І золотий перетин. Золотий переріз - математика - сакральна геометрія - наука - каталог статей - троянда світу

Кожна людина, що стикається з геометрією об'єктів у просторі, добре знайома з методом золотого перетину. Його застосовують у мистецтві, дизайні інтер'єрів та архітектурі. Ще в минулому столітті золотий перетин виявився таким популярним, що тепер багато прихильників містичного бачення світу дали йому іншу назву – універсальне гармонійне правило. Особливості цього методу варто розглянути докладніше. Це допоможе дізнатися, чому він користується інтересом одразу в кількох сферах діяльності – мистецтві, архітектурі, дизайні.

Суть універсальної пропорції

Принцип золотого перерізу є лише залежністю чисел. Проте багато хто ставиться до нього упереджено, приписуючи цьому явищу якісь містичні сили. Причина у незвичайних властивостях правила:

• Багато живих об'єктів мають пропорції тулуба і кінцівок, наближеними до показань золотого перетину.
• Залежності 1,62 чи 0,63 визначають відносини розмірів лише живих істот. Об'єкти, які стосуються неживої природи, дуже рідко відповідають значенню гармонійного правила.
• Золоті пропорції будови тулуба живих істот є невід'ємною умовою виживання багатьох біологічних видів.

Золотий переріз можна знайти у будові тіл різних тварин, стовбурів дерев та коріння чагарників. Прибічники універсальності цього принципу намагаються довести, що його значення є життєво важливими для представників живого світу.

Можна пояснити метод золотого перерізу, використовуючи образ курячого яйця. Відношення відрізків від точок шкаралупи, однаково віддалених від центру тяжкості, дорівнює показнику золотого перерізу. Найважливішим для виживання птахів показником яйця є його форма, а чи не міцність шкаралупи.

Важливо! Золотий переріз розрахований на основі вимірів множини живих об'єктів.

Походження золотого перетину

Про універсальне правило було відомо ще математикам Стародавню Грецію. Її використовував Піфагор та Евклід. У відомому архітектурному шедеврі - піраміді Хеопса відношення розмірів основної частини та довжини сторін, а також барельєфів та декоративних деталей відповідають гармонійному правилу.

Метод золотого перетину взяли на озброєння як архітектори, а й художники. Таємниця гармонійної пропорції вважалася однією з найбільших загадок.

Першим, що документально запевнив універсальну геометричну пропорцію, був монах-францисканець Лука Пачолі. Його здібності до математики були блискучі. Широке визнання золотий переріз отримав після публікації результатів досліджень золотого перетину Цейзингу. Він вивчав пропорції тіла людини, давні пам'ятки скульптури, рослини.

Як розрахували золотий перетин

Розібратися, що таке золотий переріз, допоможе пояснення, що ґрунтується на довжинах відрізків. Наприклад, усередині великого є кілька маленьких. Тоді довжини невеликих відрізків відносяться до загальної довжини великого відрізка як 0,62. Таке визначення допомагає розібратися, наскільки частин можна розділити певну лінію, щоб відповідала гармонійному правилу. Ще один плюс використання цього методу – можна дізнатися, яким має бути відношення найбільшого відрізка до довжини всього об'єкта. Це співвідношення дорівнює 1,62.

Такі дані можна уявити, як пропорції вимірюваних об'єктів. Спочатку їх вишукували, підбираючи досвідченим шляхом. Однак тепер точні співвідношення відомі, тому побудувати об'єкт відповідно до них не складе труднощів. Золотий переріз знаходять такими шляхами:

• Побудувати прямокутний трикутник. Розбити одну з його сторін, а потім провести перпендикуляри із січними дугами. При проведенні обчислень слід від одного кінця відрізка побудувати перпендикуляр, що дорівнює ½ його довжини. Потім добудовують прямокутний трикутник. Якщо відзначити точку на гіпотенузі, яка покаже довжину перпендикулярного відрізка, то радіус, що дорівнює частині лінії, що залишилася, розсіче основу на дві половини. Лінії, що виходять, будуть співвідноситися один з одним згідно з золотим перерізом.
• Універсальні геометричні значення набувають і іншим способом - вибудовуючи пентаграму Дюрера. Вона є зіркою, яка вміщена в коло. У ній знаходиться 4 відрізки, довжини яких відповідають правилу золотого перерізу.
• В архітектурі гармонійна пропорція застосовується у модифікованому вигляді. Для цього прямокутний трикутник слід розбивати з гіпотенузи.

Важливо! Якщо порівнювати з класичним поняттям методу золотого перерізу, то версія для архітекторів має співвідношення 44:56.

Якщо в традиційному тлумаченні гармонійного правила для графіки його розраховували як 37:63, то для архітектурних споруд частіше використовували 44:56. Це зумовлено необхідністю споруджувати висотні споруди.

Секрет золотого перерізу

Якщо у випадку з живими об'єктами золотий переріз, що проявляється в пропорціях тіла людей і тварин можна пояснити необхідністю пристосовуватися до середовища, то використання правил оптимальних пропорцій в 12 столітті для будівництва будинків було в новинку.

Парфенон, що зберігся з часів Стародавньої Греції, був зведений методом золотого перерізу. Безліч замків вельмож середньовіччя створювали з параметрами, що відповідають гармонійному правилу.

Золотий перетин в архітектурі

Багато будівель старовини, які збереглися досі, служать підтвердженням того, що архітектори з епохи середньовіччя були знайомі з гармонійним правилом. Дуже добре помітне прагнення дотриматися гармонійної пропорції при спорудженні церков, значних громадських будівель, резиденцій королівських осіб.

Наприклад, собор Паризької Богоматері зведений таким чином, що багато його ділянок співвідноситься з правилом золотого перетину. Можна знайти чимало творів архітектури 18 століття, які були побудовані відповідно до цього правила. Правило застосовували і багато російських архітекторів. Серед них був і М. Козаков, який створював проекти садиб та житлових будівель. Він проектував будівлю сенату та Голіцинську лікарню.

Звичайно, будинки з таким ставленням елементів зводили і до відкриття правила золотого перетину. Наприклад, до таких будівель належить церква Покрови на Нерлі. Краса будівлі набуває ще більшої загадковості, якщо врахувати, що будівлю покровської церкви було зведено у XVIII столітті. Проте сучасний вигляд споруда набула після реставрації.

У працях про золотому перетині згадується, що у архітектурі сприйняття об'єктів залежить від цього, хто спостерігає. Пропорції, утворені з допомогою золотого перерізу, дають максимально спокійне співвідношення елементів будівлі щодо друг друга.

Яскравим представником із низки будівель, відповідних універсальному правилу, є пам'ятка архітектури Парфенон, зведений ще п'ятому столітті до зв. е. Парфенон влаштований з вісьма колонами за меншими фасадами і з сімнадцятьма - за великими. Храм зведений із благородного мармуру. Завдяки цьому використання розмальовки обмежене. Висота будівлі належить до його довжини 0,618. Якщо розділити Парфенон за пропорціями золотого перерізу, вийдуть певні виступи фасаду.

Всі ці споруди мають одну подібність - гармонійність поєднання форм та відмінну якість будівництва. Це пояснюється використанням гармонійного правила.

Важливість золотого перерізу для людини

Архітектура стародавніх будівель та середньовічних будинків досить цікава і для дизайнерів сучасності. Це пояснюється такими причинами:

• Завдяки оригінальному оформленню будинків можна не допустити штампів, що набридли. Кожна така будівля є архітектурним шедевром.
• Масове застосування правила для прикраси скульптур та статуй.
• Завдяки дотриманню гармонійних пропорцій погляд притягується до найважливіших деталей.

Важливо! При створенні проекту будівництва та створення зовнішнього вигляду архітектори середньовіччя застосовували універсальні пропорції, спираючись на закономірності людського сприйняття.

Сьогодні психологи дійшли висновку, що принцип золотого перерізу — ніщо інше, як людська реакція на певне співвідношення розмірів та форм. В одному експерименті групі піддослідних запропонували зігнути паперовий лист таким чином, щоб сторони вийшли з оптимальними пропорціями. У 85 результатах зі 100 люди згинали лист практично у точній відповідності до гармонійного правила.

Як стверджують сучасні вчені, показники золотого перетину ставляться скоріше до сфери психології, ніж характеризують закономірності фізичного світу. Це пояснює, чому до нього проявляється такий інтерес із боку містифікаторів. Однак при побудові об'єктів відповідно до цього правила людина сприймає їх більш комфортно.

Використання золотого перерізу у дизайні

Принципи використання універсальної пропорції все частіше використовують у будівництві приватних будинків. Особлива увага приділяється дотриманню оптимальних пропорцій конструкції. Чимало уваги приділяють правильному розподілу уваги всередині будинку.

Сучасна інтерпретація золотого перерізу вже не належить лише до правил геометрії та форми. Сьогодні принципу гармонійних пропорцій підпорядковуються як розміри деталей фасаду, площа кімнат чи довжини фронтонів, а й колірна палітра, використовувана під час створення інтер'єру.

Спорудити гармонійну будову на модульній основі набагато простіше. Багато відділень і приміщення у разі виконуються як окремі блоки. Вони проектуються у суворій відповідності до гармонійного правила. Звести будинок як набір окремих модулів, значно простіше, ніж створювати єдину коробку.

Багато фірм, що займаються спорудженням заміських будинків, при створенні проекту дотримуються гармонійного правила. Це дозволяє створити в клієнтів враження, що конструкція будівлі детально опрацьована. Такі будинки зазвичай описують, як найбільш гармонійні та комфортні у використанні. За оптимального вибору площ кімнат мешканці психологічно відчувають заспокоєння.

Якщо будинок зведений без урахування гармонійних пропорцій, можна створити планування, яке за співвідношенням розмірів стін наближено до показника 1:1,61. Для цього в кімнатах встановлюють додаткові перегородки або переставляють предмети меблів.

Аналогічно змінюють габарити дверей і вікон таким чином, щоб проріз мав ширину, показник якої менший за значення висоти в 1,61 раза.

Складніше підбирати колірні рішення. У цьому випадку можна дотримуватися спрощеного значення золотого перерізу - 2/3. Основним колірним тлом слід зайняти 60% простору кімнати. Відтінок відтінок займає 30% приміщення. Площа поверхонь, що залишилася, зафарбовується близькими один до одного тонами, що посилюють сприйняття обраного кольору.

Внутрішні стіни кімнат ділять горизонтальною смугою. Її розташовують за 70 см від підлоги. Висота меблів повинна бути у гармонійному співвідношенні з висотою стін. Це правило відноситься і до розподілу довжин. Наприклад, диван повинен мати габарити, які виявилися б не менше 2/3 довжини простінка. Площа приміщення, яка зайнята предметами меблів, також повинна мати певне значення. Вона відноситься до загальної площі всього приміщення як 1:1,61.

Золота пропорція складно застосовна практично з огляду на наявність лише однієї числа. Саме тому. Проектую гармонійні будови, які користуються поруч чисел Фібоначчі. Завдяки цьому забезпечується різноманітність варіантів форм та пропорцій деталей будівлі. Ряд чисел Фібоначчі також називається золотого. Усі значення суворо відповідають певній математичній залежності.

Крім ряду Фібоначчі, у сучасній архітектурі застосовують і інший метод проектування – принцип, закладений французьким архітектором Ле Корбюзьє. При виборі цього відправної одиницею виміру виступає зростання власника будинку. Виходячи з цього показника розраховують розміри будівлі та внутрішніх приміщень. Завдяки цьому підходу будинок виходить не тільки гармонійним, а й набуває індивідуальності.

Будь-який інтер'єр набуде більш завершеного вигляду, якщо в ньому використовувати карнизи. При використанні універсальних пропорцій можна визначити його розмір. Оптимальними показниками є 22,5, 14 та 8,5 см. Встановлювати карниз слід за правилами золотого перетину. Маленька сторона декоративного елемента повинна ставитись до більшої так, як належить до складених значень двох сторін. Якщо велика сторона дорівнюватиме 14 см, то маленьку варто зробити 8,5 см.

Надати приміщенню затишку можна шляхом розподілу стінових поверхонь за допомогою гіпсових дзеркал. Якщо стіна поділена бордюром, від більшої частини стіни, що залишилася, слід відібрати висоту карнизної планки. Для створення дзеркала оптимальної довжини від бордюру та карниза слід відступити однакову відстань.

Висновок

Будинки, збудовані за принципом золотого перетину, справді виходять дуже зручними. Однак ціна будівництва таких будівель досить висока, оскільки вартість будматеріалів через нетипові розміри збільшується на 70%. Цей підхід зовсім не новий, оскільки більшість будинків минулого століття створювали, виходячи з параметрів господарів.

Завдяки використанню методу золотого перерізу у будівництві та дизайні будівлі виходять не лише комфортабельними, а й довговічними. Вони виглядають гармонійно та привабливо. Інтер'єр теж оформляють за універсальною пропорцією. Це дозволяє грамотно використати простір.

У таких кімнатах людина почувається максимально комфортно. Спорудити будинок з використанням принципу золотого перерізу можна самостійно. Головне – розрахувати навантаження на елементи будівлі, та правильно вибрати матеріали.

Метод золотого перерізу використовують у дизайні інтер'єру, розміщуючи у кімнаті декоративні елементи певних розмірів. Це дозволяє надати приміщенню затишку. Колірні рішення теж вибирають відповідно до універсальних гармонійних пропорцій.

