Ступені з раціональним та ірраціональним показником приклади. Ступінь числа: визначення, позначення, приклади

У цій статті ми розберемося, що таке степінь числа. Тут ми дамо визначення ступеня числа, у своїй докладно розглянемо все можливі показники ступеня, починаючи з натурального показника, закінчуючи ірраціональним. У матеріалі Ви знайдете масу прикладів ступенів, що покривають всі тонкощі, що виникають.

Навігація на сторінці.

Ступінь з натуральним показником, квадрат числа, куб числа

Для початку дамо. Забігаючи вперед, скажемо, що визначення ступеня числа a з натуральним показником n дається для a яке називатимемо підставою ступеня, і n , яке називатимемо показником ступеня. Також відзначимо, що ступінь з натуральним показником визначається через твір, так що для розуміння нижченаведеного матеріалу потрібно мати уявлення про множення чисел.

Визначення.

Ступінь числа a з натуральним показником n- це вираз виду a n, значення якого дорівнює добутку n множників, кожен з яких дорівнює a, тобто.
Зокрема, ступенем числа a з показником 1 називається саме число a тобто, a 1 =a .

Відразу варто сказати про правила читання ступенів. Універсальний спосібчитання запису a n такий: «a ступенем n ». У деяких випадках також допустимі такі варіанти: «a в n-му ступені» і «n-а ступінь числа a». Для прикладу візьмемо ступінь 8 12 , це «вісім у дванадцять ступеня», або «вісім у дванадцятому ступені», або «дванадцятий ступінь восьми».

Другий ступінь числа, а також третій ступінь числа мають назви. Другий ступінь числа називають квадратом числа, наприклад, 7 2 читається як "сім у квадраті" або "квадрат числа сім". Третій ступінь числа називається кубом числа, Наприклад, 5 3 можна прочитати як "п'ять у кубі" або сказати "куб числа 5".

Настав час привести приклади ступенів із натуральними показниками. Почнемо зі ступеня 5 7 тут 5 - основа ступеня, а 7 - показник ступеня. Наведемо ще приклад: 4,32 є основою, а натуральне число 9 – показник ступеня (4,32) 9 .

Зверніть увагу, що в останньому прикладі основа ступеня 4,32 записана в дужках: щоб уникнути різночитань, ми будемо брати в дужки всі основи ступеня, які відмінні від натуральних чисел. Як приклад наведемо такі ступеня з натуральними показниками , їх підстави є натуральними числами, тому вони записані в дужках. Ну і для повної ясності в цьому моменті покажемо різницю, що міститься в записах виду (−2) 3 та −2 3 . Вираз (−2) 3 – це ступінь −2 з натуральним показником 3, а вираз −2 3 (його можна записати як −(2 3) ) відповідає числу, значенню ступеня 2 3 .

Зауважимо, що є позначення ступеня числа a з показником n виду a^n . У цьому, якщо n – багатозначне натуральне число, то показник ступеня береться у дужки. Наприклад, 4^9 – це інший запис ступеня 49. А ще приклади запису ступенів за допомогою символу «^ »: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Надалі ми будемо переважно користуватися позначенням ступеня виду a n .

Однією із завдань, зворотній зведенню в ступінь з натуральним показником, є завдання знаходження основи ступеня відомому значеннюступеня та відомого показника. Це завдання призводить до .

Відомо, що безліч раціональних чисел складається з цілих і дрібних чисел, причому кожне дробове числоможе бути представлено у вигляді позитивної або негативної звичайного дробу. Ступінь з цілим показником ми визначили в попередньому пункті, тому щоб закінчити визначення ступеня з раціональним показником, Треба надати сенс ступеня числа a з дробовим показником m/n, де m - ціле число, а n - натуральне. Зробимо це.

Розглянемо ступінь із дробовим показником виду. Щоб зберігати силу властивість ступеня, повинна виконуватися рівність . Якщо врахувати отриману рівність і те, як ми визначили , то логічно прийняти за умови, що з даних m , n і a вираз має сенс.

Неважко перевірити, що при справедливі всі характеристики ступеня з цілим показником (це зроблено в розділі якості ступеня з оптимальним показником).

Наведені міркування дозволяють зробити наступний висновок: якщо за даних m , n і a вираз має сенс, то ступенем числа a з дробовим показником m/n називають корінь n -ого ступеня з a ступенем m .

Це твердження впритул підводить нас до визначення ступеня з дрібним показником. Залишається лише розписати, за яких m, n і a має сенс вираз. Залежно від обмежень, що накладаються на m, n та a існують два основні підходи.

Найпростіше накласти обмеження на a , прийнявши a≥0 для позитивних m і a>0 для негативних m (оскільки при m≤0 ступінь 0 m не визначений). Тоді ми отримуємо наступне визначення ступеня з дрібним показником.

