти суму.

Рішення:S z = 2 · = 4

S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Деякі властивості:

• Характеристична властивість. Якщо наступна умова виконується для будь-когоz, то заданий числовий ряд - геометрична прогресія:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Так само квадрат будь-якого числа геометричної прогресії знаходиться за допомогою додавання квадратів двох інших будь-яких чисел у заданому ряду, якщо вони рівновіддалені від цього елемента.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , деt- Відстань між цими числами.

• Елементирозрізняються в qразів.
• Логарифми елементів прогресії так само утворюють прогресію, але вже арифметичну, тобто кожен з них більший за попередній на певне число.

Приклади деяких класичних завдань

Щоб краще зрозуміти, що таке геометрична прогресія, приклади із рішенням для 9 класу можуть допомогти.

• Умови:a 1 = 3, a 3 = 48. Знайтиq.

Рішення: кожен наступний елемент більший за попередній вq разів.Необхідно висловити одні елементи за допомогою знаменника.

Отже,a 3 = q 2 · a 1

При підстановціq= 4

• Умови:a 2 = 6, a 3 = 12. Розрахувати S6.

Рішення:Для цього достатньо знайти q перший елемент і підставити в формулу.

a 3 = q· a 2 , отже,q= 2

a 2 = q · a 1 ,тому a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Знайти четвертий елемент прогресії.

Рішення: для цього достатньо виразити четвертий елемент через перший і знаменник.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Приклад застосування:

• Клієнт банку зробив внесок на суму 10000 рублів, за умовами якого щороку клієнту до основної суми будуть додаватися 6% від неї. Скільки коштів буде на рахунку за 4 роки?

Рішення: Початкова сума дорівнює 10 тисяч рублів. Отже, через рік після вкладення на рахунку буде сума, що дорівнює 10000+10000 · 0.06 = 10000 · 1.06

Відповідно, сума на рахунку ще через один рік виражатиметься таким чином:

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

Тобто з кожним роком сума збільшується у 1.06 разів. Отже, щоб знайти кількість коштів на рахунку через 4 роки, достатньо знайти четвертий елемент прогресії, яка задана першим елементом, що дорівнює 10 тисячам, і знаменником, що дорівнює 1.06.

S = 1.06 · 1.06 · 1.06 · 1.06 · 10000 = 12625

Приклади завдань на обчислення суми:

У різних завданнях використається геометрична прогресія. Приклад перебування суми може бути заданий так:

a 1 = 4, q= 2, розрахуватиS 5.

Рішення: всі необхідні для розрахунку дані відомі, потрібно просто підставити їх у формулу.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Розрахувати суму перших шести елементів.

Рішення:

У геом. прогресії кожен наступний елемент більший за попередній у q разів, тобто для обчислення суми необхідно знати елементa 1 і знаменникq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Аналогічно потрібно знайтиa 1 знаючиa 2 іq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Розглянемо тепер питання сумування нескінченної геометричної прогресії. Назвемо частковою сумою цієї нескінченної прогресії суму її перших членів. Позначимо часткову суму символом

Для кожної нескінченної прогресії

можна скласти (також нескінченну) послідовність її часткових сум

Нехай послідовність при необмеженому зростанні має межу

І тут число S, т. е. межа часткових сум прогресії, називають сумою нескінченної прогресії. Ми доведемо, що нескінченна спадна геометрична прогресія завжди має суму, і виведемо формулу для цієї суми (можна також показати, що при нескінченна прогресія не має суми, не існує).

Запишемо вираз часткової суми як суми членів прогресії за формулою (91.1) і розглядатимемо межу часткової суми при

З теореми п. 89 відомо, що для спадної прогресії; тому, застосовуючи теорему про межу різниці, знайдемо

(Тут також використано правило: постійний множник виноситься за знак межі). Існування доведено, і одночасно отримано формулу суми нескінченно спадної геометричної прогресії:

Рівність (92.1) можна також писати як

Тут може здаватися парадоксальним, що сумі нескінченної множини доданків приписується цілком певне кінцеве значення.

Можна навести наочну ілюстрацію до пояснення такого положення. Розглянемо квадрат із стороною, яка дорівнює одиниці (рис. 72). Розділимо цей квадрат горизонтальною лінією на дві рівні частини та верхню частину прикладемо до нижньої так, щоб утворився прямокутник зі сторонами 2 та . Після цього праву половину цього прямокутника знову розділимо горизонтальною лінією навпіл і верхню частину прикладемо до нижньої (як показано на рис. 72). Продовжуючи цей процес, ми весь час перетворимо вихідний квадрат з площею, що дорівнює 1, в рівновеликі фігури (що приймають вигляд сходів з сходами, що потоншуються).

При нескінченному продовженні цього процесу вся площа квадрата розкладається в нескінченну кількість доданків - площ прямокутників з основами, рівними 1, і висотами Площі прямокутників утворюють при цьому нескінченну спадаючу прогресію її сума

тобто, як і слід очікувати, дорівнює площі квадрата.

приклад. Знайти суми наступних нескінченних прогресій:

Рішення, а) Зауважуємо, що у цієї прогресії Тому за формулою (92.2) знаходимо

б) Тут означає, за тією самою формулою (92.2) маємо

в) Знаходимо, що ця прогресія Тому дана прогресія немає суми.

У п. 5 було показано застосування формули суми членів нескінченно спадної прогресії до обігу періодичного десяткового дробу у звичайний дріб.

Вправи

1. Сума нескінченно спадної геометричної прогресії дорівнює 3/5, а сума її перших чотирьох членів дорівнює 13/27. Знайти перший член та знаменник прогресії.

2. Знайти чотири числа, що утворюють знакочередующуюся геометричну прогресію, у якої другий член менше першого на 35, а третій більше четвертого на 560.

3. Показати, що якщо послідовність

утворює нескінченно спадну геометричну прогресію, то й послідовність

при будь-якому утворює нескінченно спадаючу геометричну прогресію. Чи збережеться це твердження при

Вивести формулу добутку членів геометричної прогресії.