ЗОЛОТИЙ ПЕРЕТИН

1. Вступ 2 . Золотий перетин – гармонійна пропорція
3 . Другий золотий перетин
4 . Зо лотою трикутник (пентаграма)
5 . Історія золотого перерізу 6 . Золотий переріз та симетрія 7 . Ряд Фібоначчі 8 . Узагальнений золотий переріз 9 . Принципи формування у природі 1 0 . Тіло людини та золотий перетин 1 1 . Золотий перетин у скульптурі 1 2 . Золотий перетин в архітектурі 1 3 . Золотий перетин у музиці 1 4 . Золотий перетин у поезії 1 5 . Золотий переріз у шрифтах та побутових предметах 1 6 . Оптимальні фізичні параметри зовнішнього середовища 1 7 . Золотий перетин у живописі 1 8 . Золотий перетин та сприйняття зображення 19. Золотий перетин у фотографіях 2 0 . Золотий перетин та космос 2 1 . Висновок 2 2 . Список використаної літератури
ВСТУП Людей з давніх-давен хвилювало питання, чи підпорядковуються такі невловимі речі як краса і гармонія, будь-яким математичним розрахункам.. Звичайно, всі закони краси неможливо вмістити в кілька формул, але, вивчаючи математику, ми можемо відкрити деякі доданки прекрасного- Золотий перетин. Наше завдання дізнатися, що ж таке золотий перетин і встановити, де людство знайшло застосування золото.го перерізу. Ви, напевно, звертали увагу, що ми неоднаково ставимося до предметів та явищ навколишньої дійсності. Безладність, безформність, непомірність сприймаються нами як потворне і справляють відразливе враження. А предмети та явища, яким властива міра, доцільність та гармонія сприймаються як гарне та викликають у нас почуття захоплення, радості, піднімають настрій. Людина у своїй діяльності постійно стикається з предметами, які використовують у своїй основі золотий перетин.Є речі, які не можна пояснити. Ось ви підходите до порожньої лавки і сідайте на неї. Де ви сядете – посередині? Чи, може, з самого краю? Ні, швидше за все, не те й інше. Ви сядете так, що відношення однієї частини лави до іншої, щодо вашого тіла, буде приблизно 1,62. Проста річ, абсолютно інстинктивна... Сідаючи на лаву, ви зробили "золотий перетин". Про золотий перетин знали ще у стародавньому Єгипті та Вавилоні, в Індії та Китаї. Великий Піфагор створив таємну школу, де вивчалася містична суть "золотого перетину". Евклід застосував його, створюючи свою геометрію, а Фідій – свої безсмертні скульптури. Платон розповідав, що Всесвіт влаштований згідно з "золотим перетином". А Арістотель знайшов відповідність "золотого перетину" етичному закону. Найвищу гармонію "золотого перетину" проповідуватимуть Леонардо да Вінчі та Мікеланджело, адже краса та "золотий перетин" - це те саме. А християнські містики малюватимуть на стінах своїх монастирів пентаграми "золотого перетину", рятуючись від Диявола. При цьому вчені - від Пачол і до Ейнштейна - шукатимуть, але не знайдуть його точного значення. Нескінченний ряд після коми - 1,6180339887... Дивна, загадкова, незрозуміла річ: ця божественна пропорція містичним чином супроводжує все живе. Нежива природа не знає, що таке "золоте перетин". Але ви неодмінно побачите цю пропорцію і у вигинах морських раковин, і у формі квітів, і у вигляді жуків, і красивому людському тілі. Все живе і все красиве - все підкоряється божественному закону, ім'я якого - "золотий перетин". То що таке "золоте перетин"?.. Що це за ідеальне, божественне поєднання? Можливо, це закон краси? Чи все-таки він – містична таємниця? Науковий феномен чи етичний принцип? Відповідь невідома досі. Точніше – ні, відомий. "Золоте перетин" - це і те, й інше, і третє. Тільки не окремо, а одночасно... І в цьому його справжня загадка, його велика таємниця. Напевно, важко знайти надійний захід для об'єктивної оцінки самої краси, і логікою тут не обійдешся. Однак тут допоможе досвід тих, для кого пошук краси був сенс життя, хто зробив це своєю професією. Це насамперед люди мистецтва, як ми їх називаємо: художники, архітектори, скульптори, музиканти, письменники. Але це й люди точних наук, насамперед математики. Довіряючи оку більше, ніж іншим органам почуттів, людина насамперед вчився розрізняти навколишні предмети формою. Інтерес до форми будь-якого предмета то, можливо продиктований життєвої необхідністю, і може бути викликаний красою форми. Форма, в основі побудови якої лежать поєднання симетрії та золотого перерізу, сприяє найкращому зоровому сприйняттю та появі відчуття краси та гармонії. Ціле завжди складається з частин, частини різної величини перебувають у певному відношенні один до одного та до цілого.Принцип золотого перерізу - найвищий прояв структурної та функціональної досконалості цілого та його частин у мистецтві, науці, техніці та природі. ЗОЛОТО ПЕРЕКЛА - ГАРМОНІЧНА ПРОПОРЦІЯ У математиці пропорцією називають рівність двох відношень: a: b = c: d. Відрізок прямої АВ можна розділити на дві частини такими способами: -- на дві рівні частини – АВ: АС = АВ: ВС; -- на дві нерівні частини будь-якому відношенні (такі частини пропорції не утворюють); -- отже, коли АВ: АС = АС: ВС. Остання і є золотий поділ. Золотий переріз - це такий пропорційний розподіл відрізка на нерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як найбільша частина відноситься до меншої; або іншими словами, менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього a: b = b: c або з: b = b: а. Практичне знайомство із золотим перетином починають із розподілу відрізка прямої в золотій пропорції за допомогою циркуля та лінійки. З точки В відставляється перпендикуляр, що дорівнює половині АВ. Отримана точка С з'єднується лінією з точкою А. На отриманій лінії відкладається відрізок ПС, що закінчується точкою D. Відрізок AD переноситься на пряму АВ. Отримана при цьому точка Е поділяє відрізок АВ у співвідношенні золотої пропорції. Відрізки золотої пропорції виражаються нескінченним дробом AE = 0,618... якщо АВ прийняти за одиницю, ВЕ = 0,382... Для практичних цілей часто використовують наближені значення 0,62 і 0,38. Якщо відрізок АВ прийняти за 100 частин, то більшість відрізка дорівнює 62, а менша - 38 частинам. Властивості золотого перерізу описуються рівнянням: x2 – x – 1 = 0. Розв'язання цього рівняння:

Властивості золотого перетину створили навколо цього романтичний ореол таємничості і мало не містичного покоління. Наприклад, у правильній п'ятикутній зірці, кожен сегмент ділиться сегментом, що його перетинає, в золотому перерізі (тобто відношення синього відрізка до зеленого, червоного до синього, зеленого до фіолетового, рівні 1.618)
ДРУГЕ ЗОЛОТО ПЕРЕК Болгарський журнал "Батьківщина" опублікував статтю Цвєтана Цекова-Олівця "Про другий золотий перетин", який випливає з основного перерізу і дає інше відношення 44:56. Така пропорція виявлена ​​у архітектурі. Розподіл здійснюється наступним чином. Відрізок АВ ділиться у пропорції золотого перерізу. З точки С відставляється перпендикуляр CD. Радіусом АВ знаходиться точка D, яка з'єднується лінією з точкою А. Прямий кут АСD ділиться навпіл. З точки З проводиться лінія до перетину з лінією AD. Точка Е поділяє відрізок AD щодо 56: 44. На малюнку показано положення лінії другого золотого перерізу. Вона знаходиться посередині між лінією золотого перерізу та середньою лінією прямокутника. ЗОЛОТИЙ ТРИКУТНИК Для знаходження відрізків золотої пропорції висхідного та низхідного рядів можна скористатися пентаграмою. Для побудови пентаграми потрібно побудувати правильний п'ятикутник. Спосіб його побудови розробив німецький живописець та графік Альбрехт Дюрер. Нехай O – центр кола, A – точка на колі та Е – середина відрізка ОА. Перпендикуляр до радіусу ОА, відновлений у точці, перетинається з колом у точці D. Користуючись циркулем, відкладемо на діаметрі відрізок CE = ED. Довжина сторони вписаного в коло правильного п'ятикутника дорівнює DC. Відкладаємо на колі відрізки DC та отримаємо п'ять точок для накреслення правильного п'ятикутника. З'єднуємо кути п'ятикутника через один діагоналями та отримуємо пентаграму. Усі діагоналі п'ятикутника ділять один одного на відрізки, пов'язані між собою золотою пропорцією. Кожен кінець п'ятикутної зірки є золотим трикутником. Його сторони утворюють кут 36 при вершині, а основа, відкладена на бік, ділить її в пропорції золотого перерізу. Проводимо пряму АВ. Від точки А відкладаємо на ній три рази відрізок Про довільну величину, через отриману точку Р проводимо перпендикуляр до лінії АВ, на перпендикулярі праворуч і ліворуч від точки Р відкладаємо відрізки О. Отримані точки d і d1 з'єднуємо прямими з точкою А. Відрізок dd1 відкладаємо лінію Ad1, отримуючи точку С. Вона розділила лінію Ad1 у пропорції золотого перерізу. Лініями Ad1 та dd1 користуються для побудови "золотого" прямокутника. ІСТОРІЯ ЗОЛОТОГО ПЕРЕКЛА
Прийнято вважати, що поняття про золотий поділ ввів у науковий побут Піфагор, давньогрецький філософ та математик. Є припущення, що Піфагор своє знання золотого поділу запозичив у єгиптян та вавилонян. І справді, пропорції піраміди Хеопса, храмів, предметів побуту та прикрас із гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри користувалися співвідношеннями золотого поділу під час їх створення. Французький архітектор Ле Корбюзьє виявив, що у рельєфі з храму фараона Мережі I в Абідосі та у рельєфі, що зображує фараона Рамзеса, пропорції фігур відповідають величинам золотого поділу. Зодчий Хесіра, зображений на рельєфі дерев'яної дошки з гробниці його імені, тримає у руках вимірювальні інструменти, у яких зафіксовано пропорції золотого поділу. Греки були вправними геометрами. Навіть арифметиці навчали своїх дітей за допомогою геометричних фігур. Квадрат Піфагора та діагональ цього квадрата були основою для побудови динамічних прямокутників. Платон також знав про золотий поділ. Піфагорієць Тимей у однойменному діалозі Платона каже: "Неможливо, щоб дві речі досконалим чином з'єдналися без третьої, тому що між ними повинна з'явитися річ, яка б скріплювала їх. Це найкращим чином може виконати пропорція, бо якщо три числа володіють тією властивістю, що середнє так відноситься до меншого, як більше до середнього, і, навпаки, менше так відноситься до середнього, як середнє до більшого, то останнє і перше буде середнім, а середнє - першим і останнім.Таким чином, все необхідне буде тим самим, а оскільки воно буде тим самим, воно складе ціле". Земний світ Платон будує, використовуючи трикутники двох сортів: рівнобедрені та нерівностегнові. Прекрасним прямокутним трикутником він вважає такий, у якому гіпотенуза вдвічі більша від меншого з катетів (такий прямокутник є половиною рівностороннього, основної фігури вавилонян, у ньому виступає відношення 1:3 1/2 , Відмінне від золотого перерізу приблизно на 1/25, і зване Тімердінг "суперником золотого перерізу"). За допомогою трикутників Платон будує чотири правильні багатогранники, асоціюючи їх із чотирма земними елементами (землею, водою, повітрям та вогнем). І лише останній із п'яти існуючих правильних багатогранників – додекаедр, усіма дванадцятьма гранями якого служать правильні п'ятикутники, претендує на символічне зображення небесного світу.

Ікосаедр і додекаедр Честь відкриття додекаедра (або, як належало, самого Всесвіту, цієї квінтесенції чотирьох стихій, що символізуються, відповідно, тетраедром, октаедром, ікосаедром і кубом) належить Гіппасу, який згодом загинув при аварії корабля. У цій фігурі справді відбито безліч стосунків золотого перетину, тому останньому відводилася головна роль у небесному світі, на чому згодом і наполягав брат міноріт Лука Пачолі. У фасаді давньогрецького храму Парфенона є золоті пропорції. Під час його розкопок виявлено циркулі, якими користувалися архітектори та скульптори античного світу. У Помпейському циркулі (музей у Неаполі) також закладено пропорції золотого поділу. У античній літературі, що дійшла до нас, золотий розподіл вперше згадується в "Початках" Евкліда. У 2-й книзі "Початок" дається геометрична побудова золотого поділу. Після Евкліда дослідженням золотого розподілу займалися Гіпсікл (ІІ ст. до н.е.), Папп (III ст. н.е.) та ін. У середньовічній Європі із золотим поділом познайомилися за арабськими перекладами "Початок" Евкліда. Перекладач Дж. Кампано з Наварри (III ст.) зробив переклад коментарі. Секрети золотого поділу ревно оберігалися, зберігалися у суворій таємниці. Вони були відомі лише присвяченим. У середні віки пентаграма зазнала демонізації (як, втім, і багато що вважалося божественним в античному язичництві) і знайшла притулок в окультних науках. Проте Відродження знову виносить світ і пентаграму, і золотий перетин. Так, широке ходіння в той період утвердження гуманізму набула схема, що описує будову людського тіла: До такої картинки, що по суті відтворює пентаграму, неодноразово вдавався і Леонардо да Вінчі. Її інтерпретація: тіло людини має божественну досконалість, бо закладені в ньому пропорції - такі ж, як у головній небесній фігурі. Леонардо да Вінчі, художник і вчений, бачив, що італійські художники мають емпіричний досвід великий, а знань мало. Він задумав і почав писати книгу з геометрії, але в цей час з'явилася книга ченця Лукі Пачолі, і Леонардо залишив свою витівку. На думку сучасників та істориків науки, Лука Пачолі був справжнім світилом, найбільшим математиком Італії у період між Фібоначчі та Галілеєм. Лука Пачолі був учнем художника П'єро делла Франческі, який написав дві книги, одна з яких називалася "Про перспективу у живописі". Його вважають творцем накреслювальної геометрії.