Визначення.

Ступенем позитивного числа a з дробовим показником m/n, де m – ціле, а n – натуральне число, називається корінь n-ої у складі a ступеня m , тобто, .

Також визначається дробовий ступінь нуля з тим лише застереженням, що показник має бути позитивним.

Визначення.

Ступінь нуля з дрібним позитивним показником m/n, де m – ціле позитивне, а n – натуральне число, визначається як .
При ступінь не визначається, тобто ступінь числа нуль з дробовим негативним показником не має сенсу.

Слід зазначити, що за такому визначенні ступеня з дробовим показником існує один нюанс: при деяких негативних a і деяких m і n вираз має сенс, а ми відкинули ці випадки, запровадивши умову a≥0 . Наприклад, мають сенс запису або , а дане вище визначення змушує нас говорити, що ступеня з дробовим показником виду немає сенсу, оскільки основа має бути негативним.

Інший підхід до визначення ступеня з дробовим показником m/n полягає в роздільному розгляді парних та непарних показниках кореня. Цей підхід вимагає додаткової умови: ступінь числа a , показником якого є , вважається ступенем числа a , показником якого є відповідний нескоротний дріб (важливість цієї умови пояснимо трохи нижче). Тобто, якщо m/n – нескоротний дріб, то будь-якого натурального числа k ступінь попередньо замінюється на .

При парних n і позитивних m вираз має сенс за будь-якого неотрицательному a (корінь парного ступеня з негативного числа немає сенсу), при негативних m число a має бути ще відмінним від нуля (інакше буде розподіл на нуль). А при непарних n і позитивних m число a може бути будь-яким (корінь непарного ступеня визначено для будь-якого дійсного числа), а при негативних m число a має бути відмінним від нуля (щоб не було поділу на нуль).

Наведені міркування призводять нас до такого визначення ступеня з дрібним показником.

Визначення.

Нехай m/n – нескоротний дріб, m – ціле, а n – натуральне число. Для будь-якого скоротливого звичайного дробу ступінь замінюється на . Ступінь числа a з нескоротним дробовим показником m/n – це для



Пояснимо, навіщо ступінь із скороченим дробовим показником попередньо замінюється ступенем із нескоротним показником. Якби ми просто визначили ступінь як , і не обмовилися про нескоротність дробу m/n , то ми зіткнулися б з ситуаціями, подібними до наступної: оскільки 6/10=3/5 , то має виконуватися рівність , але , А .

Відеоурок «Ступінь з раціональним показником» містить наочний навчальний матеріалдля ведення уроку з цієї теми. У відеоуроці міститься інформація про поняття ступеня з раціональним показником, властивості таких ступенів, а також приклади, що описують застосування навчального матеріалу для вирішення практичних завдань. Завдання даного відеоуроку - наочно та зрозуміло уявити навчальний матеріал, полегшити його освоєння та запам'ятовування учнями, формувати вміння вирішувати завдання з використанням вивчених понять.

Основні переваги відеоуроку - можливість проводити наочно перетворення та обчислення, можливість використання анімаційних ефектів для покращення ефективності навчання. Голосове супроводження допомагає розвивати правильну математичну мову, і навіть дає можливість замінити пояснення вчителя, звільняючи його щодо індивідуальної роботи.

Відеоурок починається з представлення теми. Зв'язуючи вивчення нової темиз раніше вивченим матеріалом, пропонується згадати, що n √aінакше позначається a 1/n для натурального n і позитивного a. Дане уявлення кореня n-ступеня відображається на екрані. Далі пропонується розглянути, що означає вираз a m/n , у якому a - позитивне число, а m/n - певний дріб. Дається виділене в рамці визначення ступеня з раціональним показником a m/n = n √a m . При цьому зазначено, що n може бути натуральним числом, а m цілим.

Після визначення ступеня з раціональним показником її значення розкривається на прикладах: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . Також демонструється приклад, в якому ступінь, представлений десятковим дробом, перетворюється на звичайний дріб, щоб бути представленим у вигляді кореня: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 і приклад з негативним значеннямступеня: 3 -1/8 = 8√3 -1 .

Окремо вказується особливість окремого випадку, коли основа ступеня - нуль. Відзначено, що цей ступінь має сенс лише з позитивним дробовим показником. І тут її значення дорівнює нулю: 0 m/n =0.

Відзначено ще одну особливість ступеня з раціональним показником - те, що ступінь із дробовим показником не може розглядатися з дробовим показником. Наведено приклади некоректного запису ступеня: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Далі у відеоуроці розглядаються властивості ступеня із раціональним показником. Помічено, що властивості ступеня з цілим показником будуть справедливі і для ступеня з раціональним показником. Пропонується згадати перелік властивостей, які також справедливі у цьому випадку:

1. При множенні ступенів однаковими підставамиїх показники складаються: a p a q = p +q .
2. Розподіл ступенів з однаковими основами зводиться до ступеня з цією основою та різницею показників ступенів: a p:a q =a p-q .
3. Якщо звести ступінь у деякий ступінь, то в результаті отримуємо ступінь з цією основою та добутком показників: (a p) q = a pq.

