Як округлювати числа у більшу та меншу сторону функціями Excel. Легкі правила заокруглення чисел після коми

Методи

У різних сферах можуть застосовуватись різні методи округлення. У всіх цих методах «зайві» знаки обнуляють (відкидають), а попередній знак коригується за яким-небудь правилом.

Округлення до найближчого цілого(Англ. rounding) - найчастіше використовуване округлення, у якому число округляється до цілого, модуль різниці із яким цього числа мінімальний. У випадку, коли число в десятковій системі округляють до N-ого знака, правило може бути сформульовано так:
- якщо N+1 знак< 5 , то N-ий знак зберігають, а N+1 всі наступні обнуляють;
- якщо N+1 знак ≥ 5, то N-ий знак збільшують на одиницю, а N+1 всі наступні обнуляють;
Наприклад: 11,9 → 12; −0,9 → −1; −1,1 → −1; 2,5 → 3.
Округлення до меншого за модулем(округлення до нуля, ціле анг. fix, truncate, integer) - «просте» округлення, оскільки після обнулення «зайвих» знаків попередній знак зберігають. Наприклад, 11,9 → 11; −0,9 → 0; −1,1 → −1).
Округлення до більшого(округлення до +∞, округлення вгору, анг. ceiling) - якщо знаки, що обнулюються, не рівні нулю, попередній знак збільшують на одиницю, якщо число позитивне, або зберігають, якщо число негативне. В економічному жаргоні - округлення на користь продавця, кредитора(Особи, що отримує гроші). Зокрема, 2,6 → 3, −2,6 → −2.
Округлення до меншого(округлення до −∞, округлення вниз, анг. floor) - якщо знаки, що обнулюються, не рівні нулю, попередній знак зберігають, якщо число позитивне, або збільшують на одиницю, якщо число негативне. В економічному жаргоні - округлення на користь покупця, дебітора(Особи, що віддає гроші). Тут 2,6 → 2, −2,6 → −3.
Округлення до більшого за модулем(округлення до нескінченності, округлення від нуля) - відносно рідко використовується форма округлення. Якщо знаки, що обнулюються, не рівні нулю, попередній знак збільшують на одиницю.

Варіанти округлення 0,5 до найближчого цілого

Окремого опису вимагають правила округлення для спеціального випадку, коли (N+1)-й знак = 5, а наступні знаки дорівнюють нулю. Якщо в інших випадках округлення до найближчого цілого забезпечує меншу похибку округлення, то цей окремий випадок характерний тим, що для одноразового округлення формально байдуже, виробляти його «вгору» або «вниз» - в обох випадках вноситься похибка рівно в 1/2 молодшого розряду . Існують такі варіанти правила округлення до найближчого цілого для цього випадку:

Математичне округлення- Заокруглення завжди в більшу за модулем сторону (попередній розряд завжди збільшується на одиницю).
Банківське округлення(Англ. banker's rounding) - округлення для цього випадку відбувається до найближчого парного, тобто 2,5 → 2, 3,5 → 4.
Випадкове округлення- Округлення відбувається в меншу або більшу сторону у випадковому порядку, але з рівною ймовірністю (може використовуватись у статистиці).
Округлення, що чергується- Округлення відбувається в меншу або більшу сторону по черзі.

У всіх випадках у випадку, коли (N+1)-й знак не дорівнює 5 або наступні знаки не дорівнюють нулю, округлення відбувається за звичайними правилами: 2,49 → 2; 2,51 → 3.

Математичне заокруглення просто формально відповідає загальному правилу заокруглення (див. вище). Його недоліком є те, що при округленні великої кількості значень може відбуватися накопичення помилки округлення. Типовий приклад: округлення до рублів грошових сум. Так, якщо в реєстрі з 10000 рядків виявиться 100 рядків із сумами, що містять у частині копійок значення 50 (а це цілком реальна оцінка), то при округленні всіх таких рядків «вгору» сума «Разом» за округленим реєстром виявиться на 50 рублів більше точної .

Три інших варіанти таки придумані для того, щоб зменшити загальну похибку суми при округленні великої кількості значень. Округлення «до найближчого парного» виходить з припущення, що при великій кількості округлених значень, що мають 0,5 в залишку, що округляється, в середньому половина виявиться зліва, а половина - праворуч від найближчого парного, таким чином, помилки округлення взаємно погасяться. Строго кажучи, припущення це вірно лише тоді, коли набір округлених чисел має властивості випадкового ряду, що зазвичай вірно в бухгалтерських додатках, де йдеться про ціни, суми на рахунках і таке інше. Якщо ж припущення буде порушено, то округлення «до парного» може призводити до систематичних помилок. Для таких випадків краще працюють два наступні методи.