Лука Пачолі чудово розумів значення науки для мистецтва. У 1496 на запрошення герцога Моро він приїжджає в Мілан, де читає лекції з математики. У Мілані при дворі Моро тоді працював і Леонардо да Вінчі. У 1509 р. у Венеції була видана книга Луки Пачолі "Про божественну пропорцію" (De divina proportione, 1497, видавництво у Венеції в 1509 р.) з блискуче виконаними ілюстраціями, через що вважають, що їх зробив Леонардо да Він. Книжка була захопленим гімном золотої пропорції. Така пропорція лише одна, а єдиність – найвища властивість Бога. У ній втілено святу триєдність. Ця пропорція не може бути виражена доступним числом, залишається прихованою та таємною і самими математиками називається ірраціональною (так і Бог не може бути визначений, ані роз'яснений словами). Бог ніколи не змінюється і представляє все в усьому і все в кожній своїй частині, так і золотий переріз для будь-якої безперервної і певної величини (незалежно від того, велика вона чи мала) одне й те саме, не може бути змінено, ні з іншого сприйнято розумом. Бог викликав до буття небесну чесноту, інакше звану п'ятою субстанцією, з її допомогою і чотири інші прості тіла (чотири стихії - землю, воду, повітря, вогонь), а на їх основі викликав до буття будь-яку іншу річ у природі; так і наша священна пропорція, згідно з Платоном у "Тимеї", дає формальне буття самому небу, бо йому приписується вид тіла, званого додекаедром, який неможливо побудувати без золотого перетину. Такими є аргументи Пачолі.
Леонардо да Вінчі також багато уваги приділяв вивченню золотого поділу. Він проводив перерізи стереометричного тіла, утвореного правильними п'ятикутниками, і щоразу отримував прямокутники з стосунками сторін у золотому розподілі. Тому він дав цьому поділу назву золотий перетин. Так воно і тримається досі як найпопулярніше. У той же час на півночі Європи, у Німеччині, над тими самими проблемами працював Альбрехт Дюрер. Він робить начерки вступу до першого варіанту трактату про пропорції. Дюрер пише. "Необхідно, щоб той, хто щось вміє, навчив цьому інших, які цього потребують. Це я і намірився зробити". Судячи з одного з листів Дюрера, він зустрічався із Лукой Пачолі під час перебування в Італії. Альбрехт Дюрер розробляє теорію пропорцій людського тіла. Важливе місце у своїй системі співвідношень Дюрер відводив золотому перерізу. Зростання людини ділиться у золотих пропорціях лінією пояса, і навіть лінією, проведеної через кінчики середніх пальців опущених рук, нижню частину особи - ротом тощо. Відомий пропорційний циркуль Дюрера. Великий астроном XVI ст. Йоган Кеплер назвав золотий перетин одним із скарбів геометрії. Він перший звертає увагу на значення золотої пропорції для ботаніки (зростання рослин та їх будова). Кеплер називав золоту пропорцію продовжує саму себе "Влаштована вона так, - писав він, - що два молодші члени цієї нескінченної пропорції в сумі дають третій член, а будь-які два останні члени, якщо їх скласти, дають наступний член, причому та ж пропорція зберігається до нескінченності". Побудова низки відрізків золотої пропорції можна робити як у бік збільшення (зростаючий ряд), і у бік зменшення (низхідний ряд). Якщо на прямій довільній довжині, відкласти відрізок m, поруч відкладаємо відрізок M. На підставі цих двох відрізків вибудовуємо шкалу відрізків золотої пропорції висхідного та низхідного рядів У наступні століття правило золотої пропорції перетворилося на академічний канон і, коли згодом у мистецтві почалася боротьба з академічною рутиною, у запалі боротьби "разом із водою виплеснули і дитину". Знову "відкрито" золотий перетин був у середині ХІХ ст. У 1855 р. німецький дослідник золотого перетину професор Цейзінг опублікував свою працю "Естетичні дослідження". З Цейзінгом сталося саме те, що й мало неминуче статися з дослідником, який розглядає явище як таке, без зв'язку з іншими явищами. Він абсолютизував пропорцію золотого перетину, оголосивши її універсальною всім явищ природи та мистецтва. Цейзінг мав численні послідовники, але були і противники, які оголосили його вчення про пропорції "математичної естетикою". Цейзинг виконав колосальну роботу. Він виміряв близько двох тисяч людських тіл і дійшов висновку, що золотий перетин виражає середній статистичний закон. Поділ тіла точкою пупу - найважливіший показник золотого перерізу. Пропорції чоловічого тіла коливаються в межах середнього відношення 13: 8 = 1,625 і дещо ближче підходять до золотого перетину, ніж пропорції жіночого тіла, щодо якого середнє пропорції виявляється у співвідношенні 8: 5 = 1,6. У новонародженого пропорція становить відношення 1: 1, до 13 років вона дорівнює 1,6, а до 21 року дорівнює чоловічій. Пропорції золотого перерізу виявляються і щодо інших частин тіла - довжина плеча, передпліччя та кисті, кисті та пальців тощо. Справедливість своєї теорії Цейзінг перевіряв на грецьких статуях. Докладніше він розробив пропорції Аполлона Бельведерського. Зазнали дослідження грецькі вази, архітектурні споруди різних епох, рослини, тварини, пташині яйця, музичні тони, віршовані розміри. Цейзинг дав визначення золотого перетину, показав, як воно виявляється у відрізках прямої та у цифрах. Коли цифри, що виражають довжини відрізків, були отримані, Цейзінг побачив, що вони становлять ряд Фібоначчі, який можна продовжувати нескінченно в один і в інший бік. Наступна його книга мала назву "Золоте поділ як основний морфологічний закон у природі та мистецтві". У 1876 р. в Росії було видано невелику книжку, майже брошуру, з викладом цієї праці Цейзінгу. Автор сховався під ініціалами Ю.Ф.В. У цьому виданні не згадано жодного твору живопису. Наприкінці XIX – на початку XX ст. з'явилося чимало суто формалістичної теорії про застосування золотого перетину у витворах мистецтва та архітектури. З розвитком дизайну та технічної естетики дія закону золотого перерізу поширилася на конструювання машин, меблів тощо. ЗОЛОТО ПЕРЕКЛА ТА СИММЕТРІЯ Золотий переріз не можна розглядати саме собою, окремо, без зв'язку з симетрією. Великий російський кристалограф Г.В. Вульф (1863...1925) вважав золотий перетин одним із проявів симетрії. Золотий поділ не є проявом асиметрії, чогось протилежного симетрії. Відповідно до сучасних уявлень золотий поділ - це асиметрична симетрія. У науку про симетрію увійшли такі поняття, як статична та динамічна симетрія. Статична симетрія характеризує спокій, рівновагу, а динамічна – рух, зростання. Так, у природі статична симетрія представлена ​​будовою кристалів, а мистецтво характеризує спокій, рівновагу і нерухомість. Динамічна симетрія виражає активність, характеризує рух, розвиток, ритм, вона – свідчення життя. Статичні симетрії властиві рівні відрізки, рівні величини. Динамічній симетрії властиве збільшення відрізків або їх зменшення, і воно виявляється у величинах золотого перерізу зростаючого або спадного ряду. РЯД ФІБОН АЧ Ч І
З історією золотого перерізу непрямим чином пов'язане ім'я італійського математика ченця Леонардо з Пізи, найвідомішого під ім'ям Фібоначчі. Він багато подорожував Сходом, познайомив Європу з арабськими цифрами. У 1202 вийшов у світ його математична праця "Книга про абак" (рахунковій дошці), в якій були зібрані всі відомі на той час завдання. Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 і т.д. відомий як ряд Фібоначчі. Особливість послідовності чисел у тому, кожен її член, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх 2 + 3 = 5; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13 + 21 = 34 і т.д., а відношення суміжних чисел ряду наближається до відношення золотого поділу. Так, 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618. Це відношення позначається символом Ф. Тільки це відношення - 0,618: 0,382 - дає безперервне розподіл відрізка прямої в золотій пропорції, збільшення його або зменшення до нескінченності, коли менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього. Як показано на нижньому малюнку, довжина кожного суглоба пальця співвідноситься з довжиною наступного суглоба по пропорції Ф. Таке співвідношення проявляється у всіх пальцях рук і ніг. Цей зв'язок якось незвичайний, тому що один палець довший за інший без усякої видимої закономірності, але це все не випадково - як не випадково все в тілі людини. Відстані на пальцях, відмічені від А до У до З до D до Е всі співвідносяться один з одним за пропорцією Ф, так само як і фаланги пальців від F до G до H.
Погляньте на цей скелет жаби і подивіться, як кожна кісточка відповідає моделі пропорції Ф точно так, як і в тілі людини

УЗАГАЛЬНЕ ЗОЛОТО ПЕРЕЧЕННЯ Вчені продовжували активно розвивати теорію чисел Фібоначчі та золотого перетину. Ю. Матіясевич з використанням чисел Фібоначчі вирішує 10- ю проблему Гільберта. Виникають методи вирішення низки кібернетичних завдань (теорії пошуку, ігор, програмування) з використанням чисел Фібоначчі та золотого перерізу. У США створюється навіть Математична Фібоначчі-асоціація, яка з 1963 випускає спеціальний журнал. Одним із досягнень у цій галузі є відкриття узагальнених чисел Фібоначчі та узагальнених золотих перерізів. Ряд Фібоначчі (1, 1, 2, 3, 5, 8) і відкритий ним же "двійковий" ряд гир 1, 2, 4, 8, на перший погляд, абсолютно різні. Але алгоритми їх побудови дуже схожі один на одного: у першому випадку кожне число є сумою попереднього числа із самим собою 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., у другому - це сума двох попередніх чисел 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Чи можна знайти загальну математичну формулу, з якої виходять і " двійковий" ряд, і ряд Фібоначчі? А може, ця формула дасть нам нові числові множини, які мають якісь нові унікальні властивості? Справді, задамося числовим параметром S, який може набувати будь-яких значень: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Розглянемо числовий ряд, S + 1 перших членів якого - одиниці, а кожен з наступних дорівнює сумі двох членів попереднього і віддаленого від попереднього на S кроків. Якщо n член цього ряду ми позначимо через? S (n), чи отримаємо загальну формулу? S(n) = ? S (n – 1) + ? S (n – S – 1). Очевидно, що за S = 0 з цієї формули ми отримаємо "двійковий" ряд, за S = 1 - ряд Фібоначчі, за S = 2, 3, 4. нові ряди чисел, які отримали назву S-чисел Фібоначчі. У загальному вигляді золота S-пропорція є позитивним коренем рівняння золотого S-перетину x S+1 – x S – 1 = 0. Неважко показати, що при S = ​​0 виходить розподіл відрізка навпіл, а при S = ​​1 - знайомий класичний золотий переріз. Відносини сусідніх S-чисел Фібоначчі з абсолютною математичною точністю співпадають у межі із золотими S-пропорціями! Математики в таких випадках говорять, що золоті S-січення є числовими інваріантами S-чисел Фібоначчі. Факти, що підтверджують існування золотих S-січень у природі, наводить білоруський учений Е.М. Сороко у книзі "Структурна гармонія систем" (Мінськ, "Наука та техніка", 1984). Виявляється, наприклад, що добре вивчені подвійні сплави мають особливі, яскраво виражені функціональні властивості (стійкі в термічному відношенні, тверді, зносостійкі, стійкі до окислення і т. п) тільки в тому випадку, якщо питома вага вихідних компонентів пов'язані один з одним однією з золоті S-пропорції. Це дозволило автору висунути гіпотезу у тому, що золоті S-перетину є числові інваріанти самоорганізованих систем. Будучи підтвердженою експериментально, ця гіпотеза може мати фундаментальне значення для розвитку синергетики - нової галузі науки, що вивчає процеси в системах, що самоорганізуються. За допомогою кодів золотої S-пропорції можна виразити будь-яке дійсне число у вигляді суми ступенів золотих S-пропорцій із цілими коефіцієнтами. Принципова відмінність такого способу кодування чисел полягає в тому, що підстави нових кодів, що є золотими S-пропорціями, при S > 0 виявляються ірраціональними числами. Таким чином, нові системи числення з ірраціональними підставами як би ставлять "з голови на ноги" ієрархію відносин, що історично склалася, між числами раціональними і ірраціональними. Справа в тому, що спочатку були "відкриті" числа натуральні; потім їх відносини – числа раціональні. І лише пізніше - після відкриття піфагорійцями непорівнянних відрізків - світ з'явилися ірраціональні числа. Скажімо, у десятковій, п'ятирічній, двійковій та інших класичних позиційних системах числення як своєрідну першооснову було обрано натуральні числа - 10, 5, 2, - з яких вже за певними правилами конструювалися всі інші натуральні, а також раціональні та ірраціональні числа. Свого роду альтернативою існуючим способам числення виступає нова, ірраціональна система, як першооснова, початку числення якої обрано ірраціональне число (що є, нагадаємо, коренем рівняння золотого перерізу); через нього виражаються інші дійсні числа. У такій системі числення будь-яке натуральне число завжди уявне у вигляді кінцевої - а не нескінченної, як думали раніше! - суми ступенів будь-якої із золотих S-пропорцій. Це одна з причин, чому "ірраціональна" арифметика, володіючи дивовижною математичною простотою і витонченістю, ніби увібрала в себе найкращі якості класичної двійкової та "Фібоначчієвої" арифметик. ПРИНЦИПИ ФОРМОУТВОРЕННЯ У ПРИРОДІ Все, що набувало якоїсь форми, утворювалося, зростало, прагнуло зайняти місце у просторі та зберегти себе. Це прагнення знаходить здійснення в основному у двох варіантах - зростання вгору або розстилання по поверхні землі та закручування по спіралі. Раковина закручена по спіралі. Якщо її розгорнути, то виходить довжина, що трохи поступається довжині змії. Невелика десятисантиметрова раковина має спіраль завдовжки 35 см. Спіралі дуже поширені у природі. Уявлення про золотий переріз буде неповним, якщо не сказати про спіраль. Форма спірально завитої раковини привернула увагу Архімеда. Він вивчав її та вивів рівняння спіралі. Спіраль, викреслена за цим рівнянням, називається його ім'ям. Збільшення її кроку завжди рівномірне. Нині спіраль Архімеда широко застосовується у техніці. Ще Гете наголошував на тенденції природи до спіральності. Гвинтоподібне та спіралеподібне розташування листя на гілках дерев помітили давно.


Спіраль побачили у розташуванні насіння соняшника, у шишках сосни, ананасах, кактусах тощо. Спільна робота ботаніків та математиків пролила світло на ці дивовижні явища природи. З'ясувалося, що в розташуванні листя на гілці (філотаксис), насіння соняшника, шишок сосни виявляє себе ряд Фібоначчі, а отже, виявляє себе закон золотого перетину. Павук плете павутину спіралеподібно. Спіраллю закручується ураган. Злякане стадо північних оленів розбігається спіраллю. Молекула ДНК закручена подвійною спіраллю. Гете називав спіраль "кривого життя". Золота спіраль тісно пов'язана з циклами. Сучасна наука про хаос вивчає прості циклічні операції із зворотним зв'язком та породжені ними фрактальні форми, невідомі раніше. Малюнок 6 показує відомий ряд Мандельброта - сторінку зі словника нескінченності індивідуальних патернів, які називають юліанськими рядами. Деякі вчені пов'язують ряд Мандельброта з генетичним кодом клітинних ядер. Послідовне збільшення перерізів розкриває дивовижні за своєю художньою складністю фрактали. І тут теж є логарифмічні спіралі! Це особливо важливо, що й ряд Мандельброта, і юліанські ряди є винаходом людського розуму. Вони з області першотворів Платона. Як сказав лікар Р.Пенроуз, "вони подібні до гори Еверест".а спіраль тісно пов'язана з циклами. Сучасна наука про хаос вивчає прості циклічні операції із зворотним зв'язком та породжені ними фрактальні

Серед придорожніх трав росте нічим не примітна рослина – цикорій. Придивимося до нього уважно. Від основного стебла утворився відросток. Тут же розташувався перший листок.

Рис. . Цикорій

Відросток робить сильний викид у простір, зупиняється, випускає листок, але коротше першого, знову робить викид у простір, але вже меншої сили, випускає листок ще меншого розміру і знову викид. Якщо перший викид прийняти за 100 одиниць, другий дорівнює 62 одиницям, третій - 38, четвертий - 24 і т.д. Довжина пелюсток також підпорядкована золотій пропорції. У зростанні, завоюванні простору рослина зберігала певні пропорції. Імпульси його зростання поступово зменшувалися у пропорції золотого перерізу. У багатьох метеликів співвідношення розмірів грудної та черевної частини тіла відповідає золотій пропорції. Склавши крила, нічний метелик утворює правильний рівносторонній трикутник. Але варто розвести крила, і ви побачите той самий принцип членування тіла на 2,3,5,8. Бабка також створена за законами золотої пропорції: відношення довжин хвоста і корпусу дорівнює відношенню загальної довжини до довжини хвоста.

У ящірці з першого погляду вловлюються приємні для ока пропорції - довжина її хвоста так належить до довжини решти тіла, як 62 до 38.

Рис. . Ящірка живородна

І в рослинному, і в тваринному світі наполегливо пробивається формотворна тенденція природи – симетрія щодо напряму зростання та руху. Тут золотий перетин проявляється у пропорціях частин перпендикулярно до напряму зростання. Природа здійснила поділ на симетричні частини та золоті пропорції. У частинах проявляється повторення будови цілого. Великий інтерес представляє дослідження форм пташиних яєць. Їх усілякі форми коливаються між двома крайніми типами: один із них може бути вписаний у прямокутник золотого перерізу, інший – у прямокутник із модулем 1,272 (корінь золотої пропорції)

Такі форми пташиних яєць не є випадковими, оскільки в даний час встановлено, що формі яєць, що описуються ставленням золотого перерізу, відповідають більш високі характеристики міцності оболонки яйця.

Рис. . Яйце птаха

Бивні слонів та вимерлих мамонтів, кігті левів та дзьоби папуг являють собою логарифмічні форми та нагадують форму осі, схильної звернутися до спіралі. У живій природі поширені форми, засновані на "пентагональної" симетрії (морські зірки, морські їжаки, квіти). Золоте перетин є у будові всіх кристалів, але більшість кристалів мікроскопічно малі, отже ми можемо розглянути їх неозброєним оком.

Проте сніжинки, також є водні кристали, цілком доступні нашому погляду.