Всі ці властивості справедливі для ступенів з раціональними показниками p, q та позитивною основою a>0. Також вірними залишаються перетворення ступеня при розкритті дужок:

1. (ab) p = a p b p - зведення на деякий ступінь з раціональним показником добутку двох чисел зводиться до добутку чисел, кожне з яких зведено на цей ступінь.
2. (a/b) p =a p /b p - зведення у ступінь з раціональним показником дробу зводиться до дробу, чисельник і знаменник якого зведено на цей ступінь.

У відеоуроці розглядається рішення прикладів, у яких використовуються розглянуті властивості степенів із раціональним показником. У першому прикладі пропонується знайти значення виразу, в якому містяться змінні х в дрібному ступені: (х 1/6 -8) 2 -16х 1/6 (х -1/6 -1). Незважаючи на складність вираження, із застосуванням властивостей ступенів воно вирішується досить просто. Рішення завдання починається зі спрощення висловлювання, у якому використовується правило зведення ступеня з раціональним показником у ступінь, а також перемноження ступенів з однаковою основою. Після підстановки заданого значення х=8 у спрощене вираження х 1/3+48 легко отримати значення - 50.

У другому прикладі потрібно скоротити дріб, чисельник і знаменник якого міститиме ступеня з раціональним показником. Використовуючи властивості ступеня, виділяємо з різниці множник х 1/3, який потім скорочується в чисельнику та знаменнику, а використовуючи формулу різниці квадратів, на множники розкладається чисельник, що дає ще скорочення однакових множників у чисельнику та знаменнику. Підсумком таких перетворень стає короткий дріб х 1/4+3.

Відеоурок «Ступінь із раціональним показником» може бути використаний замість пояснення вчителем нової теми уроку. Також цей посібник містить досить повну інформацію для самостійного вивченняучнем. Матеріал може бути корисним і при дистанційному навчанні.

МБОУ «Сидорська

загальноосвітня школа»

Розробка плану-конспекту відкритого уроку

з алгебри в 11 класі на тему:

Підготувала та провела

вчитель з математики

Ісхакова Є.Ф.

План-конспект відкритого уроку з алгебри у 11 класі.

Тема : «Ступінь з раціональним показником»

Тип уроку : Вивчення нового матеріалу

Цілі уроку:

Познайомити учнів із поняттям ступеня з раціональним показником та її основними властивостями, на основі раніше вивченого матеріалу (ступінь із цілим показником).

Розвивати обчислювальні навички та вміння перетворювати та порівнювати числа з раціональним показником ступеня.

Виховувати математичну грамотність та математичний інтерес у учнів.

Обладнання : Картки-завдання, презентація учениці за рівнем з цілим показником, презентація вчителя за рівнем з раціональним показником, ноутбук, мультимедійний проектор, екран.

Хід уроку:

Організаційний момент.

Перевірка засвоєння пройденої теми за індивідуальними картками-завданнями.

Завдання №1.

=2;

Б) = х + 5;

Вирішіть систему ірраціональних рівнянь: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Завдання №2.

Розв'яжіть ірраціональне рівняння: = - 3;

Б) = х – 2;

Розв'яжіть систему ірраціональних рівнянь: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

Повідомлення теми та цілей уроку.

Тема нашого сьогоднішнього уроку « Ступінь із раціональним показником».

Пояснення нового матеріалу з прикладу вивченого раніше.

Вам вже знайоме поняття ступеня із цілим показником. Хто мені допоможе їх згадати?

Повторення за допомогою презентації « Ступінь із цілим показником».

Для будь-яких чисел a, b і будь-яких цілих чисел m і n справедливі рівність:

a m * a n = a m+n;

a m: a n = m-n (a ≠ 0);

(a m) n = a mn;

(a b) n = a n * b n;

(a/b) n = a n / b n (b ≠ 0);

a 1 = a; a 0 = 1(a ≠ 0)

Сьогодні ми узагальним поняття ступеня числа і надамо сенс виразам, що мають дрібний показник ступеня. Введемо визначенняступеня з раціональним показником (Презентація «Ступінь з раціональним показником»):

Ступенем числа а > 0 з раціональним показником r = , де m - ціле число, а n - Натуральне ( n > 1), називається число m .

Отже, за визначенням отримуємо, що = m .

Давайте спробуємо застосувати це визначення під час виконання завдання.

ПРИКЛАД №1

I Подайте у вигляді кореня у складі вираз:

А) Б) В) .