Два останні варіанти округлення гарантують, що приблизно половина спеціальних значень буде заокруглена в один бік, половина - в інший. Але реалізація таких методів на практиці потребує додаткових зусиль щодо організації обчислювального процесу.

Застосування

Округлення використовується для того, щоб працювати з числами в межах тієї кількості знаків, яке відповідає реальній точності параметрів обчислень (якщо ці значення є виміряні тим чи іншим чином реальні величини), реально досяжної точності обчислень або бажаної точності результату. У минулому округлення проміжних значень та результату мало прикладне значення (оскільки при розрахунках на папері або за допомогою примітивних пристроїв типу абака облік зайвих десяткових знаків може серйозно збільшити обсяг роботи). Нині воно залишається елементом наукової та інженерної культури. У бухгалтерських додатках, крім того, використання округлень, у тому числі проміжних, може бути потрібне для захисту від обчислювальних помилок, пов'язаних із кінцевою розрядністю обчислювальних пристроїв.

Використання заокруглень під час роботи з числами обмеженої точності

Реальні фізичні величини завжди вимірюються з деякою кінцевою точністю, яка залежить від приладів та методів вимірювання та оцінюється максимальним відносним або абсолютним відхиленням невідомого дійсного значення від виміряного, що в десятковому поданні значення відповідає або певному числу значущих цифр, або певній позиції у записі числа, всі цифри після (правіше) якої є незначними (лежать у межах помилки виміру). Самі виміряні параметри записуються з таким числом знаків, щоб усі цифри були надійними, можливо остання - сумнівною. Похибка при математичних операціях з числами обмеженої точності зберігається та змінюється за відомими математичними законами, тому коли в подальших обчисленнях виникають проміжні значення та результати з більшим числом цифр, із цих цифр лише частина є значущою. Інші цифри, присутні у значеннях, мало відображають жодної фізичної дійсності і лише забирають час на обчислення. Внаслідок цього проміжні значення та результати при обчисленнях з обмеженою точністю округляють до кількості знаків, яке відображає реальну точність отриманих значень. Насправді зазвичай рекомендується при довгих «ланцюжкових» ручних обчисленнях зберігати у проміжних значеннях однією цифру більше. При використанні комп'ютера проміжні округлення в науково-технічних додатках найчастіше втрачають сенс, і округляється лише результат.

Так, наприклад, якщо задана сила 5815 гс з точністю до грама сили і довжина плеча 1,4 м з точністю до сантиметра, то момент сили в кгс за формулою у разі формального розрахунку з усіма знаками виявиться рівним: 5,815 кгс 1,4 м = 8,141 кгс м. Проте якщо врахувати похибку виміру, ми отримаємо, що гранична відносна похибка першого значення становить 1/5815 ≈ 1,7 10 −4 , другого - 1/140 ≈ 7,1 10 −3 , відносна похибка результату за правилом похибки операції множення (при множенні наближених величин відносні похибки складаються) складе 7,3 10 −3 що відповідає максимальній абсолютній похибці результату ±0,059 кгс м! Тобто насправді, з урахуванням похибки, результат може становити від 8,082 до 8,200 кгс м, таким чином, у розрахованому значенні 8,141 кгс м повністю надійною є лише перша цифра, навіть друга – вже сумнівна! Коректним буде округлення результату обчислень до першої сумнівної цифри, тобто до десятих: 8,1 кгс м, або, при необхідності точнішої вказівки рамок похибки, подати його у вигляді, округленому до одного-двох знаків після коми із зазначенням похибки: 8,14±0,06 кгс м.

Емпіричні правила арифметики із округленнями

У випадках, коли немає необхідності в точному обліку обчислювальних похибок, а потрібно лише приблизно оцінити кількість точних цифр в результаті розрахунку за формулою, можна користуватися набором простих правил заокруглених обчислень:

Усі вихідні значення округляються до реальної точності вимірювань і записуються з відповідним числом цифр, так, щоб у десятковому записі всі цифри були надійними (допускається, щоб остання цифра була сумнівною). За необхідності значення записуються зі значними правими нулями, щоб у записі вказувалося реальне число надійних знаків (наприклад, якщо довжина 1 м реально виміряна з точністю до сантиметрів, записується «1,00 м», щоб було видно, що запису надійні два знаки після коми), або точність явно вказується (наприклад, 2500±5 м - тут надійними є лише десятки, до них слід округляти).
Проміжні значення округляються з однією запасною цифрою.
При додаванні та відніманні результат округляється до останнього десяткового знака найменш точного з параметрів (наприклад, при обчисленні значення 1,00 м + 1,5 м + 0,075 м результат округляється до десятих метра, тобто до 2,6 м). При цьому рекомендується виконувати обчислення в такому порядку, щоб уникати віднімання близьких за величиною чисел і робити дії над числами якомога більше в порядку зростання їх модулів.
При множенні та розподілі результат округляється до найменшого числа значущих цифр, яке мають параметри (наприклад, при обчисленні швидкості рівномірного руху тіла на дистанції 2,5 10 2 м, за 600 з результат має бути округлений до 4,2 м/с, оскільки саме дві цифри має відстань, а час – три, припускаючи, що всі цифри у записі – значні).
При обчисленні значення функції f(x)потрібно оцінити значення модуля похідної цієї функції на околиці точки обчислення. Якщо (|f"(x)| ≤ 1), то результат функції точний до того ж десяткового розряду, як і аргумент. В іншому випадку результат містить менше точних десяткових розрядів на величину log 10 (|f"(x)|), Заокруглену до цілого у велику сторону.

Незважаючи на суворість, наведені правила досить добре працюють на практиці, зокрема, через досить високу ймовірність взаємопогашення помилок, яка при точному обліку похибок зазвичай не враховується.

Помилки

Досить часто трапляються зловживання некруглими числами. Наприклад:

Записують числа, що мають невисоку точність, у неокругленому вигляді. У статистиці: якщо 4 особи з 17 відповіли «так», то пишуть «23,5%» (у той час як вірно «24%»).
Користувачі стрілочних приладів іноді розмірковують так: «стрілка зупинилася між 5,5 і 6 ближче до 6, нехай буде 5,8» - це також заборонено (градуювання приладу, як правило, відповідає його реальній точності). У такому разі треба говорити "5,5" або "6".

Див. також

Обробка спостережень
Помилки заокруглення

Примітки

Література

Генрі С. Уоррен, мол. Глава 3. Округлення до ступеня 2// Алгоритмічні трюки для програмістів = Hacker's Delight. – М.: «Вільямс», 2007. – С. 288. – ISBN 0-201-91465-4

Щоб розглянути особливість округлення тієї чи іншої кількості, необхідно проаналізувати конкретні приклади та деяку основну інформацію.

Як округлювати числа до сотих

Для округлення числа до сотих необхідно залишати після коми дві цифри, решта, звичайно ж, відкидається. Якщо перша цифра, яка відкидається, це 0, 1, 2, 3 або 4, попередня цифра залишається незмінною.
Якщо ж цифра, що відкидається, – це 5, 6, 7, 8 або 9, то потрібно збільшити попередню цифру на одиницю.
Наприклад, якщо потрібно округлити число 75,748, то після заокруглення ми отримуємо 75,75. Якщо ми маємо 19,912, то в результаті округлення, а точніше, без необхідності його використання, ми отримуємо 19,91. У випадку з 19,912 цифра, яка йде після сотих, не округляється, тому вона просто відкидається.
Якщо мова йдепро число 18,4893, то округлення до сотих відбувається так: перша цифра, яку потрібно відкинути, це 3, тому жодних змін не відбувається. Виходить 18,48.
У випадку з числом 0,2254, ми маємо першу цифру, яка відкидається при округленні до сотих. Це п'ятірка, яка свідчить про те, що попереднє число потрібно збільшити на одиницю. Тобто, ми отримуємо 0,23.
Бувають і випадки, коли округлення змінює всі цифри. Наприклад, щоб округлити до сотих число 64,9972, бачимо, що число 7 округляє попередні. Отримуємо 65,00.

Як округлювати числа до цілих

При округленні чисел до цілих ситуація така сама. Якщо маємо, наприклад, 25,5 , то після округлення ми отримуємо 26 . У разі достатньої кількості цифр після коми округлення відбувається таким чином: після округлення 4,371251 ми отримуємо 4 .

Округлення до десятих відбувається так само, як і у випадку з сотими. Наприклад, якщо потрібно округлити число 45,21618, ми отримуємо 45,2. Якщо друга цифра після десятої – це 5 або більше, попередня цифра збільшується на одиницю. Як приклад можна округлити 13,6734, й у результаті вийде 13,7.

Важливо звертати увагу на цифру, розташовану перед тією, що відсікається. Наприклад, якщо ми маємо число 1,450 , то після округлення отримуємо 1,4 . Однак у випадку з 4,851 доцільно округлювати до 4,9, оскільки після п'ятірки ще йде одиниця.