Усі вишуканої краси фігури, які утворюють сніжинки, всі осі, кола та геометричні фігури у сніжинках також завжди без винятків побудовані за досконалою чіткою формулою золотого перетину.

У мікросвіті тривимірні логарифмічні форми, побудовані за золотими пропорціями, поширені повсюдно. Наприклад, багато вірусів мають тривимірну геометричну форму ікосаедра. Мабуть, найвідоміший із таких вірусів – вірус Адено. Білкова оболонка вірусу Адено формується з 252 одиниць білкових клітин, розташованих у певній послідовності. У кожному куті ікосаедра розташовані по 12 одиниць білкових клітин у формі п'ятикутної призми і з цих кутів простягаються шипоподібні структури.

Вірус Адено

Вперше золотий перетин у будові вірусів виявили у 1950-х хр. вчені з Лондонського Біркбецького Коледжу А.Клуг та Д.Каспар. Першим логарифмічну форму виявив у собі вірус Polyo. Форма цього вірусу виявилася аналогічною з формою вірусу Rhino. Виникає питання, яким чином віруси утворюють такі складні тривимірні форми, пристрій яких містить у собі золотий перетин, які навіть нашим людським розумом сконструювати досить складно? Першовідкривач цих форм вірусів, вірусолог А.Клуг дає такий коментар: "Доктор Каспар і я показали, що для сферичної оболонки вірусу найоптимальнішою формою є симетрія типу форми ікосаедра. Такий порядок зводить до мінімуму кількість сполучних елементів... Більшість геодезичних напівсферичних кубів Букмінстера Фуллера побудовані за аналогічним геометричним принципом. надзвичайно точної та докладної схеми-роз'яснення, тоді як несвідомі віруси самі споруджують собі таку складну оболонку з еластичних, гнучких білкових клітинних одиниць.
Коментар Клюга ще раз нагадує про гранично очевидну істину: у будові навіть мікроскопічного організму, який вчені класифікують як "найпримітивнішу форму життя", у даному випадку у вірусі, присутній чіткий задум і здійснений розумний проект 16. Цей проект не можна порівняти за своєю досконалістю та точності виконання з найпередовішими архітектурними проектами, створеними людьми. Наприклад, проектами, створеними геніальним архітектором Букмінстером Фуллером. Тривимірні моделі додекаедра та ікосаедра присутні також і в будові скелетів одноклітинних морських мікроорганізмів радіолярій (променевиків), скелет яких створений із кремнезему. Радіолярії формують своє тіло дуже вишуканої, незвичайної краси. Форма їх становить правильний додекаедр. Причому з кожного його кута проростає псевдоподовження-кінцевість та інші незвичайні форми-нарости. Великий Гете, поет, природознавець і художник (він малював і писав аквареллю), мріяв про створення єдиного вчення про форму, освіту та перетворення органічних тіл. Це він ввів у науковий ужиток термін морфологія. П'єр Кюрі на початку нашого століття сформулював низку глибоких ідей симетрії. Він стверджував, що не можна розглядати симетрію якогось тіла, не враховуючи симетрію навколишнього середовища. Закономірності "золотої" симетрії виявляються в енергетичних переходах елементарних частинок, у будові деяких хімічних сполук, у планетарних та космічних системах, у генних структурах живих організмів. Ці закономірності, як зазначено вище, є у будові окремих органів людини і тіла в цілому, а також виявляються у біоритмах та функціонуванні головного мозку та зорового сприйняття. ТІЛО ЛЮДИНИ І ЗОЛОТО ПЕРЕКЛАД Усі кістки людини витримані у пропорції золотого перетину.

Пропорції різних частин нашого тіла становлять число дуже близьке до золотого перетину. Якщо ці пропорції збігаються з формулою золотого перерізу, то зовнішність чи тіло людини вважається ідеально складеними.

Якщо прийняти центром людського тіла точку пупу, а відстань між ступнею людини і точкою пупу за одиницю виміру, то зростання людини еквівалентне числу 1.618.

Відстань від рівня плеча до верхівки голови та розміру голови дорівнює 1:1.618

Відстань від точки пупа до верхівки голови і від рівня плеча до верхівки голови дорівнює 1:1.618

Відстань точки пупу до колін і від колін до ступнів дорівнює 1:1.618

Відстань від кінчика підборіддя до кінчика верхньої губи і від кінчика верхньої губи до ніздрів дорівнює 1:1.618

Власне, точна наявність золотої пропорції в особі людини і є ідеал краси для людського погляду.

Відстань від кінчика підборіддя до верхньої лінії брів і від верхньої лінії брів до верхівки дорівнює 1:1.618
Висота обличчя/ширина обличчя
Центральна точка з'єднання губ до основи носа/довжина носа.
Висота обличчя / відстань від кінчика підборіддя до центральної точки з'єднання губ
Ширина рота/ширина носа
Ширина носа / відстань між ніздрями
Відстань між зіницями / відстань між бровами Досить лише наблизити зараз долоню до себе і уважно подивитися на вказівний палець, і ви відразу ж знайдете в ньому формулу золотого перетину.

Кожен палець нашої руки складається з трьох фаланг. Сума двох перших фаланг пальця у співвідношенні з усією довжиною пальця і ​​дає число золотого перерізу (за винятком великого пальця).

Крім того, співвідношення між середнім пальцем і мізинцем також дорівнюєчислу золотого перерізу
Людина має 2 руки, пальці на кожній руці складаються з 3 фаланг (за винятком великого пальця). На кожній руці є по 5 пальців, тобто всього 10, але за винятком двох двофалангових великих пальців лише 8 пальців створено за принципом золотого перетину. Тоді як усі ці цифри 2, 3, 5 та 8 є числа послідовності Фібоначчі.
Також слід зазначити той факт, що у більшості людей відстань між кінцями розставлених рук дорівнює зростанню. Істини золотого перетину всередині нас і в нашомупросторі

Особливість бронхів, що становлять легені людини, полягає в їхній асиметричності. Бронхи складаються з двох основних дихальних шляхів, один з яких (лівий) довший, а інший (правий) коротший.

Було встановлено, що ця асиметричність продовжується і у відгалуженнях бронхів, у всіх дрібніших дихальних шляхах.

Причому співвідношення довжини коротких і довгих бронхів також становить золотий переріз і 1:1,618.

У внутрішньому вусі людини є орган Cochlea ("Равлик"), який виконує функцію передачі звукової вібрації. Ця кістковоподібна структура наповнена рідиною і також створена у формі равлика, що містить у собі стабільну логарифмічну форму спіралі = 73? 43". Тиск крові змінюється у процесі роботи серця. Найбільшої величини воно досягає у лівому шлуночку серця в момент його стиснення (систоли). В артеріях під час систоли шлуночків серця кров'яний тиск досягає максимальної величини, що дорівнює 115-125 мм ртутного стовпця у молодої, здорової людини. У момент розслаблення серцевого м'яза (діастола) тиск зменшується до 70-80 мм рт.ст. Відношення максимального (систолічного) до мінімального (діастолічного) тиску дорівнює в середньому 16, тобто близько до золотої пропорції.

Якщо взяти за одиницю середній тиск крові в аорті, то систолічний тиск крові в аорті становить 0,382, а діастолічний – 0,618, тобто їхнє відношення відповідає золотій пропорції. Це означає, що робота серця щодо тимчасових циклів та зміни тиску крові оптимізовані за одним і тим же принципом – законом золотої пропорції.

Молекула ДНК і двох вертикально переплетених між собою спіралей. Довжина кожної з цих спіралей становить 34 ангстреми, ширина 21 ангстреми. (1 ангстрем – одна стомільйонна частка сантиметра). будова ділянки спіралі молекули ДНК

Так ось 21 і 34 - це цифри, що йдуть один за одним у послідовності чисел Фібоначчі, тобто співвідношення довжини та ширини логарифмічної спіралі молекули ДНК несе в собі формулу золотого перерізу 1:1,618

ЗОЛОТО ПЕРЕЧЕННЯ У СКУЛЬПТУРІ Скульптурні споруди, пам'ятники споруджуються, щоб увічнити знаменні події, зберегти у пам'яті нащадків імена уславлених людей, їхні подвиги та діяння. Відомо, що у давнину основу скульптури становила теорія пропорцій. Відносини частин людського тіла пов'язувалися з формулою золотого перетину. Пропорції "золотого перетину" створюють враження гармонії краси, тому скульптори використовували їх у своїх творах. Так, наприклад, знаменита статуя Аполлона Бельведерського складається з частин, що діляться із золотих відносин. Великий давньогрецький скульптор Фідій часто використовував "золотий перетин" у своїх творах. Найзнаменитішими з них були статуя Зевса Олімпійського (яка вважалася одним із чудес світу) та Афіни Парфенос. Відома золота пропорція статуї Аполлона Бельведерського: зростання зображеної людини ділиться пупковою лінією у золотому перерізі.

ЗОЛОТЕ ПЕРЕЧЕННЯ В АРХІТЕКТУРІ У книгах про "золотий перетин" можна знайти зауваження про те, що в архітектурі, як і в живопису, все залежить від положення спостерігача, і якщо деякі пропорції в будівлі з одного боку здаються утворюючими "золотий перетин", то з інших точок вони будуть виглядати інакше. "Золоте перетин" дає найбільш спокійне співвідношення розмірів тих чи інших довжин. Одним із найкрасивіших творів давньогрецької архітектури є Парфенон (V ст. до н. е.). На малюнках видно цілу низку закономірностей, пов'язаних із золотим перетином. Пропорції будівлі можна виразити через різні ступені числа Ф = 0,618. Парфенон має 8 колон по коротким сторонам та 17 по довгим. виступи зроблені цілком із квадратів пентилейського мармуру. Благородство матеріалу, з якого побудований храм, дозволило обмежити застосування звичайної в грецькій архітектурі розмальовки, вона лише підкреслює деталі та утворює кольоровий фон (синій та червоний) для скульптури. Відношення висоти будівлі до його довжини дорівнює 0,618. Якщо зробити розподіл Парфенону за "золотим перетином", то отримаємо ті чи інші виступи фасаду. На плані підлоги Парфенона також можна побачити "золоті прямокутники": Золоте співвідношення ми можемо побачити і в будівлі собору Паризької Богоматері (Нотр-Дам де Парі), і в піраміді Хеопса: Не тільки єгипетські піраміди побудовані відповідно до скоєних пропорцій золотого перерізу; те саме явище виявлено і в мексиканських пірамід. Довгий час вважали, що архітектори Стародавньої Русі будували все "на око", без особливих математичних розрахунків. Проте нові дослідження показали, що російські архітектори добре знали математичні пропорції, що свідчить аналіз геометрії стародавніх храмів. Відомий російський архітектор М. Казаков у творчості широко використовував " золотий перетин " . Його талант був багатогранним, але більшою мірою він розкрився у численних здійснених проектах житлових будинків та садиб. Наприклад, "золотий перетин" можна знайти в архітектурі будівлі сенату в Кремлі. За проектом М. Казакова в Москві була побудована Голіцинська лікарня, яка нині називається Першою клінічною лікарнею імені М.І. Пирогова (Ленінський проспект, буд. Петровський палац у Москві. Побудований за проектом М.Ф. Козакова. Ще один архітектурний шедевр Москви – будинок Пашкова – є одним із найбільш досконалих творів архітектури В. Баженова. Прекрасне творіння У. Баженова міцно увійшло ансамбль центру сучасної Москви, збагатило його. Зовнішній вигляд будинку зберігся майже без змін до наших днів, незважаючи на те, що він сильно обгорів у 1812 році. При відновленні будівля набула більш масивних форм. Не збереглося і внутрішнє планування будівлі, про яку дають уявлення лише креслення нижнього поверху. Багато висловлювань архітектора заслуговують на увагу і в наші дні. Про своє улюблене мистецтво В. Баженов говорив: "Архітектура - найголовніші має три предмети: красу, спокійність і міцність будівлі... До досягнення цього служить керівництвом знання пропорції, перспектива, механіка або взагалі фізика, а всім ним спільним вождем є розум".

ЗОЛОТО ПЕРЕЧЕННЯ У МУЗИЦІ
Будь-який музичний твір має тимчасове протягом і ділиться деякими " естетичними віхами " деякі частини, які звертають він увагу і полегшують сприйняття загалом. Цими віхами можуть бути динамічні та інтонаційні кульмінаційні пункти музичного твору. Окремі часові інтервали музичного твору, що з'єднуються "кульмінаційною подією", зазвичай перебувають у співвідношенні Золотого перетину.

Ще в 1925 році мистецтвознавець Л.Л. Золотий переріз. Причому, чим талановитіший композитор, тим більше його творів знайдено золотих перерізів. На думку Сабанєєва, золотий переріз призводить до враження особливої ​​стрункості музичного твору. Цей результат Сабанєєв перевірив на всіх 27 етюдах Шопена. Він виявив у них 178 золотих перерізів. При цьому виявилося, що не лише великі частини етюдів діляться за тривалістю щодо золотого перерізу, але й частини етюдів усередині часто діляться у такому ж відношенні.

Композитор і вчений М. А. Марутаєв підрахував кількість тактів у знаменитій сонаті "Аппасіоната" і знайшов ряд цікавих числових співвідношень. Зокрема, у розробці – центральній структурній одиниці сонати, де інтенсивно розвиваються теми та змінюють одна одну тональності, – два основні розділи. У першому 43,25 такту, у другому – 26,75. Ставлення 43,25:26,75 = 0,618: 0,382 = 1,618 дає золотий перетин.

Найбільша кількість творів, у яких є Золотий перетин, у Аренського (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Шопена (92%), Шуберта (91%)

Якщо музика – гармонійне впорядкування звуків, то поезія – гармонійне впорядкування мови. Чіткий ритм, закономірне чергування ударних і ненаголошених складів, упорядкована розмірність віршів, їх емоційна насиченість роблять поезію рідною сестрою музичних творів. Золотий перетин у поезії насамперед проявляється як наявність певного моменту вірша (кульмінації, смислового перелому, головної думки твору) у рядку, що припадає на точку поділу загальної кількості рядків вірша у золотій пропорції. Так, якщо вірш містить 100 рядків, то перша точка Золотого перерізу припадає на 62-й рядок (62%), друга - на 38-й (38%) тощо. Твори Олександра Сергійовича Пушкіна, і зокрема " Євген Онєгін " - найтонша відповідність золотої пропорції! Твори Шота Руставелі та М.Ю. Лермонтова також побудовані за принципом золотого перетину.