А тепер давайте спробуємо застосувати це визначення навпаки

II Подайте вираз у вигляді ступеня з раціональним показником:

А) 2 Б) В) 5 .

Ступінь числа 0 визначено лише позитивних показників.

0 r= 0 для будь-якого r> 0.

Використовуючи це визначення, вдомави виконаєте №428 та №429.

Покажемо тепер, що з сформульованому вище визначенні ступеня з раціональним показником зберігаються основні властивості ступенів, правильні будь-яких показників.

Для будь-яких раціональних чисел r і s та будь-яких позитивних a і b справедливі рівність:

1 0 . a r a s =a r+s ;

ПРИКЛАД: *

2 0 . a r: a s = a r-s;

ПРИКЛАД: :

3 0 . (a r ) s = a rs ;

ПРИКЛАД: ( -2/3

4 0 . ( ab) r = a r b r ; 5 0 . ( = .

ПРИКЛАД: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

ПРИКЛАД на застосування відразу кількох властивостей: * : .

Фізкультхвилинка.

Поклали авторучки на парту, спинки випрямили, а тепер тягнемося вперед, хочемо доторкнутися до дошки. А тепер підняли і нахиляємось вправо, вліво, вперед, назад. Ручки мені показали, а тепер покажіть, як уміють танцювати ваші пальчики.

Робота над матеріалом

Відзначимо ще дві властивості ступенів з раціональними показниками:

6 0 . Нехай r – раціональне число та 0< a < b . Тогда

a r < b rпри r> 0,

a r < b rпри r< 0.

7 0 . Для будь-яких раціональних чиселrі sз нерівності r> sвипливає, що

a r> а rпри а> 1,

a r < а rпри 0< а < 1.

ПРИКЛАД: Порівняйте числа:

І ; 2 300 та 3 200 .

Підсумки уроку:

Сьогодні на уроці ми згадали властивості ступеня з цілим показником, дізналися визначення та основні властивості ступеня з раціональним показником, розглянули застосування цього теоретичного матеріалупрактично під час виконання вправ. Хочу звернути вашу увагу на те, що тема «Ступінь з раціональним показником» є обов'язковою завданнях ЄДІ. Під час підготовки домашнього завдання (№428 та №429

Після того як визначено ступінь числа, логічно поговорити про властивості ступеня. У цій статті ми дамо основні властивості ступеня числа, при цьому торкнемося всіх можливих показників ступеня. Тут же наведемо докази всіх властивостей ступеня, а також покажемо, як застосовуються ці властивості при вирішенні прикладів.

Навігація на сторінці.

Властивості ступенів із натуральними показниками

За визначенням ступеня з натуральним показником ступінь a n є твір n множників, кожен з яких дорівнює a . Відштовхуючись від цього визначення, а також використовуючи властивості множення дійсних чисел, можна отримати та обґрунтувати наступні властивості ступеня з натуральним показником:

1. основна властивість ступеня a m · a n = a m + n, його узагальнення;
2. властивість приватного ступенів з однаковими основами a m:a n =a m−n ;
3. властивість ступеня твору (a b) n = a n b n, його розширення;
4. властивість частки в натуральному ступені (a:b) n =a n:b n ;
5. зведення ступеня до ступеня (a m) n =a m·n , його узагальнення (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·...·n k;
6. порівняння ступеня з нулем:
   • якщо a>0, то an>0 для будь-якого натурального n;
   • якщо a = 0, то a n = 0;
   • якщо a<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 , якщо a<0 и показатель степени есть непарне число 2·m−1 , то a 2·m−1<0 ;
7. якщо a та b – позитивні числа та a
8. якщо m і n такі натуральні числа, Що m>n, то при 0 0 справедлива нерівність a m >a n .

Відразу зауважимо, що всі записані рівності є тотожнимиза дотримання зазначених умов, та його праві і ліві частини можна поміняти місцями. Наприклад, основна властивість дробу a m ·a n =a m+n при спрощення виразівчасто застосовується як a m+n =a m ·a n .

Тепер розглянемо кожне з них докладно.

Почнемо з якості твору двох ступенів з однаковими основами, яке називають основною властивістю ступеня: для будь-якого дійсного числа a та будь-яких натуральних чисел m і n справедлива рівність a m ·a n =a m+n .

Доведемо основну властивість ступеня. За визначенням ступеня з натуральним показником добуток ступенів з однаковими основами виду a m · a n можна записати як добуток. В силу властивостей множення отриманий вираз можна записати як , а це твір є ступінь числа a з натуральним показником m+n, тобто, a m+n. У цьому доказ завершено.