Округлення ми часто використовуємо у повсякденному житті. Якщо відстань від будинку до школи буде 503 метри. Ми можемо сказати, округливши значення, що відстань від будинку до школи 500 метрів. Тобто ми наблизили число 503 до числу 500, що легко сприймається. Наприклад, булка хліба важить 498 грам, то можна сказати округливши результат, що булка хліба важить 500 грам.

Округлення– це наближення числа до “легшого” для сприйняття людини.

В результаті округлення виходить наближенечисло. Округлення позначається ≈ символом, такий символ читається “приблизно одно”.

Можна записати 503-500 або 498-500.

Читається такий запис, як “п'ятсот три приблизно рівно п'ятистам” або “чотириста дев'яносто вісім приблизно рівно п'ятистам”.

Розберемо ще приклад:

44 71≈4000 45 71≈5000

43 71≈4000 46 71≈5000

42 71≈4000 47 71≈5000

41 71≈4000 48 71≈5000

40 71≈4000 49 71≈5000

У цьому прикладі було зроблено округлення чисел до тисячі. Якщо подивитися закономірність округлення, то побачимо, що в одному випадку числа округляються в меншу сторону, а в іншому – більшу. Після округлення решту числа після розряду тисяч замінили на нулі.

Правила заокруглення чисел:

1) Якщо округлена цифра дорівнює 0, 1, 2, 3, 4, то цифра розряду якого йде округлення не змінюється, інші цифри замінюються нулями.

2) Якщо округлена цифра дорівнює 5, 6, 7, 8, 9, то цифра розряду якого йде округлення ставати на 1 більше, інші цифри замінюються нулями.

Наприклад:

1) Виконайте округлення до розряду десятків числа 364.

Розряд десятків у цьому прикладі це число 6. Після шістки стоїть число 4. За правилом округлення цифра 4 розряд десятків не змінює. Записуємо замість 4 нуль. Отримуємо:

36 4 ≈360

2) Виконайте округлення до розряду сотень числа 4781.

Розряд сотень у цьому прикладі це число 7. Після сімки стоїть цифра 8, яка впливає те чи змінитися розряд сотень чи ні. За правилом округлення цифра 8 збільшує розряд сотень на 1, інші цифри замінюємо нулями. Отримуємо:

47 8 1≈48 00

3) Виконайте округлення до розряду тисяч числа 215936.

Розряд тисяч у цьому прикладі це число 5. Після п'ятірки стоїть цифра 9, яка впливає те чи змінитися розряд тисяч чи ні. За правилом округлення цифра 9 збільшує розряд тисяч на 1, інші цифри замінюються нулями. Отримуємо:

215 9 36≈216 000

4) Виконайте округлення до розряду десятків тисяч числа 1302894.

Розряд тисяч у цьому прикладі це число 0. Після нуля стоїть цифра 2, яка впливає те змінитися розряд десятків тисяч чи ні. За правилом округлення цифра 2 розряди десятків тисяч не змінює, замінюємо на нуль цей розряд і всі розряди молодші розряди. Отримуємо:

130 2 894≈130 0000

Якщо точне значення числа не має значення, то значення числа округляють і можна виконувати обчислювальні операції з наближеними значеннями. Результат обчислення називають прикидкою результату дій.

Наприклад: 598⋅23≈600⋅20≈12000 порівняємо з 598⋅23=13754

Прикидкою результату дій користуються у тому, щоб швидко порахувати відповідь.

Приклади на завдання на тему округлення:

Приклад №1:
Визначте до якого розряду зроблено заокруглення:
а) 3457987≈3500000 б)4573426≈4573000 в)16784≈17000
Згадаймо, які бувають розряди на числі 3457987.

7 – розряд одиниць,

8 – розряд десятків,

9 – розряд сотень,

7 – розряд тисяч,

5 – розряд десятків тисяч,

4 – розряд сотень тисяч,
3 – розряд мільйонів.
Відповідь: а) 3 4 57 987≈3 5 00 000 розряд сотень тисяч б) 4 573 426≈4 573 000 розряд тисяч в)16 7 841≈17 0 000 розряд десятків тисяч.

Приклад №2:
Округліть число до розрядів 5999994: а) десятків б) сотень в) мільйонів.
Відповідь: а) 5 999 994 ≈5 999 990 б) 5 999 99 4≈6 000 000 (т.к. розряди сотень, тисяч, десятків тисяч, сотень тисяч цифра 9, кожен розряд збільшився на 1) 5 9 99 994≈ 6000000.