Страдіварі писав, що за допомогою

золотого перерізу він визначав місця для f -Образних вирізів на корпусах своїх знаменитих скрипок. ЗОЛОТО ПЕРЕЧЕННЯ В ПОЕЗІЇ Поезія Пушкіна Дослідження поетичних творів із цих позицій лише починаються. І починати треба з поезії А.С.Пушкіна. Адже його твори - зразок найвидатніших творів російської культури, зразок найвищого рівня гармонії. З поезії А.С.Пушкіна ми й почнемо пошуки золотої пропорції – міряли гармонії та краси. Багато що у структурі поетичних творів ріднить цей вид мистецтва з музикою. Чіткий ритм, закономірне чергування ударних і ненаголошених складів, упорядкована розмірність віршів, їх емоційна насиченість роблять поезію рідною сестрою музичних творів. Кожен вірш має свою музичну форму - свою ритміку і мелодію. Очікується, що у будові віршів виявляться деякі риси музичних творів, закономірності музичної гармонії, отже, і золота пропорція. Почнемо з величини вірша, тобто кількості рядків у ньому. Здавалося б, цей параметр вірша може змінюватись довільно. Проте виявилось, що це не так. Наприклад, проведений М. Васютінським аналіз віршів А.С. Пушкіна з цього погляду показав, що розміри віршів розподілені дуже нерівномірно; виявилося, що Пушкін явно воліє розміри 5, 8, 13, 21 і 34 рядків (числа Фібоначчі).
Багатьма дослідниками було помічено, що вірші подібні до музичних творів; у них також існують кульмінаційні пункти, які поділяють вірш у пропорції золотого перетину. Розглянемо, наприклад, вірш А.С. Пушкіна "Швець": Картину вкотре виглядав шевець
І у взутті помилку вказав;
Взявши кисть, виправився художник,
Ось, подбачась, шевець продовжував:
"Мені здається, обличчя трохи криво...
А ці груди не надто нага?
Тут Апеллес перервав нетерпляче:
"Суди, друже, не вище чобота!"

Є у мене приятель на прикметі:
Не знаю, в якому б предметі
Був знавцем, хоч строгий нон на словах,
Але чорт його несе судити про світло:
Спробуй судити про чоботи!

Проведемо аналіз цієї притчі. Вірш складається з 13 рядків. У ньому виділяється дві смислові частини: перша у 8 рядків і друга (мораль притчі) у 5 рядків (13, 8, 5 – числа Фібоначчі). Один з останніх віршів Пушкіна "Не дорого ціную я гучні права..." складається з 21 рядка і в ньому виділяється дві смислові частини: 13 і 8 рядків. Не дорого ціную я гучні права, Від яких не одна паморочиться в голові. Я не ремствую про те, що відмовили боги Мені в солодкій долі заперечувати податки Або заважати царям один з одним воювати; І мало горя мені, чи вільно друк Морочить дурниць, чи чуйна цензура У журнальних задумах стискує балакура. Все це, бачте, слова, слова, слова. Інші, найкращі, мені дорогі права: Інша, найкраща, потрібна мені свобода: Залежати від царя, залежати від народу Чи не все нам рівне? Бог із ними.Нікому Звіту не давати, собі лише самому Служити та догоджати; для влади, для лівреї Не гнути ні совісті, ні помислів, ні шиї; По забаганню своїй тинятися тут і там, Дивуючись божественним природи красам, І перед творами мистецтв та натхнення Тремтіння радісно в захватах розчулення, Ось щастя! Ось права... Характерно, як і перша частина цього вірша (13 рядків) за змістовим змістом ділиться на 8 і п'ять рядків, тобто весь вірш побудовано за законами золотої пропорції. Представляє безперечний інтерес аналіз роману "Євгеній Онєгін", зроблений М. Васютінським. Цей роман складається з 8 розділів, у кожному їх у середньому близько 50 віршів. Найбільш досконалою, найбільш відточеною та емоційно насиченою є восьма глава. У ній 51 вірш. Разом із листом Євгена до Тетяни (60 рядків) це точно відповідає числу Фібоначчі 55! Васютинський констатує: "Кульмінацією глави є пояснення Євгена в любові до Тетяни - рядок "Блідіти і гаснути... ось блаженство!". Цей рядок ділить весь восьмий розділ на дві частини - у першій 477 рядків, а в другій - 295 рядків. Їх відношення дорівнює 1,617 ! Найтонша відповідність величині золотої пропорції! Це велике диво гармонії, досконале генієм Пушкіна!". Поезія Лермонтова Е. Розєнов провів аналіз багатьох поетичних творів М.Ю. Лермонтова, Шіллера, А.К. Толстого і також виявив у них "золотий перетин".
Знаменитий вірш Лермонтова "Бородіно" ділиться на дві частини: вступ, звернений до оповідача і займає лише одну строфу ("Скажіть, дядько, адже недаремно..."), і головну частину, що представляє самостійне ціле, яке розпадається на дві рівносильні частини. У першій їх описується з наростаючою напругою очікування бою, у другій - сам бій з поступовим зниженням напруги до кінця вірша. Кордон між цими частинами є кульмінаційною точкою твору і припадає саме на точку поділу його золотим перетином. Головна частина вірша складається з 13 семивіршів, тобто з 91 рядка. Розділивши її золотим перетином (91:1,618 = 56,238), переконуємося, що точка розподілу перебуває на початку 57-го вірша, де стоїть коротка фраза: "Ну ж був день!". Саме ця фраза є "кульмінаційним пунктом збудженого очікування", що завершує першу частину вірша (очікування бою) і відкриває другу його частину (опис бою). Отже, золотий перетин грає у поезії дуже осмислену роль, виділяючи кульмінаційний пункт вірша. Поезія Шота Руставелі Багато дослідників поеми Шота Руставелі "Витязь у тигровій шкурі" відзначають виняткову гармонійність та мелодійність його вірша. Ці характеристики поеми грузинський вчений академік Г.В. Церетелі відносить з допомогою свідомого використання поетом золотого перетину як і формуванні форми поеми, і у побудові її віршів. Поема Руставелі складається з 1587 строф, кожна з яких складається з чотирьох рядків. Кожен рядок складається з 16 складів і поділяється на дві рівні частини по 8 складів у кожному піввірші. Всі напіввірші діляться на два сегменти двох видів: А - напіввірші з рівними сегментами та парною кількістю складів (4+4); В - напіввірш з несиметричним розподілом на дві нерівні частини (5+3 або 3+5). Таким чином, у напіввірші В виходять співвідношення 3:5:8, що є наближенням до золотої пропорції.
Встановлено, що в поемі Руставелі з 1587 року строф більше половини (863) побудовані за принципом золотого перетину. В наш час народився новий вид мистецтва - кіно, що увібрав у себе драматургію дії, живопис, музику. У видатних творах кіномистецтва правомірно шукати прояви золотого перетину. Першим це зробив творець шедевра світового кіно "Броненосець Потьомкін" кінорежисер Сергій Ейзенштейн. У побудові цієї картини він зумів втілити основний принцип гармонії – золотий перетин. Як зазначає сам Ейзенштейн, червоний прапор на щоглі броненосця, що повстав (точка апогею фільму), здіймається в точці золотої пропорції, що відраховується від кінця фільму. ЗОЛОТО ПЕРЕКЛА У ШРИФТАХ І ПОБУТОВИХ ПРЕДМЕТАХ Особливий вид образотворчого мистецтва Стародавню Грецію слід виділити виготовлення та розпис всіляких судин. У витонченій формі легко вгадуються пропорції золотого перетину.


У живопису та скульптурі храмів, на предметах домашнього побуту стародавні єгиптяни найчастіше зображували богів та фараонів. Були встановлені канони зображення людини, що стоїть, сидить і т.д. Художники мали заучувати окремі форми і схеми зображення за таблицями і зразкам. Художники Стародавньої Греції робили спеціальні подорожі до Єгипту, щоб навчитися вмінню користуватися каноном. ОПТИМАЛЬНІ ФІЗИЧНІ ПАРАМЕТРИ ЗОВНІШНЬОГО СЕРЕДОВИЩА Гучність звуку.
Відомо, що максимальна гучність звуку, яка викликає болючі відчуття, дорівнює 130 децибелам.
Якщо розділити цей інтервал золотою пропорцією 1618, то отримаємо 80 децибел, які характерні для гучності людського крику.
Якщо тепер 80 децибел розділити золотою пропорцією, то отримаємо 50 децибел, що відповідає гучності людської мови.
Нарешті, якщо розділити 50 децибел квадратом золотої пропорції 2618, то отримаємо 20 децибел, що відповідає шепоту людини.
Таким чином, всі характерні параметри гучності звуку пов'язані через золоту пропорцію.

Вологість повітря. При температурі 18-20 ® інтервал вологості 40-60% вважається оптимальним.

Кордони оптимального діапазону вологості можна отримати, якщо абсолютну вологість 100% двічі розділити золотим перетином:100/2,618 = 38,2% (нижня границя); 100/1,618 = 61,8% (верхній кордон).

Тиск повітря. При тиску повітря 0,5 МПа у людини виникають неприємні відчуття, погіршується його фізична та психологічна діяльність. При тиску 0,3 - 0,35 МПа дозволяється лише короткочасна робота, а при тиску 0,2 МПа дозволяється працювати трохи більше 8 хв.

Усі ці характерні параметри пов'язані між собою золотою пропорцією: 0,5/1,618 = 0,31 МПа; 0,5/2,618 = 0,19 МПа.

Температура зовнішнього повітря. Межними параметрами температури зовнішнього повітря, в межах яких можливе нормальне існування (а, головне, стало можливим походження) людини, є діапазон температур від 0 до +(57-58)®С. Очевидно, по першому кордоні пояснень можна не наводити.

Розділимо вказаний діапазон позитивних температур золотим перетином. При цьому отримаємо дві межі:

Обидві межі є характерними для організму людини температурами: перша відповідає температу Друга межа відповідає максимально можливої ​​температури зовнішнього повітря для організму людини.
ЗОЛОТО ПЕРЕЧЕННЯ В ЖИВОПИСУ
Ще в епоху Відродження художники відкрили, що будь-яка картина має певні точки, які мимоволі приковують нашу увагу, так звані зорові центри. При цьому абсолютно неважливо, який формат має картина – горизонтальний чи вертикальний. Таких точок всього чотири, і розташовані вони на відстані 3/8 та 5/8 від відповідних країв площини.


Дане відкриття у художників того часу отримало назву "золотий перетин" картини. Переходячи до прикладів "золотого перетину" у живописі, не можна не зупинити своєї уваги на творчості Леонардо да Вінчі. Його особистість – одна із загадок історії. Сам Леонардо да Вінчі говорив: "Нехай ніхто, не будучи математиком, не сміється читати мою працю".
Він здобув славу неперевершеного художника, великого вченого, генія, який передбачив багато винаходів, які були здійснені аж до XX в.
Немає сумнівів, що Леонардо да Вінчі був великим художником, це визнавали вже його сучасники, але його особистість та діяльність залишаться покритими таємницею, тому що він залишив нащадкам не зв'язне викладення своїх ідей, а лише численні рукописні начерки, замітки, в яких йдеться "про усім у світі".
Він писав праворуч наліво нерозбірливим почерком та лівою рукою. Це найвідоміший із існуючих зразок дзеркального листа.
Портрет Монни Лізи (Джоконди) довгі роки привертає увагу дослідників, які виявили, що композиція малюнка заснована на золотих трикутниках, що є частинами правильного п'ятикутника. Існує багато версій про історію цього портрета. Ось одна з них.
Якось Леонардо да Вінчі отримав замовлення від банкіра Франческо де ле Джокондо написати портрет молодої жінки, дружини банкіра, Монни Лізи. Жінка була красива, але у ній приваблювала простота і природність образу. Леонардо погодився написати портрет. Його модель була сумною та сумною, але Леонардо розповів їй казку, почувши яку вона стала живою та цікавою.
КАЗКА
Жив-був один бідний чоловік, було у нього чотири сини: три розумні, а один з них і так, і сяк. І ось прийшла по батькові смерть. Перед тим, як розлучитися з життям, він покликав до себе дітей і сказав: «Сини мої, незабаром я помру. щоб міг годувати сам себе. Батько помер, а сини розійшлися світом, домовившись через три роки повернутися на галявину рідного гаю. Прийшов перший брат, який навчився плотничати, зрубав дерево і обтесав його, зробив з нього жінку, трохи відійшов і чекає. Повернувся другий брат, побачив дерев'яну жінку і, оскільки він був кравцем, в одну хвилину одягнув її: як майстерний майстер він пошив для неї гарний шовковий одяг. Третій син прикрасив жінку золотом та дорогоцінним камінням - адже він був ювелір. Нарешті прийшов четвертий брат. Він не умів теслити і шити, він умів тільки слухати, що говорить земля, дерева, трави, звірі та птахи, знав хід небесних тіл і ще умів співати чудові пісні. Він заспівав пісню, від якої заплакали брати, що причаїлися за кущами. Піснею цією він оживив жінку, вона посміхнулася і зітхнула. Брати кинулися до неї і кожен кричав те саме: "Ти повинна бути моєю дружиною". Але жінка відповіла: "Ти мене створив – будь мені батьком. Ти мене одягнув, а ти прикрасив – будьте мені братами".
А ти, що вдихнув у мене душу і навчив радіти життю, ти один мені потрібен на все життя".
Скінчивши казку, Леонардо глянув на Монну Лізу, її обличчя засяяло світлом, очі сяяли. Потім, ніби прокинувшись від сну, вона зітхнула, провела по обличчю рукою і без слів пішла на своє місце, склала руки і прийняла звичайну позу. Але справа була зроблена - художник пробудив байдужу статую; посмішка блаженства, повільно зникаючи з її обличчя, залишилася в куточках рота і тремтіла, надаючи обличчю дивовижний, загадковий і трохи лукавий вираз, як у людини, яка дізналася про таємницю і, дбайливо її зберігаючи, не може стримати торжество. Леонардо мовчки працював, боячись прогаяти цей момент, цей промінь сонця, що освітлював його нудну модель.
Важко відзначити, що помічали в цьому шедеврі мистецтва, але всі говорили про те глибоке знання Леонардо будови людського тіла, завдяки якому йому вдалося вловити цю ніби загадкову усмішку. Говорили про виразність окремих частин картини та про пейзаж, небувалий супутник портрета. Тлумачили про природність висловлювання, про простоту пози, про красу рук. Художник зробив ще небувале: на картині зображено повітря, він огортає фігуру прозорим серпанком. Незважаючи на успіх, Леонардо був похмурим, становище у Флоренції здалося художнику обтяжливим, він зібрався в дорогу. Не допомогли йому нагадування про замовлення, що нахлинули.