Наведемо приклад, що підтверджує основну властивість ступеня. Візьмемо ступеня з однаковими основами 2 і натуральними ступенями 2 і 3 за основною властивістю ступеня можна записати рівність 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Перевіримо його справедливість, для чого обчислимо значення виразів 2223 і 25. Виконуючи зведення на ступінь , маємо 2 2 · 2 3 = (2 · 2) · (2 ​​· 2 · 2) = 4 · 8 = 32і 2 5 =2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 , так як виходять рівні значення, то рівність 2 2 · 2 3 = 2 5 - правильне, і воно підтверджує основну властивість ступеня.

Основна властивість ступеня на основі властивостей множення можна узагальнити на твір трьох та більшої кількості ступенів з однаковими основами та натуральними показниками. Так для будь-якої кількості k натуральних чисел n 1 , n 2 , …, n k справедлива рівність a n 1 ·a n 2 ·...·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Наприклад, (2,1) 3 · (2,1) 3 · (2,1) 4 · (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Можна переходити до наступної якості степенів з натуральним показником – властивості приватного ступеня з однаковими підставами: для будь-якого відмінного від нуля дійсного числа a і довільних натуральних чисел m і n, що задовольняють умові m>n, справедлива рівність a m:a n =a m−n .

Перш ніж навести доказ цієї властивості, обговоримо сенс додаткових умов у формулюванні. Умова a≠0 потрібна у тому, щоб уникнути розподілу на нуль, оскільки 0 n =0 , а при знайомстві з розподілом ми домовилися, що у нуль ділити не можна. Умова m>n вводиться для того, щоб ми не виходили за межі натуральних показників ступеня. Дійсно, при m>n показник ступеня a m−n є натуральним числом, інакше він буде або нулем (що відбувається за m−n ), або негативним числом (що відбувається за m

Доведення. Основна властивість дробу дозволяє записати рівність a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. З отриманої рівності a m−n ·a n =a m і з випливає, що a m−n є приватним ступенем a m і a n . Цим доведено властивість приватного ступеня з однаковими підставами.

Наведемо приклад. Візьмемо два ступені з однаковими основами π і натуральними показниками 5 і 2, розглянутій властивості ступеня відповідає рівність π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 .

Тепер розглянемо властивість ступеня твору: натуральний ступінь n добутку двох будь-яких дійсних чисел a і b дорівнює добутку ступенів a n і b n , тобто (a b) n = a n b n .

Дійсно, за визначенням ступеня з натуральним показником маємо . Останній твір на підставі властивостей множення можна переписати як що дорівнює a n · b n .

Наведемо приклад: .

Ця властивість поширюється на ступінь добутку трьох і більшої кількості множників. Тобто властивість натурального ступеня n твору k множників записується як (a 1 · a 2 · ... · a k) n = a 1 n · a 2 n · ... · a k n.

Для наочності покажемо цю властивість з прикладу. Для добутку трьох множників у ступені 7 маємо.

Наступна властивість є властивість приватного в натуральному ступені: приватне дійсних чисел a і b , b≠0 в натуральному ступені n дорівнює приватному степенів a n і b n , тобто, (a:b) n =a n:b n .

Доказ можна провести, використовуючи попередню властивість. Так (a:b) n · b n = ((a: b) · b) n = a n, А з рівності (a:b) n · b n = a n слід, що (a: b) n є приватним від розподілу a n на b n .

Запишемо цю властивість на прикладі конкретних чисел: .

Тепер озвучимо властивість зведення ступеня до ступеня: для будь-якого дійсного числа a та будь-яких натуральних чисел m і n ступінь a m у ступені n дорівнює ступеню числа a з показником m·n , тобто (a m) n =a m·n .

Наприклад, (5 2) 3 = 5 2 · 3 = 5 6 .

Доказом якості ступеня є такий ланцюжок рівностей: .

Розглянуту властивість можна поширити на ступінь ступеня ступеня і т.д. Наприклад, для будь-яких натуральних чисел p , q , r і s справедлива рівність . Для більшої ясності наведемо приклад із конкретними числами: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Залишилося зупинитися на властивостях порівняння ступенів із натуральним показником.

Почнемо з доказу якості порівняння нуля і ступеня з натуральним показником.

Для початку обґрунтуємо, що a n >0 за будь-якого a>0 .

Добуток двох позитивних чисел є позитивним числом, що випливає з визначення множення. Цей факт та властивості множення дозволяють стверджувати, що результат множення будь-якої кількості позитивних чисел також буде позитивним числом. А ступінь числа a з натуральним показником n за визначенням є добутком n множників, кожен із яких дорівнює a . Ці міркування дозволяють стверджувати, що з будь-якого позитивного підстави a ступінь a n є позитивне число. З огляду на доведеного властивості 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 і .

Досить очевидно, що з будь-якого натурального n при a=0 ступінь a n є нуль. Справді, 0 n =0 · 0 · ... · 0 = 0 . Наприклад, 0 3 = 0 і 0762 = 0 .

Переходимо до негативних підстав ступеня.