Зрозумійте значення цифр у десяткових частках.У будь-якому числі різні цифри є різними розрядами. Наприклад, серед 1872 одиниця становить тисячі, вісімка – сотні, сімка – десятки, двійка – одиниці. Якщо в числі є десяткова кома, то цифри праворуч від неї відображають дроби від цілого числа.

Визначте розряд десяткового дробу, до якого хочете його округлити.Першим кроком у заокругленні десяткових дробів є визначення місця, до якого потрібно округлити число. Якщо ви робите домашню роботу, це зазвичай визначено умовою завдання. Найчастіше за умови може бути вказана необхідність округлити відповідь до десятих, сотих або тисячних знаків після коми.

Наприклад, якщо стоїть завдання округлення числа 12, 9889 до тисячних часток, почати слід із виявлення розташування цих тисячних часток. Відрахуйте знаки від коми як десяті, соті, тисячні, після яких йдуть десятитисячні. Друга вісімка буде саме тим, що вам потрібно (12,98 8 9).
Іноді за умови може вказуватися конкретне місце для округлення (наприклад, "округлення до третього знака після коми" означає те саме, що і "округлення до тисячних").

Подивіться на цифру праворуч від потрібного місця заокруглення.Тепер слід дізнатися цифру, яка стоїть праворуч від місця, до якого ви робите округлення. Залежно від цієї цифри ви будете робити округлення у більшу або меншу сторону (вгору або вниз).

У взятому раніше прикладі числа (12,9889) потрібно зробити округлення до тисячних (12,98 8 9), тому тепер слід подивитися на цифру праворуч від тисячної частки, а саме на останню дев'ятку (12,988) 9 ).

Якщо ця цифра більша або дорівнює п'яти, то проводиться округлення у більшу сторону.Для більшої ясності, якщо праворуч від місця округлення стоїть цифра 5, 6, 7, 8 або 9, то округлення проводиться у більшу сторону. Іншими словами, необхідно збільшити цифру на округленому місці на одиницю, а решту цифр праворуч від неї відкинути.

У взятому прикладі (12,9889) остання дев'ятка більше п'ятірки, тому ми округлятимемо тисячні у велику сторону.Округлене число стане у вигляді 12,989 . Зверніть увагу, що після заокруглення цифри відкинуті.

Якщо ця цифра менша за п'ять, то проводиться округлення в меншу сторону.Тобто, якщо праворуч від місця округлення стоїть цифра 4, 3, 2, 1 або 0, то округлення проводиться в меншу сторону. Що означає необхідність залишити цифру дома округлення у вигляді, як вона є, і відкинути цифри праворуч від неї.

Ви не можете округлити число 12,9889 в меншу сторону, оскільки остання дев'ятка не є четвіркою або меншою цифрою. Проте, якби розглянутим числом було 12,988 4 , то його можна було б округлити до 12,988 .
Процедура здається знайомою? Це пов'язано з тим, так само округляються і цілі числа, а наявність коми нічого не змінює.

Використовуйте той же спосіб для округлення десяткових дробів до цілих цифр.Найчастіше завданням встановлюється необхідність округлення відповіді до цілих. В цьому випадку необхідно скористатися вищезазначеним способом.

Іншими словами, знайдіть місце розташування цілих одиниць числа, подивіться на цифру праворуч. Якщо вона більша або дорівнює п'яти, то округліть ціле число у більшу сторону. Якщо вона менша або дорівнює чотирьом, то округліть ціле число в меншу сторону. Наявність коми між цілою частиною числа та його десятковим дробом нічого не змінює.
Наприклад, якщо вам потрібно округлити вищенаведене число (12,9889) до цілих, то ви почнете з місця розташування цілих одиниць числа: 1 2 ,9889. Так як дев'ятка праворуч від цього місця більше п'яти, то робимо округлення вгору до 13 цілих. Так як відповідь представлений цілим числом, то писати кому більше немає необхідності.

Звертайте увагу на вказівки до заокруглення.Вищезазначені інструкції до округлення є загальноприйнятими. Однак бувають ситуації, коли даються особливі вимоги до округлення, не забувайте їх прочитати, перш ніж відразу вдаватися до загальноприйнятих правил округлення.

Наприклад, якщо у вимогах сказано робити округлення до десятих у меншу сторону, то в числі 4,59 ви залишите п'ятірку, незважаючи на те, що дев'ятка праворуч від неї зазвичай повинна призводити до округлення у більшу сторону. Це дасть вам результат 4,5 .
Аналогічно, якщо вам сказано округлити число 180,1 до цілих у більший бік, то у вас вийде 181 .