Золотий перетин у картині І. І. Шишкіна "Сосновий гай" На цій знаменитій картині І. І. Шишкіна очевидно проглядаються мотиви золотого перетину. Яскраво освітлена сонцем сосна (яка стоїть першому плані) ділить довжину картини по золотому перетину. Праворуч від сосни - освітлений сонцем пагорб. Він ділить по золотому перерізу праву частину картини по горизонталі. Зліва від головної сосни знаходиться безліч сосен - при бажанні можна з успіхом продовжити поділ картини із золотого перетину і далі.
Наявність у картині яскравих вертикалей та горизонталей, що ділять її щодо золотого перетину, надає їй характеру врівноваженості та спокою, відповідно до задуму художника. Коли ж задум художника інший, якщо, скажімо, він створює картину з дією, що бурхливо розвивається, подібна геометрична схема композиції (з переважанням вертикалей і горизонталей) стає неприйнятною.
В. І. Суріков. "Бояриня Морозова". Ролі її відведено середню частину картини. Вона кована точкою найвищого зльоту і точкою нижчого спадання сюжету картини. 1) Це - зліт руки Морозової з двопалим хресним знаменням як найвища точка. 2) Це – безпорадно простягнута до тієї ж боярини рука, але цього разу – рука старої – злиденної мандрівниці, рука, з-під якої разом із останньою надією на порятунок вислизає кінець розвальніше. А як справи з "вищою точкою"? На перший погляд маємо суперечність, що здається: адже перетин А1В1, що віддаляється на 0,618... від правого краю картини, проходить не через руку, не навіть через голову або око боярині, а виявляється десь перед ротом боярині! Золотий переріз ріже тут справді найголовніше. У ньому, і саме в ньому, найбільша сила Морозової. Золотий перетин у картині Леонардо да Вінчі "Джоконда"
	Портрет Мони Лізи приваблює тим, що композиція малюнка побудована на " золотих трикутниках " (точніше на трикутниках, які є шматками правильного п'ятикутника).
Немає живопису поетичніше, ніж живопис Боттічеллі Сандро, і немає у великого Сандро картини більш знаменитої, ніж його "Венера". Для Боттічеллі його Венера - це втілення ідеї універсальної гармонії "золотого перетину", що панує у природі. Пропорційний аналіз Венери переконує нас у цьому. Рафаель "Афінська школа" Рафаель не був ученим-математиком, але, подібно до багатьох художників тієї епохи, володів чималими знаннями в геометрії. У знаменитій фресці "Афінська школа", де в храмі науки чекає суспільство великих філософів давнини, нашу увагу привертає група Евкліда - найбільшого давньогрецького математика, який розбирає складне креслення. Хитромудра комбінація двох трикутників також побудована відповідно до пропорції золотого перерізу: вона може бути вписана в прямокутник із співвідношенням сторін 5/8. Цей креслення напрочуд легко вставляється у верхню ділянку архітектури. Верхній кут трикутника упирається в замковий камінь арки на ближньому до глядача ділянці, нижній - у точку сходу перспектив, а бічна ділянка означає пропорції просторового розриву між двома частинами арок. Золота спіраль у картині Рафаеля "Побиття немовлят"
На відміну від золотого перетину відчуття динаміки, хвилювання проявляється, мабуть, найсильніше в іншій простій геометричній фігурі – спіралі. Багатофігурна композиція, виконана в 1509 - 1510 роках Рафаелем, коли прославлений художник створював свої фрески у Ватикані, якраз відрізняється динамізмом і драматизмом сюжету. Рафаель так і не довів свій задум до завершення, однак його ескіз був гравірований невідомим італійським графіком Маркантініо Раймонді, який на основі цього ескізу і створив гравюру "Побиття немовлят". Якщо на підготовчому ескізі Рафаеля подумки провести лінії, що йдуть від смислового центру композиції - точки, де пальці воїна зімкнулися навколо кісточки дитини, - вздовж фігур дитини, жінки, що притискає її до себе, воїна із занесеним мечем і потім вздовж фігур такої ж групи у правій частини ескізу (на малюнку ці лінії проведені червоним кольором), а потім з'єднати ці шматки кривою пунктиром, то з дуже великою точністю виходить золота спіраль. Це можна перевірити, вимірюючи відношення довжин відрізків, що висікаються спіраллю на прямих, що проходять через початок кривої.
ЗОЛОТИЙ ПЕРЕКЛАД І СПРИЙНЯТТЯ ЗОБРАЖЕННЯ Про здатність зорового аналізатора людини виділяти об'єкти, побудовані за алгоритмом золотого перетину, як гарні, привабливі та гармонійні, відомо давно. Золотий переріз дає відчуття найдосконалішого єдиного цілого. Формат багатьох книг відповідає золотому перерізу. Воно вибирається для вікон, мальовничих полотен та конвертів, марок, візиток. Людина може нічого не знати про число Ф, але у будові предметів, а також у послідовності подій він підсвідомо знаходить елементи золотої пропорції. Проводилися дослідження, у яких випробуваним пропонувалося вибирати та копіювати прямокутники різних пропорцій. На вибір пропонувалося три прямокутники: квадрат (40:40 мм), прямокутник "золотого перерізу" з відношенням сторін 1:1,62 (31:50 мм) та прямокутник з подовженими пропорціями 1:2,31 (26:60 мм). При виборі прямокутників у звичайному стані в 1/2 випадків перевага надається квадрату. Права півкуля віддає перевагу золотому перетину і відкидає витягнутий прямокутник. Навпаки, ліва півкуля тяжіє до подовжених пропорцій і відкидає золотий перетин. При копіюванні цих прямокутників спостерігалося таке. Коли активно права півкуля, пропорції в копіях витримувалися найбільш точно. При активності лівої півкулі пропорції всіх прямокутників спотворювалися, прямокутники витягувалися (квадрат змальовувався як прямокутник із ставленням сторін 1:1,2; пропорції витягнутого прямокутника різко збільшувалися та досягали 1:2,8). Найбільш сильно спотворювалися пропорції "золотого" прямокутника; його пропорції у копіях ставали пропорціями прямокутника 1:2,08. При малюванні своїх малюнків переважають пропорції, близькі до золотого перетину, і витягнуті. У середньому пропорції складають 1:2, при цьому права півкуля віддає перевагу пропорціям золотого перерізу, ліва півкуля відходить від пропорцій золотого перерізу і витягує малюнок. А тепер намалюйте кілька прямокутників, виміряйте їхні сторони та знайдіть співвідношення сторін. Яка півкуля у Вас переважає?

ЗОЛОТО ПЕРЕКЛА У ФОТОГРАФІЇ
Прикладом використання золотого перерізу у фотографії є ​​розташування ключових компонентів кадру в точках, що розташовані в 3/8 та 5/8 від країв кадру. Це можна проілюструвати наступним прикладом.

Ось фотографія кота, який розташований у довільному місці кадру.

Тепер умовно поділимо кадр на відрізки, пропорції по 1.62 загальної довжини від кожної сторони кадру. У місцях перетину відрізків і будуть основні "зорові центри", де варто розмістити необхідні ключові елементи зображення. Перенесемо нашого кота у точки "зорових центрів". ЗОЛОТО ПЕРЕКЛАД І КОСМОС З історії астрономії відомо, що І.Тіціус, німецький астроном XVIII ст., за допомогою цього ряду знайшов закономірність та порядок у відстанях між планетами сонячної системи.
Однак один випадок, який, здавалося б, суперечив закону: між Марсом та Юпітером не було планети. Зосереджене спостереження за цією ділянкою неба призвело до відкриття поясу астероїдів. Сталося це після смерті Тиціуса на початку ХІХ ст. Ряд Фібоначчі використовують широко: з його допомогою представляють архітектоніку і живих істот, і рукотворних споруд, і будову Галактик. Ці факти – свідчення незалежності числового ряду від умов його прояву, що є однією з ознак його універсальності.



Дві Золоті Спіралі галактики сумісні із Зіркою Давида. Зверніть увагу на зірки, що виходять із галактики по білій спіралі. Точно на 180® від однієї зі спіралей виходить інша спіраль, що розгортається. …Довгий час астрономи просто вважали, що все, що там є – це те, що ми бачимо; якщо щось мабуть, воно існує. Вони або зовсім не помічали невидимої частини Реальності, або не вважали її важливою. Але невидима сторона нашої Реальності насправді значно більша за видиму сторону і, ймовірно, важливіша. ... Іншими словами, видима частина Реальності значно менша, ніж один відсоток від цілого - майже ніщо. Насправді наш справжній будинок - невидимий всесвіт... У Всесвіті всі відомі людству галактики і всі тіла в них існують у формі спіралі, що відповідає формулі золотого перетину. У спіралі нашої галактики лежить коефіцієнт золотого перетину


ВИСНОВОК Природа, сприйнята як увесь світ у різноманітті його форм, складається з двох частин: жива і нежива природа. Для творінь неживої природи характерна висока стійкість, слабка мінливість, якщо судити у масштабах життя. Людина народжується, живе, старіє, вмирає, а гранітні гори залишаються такими ж і планети обертаються навколо Сонця так само, як і за часів Піфагора. Світ живої природи постає перед нами зовсім іншим - рухливим, мінливим і напрочуд різноманітним. Життя демонструє нам фантастичний карнавал різноманітності та неповторності творчих комбінацій! Світ неживої природи - це насамперед світ симетрії, що надає його витворам стійкість та красу. Світ природи - це насамперед світ гармонії, у якій діє "закон золотого перетину". У світі наука набуває особливого значення у зв'язку з посиленням впливу людини на природу. Важливими завданнями на сучасному етапі є пошук нових шляхів співіснування людини та природи, вивчення філософських, соціальних, економічних, освітніх та інших проблем, що стоять перед суспільством. У цій роботі було розглянуто вплив властивостей "золотого перетину" на живу і не живу природу, на історичний перебіг розвитку історії людства та планети загалом. Аналізуючи все вищевикладене можна ще раз подивитися грандіозності процесу пізнання світу, відкриттям нових його закономірностей і зробити висновок: принцип золотого перетину - найвищий прояв структурного іфункціональний ого досконалості цілого та його частин у мистецтві, науці, техніці та природі. Можна очікувати, що закони розвитку різних систем природи, закони зростання не дуже різноманітні і простежуються в різних утвореннях. У цьому вся проявляється єдність природи. Ідея такої єдності, заснована на прояві тих самих закономірностей у різнорідних явищах природи, зберегла свою актуальність від Піфагора до наших днів.й. 51

У всесвіті ще багато нерозгаданих таємниць, деякі з яких вчені вже змогли визначити та описати. Числа Фібоначчі та золотий перетин становлять основу розгадки навколишнього світу, побудови його форми та оптимального зорового сприйняття людиною, за допомогою яких вона може відчувати красу та гармонію.

Золотий перетин

Принцип визначення розмірів золотого перетину лежить в основі досконалості цілого світу та його частин у своїй структурі та функціях, його прояв можна бачити у природі, мистецтві та техніці. Вчення про золоту пропорцію було закладено в результаті досліджень давніми вченими природи чисел.

В основі його лежить теорія про пропорції та співвідношення поділів відрізків, яке було зроблено ще давнім філософом та математиком Піфагором. Він довів, що при розділенні відрізка на дві частини: X (меншу) і Y (велику), відношення більшого до меншого буде рівним відношенню їх суми (всього відрізка):

В результаті виходить рівняння: х 2 - х - 1 = 0,яке вирішується як х=(1±√5)/2.

Якщо розглянути співвідношення 1/х, воно дорівнює 1,618…

Свідчення використання стародавніми мислителями золотої пропорції наведено у книзі Евкліда «Початки», написаної ще 3 в. до н.е., який застосовував це правило для побудови правильних 5-кутників. У піфагорійців ця фігура вважається священною, оскільки є одночасно симетричною та асиметричною. Пентаграма символізувала життя та здоров'я.

Числа Фібоначчі

Знаменита книга Liber abaci математика з Італії Леонардо Пізанського, який згодом став відомий, як Фібоначчі, побачила світ у 1202 р. У ній учений вперше наводить закономірність чисел, серед яких кожне число є сумою 2-х попередніх цифр. Послідовність чисел Фібоначчі полягає в наступному:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 і т.д.

Також учений навів низку закономірностей:

• Будь-яке число з ряду, розділене на наступне, дорівнюватиме значенню, яке прагне 0,618. Причому перші числа Фібоначчі не дають такого числа, але в міру просування від початку послідовності це співвідношення буде більш точним.
• Якщо ж поділити число із ряду на попереднє, то результат спрямує до 1,618.
• Одне число, поділене наступне через одне, покаже значення, що прагне 0,382.

Застосування зв'язку і закономірностей золотого перерізу, числа Фібоначчі (0,618) можна знайти у математиці, а й у природі, історії, в архітектурі та будівництві й у багатьох інших науках.

Спіраль Архімеда та золотий прямокутник

Спіралі, дуже поширені у природі, було досліджено Архімедом, який навіть вивів її рівняння. Форма спіралі ґрунтується на законах про золотий перетин. При її розкручуванні виходить довжина, до якої можна застосувати пропорції та числа Фібоначчі, збільшення кроку відбувається поступово.

Паралель між числами Фібоначчі та золотим перетином можна побачити і збудувавши «золотий прямокутник», у якого сторони пропорційні, як 1,618:1. Він будується, переходячи від більшого прямокутника до малих так, що довжини сторін дорівнюватимуть числам з ряду. Побудова його можна зробити і у зворотному порядку, починаючи з квадратика «1». При з'єднанні лініями кутів прямокутника в центрі їх перетину виходить спіраль Фібоначчі або логарифмічна.

Історія застосування золотих пропорцій

Багато стародавніх пам'яток архітектури Єгипту зведено з використанням золотих пропорцій: знамениті піраміди Хеопса та ін. Архітектори Стародавньої Греції широко використовували їх при зведенні архітектурних об'єктів, таких як храми, амфітеатри, стадіони. Наприклад, були застосовані такі пропорції при будівництві античного храму Парфенон, (Афіни) та інших об'єктів, які стали шедеврами стародавнього зодчества, що демонструють гармонію на математичній закономірності.

У пізніші століття інтерес до золотого перетину вщух, і закономірності були забуті, проте знову відновився в епоху Ренесансу разом з книгою францисканського ченця Л. Пачолі ді Борго «Божественна пропорція» (1509). У ній було наведено ілюстрації Леонардо да Вінчі, який і закріпив нову назву «золотий перетин». Також було науково доведено 12 властивостей золотої пропорції, причому автор розповідав про те, як проявляється вона у природі, мистецтві та називав її «принципом побудови світу та природи».

Вітрувіанська людина Леонардо

Малюнок, яким Леонардо да Вінчі в 1492 проілюстрував книгу Вітрувія, зображує фігуру людини в 2-х позиціях з руками, розведеними в сторони. Фігура вписана у коло та квадрат. Цей малюнок прийнято вважати канонічними пропорціями людського тіла (чоловічого), описаними Леонардо з урахуванням вивчення в трактатах римського архітектора Вітрувія.

Центром тіла як рівновіддаленою точкою від кінця рук і ніг вважається пупок, довжина рук прирівнюється до зростання людини, максимальна ширина плечей = 1/8 зростання, відстань від верху грудей до волосся = 1/7, від верху грудей до верху голови =1/6 і т.д.

З того часу малюнок використовується як символ, що показує внутрішню симетрію тіла людини.

Термін "Золотий перетин" Леонардо використовував для позначення пропорційних відносин у фігурі людини. Наприклад, відстань від пояса до ніг співвідноситься до аналогічної відстані від пупка до верхівки так само, як зростання до першої довжини (від пояса вниз). Ці обчислення виробляється аналогічно співвідношенню відрізків при обчисленні золотої пропорції і прагне 1,618.

Всі ці гармонійні пропорції часто використовуються митцями для створення красивих і вражаючих творів.

Дослідження золотого перетину у 16-19 століттях

Використовуючи золотий переріз і числа Фібоначчі, дослідницьку роботу з питання пропорції продовжують не одне століття. Паралельно з Леонардо да Вінчі німецький художник Альбрехт Дюрер також розробляв теорію правильних пропорцій тіла людини. Для цього їм навіть було створено спеціальний циркуль.

У 16 ст. питанню про зв'язок числа Фібоначчі та золотого перерізу були присвячені роботи астронома І. Кеплера, який уперше застосував ці правила для ботаніки.

Нове «відкриття» очікувало золотий перетин у 19 ст. з опублікуванням "Естетичного дослідження" німецького вченого професора Цейзіга. Він звів ці пропорції в абсолют і оголосив у тому, що вони універсальні всім природних явищ. Їм були проведені дослідження величезної кількості людей, вірніше їх тілесних пропорцій (близько 2 тис.), за підсумками яких зроблено висновки про статистичні підтверджені закономірності у співвідношеннях різних частин тіла: довжини плечей, передпліч, кистей, пальців тощо.