Почнемо з випадку, коли показник ступеня є парним числом, позначимо його як 2m, де m - натуральне. Тоді . По кожен із творів виду a·a дорівнює добутку модулів чисел a та a , отже, є позитивним числом. Отже, позитивним буде і твір і ступінь a 2·m. Наведемо приклади: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 та .

Нарешті, коли основа ступеня є негативним числом, а показник ступеня є непарне число 2·m−1 , то . Всі твори a · a є позитивними числами, добуток цих позитивних чисел також позитивно, а його множення на негативне число, що залишилося a дає в результаті негативне число. В силу цієї властивості (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Переходимо до властивості порівняння ступенів з однаковими натуральними показниками, яке має наступне формулювання: з двох ступенів з однаковими натуральними показниками n менше та, основа якої менша, а більша за та, основа якої більша. Доведемо його.

Нерівність a n властивостей нерівностейсправедлива і доведена нерівність виду a n (2,2) 7 та .

Залишилося довести останню з перерахованих властивостей ступенів із натуральними показниками. Сформулюємо його. З двох ступенів з натуральними показниками та однаковими позитивними основами, меншими одиниці, більший той ступінь, показник якого менший; а з двох ступенів з натуральними показниками та однаковими основами, більшими одиниці, більший той ступінь, показник якого більший. Переходимо до підтвердження цієї якості.

Доведемо, що за m>n і 0 0 в силу вихідної умови m>n, звідки випливає, що при 0

Залишилося довести другу частину якості. Доведемо, що за m>n і a>1 справедливо a m >a n . Різниця a m −a n після винесення a n за дужки набуває вигляду a n ·(a m−n −1) . Це твір позитивно, тому що при a>1 ступінь a n є позитивне число, і різниця a m−n −1 є позитивне число, тому що m−n>0 через початкову умову, і при a>1 ступінь a m−n більше одиниці . Отже, a m −a n >0 і a m >a n , що потрібно було довести. Ілюстрацією цієї властивості є нерівність 3 7 >3 2 .

Властивості ступенів із цілими показниками

Так як цілі позитивні числа є натуральними числами, то всі властивості ступенів з цілими позитивними показниками точно збігаються з властивостями ступенів з натуральними показниками, перерахованими і доведеними в попередньому пункті.

Ступінь із цілим негативним показником, а також ступінь з нульовим показником ми визначали так, щоб залишалися справедливими всі властивості ступенів з натуральними показниками, що виражаються рівностями. Тому всі ці властивості справедливі і для нульових показників ступеня, і для негативних показників, при цьому, звичайно, підстави ступенів відмінні від нуля.

Отже, для будь-яких дійсних і відмінних від нуля чисел a і b, а також будь-яких цілих чисел m і n справедливі такі властивості ступенів із цілими показниками:

1. a m · a n = a m+n;
2. a m:a n =a m−n;
3. (a b) n = a n b n ;
4. (a:b) n = n:b n ;
5. (a m) n = a m · n;
6. якщо n – ціле позитивне число, a та b – позитивні числа, причому a b −n;
7. якщо m і n - цілі числа, причому m>n, то при 0 1 виконується нерівність a m >a n .

При a=0 ступеня a m і a n мають сенс коли і m , і n позитивні цілі числа, тобто, натуральні числа. Отже, щойно записані властивості також справедливі випадків, коли a=0 , а числа m і n – цілі позитивні.

Довести кожну з цих властивостей нескладно, для цього достатньо використовувати визначення ступеня з натуральним і цілим показником, а також властивості дій з дійсними числами. Наприклад доведемо, що властивість ступеня ступеня виконується як цілих позитивних чисел, так цілих непозитивних чисел. Для цього потрібно показати, що якщо p є нуль або натуральне число і q є нуль або натуральне число, то справедливі рівності (a p) q =a pq, (a −p) q =a (−p)q, (a p ) −q =a p·(−q) і (a −p) −q =a (−p)·(−q). Зробимо це.

Для позитивних p і q рівність (a p) q =a p·q доведено у попередньому пункті. Якщо p = 0, то маємо (a 0) q = 1 q = 1 і a 0 · q = a 0 = 1, звідки (a 0) q = a 0 · q. Аналогічно, якщо q = 0, то (a p) 0 = 1 і a p · 0 = a 0 = 1, звідки (a p) 0 = a p · 0 . Якщо і p=0 і q=0 , то (a 0) 0 =1 0 =1 і a 0·0 =a 0 =1 , звідки (a 0) 0 =a 0·0 .

Тепер доведемо, що (a −p) q =a (−p)·q . За визначенням ступеня з цілим негативним показником, тоді . За якістю приватної у ступеня маємо . Оскільки 1 p =1·1·…·1=1 і , то . Останнє вираз за визначенням є ступенем виду a −(p·q) , який з правил множення можна записати як a (−p)·q .