Було досліджено також предмети мистецтва (вази, архітектурні споруди), музичні тони, розміри під час написання віршів — усе це Цейзіг відобразив через довжини відрізків і цифри, він запровадив термін «математична естетика». Після отримання результатів з'ясувалося, що виходить низка Фібоначчі.

Число Фібоначчі та золотий перетин у природі

У рослинному та тваринному світі існує тенденція до формоутворення у вигляді симетрії, яка спостерігається у напрямку зростання та руху. Поділ на симетричні частини, у яких дотримуються золоті пропорції, — така закономірність притаманна багатьом рослинам і тваринам.

Природа навколо нас може бути описана за допомогою чисел Фібоначчі, наприклад:

• розташування листя або гілок будь-яких рослин, а також відстані співвідносяться з рядом наведених чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 і далі;
• насіння соняшника (луска на шишках, осередки ананаса), розташовуючись двома рядами по закручених спіралях у різні боки;
• співвідношення довжини хвоста та всього тіла ящірки;
• форма яйця, якщо провести лінію умовно через широку частину;
• співвідношення розмірів пальців на руці людини.

І, звичайно, найцікавіші форми представляють раковини равликів, що закручуються по спіралі, візерунки на павутині, рух вітру всередині урагану, подвійна спіраль в ДНК і структура галактик - всі вони включають послідовність чисел Фібоначчі.

Використання золотого перерізу мистецтво

Дослідники, які займаються пошуком у мистецтві прикладів використання золотого перерізу, докладно досліджують різні архітектурні об'єкти та твори живопису. Відомі знамениті скульптурні роботи, творці яких дотримувалися золотих пропорцій, - статуї Зевса Олімпійського, Аполлона Бельведерського та

Один із творів Леонардо да Вінчі — «Портрет Мони Лізи» — вже багато років є предметом досліджень вчених. Ними було виявлено, що композиція роботи повністю складається із «золотих трикутників», об'єднаних разом у правильний п'ятикутник-зірку. Всі роботи да Вінчі є свідченням того, наскільки глибокі були його пізнання в будові та пропорціях тіла людини, завдяки чому він і зміг вловити неймовірно загадкову усмішку Джоконди.

Золотий перетин в архітектурі

Як приклад вчені досліджували шедеври архітектури, створені за правилами «золотого перерізу»: єгипетські піраміди, Пантеон, Парфенон, Собор Нотр-Дам де Парі, храм Василя Блаженного та ін.

Парфенон - одна з найкрасивіших будівель у Стародавній Греції (5 ст. до н.е.) - має 8 колон і 17 по різних сторонах, відношення його висоти до довжини сторін дорівнює 0,618. Виступи на його фасадах зроблено за «золотим перетином» (фото нижче).

Одним із вчених, який придумав та успішно застосовував удосконалення модульної системи пропорцій для архітектурних об'єктів (так званий «модулер»), був французький архітектор Ле Корбюзьє. В основу модулера покладено вимірювальну систему, пов'язану з умовним розподілом на частини людського тіла.

Російський архітектор М. Казаков, який збудував кілька житлових будинків у Москві, а також будівлі сенату в Кремлі та Голіцинській лікарні (зараз 1-а Клінічна ім. М. І. Пирогова), був одним з архітекторів, які використовували при проектуванні та будівництві закони. про золотий переріз.

Застосування пропорцій у дизайні

У дизайні одягу всі модельєри роблять нові образи та моделі з урахуванням пропорцій людського тіла та правил золотого перетину, хоча від природи не всі люди мають ідеальні пропорції.

При плануванні ландшафтного дизайну та створенні об'ємних паркових композицій за допомогою рослин (дерев та чагарників), фонтанів та малих архітектурних об'єктів також можуть застосовуватися закономірності «божественних пропорцій». Адже композиція парку має бути орієнтована створення враження на відвідувача, який вільно зможе орієнтуватися у ньому і знаходити композиційний центр.

Всі елементи парку знаходяться в таких співвідношеннях, щоб за допомогою геометричної будови, взаєморозташування, освітлення та світла, справити на людину враження гармонії та досконалості.

Застосування золотого перерізу в кібернетиці та техніці

Закономірності золотого перерізу та чисел Фібоначчі виявляються також у переходах енергії, у процесах, що відбуваються з елементарними частинками, що становлять хімічні сполуки, у космічних системах, у генній структурі ДНК.

Аналогічні процеси відбуваються і в організмі людини, виявляючись у біоритмах його життя, у дії органів, наприклад, головного мозку чи зору.

Алгоритми та закономірності золотих пропорцій широко використовуються в сучасній кібернетиці та інформатиці. Одне з нескладних завдань, яке дають вирішувати програмістам-початківцям, — написати формулу і визначити, суму чисел Фібоначчі до певного числа, використовуючи мови програмування.

Сучасні дослідження теорії про золоту пропорцію

Починаючи з середини 20 століття, інтерес до проблем та впливу закономірностей золотих пропорцій на життя людини різко зростає, причому з боку багатьох вчених різних професій: математиків, дослідників етносу, біологів, філософів, медичних працівників, економістів, музикантів та ін.

У США з 1970-х років починає випускатись журнал The Fibonacci Quarterly, де публікуються роботи на цю тему. У пресі з'являються роботи, у яких узагальнені правила золотого перерізу та низки Фібоначчі використовують у різних галузях знань. Наприклад, для кодування інформації, хімічних досліджень, біологічних та ін.

Усе це підтверджує висновки древніх і сучасних учених у тому, що золота пропорція багатосторонньо пов'язані з фундаментальними питаннями науки і виявляється у симетрії багатьох творінь і явищ навколишнього світу.

Ще у стародавньому Єгипті було відомо Золотий перетин, Леонардо да Вінчі та Евклід вивчали властивості його.Зорове сприйняття людини влаштовано таким чином, що вона розрізняє формою всі предмети, які її оточують. Його інтерес до предмета чи його формі, продиктований іноді необхідністю, чи це інтерес могла викликати краса предмета. Якщо в самій основі побудови форми, використано поєднання золотого перетинуі закони симетрії, це найкраще поєднання для візуального сприйняття людиною, яка відчуває гармонію і красу. Все ціле складається з частин, великих і малих, і ці різної величини частини мають певне відношення як один до одного, так і до цілого. А найвищий прояв функціональної та структурної досконалості у природі, науці, мистецтві, архітектурі та техніці це Принцип золотого перетину. Поняття про золотому перетиніввів у науковий побут давньогрецький математик та філософ (VI ст. до н.е.) Піфагор. Але саме знання про золотому перетинівін запозичив у стародавніх єгиптян. Пропорції всіх будівель храмів, піраміди Хеопса, барельєфів, предмети побуту та прикраси з гробниць показують, що співвідношення золотого перетинуактивно використовувалося стародавніми майстрами ще задовго до Піфагора. Як приклад: барельєф із храму Мережі I в Абідосі та в барельєфі Рамзеса використаний принцип золотого перетинуу пропорціях фігур. З'ясував це архітектор Ле Корбюзьє. На дерев'яній дошці витягнутої з гробниці Зодчого Хесира зображено рельєфний малюнок, на якому видно сам архітектор, що тримає в руках інструменти для вимірювань, які зображені в положенні, що фіксує принципи. золотого перетину. Знав про принципи золотого перетинуі Платон (427 ... 347 рр.. До н.е.). Діалог «Тімей» тому доказ, оскільки він присвячений питанням золотого поділу, естетичним та математичним поглядам школи Піфагора Принципи Золотий перерізвикористано давньогрецькими архітекторами у фасаді храму Парфенона. Циркулі, які застосовували у своїй роботі стародавні архітектори та скульптори античного світу, були виявлені при розкопках храму Парфенона.

Парфенон, Акрополь., Афіни У Помпеях (музей у Неаполі) пропорції золотого поділутак само є в наявності.В античній літературі принцип, що дійшов до нас золотого перетинузгадується вперше у «Початках» Евкліда. У книзі «Початок» у другій частині дається геометричний принцип золотого перетину. Послідовниками Евкліда стали Папп (III ст. н.е.) Гіпсікл (II ст. до н.е.) та ін. У середньовічну Європу з принципом золотого перетинупознайомилися з перекладів з арабської Евклідівської «Початок». Принципи золотого перетинубули відомі лише вузькому колу посвячених, вони ревно оберігалися, зберігалися у суворій таємниці. Настала епоха відродження та інтерес до принципів золотого перетинузбільшується серед учених і художників оскільки цей принцип застосовний й у науці, й у архітектурі, й у мистецтві. І Леонардо Да Вінчі став використовувати ці принципи у своїх творах, навіть навіть він почав писати книгу з геометрії, але але в цей час з'явилася книга ченця Лукі Пачолі, який випередив його і випустив у світ книгу «Божественна пропорція» після чого Леонардо залишив свій працю не закінченим. За оцінками істориків науки і сучасників, Лука Пачолі був справжнім світилом, геніальним Італійським математиком, який проживав у період між Галілеєм і Фібоначчі. Будучи учнем художника П'єро делла Франческі, Лука Пачолі написав дві книги, «Про перспективу живопису», назву однієї з них. Він на думку багатьох є творцем накреслювальної геометрії. Лука Пачолі на запрошення герцога Моро в 1496 приїжджає в Мілан, і читає там лекції з математики. Леонардо да Вінчі тим часом працював при дворі Моро. Видана у 1509 році у Венеції книга Луки Пачолі «Божественна пропорція» стала захопленим гімном золотий пропорції, з ілюстраціями чудово виконаними, є всі підстави вважати, що ілюстрації виконав сам Леонардо да Вінчі. Монах Лука Пачолі, як одна з переваг золотий пропорціївиділяв її «божественну суть». Розуміючи наукову та художню цінність золотого перетину, Леонардо да Вінчі присвячував багато часу на його вивчення. Виконуючи переріз стереометричного тіла, що складається з п'ятикутників, він отримував прямокутники з відносинами сторін відповідно до золотим перетином. І назву він йому дав “ Золотий перетин”. Яке тримається досі. Альбрехт Дюрер, також займається вивченням золотого перетинуу Європі, зустрічається з ченцем Лукою Пачолі. Йоган Кеплер найбільший астроном того часу, першим звертає увагу на значення золотого перетинудля ботаніки називаючи його скарбом геометрії. Він називав золоту пропорцію продовжує саму себе "Вона так влаштована, - він говорив, - сума двох молодших членів нескінченної пропорції дають третій член, а будь-які два останні члени, якщо їх скласти, дають наступний член, причому та ж пропорція зберігається до нескінченності".

Золотий трикутник:: Золоте відношення та Золоте Перетин:: Золотий прямокутник:: Золота спіраль

Золотий трикутник

Щоб знайти відрізки золотої пропорції низхідного і висхідного рядів скористаємося пентаграмою.

Рис. 5. Побудова правильного п'ятикутника та пентаграми

Для того, щоб побудувати пентаграму, потрібно накреслити правильний п'ятикутник за розробленим німецьким живописцем і графіком Альбрехтом Дюрером, способом побудови. Якщо O – центр кола, A – точка на колі та Е – середина відрізка ОА. Перпендикуляр до радіусу ОА, відновлений у точці О, перетинається з колом у точці D. Використовуючи циркуль, відзначимо відрізок на діаметрі CE = ED. Тоді довжина сторони вписаного в коло правильного п'ятикутника дорівнює DC. Відкладаємо на колі відрізки DC та отримаємо п'ять точок для накреслення правильного п'ятикутника. Потім через один кут з'єднуємо кути п'ятикутника діагоналями та отримаємо пентаграму. Усі діагоналі п'ятикутника ділять один одного на відрізки, пов'язані між собою золотою пропорцією.

Кожен кінець п'ятикутної зірки є золотим трикутником. Його сторони утворюють кут 36° при вершині, а основа, відкладена на бік, ділить її в пропорції золотого перерізу. Проводимо пряму АВ. Від точки А відкладаємо на ній три рази відрізок Про довільну величину, через отриману точку Р проводимо перпендикуляр до лінії АВ, на перпендикулярі праворуч і ліворуч від точки Р відкладаємо відрізки О. Отримані точки d і d1 з'єднуємо прямими з точкою А. Відрізок dd1 відкладаємо лінію Ad1, отримуючи точку С. Вона розділила лінію Ad1 у пропорції золотого перерізу. Лініями Ad1 та dd1 користуються для побудови «золотого» прямокутника.

Рис. 6. Побудова золотого

трикутника

Золотий перетин та Золотий Перетин

У математиці та мистецтві, дві величини знаходяться в золотій пропорції, якщо співвідношення між сумою цих величин і більшого таке ж, як співвідношення між більшим і меншим. Виразив алгебраїчно: Золоте перетин часто позначається грецькою літерою фі (? або?).фігура золотого перерізу ілюструє геометричні відносини, що визначають цю константу. Золотий переріз є ірраціональною математичною константою, приблизно 1,6180339887.

Золотий прямокутник

Золотий прямокутник є прямокутником, довжини сторін знаходяться в золотій пропорції, 1:? (один-к-фі), тобто 1: або приблизно 1:1.618. Золотий прямокутник може бути побудований лише з лінійкою та циркулем: 1. Побудувати простий квадрат 2. Намалюйте лінію від середини однієї сторони площі до протилежного кута 3. Використовуйте цю лінію як радіус, щоб намалювати дугу, яка визначає висоту прямокутника 4. Завершити золотий прямокутник

Золота спіраль

У геометрії золотою спіраллю є логарифмічна спіраль, фактор зростання якої b пов'язаний з? , Золотий переріз. Зокрема, золота спіраль стає ширшою (далі від місця її початку) на коефіцієнт ? для кожної чверті обороту що вона робить.

Послідовні точки поділу золотого прямокутника на квадрати лежать на логарифмічна спіраль, яка іноді відома як золота спіраль.

Золотий перетин в архітектурі та мистецтві.

Багато архітекторів і художників свої роботи виконували відповідно до пропорцій золотого перетину, особливо у вигляді золотого прямокутника, в якому відношення більшої сторони до меншої має пропорції золотого перетину, вважаючи, що це співвідношення буде естетичним. [ Джерело: Wikipedia.org ]

Ось кілька прикладів:

Парфенон, Акрополь., Афіни . Цей стародавній храм підходить майже точно у золотий прямокутник.

Вітрувіанська Людина Леонардо да Вінчі можна зробити багато ліній прямокутників у цю цифру. Потім, існують три різні набори золотих прямокутників: Кожен набір для області голови, тулуба та ніг. Людина іноді плутають з принципами "золотого прямокутника", однак, це не так. Побудова Вітрувіанської Людини заснована на малюванні кола з діаметром, рівним діагоналі квадрата, переміщуючи його вгору таким чином, що він стосуватиметься основи квадрата і складання остаточного кола між основою площі та середньою точкою між площею центру квадрата та центру кола: Детальне пояснення про геометричне будівництво >>

Золотий перетин у природі.