Аналогічно .

І .

За таким же принципом можна довести решту ступеня з цілим показником, записані у вигляді рівностей.

У передостанньому із записаних властивостей варто зупинитися на доказі нерівності a −n >b −n , яка справедлива для будь-якого цілого негативного −n та будь-яких позитивних a та b , для яких виконується умова a . Оскільки за умовою a 0 . Добуток a n · b n також позитивно як добуток позитивних чисел a n і b n . Тоді отриманий дріб позитивний як приватний позитивних чисел b n -a n і a n · b n . Отже, звідки a −n >b −n , що потрібно було довести.

Остання властивість ступенів із цілими показниками доводиться так само, як аналогічна властивість ступенів із натуральними показниками.

Властивості ступенів із раціональними показниками

Ступінь з дробовим показником ми визначали, поширюючи її у властивості ступеня з цілим показником. Іншими словами, ступеня з дробовими показниками мають ті ж властивості, що й ступеня з цілими показниками. А саме:

Доказ властивостей ступенів з дробовими показниками базується на визначенні ступеня з дробовим показником, на властивостях ступеня з цілим показником. Наведемо докази.

За визначенням ступеня з дробовим показником і , тоді . Властивості арифметичного кореня дозволяють нам записати наступні рівністі. Далі, використовуючи властивість ступеня з цілим показником, отримуємо , звідки за визначенням ступеня з дробовим показником маємо , А показник отриманого ступеня можна перетворити так: . У цьому доказ завершено.

Абсолютно аналогічно доводиться друга властивість ступенів із дробовими показниками:

За подібними принципами доводяться та інші рівності:

Переходимо до підтвердження наступного властивості. Доведемо, що для будь-яких позитивних a і b, a b p. Запишемо раціональне число p як m/n, де m – ціле число, а n – натуральне. Умовам p<0 и p>0 у цьому випадку будуть еквівалентні умови m<0 и m>0 відповідно. При m>0 та a

Аналогічно, при m<0 имеем a m >b m , звідки , тобто, і a p > b p .

Залишилося довести останню з перерахованих властивостей. Доведемо, що раціональних чисел p і q , p>q при 0 0 - нерівність a p > a q. Ми завжди можемо привести до спільного знаменника раціональні числа p і q, нехай при цьому ми отримаємо прості дроби і де m 1 і m 2 - цілі числа, а n - натуральне. При цьому умові p>q відповідатиме умова m 1 >m 2 , що випливає з . Тоді за властивістю порівняння ступенів з однаковими основами та натуральними показниками при 0 1 – нерівність a m 1 >a m 2 . Ці нерівності за властивостями коренів можна переписати відповідно як і . А визначення ступеня з раціональним показником дозволяє перейти до нерівностей та відповідно. Звідси робимо остаточний висновок: при p>q і 0 0 - нерівність a p > a q.

Властивості ступенів із ірраціональними показниками

З того, як визначається ступінь з ірраціональним показником, можна зробити висновок, що вона має всі властивості ступенів з раціональними показниками. Так для будь-яких a>0, b>0 і ірраціональних чисел p і q справедливі наступні властивості ступенів з ірраціональними показниками:

1. a p · a q = a p + q;
2. a p: a q = a p-q;
3. (a b) p = a p b ;
4. (a:b) p = a p: b p;
5. (a p) q = a p · q;
6. для будь-яких позитивних чисел a і b, a 0 справедлива нерівність a p b p;
7. для ірраціональних чисел p і q p при 0 0 - нерівність a p > a q.

Звідси можна зробити висновок, що ступеня з будь-якими дійсними показниками p і q при a>0 мають ті ж властивості.

Список літератури.

• Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. МатематикаЖ підручник для 5 кл. загальноосвітніх установ.
• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 7 кл. загальноосвітніх установ.
• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх установ.
• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 9 кл. загальноосвітніх установ.
• Колмогоров А.М., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін Алгебра та початку аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
• Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).

Ступінь із раціональним показником

Хасянова Т.Г.

викладач математики

Представлений матеріал буде корисний викладачам математики щодо теми «Ступінь з раціональним показником».

Мета представленого матеріалу: розкриття мого досвіду проведення заняття на тему «Ступінь з раціональним показником» робочої програмидисципліни "Математика".

Методика проведення заняття відповідає його типу - урок вивчення та первинного закріплення нових знань. Було проведено актуалізацію опорних знань та умінь на базі раніше отриманого досвіду; первинне запам'ятовування, закріплення та застосування нових відомостей. Закріплення та застосування нового матеріалу проходило у вигляді вирішення апробованих мною завдань різної складності, що дають позитивний результатзасвоєння теми.

На початку заняття мною було поставлено перед учнями такі мети: освітня, розвиваюча, виховна. На занятті мною застосовувалися різні способидіяльності: фронтальна, індивідуальна, парна, самостійна, тестова. Завдання були диференційовані і дозволяли виявляти, кожному етапі уроку, ступінь засвоєння знань. Об'єм та складність завдань відповідає віковим особливостямучнів. З мого досвіду – домашнє завдання, аналогічне завданням, вирішеним у навчальному кабінеті, дозволяє надійно закріпити отримані знання та вміння. Наприкінці уроку було проведено рефлексію та оцінено роботи окремих учнів.

Цілей було досягнуто. Учні вивчили поняття та властивості ступеня з раціональним показником, навчилися використовувати ці властивості під час вирішення практичних завдань. За самостійну роботуоцінки оголошуються наступному уроці.

Вважаю, що методика проведення занять з математики, що застосовується мною, може бути застосована викладачами математики.

Тема заняття: Ступінь з раціональним показником

Мета уроку:

Виявлення рівня оволодіння учнями комплексом знань та умінь та на його основі застосування певних рішень щодо вдосконалення навчального процесу.

Завдання уроку:

Навчальні:формувати нові знання в учнів основних понять, правил, законів на визначення ступеня з раціональним показником, уміння самостійно застосовувати знання у стандартних умовах, у змінених та нестандартних умовах;

розвиваючі:логічно мислити та реалізовувати творчі здібності;

що виховують:формувати інтерес до математики, поповнити лексичний запас новими термінами, отримати додаткову інформаціюпро навколишній світ. Виховувати терпіння, посидючість, здатність долати труднощі.

Організаційний момент

Актуалізація опорних знань

При множенні ступенів з однаковими основами показники складаються, а основа залишається такою:

Наприклад,

2. При розподілі ступенів з однаковими підставами показники ступенів віднімаються, а підстава залишається такою:

Наприклад,

3. При зведенні ступеня в ступінь показники ступенів перемножуються, а основа залишається такою:

Наприклад,

4. Ступінь твору дорівнює твору ступенів множників:

Наприклад,

5. Ступінь приватного дорівнює приватному ступеню діленого н дільника:

Наприклад,

Вправи із рішеннями

Знайти значення виразу:

Рішення:

В даному випадку в явній формі жодна з властивостей ступеня з натуральним показником не можна застосувати, тому що всі ступеня мають різні підстави. Запишемо деякі ступені в іншому вигляді:

(ступінь добутку дорівнює добутку ступенів множників);

(при множенні ступенів з однаковими основами показники складаються, а основа залишається незмінною, при зведенні ступеня в ступінь показники степенів перемножуються, а основа залишається незмінною).

Тоді отримаємо:

В даному прикладібули використані перші чотири властивості ступеня із натуральним показником.

Арифметичний квадратний корінь
- це невід'ємне число, квадрат якого дорівнюєa,
. При
- Вираз
не визначено, т.к. немає такого дійсного числа, квадрат якого дорівнює негативному числуa.

Математичний диктант(8-10 хв.)

варіант

ІІ. варіант

1.Знайти значення виразу

а)

б)

1.Знайти значення виразу

а)

б)

2.Обчислити

а)

б)

В)

2.Обчислити

а)

б)

в)

Самоперевірка(На зворотній дошці):

Матриця відповідей:

№ варіанти/завдання

Завдання 1

Завдання 2

Варіант 1

а) 2

б) 2

а) 0,5

б)

в)

Варіант 2

а) 1,5

б)

а)

б)

в 4

II. Формування нових знань

Розглянемо, який сенс має вираз, де - додатне число– дробове число та m-ціле,n-натуральне (n›1)

Визначення: ступенем числа a 0 з раціональним показникомr = , m-ціле, n-натуральне ( n›1)називається число.

Отже:

Наприклад:

Зауваження:

1. Для будь-якого позитивно a та будь-якого раціонального r число позитивно.

2. При
раціональний ступінь числаaне визначається.

Такі висловлювання як
немає сенсу.

3.Якщо дробове позитивне число те,
.

Якщо дробове негативне число, то -не має сенсу.

Наприклад: - не має сенсу.

Розглянемо властивості ступеня із раціональним показником.

Нехай a >0, >0; r, s - будь-які раціональні числа. Тоді ступінь з будь-яким раціональним показником має такі властивості:

1.
2.
3.
4.
5.

III. Закріплення. Формування нових умінь та навичок.

Картки завдання робота в малих групах у формі тесту.

Рекомендуємо також

• Імпульсний блок живлення: ремонт та доробка
• Дистанційне керування світлом
• Навчання плавання дітей дошкільного віку
• Нотатки для майстра - домашні побутові сигналізатори
• Годинник пропелер на Atmega8
• Пристрій та приклади застосування реле, як вибрати та правильно підключити реле Мікроконтролер та реле найпростіші схеми включення