Адольф Цейзінг, чиї основні інтереси були математика та філософія, знайшов золоту пропорцію в розташуванні гілок вздовж стебла рослини та прожилок у листі. Він розширив свої дослідження і від рослин перейшов до тварин, вивчаючи скелети тварин та розгалужень їх вен і нервів, а також у пропорціях хімічних сполук та геометрії кристалів, аж до використання золотого перетину в образотворчому мистецтві. У цих явищах він побачив, що золота пропорція використовується скрізь як універсальний закон, Цейзінг написав у 1854 році. Золотий переріз є універсальним законом, в якому міститься основний принцип, що формує прагнення до краси та повноти в таких галузях, як природи, так і мистецтва, яка пронизує, як першорядний духовний ідеал, усіх структур, форм і пропорцій, чи то космічна чи фізична особа, органічне чи неорганічне, акустичне чи оптичне, але найповнішу реалізацію принцип золотого перерізу знаходить, у людській формі.

Приклади:

Зріз оболонки Nautilus відкриває золотий принцип побудови спіралі.

Моцарт розділив свої сонати на дві частини, довжини яких відбивають Золотий перетинхоча існує багато суперечок про те, чи свідомо він це зробив. У більш сучасні часи угорський композитор Бела Барток і французький архітектор Ле Корбюзьє цілеспрямовано включали принцип золотої пропорції у свої роботи. Навіть сьогодні, Золотий перетиноточує нас повсюдно у штучних предметах. Подивіться практично будь-який християнський хрест, ставлення вертикальної частини до горизонтальної золота пропорція. Щоб знайти золотий прямокутник, подивіться у своєму гаманці, і ви знайдете там кредитні картки.Незважаючи на ці численні докази, наведені у витворах мистецтва, створені протягом століть, нині точаться дискусії серед психологів про те, чи дійсно люди сприймають золоті пропорції, зокрема, золотий прямокутник, як більш красивим, ніж інші форми. У 1995 році статті в журналі, професор Крістофер Грін, з Йоркського університету в Торонто, обговорює ряд експериментів протягом багатьох років, які не показали якогось перевагу формі золотий прямокутник, але зазначає, що деякі інші представили докази того, що така перевага не існує . Але незалежно від науки, золотий перетин зберігає свою загадковість, почасти оскільки добре застосовується у багатьох несподіваних місцях у природі. Спіраль раковини молюска Наутілус напрочуд близька до золотого перерізу, і відношення довжини грудної клітки та живота у більшості бджіл майже Золотий перетин. Навіть перерізи з найпоширеніших форм людської ДНК чудово вписується у золотий десятикутник. Золотий перетинта його родичі також з'являються у багатьох несподіваних контекстах, у математиці, і вони продовжують викликати інтерес математичних спільнот. Д-р Стівен Марквардт, колишній пластичний хірург, використав цю загадкову пропорцію Золотий перетин, у своїй роботі, яка вже давно відповідає за красу і гармонію, щоб зробити маску, яку він вважав найкрасивішою формою людського обличчя, яке тільки може бути.

Маска досконалого людського обличчя

Єгипетська цариця Нефертіті (1400 р. до н.е.)

особа Ісуса копія з Туринської плащаниці та виправлена ​​відповідно до маски д-ра Стівена Марквардта.

«Усереднене» (синтезоване) обличчя серед знаменитостей. З пропорціями золотого перерізу.

Використовувалися матеріали сайту: http://blog.world-mysteries.com/

Прийнято вважати, що поняття про золотий поділ ввів у науковий побут Піфагор, давньогрецький філософ та математик (VI ст. до н.е.). Є припущення, що Піфагор своє знання золотого поділу запозичив у єгиптян та вавилонян. І справді, пропорції піраміди Хеопса, храмів, барельєфів, предметів побуту та прикрас із гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри користувалися співвідношеннями золотого поділу під час їх створення. Французький архітектор Ле Корбюзьє виявив, що у рельєфі з храму фараона Мережі I в Абідосі та у рельєфі, що зображує фараона Рамзеса, пропорції фігур відповідають величинам золотого поділу. Зодчий Хесіра, зображений на рельєфі дерев'яної дошки з гробниці його імені, тримає у руках вимірювальні інструменти, у яких зафіксовано пропорції золотого поділу.

Греки були вправними геометрами. Навіть арифметиці навчали своїх дітей за допомогою геометричних фігур. Квадрат Піфагора та діагональ цього квадрата були основою для побудови динамічних прямокутників.

Платон (427...347 рр. е.) також знав про золотому розподілі. Його діалог “Тімей” присвячений математичним та естетичним поглядам школи Піфагора, зокрема, питанням золотого поділу.

У античній літературі, що дійшла до нас, золотий розподіл вперше згадується в "Початках" Евкліда. У другій книзі "Начал" дається геометричне побудова золотого поділу. Після Евкліда дослідженням золотого розподілу займалися Гіпсікл (II ст. до н.е.), Папп (III ст. н.е.) та ін. Наварри (ІІІ ст.). Секрети золотого поділу ревно оберігалися, зберігалися у суворій таємниці, вони були відомі лише посвяченим.

В епоху Відродження посилюється інтерес до золотого поділу серед учених та художників у зв'язку з його застосуванням як у геометрії, так і в мистецтві, особливо в архітектурі. Леонардо да Вінчі, художник і вчений, бачив, що італійські художники мають емпіричний досвід великий, а знань мало. Він задумав і почав писати книгу з геометрії, але в цей час з'явилася книга ченця Лукі Пачолі, і Леонардо залишив свою витівку. На думку сучасників та істориків науки, Лука Пачолі був справжнім світилом, найбільшим математиком Італії у період між Фібоначчі та Галілеєм. Лука Пачолі був учнем художника П'єро делла Франческі, який написав дві книги, одна з яких називалася "Про перспективу в живописі". Його вважають творцем накреслювальної геометрії.

Лука Пачолі чудово розумів значення науки для мистецтва. У 1509 р. у Венеції була видана книга Луки Пачолі "Божественна пропорція" з блискуче виконаними ілюстраціями, через що вважають, що їх зробив Леонардо да Вінчі. Книжка була захопленим гімном золотої пропорції. Серед багатьох переваг золотої пропорції монах Лука Пачолі не проминув назвати і її "божественну суть" як вираз божественного триєдності бог син, бог батько і бог дух святий (малося на увазі, що малий відрізок є уособлення бога сина, більший відрізок - бога батька, а весь відрізок - бога духа святого).

Леонардо да Вінчі також багато уваги приділяв вивченню золотого поділу. Він проводив перерізи стереометричного тіла, утвореного правильними п'ятикутниками, і щоразу отримував прямокутники з стосунками сторін у золотому розподілі. Тому він дав цьому поділу назву золотий перетин. Так воно й тримається й досі.

У той же час на півночі Європи, у Німеччині, над тими самими проблемами працював Альбрехт Дюрер. Він робить начерки вступу до першого варіанту трактату про пропорції. Дюрер пише. “Необхідно, щоб той, хто щось вміє, навчив цьому інших, які цього потребують. Це я намірився зробити”. Альбрехт Дюрер розробляє теорію пропорцій людського тіла. Важливе місце у своїй системі співвідношень відводив золотому перерізу. Відомий пропорційний циркуль Дюрера.

Великий астроном XVI ст. Йоганн Кеплер назвав золотий перетин одним із скарбів геометрії. Він перший звертає увагу на значення золотої пропорції для ботаніки (зростання рослин та їх будова). Кеплер називав золоту пропорцію продовжує саму себе “Влаштована вона так, - писав він, - що два молодших члени цієї нескінченної пропорції в сумі дають третій член, а будь-які два останні члени, якщо їх скласти, дають наступний член, причому та ж пропорція зберігається до нескінченності”.

Побудова низки відрізків золотої пропорції можна робити як у бік збільшення (зростаючий ряд), і у бік зменшення (низхідний ряд).

У наступні століття правило золотої пропорції перетворилося на академічний канон і, коли згодом у мистецтві почалася боротьба з академічною рутиною, у запалі боротьби "разом з водою виплеснули і дитину". Знову “відкрито” золотий перетин був у середині ХІХ століття. У 1855 р. німецький дослідник золотого перетину професор Цейзінг опублікував свою працю "Естетичні дослідження". Цейзинг розглядає золотий переріз без зв'язку з іншими явищами. Він абсолютизував пропорцію золотого перетину, оголосивши її універсальною всім явищ природи та мистецтва. Цейзінг мав численні послідовники, але були і противники, які оголосили його вчення про пропорції “математичної естетикою”.

Справедливість своєї теорії Цейзінг перевіряв на грецьких статуях. Докладніше він розробив пропорції Аполлона Бельведерського. Зазнали дослідження грецькі вази, архітектурні споруди різних епох, рослини, тварини, пташині яйця, музичні тони, віршовані розміри. Цейзинг дав визначення золотого перетину, показав, як воно виявляється у відрізках прямої та у цифрах. Коли цифри, що виражають довжини відрізків, були отримані, Цейзінг побачив, що вони становлять ряд Фібоначчі, який можна продовжувати нескінченно в один і в інший бік. Наступна його книга мала назву "Золоте розподіл як основний морфологічний закон у природі та мистецтві". У 1876 р. у Росії було видано невелику книжку, з викладом цієї праці Цейзинга.

Наприкінці XIX – на початку XX ст. з'явилося чимало суто формалістичних теорій про застосування золотого перетину у витворах мистецтва та архітектури. З розвитком дизайну та технічної естетики дія закону золотого перерізу поширилася на конструювання машин, меблів тощо.

Наука не поглинула мистецтво, але у ті історичні періоди, коли математика і мистецтво зближалися, це давало імпульс розвитку того й іншого.

Поняття золотого перетину

З'ясуємо, що спільного між давньоєгипетськими пірамідами, картиною Леонардо да Вінчі "Мона Ліза", соняшником, равликом, сніжинкою, галактикою та пальцями людини?

У математиці пропорцією (лат. proportio) називають рівність двох відношень: a: b = c: d.

Золотий переріз - це такий пропорційний розподіл відрізка на нерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як найбільша частина відноситься до меншої.

Відрізок прямої АВ можна розділити на дві частини точкою З наступними способами:

• на дві рівні частини – АВ: АС = АВ: ВС;
• на дві нерівні частини будь-якому відношенні (такі частини пропорції не утворюють);
• у крайньому та середньому відношенні таким чином, коли АВ: АС = АС: ВС.

Остання і є золотий поділ.

Практичне знайомство із золотим перетином починають із розподілу відрізка прямої в золотій пропорції за допомогою циркуля та лінійки. BC = 1/2 AB; CD = BC

З точки В відставляється перпендикуляр, що дорівнює половині АВ. Отримана точка С з'єднується лінією з точкою А. На отриманій лінії відкладається відрізок ПС, що закінчується точкою D. Відрізок AD переноситься на пряму АВ. Отримана при цьому точка Е поділяє відрізок АВ у співвідношенні золотої пропорції.

Відрізки золотої пропорції виражаються нескінченним ірраціональним дробом, якщо АВ прийняти за одиницю, то AE = 0,618..., ВЕ = 0,382... Для практичних цілей часто використовують наближені значення 0,62 та 0,38. Якщо відрізок АВ прийняти за 100 частин, то більшість відрізка дорівнює 62, а менша - 38 частинам.

Побудова другого золотого перетину. Розподіл здійснюється наступним чином. Відрізок АВ ділиться у пропорції золотого перерізу. З точки С відставляється перпендикуляр CD. Радіусом АВ знаходиться точка D, яка з'єднується лінією з точкою А. Прямий кут АСD ділиться навпіл. З точки З проводиться лінія до перетину з лінією AD. Точка Е поділяє відрізок AD щодо 56: 44.

Лінія другого золотого перерізу прямокутника знаходиться посередині між лінією золотого перерізу і середньою лінією прямокутника.

Пентаграма

Для знаходження відрізків золотої пропорції висхідного та низхідного рядів можна скористатися пентаграмою.

Побудова правильного п'ятикутника та пентаграми.

Для побудови пентаграми потрібно побудувати правильний п'ятикутник. Спосіб його побудови розробив німецький живописець та графік Альбрехт Дюрер (1471...1528). Нехай O – центр кола, A – точка на колі та Е – середина відрізка ОА. Перпендикуляр до радіусу ОА, відновлений у точці, перетинається з колом у точці D. Користуючись циркулем, відкладемо на діаметрі відрізок CE = ED. Довжина сторони вписаного в коло правильного п'ятикутника дорівнює DC. Відкладаємо на колі відрізки DC та отримаємо п'ять точок для накреслення правильного п'ятикутника. З'єднуємо кути п'ятикутника через один діагоналями та отримуємо пентаграму. Усі діагоналі п'ятикутника ділять один одного на відрізки у золотому відношенні. Кожен кінець п'ятикутної зірки є золотим трикутником. Його сторони утворюють кут 36° при вершині, а основа, відкладена на бік, ділить її в золотій пропорції.

Ряд Фібоначчі

З історією золотого перерізу непрямим чином пов'язане ім'я італійського математика ченця Леонардо з Пізи, найвідомішого під ім'ям Фібоначчі (син Боначчі). Він багато подорожував Сходом, познайомив Європу з індійськими (арабськими) цифрами. У 1202 р. побачив світ його математичну працю “Книга про абаке” (рахунковій дошці), у якому зібрано всі відомі на той час завдання. Одне із завдань гласила "Скільки пар кроликів в один рік від однієї пари народиться". Розмірковуючи на цю тему, Фібоначчі побудував такий ряд цифр: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, і т.д.

Цей ряд відомий як ряд Фібоначчі. Особливість послідовності чисел у тому, кожен її член, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх, а відношення суміжних чисел низки наближається до відношенню золотого поділу. Понад те, після 13-го числа послідовності цей результат розподілу стає постійним до нескінченності ряду. Саме це постійне число поділу в середні віки було названо Божественною пропорцією, а нині в наші дні називається як золотий перетин, золоте середнє або золота пропорція. У алгебри це число позначається грецькою буквою φ (фі).

Отже, Золота пропорція дорівнює 1:1,618

Так, 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618. Це відношення означає символ φ. Це відношення - 0,618: 0,382 - дає безперервний поділ відрізка прямої в золотій пропорції.

Ряд Фібоначчі міг би залишитися лише математичним казусом, якби не та обставина, що всі дослідники золотого поділу в рослинному та в тваринному світі, не кажучи вже про мистецтво, незмінно приходили до цього ряду як арифметичного виразу закону золотого поділу. Вчені продовжували активно розвивати теорію чисел Фібоначчі та золотого перетину. Виникають витончені методи вирішення низки кібернетичних завдань (теорії пошуку, ігор, програмування) з використанням чисел Фібоначчі та золотого перерізу. У США створюється навіть Математична Фібоначчі-асоціація, яка з 1963 випускає спеціальний журнал.

Золотий прямокутник та золота спіраль

У геометрії прямокутник із золотим ставленням сторін стали називати золотим. Його довгі сторони співвідносяться до коротких – у співвідношенні 1,168:1.

Золотий прямокутник також має багато дивовижних властивостей. Відрізавши від золотого прямокутника квадрат, сторона якого дорівнює меншій стороні прямокутника, ми знову отримаємо золотий прямокутник менших розмірів. Цей процес можна продовжувати до безкінечності. Продовжуючи відрізати квадрати, ми будемо отримувати менші і менші золоті прямокутники. Причому вони розташовуватимуться по логарифмічній спіралі, що має важливе значення в математичних моделях природних об'єктів. Полюс спіралі лежить на перетині діагоналей початкового прямокутника і першого вертикального, що відрізається. Причому діагоналі всіх наступних золотих прямокутників, що зменшуються, лежать на цих діагоналях. Зрозуміло, є золотий трикутник.